Решение задач с помощью уравнений — справочник студента

Рано или поздно любому школьнику на уроках алгебры встречаются задачи, решаемые с помощью уравнения. Поначалу появление букв вместо привычных цифр и действия с ними ставят в тупик даже самых одарённых, но если разобраться, всё далеко не так сложно, как кажется на первый взгляд.

Алгоритм решения

Перед тем как перейти к конкретным примерам, необходимо понять алгоритм решения задач с помощью уравнений. В любом уравнении есть неизвестное, чаще всего обозначаемое буквой Х.

Также и в каждой задаче есть то, что необходимо найти, то же самое неизвестное. Именно его и нужно обозначать как Х.

А потом, следуя условию задачи, прибавлять, отнимать, умножать и делить – совершать любые необходимые действия.

После нахождения неизвестного обязательно выполнение проверки, чтобы быть уверенными, что задача решена правильно. Стоит заметить, что дети уже в начальной школе начинают решение задач с помощью уравнений. Примеры этому — те задачи, которые нужно решать отрезками, являющимися полнейшими аналогами буквенных неизвестных.

Основа основ — задача про корзины

Итак, попробуем же на практике применить решение задач с помощью уравнений, объяснение алгоритма которых было дано чуть выше.

Дана задача: Собрали некоторое количество корзин с яблоками. Сначала 3 корзины продали, потом дособирали ещё 8 корзин. В итоге получилось 12 корзин. Сколько корзин яблок собрали первоначально?

Начнём решение задачи с того, что обозначим неизвестное — то есть первоначальное количество корзин – буквой Х.

Теперь начинаем составлять уравнение: Х (первоначальное количество) – 3 (проданные корзины) + 8 (те, которые собрали позже) = 12 (итоговое число корзин), то есть Х — 3 + 8 = 12. Решив простое уравнение, получим, что Х = 7.

Обязательно выполняем проверку, то есть подставляем найденное число в равенство: 7 — 3 + 8 действительно равно 12, то есть задача решена верно.

Закрепление: концертные залы

Дана следующая задача: В двух концертных залах 450 мест. Известно, что в одном зале мест в 4 раза больше, чем в другом. Нужно узнать, сколько мест в каждом зале.

Для того чтобы решать подобные задачи по алгебре, снова нужно применить уравнение. Мы знаем, что сумма двух чисел, одно из которых в 4 раза больше другого, равна 450. Пусть число мест в меньшем зале, неизвестное, будет равно Х, тогда число мест в большем зале – 4 * Х = 4Х.

Следовательно, 450 = Х + 4Х = 5Х. А дальше нужно решить стандартное уравнение 450 = 5Х, где Х = 450 / 5 = 90, то есть в меньшем зале 90 мест, значит в большем – 90 * 4 = 360.

Чтобы убедиться, что задача решена правильно, можно проверить неравенство: 360 + 90 = 450, то есть ответ верный.

Классика: полки с книгами

Но задачи, решаемые с помощью уравнения, могут быть и посложнее. Например, есть три полки с книгами. На первой полке книг на 8 больше, чем на второй, а на третьей — в 3 раза больше, чем на второй, причём количество книг на первой и третьей полках равное. Сколько книг на каждой полке?

Понятно, что отталкиваться здесь нужно от второй полки, которая встречается в обоих условиях. Если мы обозначаем количество книг на ней за Х, то тогда на первой полке Х + 8 книг, а на третьей — Х * 3 книг, при этом Х + 8 = 3Х. Решив уравнение, получаем Х = 4. Выполняем проверку, подставляя неизвестное в равенство: 4 + 8 действительно равно 3 * 4, то есть задача решена правильно.

Практикуемся дальше: бобры

Как видите, решение задач с помощью уравнения гораздо легче, чем кажется на первый взгляд. Закрепим навыки работы с уравнениями ещё одной задачей. Первый бобр сгрыз за день какое-то количество деревьев. Второй бобр сгрыз в 6 раз больше. Третий бобр сгрыз в 2 раза больше деревьев, чем первый, но в 3 раза меньше, чем второй. Сколько деревьев сгрыз каждый бобр?

Задача не такая запутанная, какой кажется на первый взгляд. Для начала найдём неизвестное – в этой задаче это количество деревьев, сгрызенных первым бобром.

Следовательно, второй бобр уничтожил 6 * Х деревьев, а третий – 2 * Х, причём это число в 3 раза меньше 6 * Х. Составляем уравнение: 6Х = 3 * 2Х.

Решив его, получаем, что первый бобр погрыз всего одно дерево, тогда второй – 6, а третий – 2. Подставив числа в уравнение, понимаем, что задача решена верно.

Соотносим уравнения и условия

Если вам скажут: «К каждой задаче подберите соответствующее уравнение», — не пугайтесь – это целиком и полностью реально.

Даны следующие уравнения:

1. 6 + Х = 2Х;
2. 6 = 2Х;
3. 2 + Х = 6.

Условия задач следующие:

1. У мальчика было 6 яблок, а у девочки в два раза меньше, сколько было яблок у девочки?
2. На столе лежат ручки и карандаши, известно, что ручек на столе 6, а карандашей на 2 меньше, сколько ручек и сколько карандашей на столе?
3. У Вани на шесть монет больше, чем у Тани, а у Тани в два раза меньше, чем у Ани, сколько монет у каждого ребёнка, если у Вани и Ани одинаковое количество монет?

Составим уравнения по каждой из задач.

• В первом случае нам не известно число яблок у девочки, то есть оно равно Х, мы знаем, что Х в 2 раза меньше 6, то есть 6 = 2Х, следовательно, к этому условию подходит уравнение №2.
• Во втором случае за Х обозначается количество карандашей, тогда количество ручек Х + 2, но при этом мы знаем, что ручек 6, то есть Х + 2 = 6, значит сюда подходит третье уравнение.
• Что касается последней задачи, под номером 3, количество Таниных монет, которое встречается в двух условиях, является искомым неизвестным, тогда у Вани 6 + Х монет, а у Ани 2Х монет, то есть 6 + Х = 2Х – очевидно, что сюда подходит первое уравнение.

Если у вас есть задачи, решаемые с помощью уравнения, к которым необходимо подобрать соответствующее равенство, то составьте уравнение для каждой из задач, а потом уже соотносите то, что получилось у вас, с данными уравнениями.

Усложняем: система уравнений — конфеты

Следующий этап применения буквенных равенств в алгебре – это задачи, решаемые системой уравнений. В них имеется два неизвестных, причём одно из них выражается через другое на основании имеющихся данных. Известно, что у Паши и Кати вместе 20 конфет. Ещё известно, что если бы у Паши было на 2 конфеты больше, то у него было бы 15 конфет, сколько конфет у каждого?

В данном случае мы не знаем ни количество Катиных конфет, ни количество Сашиных конфет, следовательно, у нас два неизвестных, Х и Y соответственно. Вместе с тем, мы знаем, что Y + 2 = 15.

Составив систему, получаем два уравнения:

А дальше действуем по правилам решения систем: выводим Y из второго уравнения, получая Y = 15 — 2, а потом подставляем его в первое, то есть Х + Y = Х + (15 — 2) = 20. Решив уравнение, получаем Х = 7, тогда Y = 20 — 7 = 13. Проверяем правильность решения, подставив Y во второе уравнение: 13 + 2 действительно равно 15, то есть у Кати 7 конфет, а у Паши — 13.

Ещё сложнее: квадратные уравнения и земельный участок

Встречаются также и задачи по алгебре, решаемые квадратным уравнением. В них нет ничего сложного, просто стандартная система преобразовывается в квадратное уравнение в ходе решения. Например, дан участок земли площадью в 6 гектаров (60000 квадратных метров), забор, огораживающий его, имеет длину 1000 метров. Каковы длина и ширина участка?

Составляем уравнения. Длина забора является периметром участка, следовательно, если длину обозначить Х, а ширину Y, то 1000 = 2 * (Х + Y). Площадь же, то есть Х * Y = 60000. Из первого уравнения выводим Х = 500 — Y.

Подставляя его во второе уравнение, получаем (500 — Y) * Y = 60000, то есть 500Y — Y2 = 60000.

Решив уравнение, получаем стороны равные 200 и 300 метрам – квадратное уравнение имеет два корня, один из которых зачастую не подходит по условию, например, является отрицательным, тогда как ответ должен быть числом натуральным, поэтому проверку проводить обязательно.

Повторяем: деревья в саду

Закрепляя тему, решим ещё одну задачу. В саду есть несколько яблонь, 6 груш и несколько вишнёвых деревьев. Известно, что общее количество деревьев в 5 раз больше, чем количество яблонь, при этом вишневых деревьев в 2 раза больше, чем яблоневых. Сколько деревьев каждого вида в саду и сколько в саду всего деревьев?

За неизвестное Х, как, наверное, уже понятно, обозначаем яблоневые деревья, через которые мы сможем выразить остальные величины. Известно, что Y = 2X, а Y + Х + 6 = 5Х.

Подставив Y из первого уравнения, получаем равенство 2Х + Х + 6 = 5Х, откуда Х = 3, следовательно в саду Y = 3 * 2 = 6 вишнёвых деревьев.

Проводим проверку и отвечаем на второй вопрос, складывая получившиеся величины: 3 + 6 + 6 = 3 * 5, то есть задача решена верно.

Контрольная: сумма чисел

Решение задач с помощью уравнения далеко не такое сложное, как кажется на первый взгляд. Главное – не ошибиться в выборе неизвестного и, что ещё важнее, правильно его выразить, особенно если речь идёт о системе уравнений. В завершение даётся последняя задача, гораздо более запутанная, чем представленные выше.

Сумма трёх чисел – 40. Известно, что Х = 2Y + 3Z, а Y = Z — 2 / 3. Чему равны Х, Y и Z?

Итак, начнём с избавления от первого неизвестного. Вместо Х подставляем в равенство соответствующее выражение, получаем 2Y + 3Z + Z + Y = 3Y + 4Z = 40.

С помощью проверки убеждаемся в истинности выражения, следовательно задача решена правильно.

Заключение

Итак, что же такое задачи, решаемые с помощью уравнения? Так ли они страшны, как кажется на первый взгляд? Ни в коем случае! При должной усидчивости разобраться в них не составляет никакого труда.

А однажды поняв алгоритм, в дальнейшем вы сможете щёлкать подобные задачки, даже самые запутанные, как семечки.

Главное – внимательность, именно она поможет правильно определить неизвестное и путём решения порой множества уравнений найти ответ.

Источник: https://www.syl.ru/article/290217/zadachi-reshaemyie-s-pomoschyu-uravneniya-primeryi-obyyasnenie-zadachi-po-algebre

Задачи, решаемые с помощью уравнения. Решение задач по математике

В курсе школьной математики обязательно встречаются задачи. Некоторые укрощаются в несколько действий, другие требуют некоторой головоломки.

Задачи, решаемые с помощью уравнения, только на первый взгляд трудные. Если потренироваться, то этот процесс дойдет до автоматизма.

Геометрические фигуры

Для того чтобы понять вопрос, нужно вникнуть в суть. Внимательно вчитывайтесь в условие, лучше перечитать несколько раз. Задачи на уравнения только на первый взгляд трудные. Рассмотрим пример для начала самый простой.

Дан прямоугольник, необходимо найти его площадь. Дано: ширина на 48 % меньше длины, периметр прямоугольника составляет 7,6 сантиметра.

Решение задач по математике требует внимательного вчитывания, логики. Давайте вместе с ней справимся. Что нужно в первую очередь учесть? Обозначим длину за х.

Следовательно, в нашем уравнении ширина составит 0,52х. Нам дан периметр — 7,6 сантиметра. Найдем полупериметр, для этого 7,6 сантиметра разделим на 2, он равен 3,8 сантиметра.

У нас получилось уравнение, с помощью которого мы найдем длину и ширину:

0,52х + х = 3,8.

Когда мы получим х (длину), нетрудно будет найти и 0,52х (ширину). Если мы знаем эти две величины, то находим ответ на главный вопрос.

Задачи, решаемые с помощью уравнения, не так сложны, как кажутся, это мы могли понять из первого примера. Мы нашли длину х = 2,5 сантиметра, ширину (обознчим у) 0,52х = 1,3 сантиметра. Переходим к площади. Она находится по простой формуле S = х * у (для прямоугольников). В нашей задаче S = 3,25. Это и будет ответом.

Рассмотрим еще примеры решения задач с нахождением площади. И в этот раз возьмем прямоугольник. Решение задач по математике на нахождение периметра, площади разных фигур встречается довольно часто. Читаем условие задачи: дан прямоугольник, его длина на 3,6 сантиметра больше ширины, которая составляет 1/7 периметра фигуры. Найти площадь данного прямоугольника.

Удобно будет обозначить ширину за переменную х, а длину за (х + 3,6) сантиметра. Найдем периметр:

Р = 2х + 3,6.

Мы не можем решить уравнение, так как имеем в нем две переменные. Поэтому смотрим еще раз условие. Там сказано, что ширина равна 1/7 периметра. Получаем уравнение:

• 1/7 (2х + 3,6) = х.
• Для удобства решения умножим каждую часть уравнения на 7, так мы избавляемся от дроби:
• 2х + 3,6 = 7х.
• После решения мы получаем х (ширину) = 0,72 сантиметра. Зная ширину, находим длину:
• 0,72 + 3,6 = 4,32 см.
• Теперь нам известны длина и ширина, отвечаем на главный вопрос о том, чему равна площадь прямоугольника.
• S = х * у, S = 3,1104 см.

Бидоны с молоком

Решение задач с помощью уравнений вызывает немало затруднений у школьников, несмотря на то что эта тема начинается в четвертом классе. Есть множество примеров, мы рассмотрели на нахождение площади фигур, теперь немного отвлечемся от геометрии. Посмотрим простые задачи с составлением таблиц, они помогают визуально: так лучше видны данные, помогающие в решении.

Предложите детям прочитать условие задачи и составить таблицу, помогающую составлению уравнения. Вот условие: есть два бидона, в первом в три раза больше молока, чем во втором. Если из первого перелить пять литров во второй, то молока окажется поровну. Вопрос: сколько было молока в каждом бидоне?

Для помощи в решении необходимо составить таблицу. Как она должна выглядеть?

Решение

Было	Стало
1 бидон	3х	3х — 5
2 бидон	х	х + 5

1. Как это поможет в составлении уравнения? Нам известно, что в итоге молока стало поровну, значит уравнение будет выглядеть следующим образом:
2. 3х — 5 = х + 5;
3. 2х = 10;
4. х = 5.
5. Мы нашли первоночальное количество молока во втором бидоне, значит, в первом было: 5 * 3 = 15 литров молока.
6. Теперь немного пояснений по составлению таблицы.

Почему мы первый бидон обозначили за 3х: в условии оговорено, что во втором бидоне молока в три раза меньше. Затем читаем, что из первого бидона слили 5 литров, следовательно стало 3х — 5, а во второй налили: х + 5. Почему мы поставили знак равно между этими условиями? В условии задачи сказано, что молока стало поровну.

Так мы получаем ответ: первый бидон — 15 литров, второй — 5 литров молока.

Определение глубины

По условию задачи: глубина первой скважины на 3,4 метра больше второй. Первую скважину увеличили на 21,6 метра, а вторую — в три раза, после этих действий скважины имеют одинаковую глубину. Нужно рассчитать, какую глубину имела каждая скважина первоначально.

Методы решения задач многочисленны, можно делать по действиям, составлять уравнения или их систему, но наиболее удобен второй вариант. Чтобы перейти к решению, сотавим таблицу, как в прошлом примере.

Решение

Было	Стало
1 скважина	х + 3,4	х + 3,4 + 21,6
2 скважина	х	3х

• Переходим к составлению уравнения. Так как скважины стали одинаковой глубины, то оно имеет следующий вид:
• х + 3,4 + 21,6 = 3х;
• х — 3х = -25;
• -2х = -25;
• х = -25/-2;
• х = 12,5
• Мы нашли первоначальную глубину второй скважины, теперь можем найти первую:
• 12,5 + 3,4 = 15,9 м.
• После проделанных действий записываем ответ: 15,9 м, 12,5 м.

Два брата

Обратите внимание, что данная задача отличается от всех предыдущих, так как по условию первоначально было одинаковое количество предметов. Исходя из этого, вспомогательная таблица составляется в обратном порядке, то есть от «стало» к «было».

Условие: двум братьям дали поровну орехов, но старший отдал своему братику 10, после этого орешков у младшего стало в пять раз больше. Сколько же сейчас орехов у каждого мальчика?

Решение

Было	Стало
Старший	х + 10	х
Младший	5х — 10	5х

1. Составляем уравнение:
2. х + 10 = 5х — 10;
3. -4х = -20;
4. х = 5 — стало орехов у старшего брата;
5. 5 * 5 = 25 — у младшего брата.
6. Теперь можно записать ответ: 5 орехов; 25 орехов.

Покупки

В школу нужно купить книги и тетради, первые дороже вторых на 4,8 рублей. Нужно рассчитать, сколько стоит одна тетрадь и одна книга, если при покупке пяти книг и двадцать одной тетради заплатили одинаковую сумму денег.

Прежде чем переходить к решению, стоит ответить на следующие вопросы:

• О чем идет речь в задаче?
• Сколько заплатили?
• Что покупали?
• Какие величины можно между собой уровнять?
• Что нужно узнать?
• Какую величину принять за х?

Если вы ответили на все вопросы, то переходим к решению. В данном примере за величину х можно принять как цену одной тетради, так и стоимость книги. Рассмотрим два возможных варианта:

1. х — стоимость одной тетради, тогда х + 4,8 — цена книги. Исходя из этого, получаем уравнение: 21х = 5 (х + 4,8).
2. х — стоимость книги, тогда х — 4,8 — цена тетради. Уравнение имеет вид: 21 (х — 4,8) = 5х.

• Можете для себя выбрать более удобный вариант, далее решим два уравнения и сравним ответы, по итогу они должны совпадать.
• Решение первого уравнения:
• 21х = 5 (х + 4,8);
• 4,2х = х + 4,8;
• 4,2х — х = 4,8;
• 3,2х = 4,8;
• х = 1,5 (рублей) — стоимость одной тетради;
• 4,8 + 1,5 = 6,3 (рублей) — стоимость одной книги.
• Еще один способ решения данного уравнения (открытие скобок):
• 21х = 5 (х + 4,8);
• 21х = 5х + 24;
• 16х = 24;
• х= 1,5 (рублей) — стоимость одной тетради;
• 1,5 + 4,8 = 6,3 (рублей) — стоимость одной книги.

Второй способ

1. 5х = 21 (х — 4,8);
2. 5х = 21х — 100,8;
3. 16х = 100,8;
4. х = 6,3 (рублей) — стоимость 1 книги;
5. 6,3 — 4,8 = 1,5 (рублей) — стоимость одной тетради.

Как видно из примеров, ответы идентичны, следовательно, задача решена верно. Следите за правильностью решения, в нашем примере не должны ответы получаться отрицательными.

Встречаются и другие задачи, решаемые с помощью уравнения, например на движение. Рассмотрим их более подробно в следующих примерах.

Два автомобиля

• В этом разделе речь пойдет о задачах на движение. Чтобы уметь их решать, необходимо знать следующее правило:
• S=V*T,
• S — растояние, V — скорость, Т — время.
• Попробуем рассмотреть пример.

Два автомобиля выехали одновременно из точки А в точку В. Первый проехал все расстояние на одной скорости, второй первую половину пути ехал со скоростью 24 км/ч, а вторую — 16 км/ч. Нужно определить скорость первого автомобилиста, если в пункт В они пришли одновременно.

Что нам потребуется для составления уравнения: главная переменная V1 (скорость первого автомобиля), второстепенные: S — путь, Т1 — время в пути первого автомобиля. Уравнение: S = V1 * Т1.

Далее: второй автомобиль первую половину пути (S/2) проехал со скоростью V2=24 км/ч. Получаем выражение: S/2 = 24 * Т2.

Следующую часть пути он проехал со скоростью V3 = 16 км/ч. Получаем S/2 = 16 * Т3.

1. S принимаем за единицу и решаем уравнение:
2. 1/V1 = 1/48 + 1/32;
3. 1/V1 = (2/96) + (3/96);
4. 1/V1 = 5/96;
5. V1 = 96/5;
6. V1 = 19,2 км/ч.

Это и есть ответ. Задачи, решаемые с помощью уравнения, сложны только на первый взгляд. Помимо вышепредложеных, могут встретиться задачи на работу, что это такое, рассмотрим в следующем разделе.

Задача на работу

• Для решения такого типа задания необходимо знать формулу:
• A = VT,
• где A — это работа, V — производительность.

Для более подробного описания нужно привести пример. Тема «Решение задач уравнением» (6 класс) может не содержать подобных задач, так как это более сложный уровень, но тем не менее приведем пример для ознакомления.

Внимательно читаем условие: два рабочих работают вместе и план выполняют за двенадцать дней. Нужно определить, сколько времени потребуется первому работнику на выполнение той же нормы самостоятельно. Известно, что он за два дня выполняет объем работы, как второй работник за три дня.

Решение задач на составление уравнений требует внимательного чтения условия. Первое, что мы поняли из задачи, что работа не определена, значит, принимаем ее за единицу, то есть А = 1. Если в задаче говорится об определенном количестве деталей или литров, то работу стоит брать по этим данным.

Обозначаем производительность первого и второго рабочего через V1 и V2 соответственно, на этом этапе возможно составление следующего уравнения:

1 = 12 (V1 + V2).

Что нам говорит данное уравнение? Что всю работу выполняют два человека за двенадцать часов.

Дальше мы можем утверждать: 2V1 = 3V2. Потому что первый за два дня делает столько, сколько второй за три. Мы получили систему уравнений:

1. 1 = 12 (V1 + V2);
2. 2V1 = 3V2.
3. По итогу решения системы мы получили уравнение с одной переменной:
4. 1 — 8V1 = 12V1;
5. V1 = 1/20 = 0,05.
6. Это производительность труда первого рабочего. Теперь мы можем найти время, за которое справится со всей работой первый человек:
7. А = V1 * T1;
8. 1 = 0,05 * Т1;
9. Т1 = 20.
10. Так как за единицу времени был принят день, то ответ: 20 дней.

Переформулировка задачи

Если вы хорошо овладели навыком решать задачи на движение, а с задачами на работу у вас возникают некие затруднения, то возможно из работы получить движение.

Каким образом? Если брать последний пример, то условие получится следующим: Олег и Дима движутся навстречу друг другу, встречаются они через 12 часов.

За сколько преодолеет путь самостоятельно Олег, если известно, что он за два часа проезжает путь, равный пути Димы за три часа.

Источник: https://FB.ru/article/262551/zadachi-reshaemyie-s-pomoschyu-uravneniya-reshenie-zadach-po-matematike

Решение задач с помощью уравнений

25.04.2017

Начиная с задачи 390 надо приучать школьников анализировать условие задачи и выбирать более простой способ составления уравнения. Например, решение задачи 390 (а) можно привести куравнению 60 – x/x  = 2, а можно к уравнению 2х + х = 60.

Общее пожелание таково: если для двух величин известно отношение и сумма (разность), то первое условие надо использовать для выражения одной величины через другую, а второе — для составления уравнения.

Решите задачи 390–437 с помощью уравнения.

390. а) В книге 60 страниц. Прочитали в 2 раза больше страниц, чем осталось прочитать. Сколькостраниц осталось прочитать?

б) На автостоянке стоит 24 автомобиля, причем легковых автомобилей в 3 раза больше, чем грузовых. Сколько грузовых автомобилей стоит на автостоянке?

391. а) На двух полках 72 книги, причем на первой полке в 3 раза больше, чем на второй. Сколько книг на первой полке?

392. а) У хозяйки было 20 кур и цыплят. Кур было в 4 раза меньше, чем цыплят. Сколько цыплят было у хозяйки?

б) У хозяйки было 16 уток и утят. Уток было в 3 раза меньше, чем утят. Сколько утят было у хозяйки?

393. а) Кусок полотна в 124 м надо разрезать на две части так, чтобы длина одной части была на 12 м больше другой. По сколько метров полотна будет в каждой части?

б) Кусок лески длиной 8,6 м надо разрезать на две части так, чтобы длина одной части была на 1 м больше другой. По сколько метров лески будет в каждой части?

394. а) В школу привезли 690 столов и стульев. Стульев было на 230 больше, чем столов. Сколько столов и стульев в отдельности привезти в школу?

б) В соревнованиях по лыжам участвовали 53 человека. Девочек было на 17 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков и сколько девочек участвовало в соревнованиях?

395. Двое должны поделить между собою 15 р. так, чтобы одному досталось на 4 р. больше, чем другому. Сколько рублей достанется каждому?

Для задач 396–397 на нахождение двух чисел по их отношению и разности алгебраическое решение учащиеся усваивают обычно лучше, чем арифметическое. Можно посоветовать учащимся в том случае, когда известны разность двух величин, составлять уравнение по схеме Б – М = Р, а не Б – Р = М или Б = М + Р, где Б — большая величина, М — меньшая, Р — разность.

В первом случае неизвестное будет в одной части уравнения и оно будет проще.

396. За конфеты заплатили в 3 раза больше или на 6 р. больше, чем за печенье. Сколько заплатили за печенье?

б) За тетради заплатили в 4 раза больше или на 7 р. 20 к. больше, чем за линейки. Сколько заплатили за линейки?

397. Папа в 8 раз старше дочери, а дочь на 28 лет моложе папы. Сколько лет папе?

б) Мама в 6 раз старше сына, а сын на 25 лет моложе мамы. Сколько лет маме?

398. 1) На солнышке грелись несколько кошек. У них лап на 10 больше, чем ушей. Сколько кошек грелось на солнышке?

2) На солнышке грелись кошка и несколько котят. У них лап на 21 больше, чем хвостов. Сколько котят у кошки?

Задачи 392–398 учащиеся могут решить и арифметически. Например, задача 398 (1) решается довольно просто: у каждой кошки лап на 2 больше, чем ушей; значит, кошек 10:2 = 5.

Более того, решение, подсказанное здравым смыслом, по-моему, гораздо интереснее и уж, конечно более творческое, а также содержит больше информации, чем сугубо математическое решение». [22] Рассуждение это таково: Раздадим всем животным по 5 галет — всего 5·10 = 50 галет. Оставшиеся 56 – 50 = 6 галет надо раздать по одной собакам.

Следовательно, собак 6, а кошек 10 – 6 = 4.

Однако учащиеся должны научиться решать эту задачу и с помощью уравнения. Хотя бы потому, что в следующих задачах не всегда удастся провести такое простое рассуждение.

399. Десяти собакам и кошкам скормили 56 галет. Каждой собаке досталось 6 галет, а каждой кошке — 5. Сколько было собак и сколько кошек?

400. В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех и других, если у них вместе:

а) 19 голов и 46 ног;           б) 30 голов и 74 ноги.

Приведем возможный вариант решения.

Пусть в хозяйстве было x овец, тогда кур было 19 – x. Число ног у овец равно 4x, а у кур 2(19 – x). Составим уравнение:

• 4x + 2(19 – x) = 46.
• Здесь надо обратить внимание учащихся на то, что за x можно было обозначить число кур, тогда уравнение имело бы вид:
• 2x + 4(19 – x) = 46.
• Нельзя сказать, что это уравнение сложнее предыдущего, но если учащиеся не хотят получать отрицательные коэффициенты при x, то следующий раз они должны думать, какую из величин удобнее принять за x.

401. У пятнадцати треугольников и четырехугольников 53 угла. Сколько треугольников? Сколько четырехугольников?

402. 1) Сумму в 74 р. заплатили девятнадцатью монетами по 2 и 5 р. Сколько было монет по 2 р.?

2) Старинная задача. Сколько будет гривенников и двугривенных[1], если разменять 27 рублей на гривенники и двугривенные так, чтобы всех монет было 170?

403. На 100 р. куплено 5 м ткани двух сортов. Известно, что 1 м ткани первого сорта стоил 17 р., а 1 м ткани второго сорта стоил 22 р. Сколько метров каждого сорта купили?

404. Куплено 2 м одной и 3 м другой ткани на 180 р. Известно, что 1 м первой ткани в 3 раза дороже 1 м второй ткани. Сколько стоит 1 м каждой ткани?

405. 8 телят и 5 овец съели 835 кг корма. За все время каждому теленку дали на 28 кг корма больше, чем овце. Сколько корма съел каждый теленок, сколько каждая овца?

Арифметическое решение задачи 405 не сложно, но неудобно, так как приходится считать, будто бы телята сначала съели разницу в 28 кг, а потом ели корм с той же скоростью, что и овцы. Использование уравнения снимает трудности такого рода.

406. Доску длиной 6,75 м распилили на 2 части так, что одна из них была в 3,5 раза короче другой. Определите длину каждой части доски.

407. а) В первой вазе стояло в 3 раза больше роз, чем во второй, а в третьей — на 5 роз больше, чем во второй. Сколько роз стояло в первой вазе, если всего было 45 роз?

б) В первой вазе лежало в 2 раза больше конфет, чем в третьей, а во второй вазе — на 4 конфеты больше, чем в третьей. Сколько конфет лежало в первой вазе, если всего было 164 конфеты?

408. а) Купили краски, книгу и карандаши. Стоимость карандашей составляет 0,2 стоимости красок; книга на 20 р. дороже красок. Сколько рублей заплатили за карандаши, если книга и краски вместе стоят 64 р.?

б) Купили тетради, книгу и альбом. Стоимость тетрадей составляет 0,3 стоимости книги; альбом на 10 р. дешевле книги. Сколько заплатили за тетради, если книга и альбом вместе стоят 36 р.?

409. С трех участков собрали 237 т картофеля. С первого и второго — поровну, а с третьего участка собрали на 12 т больше, чем с каждого из первых двух. Сколько тонн картофеля собрали с каждого из трех участков?

410. Разделите число 480 на 3 части так, чтобы первая была на 40, а вторая на 80 больше третьей.

411. Веревку длиной 28 м разрезали на 3 части так, что вторая часть была в 3,5 раза, а третья в 2,5 раза больше первой. Найти длину каждой части.

1. 412. Один человек спросил своего приятеля:
2. — Сколько лет твоему сыну?
3. — Если к возрасту моего сына прибавить столько же, да еще половину, то будет 10 лет.
4. Сколько же лет сыну?
5. 413. Одного человека спросили:
6. — Сколько Вам лет?
7. На что он ответил:
8. — Когда я проживу еще половину, да треть, да четверть моих теперешних лет, тогда мне будет 100 лет.
9. Сколько лет этому человеку?

414. Старинная задача. Летит стая гусей и навстречу ей гусь.

— Здравствуйте сто гусей! – сказал гусь.

— Нас не сто, — ответил вожак стаи. — Вот если бы нас было столько, еще столько, да полстолько, да четверть столько, да еще один гусь — вот тогда бы нас было сто гусей.

Сколько гусей было в стае?

С задачи 415 начинается цепочка задач, решение которых при водит к уравнению с неизвестным в правой и левой части, получаемому приравниванием двух величин, выраженных через x.

415. На двух полках 72 книги. Когда с первой полки переставили на вторую 14 книг, то книг на полках стало поровну. Сколько книг стояло на каждой полке первоначально?

416. В двух бумажниках было 250 р. Если из одного переложить в другой 25 р., то в обоих бумажниках денег станет поровну. Сколько рублей было в каждом?

417. На первом складе в два раза больше муки, чем на втором. Когда из первого склада вывезли 48 т, а из второго 11 т, то муки на складах стало поровну. Сколько тонн муки было на первом складе первоначально?

418. 1) Из двух пунктов, расстояние между которыми 96 км, одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Скорость мотоциклиста на 50 км/ч больше скорости велосипедиста. Какой путь проехал каждый из них до встречи, если известно, что они встретились через 1,2 ч?

2) Из двух пунктов, расстояние между которыми 132 км, одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Скорость мотоциклиста в 4 раза больше скорости велосипедиста. Какой путь проехал каждый из них до встречи, если известно, что они встретилисьчерез 2,2 ч?

419.* Стрелки часов показывают полдень. Через сколько часов они встретятся в следующий раз?

Эта задача интересна тем, что ее арифметическое решение легче алгебраического. Рассмотрим оба способа решения.

I способ. Минутная стрелка догонит часовую первый раз после 1 часа, второй раз — после 2 часов, … , 11-й раз — после 11 часов: ровно в 12 часов. То есть промежуток между встречами стрелок составляет 12:11 = 1 1/11 ч.

II способ. Пусть первая встреча произойдет через x ч, за это время минутная стрелка сделает x оборотов, а часовая x/12 оборотов, причем минутная стрелка сделает на 1 оборот больше, чем часовая. Составим уравнение:

• x – x/12 = 1;
• x = 11/11.
• Начиная с задачи 420 учащиеся должны освоить еще один прием составления уравнений, который заключается в выражении какой-либо величины через x разными способами.

420. а) Задумали число, увеличили его на 28. Оно увеличилось в 3 раза. Найдите задуманное число.

б) Задумали число, увеличили его на 35. Оно увеличилось в 6 раз. Найдите задуманное число.

421. а) Написали число, приписали к нему справа нуль. Число увеличилось на 405. Найдите первое число.

б) Написали число, оканчивающееся нулем, зачеркнули этот нуль. Число уменьшилось на 117. Найдите первое число.

422.* Старинные задачи. а) Летели галки, сели на палки: по две сядут — одна палка лишняя, по одной сядут — одна галка лишняя. Сколько было галок, сколько палок?

б) Стояли березы, летели галки. На каждую березу село по галке, и осталось 5 галок. Потом на каждую березу село по 2 галки, и осталось 5 берез без галок. Сколько было галок и сколько берез?

1. 2(x – 1) = x + 1,
2. x = 3,
3. x + 1 = 4.
4. Было 4 галки и 3 палки.

423. Задача С.А. Рачинского. Я дал одному ученику 3 ореха, а всем остальным по 5. Если бы я всем дал по 4 ореха, у меня осталось бы 15. Сколько было орехов?

424. Старинная задача. Куплены тетради для учеников первого класса. Если каждому дать по 9 тетрадей, то не хватило бы семи ученикам по тетради, а потому каждый получил по 8 тетрадей, и тогда еще осталось 16 тетрадей. Сколько куплено тетрадей и сколько было учеников в классе?

425. Старинная задача. Некто, желая раздать деньги нищим, рассчитал, что если каждому дать по 15 к., то у него не хватит 10 к., а если каждому дать по 12 к., то останется 14 к. Сколько было нищих и сколько у него было денег?

426. Старинные задачи. 1) Ученики собираются выписать газету. Если они соберут с каждого по 15 к., то им не хватит 2 р., а если каждый внесет по 25 к., то получится лишних 2 р. Сколько было учеников? Сколько стоит газета?

2) В обществе желали собрать некоторую сумму денег в пользу бедного семейства. Если каждый изприсутствующих пожертвует по 1 р., то соберется на 3 р. больше предполагаемой суммы; если же каждый внесет по 50 к., то не хватит 11 р. Сколько особ было в обществе, и как велика была предположенная к сбору сумма?

427. Старинная задача (Китай, I в.). Сообща покупают вещь. Если каждый человек внесет по 8, то избыток равен 3. Если каждый человек внесет по 7, то недостаток равен 4. Спрашивается количество людей и стоимость вещи.

428. Старинная задача (Китай, II в.). Сообща покупают курицу. Если каждый человек внесет по 9 (денежных единиц), то останется 11, если же каждый внесет по 6, то не хватит 16. Найти количество людей и стоимость курицы.

Старинная задача (Китай, II в.). Сообща покупают буйвола. Если каждые семь семей внесут по 190 (денежных единиц), то недостаток равен 330. Если же каждые девять семей внесут по 270, то избыток равен 30. Сколько семей и сколько стоит буйвол?

430. Работники получили за некоторую работу по 120 р. Если бы их было на 2 меньше, то каждый из них получил бы по 150 р. Сколько было работников?

431. Бригада трактористов должна вспахать поле за 5 дней, но трактористы перевыполняли норму на 2 га каждый день, поэтому выполнили все задание за 4 дня. Сколько гектаров в день вспахивала бригада?

432. а) Поезд должен был пройти расстояние между двумя станциями за 4 ч, но был задержан на первой станции на 0,5 ч и, чтобы прибыть на следующую станцию по расписанию, машинист увеличил скорость на 10 км/ч. С какой скоростью должен был идти поезд по расписанию?

б) Трактористы должны вспахать поле за 5 дней. Увеличив выработку на 2,5 га в день, они выполнил работу за 4 дня. Какова площадь поля?

в) Токарь ежедневно перевыполняет норму на 20 деталей. Сколько деталей ежедневно обтачивает токарь, если пятидневную норму он выполняет за 3 дня?

433. Старинная задача. За 1007 р. куплена карета, сани и дрожки; цена саней составляет 2/3 цены дрожек; цена дрожек 2/3 цены кареты. Сколько заплачено за каждую вещь?

434. Старинная задача. На вопрос: «Который час?» был дан ответ: «2/5 прошедших часов от полуночи до сего времени равны 2/3 часов, оставшихся до полудня». Спрашивается, сколько сейчас времени.

435. В двух библиотеках 50000 томов. За год количество книг первой увеличилось на 5%, а второй на 6 %, так что общее количество книг увеличилось на 2  Сколько книг было в каждой библиотеке первоначально?

436. Ученик рассчитал, что стоимость одной книги составляет 70% имеющихся у него денег, а другой книги — 60%. Если бы у него было еще 18 р., то он смог бы купить обе книги. Сколько денег было у ученика?

437. Старинная задача (Греция).

• — Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?
• — Вот сколько, — ответил философ, — половина изучает математику, четверть музыку, седьмая часть пребывает в молчании и, кроме того, есть еще три женщины.
• Сколько учеников посещали школу Пифагора?
•     [1] Гривенник и двугривенный – старинные названия монет в 10 и 20 к.

Источник: http://www.shevkin.ru/knigi-st/reshenie-zadach-s-pomoshh-yu-uravnenij/

Решение задач с помощью уравнений

В решении задач с помощью уравнений, необходимо соблюдать следующее: во-первых, записать условие задачи алгебраическим языком, т.е. таким образом, чтобы получить уравнение; во-вторых, упростить это уравнение до такого вида, в котором неизвестная величина будет стоять с одной стороны, а все известные величины — на противоположной стороне. Способы этого уже были рассмотрены ранее.

Один из основных принципов алгебраических решений, это то, что величина должна присутствовать в уравнении. Это позволит нам записать условия так, как если бы задача уже была решена.

После этого, останется лишь решить уравнение и найти общее значение всех известных величин.

Задача 1. Человек на вопрос, сколько он заплатил за часы, ответил: «Если умножить цену на 4, и к результату прибавить 70, а из этой суммы вычесть 50, то остаток будет равен 220 долларов». Сколько он заплатил за часы?

• Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала записать условие задачи как алгебраическое выражение, то есть как уравнение.
• Пусть цена часов равна   $x$ Эта цена была умножена на 4, то есть получаем   $4x$ К произведению прибавили 70, то есть   $4x + 70$
• Из этого вычли 50, то есть   $4x + 70 — 50$

Таким образом, мы записали условие задачи с помощью чисел в алгебраической форме, но у нас еще нет уравнения. Однако, согласно последнему условию задачи, все предыдущие действия в итоге привели к результату, который равен $220$.

Поэтому, это уравнение выглядит так:   $4x + 70 — 50 = 220$

После проведения операций с уравнением, получаем, что     $x = 50$.

То есть, значение $x$ равно 50 долларов, что и есть искомой ценой часов.

Чтобы проверить, что мы получили верное значение искомой величины, мы должны подставить это значение вместо $х$ в уравнение, которое мы записали по условию задачи. Если в результате этой подстановки значения сторон будут равны, мы провели вычисление правильно. Уравнение задачи имело вид      $4x + 70 — 50 = 220$ Подставляя 50 вместо $x$, получаем    $4 cdot 50 + 70 — 50 = 220$

Отсюда,        $220 = 220$.

Задача 2. Если к числу прибавить его половину, а из этого результата вычесть $20$, то получим четверть первоначального числа. Что это за число?

В задачах такого типа, где рассматриваются дроби, надо помнить, что $left(frac{1}{3}
ight)x$ то же самое, что и $frac{x}{3}$; отсюда $left(frac{2}{5}
ight)x = frac{2x}{5}$.

Обозначим через x искомое число. Тогда согласно условию   $x + frac{x}{2} — 20 = frac{x}{4}$ После выполнения операций на уравнением, получим    $x = 16$.

         Проверка:    $16 + frac{16}{2} — 20 = frac{16}{4}$.

Задача 3. Отец разделил наследство между своими тремя сыновьями так, что: Первый сын получил на $$1000$ меньше, чем половина всего наследства; Второй сын получил на $$800$ меньше, чем треть всего наследства; Третий сын получил на $$600$ меньше, чем четверть всего наследства; Какая сумма была всего наследства?

Так как эти части все вместе представляют все наследство, то их сумма равна $x$. Тогда мы имеем равенство $frac{x}{2} — 1000 + frac{x}{3} — 800 + frac{x}{4} — 600 = x$. После выполения операций с членами уравнения, получим, что         $x = 28800$

Проверка: $frac{28800}{2} — 1000 + frac{28800}{3} — 800 + frac{28800}{4} — 600 = 28800$.

Чтобы избежать лишнего представления неизвестных величин в уравнении, иногда хорошо заметить, что когда дана сумма или разница двух значений, обе эти величины могут быть выражена одной и той же буквой. Так, если одна из двух величин вычитается из суммы этих величин, очевидно, что остаток буде равен другому вычитаемому. А если разница этих двух величин вычитается из большего, то остаток будет равен меньшему.

1. Так, если сумма двух чисел равна 20 И если один из них будет представлен через $x$
2. То другой будет равен $20 — x$.

Задача 4. Разделите 48 на две такие части, что если меньшая разделена на 4, а большая часть на 6, то суммая частных будет равна 9.

Здесь, если $x$ выразить как меньшую часть, то большая часть будет $48 — x$.

Согласно условию задачи, $frac{x}{4} + frac{48 — x}{6} = 9$. Поэтому,     $x = 12$, то есть меншая часть.

И      $48 — x = 36 -$ большая часть.

Буквы могут быть использованы для выражения как известных величин в уравнении, так и неизвестных. Определенные значения присваиваются числам, а в конце они слова записываются как числа.

Задача 5. Если к определенному числу прибавить 720 и сумму разделить на 125, то результат будет равен 7392, разделенному на 462. Что это за число?

Обозначим через $x$ искомое число. a = 720   d = 7392 b = 125   h = 462 Тогда, согласно условию задачи      $frac{x + a}{b} = frac{d}{h}$ Поэтому          $x = frac{bd — ah}{h}$

Возвращая числа в уравнение, получим $х = frac{(125.7392) — (720.462)}{462} = 1280$.

Когда решение уравнения дает отрицательный ответ, это показывает, что значение неизвестной величины противоположно значениям, которые по условию вопроса » рассматриваются как положительные.

В этом примере, так как прибыль и убыток противоположны по природе, то они должны иметь противоположные знаки. Если прибыль обозначается с «+», то убыток должен обозначаться с «-«. Пусть x = искомой сумме. Тогда, согласно условию      $x + 350 — 60 = 200$

• и x = -90.
• Отрицательный знак перед ответом показывает, что первая сделка прошла с убытком.

Задача 7. Корабль плывет 4 градуса на север, потом 13 на юг. После этого 17 на север, потом 19 на юг и в конце оказывается на 11 градусе южной широты. С какой широты начал плыть корабль? Пусть $x$ — искомая широта. Тогда, обозначаем с «+» северное направление, а южное с «-«. Согласно условию,      x + 4 — 13 + 17 — 19 = -11

1. и x = 0.
2. Ответ означает, что корабль начал свой путь с экватора, который не имеет широты.

Задача 8. Если определенное число разделить на 12, частное, делимое и делитель, сложенные вместе, дадут 64. Что это за число?

Пусть x — искомое число. Тогда          $frac{x}{12} + x + 12 = 64$.

Отсюда          $x — frac{624}{13} = 48$.

Задача 9.

Недвижимость была разделена между четырьмя детьми так, что, Первый получил на 200 долларов больше чем $frac{1}{4}$ всей недвижимости, Второй получил на 340 долларов больше чем $frac{16}{5}$ всей недвижимости, Третий получил на 300 долларов больше чем $frac{1}{6}$ всей недвижимости, Четвертый получил на 400 долларов больше чем $frac{1}{8}$ всей недвижимости. Какова стоимость недвижимости?

Ответ: 4800 долларов.

Задача 10. Есть два числа, разница которых равна 40 и которые относятся друг к другу как 6 к 5. Что это за числа?
Ответ: 240 и 200.

Задача 11. Если число умножить в три раза, то оно будет относится к 12, как 2 к 9? Что это за число?
Ответ: 8.

Задача 12. Катер и лодка одновременно отправляются в путь по реке. Катер проходит пристань на реке, когда лодка находится ниже пристани на 13 миль. Катер проходит пять миль, а лодка проходит три мили. На каком расстоянии ниже пристани они встретятся?      Ответ: $32,5$ мили.

Задача 13. Найдите число, если шестая его часть больше его восьмой части на 20?
Ответ: 480.

Задача 14. Разделите приз в 2000 долларов на две такие части, при которых одна из частей относится к другой как 9 к 7.

Ответ: 1125 и 875.

Задача 16. Человек провел одну треть жизни в Англии, одну четвертую в Шотландии, а остаток жизни, который равнялся 20-и годам — в США. До какого возраста он дожил?      Ответ: $48$ лет.

Задача 17. Найдите число, для которого $frac{1}{4}$ этого числа больше $frac{1}{5}$ его на 96?

Задача 18. Палка находится вертикально в воде. $frac{3}{7}$ длины палки находится в воде, а 13 футов — над водой. Какая длина палки?

Ответ: 35 футов.

Задача 19. Если к числу прибавить 10, то $frac{3}{5}$ этой суммы будет равняться 66. Что это за число?

Задача 20. Из всех деревьев в саду $frac{3}{4}$ — яблони, $frac{1}{10}$ — персики, а оставшиеся деревья — груши, которых на $20$ больше чем $frac{1}{8}$ всех деревьев. Сколько всего деревьев в саду?
Ответ: 800.

Задача 21. Джентльмен купил несколько галлонов вина за $94$ долларов и после использования 7 галлонов он продал $frac{1}{4}$ от оставшихся галлонов за 20 долларов. Сколько галлонов у него было вначале?

Ответ: 47.

Задача 22. Если сложить $frac{1}{3}, frac{1}{4}, frac{2}{7}$ числа, то сумма будет равна $73$. Что это за число?
Ответ: 84.

Задача 24. В составе пороха было:

селитры на 10 фунтов больше чем $frac{2}{3}$ всего веса пороха,

серы на 4,5 фунта меньше чем $frac{1}{5}$ всего веса пороха,

древесного угля на 2 фунта меньше чем $frac{1}{7}$ селитры.

Какой вес пороха? Ответ: 69 фунтов.

Задача 25. Бочка емкостью 146 галлонов была наполнена смесью бренди, вина и воды. Причем, вина было на 15 галлонов больше, чем бренди, а воды столько же, сколько бренди и вина вместе. Чему равнялось количество каждой жидкости?

Задача 26. Четыре человека купили ферму за 4755 долларов, из которых B заплатил в три раза больше, чем А; С заплатил столько же, сколько и B, а D заплатил столько же, сколько C и B. Сколько заплатил каждый из них?
Ответ: 317, 951, 1268, 2219.

Задача 27. Отец разделил небольшую сумму денег между своими четырьмя сыновьями. Третий сын получил на 9 шиллингов больше, чем четвертый; Второй сын получил на 12 шиллингов больше, чем третий; Первый получил на 18 шиллингов больше, чем второй; А вся сумма денег была на 6 шиллингов больше чем умноженная в 7 раз сумма, которую получил самый младший. Чему была равна вся сумма?

Ответ: 153.

Задача 28. У фермера было два стада овец, каждое из которых состояло из одной и того же числа животных. Продав из одного стада 39 овец, а с другого стада — $93$ овцы, он посчитал овец и обнаружил, что в одном стаде осталось в два раза больше овец чем в другом. Сколько первоначально овец было в каждом стаде?

Задача 29. Экспресс, двигаясь со скоростью 60 миль в день, был отправлен на 5 дней в путь ранее второго, который двигался со скоростью 75 миль в день. Когда второй экспресс догнал второго?      Ответ: $20$ дней.

Задача 30. Возраст А вдвое больше, чем В, возраст B втрое больше чем С, а сумма всех их возрастов равна $140$. Какой возраст каждого из них?

Задача 32. Если к числу прибавить 36 и 52, то первая сумма будет относиться ко второй, как 3 к 4. Что это за число?

Задача 33. Джентльмен купил фаэтон, лошадь и упряжь на 360 долларов. Стоимость лошади вдвое больше чем упряжи, а фаэтон стоил вдвое больше, чем упряжь и лошадь вместе. Какова была цена каждой покупки?

Задача 34. Из бочки вина, из которой просочилось $frac{1}{3}$ часть вина, 21 галлон вина впоследствии было использовано. После этого бочка оказалась наполовину полной. Сколько первоначально было вина в бочке?

Задача 35. У Человек имеет 6 сыновей, каждый из которых на 4 года старше следующего младшего брата, а самый старший в три раза старше, чем самый младший. Каков возраст каждого из них?

Задача 36. Разделите число 49 на две части с условием, что если большую часть увеличить на 6, а от меньшей отнять 11, то они относились бы друг к другу как 9 к 2.

Задача 37. Два числа относятся друг к другу как 2 к 3. Если к каждому из них прибавить 4, то полученные суммы относились бы друг к другу как 5 к 7. Найдите эти два числа.

Задача 38. Человек купил две бочки портера, одна из которых была в 3 раза больше, чем другая. Из каждой бочки он отлил по 4 галлона, а затем он обнаружил, что в большей бочке осталось в $4$ раза больше галлонов чем в меньшей бочке. Сколько галлонов было в каждой из бочек?

Задача 40. разделите число 36 на 3 такие части, что $frac{1}{2}$ первой части, $frac{1}{3}$ второй и $frac{1}{4}$ третьей равны между собой.

Задача 41. Генерал после проигранной битвы обнаружил, что у него осталось только половина армии +3600 человек, годных для действий; $frac{1}{8}$ армии +600 человек было ранено; а остальная часть солдат, которая равнялась $frac{1}{5}$ от всей армии, были либо убита, либо взята в плен или пропала без вести. Какова была численность армии?
Ответ: 24000.

Для решения многих алгебраических задач, требуется уметь обращаться со степенями и арифметическими корнями. Поэтому необходимо изучить соответствующий раздел до окончания изучения уравнений.

Источник: https://www.math10.com/ru/algebra/reshenie-zadach-s-pomoshu-uravnenii.html