Производные различных порядков от неявных функций — справочник студента

• НЕКОТОРЫЕ  СВОЙСТВА  ФУНКЦИЙ,  ЗАДАНЫХ  НЕЯВНО
• Гладышева  Кристина  Александровна
• студент  Московского  государственного  университета  информационных  технологий,  радиотехники  и  электроники,  РФ,  г.  Серпухов
• E-mail:  kristusha —malusha@mail.ru
• Таперечкина  Вера  Алексеевна

канд.  физ.-мат.  наук,.

  Доцент  Московского  государственного  университета  информационных  технологий,  радиотехники  и  электроники,  РФ,  г.  Серпухов

1. SOME  PROPERTIES  OF  IMPLICIT  FUNCTION
2. Christina  Gladysheva
3. Student  Moscow  State  University  of  Information  Technologies,  Radio  Engineering  and  Electronics,  Russia,  Serpukhov
4. Vera  Taperechkina
5. candidate  of  Physical  and  Mathematical  Sciences,  docent  Moscow  State  University  of  Information  Technologies,  Radio  Engineering  and  Electronics,  Russia,  Serpukhov
6. АННОТАЦИЯ
7. В  работе  рассмотрены  некоторые  способы  нахождения  производных  и  дифференциалов  первого  и  второго  порядков  для  неявных  функций  одного  и  двух  переменных,  в  том  числе  неявных  функций,  заданных  системой.
8. ABSTRACT
9. In  this  work  we  reviewed  some  methods  of  finding  of  first  and  second  differentials  for  Implicit  function  with  one  and  two  Variables  including  Implicit  functions  defined  by  system.
10. Ключевые  слова :  неявная  функция;  частные  производные;  дифференциал.
11. Keywords :  Implicit  function,  Partial  derivatives,  differential.

1.  Теоретические  предпосылки.

Будем  предполагать,  что  выполняемы  требования  теоремы  существования  неявной  функции  [1]  (и  ее  обобщения  для  случая  нескольких  переменных  [1]).

Теорема. 

Пусть  функция  F(x,  y)  непрерывна  в  некоторой  окрестности  точки  (,)  и  имеет  в  этой  окрестности  непрерывные  частные  производные  ,  .  Если  F(,)=0,  (,)0,  то  существует  единственное  решение    уравнения  F(x,  y)=0.  Функция    удовлетворяет  условию  и  имеет  непрерывную  производную

(=  —    (1)

Будем  предполагать  также  выполнение  условий  теоремы  Шварца  о  равенстве  смешанных  производных  [1].

2.  Формула  для  второй  производной  неявной  функции  одной  переменной.

• =0  (2)
• Если  в  тождестве  еще  раз  взять  производную  по  x,  с  учетом  того,  что    зависят  и  от  x  и,  то  получим  новое  тождество:
• +    +  (+)=0  или
• +2    ++=0
• Отсюда,  используя  (1)  получаем  формулу:

Обычно  метод  нахождения  второй  производной  для  функции,  заданной  неявно,  сводится  к  повторному  дифференцированию  данного  в  задаче  условия,  что  фактически  приводит  к  необходимости  вывода  на  каждом  конкретном  примере  формулы  (3).  Использование  готовой  формулы  (3)  существенно  упрощает  решение.

Пример  1.  Найти  производную  второго  порядка  функции,  заданной  неявно  уравнением:

Найдем  от    все  частные  производные  первого  и  второго  порядка:

.

Отсюда  по  формуле  (3)  получаем  после  преобразования  ответ:

Пример  2.  Найти    в  точке  М(0;  1),  если  функция  задана  неявно  уравнением:

По  формуле  (1)  получаем    и,  следовательно,  .  По  формуле  (3)  получаем    и,  следовательно,  .

Ответ. 

3.  Вывод  формул  для  вторых  частных  производных  функции  двух  переменных,  заданной  неявно.

Рассмотрим  функцию  двух  независимых  переменных  x  и  y,  заданную  неявно  уравнением  F(x;  y;  z)=0.  Фиксируя  по  очереди  переменные  у  и  х,  получим  из  формулы  (1)  соответственно:

  и    (4)

Найдем  формулы,  выражающие  через  частные  производные  от  F(x;  y;  z).  Для  этого  от  (4)  повторно  берем  производную.  При  повторном  взятии  производной  от  первой  из  формул  (4)  по  переменной  х  следует  учесть,  что  у  фиксирована,  а  z,  которое  содержится  в    и  ,  зависит  от  x.  Таким  образом,    и    зависят  от  x  непосредственно,  а  также  через  z.

• С  учетом  (4)  получим 
• Таким  образом,  получена  формула:
•   (5)
• Аналогично
•   (6)

Формулы  (5)  и  (6),  конечно,  согласуются  с  (3).  Найдем  теперь  смешанную  производную  второго  порядка.  Для  этого  от  первой  из  формул  (4)  берем  производную  по  у.  Отметим,  что  у  входит    и    как  непосредственно,  так  и  через  z.

1. С  учетом  (4)  получим:
2. Таким  образом,  получена  формула:
3.   (7)
4. Для  нахождения  первого  и  второго  дифференциала  подставляем  (4),  (5),  (6),  (7)  в  известные  формулы  [1].
5.   (8)
6.   (9)
7. Пример3.  Найти  первый  и  второй  дифференциал  от  функции  функцию,  заданной  неявно  уравнением:
8. Найти 

Решение:  Обозначим  F(x;  y;  z)=,  М(1;  -1;  0).  Находим  последовательно  все  частные  производные  первого  и  второго  порядка  в  точке  М(1;  -1;  0).

• По  формулам  (4),  (8)  получаем:
• Далее  по  формулам  (5),  (6),  (7),  (9)  получаем:
•   ;
• .
• Пример  4  [2].
• Найти  ,  если  z=1  в  точке    и  функция  ,  задана  неявно  уравнением:

Решение.  Обозначим  F(x;  y;  z)=;  М(1;  0;  1).  Находим  последовательно  все  частные  производные  первого  и  второго  порядка  в  точке  М(1;  0;  1).

1. По  формулам  (5),  (6),  (7),  (9)  получаем:
2. ; 
3. =.

4.  Производные  неявных  функций  одной  переменной,  заданных  системой.

Пусть  функции  F(х;  y;  z)  и  G(х;  y;  z)  непрерывны  и  имеют  непрерывные  частные  производные  в  точки  (  и  некоторой  ее  окрестности.  Точка  (  удовлетворяет  системе:

  (10)

Пусть  определитель  отличен  от  0  в  точке  (.  Тогда  в  некоторой  окрестности  точки  (  система  (10)  определяет  две  функции  y=y(x)  и  z=z(x),  такие  что  y(;  z(.  Функции  y(х)  и  z(х)  непрерывны  и  имеют  производные  [1].

• Способ  нахождения  этих  производных  состоит  в  том,  что  от  уравнений  системы  (10)  берется  производная  по  х  и  далее  из  полученной  системы  находится  ,  а  именно:
•   или    (11)
• Система  (11)  линейная  по  ,  и  ее  определитель  отличен  от  0.  По  правилу  Крамера  из  (12)  получим: 
• ;  =;  (12)
• Для  вычисления  вторых  производных  следует  от  уравнений  системы  (11)  еще  раз  взять  производную  по  х  и  далее,  используя  уже  известные  ,  найти  .
• Пример5.  Функции  y(x),  z(x)  заданы  неявно  системой 
• Найти  ,  если  у(1)=1;  z(1)=1.

Решение.  Возьмем  производную  по  х  от  уравнений  системы,  учитывая,  что  х  —  независимая  переменная,  y=y(х),  z=z(х). 

1.   (13)
2. Отсюда:
3. Возьмем  еще  раз  производную  по  х  от  уравнений  системы  (13),  тогда  получим
4. Умножим  первое  уравнение  на  2  и  далее  сложим  уравнения,  тогда
5.   .
6. Из  второго  уравнения  последней  системы  найдем
7.   .
8. .

5.  Производные  неявных  функций  двух  переменных,  заданных  системой.

• Пусть  теперь  система  двух  уравнений  задает  две  функции,  где  —  независимые  переменные
• способы  нахождения  частных  производных  и  дифференциалов  первого  и  второго  порядков.
• Пример  6  [3].
• Найти  du,  dv,  ,  если  u(х,  у)  и  v(х,  у)  заданы  системой 
•   Преобразуем  условия 
• (14)
• Берем  от  системы  (14)  производную  по  x,  при  этом  y  считаем  постоянным,  .
• Решая  эту  систему,  например,  по  правилу  Крамера,  получим:
• Берем  от  системы  (14)  производную  по  у,  при  этом  х  считаем  постоянным,  .
• Решая  эту  систему,  например,  по  правилу  Крамера,  получим: 
• Так  как  то  получим  ответы  для  первых  дифференциалов.
•   (15)
• Первый  дифференциал  можно  найти,  если  к  системе(14)  применить  операцию  взятия  дифференциала  с  учетом  инвариантности  формы  1-ого  дифференциала  и  свойств  дифференциала  ;
• ;
• ).
•   (16)

Из  первого  уравнения  .  Подставим  во  второе  уравнение.

1. Найдем  отсюда  du:
2. Аналогично,  если  из  первого  уравнения  системы  (16)  выразить  du  и  подставить  во  второе  уравнение  системы  (16),  получим:
3. И  вновь  получили  ответ  (15).

Второй  дифференциал  аналогично  можно  найти  двумя  способами.  Во  втором  способе  (метод  взятия  дифференциала)  при  повторном  взятии  дифференциала  следует  обратить  внимание  на  то,  что    Рассмотрим  этот  способ.  Берем  дифференциал  от  (16).  Первое  уравнение  системы  (16)  дает: 

• Подставляем  в  это  уравнение    и  решаем  его  относительно  .  
• Здесь  du  и  dv  найденные  нами  ранее  значения  (15).
• Список  литературы:

1.Архипов  Г.И.,  Садовничий  В.А.,  Чубариков  В.Н.  Лекции  по  математическому  анализу,  М.:Дрофа,  2004.

2.Виноградова  И.Л.,  Олехник  С.Н.,  Садовничий  В.А.  Задачи  и  упражнения  по  математическому  анализу  М.В.Ш.,  2002.

3.Демидович  Б.П.  Сборник  задач  и  упражнений  по  математическому  анализу,  М.:Наука,  1990.

Источник: https://sibac.info/conf/naturscience/xxx/41989

2.8. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция f(x) определена и дифференцируема на некотором промежутке X, тогда ее производная (x) также является функцией от x на этом промежутке. Если (x) имеет производную на промежутке X, то эта производная называется производной второго порядка функции y = f(x) и обозначается: y» или (x).

Итак, (x) = ((x))‘.

Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядкаи обозначается: y»’ или (x).

Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной (n – 1)-го порядка и обозначается: y(n) или f (n)(x). Итак, f (n)(x) = (f (n-1)(x))‘.

Пример 1. f (x) = . Найти (x) и (4).

Решение.  =  =, (x) = –, (x) = = ,

(4) = = = .

Пример 2. Найти производную n-го порядка для функции y = e3x.

Решение. y’ = 3e3x, y» = 3× 3e3x= 32e3x, y»’ = 33e3x.

По аналогии находим: y(n) = 3ne3x.

Рассмотрим механический смысл второй производной.

Пусть путь S, пройденный телом по прямой за время t, выражается формулой S = f(t). Известно, что при этом скорость V в момент времени t равна производной от пути по времени: V = . В момент времени t + Dt скорость получит приращение

DV = V(t + Dt) – V(t).

Отношение называется средним ускорениемза время Dt. Ускорением a в данный момент времени называется предел среднего ускорения, когда Dt ® 0:

a = , т.е. a = V’(t) = (S(t))‘ = S»(t).

Следовательно, ускорение при прямолинейном движении равно второй производной от пути по времени: a = S»(t).

Перейдем к рассмотрению дифференциалов высших порядков.

Пусть y = f(x), xÎX. Дифференциал этой функции y = f’(x)dx является функцией от x (если x – не фиксированное число), dx – приращение аргумента x, оно не зависит от x.

• Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка и обозначается d2y или d2f(x).
• Итак, d2y = d(dy), но dy= dx, поэтому
• d2y = d(dx) = (dx)dx = (dx)2.
• Будем вместо (dx)2 писать dx2.
• Дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от дифференциала второго порядка и обозначается d3y или d3f(x):

d3y = d(d2y) = d(dx2) = dx3 и т.д.

Дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала (n – 1)-го порядка dny = d(dn – 1y) = d(f(n – 1)(x)dxn – 1) = f (n)(x)dxn.

Итак, dny = f (n)(x)dxn. Отсюда f(n)(x) =  .

Заметим, что выражение производной через отношение дифференциалов часто бывает удобно, поэтому оно широко используется. Так, вместо  будем писать: , вместо  пишем: .

Пример 3. Найти d3y для функции y = cos2x.

Решение. d3y = y»’dx3. Вычислим   y»’, находя последовательно  y’,  y»,  y»’:

1. y’ = (cos2x)‘ = –2cosxsinx = –sin2x,  y» = (–sin2x)‘ = –2cos2x,  y»’ = 4sin2x.
2. Следовательно,   d3y = 4sin2xdx3.
3. Рассмотрим нахождение производных высших порядков для функций, заданных параметрически и неявно.
4. Пусть функция y, зависящая от x, задана параметрически уравнениями
5.  ,  tÎT
6. (T – некоторый промежуток).

Найдем . Известно, что =  =  (разд.2.6), поэтому

=  = = = .

Аналогично будут вычисляться и т.д.

• Пример 4. Функция y от x задана параметрически уравнениями:
•   ,   0£ t £ p.
• Найти .
• Решение.   =  = = = –tgt;
• = = = —= .
• Нахождение производных высших порядков от функций, заданных неявно, рассмотрим на примере.

Пример 5. Найти ,  для функции, заданной неявно уравнением: ey + xy = e.   Вычислить y’(0),   y»(0).

Решение. Найдем сначала y’, как описано в в разд. 2.5:

1. (ey + xy)‘ = (e)‘,  ey×y’ + y + xy’ = 0,   y’(ey + x) = –y,  y’ = –.
2. Для нахождения y» будем дифференцировать равенство ey×y’ + y + xy’ = 0, получим:
3. ey×(y’)2 + ey×y» + y’ + y’ + xy» = 0, отсюда найдем y», затем подставим найденное значение y’:    y»(ey + x) = –ey×(y’)2 – 2y’,
4. y» = –= =  =
5. = .
6. Итак, y’ = –,  y» = . Подставим x = 0 в исходное уравнение  ey + xy = e,   получим:    ey + 0×y = e,  откуда    y = 1,   значит,
7. y(0) = 1;       y’(0) = –;        y»(0) =  = .

Источник: http://libraryno.ru/2-8-proizvodnye-i-differencialy-vysshih-poryadkov-matan/

Производная функции, заданной неявно

Формула производной функции, заданной неявно. Доказательство и примеры применения этой формулы. Примеры вычисления производных первого, второго и третьего порядка.

Пусть функция задана неявным образом с помощью уравнения (1)   . И пусть это уравнение, при некотором значении , имеет единственное решение . Пусть функция является дифференцируемой функцией в точке , причем . Тогда, при этом значении , существует производная , которая определяется по формуле: (2)   .

Доказательство

Для доказательства рассмотрим функцию как сложную функцию от переменной : . Применим правило дифференцирования сложной функции и найдем производную по переменной от левой и правой частей уравнения (3)   : . Поскольку производная от постоянной равна нулю и , то (4)   ; .

Формула доказана.

Производные высших порядков

Перепишем уравнение (4), используя другие обозначения: (4)   . При этом и являются сложными функциями от переменной : ; . Зависимость определяет уравнение (1): (1)   .

Находим производную по переменной от левой и правой части уравнения (4). По формуле производной сложной функции имеем: ; . По формуле производной произведения: . По формуле производной суммы: .

Поскольку производная правой части уравнения (4) равна нулю, то (5)   . Подставив сюда производную , получим значение производной второго порядка в неявном виде.

Продолжая дифференцирование, можно найти производную любого порядка.

Примеры

Пример 1

Найдите производную первого порядка от функции, заданной неявно уравнением: (П1)   .

Решение по формуле 2

Находим производную по формуле (2): (2)   .

Перенесем все переменные в левую часть, чтобы уравнение приняло вид  . . Отсюда  .

Находим производную по , считая постоянной. ; ; ; .

Находим производную по переменной , считая переменную постоянной. ; ; ; .

По формуле (2) находим: .

Мы можем упростить результат если заметим, что согласно исходному уравнению (П.1), . Подставим  : . Умножим числитель и знаменатель на : .

Решение вторым способом

Решим этот пример вторым способом. Для этого найдем производную по переменной левой и правой частей исходного уравнения (П1).

Применяем формулу производной сложной функции: . Применяем формулу производной дроби: ; . Применяем формулу производной сложной функции: . Дифференцируем исходное уравнение (П1).

(П1)   ;

; . Умножаем на и группируем члены. ; .

Подставим    (из уравнения (П1)): . Умножим на  : .

Ответ

Пример 2

Найти производную второго порядка от функции , заданной неявно с помощью уравнения: (П2.1)   .

Решение

Дифференцируем исходное уравнение, по переменной , считая что является функцией от : ; . Применяем формулу производной сложной функции.

.

Дифференцируем исходное уравнение (П2.1): ; . Из исходного уравнения (П2.1) следует, что  . Подставим  : . Раскрываем скобки и группируем члены:

;

(П2.2)   . Находим производную первого порядка:

(П2.3)   .

Чтобы найти производную второго порядка, дифференцируем уравнение (П2.2). ; ; ; . Подставим выражение производной первого порядка (П2.3):

.

Умножим на : ; . Отсюда находим производную второго порядка.

Ответ

Пример 3

Найти производную третьего порядка при от функции , заданной неявно с помощью уравнения: (П3.1)   .

Решение

Дифференцируем исходное уравнение по переменной считая, что является функцией от . ; ; ; ; ; ; (П3.2)   ;

Дифференцируем уравнение (П3.2) по переменной . ; ; ; ; ; (П3.3)   .

Дифференцируем уравнение (П3.3). ; ; ; ; ; (П3.4)   .

Из уравнений (П3.2), (П3.3) и (П3.4) находим значения производных при . ; ; .

Ответ

.

Источник: https://1cov-edu.ru/mat_analiz/proizvodnaya/nayti/neyavnoy-funktsii/

Найти производную второго порядка

Данный онлайн калькулятор позволяет находить производную функции второго порядка.
Производная служит обобщенным понятием скорости изменения функции. Производная f’(x) функции f(x) в точке x – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Нахождение производной функции называется дифференцированием функции.

Так как производная функции также является функцией, то эту функцию можно дифференцировать еще раз. Если функция дифференцируема, то ее производную называют второй производной от f(x) и она обозначается f’’(x).

Вторая производная определяет скорость изменения скорости, другими словами, ускорение. Нахождение производной второго порядка может быть использовано, например, для анализа выпуклости функций.

Калькулятор поможет найти производную функции второго порядка онлайн.

Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

Основные функции : x^a модуль x: abs(x) : Sqrt[x] : x^(1/n) : a^x : Log[a, x] : Log[x] : cos[x] или Cos[x] : sin[x] или Sin[x] : tan[x] или Tan[x] : cot[x] или Cot[x] : sec[x] или Sec[x] : csc[x] или Csc[x] : ArcCos[x] : ArcSin[x] : ArcTan[x] : ArcCot[x] : ArcSec[x] : ArcCsc[x] : cosh[x] или Cosh[x] : sinh[x] или Sinh[x] : tanh[x] или Tanh[x] : coth[x] или Coth[x] : sech[x] или Sech[x] : csch[x] или Csch[е] : ArcCosh[x] : ArcSinh[x] : ArcTanh[x] : ArcCoth[x] : ArcSech[x] : ArcCsch[x] [19.67] =19: integral part of (19.67) — выделяет целую часть числа (integerPart)

Производные Для того, чтобы найти производную функции нужно написать в строке: f[x], x. Если Вам требуется найти производную n-го порядка, то следует написать: f[x], {x, n}. В том случае, если Вам требуется найти частную производную функции напишите в окне гаджета: f[x, y, z,…,t], j, где — интересующая Вас переменная. Если нужно найти частную производную по некоторой переменной порядка n, то следует ввести: f[x, y, z,…,t], {j, n}, где означает тоже, что и Выше. Важно подчеркнуть, что калькулятор выдает пошаговое нахождение производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа. Примеры x*E^x, x; x^3*E^x, {x,17}; x^3*y^2*Sin[x+y], x; x^3*y^2*Sin[x+y], y, x/(x+y^4), {x,6}.

Источник: https://allcalc.ru/node/664