Предел и непрерывность — справочник студента

Задачи, рекомендуемые
для подготовки к гос. экзамену

!!!!!

Данный файл был составлен несколькими студентами группы
ПМ-12 по материалу списков типовых задач к экзаменам по мат. анализу 1-3
семестров, составленных С. Е. Рояк. Он был составлен по рекомендациям
преподавателя, но не прошел окончательной проверки, поэтому за все ошибки и
опечатки Светлана Ефимовна ответственности не несет!

• 1. Предел функции
• 1. Используя замечательные пределы, докажите, что
• 1) , 2) , 3) , 4)
  ,
• 5) , 6) , 7) , 8)
  .

2. Используя неравенство  , докажите, что .

3. Докажите, что  не существует.

1. 4. Найти:
2. 1)     2)  
3. 3)
4. 4)     5)
      6)     7)
5. 8)     9)
               10)
6. 11)     12)
    13)
7. 14)     15)
       16)     17)
8. 18)     19)
       20)
       21)
9. 22)     23)

Задачи на вычисление пределов в больших количествах можно
найти в индивидуальных заданиях (должна быть целая тетрадь!).

• 2. Непрерывность функций
• 1. Найти :
• 1), ; 2) , ; 3) , ;
• 4) ,; 5) , ; 6) , ;
• 7),; 8), .

2. Функция f определена в
окрестности точки . Доопределить функцию f так, задав , чтобы получившаяся
функция была непрерывна в точке , если:

1. 1); 2); 3);
2. 4); 5) ; 6) ;
3. 7) ; 8).

3. Доказать,
пользуясь неравенством , непрерывность функции
y, если: К10.6

а), б), в) .

4.
Доказать, что функция  непрерывна в каждой точке  и непрерывна слева в точке .

5(!!).
При каком значении a функция  будет непрерывна, если:

• 1)  2)
• 3) 4)   5)
• 6)  7)
  , 8)
• 9)
• 3. Задачи на наибольшее и наименьшее значения

1.
Пусть . В с.152N115

1. 1) Найти множество на прямой Oy,
   являющееся образом множества:
2. а) , б) , в) , г) , д) , е) , ж) ,
3. з) , и) .
4. 2) Найти множество на прямой Ox,
   являющееся прообразом множества:
5. а) , б) , в) .
6. 2. Доказать
   ограниченность функций:
7. 1) , 2) , 3)
8. 3. Доказать
   неограниченность функций:
9. 1) , 2) , 3) , 4)
10. 4. Найти , , а также , , если последние существуют:
11. 1)                        а) , б) , в);
12. 2) ;
13. 3) ;      4) ;        5) ;
14. 6) ;       7)
    ;         8);
15. 9);             10);
16. 11);            12);           13).

Замечание: сколько точек надо исследовать?? Только,
где  или еще?…

• 5. Доказать, что существует , но не
  существует , и найти , если:
• 1) , 2) , 3)
• 6. Доказать, что существует , но не
  существует , и найти , если:
• 1) , 2) , 3)
• 7. Найти экстремумы функций:
• 1) , 2) , 3) , 4), 5), 6) ,
• 7) , 8) , 9) , 10) .
• 4. Бесконечно большие и
  бесконечно малые функции

1.
Верно ли равенство:Бс.54

1. 1)  при , если:
2. а) , б) , в) , г)
3. 2)  при , если:
4. а) , б) , в)
5. 3)  при , если:
6. а) ; б) , в) , г)
7. 4)  при , если:
8. а); б), в)
9. 3)  при , если:
10. а) ; б) , в) , г) ,
11. д)

2.
Определить порядок n бесконечно большой функции:
К9.49

• а) , при ; б) , при ;
• в) , при ; г) , при ;
• д) , при .

3.
Определить порядок n бесконечно малой функции: К9.48

1. а) , при ; б) , при ;
2. в) , при ; г) , при ;
3. д)  при ; е) , при .
4. А
   также:
5. Демидович
   №№ 646, 647, 648, 650, 651а)-г), 653-658 (выделение главной части вида…,
   доказательство одного из свойств символов Ландау…)
6. 5. Формула Тейлора
7. Вычислить
   предел, используя формулу Тейлора:

1) , 2) , 3) , 4)  (!!!!≠0??),

• 5) ,
  6 6666),
• 7) ,
  8) , 9) 99, 10) ,
• 11) ;
  12) ,
  13) ,
• 14), 15) ; 16) ,

!!: 17) 151
, 18 16) ,

1. 19) (кстати,
   этот номер в образце билетов!),
2. 20), 21) , 22) ,
3. 23) ,
   24)
4. 22 ,  25) ,

26) , 27) , 28) .

6. Производные и дифференциалы

1(!!). Определить значения α и β, при которых
следующие функции

• а) всюду непрерывны, б) всюду дифференцируемы:
• 1)   2) 3)
• 4)

2(!). Исследовать на дифференцируемость:

1) , 2) .

3(!). Определить значения α и β, при которых функция К13.178

  
имеет производную: 1) в точке x=1, 2) в точке x=–1.

4. Найти правую и левую производные
следующих функций. Определить, является ли функция дифференцируемой?

1) 2)  3)

5. Найти ,  и ,  для функций, заданных параметрически: К13.201

1), 2) , 3),

4) .

6. Найти производные обратных функций в указанных точках К13.197

1. 1), а) , б) ;
2. 2);
3. 3).

7. Вычислить .

К13.2087 В с.125N68

• 1)
• ;
• 2) , .
• 8. Найти  для дифференцируемых функций , заданных неявно:
• 1), 2).
• 9. Найти  для дифференцируемых функций , заданных неявно:
• 1) , 2) , 3) , 4) .

10(!!!).Сделать указанную замену переменных в
уравнении:

1. 1) В
   с.125 N69 ;
2. 2) В с.125 N74 ;
3. 3) В с.125 N75 ;
4. 4) В
   с.125 N76 ;

5) В
с.125 N77 .

11. Найти дифференциал функции y, считая известными дифференциалы функций u и v:

1); 2); 3) ; 4) ; 5); 6) .

12(!!). Найти второй
дифференциал функции :

1) , 2), 3),

4) , 5) , 6) , 7) .

13(!!). Пользуясь теоремой Лагранжа, доказать
неравенства:

• 1) ;   2) ;
• 3) , при
  ;   4)  при ;
• 7) , при ;  8) , при ;
• 9) ,;
• 10) ; 
  11) ;
• 12) ; 
  13) , ;
• 14);.
• 7. Интегралы
• 1. Найти интеграл с переменным верхним пределом:
•  1) ,       2) .

2. Доказать, что ~.

1. 3. С помощью теоремы о среднем:
2. — определить знаки следующих определенных интегралов:
3.             1) ,           2) ,             3) ,              3)
   .

Полный список ВУЗов

Источник: https://vunivere.ru/work24793

Элементы математического анализа пределы и непрерывность

§ 4. Основные теоремы о пределах Следствие. Функция может иметь только один предел при х→х0.

§ 5. Основные способы вычисления пределов. При вычислении пределов появляются выражения, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями. Алгоритм решения. 1. Подставить в выражение предельное значение аргумента. 2.

Определить есть или нет неопределенность. Если нет неопределенности, дать ответ. 3. Если неопределенность есть, то по ее виду выбрать один из методов устранения этой неопределенности. 4.

Преобразовать выражение согласно выбранному способу, и к новой форме предела применить данный алгоритм, начиная с п. 1.

Способ 1. Применение формул(нахождение корней квадратного уравнения, формулы сокращенного умножения, тригонометрические формулы).

Способ 4. Первый замечательный предел

Способ 5. Второй замечательный предел Примеры:

Задача о непрерывном начислении процентов A 0 – первоначальный вклад в банк. Банк выплачивает ежегодно р% годовых. Найдем размер вклада A 1 через t лет. Если начислять проценты % не раз в год, а n раз (n=2 -полугодие, n=4 — квартал, n=12 — ежемесячно, n=365 — ежедневно и т. д. ).

Формула может быть использована при непрерывном вычислении процентов

§ 6. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 6. 1. Непрерывность функции в точке Пусть функция у=ƒ(х) определена в точке х0 и в некоторой окрестности этой точки. Определение 1 Функция y= ƒ(x) называется непрерывной в точке х0, если: 1) функция ƒ (х) определена в точке x 0 и в ее окрестности; Функция будет разрывной, если не выполнено хотя бы одно условие.

ƒ(х0+∆х) ∆у ƒ(х0) ∆х= х- x 0 ∆у=ƒ(х0+∆х)-ƒ(х0) x 0 x ∆х

6. 2. Точки разрыва функции и их классификация ►Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х = х0 — точка разрыва функции у=ƒ(х), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции. Примеры:

3 2 1 -2 0 -1 1 2 4

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

а) если А 1=А 2, то точка х0 называется точкой устранимого разрыва; б) если А 1≠А 2, то точка х0 называется точкой конечного разрыва.

►Точка разрыва х0 называется точкой разрыва второго рода функции у=ƒ(х), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

Примеры: Исследовать функцию на непрерывность

Источник: https://present5.com/elementy-matematicheskogo-analiza-predely-i-nepreryvnost/

Глава 63. Предел и непрерывность

• Большая часть понятий анализа, определенных ранее для функции одной переменной, может быть перенесена на случай двух переменных.
• Определение
• Число называется Предельным значением функции в точке А (или Пределом функции при М®А), если для любой последовательности точек из множества , сходящейся к А (), соответствующая последовательность значений функции Сходится к .
• Определение
• Число называется Пределом функции в точке А, если для любого числа существует такое число , что для всех из d–окрестности точки А, Удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .
• Для функций нескольких переменных, имеющих предел в данной точке, справедлива следующая Теорема об арифметических операциях над ними.
• Теорема

Пусть функции и , определенные На одном и том же множестве , имеют соответственно пределы В и С в точке А. Тогда функции , и (при ) Имеют в точке А пределы, равные соответственно , и .

Данное выше определение предела функции нескольких переменных легко распространяется на случай, когда точка М стремится к бесконечности.

Задача о нахождении предела функции нескольких переменных является несколько более сложной, чем для функции одной переменной, в особенности в случае неопределенности типа . Рассмотрим примеры.

Пример

Решение

1. Пример
2. Доказать, что предел не существует.
3. Решение

Данная функция определена всюду на координатной плоскости Oxy, кроме точки О(0,0). Будем приближаться к точке (0;0) по прямым . Если , то

Получается, что значение предела зависит от углового коэффициента прямой. Но так как предел функции не должен зависеть от способа приближения точки (X; Y) (например, по прямой или ), то рассматриваемый предел не существует.

Пусть функция определена на множестве . Возьмем точку , любая e–окрестность которой содержит точки множества .

Определение

Функция называется Непрерывной в точке А, если предел функции в этой точке Существует и Равен значению функции в этой точке:

Данное определение можно сформулировать как на «языке последовательностей», так и на «языке d-e», в соответствии с определениями 1 и 2 предела функции нескольких переменных. Следует лишь заменить в упомянутых формулировках число на значение функции в точке А: .

• Определение
• Функция называется Непрерывной на множестве , если она непрерывна в любой точке этого множества.
• Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются Точками разрыва.

Источник: http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/vysshaia-matematika-uchebnoe-posobie/glava-63-predel-i-nepreryvnost

Непрерывность функций – теоремы и свойства

Приводятся определения и формулировки основных теорем и свойств непрерывной функции одной переменной. Рассмотрены свойства непрерывной функции в точке, на отрезке, предел и непрерывность сложной функции, классификация точек разрыва. Даны определения и теоремы, связанные с обратной функцией. Изложены свойства элементарных функций.

Определение Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена на некоторой окрестности этой точки, и если предел при x стремящемся к x0 равен значению функции в x0: .

Используя определения предела функции по Коши и по Гейне, можно дать развернутые определения непрерывности функции в точке.

Можно сформулировать понятие непрерывности в терминах приращений. Для этого мы вводим новую переменную , которая называется приращением переменной x в точке . Тогда функция непрерывна в точке , если . Введем новую функцию:

.

Ее называют приращением функции в точке . Тогда функция непрерывна в точке , если .

Определение непрерывности справа (слева) Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке x0, если она определена на некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности этой точки, и если правый (левый) предел в точке x0 равен значению функции в x0: .

Более подробно, см. «Определение непрерывности функции в точке».

Свойства непрерывных в точке функций

Теорема об ограниченности непрерывной функции Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0. Тогда существует такая окрестность U(x0), на которой функция ограничена.

Теорема о сохранении знака непрерывной функции Пусть функция непрерывна в точке . И пусть она имеет положительное (отрицательное) значение в этой точке: . Тогда существует такая окрестность точки , на которой функция имеет положительное (отрицательное) значение:   при  .

Арифметические свойства непрерывных функций Пусть функции   и   непрерывны в точке . Тогда функции , и непрерывны в точке . Если , то и функция непрерывна в точке .

Доказательства свойств приводятся на странице «Свойства непрерывных в точке функций».

Непрерывность сложной функции

Теорема о непрерывности сложной функции Пусть функция   непрерывна в точке . И пусть функция   непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Предел сложной функции

Теорема о пределе непрерывной функции от функции Пусть существует предел функции при , и он равен : . Здесь точка t0 может быть конечной или бесконечно удаленной: . И пусть функция   непрерывна в точке . Тогда существует предел сложной функции , и он равен : .

Теорема о пределе сложной функции Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки .

Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел . Здесь – конечные или бесконечно удаленные точки: .

Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние. Тогда существует предел сложной функции и он равен : .

Подробнее, см. «Предел и непрерывность сложной функции».

Точки разрыва

Определение точки разрыва Пусть функция определена на некоторой проколотой окрестности точки . Точка называется точкой разрыва функции , если выполняется одно из двух условий: 1) не определена в ; 2) определена в , но не является непрерывной ⇑ в этой точке.

• Определение точки разрыва 1-го рода Точка называется точкой разрыва первого рода, если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа : .
• Определение скачка функции Скачком Δ функции в точке называется разность пределов справа и слева .
• Определение точки устранимого разрыва Точка называется точкой устранимого разрыва, если существует предел , но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .
• Таким образом, точка устранимого разрыва – это точка разрыва 1-го рода, в которой скачек функции равен нулю.

Определение точки разрыва 2-го рода Точка называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.

Подробнее, см. «Точки разрыва функции – определения, классификация и примеры».

Свойства функций, непрерывных на отрезке

1. Определение функции, непрерывной на отрезке Функция называется непрерывной на отрезке (при ), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (при ) и непрерывна справа и слева ⇑ в точках a и b, соответственно.

2. Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

3. Определение достижимости максимума (минимума) Функция достигает своего максимума (минимума) на множестве , если существует такой аргумент , для которого для всех .

4. Определение достижимости верхней (нижней) грани Функция достигает своей верхней (нижней) грани на множестве , если существует такой аргумент , для которого .

5. Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции Непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих верхней и нижней граней или, что тоже самое, достигает на отрезке своего максимума и минимума.

Теорема Больцано – Коши о промежуточном значении Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть C есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: и . Тогда существует точка , для которой .

Следствие 1 Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть значения функции на концах отрезка имеют разные знаки: или . Тогда существует точка , значение функции в которой равно нулю: .

Следствие 2 Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть . Тогда функция принимает на отрезке все значения из и только эти значения:   при  .

Подробнее, см. «Свойства функций, непрерывных на отрезке».

Обратные функции

Определение обратной функции Пусть функция имеет область определения X и множество значений Y. И пусть она обладает свойством: для всех . Тогда для любого элемента из множества Y можно поставить в соответствие только один элемент множества X, для которого . Такое соответствие определяет функцию, которая называется обратной функцией к . Обратная функция обозначается так: .

• Из определения следует, что ;   для всех  ;   для всех  .
• Лемма о взаимной монотонности прямой и обратной функций Если функция строго возрастает (убывает), то существует обратная функция , которая также строго возрастает (убывает).
• Свойство о симметрии графиков прямой и обратной функций Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой .

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке . Тогда на отрезке определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (убывает).

Для возрастающей функции . Для убывающей – .

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале Пусть функция непрерывна и строго возрастает (убывает) на открытом конечном или бесконечном интервале . Тогда на интервале определена и непрерывна обратная функция , которая строго возрастает (убывает).

Для возрастающей функции . Для убывающей: .

Аналогичным образом можно сформулировать теорему о существовании и непрерывности обратной функции на полуинтервале.

Подробнее, см. «Обратные функции – определение и свойства».

Свойства и непрерывность элементарных функций

Элементарные функции и обратные к ним непрерывны на своей области определения. Далее мы приводим формулировки соответствующих теорем и даем ссылки на их доказательства.

Показательная функция

Показательная функция f(x) = ax, с основанием a > 0 – это предел последовательности , где есть произвольная последовательность рациональных чисел, стремящаяся к x: .

Теорема. Свойства показательной функции Показательная функция имеет следующие свойства: (П.0)   определена, при , для всех ; (П.1)   при a ≠ 1 имеет множество значений ; (П.2)   строго возрастает при , строго убывает при , является постоянной при ; (П.3)   ; (П.3*)   ; (П.4)   ; (П.5)   ; (П.6)   ; (П.7)   ; (П.8)   непрерывна для всех ; (П.9)     при ;   при .

Подробнее, см. «Определение и доказательство свойств показательной функции».

Логарифм

Логарифмическая функция, или логарифм, y = loga x, с основанием a – это функция, обратная к показательной функции с основанием a.

Теорема. Свойства логарифма Логарифмическая функция с основанием a,   y = loga x, имеет следующие свойства: (Л.1)   определена и непрерывна, при и , для положительных значений аргумента,; (Л.2)   имеет множество значений ; (Л.3)   строго возрастает при , строго убывает при ; (Л.4)     при ;   при ; (Л.5)   ; (Л.6)   при ; (Л.7)     при  ; (Л.8)     при  ; (Л.9)     при  .

Подробнее, см. «Определение и доказательство свойств логарифма».

Экспонента и натуральный логарифм

В определениях показательной функции и логарифма фигурирует постоянная a, которая называется основанием степени или основанием логарифма.

В математическом анализе, в подавляющем большинстве случаев, получаются более простые вычисления, если в качестве основания использовать число e: .

Свойства экспоненты и натурального логарифма изложены на страницах «Экспонента, е в степени х», «Натуральный логарифм, функция ln x»

Степенная функция

Степенная функция с показателем степени p – это функция  f(x) = x p, значение которой в точке x равно значению показательной функции с основанием x в точке p. Кроме этого,  f(0) = 0 p = 0  при  p > 0.

Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции y = x p при неотрицательных значениях аргумента . Для рациональных , при нечетных m, степенная функция определена и для отрицательных x. В этом случае, ее свойства можно получить, используя четность или нечетность. Эти случаи подробно рассмотрены и проиллюстрированы на странице «Степенная функция, ее свойства и графики».

Теорема. Свойства степенной функции (x ≥ 0) Степенная функция,   y = x p, с показателем p имеет следующие свойства: (С.1)   определена и непрерывна на множестве при , при ; (С.2)   имеет множество значений при , при ; (С.3)   строго возрастает при , строго убывает при ; (С.4)     при ;   при ; (С.5)   ; (С.5*)   ; (С.6)   ; (С.7)   ; (С.8)   ; (С.9)   .

Подробнее, см. «Непрерывность и свойства степенной функции».

Тригонометрические функции

Теорема о непрерывности тригонометрических функций Тригонометрические функции: синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x) и котангенс (ctg x), непрерывны на своих областях определения.

Теорема о непрерывности обратных тригонометрических функций Обратные тригонометрические функции: арксинус (arcsin x), арккосинус (arccos x), арктангенс (arctg x) и арккотангенс (arcctg x), непрерывны на своих областях определения.

Подробнее, см. «Доказательство непрерывности тригонометрических функций».

Использованная литература: О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004. Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Источник: https://1cov-edu.ru/mat-analiz/nepreryvnost-funktsii/

math4school.ru

• Предел функции y = f(x) при х → ∞
• Вычисление пределов функции при х → ∞
• Непрерывные функции
• Теоремы про непрерывность функции
• Замечательные пределы
• Вычисление пределов функции в точке

Предел функции y = f(x) при х → ∞

1. Определение.
2. Число b называется пределом функции y = f(x) при х→+∞, если для любого числа ε > 0 найдётся такое число М > 0, что для всех х > М выполняется неравенство |f(x) – b|< ε.
3. Записывают так:
4. lim х→+∞ f(x) = b.

Геометрически это означает, что график функции y = f(x) при выборе достаточно больших значений х безгранично приближается к прямой у = b. Это означает, что расстояние от точки графика до прямой у = b по мере удаления точки в бесконечность может быть сделано меньше любого числа ε > 0.

Прямая  называется в этом случае горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x).  

• Например: lim х→+∞ 1/х = 0 и функция y = 1/х имеет горизонтальную асимптоту у = 0.
• Определение.
• Число b называется пределом функции y = f(x) при х→–∞, если для любого числа ε > 0 найдётся такое число М > 0, что для всех х < –М выполняется неравенство |f(x) – b|< ε.
• Записывают так:
• lim х→–∞ f(x) = b.
• В этом случае прямая y = b также является горизонтальной асимптотой функции  y = f(x), график которой бесконечно близко приближается к ней при достаточно больших по модулю, но отрицательных значениях х.
• Например: lim х→–∞ (3 + 2х) = 3 и функция y = (3 + 2х) имеет горизонтальную асимптоту у = 3.

Наконец, прямая у = b  может быть горизонтальной асимптотой графика функции  и при х→+∞, и при х→–∞. Пишут так: х→∞.

1. Определение.
2. Число b называется пределом функции y = f(x) при х → ∞, если для любого числа ε > 0 найдётся такое число М > 0, что для всех x таких, что |х| > М, выполняется неравенство |f(x) – b|< ε.
3. Записывают так:
4. lim х→∞ f(x) = b.
5. Например: lim х→∞ х2/(х2+1) = 1 и функция y = х2/(х2+1) имеет горизонтальную асимптоту у = 1.

Вычисление пределов функции при х → ∞

• Для вычисления пределов функций при х→∞ используются следующие теоремы об операциях над пределами:
• Теорема о вынесении постоянного множителя за знак предела:
• Если lim х→∞ f(x) = a, то lim х→∞ k · f(x) = k · а.
• Теорема о пределе суммы:
• Если lim х→∞ f(x) = a, lim х→∞ g(x) = b, то lim х→∞ (f(x) + g(x)) = а + b.
• Теорема о пределе произведения:
• Если lim х→∞ f(x) = a, lim х→∞ g(x) = b, то lim х→∞ f(x) · g(x) = а · b.
• Теорема о пределе частного:
• Если lim х→∞ f(x) = a, lim х→∞ g(x) = b и b ≠ 0, то lim х→∞ f(x) / g(x) = а / b.

Непрерывные функции 

Определение.

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х = а, если существует предел функции в этой точке, т.е.

lim х→а f(x) = f(a).

Функция y = f(x) будет непрерывной в точке х = а тогда и только тогда, когда выполняются условия:

• функция y = f(x) определена в точке х = а, т.е. существует f(a);
• существует предел lim х→а f(x) функции в точке х = а;
• предел функции в точке х = а равен значению функции в этой точке, т.е.

1. lim х→а f(x) = f(a). 
2. Другими словами верно и такое
3. Определение.
4. Функция y = f(x) непрерывна в точке х = а, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, выполняется неравенство |f(x) – f(a)| < ε.
5. Определение.
6. Если функция y = f(x) непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то её называют непрерывной на данном промежутке.

Теоремы про непрерывность функции

• Теорема 1:
• Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х = а, то в этой точке непрерывны и функции  f(x) + g(x), f(x) – g(x), f(x) · g(x).
• Теорема 2:
• Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х = а и g(а) ≠ 0, то в точке х = а  будет непрерывной также функция f(x) / g(x).
• Исходя из двух последних теорем можно утверждать:

• многочлен y = a0 + a1x + . . . + anxn – непрерывная функция в любой точке а ∈ R;
• дробно-рациональная функция

y =	a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn
b0 + b1x + b2x2 + . . . + bmxm

        непрерывна во всех точках числовой оси, кроме нулей знаменателя;

• функции у = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = ax, y = logax, y = n√х, y = |x|, у = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x также непрерывны во всех точках области определения.

Замечательные пределы

1. Замечательные пределы – термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела.

   Особенно известны:

2. Первый замечательный предел:
3. Следствия из первого замечательного предела: 

lim х→ 0	2 · (1 – cos x)	= 1.
x2

• Второй замечательный предел:
• lim х→∞ (1 + 1/x)x = e  или  lim х→0 (1 + x)1/x = e.
• Следствия из второго замечательного предела:

lim х→ ∞

(1 + k/x)x = ek,

lim х→ 0	ln(1 + x)	= 1,
x

lim х→ 0	ax – 1	= 1,
x · ln a

lim х→ 0	(1 + x)α – 1	= 1.
αx

Вычисление пределов функции в точке 

Если y = f(x) непрерывна в точке х = а, то lim х→а f(x) = f(a).

Если в результате подстановки х = а при вычислении предела получаем выражение типа 0 / 0, то имеет смысл попытаться воспользоваться одним из следующих приёмов:

• попробовать разложить числитель и знаменатель дроби на множители, выполнить сокращение, а затем найти предел;
• избавиться от иррациональности в знаменателе, а затем находить предел:
• преобразовать функцию так, чтобы можно было воспользоваться первым замечательным пределом или его следствием.

Источник: http://math4school.ru/predel_neprerivnost_funkcii.html

Предел и непрерывность функций нескольких переменных (стр. 1 из 3)

• Кафедра: Высшая математика
• Реферат
• по дисциплине «Высшая математика»
• Тема: «Предел и непрерывность функций нескольких переменных»
• Тольятти, 2008
• Введение

Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин.

Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных.

Понятие функции нескольких переменных

Определение. Величина u называется функцией нескольких независимых переменных (x, y, z, …,t), если каждой совокупности значений этих переменных ставится в соответствие определенное значение величины u.

1. Если переменная является функцией от двух переменных х и у, то функциональную зависимость обозначают
2. z = f (x, y).
3. Символ f определяет здесь совокупность действий или правило для вычисления значения z по данной паре значений х и у.
4. Так, для функции z = x2 + 3xy
5. при х = 1 и у = 1 имеем z = 4,
6. при х = 2 и у = 3 имеем z = 22,

при х = 4 и у = 0 имеем z = 16 и т.д.

• Аналогично называется величина uфункцией от трех переменных x, y, z, если дано правило, как по данной тройке значений x, y иz вычислить соответствующее значение u:
• u = F (x, y, z).
• Здесь символ F определяет совокупность действий или правило для вычисления значения u, соответствующего данным значениям x, y иz.
• Так, для функции u = xy + 2xz – 3yz
• при х = 1, у = 1 и z = 1 имеем u = 0,
• при х = 1, у = -2 и z = 3 имеем u = 22,

при х = 2, у = -1 и z = -2 имеем u = -16 и т.д.

1. Таким образом, если в силу некоторого закона каждой совокупности п чисел (x, y, z, …,t) из некоторого множества Е ставится в соответствие определенное значение переменной u, то и u называется функцией от п переменных x, y, z, …,t, определенной на множестве Е, и обозначается
2. u = f(x, y, z, …,t).
3. Переменные x, y, z, …,t называются аргументами функции, множество Е – областью определения функции.
4. Частным значением функции называется значение функции в некоторой точке М0 (x, y, z, …,t0) и обозначается f (М0) = f (x, y, z, …,t0).
5. Областью определения функции называется множество всех значений аргументов, которым соответствуют какие-либо действительные значения функции.

Функция двух переменных z = f (x, y) в пространстве представляется некоторой поверхностью. То есть, когда точка с координатами х, у пробегает всю область определения функции, расположенную в плоскости хОу, соответствующая пространственная точка, вообще говоря, описывает поверхность.

Функцию трех переменных u = F (x, y, z) рассматривают как функцию точки некоторого множества точек трехмерного пространства.

Аналогично, функцию п переменных u = f(x, y, z, …,t) рассматривают как функцию точки некоторого п-мерного пространства.

Предел функции нескольких переменных

Для того чтобы дать понятие предела функции нескольких переменных, ограничимся случаем двух переменных х и у. По определению функция f (x, y) имеет предел в точке (х0, у0), равный числу А, обозначаемый так:

(1)

(пишут еще f (x, y)→А при (x, y)→ (х0, у0)), если она определена в некоторой окрестности точки (х0, у0), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел

(2)

• какова бы ни была стремящаяся к (х0, у0) последовательность точек (xk, yk).
• Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция f имеет в точке (х0, у0) предел, равный А, если она определена в некоторой окрестности точки (х0, у0) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что
• | f (x, y) – A| < ε(3)
• для всех (x, y), удовлетворяющих неравенствам
• 0 <

< δ. (4)

Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется δ-окрестность точки (х0, у0) такая, что для всех (x, y) из этой окрестности, отличных от (х0, у0), выполняется неравенство (3).

Так как координаты произвольной точки (x, y) окрестности точки (х0, у0) можно записать в виде х = х + Δх, у = у0 + Δу, то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:

1. Рассмотрим некоторую функции, заданную в окрестности точки (х0, у0), кроме, быть может, самой этой точки.
2. Пусть ω = (ωх, ωу) – произвольный вектор длины единица (|ω|2 = ωх2 + ωу2 = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида
3. (х0 + tωх, y0 + tωу) (0 < t)
4. образуют луч, выходящий из (х0, у0) в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию
5. f(х0 + tωх, y0 + tωу) (0 < t< δ)
6. от скалярной переменной t, где δ – достаточно малое число.
7. Предел этой функции (одной переменной t)

f(х0 + tωх, y0 + tωу),

если он существует, естественно называть пределом f в точке (х0, у0) по направлению ω.

Пример 1. Функции

определены на плоскости (x, y) за исключением точки х0 = 0, у0 = 0. Имеем (учесть, что

и ):

Отсюда

(для ε > 0 полагаем δ = ε/2 и тогда |f (x, y)| < ε, если

< δ).

Далее, считая, что k – постоянная, имеем для y = kxравенство

).

Пример 2. Рассмотрим в R2 функцию

(х4 + у2 ≠ 0).

Данная функция в точке (0, 0) на любой прямой y = kx, проходящей через начало координат, имеет предел, равный нулю:

при х → 0.

Однако эта функция не имеет предела в точки (0, 0), ибо при у = х2

и

Будем писать

, если функция fопределена в некоторой окрестности точки (х0, у0), за исключением, быть может, самой точки (х0, у0) и для всякого N> 0 найдется δ > 0 такое, что

• |f (x, y)| > N,
• коль скоро 0 <
• Можно также говорить о пределе f, когда х, у → ∞:
• Например, в случае конечного числа А равенство (5) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 найдется такое N> 0, что для всех х, у, для которых |x| > N, |y| > N, функция f определена и имеет место неравенство
• |f (x, y) – А| < ε.
• Справедливы равенства

< δ. (5) (6) (7) (8)

где может быть х → ∞, у → ∞. При этом, как обычно, пределы (конечные) в их левых частях существуют, если существуют пределы f и φ.

Источник: https://mirznanii.com/a/314149/predel-i-nepreryvnost-funktsiy-neskolkikh-peremennykh

Теория пределов и непрерывность

Построение графиков функций.

Пособие по теме «Построение графиков функций» подготовлено на кафедре высшей математики Московского государственнного технического университета гражданской авиации и предназначено для студентов дневного отделения.

Теория пределов и непрерывность.

Пособие по теме «Теория пределов и непрерывность» подготовлено на кафедре высшей математики Московского государственнного технического университета гражданской авиации и предназначено для студентов дневного отделения.

Группы, кольца и поля.

Пособие по теме «Группы, кольца и поля» подготовлено на кафедре высшей математики Московского государственнного технического университета гражданской авиации и предназначено для студентов дневного отделения.

Элементы дифференциального исчисления.

Пособие по теме «Элементы дифференциального исчисления» подготовлено на кафедре высшей математики Московского государственнного технического университета гражданской авиации и предназначено для студентов дневного отделения.

Дифференциальное исчисление.

Пособие по теме «Дифференциальное исчисление» подготовлено на кафедре высшей математики Московского государственнного технического университета гражданской авиации и предназначено для студентов дневного отделения.

Математика. Жулева Л.Д

Жулева Л.Д., Савченко А.А., Шуринов Ю.А., Дементьев Ю.И.

Жулева Л.Д., Савченко А.А., Шуринов Ю.А., Дементьев Ю.И. Математика: Пособие к изучению дисциплины и выполнению контрольных работ. — М.: МГТУ ГА, 2006. — 108 с.

Кратные интегралы.

Пособие по теме «Кратные интегралы» подготовлено на кафедре высшей математики Московского государственнного технического университета гражданской авиации и предназначено для студентов дневного отделения.

Пределы.

Графики элементарных функций.

Пособие по теме «Графики элементарных функций» подготовлено на кафедре высшей математики Московского государственнного технического университета гражданской авиации и предназначено для студентов дневного отделения.

Теория множеств. Учебное пособие

Пособие по теме «Теория множеств» подготовлено на кафедре высшей математики Московского государственнного технического университета гражданской авиации и предназначено для студентов дневного отделения.

Функции многих переменных.

Пособие по теме «Функции многих переменных» подготовлено на кафедре высшей математики Московского государственнного технического университета гражданской авиации и предназначено для студентов дневного отделения.

Функция нескольких переменных.

Пособие по теме «Функция нескольких переменных» подготовлено на кафедре высшей математики Московского государственнного технического университета гражданской авиации и предназначено для студентов дневного отделения.

Математика. Ухова В.А

Ухова В.А., Жукова Е.А., Морозов О.И.

Ухова В.А., Жукова Е.А., Морозов О.И. Математика: Пособие к изучению дисциплины и выполнению контрольной работы для студентов первого курса заочного обучения. — М.: МГТУ ГА, 2008. — 34 с.

Дифференциальные уравнения.

Пособие по теме «Дифференциальные уравнения» подготовлено на кафедре высшей математики Московского государственнного технического университета гражданской авиации и предназначено для студентов дневного отделения.

Источник: https://zzapomni.com/mgtu-ga-moskva/teoriya-predelov-i-neprery-5939