Разложение функций в ряды — справочник студента

Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Разложение функции в ряд синусов и косинусов.

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.

Ряд Фурье позволяет изучать периодические (непериодические) функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны — это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.

Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов):

Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx

f(x)=ao+ a1cosx+a2cos2x+a3cos3x+…+b1sinx+b2sin2x+b3sin3x+…,

где ao, a1,a2,…,b1,b2,.. — действительные константы, т.е.

Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:

Коэффициенты ao,an и bn называются коэффициентами Фурье, и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a1cosx+b1sinx) называется первой или основной гармоникой,

Другой способ записи ряда — использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=ao+c1sin(x+α1)+c2sin(2x+α2)+…+cnsin(nx+αn)

Где ao — константа, с 1=(a12+b12)1/2 , с n=(an2+bn2)1/2- амплитуды различных компонент, а фазовый угол равен an=arctg an/bn.

Для ряда (1) член (a1cosx+b1sinx) или c1sin(x+α1) называется первой или основной гармоникой, (a2cos2x+b2sin2x) или c2sin(2x+α2) называется второй гармоникой и так далее.

Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.

Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.

Разложение непериодических функций.

Если функция f(x) непериодическая, значит, она не может быть разложена в ряд Фурье для всех значений х. Однако можно определить ряд Фурье, представляющий функцию в любом диапазоне шириной 2π.

Если задана непериодическая функция, можно составить новую функцию, выбирая значения f(x) в определенном диапазоне и повторяя их вне этого диапазона с интервалом 2π.

Однако, если необходимо разложить ее в ряд Фурье на интервале от о до 2π, тогда вне этого интервала строится периодическая функция с периодом 2π (как показано на рис. ниже) .

Для непериодических функций, таких как f(x)=х, сумма ряда Фурье равна значению f(x) во всех точках заданного диапазона, но она не равна f(x) для точек вне диапазона. Для нахождения ряда Фурье непериодической функции в диапазоне 2π используется все таже формула коэффициентов Фурье.

Четные и нечетные функции.

Говорят, функция y=f(x) четная, если f(-x)=f(x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х2 и у=cosx.

Говорят, что функция y=f(x) нечетная, если f(-x)=-f(x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат.

Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.

Разложение в ряд Фурье по косинусам.

Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Разложение в ряд Фурье по синусам.

Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).

Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье на полупериоде.

Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до π, а не только от 0 до 2π, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=х, построенная на интервале от х=0 до х=π.

Поскольку четная функция симметрична относительно оси f(x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже.

Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье ao и an

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=x, построенная на интервале от от х=0 до х=π.

Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показанный на рис.

Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b

• Ряд Фурье для произвольного интервала.
• Разложение периодической функции с периодом L.

Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.

Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид

1. Где коэффициенты ряда Фурье, 

Однако чаще приведенную выше формулу приводят к зависимости от х. Поскольку u=2πх/L, значит, du=(2π/L)dx, а пределы интегрирования — от -L/2 до L/2 вместо — π до π. Следовательно, ряд Фурье для зависимости от х имеет вид

• где в диапазоне от -L/2 до L/2 коэффициенты ряда Фурье,
• (Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L)
• Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L≠2π.

Для подстановки u=πх/L интервал от х=0 до х=L соответствует интервалу от u=0 до u=π. Следовательно, функцию можно разложить в ряд только по косинусам или только по синусам, т.е. в ряд Фурье на полупериоде.

Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до L имеет вид

Источник: https://tehtab.ru/Guide/GuideMathematics/SeriesOfTaylorMaklorenFourier/FourierSeries/

24.4. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена

Этого ряда определяются по формулам

(24.19)

Равенство (24.20) выполняется (ряд Тейлора сходится кВ интервале I, если остаток ряда Тейлора

Стремится к нулю при неограниченном возрастании и:

При всех х из интервала

Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора. Если функция f(x) бесконечно дифференцируема в интервалеИ ее производные

Равномерно ограничены в этом интервале, т. е. существует такое положительное число С (не зависящее от), что

• При всехИз, то верно равенство (24.20) во всем интервале
• Формула (24.20) в частном случае приОпределяет разложение функции в ряд Маклорена:
• (24.21)
• .При разложении функций в степенные ряды часто используется формула
• (24.10) и разложения в ряд Маклорена следующих функций:

Пример 24.15. Разложить в ряд по степеням х функцию Воспользуемся разложением (24.10). В формуле ЗапишемВместо

1. Таким образом, получено следующее разложение данной функции в степенной рад:
2. (24.22)
3. Этот ряд сходится при

Замечание. Формулу (24.22) можно получить и другим путем. Рад Является геометрическим рядом со знаменателем

; он сходится при, его сумма(получено по формуле

Пример 24.16. Разложить в ряд по степеням х функцию В формуле (24.22) вместо х запишем

Полученный ряд

Замечание. Этот пример можно решить и другим способом. Так как

То в соответствии с разложениями (24.10) и (24.22) по определению суммы степенных рядов (формула (24.13)) получаем

Пример 24.17. Разложить в ряд по степенямФункцию Преобразуем данную функцию следующим образом:

• Введем новую переменнуюПолагаяВоспользуемся разложением
• (24.10), записывая в немВместо
• (1)
• Или

Ряд (1) сходится приТ. е. при, илиА ряд (2) сходит

Ся приИли при

Пример 24.18. Разложить в ряд по степенямФункцию  1 Разлагая данную функцию в сумму элементарных дробей, получаем   Так как

1. (3)
2. То по формуле (24.13) находим
3. Ряд (3) сходится при, ряд (4) сходится при, поэтому ряд (5) также

Сходится при, т. е. в интервале

Пример 24.19. Найти разложение в степенной ряд функции С помощью степенного ряда для Прежде всего напишем степенной ряд для функции, записывая в формуле (24.10)Вместо, получаем

Этот ряд сходится при, т. е. в интервале; следовательно, его можно

• Интегрировать почленно по любому промежутку, содержащемуся в указанном интервале. Интегрируя ряд по промежутку, гдеНаходим
• Поскольку, то
• Этот ряд имеет радиус сходимости. На концах промежуткаРяд
• Также сходится. В частности, приПолучаем ряд

Источник: http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/spravochnik-a-a-gusak-v-m-gusak/24-4-riad-teilora-riad-maklorena/pdf

Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора

Общая постановка задачи разложения функции в ряд в комплексной области формулируется так же, как и в действительной области. А именно, для заданной функции , определенной в области и удовлетворяющий в ней него которым дополнительным условиям, требуется найти ряд вида который бы сходился в области и его сумма в этой области совпадала с .

Постановка задачи разложения функции в степенной ряд

Для функции , аналитической в области , найти ряд , сходящийся к в круге , принадлежащем области , то есть

(3.15)

Равенство (3.15) означает, что является суммой ряда в круге .

Для решения задачи нужно, очевидно, найти коэффициенты ряда по заданной функции ; найти круг сходимости ряда и установить сходимость ряда именно к . Последнее, напомним, означает, что для точек круга выполняется неравенство для любого и .

Все поставленные вопросы решаются с помощью следующей теоремы.

Теорема Тейлора о разложении функции в степенной ряд

Теорема 3.4. Функция, аналитическая в области , в окрестности каждой точки этой области представляется в виде степенного ряда (3.15), радиус сходимости которого не меньше, чем расстояние от точки до границы области . Коэффициенты ряда вычисляются по формуле

(3.16)

где — произвольный контур, принадлежащий области и охватывающий точку , в частности, — окружность или по формуле

(3.17)

На основании теоремы можно сформулировать алгоритм решения поставленной выше задачи и вывод — утверждение.

Алгоритм разложения аналитической функции в степенной ряд

1. Найти производные от данной функции: .

2. Вычислить значения производных в точке ; записать коэффициенты по формуле (3.17). Составить ряд по степеням с этими коэффициентами, который соответствует данной функции

3. Найти область сходимости полученного ряда и записать разложение (3.15).

Если функция не имеет конечных особых точек, то ряд сходится к ней во всей плоскости, .

Утверждение 3.3

1. Функция, аналитическая в точке , раскладывается в окрестности этой точки в степенной ряд.

3. Степенной ряд в круге сходимости является рядом Тейлора для своей суммы, т.е. коэффициенты ряда вычисляются по формулам (3.16), (3.17).

Примеры разложения функций по степеням z

Пример 3.13. Записать разложения по степеням функций .

Решение

• Задачу решаем по вышеприведенному алгоритму.
• 1. Найдем производные:

В поставленной задаче . По формуле (3.17) имеем

3. Нетрудно убедиться, что все составленные ряды сходятся во всей комплексной плоскости, . В результате получаем формулы, которые ранее были приняты за определения соответствующих функций:

В результате получены так называемые основные разложения.

Пример 3.14. Записать разложения по степеням функций: а) ; б) .

Решение

Задачу можно решать, пользуясь алгоритмом, а можно использовать формулы (3.13) для суммы членов геометрической профессии. Заданные функции являются аналитическими во всей комплексной плоскости за исключением одной точки . Для каждого случая получаем:

заметим, что здесь для .

Пример 3.15. Записать разложения по степеням функций: а) ; б) .

Решение

Разложения записываются для однозначных ветвей многозначного выражения. Выбор ветви определяется заданием функции в точке .

a) Функция определена во всей комплексной плоскости за исключением , т.е. в двусвязной области . Чтобы получить односвязную область из , проведем разрез, соединяющий точки и .

Из условия следует, что точка должна быть внутренней точкой области. Поэтому выбираем разрез, не проходящий через . например по лучу .

В полученной односвязной области, где , функция является однозначной аналитической функцией. Далее решаем задачу по алгоритму.

1. Находим производные (формулу устанавливаем по индукции):

2. По формуле (3.17):

3. Находим радиус сходимости ряда: , где . В результате получаем

б) Функция определена всюду в за исключением , т.е. в двусвязной области. В односвязной области, полученной из путем разреза по лучу , функция является однозначной , аналитической. Задачу можно решать, как и выше, т.е. по алгоритму, а можно использовать полученный выше результат, введя обозначение . Для , удовлетворяющих неравенству имеем разложение . Заменяя на , получаем результат

Разложения основных функция в степенной ряд

Разложения, полученные в результате решения примеров 3.13-3.15, носят название основных (табличных) разложений. Выпишем их:

Основные разложения позволяют при решении примеров на разложение функции в ряд Тейлора не пользоваться сформулированным выше алгоритмом, сложность которого связана с техникой дифференцирования и составления формулы общего члена.

Утверждение 3.4. При разложении функции в ряд Тейлора используются основные (табличные) разложения и действия над рядами.

Радиус сходимости ряда, полученного при разложении данной функции в окрестности точки , равен расстоянию от центра разложения — точки до ближайшей особой точки функции. Если функция является аналитической всюду, то .

Пример 3.16. Разложить по степеням функции комплексного переменного:

Решение

а) Обозначим через и, используя табличное разложение для функции , получим ответ:

, то есть .

б) Запишем функцию в виде произведения и, используя разложение для , получим ответ:

, то есть .

в) Чтобы воспользоваться одним из основных разложений, применим тригонометрическую формулу — формулу «понижения». Получим:

Заметим, что свободный член разложения в этой записи встречается дважды, поэтому нужно привести подобные члены. Для этого в записи рада отделим слагаемое при — свободный член:

В результате имеем .

Из этого разложения можно найти значение производной любого порядка функции в точке , так как эти значения связаны формулой (3.17) с коэффициентами разложения: .

Поэтому, учитывая, что в разложении присутствуют только четные степени, заключаем, что все производные нечетных порядков от в точке равны нулю, а производная, например, десятого порядка не равна нулю.

Найдем ее, используя равенство , где — коэффициент в разложении при , т.е. в записанном выше разложении нужно взять . Получим

Чтобы воспользоваться основным разложением, преобразуем функцию следующим образом:

Тогда, обозначая через и используя основное разложение для , получаем при условии , т.е. в круге .

Пример 3.17. Разложить в окрестности точки ветвь функции , для которой .

Решение

Функция определена всюду в , кроме точек , т.е. в трехсвязной области — плоскости с выколотыми точками и . Чтобы получить односвязную область, проведем разрезы по лучам, выходящим из этих точек.

Например, луч из точки выберем параллельным мнимой оси, , а луч из точки — по действительной оси: . В полученной односвязной области (рис. 3.

2) каждая ветвь является аналитической функцией и раскладывается в ряд в круге ( — расстояние от до границы). Здесь ветвь задается условием:

, то есть из при .

Далее, чтобы использовать основное разложение, преобразуем функцию:

Для числа в силу выбора ветви берем , а функции и раскладываем в ряды, как в предыдущем примере:

В области , принадлежащей выбранной односвязной области, сходятся оба ряда. Используя свойство сложения рядов, получаем окончательный результат:

При разложении функции в ряд в окрестности точки , т.е. по степеням , удобно использовать замену и полученную после замены функцию раскладывать по степеням .

Пример 3.18. Разложить по степеням функции: a) ; б) в) .

Решение

то есть ряд вида , где коэффициент определяется следующим образом: для и для .

б) Можно, как и выше, использовать вспомогательную переменную, а можно сделать то же самое, применив простое преобразование: . Здесь — постоянная величина, функция раскладывается в ряд как функция по степеням . Получаем ответ:

, или .

в) Обозначая через , получаем функцию . Разложение этой функции по степеням найдено в примере 3.16:

Возвращаясь к исходной переменной, получаем разложение исходной функции в круге (рис. 3.3):

Пример 3.19. Разложить по степеням функции: .

Решение

Данные функции являются простейшими рациональными (элементарными) дробями. Для их разложения используется формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии . В первом случае формула используется непосредственно, при , во втором — после преобразования получаем . Разложение заданных функций имеет вид

(3.18)

(3.19)

Соотношения (3.18),(3.19) обобщают формулу , которая получается из них при .

При разложении дроби замечаем, что она является производной от , то есть , поэтому ее разложение можно получить, используя дифференцирование ряда:

Ответ удобнее записать в виде .

Очевидно, повторяя процедуру дифференцирования, можно получить разложение элементарных дробей вида при любом натуральном .

Алгоритм разложения рациональных дробей в ряд Тейлора

Рассмотрим примеры на разложение в ряд Тейлора рациональных дробей

где и — многочлены. Первые этапы решения задачи аналогичны этапам интегрирования этих дробей. Приведем полный алгоритм.

1. Если дробь неправильная , следует выделить целую часть дроби многочлен.

2. Правильную рациональную дробь разложить на элементарные дроби:а) записать дробь в виде суммы элементарных дробей вида с неопределенными коэффициентами , где — корень знаменателя, — его кратность;б) найти неопределенные коэффициенты.

3. Разложить элементарные дроби в степенные ряды. Основными приемами при этом являются применение формул (3.13),(3.18),(3.19) и правила дифференцирования ряда (см. пример 3.19)).

Пример 3.20. Разложить по степеням функции: а) ; б) .

Решение

а) Воспользуемся алгоритмом.

1. Дробь неправильная, поэтому выделяем целую часть: .

2. Полученная правильная дробь является элементарной дробью.

3. Записываем разложение элементарной дроби и получаем:

Для разложения дроби можно было использовать формулу (3.19) при .

Для нахождения окончательного ответа нужно сделать преобразование приведения подобных членов, так как в полученном выражении свободный член встречается дважды. Имеем

, то есть .

б) Воспользуемся алгоритмом.

1. Дробь неправильная, выделяем целую часть. Можно, как и выше, применить преобразование дроби:

Можно для выделения целой части применить метод деления «углом», или, обозначая i + 2 = t, произвести почленное деление на одночлен

2,3. Записываем разложение заданной функции, используя формулу (3.19) для правильной дроби:

Окончательный ответ: .

Получен ряд вида , где . Нетрудно проверить равенство: .

Пример 3.21. Функцию разложить в ряд Тейлора в окрестности точки , если а) ; б) .

Решение
а) Воспользуемся алгоритмом.1. Дробь правильная.

2. Раскладываем ее на элементарные дроби. Для этого представим дробь в виде

где и — неопределенные коэффициенты, которые находим из тождества

1. Полагая последовательно и , получаем .
2. Записываем дробь в виде суммы дробей: .
3. 3. Раскладываем по степеням г каждую элементарную дробь:

В общей области сходимости — круге — записываем сумму рядов разложение исходной дроби:

б) Воспользуемся алгоритмом.1. Дробь правильная.

2. Разложение дроби на элементарные получено в предыдущем пункте:

3. Раскладываем по степеням каждую элементарную дробь:

Записываем разложение исходной дроби в круге

При разложении по степеням, можно было сделать замену в исходной дроби.

Радиусы сходимости в обоих случаях можно определить заранее, до записи» разложения — по виду функции. Ее особыми точками являются точки и . В первом случае ближайшей к точке является точка , расстояние между точками равно единице и, следовательно, ; во втором — обе особые точки удалены от на расстояние, равное двум, и .

Пример 3.22. Разложить по степеням функции (рациональные дроби): а) ; б) .

Решение
а) Воспользуемся алгоритмом.1. Дробь правильная.

2. Раскладываем правильную дробь на элементарные дроби, предварительно разложив знаменатель на множители:

, где и .

Представим дробь в виде . Находим коэффициенты и из тождества , т.е. из системы

Дробь представлена в виде суммы: .

3. Раскладываем элементарные дроби по степеням

Записываем ответ:

б) Воспользуемся алгоритмом.1,2. Раскладываем дробь на элементарные:

, где — неопределенные коэффициенты.Находим коэффициенты из тождества .Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , имеем

3. Раскладываем элементарные дроби по степеням

Для исходной дроби получаем разложение:

или, складывая ряды: .

Окончательный ответ: .

Пример 3.23. Разложить по степеням функции: а) ; б) .

Решение

• Обе дроби правильные; раскладывать на более простые нет необходимости. Используя основные разложения, получаем ответы:
• а) ;
• б) или .

Пример 3.24. Используя разложение функции по степеням , найти значение производной седьмого порядка в точке .

Решение

Искомая величина находится по формуле (3.17): , где — коэффициент слагаемого, содержащего степень в разложении функции в ряд Тейлора. Разложение функции можно получить, используя правило умножения рядов.

Функцию для этого представим в виде произведения . При этом нет необходимости находить первые члены разложения, достаточно определить коэффициент при степени , которая получается при перемножении.

Запишем произведение рядов:

Вычисляем коэффициент и получаем ответ: .

Пример 3.25. Записать разложение функций a) и б) по степеням до члена, содержащего .

Решение

а) Применим метод подстановки ряда в ряд, используя основные разложения для функций и . Имеем

, или, подставляя:

где . Записывать большее число слагаемых нет необходимости, так как уже у следующего (первого отброшенного) младшая степень равна .

Возведение в степень рядов, как и перемножение рядов, производится по правилам действий с многочленами, в частности применяется формула бинома Ньютона:

Так как младшая степень выражения равна трем, следовательно, — шести, то для записи результата следует взять из первых двух скобок по два слагаемых, а из остальных по одному, т.е.

Приводя подобные члены, получим окончательный ответ:

или .

Разложение, очевидно, можно получить, вычисляя коэффициенты разложения по формуле (3.17), что более громоздко.

б) Разложение можно получить, используя формулу (3.17) для коэффициентов либо произведя деление ряда на ряд методом деления «утлом» или методом неопределенных коэффициентов.

Применим последний прием. Разложение по степеням ищем в виде

По определению деления имеем тождество

из которой находим коэффициенты .

Ответ получаем в виде . Это разложение справедливо в круге , так как — ближайшая к особая точка функции тангенса .

Источник: http://MathHelpPlanet.com/static.php?p=razlozheniye-funktsiy-v-stepennyye-ryady

Методическая разработка по теме: Методическая разработка по теме "Числовые и функциональные ряды" | Социальная сеть работников образования

• МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕМЫ
• Числовые и функциональные ряды.
• Москва, 1010
• ВВЕДЕНИЕ
•         Методическое пособие предназначено для преподавателей математики, а также для студентов второго курса, обучающихся по специальности «Вычислительные машины, комплексы, сети».

        Изложение теоретического материала по всей теме сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, ведется на доступном, по возможности строгом языке. В конце пособия приведены примеры и задания, которые студенты могут выполнять в режиме самоконтроля.

        Учитывая уровень подготовки учащихся колледжа, а также крайне ограниченное число часов (12 часов  для группы ВМ 25 и 16 часов для группы ВМ 21), отводимое программой для прохождения темы «Числовые и функциональные ряды», строгие выводы, представляющие большие трудности для усвоения, опущены, ограничиваясь рассмотрением примеров.

        Ряды представляют собой простой и совершенный инструмент математического анализа для приближенного вычисления функций, интегралов и решения дифференциальных уравнений., которые возникают при решении многих практических задач.

В то время, когда точное выполнение указанных математических операций во многих случаях оказывается весьма затруднительным или невозможным , можно получить приближенное решение многих задач с любой желаемой точностью при помощи рядов

Список литературы:

Основная: 

1. Богомолов Н.В., Практические занятия по математике. М., “Высшая школа”, 1990 – 495 с.;
2. Тарасов Н.П., Курс высшей математики для техникумов. М., “Наука”, 1971 – 448 с.;
3. Зайцев И.Л., Курс высшей математики для техникумов. М., государственное издательство техникумов – теоретической литературы, 1957 — 339 с.;
4. Письменный Д.Т., Курс лекций по высшей математике. М., “Айрис Пресс”, 2005, часть 2 – 256 с.;
5. Выгодский М.Я., Справочник по высшей математике. М., “Наука”, 1975 – 872 с.;

Дополнительная: 

1. Гусак А.А., Высшая математика. В 2-х т., Т.2: Учебное пособие для студентов вузов. Мос., “ТетраСистемс”, 1988 – 448 с.;
2. Григулецкий В.Г., Лукьянова И.В., Петунина И.А., Математика для студентов экономических специальностей. Часть 2. Краснодар, 2002 – 348 с.;
3. Григулецкий В.Г. и др. Задачник-практикум по математике. Краснодар. КГАУ, 2003 – 170 с.;
4. Григулецкий В.Г., Степанцова К.Г., Гетман В.Н., Задачи и упражнения для студентов учетно-финансового факультета. Краснодар. 2001 – 173 с.;

Числовые и функциональные ряды

1. Определение числового ряда.

Источник: https://nsportal.ru/npo-spo/informatika-i-vychislitelnaya-tekhnika/library/2013/11/24/metodicheskaya-razrabotka-po-teme