Преобразования галилея. принцип относительности в классической механике — справочник студента

ЕГЭ 2018 по физике ›

Преобразования Галилея. Принцип относительности в классической механике - Справочник студента

Специальная теория относительности (СТО) – физическая теория, рассматривающая пространственно-временные свойства физических процессов.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Закономерности СТО проявляются при больших (сравнимых со скоростью света) скоростях. Законы классической механики в этом случае не работают.

Причина этого заключается в том, что передача взаимодействий происходит не мгновенно, а с конечной скоростью (скоростью света).

Классическая механика является частным случаем СТО при небольших скоростях. Явления, описываемые СТО и противоречащие законам классической физики, называют релятивистскими. Согласно СТО одновременность событий, расстояния и промежутки времени являются относительными.

В любых инерциальных системах отсчета при одинаковых условиях все механические явления протекают одинаково (принцип относительности Галилея). В классической механике измерение времени и расстояний в двух системах отсчета и сравнение этих величин считаются очевидными. В СТО это не так.

События являются одновременными, если они происходят при одинаковых показаниях синхронизированных часов. Два события, одновременные в одной инерциальной системе отсчета, не являются одновременными в другой инерциальной системе отсчета.

Инвариантность скорости света. Принцип относительности Эйнштейна

В 1905 г. Эйнштейн создал специальную теорию относительности (СТО). В основе его теории относительности лежат два постулата:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Фазное и линейное напряжение - справочник студента

Оценим за полчаса!
  • Любые физические явления во всех инерциальных системах отсчета при одинаковых условиях протекают одинаково (принцип относительности Эйнштейна).
  • Скорость света в вакууме во всех инерциальных системах отсчета одинакова и не зависит от скорости источника и приемника света (принцип постоянства скорости света).

Первый постулат распространяет принцип относительности на все явления, включая электромагнитные. Проблема применимости принципа относительности возникла с открытием электромагнитных волн и электромагнитной природы света. Постоянство скорости света приводит к несоответствию с законом сложения скоростей классической механики.

По мысли Эйнштейна, изменения характера взаимодействия при смене системы отсчета не должно происходить. Первый постулат Эйнштейна непосредственно вытекает из опыта Майкельсона–Морли, доказавшего отсутствие в природе абсолютной системы отсчета. В этом опыте измерялась скорость света в зависимости от скорости движения приемника света.

Из результатов этого опыта следует и второй постулат Эйнштейна о постоянстве скорости света в вакууме, который вступает в противоречие с первым постулатом, если распространить на электромагнитные явления не только сам принцип относительности Галилея, но и правило сложения скоростей.

Следовательно, преобразования Галилея для координат и времени, а также его правило сложения скоростей к электромагнитным явлениям неприменимы.

  • Следствия из постулатов СТО
  • Если проводить сравнение расстояний и показаний часов в разных системах отсчета с помощью световых сигналов, то можно показать, что расстояние между двумя точками и длительность интервала времени между двумя событиями зависят от выбора системы отсчета.
  • Относительность расстояний:

Преобразования Галилея. Принцип относительности в классической механике - Справочник студента

  1. где ​( I_0 )​ – длина тела в системе отсчета, относительно которой тело покоится, ​( l )​ – длина тела в системе отсчета, относительно которой тело движется, ​( v )​ – скорость тела.
  2. Это означает, что линейный размер движущегося относительно инерциальной системы отсчета уменьшается в направлении движения.
  3. Относительность промежутков времени:

Преобразования Галилея. Принцип относительности в классической механике - Справочник студента

  • где ​( au_0 )​ – промежуток времени между двумя событиями, происходящими в одной точке инерциальной системы отсчета, ​( au )​ – промежуток времени между этими же событиями в движущейся со скоростью ​( v )​ системе отсчета.
  • Это означает, что часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее неподвижных часов и показывают меньший промежуток времени между событиями (замедление времени).
  • Закон сложения скоростей в СТО записывается так:

Преобразования Галилея. Принцип относительности в классической механике - Справочник студента

  1. где ​( v )​ – скорость тела относительно неподвижной системы отсчета, ​( v’ )​ – скорость тела относительно подвижной системы отсчета, ​( u )​ – скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной, ​( c )​ – скорость света.
  2. При скоростях движения, много меньших скорости света, релятивистский закон сложения скоростей переходит в классический, а длина тела и интервал времени становятся одинаковыми в неподвижной и движущейся системах отсчета (принцип соответствия).
  3. Для описания процессов в микромире классический закон сложения неприменим, а релятивистский закон сложения скоростей работает.

Полная энергия

Полная энергия ​( E )​ тела в состоянии движения называется релятивистской энергией тела:

Преобразования Галилея. Принцип относительности в классической механике - Справочник студента

Полная энергия, масса и импульс тела связаны друг с другом – они не могут меняться независимо.

Закон пропорциональности массы и энергии – один из самых важных выводов СТО. Масса и энергия являются различными свойствами материи. Масса тела характеризует его инертность, а также способность тела вступать в гравитационное взаимодействие с другими телами.

Важно! Важнейшим свойством энергии является ее способность превращаться из одной формы в другую в эквивалентных количествах при различных физических процессах – в этом заключается содержание закона сохранения энергии. Пропорциональность массы и энергии является выражением внутренней сущности материи.

Энергия покоя

Наименьшей энергией ​( E_0 )​ тело обладает в системе отсчета, относительно которой оно покоится. Эта энергия называется энергией покоя:

Энергия покоя является внутренней энергией тела.

В СТО масса системы взаимодействующих тел не равна сумме масс тел, входящих в систему. Разность суммы масс свободных тел и массы системы взаимодействующих тел называется дефектом масс – ​( Delta m )​.

Дефект масс положителен, если тела притягиваются друг к другу. Изменение собственной энергии системы, т. е.

при любых взаимодействиях этих тел внутри нее, равно произведению дефекта масс на квадрат скорости света в вакууме:

Преобразования Галилея. Принцип относительности в классической механике - Справочник студента

Экспериментальное подтверждение связи массы с энергией было получено при сравнении энергии, высвобождающейся при радиоактивном распаде, с разностью масс исходного ядра и конечных продуктов.

Это утверждение имеет разнообразные практические применения, включая использование ядерной энергии. Если масса частицы или системы частиц уменьшилась на ( Delta m ), то при этом должна выделиться энергия ​( Delta E=Delta mcdot c^2 )​.

Кинетическая энергия тела (частицы) равна:

Преобразования Галилея. Принцип относительности в классической механике - Справочник студента

Важно! В классической механике энергия покоя равна нулю.

Релятивистский импульс

Релятивистским импульсом тела называется физическая величина, равная:

где ​( E )​ – релятивистская энергия тела.

Для тела массой ​( m )​ можно использовать формулу:

Преобразования Галилея. Принцип относительности в классической механике - Справочник студента

В экспериментах по исследованию взаимодействий элементарных частиц, движущихся со скоростями, близкими к скорости света, подтвердилось предсказание теории относительности о сохранении релятивистского импульса при любых взаимодействиях.

Важно! Закон сохранения релятивистского импульса является фундаментальным законом природы.

  • Классический закон сохранения импульса является частным случаем универсального закона сохранения релятивистского импульса.
  • Полная энергия ​( E )​ релятивистской частицы, энергия покоя ​( E_0 )​ и импульс ​( p )​ связаны соотношением:
  • Из него следует, что для частиц с массой покоя, равной нулю, ​( E_0 )​ = 0 и ​( E=pc )​.

Основные формулы раздела «Основы специальной теории относительности»

Источник: https://fizi4ka.ru/egje-2018-po-fizike/osnovy-specialnoj-teorii-otnositelnosti.html

L3-1

Лекция 3

Принцип относительности Галилея

Понятие принципа относительности. Абсолютность пространства и времени. Формулы преобразования Галилея. Инвариантность законов механики Ньютона по отношению преобразований Галилея.

До сих пор мы проводили исследование механических явлений в одной и той же инерциальной системе отсчета. Однако то же самое движение можно рассматривать в любых, двигающихся прямолинейно и равномерно друг относительно друга многочисленных ИСО.

Естественно возникает вопрос: одинаково ли протекают явления в разных ИСО, и какая существует связь между законами и уравнениями физики, полученными в разных ИСО для одного и того же явления?Ответ на эти вопросы дает принцип относительности.

Благодаря этому принципу ИСО приобрели в физике чрезвычайную важность.

Поясним физическое содержание принципа относительности:

Принцип относительности в механике сформулирован Галилеем и носит его имя. Он утверждает, что механические явления протекают одинаково во всех ИСО.

Это означает, что по результатам механического опыта в ИСО невозможно установить движется она или находится в состоянии покоя относительно гелиоцентрической (или любой другой инерциальной) СО.

Если в разных ИСО есть лаборатории, оборудованные устройствами, способными возбуждать и исследовать механические явления, то в них можно получить законы механики, соответствующие этим ИСО.

Должны ли совпадать эти законы и уравнения, или каждая ИСО имеет свою, отличную от других, механику? Принцип относительности Галилея утверждает, что прямолинейное и равномерное движение ИСО друг относительно друга никак не может влиять на протекание в них механических явлений и, следовательно, механика, построенная в лаборатории одной ИСО, будет верна для всех других ИСО.

Теперь выясним другой важный вопрос. Пусть в какой-то точке пространства возбуждено какое-либо механическое явление (например, брошена частица) и это явление исследуется из различных ИСО. Совпадают ли результаты этих исследований? А если нет, то какая между ними существует связь.

Равнозначности ИСО часто дается ложное толкование: что механическое явление протекает совершенно одинаково, в смысле имеет один и тот же вид для наблюдателей из разных ИСО. Это неверно. В поезде свободно падающее без начальной скорости тело, движется по параболе относительно платформы.

И это вполне понятно, поскольку закон движения свободно падающего тела зависит от начальных условий движения. Тело, свободно падающее относительно поезда без начальной скорости, имеет горизонтальную начальную скорость, равную скорости поезда, относительно платформы.

Значит, в разных ИСО данное движение частицы характеризуется разными начальными условиями и, следовательно, не может иметь относительно них одинаковый вид.

В разных ИСО законы движения частиц   будут отличаться друг от друга начальными условиями, а поскольку дифференциальные уравнения движения независимы от начальных условий, то они математически должны иметь одинаковый вид.

Пусть мы следим за движением частицы из инерциальных систем отсчета  и , из которых  «неподвижна», а  — движется со скоростью . Не нарушая общности, можно выбрать координатные оси К и К´ параллельными друг другу так, чтобы их оси абсциссX и X´ имели бы направление движения:  (рис. 3.1).

Преобразования Галилея. Принцип относительности в классической механике - Справочник студента

рис.3.1

  •  Движение частицы относительно системы  будет описываться пространственно-временными координатами
  •                                                     (3.1)
  • а относительно
  • (3.2)
  • где и  соответственно показания часов  и .
  • Рассматривая данное движение частицы, наблюдатели ИСО  и получат каждый свои законы и уравнения движения. Это определенные связи между пространственно-временными координатами и их производными по времени
  • в  :                               ,                                            (3.3)
  • в  :                                                                         (3.4)
Читайте также:  Факторы производства - справочник студента

Какова связь между этими уравнениями? Естественно, между координатами ИСО К и К´ (3.1) и (3.2)  должны существовать определенные связи:

                ,                 (3.5)

                ,  .               (3.6)

Эти соотношения называются формулами преобразования пространственно-временных координат. Их можно получить только на основании определенных представлений о пространстве и времени.

Принцип относительности утверждает что, подставив формулы преобразования (3.5) в закон (3.3), мы должны получить закон (3.4) и  наоборот, формулы преобразования (3.6) должны привести уравнение (3.4) к виду (3.3). Поэтому (3.5) называется формулой преобразования перехода , а (3.6) – .

Заметим, что если (3.3) и (3.4) уравнения, независимые от начальных условий в ИСО  и , каковыми являются, например, дифференциальные уравнения движения, то они будут отличаться только тем, что один будет включать в себя координаты со штрихами, а второй – без штрихов.

Если координатные преобразования оставляют уравнения без изменений, то говорят, что уравнения инвариантны относительно этих преобразований.

Значит, независимые от начальных условий законы и уравнения должны быть инвариантными относительно преобразований (3.5) и (3.6). Данное утверждение принципа относительности накладывает серьезные ограничения на математические формулы законов, выражающих естественные явления.

  1. Перейдем к получению конкретного вида формул преобразования.
  2. Преобразования Галилея.
  3. Опыты, относящиеся к медленным движениям макроскопических тел, сформировали представление об абсолютности пространства и времени.
  4. Абсолютность пространства предполагает одинаковость расстояния между двумя точками (или, одинаковость линейных размеров тел), а абсолютность времени – одинаковость длительности процессов в различных системах отсчета.

Пусть система отсчета  движется относительно  со скоростью . Длина стержня – это модуль разности радиус-векторов его концов. Так что, абсолютность пространства математически выразится как (см. рис. 3.2)

  •                                                                                                       (3.7)
  • Если возбужден какой-то процесс, началу и концу которого в системе отсчета соответствуют моменты времени t1 и t2 , а в системе отсчета  — моменты времени  и , то абсолютность времени означает, что
  •                                                                                                        (3.8)

Эти представления об абсолютности пространстве и времени, которые лежат в основе ньютоновской механики, казались настолько обычными, что считались «само собой разумеющимися» и даже особо не формулировались. Однако они лежат в основе любой формулы классической механики.

Например, пользуясь векторным треугольником, приведенным на рис. 3.2, мы можем написать

                                                                                         (3.9)

где   — радиус-вектор, характеризующий относительное положение начал СО  и . Вычитая полученные выражения друг из друга, получим условие абсолютности пространства (3.7). В этой интерпретации абсолютности пространства и времени не требуется инерциальности системы отсчетов  и . Оно верно для любых СО.

Преобразования Галилея. Принцип относительности в классической механике - Справочник студента

рис.3.2

Преобразования Галилея. Принцип относительности в классической механике - Справочник студента

рис.3.3

Теперь рассмотрим инерциальные системы  и , и, пользуясь абсолютностью пространства и времени, получим явный вид формул преобразования (3.5) и (3.6) (рис. 3.3).

Договоримся за начало отсчета времени в системах отсчета  и  считать тот момент, когда во время относительного движения их начала и  совпадают: , когда .

Тогда из условия абсолютности времени следует, что во все последующие моменты часы в системах  и  будут иметь одинаковые показания:

                                                            ,                                                         (3.10)

течение времени одинаково во всех системах отсчета.

Теперь определим длину покоящейся линейки О'А в  и . Пользуясь абсолютностью пространства, из рис. 3.3 запишем

                                                                                                     (3.11)

Так как  — это перемещение точки начала отсчета  за время t, то . С учетом последнего (3.11) примет следующий вид

                                                                                                     (3.12)

Связи (3.10) и (3.12) вместе дают формулы преобразования пространственно-временных координат в ньютоновской механике и известны под названием преобразований Галилея.

В прямоугольной системе координат (рис. 3.3) преобразования Галилея примут вид

                                             ,    ,                            (3.13)

а обратные преобразования

                                                ,          .                             (3.14)

Заметим, что  преобразуется только координата по направлению относительного движения систем  и  (продольная координата).  Координаты в направлениях, перпендикулярных движению (поперечные координаты) преобразованиям не подвергаются.

Дифференцируя (3.12) по времени, учитывая (3.10)

  1. получим преобразование скоростей:
  2.                                                                                                            (3.15) 
  3. или, в компонентах –
  4.                                                                         (3.15') 
  5. в котором
  6.                                                                                               (3.16) 

— скорости частиц соответственно в системах  и . Полученная формула (3.15)  выражает закон векторного сложения скоростей.

  • Дифференцируя (3.15) по времени, получим преобразование ускорений:
  •                                                                                           (3.17)
  • Поскольку системы  и  инерциальные, то , благодаря чему
  •                                           ,                                                        (3.18)
  • где    

— ускорения частиц соответственно в системах  и . Следовательно, ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея.

Источник: http://www.rau.am/fiz_osnovy_mexaniki/Lections/L3/L3-1.htm

Принцип относительности Галилея

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: инерциальные системы отсчёта, принцип относительности Галилея.

Изучение теории относительности Эйнштейна мы начинаем с более глубокого рассмотрения принципа относительности Галилея. Это позволит нам лучше понять, каковы были предпосылки создания теории относительности.

Ключевую роль в механике и теории относительности играет понятие инерциальной системы отсчёта. Если вы забыли, что это такое, то обязательно прочитайте ещё раз Первый закон Ньютона.

В конце этой темы было кратко сказано о принципе относительности Галилея. Настало время поговорить о нём подробнее. В чём же суть данного принципа?

Наблюдатель на корабле

Представьте себе, что вы находитесь в каюте корабля. Никакого движения в пространстве вы не ощущаете — вам кажется, что корабль стоит на месте. Но вас всё же интересует, покоится ли корабль или движется равномерно и прямолинейно. Можете ли вы установить это, не выглядывая в иллюминатор?

Допустим, что с данной целью вы производите всевозможные эксперименты, наблюдая различные механические явления в вашей каюте.

Вы исследуете свободное падение тел, соскальзывание тела с наклонной плоскости, вращательное движение, колебания маятников, распространение звуковых волн. . .

Вам детально известен ход этих явлений в неподвижной лаборатории на земле, и теперь вы пытаетесь найти какие-либо отклонения в их протекании, вызванные равномерным прямолинейным движением судна.

Никаких отклонений обнаружить не удастся! Поставив в каюте корабля любой механический эксперимент и сопоставив его с аналогичным экспериментом на земле, вы увидите, что полученные результаты не отличаются друг от друга.

Например, вы бросаете мячик со скоростью 5 м/с под углом к горизонту относительно палубы. Оказывается, мячик на корабле опишет ровно ту же самую траекторию, что и на берегу при тех же начальных условиях (скорость и угол броска).

Равномерное прямолинейное движение корабля никак не сказывается на протекании механических явлений на этом корабле. Поэтому никакой опыт из механики, проведённый в лаборатории корабля, не в состоянии определить, покоится ли корабль или движется равномерно и прямолинейно.

Систему отсчёта, связанную с землёй, во многих ситуациях можно считать инерциальной.(Конечно, Земля совершает суточное вращение и движется вокруг Солнца, поэтому земная лаборатория будет иметь ускорение. Но во многих задачах этим ускорением можно пренебречь.

) Система отсчёта корабля, движущаяся относительно земной системы отсчёта равномерно и прямолинейно, также будет инерциальной.

Мы приходим к выводу, что с точки зрения механических явлений инерциальные системы отсчёта совершенно равноправны: никакой механический эксперимент не в состоянии выделить и сделать привилегированной какую-то одну инерциальную систему отсчёта по сравнению с остальными.

Это и есть принцип относительности, открытый Галилеем.

Принцип относительности Галилея. Всякое механическое явление при одних и тех же начальных условиях протекает одинаково в любой инерциальной системе отсчёта.

Инвариантность законов механики

Принцип относительности Галилея означает, что законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. А именно, математическая форма второго и третьего законов Ньютона не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Давайте убедимся в этом непосредственно на следующем простом примере.

Рассмотрим две системы отсчёта: и . Координатные оси этих систем сонаправлены. Систему будем считать неподвижной. Система движется относительно неё с постоянной скоростью вдоль общего направления осей и (рис. 1)

Преобразования Галилея. Принцип относительности в классической механике - Справочник студента
Рис. 1. Система движется относительно системы

В тот момент, когда начала координат и совпадали, часы обеих систем были выставлены на ноль и запущены. Стало быть, часы в системах и идут синхронно, показывая одно и то же время . В момент времени расстояние равно .

Нас интересует, как описывается движение тела (для определённости называемого далее частицей) в системах отсчёта и .

Прежде всего, выясним, как связаны друг другом координаты частицы и моменты времени в обеих системах отсчёта.

Пусть в момент времени по часам частица имеет в системе координаты . Вообще, четвёрка чисел называется событием. Событие состоит в том, что в данной точке пространства в данный момент времени что-то происходит — вот, например, в точке с координатами в момент времени оказывается наша частица.

В системе это же событие описывается четвёркой чисел . А именно, местонахождение частицы в системе описывается координатами , а часы показывают при этом время .

Глядя на рис. 1, совершенно ясно, что будет меньше на величину , координата совпадает с , а совпадает с . Кроме того, как уже было сказано, время на часах и одно и то же: .

Итак, имеем:

(1)

Формулы (1) называются преобразованиями Галилея. Они связывают координаты и время одного и того же события, измеренные в разных инерциальных системах отсчёта: в движущейся системе и неподвижной системе .

Таким образом, преобразования Галилея в механике служат математическим описанием перехода от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Рассмотрим некоторые следствия, вытекающие из преобразований Галилея.

Пусть наша частица имеет в системе скорость , а в системе — скорость . Как связаны между собой эти скорости? Дифференцируем первые три равенства (1) по времени (которое одинаково в обеих системах отсчёта):

  • .
  • Производные координат по времени — это проекции скоростей:
  • . (2)
  • Три равенства (2) можно записать в виде одной векторной формулы:
  • ,
  • или
  • .

Получился хорошо известный нам закон сложения скоростей: скорость тела относительно неподвижной системы отсчёта есть скорость тела относительно движущейся системы отсчёта плюс скорость движущейся системы относительно неподвижной. Мы видим, таким образом, что закон сложения скоростей в механике является следствием преобразований Галилея.

  1. Дифференцируем по времени ещё раз — на сей раз соотношения (2). Производная постоянной величины обращается в нуль, и мы получаем равенство ускорений:
  2. ,
  3. или
  4. .

Итак,
ускорение частицы одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Это ещё одно следствие преобразований Галилея.

Теперь запишем второй закон Ньютона для нашей частицы в системе :

(3)

При переходе в систему ускорение частицы , как мы выяснили, остаётся прежним. А что можно сказать об остальных двух величинах, входящих в (3), — массе и силе?

Масса есть мера инертности тела; масса показывает, в какой степени тело «сопротивляется» изменению скорости. Но приращение скорости — нашей частицы будет одним и тем же в любой инерциальной системе отсчёта. Следовательно, масса частицы во всех инерциальных системах отсчёта одинакова.

Силы в механике зависят от расстояний между телами и, быть может, скоростей тел друг относительно друга. Но расстояние между двумя точками пространства одинаково во всех инерциальных системах отсчёта.

Скорость одной частицы относительно другой также не зависит от того, в какой инерциальной системе отсчёта рассматривается движение. Стало быть, сила одинакова во всех инерциальных системах отсчёта.

Величины и соотношения, не меняющиеся при определённых условиях, часто называются инвариантными. Так, ускорение, масса и сила инвариантны относительно выбора инерциальной системы отсчёта. Поэтому второй и третий законы Ньютона во всех системах отсчёта имеют одинаковый вид, т. е. инвариантны относительно преобразований Галилея.

Законы механики инвариантны относительно преобразований Галилея — такова альтернативная формулировка принципа относительности Галилея.

Подчеркнём, что речь идёт об инвариантности математической формы законов механики.

В результате этой инвариантности одно и то же механическое явление, наблюдаемое при одних и тех же начальных условиях, будет протекать одинаково во всех инерциальных системах отсчёта

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/fizika/princip-otnositelnosti-galileya/

Преобразования Галилея

В классической механике пользуются преобразованиями координат Галилея. Рассмотрим две инерциальные системы отсчета: К (с координатами х, у, z), которую условно считаем неподвижной, и Г(с координатами х', у', z'), движущуюся относительно К равномерно и

прямолинейно со скоростью и [и = const). Отсчет времени начнем с момента, когда начала координат обеих систем совпадают. Пусть в произвольный момент времени / расположение

Рис. 16

этих систем друг относительно друга имеет вид, изображенный на рис. 16. Скорость й направлена вдоль 00', радиус-вектор, проведенный из О в O', r0 = ut.

Найдем связь между координатами произвольной точки Л в обеих системах. Из рис. 16 видим,что

Уравнение (12.1) запишем в проекциях на оси координат:

В классической механике предполагается, что время во всех системах отсчета течет одинаково, т. е. к преобразованиям (12.2) можно добавить еще одно уравнение:

Рис. 17

Уравнения (12.1)—(12.3) называются преобразованиями координат Галилея.

В частном случае (рис. 17) когда система К' движется со скоростью v вдоль положительного направления оси х системы К (в начальный момент времени оси координат совпадают), преобразования координат Галилея имеют вид

Таким образом, преобразования координат Галилея позволяют совершить переход от координат и времени в одной инерциальной системе отсчета к координатам и времени в другой инерциальной системе отсчета.

Записанные соотношения справедливы лишь в случае классической механики (и с), а при скоростях, сравнимых со скоростью света, преобразования Галилея заменяются более общими преобразованиями Лоренца (см. § 59).

  • Принцип относительности Галилея (механический принцип относительности) — фундаментальный принцип классической механики, согласно которому утверждается равноправие всех инерциальных систем отсчета.
  • Записав преобразование координат Галилея
  • (12.1)

и продифференцировав его по времени |с учетом (12.3)|, получим уравнение

где v — скорость материальной точки в системе К, a v' — скорость в системе К', и — скорость движения системы К' относительно системы К (и = const). Формула (13.1) выражает нерелятивистский закон сложения скоростей.

В § 8 говорилось о том, что всякая система отсчета, движущаяся относительно рассматриваемой инерциальной системы с постоянной скоростью, будет также инерциальной. Для доказательства этого продифференцируем по времени уравнение (13.1) в предположении, что скорость й = const:

Читайте также:  Диагностика результатов обучения - справочник студента

или

где а — ускорение точки в системе К, а' — ускорение той же точки в системе К'.

Таким образом, ускорение точки в системах отсчета К и К', движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, одинаково: если на точку другие тела не действуют (а = 0), то, согласно (13.2), и а' = 0, т. е. система К' является инерциальной (точка движется относительно нее равномерно и прямолинейно или покоится).

Из уравнения (13.2) следует, что при выполнении равенства F = та выполняется и равенство F = та', и сила F, действующая на материальную точку в системе К, совпадает с

силой F', действующей на ту же точку в системе К':

(учли, что масса в классической механике во всех системах отсчета одинакова).

Уравнения или величины, остающиеся одинаковыми при переходе от одной системы отсчета к другой, называют инвариантными.

Отметим, что рассматриваемые системы К и К' были выбраны произвольно, поэтому уравнения динамики при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой формулируются одинаково, или, другими словами, уравнения механики Ньютона инвариантны относительно преобразований координат Галилея. Это утверждение называют принципом относительности Галилея.

Галилей первым обратил внимание на то, что никакими механическими опытами, проведенными в данной инерциальной системе отсчета, нельзя установить, покоится ли она или движется равномерно и прямолинейно (относительно какой-то инерциальной системы отсчета). Например, в каюте корабля, движущегося равномерно и прямолинейно, невозможно определить, покоится корабль или движется, не выглянув в окно.

Источник: https://bstudy.net/729411/estestvoznanie/preobrazovaniya_galileya

Преобразования Галилея — это… Что такое Преобразования Галилея?

Преобразова́ния Галиле́я — в классической механике (механике Ньютона) преобразования координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой[1].

Термин был предложен Филиппом Франком в 1909 году.

[2] Преобразования Галилея подразумевают одинаковость времени во всех системах отсчета («абсолютное время»[3]) и выполнение принципа относительности (принцип относительности Галилея (см. ниже)).

  • Преобразования Галилея являются предельным (частным) случаем преобразований Лоренца для скоростей, малых по сравнению со скоростью света в пустоте и в ограниченном объёме пространства. Для скоростей вплоть до порядка скоростей движения планет в Солнечной системе (и даже бо́льших), преобразования Галилея приближенно верны с очень большой точностью.

Вид преобразований при коллинеарных осях[4]

Если ИСО S движется относительно ИСО S' с постоянной скоростью вдоль оси , а начала координат совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Галилея имеют вид:

или, используя векторные обозначения,

(последняя формула остается верной для любого направления осей координат).

  • Как видим, это просто формулы для сдвига начала координат, линейно зависящего от времени (подразумеваемого одинаковым для всех систем отсчета).

Из этих преобразований следуют соотношения между скоростями движения точки и её ускорениями в обеих системах отсчета:

  • Преобразования Галилея являются предельным (частным) случаем преобразований Лоренца для малых скоростей (много меньше скорости света).

Формула преобразования скоростей

Достаточно продифференцировать в формуле преобразований Галилея, приведенной выше, и сразу же получится приведенная в том же параграфе рядом формула преобразования скорости.

Приведем более элементарный, но и более общий вывод — для случая произвольного движения начала отсчета одной системы относительно другой (при отсутствии вращения). Для такого более общего случая, можно получить формулу преобразования скоростей, например, так.

  • Рассмотрим преобразование произвольного сдвига начала отсчета на вектор ,
  • где радиус-вектор какого-то тела A в системе отсчета K обозначим за , а в системе отсчета K' — за ,
  • подразумевая, как всегда в классической механике, что время в обеих системах отсчета одно и то же, а все радиус-векторы зависят от этого времени: .
  • Тогда в любой момент времени

и в частности, учитывая

,

имеем:

где:

— средняя скорость тела A относительно системы K;
— средняя скорость тела А относительно системы K' ;
— средняя скорость системы K' относительно системы K.

Если то средние скорости совпадают с мгновенными:

или короче

— как для средних, так и для мгновенных скоростей (формула сложения скоростей).

Таким образом, скорость тела относительно неподвижной системы координат равна векторной сумме скорости тела относительно движущейся системы координат и скорости системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета. Аналогично можно получить формулу преобразования ускорений при переходе из одной системы координат в другую, верную при условии, что эти системы движутся поступательно друг относительно друга:

Принцип относительности Галилея

Из формулы для ускорений следует, что если движущаяся система отсчета движется относительно первой без ускорения, то есть , то ускорение тела относительно обеих систем отсчета одинаково.

Поскольку в Ньютоновской динамике из кинематических величин именно ускорение играет роль (см.

второй закон Ньютона), то, если довольно естественно предположить, что силы зависят лишь от относительного положения и скоростей физических тел (а не их положения относительно абстрактного начала отсчета), окажется, что все уравнения механики запишутся одинаково в любой инерциальной системе отсчета — иначе говоря, законы механики не зависят от того, в какой из инерциальных систем отсчета мы их исследуем, не зависят от выбора в качестве рабочей какой-либо конкретной из инерциальных систем отсчета. Также — поэтому — не зависит от такого выбора системы отсчета наблюдаемое движение тел (учитывая, конечно, начальные скорости). Это утверждение известно как принцип относительности Галилея, в отличие от Принципа относительности Эйнштейна

Иным образом этот принцип формулируется (следуя Галилею) так: если в двух замкнутых лабораториях, одна из которых равномерно прямолинейно (и поступательно) движется относительно другой, провести одинаковый механический эксперимент, результат будет одинаковым.

Требование (постулат) принципа относительности вместе с преобразованиями Галилея, представляющимися достаточно интуитивно очевидными, во многом следует форма и структура ньютоновской механики (и исторически также они оказали существенное влияние на ее формулировку). Говоря же несколько более формально, они накладывают на структуру механики ограничения, достаточно существенно влияющие на ее возможные формулировки, исторически весьма сильно способствовавшие ее оформлению.

Примечания

  1. Являясь чисто кинематическими, преобразования Галилея применимы и к неинерциальным системам отсчета — но лишь при условии их равномерного прямолинейного поступательного движения друг относительно друга — что ограничивает их важность в таких случаях. Вместе с привилегированной ролью инерциальных систем отсчета, этот факт приводит к тому, что в подавляющем числе случаев о преобразованиях Галилея говорят именно в связи с последними.
  2. Frank P. /Sitz. Ber. Akad. Wiss. Wien.—1909.— Ila, Bd 118.—S. 373 (esp. p. 382).
  3. от абсолютного времени физике вообще говоря пришлось отказаться в начале ХХ-го века — ради сохранения принципа относительности в его сильной формулировке, подразумевающей требование одинаковости записи всех фундаментальных уравнений физики в любой (инерциальной; а позднее принцип относительности был распространен и на неинерциальные) системе отсчета.
  4. Принципиальный интерес с точки зрения физики представляет собой лишь случай, когда оси координат (если вообще используется координатное представление; к символической векторной форме записи этот вопрос можно считать не имеющим отношения) инерциальных систем, между которыми производится преобразование, направлены одинаково. В принципе они могут быть направлены и по-разному, но преобразования такого сорта представляют с физической точки зрения лишь технический интерес, так как сводятся к композиции преобразования с сонаправленными осями, рассмотренного в данной статье, и фиксированного (не зависящего от времени) поворота осей координат, представляющего чисто геометрическую задачу, к тому же в принципе несложную. Поворот же осей, зависящий от времени, означал бы вращение координатных систем друг относительно друга, и по крайней мере одна из них не могла бы тогда быть инерциальной.

Источник: https://dal.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/47733

Курс: Классическая механика и теория относительности

  • Введение. Микромир и макромир. Их взаимосвязь. Современная картина мира. Жизнь. Взаимодействие. Поле. Специальная теория относительности. Принцип неопределенности.
  • Границы применимости классической механики. Кинематика. Пространственно-временные системы отсчета. Основы векторной алгебры. Перемещение, скорость и ускорение материальной точки. Равноускоренное движение. Путь.
  • Вращательное движение. Равномерное движение точки по окружности. Вектор угловой скорости. Угловое ускорение.
  • Векторы. Преобразование векторов. Матрица направляющих косинусов. Полярные и аксиальные векторы. Инвариантность физических законов по отношению к преобразованию координатных систем.
  • Законы Ньютона. Инерциальные и неинерциальные системы отсчета. Движение относительно инерциальных систем отсчета. Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея.
  • Закон сохранения импульса. Центр инерции. Движение центра инерции. Связь закона сохранения импульса с принципом относительности Галилея.
  • Сила. Уравнение движения Ньютона. Основные задачи динамики материальной точки. Работа. Кинетическая энергия Консервативные и неконсервативные силы. Принцип обратимости движения.
  • Потенциальная энергия. Закон сохранения энергии в механике. Сила и потенциальная энергия. Градиент. Геометрический смысл градиента. Одномерное движение. Границы движения. Закон сохранения импульса и энергии как следствие однородности пространства-времени.
  • Изотропия пространства. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. Связь закона сохранения с третьим законом Ньютона. Задача двух тел. Второй закон Кеплера. Движение в центральном поле.
  • Задача Кеплеpа. Законы Кеплера. Строение Солнечной системы. Метод механического подобия. Резеpфоpдовское pассеяние. Теорема вириала.
  • Движение твердого тела. Угловая скорость. Энергия вращающегося твердого тела. Тензор инерции. Главные оси и главные моменты инерции. Асимметрический, симметрический и шаровой волчок. Теорема Гюйгенса-Штейнера.
  • Момент импульса твердого тела. Свободное вращение симметрического волчка. Уравнение движения твердого тела. Уравнения Эйлера. Устойчивость вращения.
  • Гармонические колебания Колебания математического маятника Колебания физического маятника Фазовый портрет маятника Адиабатические инварианты.
  • Вынужденные колебания. Биения. Затухающие колебания. Добротность. Вынужденные колебания при наличии трения. Принцип суперпозиции колебаний
  • Параметрический резонанс.
  • Нелинейные колебания. Фазовый портрет математического маятника. Осциллятор Дуффинга. Удвоение периода. Переход к хаосу. Отображение Паункаре. Понятие о фракталах. Предсказуемость хаотического движения
  • Скорость распространения взаимодействий. Принцип относительности Эйнштейна. Экспериментальные методы определения скорости света. Независимость скорости света от движения источника или приемника. Опыт Майкельсона и Морли. Экспериментальная проверка принципа относительности и предельности скорости света для материальных частиц. Относительность времени.
  • Интервал. Геометрия Минковского. Инвариантность интервала. Времениподобный и пространственноподобный интервалы. Абсолютно будущие события, абсолютно прошедшие события, абсолютно удаленные события. Световой конус.
  • Собственное время. Парадокс близнецов. Распад пиона. Преобразования Лоренца. Лоренцево сокращение. Собственная длина стержня.
  • Преобразование скоростей. Опыт Физо. Четырехмерные векторы и тензоры II ранга. Четырехмерная скорость. Гиперболическое движение.
  • Релятивистский импульс. 4-вектор энергии-импульса. Закон сохранения энергии-импульса. Зависимость массы от скорости. Связь энергии с массой. Формула Эйнштейна E=mc2.
  • Связь энергии и импульса в релятивистской механике. Эффект Доплера. Момент импульса. Распад частиц. Звёздные реакции с превращением энергии. Комптон эффект. Антипротонный порог.
  • Сила Лоренца. Релятивистская форма уравнений движения. Тензор электромагнитного поля. Преобразования Лоренца для электрического и магнитного поля. Инварианты поля.
  • Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета. Силы инерции произвольном ускоренном движении системы отсчета. Движение относительно Земли с учетом её вращения. Вес тела.
  • Равенство инертной и гравитационной масс. Принцип эквивалентности. Искривление луча света в гравитационном поле. Изменение частоты света при движении в гравитационном поле.
  • Кривизна пространства-времени. Замедление хода часов в гравитационном поле. Евклидово и неевклидово пространство. Гауссовы координаты. Метрический тензор. Геодезические. Кривизна. Поверхности нулевой, положительной и отрицательной кривизны. Кривизна пространства-времени в гравитационном поле Земли.
  • Геометрический характер ОТО. Движение частицы в гравитационном поле. Парадокс близнецов в общей теории относительности. Экспериментальная проверка общей теории относительности. Строение и свойства Вселенной. Динамика космологического расширения по Эйнштейну-Фридману. Фрактальная структура Вселенной. Квантовые флуктуации пространства-времени.
  • Функционалы. Вариационное исчисление. Принцип наименьшего действия. Принцип наименьшего действия и квантовая механика.

Источник: https://lms.physics.spbstu.ru/course/view.php?id=47

Преобразования Галилея

Классический принцип относительности утверждает, что все ИСО одинаково пригодны для описания физических явлений, поскольку все законы классической механики инвариантны относительно ИСО.

Поэтому нельзя выделить одну ИСО и утверждать, что она обладает какими-либо преимуществами по сравнению с другими ИСО.

В противном случае предполагаемый физический эксперимент позволил бы этот выбор обосновать.

Однако на практике очень часто одно и то же физическое явление (например, движение тела) исследуется наблюдателями, находящимися в разных ИСО. Для согласования результатов таких исследований необходимо использовать формулы, с помощью которых можно преобразовать кинематические характеристики (координаты и время) исследуемого объекта, измеренные в разных ИСО.

Что касается времени, то в классической механике оно считается абсолютным. Или, иначе говоря, — показания двух предварительно сверенных и правильно идущих одинаковых часов в разных ИСО всегда будут идентичными, так как законы механики, которые были использованы в их конструкции и принципе действия, инвариантны относительно ИСО.

Для вывода преобразований координат рассмотрим частный случай двух ИСО, одну из которых S будем считать условно неподвижной, а вторую S' — движущейся со скоростью V вдоль оси X системы S, как показано на рис. 1.5.

Рис. 1.5

Координаты некоторой материальной точки в S и S' системах заданы в произвольный момент времени t радиус векторами г и г' соответственно. Если в начальный момент времени точки 0 и О' совпадали, то в момент времени t отрезок 00' можно представить как вектор V-t. Тогда очевидно, что гиг' связаны формулой

Формула (1.13) выражает в векторной форме преобразования Галилея координат точки в двух произвольных ИСО. В декартовых осях в частном случае, изображенном на рис. 1.5, эти преобразования примут вид:

где последняя формула отражает абсолютность времени.

а) Продифференцируем по времени выражение (1.13), учитывая тот факт, что t = t'. Тогда в соответствии с формулой (1.3) dr/dt = v и dr'/dt' = v'. В результате получим:

Полученная формула выражает классический закон сложения скоростей, отражающий, в частности, тот факт, что скорость м. т. в различных ИСО имеет разные значения.

б) В свою очередь, продифференцируем по времени выражение (1.14). Тогда в соответствии с формулой (1.5) dv/dt = а и dv'/dt' = а'. Так как по определению относительная скорость двух ИСО V = const, получим:

иными словами — ускорение м. т. одинаково для наблюдателей, находящихся в разных ИСО.

в) Определим расстояние между двумя точками пространства. Как видно из рис. 1.6 его можно выразить длиной отрезка AL между точками 1 и 2.

Рис. 1.6

Источник: https://ozlib.com/813144/fizika/preobrazovaniya_galileya

Ссылка на основную публикацию