Циркуляция вектора напряженности электростатического поля — справочник студента

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля - Справочник студента Циркуляция вектора напряженности электростатического поля равна нулю. [6] Это является условием потенциальности поля.

Работа консервативных (потенциальных) сил равна убыли потенциальной энергии тела. Следовательно, можно ввести еще одну характеристику электростатического поля – потенциал j.

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля - Справочник студента
(В = Дж/Кл)
потенциал (скаляр) – энергетическая характеристика электростатического [7] поля — по смыслу это: 1) потенциальная энергия, которой обладает единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля или 2) работа, которую надо совершить, чтобы перенести единичный положительный заряд из данной точки 1 в бесконечность (¥).
разность потенциалов – это работа, которую надо совершить, чтобы переместить единичный положительный заряд из точки 1 в точку 2

Найдем связь между напряженностью и потенциалом.

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля - Справочник студента работа в потенциальном (консервативном) поле равна убыли потенциальной энергии
Циркуляция вектора напряженности электростатического поля - Справочник студента dx , — перемещение выразим элементарную работу через напряженность и разность потенциалов; сократим на q, обозначим проекцию вектора Е на направление х как Ех, получим:
Циркуляция вектора напряженности электростатического поля - Справочник студента связь между Е и j в дифференциальной форме для одномерного случая, когда потенциал зависит только от координаты хj (х)
В трехмерном случае, когда потенциал является функцией j (х,y,z), запишем формулы для каждой проекции и, объединяя их в одно выражение, найдем (учитывая, что Е — вектор):
Циркуляция вектора напряженности электростатического поля - Справочник студента
Ñ («набла») — другое обозначение градиента Циркуляция вектора напряженности электростатического поля - Справочник студента (модуль вектора Е)
Напряженность электростатического поля равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком.

Градиент – это вектор, показывающий направление наибольшего роста скалярной функции (в нашем случае — потенциала).[8] В одномерном случае градиент напряженности dj / dx приобретает простой физический смысл: он показывает, на сколько изменяется потенциал на единице длины.

«-» в правой части формул означает, что вектор напряженности Е всегда направлен в сторону убывания потенциала.

Из приведенных выражений, зная j (х,y,z), можно, дифференцируя, найти напряженность поля. Производя обратную операцию – интегрирование, можно при известной напряженности найти потенциал. Рассмотрим случай зависимости

Е и j только от одной переменной х. Из формулы (··) находим:

(···) Связь разности потенциалов с напряженностью в интегральной форме для одномерного случая, когда Е(х)

Графическое изображение электростатического поля.

Электростатическое поле удобно изображать графически с помощью силовых линий и эквипотенциальных поверхностей.

Силовая линия – это линия, в каждой точке которой касательная совпадает с направлением вектора напряженности (см. рис.). Силовым линиям придают направление стрелкой. Свойства силовых линий:

1) Силовые линии непрерывны. Они имеют начало и конец – начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах.

2) Силовые линии не могут пересекаться друг с другом, т. к. напряженность – это сила, а две силы в данной точке от одного заряда не могут быть.

3) Силовые линии проводят так, чтобы их количество через единичную перпендикулярную площадку было пропорционально величине напряженности.

4) Силовые линии «выходят» и «входят» всегда перпендикулярно поверхности тела.

5) Силовую линию не следует путать с траекторией движущегося заряда. Касательная к траектории совпадает с направлением скорости, а касательная к силовой линии – с силой и, следовательно, с ускорением.

Эквипотенциальной поверхностью называют поверхность, в каждой точке которой потенциал имеет одинаковое значение j = const.

Силовые линии всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Докажем это. Пусть вдоль эквипотенциальной поверхности перемещается точечный заряд q.

Элементарная работа, совершаемая при этом равна dA=qE×cosa×dl = q×dj = 0, т. к. dj = 0.

Поскольку q ,E и ×dl ¹ 0, следовательно

cosa = 0 и a = 90о.

На рисунке изображено электростатическое поле двух одинаковых точечных зарядов. Линии со стрелками – это силовые линии, замкнутые кривые – эквипотенциальные поверхности.
В центре осевой линии, соединяющей заряды напряженность равна 0. На очень большом расстоянии от зарядов эквипотенциальные поверхности становятся сферическими.
.
На этом рисунке показано однородное поле – это поле, в каждой точке которого вектор напряженности остается постоянным по величине и направлению Эквипотенциальные поверхности – это плоскости, перпендикулярные силовым линиям. Вектор напряженности всегда направлен в сторону убывания потенциала.

Принцип суперпозиции.

На основе опытных данных был получен принципа суперпозиции (наложения) полей: «Если электрическое поле создается несколькими зарядами, то напряженность и потенциал результирующего поля складываются независимо, т. е. не влияя друг на друга».

При дискретном распределении зарядов напряженность результирующего поля равна векторной сумме, а потенциал алгебраической (с учетом знака) сумме полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности.

При непрерывном распределении заряда в теле векторные суммы заменяется на интегралы, где dE и dj– напряженность и потенциал поля элементарного (точечного) заряда, выделенного в теле. Математически принцип суперпозиции можно записать так.

при дискретном
распределении зарядов
принцип суперпозиции

Источник: http://fiziku5.ru/uchebnye-materialy-po-fizike/cirkulyaciya-vektora-napryazhennosti

Л/Р: Изучение основных свойств электростатического поля

  • Проверить теорему Гаусса для поля вектора E;
  • Проверить равенство нулю циркуляции вектора E по произвольному замкнутому контуру;

Изучать свойства электростатистического поля особенно удобно на примере плоского поля, т.е.

поля, в котором векторы E лежат в параллельных плоскостях, а потенциал и напряженность зависят только от двух координат. Полное исследование такого поля требует измерений потенциала или напряженности только в одной из плоскостей.

В качестве примера плоского поля в работе выбрано поле, являющееся аналогом электростатического поля бесконечного цилиндрического конденсатора, внешняя обкладка которого обозначена С1, а внутренняя – С2 (рис. 2.2.1).

Теорема Гаусса утверждает, что поток Ф вектора напряженности электрического поля E через любую замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на ε0:

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля - Справочник студентагдеЦиркуляция вектора напряженности электростатического поля - Справочник студента

Вектор n – единичный вектор внешней нормали к поверхности; dS – площадь элементарной поверхности, в пределах которой E = const.

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля - Справочник студента

В случае бесконечного цилиндрического конденсатора при применении теоремы Гаусса в качестве вспомогательной поверхности целесообразно выбрать замкнутую цилиндрическую поверхность S, площадь которой

S = S1 + S2 + S3

(2.2.2)

где S1, S2 – площади торцов; S3 – площадь боковой поверхности.

Высота h цилиндра, ограниченного вспомогательной (гауссовой) поверхностью выбирается произвольно; при этом она обязательно должна быть конечной. Гауссова поверхность охватывает заряд q, локализованный на участке AA' (рис. 2.2.1) внутренней обкладки конденсатора длиной h.

Поток вектора E через выбранную замкнутую поверхность равен сумме потоков через боковую поверхность и торцы:

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля - Справочник студента

Поскольку во всех точках торцов векторы E и n взаимно перпендикулярны, то потоки вектора E через эти поверхности равны нулю, т.е.

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля - Справочник студента

Таким образом:

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля - Справочник студента

где En – проекция вектора E на направление внешней нормали n;dS = hdl (dl – бесконечно малая часть контура L, образованного при пересечении гауссовой поверхности с плоскостью В (рис. 2.2.1).

Учитывая, что диаметр внутренней обкладки конденсатора d

Источник: http://fevt.ru/load/svojstva_ehlektrostaticheskogo_polja/103-1-0-841

1.5 Работа сил электростатического поля

Работа перемещения заряда. На
положительный точечный заряд q в
электрическом поле с напряжённостью E
действует сила
F
= q E. При перемещении заряда на отрезке dl силами поля совершается работа

  • dA = F dl=q E dl cos (E, dl).
  • При
    перемещении заряда q силами
    электрического поля на произвольном конечном отрезке из точки 1 в точку 2 эта
    работа равна
  • .
  • Рассмотрим перемещение точечного заряда q в поле точечного заряда Q, напряженность поля которого 
  • Циркуляция вектора напряженности электростатического поля - Справочник студента .

Проекция
отрезка dl на направление вектора E (рис. 1.5) есть dr = dl cos (E, dl).

Работа,
совершаемая электрическим полем при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2, определяется следующим образом:

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля - Справочник студента

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля - Справочник студента

Отсюда следует, что работа сил электрического поля не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положениями заряда q. Если оба заряда, q и Q, положительны, то работа сил поля положительна при удалении зарядов и отрицательна при их взаимном сближении.

Читайте также:  Система воспитания в «школе радости» - справочник студента

Для электрического поля, созданного системой зарядов Q1, Q2,¼, Qn, работа перемещения заряда q равна алгебраической сумме работ составляющих сил:

  1. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля - Справочник студента .
  2. Таким
    же образом, как и каждая из составляющих работ, суммарная работа зависит только
    от начального и конечного положений заряда q.
  3. Циркуляция вектора напряженности
    электрического поля.
    Работа, совершаемая силами электрического поля при
    перемещении единичного положительного заряда по замкнутому
    контуру длиной l, определяется как циркуляция
    вектора напряженности электрического поля:
  4. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля - Справочник студента

Так как для замкнутого пути положения начальной и конечной точек перемещения заряда совпадают, то работа сил электрического поля на замкнутом пути равна нулю, а значит, равна нулю и циркуляция вектора напряженности, т.е.

  • .
  • Равенство
    нулю означает, что силы электрического поля являются силами консервативными, а само поле — потенциальным.
  • Вопросы
  • 1)   Как доказать, что электростатическое поле является потенциальным.
  • 2)   Напишите выражение для работы, совершаемой силами однородного поля напряженностью Е над зарядом q при его перемещении из точки 1 заданной радиус вектором r1 в точку 2 с радиус вектором r2 по произвольной траектории
  • наверх

Источник: http://physicsleti.narod.ru/fiz/html/point_1_5.html

Работа по перемещению заряда в электростатическом поле. Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля. Разность потенциалов. Потенциал

Пусть в некоторой точке находится положительный заряд q1. Вокруг себя он создает электростатическое поле. Найдем работу по перемещению заряда q2 в этом поле из точки 1 в точку 2. Элементарная работа dA на участке dl равна:

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля - Справочник студента .Т.к. ,то .

Работа по перемещению заряда q2 из точки 1 в точку 2  не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Такое поле называют потенциальным, а силы − консервативными.

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля:работа по перемещению заряда по замкнутому контуру потенц. поля равна нулю, т.обр. и циркуляция Е равна нулю: Циркуляция вектора напряженности электростатического поля - Справочник студента =0; Циркуляция вектора напряженности электростатического поля - Справочник студента . Интеграл  называется циркуляцией вектора напряжённости электростатического поля. Из обращения в нуль циркуляции вектора напряжённости следует, что линии напряжённости электростатического поля не могут быть замкнутыми.

Разность потенциалов —величина, равная совершению работы по перемещению заряда из т.1 в т.2: А12/q=φ1-φ2=U12.

Потенциал − основная энергетическая характеристика электрического поля − есть скалярная величина, равная отношению потенциальной энергии U точечного заряда к величине этого заряда q: . Потенциал поля точечного заряда Циркуляция вектора напряженности электростатического поля - Справочник студента . С учетом этого работа выразится в виде . Единицей измерения потенциала служит вольт (В). 1 В есть потенциал такой точки поля, в которой заряд 1 Кл обладает потенциальной энергией в 1 Дж. 1 В = 1 Дж/1 Кл. Если перемещать заряд q из произвольной точки за пределы поля, т. е. в бесконечность, где по условию потенциал равен нулю, работа сил электростатического поля , откуда . При q = 1 . Таким образом, потенциал − физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки поля в бесконечность. Величину  называют разностью потенциалов.

Потенциальная энергия взаимодействия заряженных частиц. Эквипотенциальные поверхности. Применение принципа суперпозиции для потенциалов системы точечных электрических зарядов. Связь потенциала электростатического поля с напряженностью.

Работа при перемещении заряда Qo из одной точки в другую равна: .

    Работа сил консервативного поля может быть представлена как убыль потенциальной энергии, т.е. . Сопоставление двух последних формул приводит к выражению для потенциальной энергии заряда Qo в поле заряда Q: .

Значение постоянной выбирается таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность(r→ ) потенциальная энергия обращалась в нуль. При таком условии .Граф. изображением эл/ст.

поля, кроме линий напряжённости,служат эквипотенциальные поверхности—пов-ти равного потенциала(они перпендикулярны к силовым линиям):

Работа,совершаемая силами эл/ст поля при перемещении эл. Заряда по эквипот-ой пов-ти,равна нулю.

С ростом расстояния потенциал будет уменьшатся. Из и следует:

Потенциал величина аддитивная, т. е. потенциал поля нескольких точечных зарядов равен алгебраической сумме потенциалов отдельных зарядов qi(принцип суперпозиции): .

Связь между напряженностью и разностью потенциалов. Найдем работу по перемещению заряда q в электростатическом поле вдоль оси х на участке dx (из т. 1 в т. 2). По определению dA = Fdx. Согласно (5)    F = qE, тогда dA = qEdx. С другой стороны, из (16) следует, что .

Знак «минус» взят из-за того, что работа совершается за счет убыли потенциальной энергии. Приравняем оба выражения для работы , отсюда следует, что . Аналогичная запись верна и для координатных осей у и z.

Для того чтобы подчеркнуть тот факт, что Е изменяется по всем трем координатам пользуются частными производными  

Для вектора напряженности  имеем  или .Знак «минус» указывает на то, что вектор напряженности направлен в сторону убывания потенциала.Градиент показывает скорость изменения к-л физ. Скалярной величины в пространстве.

[E]=1 Н/Кл(1 В/м)

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 326;

Источник: https://studopedia.net/5_26644_rabota-po-peremeshcheniyu-zaryada-v-elektrostaticheskom-pole-teorema-o-tsirkulyatsii-vektora-napryazhennosti-elektrostaticheskogo-polya-raznost-potentsialov-potentsial.html

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля.

Интеграл …. называется циркуляцией вектора напряженности. Таким обра­зом, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль лю­бого замкнутого контура равна нулю. Это есть условие потенциаль­ности поля.

Потенциальная энергия и потенциал электростатического поля.

Из раздела динамики известно, что любое тело (точка), находясь в потенци­аль­ном поле, обладает запасом потенциальной энергии Wп, за счет которой силами поля совершается работа. Работа консервативных сил сопровождается убылью по­тенци­альной энергии A=Wп1-Wп2 .

Используя формулу работы силы электростатического поля по перемещению заря­да, получим мо­жет служить характеристикой поля и называется потенциалом электростатичес­кого поля j. Потенциал поля j — скалярная физическая величина, энергетическая характеристика поля, опре­деляемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, поме­щенного в эту точку.

Разность потенциалов двух точек поля определяется работой сил поляпри перемещении единичного

потенциал точки поля численно равен работе, совершае­мой электрическими силами при перемещении единичного положительного за­ряда из данной точки поля в бесконечность.

3) электр. Диполь — идеализированная система, служащая для приближённого описания статического поля или распространения электромагнитных волн вдали от источника (особенно — от источника с нулевым суммарно, но пространственно разделенным зарядом).

Полярные – это диэлектрики, в молекулах которых центры распределения положительных и отрицательных зарядов разделены даже в отсутсвие поле, т.е. молекула является диполем. Поляризация: во внешнемэлектр. Поле молекулы ориентируются вдоль векора напряженности внешнего поля Ео( при включении поля молекулы поворачиваются вдоль силовых линий поля)

Неполярные- диэлектрики, в молекулах которых центры распределения положительных и отрицательных зарядов в отсутствие поля совпадают. Поляризация: во внешнем электр.поле в результате деформации молекул возникают диполи, ориентированные вдоль вектора напряженности внешнего поля Ео. (при включении поля молекулы поляризуются)

В электрическом поле диполи подрешеток деформи­руются: удлиняются, если их оси направлены по полю и укорачиваются, если оси направлены против поля.

Такого рода поляриза­ция называетсяионной. Степень ионной поляри­зации зависит от свойств диэлектри­ка и от напряженности поля .

  • Поляризация- явление возникновения зарядов на поверхности диэлектрика, поле которых частично компенсирует внешнее электр.поле
  • Величину компенсации описывают с помощью диэлектрической проницаемости среды, которая показывает, во сколько раз эта среда уменьшает электр.поле:
  • Правила Кирхгофа для разветвленных цепей
  • Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма сил токов в узле равна нулю: .
  • Второе правило Кирхгофа относится к любому замкнутому контуру, выде­ленному в разветвленной цепи: алгебраическая сумма произведений токов на со­противления, включая и внутренние, на всех участках замкнутого контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил, встречающихся в этом контуре.
  • Циркуляция вектора напряженности электростатического поля.
Читайте также:  Принципы целостного педагогического процесса - справочник студента

Интеграл …. называется циркуляцией вектора напряженности. Таким обра­зом, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль лю­бого замкнутого контура равна нулю. Это есть условие потенциаль­ности поля.

Источник: https://cyberpedia.su/15xe216.html

Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Остроградского-Гауса. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля. Теорема Ирншоу

Связь напряженности и потенциала электростатического поля

Будем искать, каким образом связаны напряженность электростатического поля, которая является его силовой характеристикой, и потенциал, который есть его энергетическая характеристика поля.

Работа по перемещению единичного точечного положительного электрического заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены достаточно близко друг к другу и x2—x1=dx, равна Exdx. Та же работа равна φ1—φ2=dφ. Приравняв обе формулы, запишем

где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование осуществляется только по х. Повторив эти рассуждения для осей у и z, найдем вектор Е:

  • где i, j, k — единичные векторы координатных осей х, у, z.
  • Из определения градиента следует, что
  • или (2)

т. е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус говорит о том, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону уменьшения потенциала.

Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Остроградского-Гауса. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля. Теорема Ирншоу.

  1. По определению потоком векторного поля через площадку называется величина
  2. К определению потока вектора .
  3. Если поле неоднородно или поверхность, через которую вычисляется поток, не является плоской , то определение потока нужно применить к бесконечно малому элементу поверхности, а именно записать:

Тогда поток через всю поверхность S будет:

Рис.2.2. где .

Заметим, что поток – величина алгебраическая. Знак потока зависит от выбора направления нормали к элементарным площадкам, на которые разбивается поверхность S при вычислении ФЕ. Изменение направления нормали на противоположное изменит знак En, а значит и знак потока ФЕ.

В случае замкнутых поверхностей принято считать знак потока положительным, если силовые линии поля выходят из охватываемой области наружу. Численно поток равен количеству силовых линий, пресекающих данную поверхность.

Размерность потока в СИ: [ФЕ] = В·м (отметим, что она совпадает с размерностью величины q/εо).

Окружим точечный заряд q замкнутой сферической поверхностью радиусаr и вычислим поток электрического поля точечного заряда через эту поверхность (рис.2.3).

  • По определению имеем: ,
  • где — напряженность электрического поля в направлении внешней нормали, ; — элемент поверхности, , — элемент телесного угла.
  • К доказательству теоремы Гаусса.
  • Вычисляем:

Мы видим, что полученный результат не зависит от формы и размеров выбранной поверхности. Это очевидно, поскольку поток численно равен количеству силовых линий, пересекающих данную поверхность, и в случае выбора замкнутой поверхности любой другой формы он не изменится, так как силовые линии нигде не прерываются.

  1. Если внутри замкнутой поверхности имеется несколько зарядов, то поток их результирующего поля, согласно принципу суперпозиции, будет равен:
  2. В частности, если система зарядов находится вне выбранной поверхности или алгебраическая сумма всех зарядов, заключенных под поверхностью, равна нулю, то поток .
  3. Доказанная выше теорема, носит название теоремы Гаусса (Полная ее формулировка звучит так: поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности (деленной на ):
  4. Отметим, что теорема Гаусса является прямым следствием закона Кулона и является одной из основных теорем электростатики.

В случае, если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль какой-либо траектории (рис. 1) двигается другой точечный заряд Q0, то сила, которая приложена к заряду, совершает некоторую работу. Работа силы F на элементарном перемещении dl равна

  • Так как dl/cosα=dr, то
  • Работа при перемещении заряда Q0 из точки 1 в точку 2
  • (1)
  • от траектории перемещения не зависит, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Значит, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы — консервативными

Из формулы (1) видно, что работа, которая совершается при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по произвольному замкнутому пути L, равна нулю, т.е.

  1. (2)
  2. Если в качестве заряда, которого перемещают в электростатическом поле, взять единичный точечный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на пути dl равна Еdl = Eldl, где El = Ecosα — проекция вектора Е на направление элементарного перемещения. Тогда формулу (2) можно представить в виде
  3. (3)

Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности. Значит, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

Силовое поле, которое обладает свойством (3), называетсяпотенциальным.

Из равенства нулю циркуляции вектора Е следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они обязательно начинаются и кончаются на зарядах (на положительных или отрицательных) или же идут в бесконечность.

Формула (3) верна только для электростатического поля. В дальнейшем будет показано, что с случае поля движущихся зарядов условие (3) не верно (для него циркуляция вектора напряженности отлична от нуля).

Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

Источник: https://megalektsii.ru/s27411t9.html

Работа сил электрического поля. Циркуляция вектора напряженности электрического поля. Рассмотрим электростатическое поле, создаваемое неподвижным точечным. — презентация

1 Работа сил электрического поля. Циркуляция вектора напряженности электрического поля. Рассмотрим электростатическое поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом Q. В любой точке этого поля на точечный заряд Qo действует кулоновская сила. Тогда работа, совершаемая этой силой над зарядом Qo на элементарном перемещении dl, или: da = = Fdlcosα = Так как dlcosα = dr, то da =

2 Работа при перемещении заряда Qo вдоль произвольной траектории из точки 1 в точку 2 Работа, как следует из формулы, не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек.

Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы — консервативными Из выражения следует также, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т. е.

3 Если в электростатическом поле заряда Q переносить единичный точечный положительный заряд, то работа сил поля на элементарном перемещении равна, где E l = Ecosα — проекция вектора Е на направление элементарного перемещения. Тогда:

4 Интеграл называют циркуляцией вектора напряженности, а выражение — теоремой о циркуляции вектора напряженности электростатического поля. Теорема о циркуляции электростатического поля

5 Следствия теоремы 1. Из теоремы следует, что циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Силовое поле Е называют потенциальным, если циркуляция вектора Е по любому замкнутому контуру равна нулю. 2.

Теорема справедлива только для электростатического поля. 3. Линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются и кончаются на зарядах (соответственно на положительных или отрицательных) или же уходят в бесконечность.

Предположим, что линия напряженности замкнута. Если выбрать ее в качестве контура интегрирования L, то при обходе этого контура в положительном направлении линии напряженности, подынтегральное выражение в интеграле и сам интеграл положительны.

Это, однако, противоречит теореме, что и доказывает, что линии напряженности вектора Е замкнутыми быть не могут.

Читайте также:  Внимание и установка - справочник студента

6 Потенциал электростатического поля разность потенциалов Работу сил электростатического поля можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд Qo в начальной и конечной точках поля, создаваемого зарядом Q: Следовательно: потенциальная энергия заряда Qo в поле заряда Q равна Потенциальная энергия W определяется с точностью до постоянной С. Значение постоянной обычно выбирается так, чтобы при удалении заряда на бесконечность (r ) потенциальная энергия обращалась в нуль (W = 0), тогда С = 0 и потенциальная энергия заряда Qo, находящегося в поле заряда Q на расстоянии r от него, равна

7 Для одноименных зарядов Q 0 Q > 0 и потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна, для разноименных зарядов Q 0 Q < 0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна. Если поле создается системой п точечных зарядов Q 1, Q 2...

, Q n, то работа электростатических сил, совершаемая над зарядом Q 0, равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности. Поэтому потенциальная энергия W заряда Q 0, находящегося в этом поле, равна сумме потенциальных энергий Wi.

каждого из зарядов: Введем общую энергетическую характеристику точки поля, в которой находится пробный заряд Q 0

8 Потенциал Потенциалом в какой-либо точке электростатического поля называется физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку.

Если поле создается системой п точечных зарядов, то потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей этих зарядов, создаваемых в этой точке каждым зарядом в отдельности: Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом Q,

9 Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда Qo из точки 1 в точку 2, может быть записана в виде Таким образом, работа, совершаемая силами поля над зарядом Qo, равна произведению величины этого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках (на убыль потенциала).

Из формулы следует, что разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определяется работой, совершаемой силами поля, при перемещении единичного положитель­ного заряда из точки 1 в точку 2. Если заряд Qo перемешать из произвольной точки 1 за пределы поля, т. е.

на бесконечность (где, по условию, потенциал равен нулю), то работа сил электростатического поля, и следовательно

10 Потенциал — скалярная физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля на бесконечность.

Эта работа численно равна работе, совершаемой внешними силами (против сил электростатического поля) по перемещению единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку поля. Размерность потенциала вольт (В).

1В — потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1Кл обладает потенциальной энергией 1Дж (1В = 1Дж/Кл). Учитывая размерность вольта, единицу напряженности электростатического поля можно выразить как В/м:

11 Связь между напряженностью и потенциалом эквипотенциальные поверхности Рассмотрим, как связаны между собой напряженность электростатического поля Е (силовая векторная характеристика) и потенциал (энергетическая скалярная характеристика). Консервативная сила и потенциальная энергия связаны между собой соотношением: Для заряда, находящегося в потенциальном поле, а так как электростатическое поле потенциально, получим, F = Q 0 E и W = Q 0.

  • 12 устанавливающую связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля. Знак «минус» указывает на то, что вектор напряженности Подставив эти выражения в и учитывая, что множитель Q 0 не зависит от координат, значит можно на него сократить, получим формулу поля направлен в сторону убывания потенциала
  • 13 Согласно определению градиента, в каждой точке поля проекции вектора Е на оси декартовой системы координат Проекция вектора Е на произвольное направление l равна быстроте убывания потенциала на единицу длины в этом направлении.
  • 14 Работа сил поля при перемещении заряда Q 0 из точки 1 в точку 2 может быть записана также в виде Из формул и следует, что разность потенциалов где интегрирование можно производить вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки, поскольку работа сил электростатического поля не зависит от траектории перемещения.

15 Формула позволяет решить обратную задачу по заданным значениям Е найти разность потенциалов между произвольными точками поля. Поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называют эквипотенциальной поверхностью. Линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям.

Все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю. Иными словами электростатические силы, действующие на заряд, всегда направлены по нормалям к эквипотенциальным поверхностям.

Следовательно, вектор Е всегда нормален к эквипотенциальным поверхностям, а поэтому линии вектора Е ортогональны этим поверхностям. позволяет по известным значениям определить Е,

16 Вид линий напряженности (штриховые линии) и сечений эквипотенциальных поверхностей (сплошные линии) полей положительного точечного заряда (слева), разноименных точечных зарядов (справа) и одноименных положительных точечных зарядов (внизу).

Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы.

Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, напряженность поля больше.

17 ТЕОРЕМА ГАУССА ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ВАКУУМЕ Поток вектора напряженности электростатического поля

18 С помощью линий напряженности электростатического поля можно охарактеризовать не только направление вектора Е, но и его модуль. Для этого линии напряженности проводят с определенной густотой: число линий напряженности, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную лини­ям напряженности, должно быть равно модулю вектора Е.

19 Рассмотрим элементарную площадку dS, которую пронизывают линии напряженности однородного электростатического поля напряженностью E. Если напряженность Е перпендикулярна площадке, то число линий, пронизывающих площадку dS, равно EdS.

20 Если площадка составляет с Е некоторый угол α, то число линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль п к которой образует угол α с вектором Е, равно ЕdScosα = E n dS, где Е п проекция вектора Е на нормаль п к площадке dS.

Величину dФ E = E n dS = EdS называют потоком вектора напряженности сквозь площадку dS. Здесь dS = dSn — вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали п к площадке. dS не является истинным вектором — это псевдовектор.

Выбор направления вектора п (а следовательно, и dS) условен, так как его можно направить в любую сторону.

21 Единица потока вектора напряженности электростатического поля в СИ — вольт метр (Вм). 1 вольтметр равен потоку напряженности сквозь поверхность площадью 1 м 2, перпендикулярную линиям напряженности поля напряженностью 1 В/м.

22 .

Для произвольной замкнутой поверхности S (во многих случаях в дальнейшем будут рассматриваться именно такие поверхности) поток вектора Е сквозь эту поверхность Часто в учебниках встречается запись тем не мене подразумевается, что интеграл двойной, так как берется по переменной второго порядка, по площади. Кольцо на знаке интеграла означает, что интеграл берется по замкнутой поверхности S.

23 Поток вектора Е — алгебраическая величина: зависит не только от конфигурации поля Е, но и от выбора направления п. Для замкнутых поверхностей за положительное направление нормали принимают внешнюю нормаль, т. е. нормаль, на­ правленную наружу области, охватываемой поверхностью.

Источник: http://www.myshared.ru/slide/1202517/

Ссылка на основную публикацию