Система со многими степенями свободы — справочник студента

Теория свободных колебаний систем с несколькими (s) степенями свободы строится аналогично тому, как было рассмотрено в одномерных колебаниях.

Пусть потенциальная энергия системы Uкак функция обобщенных координат qi ( i = 1, 2, .,., s )имеет минимум при qi = qi 0. Вводя малые смещения

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

xi =qi – qi 0                         (3,1)

и разлагая по ним Uс точностью до членов второго порядка, получим потенциальную энергию в виде положительно определенной квадратичной формы

Система со многими степенями свободы - Справочник студента

где мы снова отсчитываем потенциальную энергию от ее минимального значения. Поскольку коэффициенты kikи kkiвходят в (3, 2) умноженными на одну и ту же величину xi xk,то ясно, что их можно всегда считать симметричными по своим индексам

Система со многими степенями свободы - Справочник студента

В кинетической же энергии, которая имеет в общем случае вид

Система со многими степенями свободы - Справочник студента

полагаем в коэффициентах qi = qi 0 и, обозначая постоянные aik ( qo )посредством mik ,получаем ее в виде положительно определенной квадратичной формы

Система со многими степенями свободы - Справочник студента

  • Коэффициенты mlk тоже можно всегда считать симметричными по индексам
  • mik = mki
  • Таким образом, лагранжева функция системы, совершающей свободные малые колебания:

Система со многими степенями свободы - Справочник студента

Составим теперь уравнения движения. Для определения входящих в них производных напишем полный дифференциал функции Лагранжа

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Ситуационная модель принятия решений врума — йеттона — яго - справочник студента

Оценим за полчаса!

Система со многими степенями свободы - Справочник студента

Поскольку величина суммы не зависит, разумеется, от обозначения индексов суммирования, меняем в первом и третьем членах в скобках i на k , a k на i;учитывая при этом симметричность коэффициентов mik и kik, получим:

Система со многими степенями свободы - Справочник студента

Отсюда видно, что

Система со многими степенями свободы - Справочник студента

Поэтому уравнения Лагранжа

Система со многими степенями свободы - Справочник студента

  1. Они представляют собой систему s(i = l, 2, … , s)линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
  2. По общим правилам решения таких уравнений ищем s неизвестных функций xk(t)в виде
  3. Система со многими степенями свободы - Справочник студента                     (3,6)
  4. где Аk — некоторые, пока неопределенные, постоянные. Подставляя (3,6) в систему (3,5), получаем по сокращении на  систему линейных однородных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять постоянные Аk:
  • (3,7)
  • Для того чтобы эта система имела отличные от нуля решения, должен обращаться в нуль ее определитель
  • (3,8)
  • Уравнение (3,8)—так называемое характеристическоеуравнение — представляет собой уравнение степени s относительно ω2. Оно имеет в общем случае s различных вещественных положительных корней ω²a,

а=1, 2, … , s (в частных случаях некоторые из этих корней могут совпадать). Определенные таким образом величины ωа называются собственными частотамисистемы.

Вещественность и положительность корней уравнения (3,8) заранее очевидны уже из физических соображений.

Действительно, наличие у ω мнимой части означало бы наличие во временной зависимости координат х k (3,6) (а с ними и скоростей xk)экспоненциально убывающего или экспоненциально возрастающего множителя.

Но наличие такого множителя в данном случае недопустимо, так как оно привело бы к изменению со временем полной энергии E=U+T системы в противоречии с законом ее сохранения.

  1. В том же самом можно убедиться и чисто математическим путем. Умножив уравнение (3,7) на  и просуммировав затем по i,получим:
  2. откуда
  3. Квадратичные формы в числителе и знаменателе этого выражения вещественны в силу вещественности и симметричности коэффициентов kik и mik ,действительно,
  4. Они также существенно положительны, а потому положительно и ω2.

После того как частоты ωа найдены, подставляя каждое из них в уравнения (3,7), можно найти соответствующие значения коэффициентов А k .

Если все корни ωа характеристического уравнения различны, то, как известно, коэффициенты Ak пропорциональны минорам определителя (3,8),в котором ω заменена соответствующим значением ωа, обозначим эти миноры через ∆ka. Частное решение системы дифференциальных уравнений (3,5) имеет, следовательно, вид

  • где Са— произвольная (комплексная) постоянная.
  • Общее же решение дается суммой всех s частных решений. Переходя к вещественной части, напишем его в виде
  •             (3,9)
  • Где мы ввели обозначение
  •                                    (3,10)
  • Таким образом, изменение каждой из координат системы со временем представляет собой наложение s простых периодических колебаний
  • Θ1, Θ2, … , Θs с произвольными амплитудами и фазами, но имеющих вполне определенные частоты.

Естественно возникает вопрос, нельзя ли выбрать обобщенные координаты таким образом, чтобы каждая из них совершала только одно простое колебание? Самая форма общего интеграла (3,9) указывает путь к решению этой задачи.

В самом деле, рассматривая s соотношений (3,9) как систему уравнений с s неизвестными величинами Θа, мы можем, разрешив эту систему, выразить величины Θ1, Θ2, …, Θs через координаты x1, x2, …, xs .

Следовательно, величины Θа можно рассматривать как новые обобщенные координаты.

Эти координаты называют нормальными(или главными), а совершаемые ими простые периодические колебания — нормальными колебаниями системы.

Нормальные координаты Θа удовлетворяют, как это явствует из их определения, уравнениям

                       (3,11)

Это значит, что в нормальных координатах уравнения движения распадаются на s независимых друг от друга уравнений.

Ускорение каждой нормальной координаты зависит только от значения этой же координаты, и для полного определения ее временной зависимости надо знать начальные значения только ее же самой и соответствующей ей скорости. Другими словами, нормальные колебания системы полностью независимы.

Читайте также:  Контроль как компонент диагностики обученности - справочник студента

Из сказанного очевидно, что функция Лагранжа, выраженная через нормальные координаты, распадается на сумму выражений, каждое из которых соответствует одномерному колебанию с одной из частот ωа, т. е. имеет вид

            (3,12)

где та — положительные постоянные. С математической точки зрения это означает, что преобразованием (3,9) обе квадратичные формы — кинетическая энергия (3,3) и потенциальная (3,2) — одновременно приводятся к диагональному виду.

  1. Обычно нормальные координаты выбирают таким образом, чтобы коэффициенты при квадратах скоростей в функции Лагранжа были равны 1/2. Для этого достаточно определить нормальные координаты (обозначим их теперь Qa ) равенствами
  2.                   (3.13)
  3. Тогда

Все изложенное мало меняется в случае, когда среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни. Общий вид (3,9), (3,10) интеграла уравнений движений остается таким же (с тем же числом s членов) с той лишь разницей, что соответствующие кратным частотам коэффициенты ∆k а уже не являются минорами определителя, которые, как известно, обращаются в этом случае в нуль.

Каждой кратной (или, как говорят, вырожденной) частоте отвечает столько различных нормальных координат, какова степень кратности, но выбор этих нормальных координат не однозначен.

Поскольку в кинетическую и потенциальную энергии нормальные координаты (с одинаковым ωа)входят в виде одинаково преобразующихся сумм  можно подвергнуть любому линейному преобразованию, оставляющему инвариантной сумму квадратов.

  • Весьма просто нахождение нормальных координат для трехмерных колебаний одной материальной точки, находящейся в постоянном внешнем поле. Помещая начало декартовой системы координат в точку минимума потенциальной энергии U ( x , y , z ), мы получим последнюю в виде квадратичной формы переменных х, у, z , а кинетическая энергия
  • (т — масса частиц) не зависит от выбора направления координатных осей.
  • Поэтому соответствующим поворотом осей надо только привести к диагональному виду потенциальную энергию. Тогда
  •  (3,14)
  • и колебания вдоль осей х, у, z являются главными с частотами
  • В частном случае центрально-симметричного поля (k 1= k 2= k 3= k , U = kr ²/2) эти три частоты совпадают.
  • Использование нормальных координат дает возможность привести задачу о вынужденных колебаниях системы с несколькими степенями свободы к задачам об одномерных вынужденных колебаниях. Функция Лагранжа системы с учетом действующих на нее переменных внешних сил имеет вид
  •  (3,15)
  • где L0 — лагранжева функция свободных колебаний. Вводя вместо координат хk нормальные координаты, получим:
  •  (3.16)
  • где введено обозначение
  • Соответственно уравнения движения
  • будут содержать лишь по одной неизвестной функции Qa(t).
  • Затухающие колебания

До сих пор мы всегда подразумевали, что движение тел происходит в пустоте или что влиянием среды на движение можно пренебречь. В действительности при движении тела в среде последняя оказывает сопротивление, стремящееся замедлить движение. Энергия движущегося тела при этом в конце концов переходит в тепло или, как говорят, диссипируется.

Процесс движения в этих условиях уже не является чисто механическим процессом, а его рассмотрение требует учета движения самой среды и внутреннего теплового состояния как среды, так и тела.

В частности, уже нельзя утверждать в общем случае, что ускорение движущегося тела является функцией лишь от его координат и скорости в данный момент времени, т. е. не существует уравнений движения в том смысле, какой они имеют в механике.

Таким образом, задача о движении тела в среде уже не является задачей механики.

Существует, однако, определенная категория явлений, когда движение в среде может быть приближенно описано с помощью механических уравнений движения путем введения в них некоторых дополнительных членов.

Сюда относятся колебания с частотами, малыми по сравнению с частотами, характерными для внутренних диссипативных процессов в среде.

При выполнении этого условия можно считать, что на тело действует сила трения, зависящая (для заданной однородной среды) только от его скорости.

Если к тому же эта скорость достаточно мала, то можно разложить силу трения по ее степеням.

Нулевой член разложения равен нулю, поскольку на неподвижное тело не действует никакой силы трения, и первый неисчезающий член пропорционален скорости.

Таким образом, обобщенную силу трения fтр, действующую на систему, совершающую одномерные малые колебания с обобщенной координатой х, можно написать в виде

  1. где а — положительный коэффициент, а знак минус показывает, что сила действует в сторону, противоположную скорости. Добавляя эту силу в правую сторону уравнения движения, получим :
  2. (4.1)
  3. Разделим его на m и введем обозначения
  4. (4.2)

ω0 есть частота свободных колебаний системы в отсутствие трения. Величина λназывается коэффициентом затухания. Таким образом, имеем уравнение

  • (4.3)
  • Следуя общим правилам решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами, полагаем х — ert и находим характеристическое уравнение
  • Общее решение уравнения (4.3) есть
  • Здесь следует различать два случая.
  • Если λ < ω0, то мы имеем два комплексно сопряженных значения r. Общее решение уравнения движения может быть представлено в этом случае, как
  • где А — произвольная комплексная постоянная. Иначе можно написать:
  •  (4.4)

где а и α— вещественные постоянные. Выражаемое этими формулами движение представляет собой так называемые затухающие колебания. Его можно рассматривать как гармонические колебания с экспоненциально убывающей амплитудой. Скорость убывания амплитуды определяется показателем λ, а “частота’’ ω колебаний меньше частоты свободных колебаний в отсутствие трения; при λ

Источник: https://megalektsii.ru/s64576t11.html

Механическая колебательная система и методы ее анализа. Кинематика колебаний и возбуждающие нагрузки. Динамические характеристики системы — импеданс и адмитанс, страница 15

Используя соотношения (3.56)
и выражения (3.54) видим, что при главных колебаниях имеют место соотношения

Система со многими степенями свободы - Справочник студента

  • Координаты ξ1
    и ξ2 принятые в качестве обобщенных координат, называются
    главными, или нормальными координатами. Для них система дифференциальных
    уравнений распадается на два независимых уравнения
  • Система со многими степенями свободы - Справочник студента,   Система со многими степенями свободы - Справочник студента                                                                                                                   (3.58)
  • Формы колебаний,
    соответствующие главным координатам, обладают свойством, называемым
    ортогональностью. Составим выражение

Система со многими степенями свободы - Справочник студента

где     (х1, θ1)
и (x2, θ2) — значения  координат x, θ, соответствующие главным колебаниям.

На основании (3.57) можем
написать

Система со многими степенями свободы - Справочник студента

Легко видеть, что выражение в
квадратных скобках равно нулю, так как из свойства квадратного уравнения (3.51)

Система со многими степенями свободы - Справочник студента
Система со многими степенями свободы - Справочник студента

и, следовательно,

Система со многими степенями свободы - Справочник студента

что выражает свойство ортогональности форм
главных колебаний.

3.8.  Связанные
собственные  и вынужденные колебания

  1. систем со многими 
    степенями
    свободы.
  2. Динамические
    характеристики простейших
  3. механической системы и ее элементов

В подразделе 3.7 были описаны
некоторые общие свойства, характеризующие связанность колебаний на примере
системы, с двумя степенями свободы.

При определении частот и форм связанных
собственных колебаний систем с большим числом степеней свободы общие
классические методы, основанные на составлении частотных уравнений, становятся
громоздкими и не дают возможности легко получить практические результаты.

Для анализа таких систем в
настоящее время используются специальные, достаточно эффективные методы. К
таким методам относится метод, основанный на применении импеданса и адмитанса.

При применении этих методов сложная колебательная система расчленяется на ряд
более простых или простейших, для каждой из которых определяется динамическая
характеристика — импеданс или адмитанс, а затем с помощью этих характеристик
производится наращивание-присоединение одной системы к другой до тех пор, пока
не будет составлена вся система полностью.

Рассмотрим динамические
характеристики механической системы, связанные с действием на нее обобщенного
гармонического возбуждения, которое характеризуется зависимостями силы и
скорости от времени

P = P0 ejωt,   V = V0ejωt
                                                                                                                   (3.60)

Представим оба вида
возбуждения, которые можно характеризовать как силовое и кинематическое
возбуждение. В первом из них задана сила с фиксированной амплитудой, во втором —
смещение с постоянной амплитудой скорости.

Рассмотрим системы, состоящие
из отдельных элементов: рис. 3.39, а — масса т, рис. 3.39, б
— элемент с трением, коэффициент rкоторого
пропорционален скорости, рис. 3.

39, в — упругий элемент с коэффициентомжесткости с.

При возбуждении гармонических колебаний этих элементов
имеются для них соответственно динамические характеристики —импеданси
адмитанс — отношение силы к скорости и наоборот:

Система со многими степенями свободы - Справочник студента

 

Рис. 3.39. Масса, элемент с трением и
упругость

Система со многими степенями свободы - Справочник студента

Простые зависимости (3.30,
3.31), которые сводятся к прямой и обратной пропорциональности и к константе,
легко представить в логарифмическом масштабе в виде прямых линий (рис. 3.40, а,
б, в).

  • Обобщенное кинематическое
    возбуждение — это такое возбуждение
  • пары точек системы, при котором этим
    точкам задано движение с относительной скоростью, равной Vejωt.

Рис. 3.40.
Адмитансы массы, демпфера и пружин

Обобщенным силовым
гармоническим — возбуждением системы называется возбуждение какой-либо пары
точек системы двумя равными и противоположно направленными силами Pejωt и —Pejωt.

Источник: https://vunivere.ru/work31909/page15

ПОИСК

уравнения Лагранжа и пользуясь свойством симметрии в расположении рессор относительно продольной оси, получают следующие линейные диференциальные уравнения свободных колебаний надрессорного строения паровоза  [c.

389]

Как было показано в предыдущем параграфе, динамическая работа фундамента турбогенератора описывается системами со многими степенями свободы, требующими вычисления высших частот колебаний. В ряде случаев необходимо выяснить формы колебаний, что можно сделать, зная лишь точные значения частот.

Поэтому наиболее целесообразно решать эту задачу при помощи разложения в ряд векового уравнения движения материальных точек, позволяющего найти весь спектр частот собственных колебаний. Ранее практиковавшиеся способы расчета Л. 20, 21 и 29] не давали обобщенного решения, пригодного для определения колебаний в любом направлении. Ниже дан обобщенный способ решения.

Следует заметить также, что применение уточненных схем и точной методики расчета позволяет отказаться от так называемых условных значений частот собственных колебаний, благодаря чему отпадает условность расчетной методики.
[c.109]

Расчет по обеим указанным методикам может быть применен для фундаментов низкооборотных машин, в которых главная низшая частота собственных колебаний располагается близко к резонансной зоне. Для современных высокооборотных машин эти методики по той же причине дают удовлетворительные результаты для вертикальных колебаний. При расчете горизонтальных колебаний эти методики непригодны. Поэтому в [Л. 24— 29] был предложен более точный способ расчета. Здесь в методику расчета введены системы со многими степенями свободы, что позволило определить спектр частот собственных колебаний, из которого выбиралось значение частоты, наиболее близко расположенной к резонансной зоне. При этом из осторожности и опасения не-130
[c.130]

Как видно из указанного, принятый в [Л. 24 и 29] способ расчета хотя и является более точным, чем способ, изложенный в [Л. 20 и 21], благодаря применению новых, более правильных расчетных схем, однако его применение связано с введением целого ряда корректирующих коэффициентов и ограничений.

Как показали дальнейшие исследования, подсчитанные по изложенной выше методике частоты собственных колебаний и принятые расчетные схемы хорошо согласуются с экспериментальными данными. Это дало нам основание пересмотреть и уточнить методику расчета, изложенную в [Л.

29], освободив ее от введения корректирующих коэффициентов. В новой методике фундамент рассматривается как система со многими степенями свободы, подверженная действию возмущающих сил, изменяющихся по гармоническому закону с частотой, равной рабочим числам оборотов турбогенератора.

Величина этих возмущающих сил была определена в 3-1.
[c.131]

Учитывая, что при высокооборотных машинах наиболее близко расположенными к резонансной являются высшие частоты, резонансная зона которых очень узка, можно установить граничные значения резонансной зоны в пределах 10%- Вне этой зоны учитывать затухание нецелесообразно, так как, с одной стороны, оно оказывает незначительное влияние на величину амплитуды вынужденных колебаний, а, с другой стороны, в значительной степени усложняет расчет. Это в особенности относится к системе со многими степенями свободы.
[c.132]

Читайте также:  Внутренняя и внешняя среда - справочник студента

Система со многими степенями свободы и проблема собственных значений
[c.45]

Уравнения движения системы со многими степенями свободы, записанные в матричной форме уравнений равновесия, имеют вид  [c.45]

Для системы со многими степенями свободы ее отклик может быть разложен по собственным формам колебаний. В этом случае каждая форма будет обладать своей добротностью Q., а общая добротность системы определяется из выражения  [c.303]

Прежде чем рассматривать колебательные системы со многими степенями свободы, напомним некоторые общие положения теоретической механики.
[c.29]

Переходя к колебаниям системы со многими степенями свободы вблизи положения равновесия, начнем, как и прежде, с рассмотрения нескольких частных случаев.
[c.54]

Общие уравнения системы со многими степенями свободы
[c.61]

Периоды свободных колебаний системы со многими степенями свободы. Свойство стационарности
[c.64]

Вынужденные колебания системы со многими степенями свободы. Принцип взаимности
[c.69]

Система со многими степенями свободы, колебания вынужденные 69
[c.372]

Булгаков Б. В., О применении метода Ван-дер-Поля к псевдо-лииейным системам со многими степенями свободы, ПММ 6, вып. 6 (1942).
[c.379]

Эта аналогия определяет специфическое название основных коэффициентов этого уравнения. Именно а называют квазиинерцион-ным коэффициентом, ас — квазиупругим коэффициентом. Эти названия сохраняются и при рассмотрении малых колебаний системы со многими степенями свободы.
[c.209]

Рождение устойчивого предельного цикла на торе означает синхронизацию колебаний ) — исчезновение квазииериодического и установление нового периодического режима.

Это явление, которое в системе со многими степенями свободы может произойти многими способами, препятствует возникновению режима, представляющего собой суперпозицию движений с большим числом несоизмеримых частот.

В этом смысле можно сказать, что вероятность реального осуществления именно сценария Ландау — Хопфа очень мала (этим не исключается, конечно, в частных случаях возможность возникновения нескольких несоизмеримых частот прежде, чем произойдет их синхронизация).
[c.162]

Системы со многими степенями свободы. Для того чтобы понять, какие качественные изменения вносит в движение упругой системы увеличение числа свободных координат, рассмотрим систему, изображенную на рис. 8.22, а.

Две равные массы nii и (rrii = m. =- т) скользят без трения по направляющей. Они связаны со стойкой и между собой пружинами, т. е. упругими связями. Жесткости крайних пружин одинаковы и равны k ki — k), жесткость средней обозначим через k < .

[c.229]

В механике и, в частности в механике твердых деформируемых тел весьма важную роль играют понятия обобщенная координата и обобщенная сила. Эти понятия подробно обсуждаются в главах XV и XVII, посвященных механическим системам со многими степенями свободы. В настоящей главе лишь коснемся этих понятий.
[c.146]

Как указывалось выше, двигатель в диапазоне низких частот можно представить дискретной упругомассовой системой со многими степенями свободы, состоящей из сосредоточенных масс,
[c.207]

В сложных колебательных системах со многими степенями свободы, какими являются конструкции машин с присоединенными опорными и неопорными связями, в диапазоне частот действия возмущающих сил всегда имеется большое количество частот собственных колебаний.

Задачей является исключение возможности совпадения частот вынужденных и собственных колебаний, которые могут проявиться при действии на конструкции данной системы сил. Только в такой постановке могут быть получены определенные положительные результаты.

Поэтому при исследовании резонансных характеристик конструкций машин необходимо иметь четкое представление о системе действующих в машине вибрационных сил и онределять реакцию конструкций именно по отношению к такой (или близкой к ней) системе сил. 424
[c.424]

Выражения (5.89) совпадают с аналогичными выражениями, полученными в работах [4, 12, 98] методом разложения в ряд по малому параметру решения исходного уравнения и преобразованием Лапласа.

Преимуществом изложенной методики является то обстоятельство, что она без принципиальных трудностей переносится на системы со многими степенями свободы, нелинейные системы и позволяет определить требуемые вероятностные характеристики обобщенных координат.

При этом охватывается случай исследования устойчивости динамических систем, содержащих перекрестные нелинейные связи. Отметим, что при Sj ( 2) = onst результаты совпадают с данными работы [108]. Исследование частных случаев (5.73) в детерминированной постановке задачи для комбинационного резонанса описано во многих работах [10, 19, 95 и др. ].

Приведенные выше результаты показывают, что, как и в детерминированном случае, спектр частот, при которых возникают параметрические колебания, состоит из ряда малых интервалов. Длины этих интервалов зависят от амплитуды возмущений и стягиваются к нулю, когда амплитуда стремится к нулю.

При этом возрастание амплитуды колебаний системы происходит по показательному закону. Выражение (5.89) в этом случае определяет степень опасности комбинационного резонанса, когда спектральные плотности параметрических возмущений соответствуют, например, сейсмическим воздействиям в виде многоэкстремальных функций несущих частот, что особенно часто встречается на практике.
[c.219]

Ротор рассматривается как дискретная гироскопическая система со многими степенями свободы. Получен тип матрицы, отвечающей особенностям схемы, связанным с присутствием в ней продольных сил. Приводятся решения задачи в матричной форме для собственных и вын ткленных колебаний от неуравновешенности зонтичного ротора сложной структуры в поле сил тяжести.
[c.141]

Исполнительные механизмы роботов представляют собой проотран- ственные системы со многими степенями свободы, В Овдаи с этим исследование динамики роботов и манипуляторов представляет значительные трудности.
[c.11]

Графический способ определения частот собственных колебаний представляет 0П ре1делеиный интерес.

Однако в том виде, как он дан у Рауша, этот способ, с нашей точки зрения, недостаточно эффективен, так как частоты собственных колебаний системы с двумя степенями свободы значительно проще и точнее можно определить (путем раскрытая определителя векового уравнения (см.

3-3). Способ, предложенный Раушем, может стать эффективным только в том случае, если его распространить на системы со многими степенями свободы.
[c.202]

То, по какой конкретно из собственных форм происходит потеря устойчивости, зависит от конкретных сложившихся условий динамического взаимодействия рабочего колеса с потоком.

Эти условия зависят как от параметров потока и условий обтекания им ра-5бочих лопаток, так и от динамических свойств собственно рабочего колеса, проявляющихся через его спектр собственных движений и диссипативные особенности.

С повышением плотности спектра соб- ственных частот при наличии газодинамической связанности между лопатками вероятность возникновения автоколебаний возрастает, поскольку в зонах сгущения собственных частот рабочее колесо способно проявлять себя как система со многими степенями свободы, и этим облегчаются условия синтеза формы потери устойчивости в виде благоприятной суперпозиции множества независимых собственных форм, при которой системе потерять устойчивость наиболее удобно . В подобной ситуации потеря устойчивости сопровождается самосинхронизацией колебаний по различным собственным формам при амплитудно-фазовых их соотношениях, благоприятствующих потере устойчивости. Частота синхронных колебаний вблизи границы устойчивости близка к некоторой средней частоте сгущения собственных частот.
[c.141]

Динамическое состояние зубчатой передачи характеризуется в общем случае поведением ее как колебательной системы со многими степенями свободы.

Зубчатое колесо, сидящее на валу, имеет три степени свободы и, следовательно, возможны следующие колебания крутильные колебания колеса вокруг оси изгибные колебания (смещение) зубчатого колеса в плоскости зацепления, вызывающие деформации валов смещение зубчатого колеса в направлении, перпендикулярном к плоскости зацепления. В расчетах учитывают в основном крутильные колебания. С учетом степеней свободы связано число учитываемых при расчете колебательной системы сосредоточенных масс. Так как зубчатая передача обладает двумя или больпшм числом степеней свободы, то упрощенный расчет, использующий одномассовую заменяющую систему, только в некоторых случаях, может дать приемлемое решение.
[c.293]

Создать вибрационные машины как одномассные часто не удается по многим причинам (необходимо решить задачу виброизоляцин и др.). Однако при синтезе системы со многими степенями свободы использует те же идеи, что в случае синтеза одномассной системы [41].

В общем случае вибромашина может иметь несколько рабочих органов с разными технологическими задачами (в качестве второго рабочего органа можно рассматривать, например, и рукоятку вибромолотка, для которого идеальный закон движения х 0).
[c.

131]

Измерение логарифмических декрементов колебаний. Декремент колебаний определяют различными способами. Требования к точности результата здесь в несколько раз ниже, чем при определении а°.

Большей частью приведенные внше способы измерения декремента одностепенной системы по ширине резонансных кривых (или по частотному годографу) пригодны н в случае системы со многими степенями свободы. Логарифмический декремент определяется попутно соотношениями (22) в процессе измерения а° при добавлении квадратурной составляющей сил возбуждения.

На практике проверяют, изменяется ли декремент 6° с изменением перемещения 9о- Зависимость 6J (i o) может быть найдена при измерениях 6 , на разных уровнях или по переходному процессу, вызванному мгновенным выключением гармониче» ского возбуждения выделенного тона.

При отсутствии биении декремент определяют-как указано выше для системы с одной степенью свободы, с усреднением за несколько (пять — десять) колебаний. Биений не будет при отсутетвии связи исследуемого тона с другими через силы демпфирования. Как правило, это относится к двум — трем низшим по частоте формам.
[c.341]

Выявление резонирующих элементов конструкций механизмов и блочных агрегатов при различном характере действующих сил.

В сложных колебательных системах со многими степенями свободы (например, в блочных агрегатах с присоединс ными опорными и неопорными связями) в диапазоне действия частот возбуждающи сил всегда имеется большое количество частот собственных колебаний, часто соь-падающих с частотами вынужденных колебаний, поэтому при определении резонансных характеристик механизмов и блочных агрегатов необходимо учитывать характер действующих в механизме сил.
[c.416]

Рассмотрим применение метода статистических испытаний при исследовании случайных колебаний многомассовой системы (рис. 3.9) при движении по дороге со случайными неровностями (проведено А. И. Котовым и Ю. Ю. Олешко). Одним из возможных путей снижения ускорений и ударов, действующих на транспортируемые грузы, является вторичная амортизация, т. е.

введение в систему груз — транспортное средство дополнительных упругих элементов и демпферов (амортизационных узлов). Основным внешним воздействием для наземных транспортных средств является кинематическое возмущение со стороны дороги, имеющее случайный характер (высота Н и длина волны дорожных неровностей X — случайные функции).

В случае неустановившегося движения для решения задачи о выборе параметров вторичной амортизации нельзя использовать спектральную теорию под-рессоривания, так как требуется определить вероятность пробоя системы амортизации, что можно сделать только, зная законы распределения перемещений.

Получить законы распределения выходных величин можно решением соответствующего данной многомерной задаче уравнения Колмогорова, что сделать для системы со многими степенями свободы очень сложно.

Кроме того, при решении уравнения Колмогорова получается многомерный закон распределения вектора состояния системы, который менее удобен при решении ряда задач (определение вероятности достижения заданной границы и т. д.), чем одномерные законы распределения компонент вектора состояния, получаемые методом статистических испытаний.
[c.101]

Мы можем изложить здесь общую теорию малых колебаний системы со многими степенями свободы лишь в общих чертах.

В случае одной степени свободы ( 7) оказалось возмон ным построить теорию, исходя из одного только уравнения энергии при наличии более чем одной зависимой переменной этого уравнения недостаточно и прпходптся снова обратиться к динамике.

Для простоты изложения предположим, что имеются только две Teneini свободы, однако изложение не будет содержать чего-либо, препятствующего непосредственному распространению его на общий случай.
[c.61]

Источник: https://mash-xxl.info/info/368401/

Ссылка на основную публикацию