Позиционные системы счисления — справочник студента

Главная | Информатика и информационно-коммуникационные технологии | Планирование уроков и материалы к урокам | 10 классы | Планирование уроков на учебный год (ФГОС) | Представление чисел в позиционных системах счисления

	10.2. Позиционные системы счисления
10.1. Общие сведения о системах счисления		10.3. Перевод чисел из g-ичной в десятичную систему счисления

10.2. Позиционные системы счисления

Существует бесконечно много позиционных систем счисления. Каждая из них определяется целым числом q > 1, называемым основанием системы счисления. Основание определяет (даёт) название системы счисления: двоичная, троичная, восьмеричная, шестнадцатеричная, g-ичная и т. д. Можно говорить «система счисления с основанием q» (табл. 3.1).

Основное достоинство любой позиционной системы счисления — возможность записи произвольного числа ограниченным количеством символов. Для записи чисел в позиционной системе счисления с основанием q нужен алфавит из q цифр: 0, 1, 2, …, g — 1.

Таблица 3.1

Основания и алфавиты систем счисления

В g-ичной системе счисления q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда.

Целое число без знака А в g-ичной системе счисления представляется в виде конечной суммы степеней числа q — суммы разрядных слагаемых:

Здесь: • q — основание системы счисления;

• аi — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления (0 ≤ аi ≤ q — 1);

• qi — весовой коэффициент разряда.

Последовательность чисел, каждое из которых задаёт «вес» соответствующего разряда, называется базисом позиционной системы счисления.

Число А, свёрнутая запись которого в системе счисления с основанием q имеет вид an-1an-2…a0,a-1…a-m, может быть представлено в развёрнутой форме как аn-1 • gn-1 + аn-2 • qn-2 + … + а0 • q0 + • a-1 + g-1 + … + а-m • q-m.

Свёрнутой формой записи числа мы пользуемся в повседневной жизни, иначе её называют естественной формой или цифровой.

Развёрнутая форма записи чисел также всем хорошо известна. Ещё в начальной школе дети учатся записывать числа в виде суммы разрядных слагаемых. Например:

• 125 248 = 1 • 100 000 + 2 • 10 000 + 5 • 1 000 + 2 • 100 + 4 • 10 + 8 • 1.
• Если представить разряды в виде степей основания, то получим:
• 125 248 = 1 • 105 + 2 • 104 + 5 • 103 + 2 • 102 + 4 • 101 + 8 • 100.
• Аналогичным образом представляются и дроби:
• 0,125 = 1/10 + 2/100 + 5/1000 = 1 • 10-1 + 2 • 10-2 + 5 • 10-3.
• Иногда бывает полезно преобразовать развёрнутую форму записи числа так, чтобы избежать возведения основания системы счисления в степени.
• Например, можно записать:
• 125 248 = 1 • 105 + 2 • 104 + 5 • 103 + 2 • 102 + 4 • 101 + 8 • 100 = ((((1 • 10 + 2) • 10 + 5) • 10 + 2) • 10 + 4) • 10 + 8;
• 0,125 = 1 • 10-1 + 2 • 10-2 + 5 • 10-3 = ((5/10 + 2)/10 + 1)/10.
• Такую форму представления числа называют разложением по схеме Горнера.
• Изучая десятичную систему счисления с раннего возраста и используя её в повседневной практике, многие люди не догадываются о существовании других систем счисления.

Но так ли хороша десятичная система счисления? Великий французский математик и естествоиспытатель Блез Паскаль (1623-1662) писал: «Десятичная система построена довольно неразумно, конечно, в соответствии с людскими обычаями, а вовсе не с требованиями естественной необходимости, как склонно думать большинство людей». В ряде теоретических и практических задач некоторые системы счисления, отличные от десятичной, имеют определённые преимущества.

Первые механические счётные машины были разработаны на основе десятичной системы счисления. Для реализации десяти устойчивых состояний в них использовались сложные системы зубчатых колёс (рис. 3.1). Такие машины были очень громоздки, занимали много места.

Рис. 3.1. Механизм передачи десятков в арифмометре П.Л. Чебышёва

Так, если бы проект Аналитической машины Ч. Беббиджа — механического прототипа появившихся спустя столетие ЭВМ — был реализован, то по размерам такая машина сравнялась бы с локомотивом. В 1937 году немецкий инженер К.

Цузе создал вычислительную машину, основанную на принципах действия аналитической машины Ч. Беббиджа.

Она была механической, но работала на основе двоичной системы счисления, что позволило значительно уменьшить её размеры: машина занимала всего 2 м2 на столе в квартире изобретателя!

В наши дни большой практический интерес представляют двоичная, троичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Cкачать материалы урока

Источник: https://xn—-7sbbfb7a7aej.xn--p1ai/informatika_10_fgos/informatika_materialy_zanytii_10_12_fgos_02.html

Позиционные системы счисления

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒

Перевод чисел является важным процессом функционирования вычислительных машин, так как с помощью его осуществляются арифметические действия, адресация файлов и т.п. операции.

В вычислительных машинах применяются позиционные системы счисления. В позиционной системе счисления каждое число представляется последовательностью цифр, причем позиции каждой цифры xi присвоен определенный вес bi, где b – основание системы. Представление целого числа в виде степенного ряда описывается формулой:

Любое число в позиционной системе счисления представляется в виде разрядов. Крайняя слева цифра называется цифрой старшего разряда, крайняя справа – цифрой младшего разряда.

• Смешанное число в позиционной системе счисления представляется степенным рядом:
• ,
• где xk–любое число из алфавита системы (набор символов) с основанием b; m и n–число разрядов соответственно для целой и дробной части числа.

В современных компьютерах используются позиционные системы счисления с основаниями 2, 8, 10 и 16, которые соответственно называются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления. Представление чисел в этих системах показано в табл.1.

Таблица 1.

Десятичные числа D10	Двоичные числа D2	Восьмеричные числа D8	Шестнадцатеричные числа D16
А
B
C
D
E
F

Для представления чисел в различных системах счисления необходимо вычислять степени двойки, восьмерки и шестнадцати (табл.2).

Таблица 2.

Степени двойки	Степени восьмерки	Степени шестнадцати
20=1	80=1	160=1
21=2	81=8	161=16
22=4	82=64	162=256
23=8	83=512	163=4096
24=16	84=4096	164=65536
25=32	85=32768
26=64
27=128
28=256
29=512
210=1024

Задача.

Представить число 1997 в позиционной системе счисления с основанием 10 (десятичной системе)

1. 1997 = 1х103 + 9×102 +9×101 +7×100.
2. Представить число 1997 в позиционной системе счисления с основанием 2 (двоичной системе)
3. 1997 = 1×210 +1×29 +1×28 +1×27 +1×26 +0×25 +0×24 +1×23 +1×22 +0×21 +1×20 = 11111001101.
4. Представить число 1997 в позиционной системе счисления с основанием 8 (восьмеричной системе)
5. 1997 = 3×83 +7×82 +1×81 +5×80 = 3715.
6. Представить число 1997 в позиционной системе счисления с основанием 16 (шестнадцатеричной системе)
7. 1997 = 7×162 +12×161 +13×160 = 7CD.
8. Задача.
9. Представить в двоичной форме числа 48, 57 ,511, 121. Разложим числа по степенному ряду двойки:
10. Решение:
11. 48 = 32+16=1х25 + 1х24 + 0х23 + 0х22 + 0х21 + 0х20=1100002
12. 57 = 32+ 16+8+1 =1х25 + 1х24+ 1х23 + 0х22 + 0х21 + 1х20 = 1110012
13. 511=256+128+64+32+16+8+4+2+1 = 1х28+1х27 +1х26+1х25+1х24 +1х23+ +1х22 +1х21 +1х20 = 1111111112
14. 121 = 64+32+16+8+4+2+1 = 1х26+1х2 +1х24+ 1х23 + 0х22 + 0х21 + 1х20 = =1111012
15. Задача.
16. Представить в восьмеричной форме числа 48, 57 ,511, 121. Разложим числа по степенному ряду восьмерки:
17. 48 = 6х81 + 0х20 = 608
18. 57 = 56 + 1 = 7х81 + 1х20 = 718
19. 511 = 448 + 56 + 7 = 7х81 + 7х81 + 7х80 = 7778
20. 121 = 64 + 56 + 1 = 1х81 + 7х81 + 1х80 = 1718
21. Задача.
22. Представить в шестнадцатеричной форме числа 48, 57 ,511, 121. Разложим числа по степенному ряду шестнадцати:
23. 48 = 3х161 + 0х160 = 3016
24. 57 = 48 + 9 = 3х161 + 9х160 = 39 16
25. 511 = 256 + 240 + 15 = 1х162 + 15х161 + 15х160 = 1FF 16
26. 121 = 112 + 9 = 7х161 + 9х160 = 19 16
27. Перевод чисел из одной системы представления в другую.
28. Перевод чисел в десятичную систему счисления с помощью степенного ряда.
29. Задача.

А1 = 100100.10012, А2 = 234.58, А3 = АВС.Е16

А1 = 100100.10012 = 25 +22 +2-1 +2-4 = 36 + 36.562510;

Решение:

А2 = 234.58 = 2х82 + 3х81 + 4х80 + 5х8-1 = 156 + 5/8 = 156.62510

А3 = АВС.Е16 =10х162 + 11х161 + 12х160 + 14х16-1 = 2748 + 16/16 = 2748.87510

.

Для того, чтобы из восьмеричного счисления перевести число в двоичный код, необходимо каждую цифру этого числа представить триадой двоичных символов. Лишние нули в старших разрядах отбрасываются.

Задача.

Решение:

1234.7778 = 1 010 011 100.111 111 1112

12345678 = 1 010 011 100 101 110 1112

123456.0078 = 1 010 011 100 101 110.000 000 1112

Обратный перевод производиться следующим образом: каждая триада двоичных цифр заменяется восьмеричной цифрой. Для правильного перевода двоичные символы должны быть сгруппированы по три, начиная с младших разрядов. Если триада старших разрядах получается неполной, то ее выравнивают путем добавления нулей.

Задача.

Решение:

Перевод из двоичной в восьмеричную систему счисления производится следующим образом: каждая триада двоичных цифр заменяется восьмеричной цифрой. Для правильного перевода двоичные символы должны быть сгруппированы по три, начиная с младших разрядов. Если триада старших разрядов получается неполной, то её выравнивают путем добавления нулей.

11001112 = 001 100 1112 = 1478

11.10012 = 011.100 1002 = 3.448

110.01112 = 110.011 1002 = 6.348

Задача.

Решение:

1234.АВ7716 = 0001 0010 0011 0100.1010 1011 0111 01112;

СЕ456716 = 1100 1110 0100 0101 0110 01112

0.1234 АА16 = 0.0001 0010 0011 0100 1010 10102

11001112 = 0011.10012 = 6716;

11.10012 = 0011.10012=3.916

110.01110012 = 0110.0111 00102 = 6.3216

• При переходе из восьмеричного счисления в шестнадцатеричное счисление и обратно используется как вспомогательный двоичный код числа.
• Задача.
• Решение:
• 12345678=001 010 011 100 101 110 1112=0101 0011 1001 0111 01112= =5397716;

0.120348 = 0.001 010 000 011 1002 = 0.0010 1000 0011 10002 = 0.283816

120.348 = 001 010 000.011 1002 = 0101 0000.01112 = 50.716

1234.АВ7716 = 0001 0010 0011 0100.1010 1011 0111 01112 =

=001 001 000 110 100.101 010 110 111 011 1002 = 11064.5267348

СЕ456716 = 1100 1110 0100 0101 0110 01112 =

=110 011 100 100 010 101 100 1112 = 634425478

0.1234АА = 010 010 101 0102 = 0.044322528.

Перевод смешанного числа (целого и дробного) из десятичного счисления в другое счисление.

Метод деления.

Представление десятичного числа в других системах счисления может проводиться по схеме Горнера. Допустим, что у нас есть целое число D, представленное с помощью основания системы счисления b, т.е. Dn. Процесс представления выполняется в несколько этапов по следующим правилам:

3 Последовательно делить заданное число и получаемые целые части на новое основание счисления до тех пор, пока целая часть не станет меньше основания нового счисления.

4 Полученные остатки от деления, представленные символами нового счисления, записать в виде числа, начиная с последней целой части.

Следовательно, на 1 этапе Dn = , где — целая часть от деления, а0 – остаток. Этот остаток является первым младшим разрядом в новой системе счисления. На втором этапе деления получаем выражение вида

= и т.д.

1. Задача.
2. Представить по схеме Горнера десятичное число D10 = 147 в двоичном коде D2 = 10010011, в восьмеричном коде D8 =223, в шестнадцатеричном коде D16 = 93.
3. Проверить полученные результаты на инженерном калькуляторе.
4. Рассмотрим преобразование десятичных чисел в двоичные, восьмеричные или шестнадцатеричные на основе процедуры схемы Горнера, представленной в виде таблицы:

Десятичное число D10	Двоичное число D2	Вес разряда
13 : 2 = 6 с остатком 1
6 : 2 = 3 с остатком 0
3 : 2 = 1 с остатком 1
1 : 2 = 0 с остатком 1

Десятичное число D10	Двоичное число D2	Вес разряда
37 : 2 = 18 с остатком 1
18 : 2 = 9 с остатком 0
9 : 2 = 4 с остатком 1
4 : 2 = 2 с остатком 0
2 : 2 = 1 с остатком 0
1 : 2 = 0 с остатком 1

Десятичное число D10	Восьмеричное число D8	Вес разряда
271 : 8 = 33 с остатком 7
33 : 8 = 4 с остатком 1
4 : 8 = 0 с остатком 4

Десятичное число D10	D16	Вес разряда
27154 : 16 = 1697 с остатком 2
1697 : 16 = 106 с остатком 1
106 : 16 = 6 с остатком 10	А
6 : 16 = 0 с остатком 6

Десятичное число D10	D16	Вес разряда
7589 : 16 = 474 с остатком 5
474 : 16 = 29 с остатком 10	А
29 : 16 = 1 с остатком 13	D
1 : 16 = 0 с остатком 1

• Задача.
• Самостоятельно записать процедуру перевода D10 =156 в D8 и на основе анализа процедуры преобразования чисел из одной системы счисления (D10) в другую D2, D8, D16 разработать алгоритм этой процедуры.
• Решение:

Десятичное число D10	Двоичное число D2	Вес разряда
156:2 = 78 с остатком 0
78:2 = 39 с остатком 0
39:2 = 19 с остатком 1
19:2 = 9 с остатком 1
9:2 = 4 с остатком 1
4:2 = 2 с остатком 0
2:2 = 1 с остатком 0
1:2 = 0 с остатком 1

Десятичное число D10	Восьмеричное число D8	Вес разряда
156:8 = 19 с остатком 4
19:8 = 2 с остатком 3
2:8 = 0 остатком 2

Десятичное число D10	D16	Вес разряда
156:16 = 9 с остатком 12	С
9:16 = 0 с остатком 9

15610 = 100111008 = 2348 = 9С16

Алгоритм процедуры показан на рисунке:

1. Метод вычитания.
2. 53 25 24 23 22 21 20
3. -32 ®25____ 1 1 0 1 0 1
4. 21
5. -16 ®24____________­
6. 5____________________________­
7. -4 ®22________________________________­
8. -1 ®20_________________________________________­
9. Метод умножения (Перевод дробного числа из десятичного счисления в другое счисление).
10. Правило:последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или не будет получено требуемое по условию количество разрядов; полученные целые части являются разрядами числа в новой системе и их необходимо представлять цифрами этой новой системы счисления.
11. Пример.

Для преобразования десятичной дроби в двоичный эквивалент используем операцию последовательного умножения на 2. Если первое произведение окажется меньше 1, то запишем в старший разряд двоичной дроби 0.

Если первое произведение ³ 1, то старшей цифрой двоичной дроби является 1.

Аналогично определим вторую цифру двоичной дроби, причем на два умножается только дробная часть произведении, полученная на предыдущем шаге.

• Задача.
• 0,6384×2=1,2768 ®1 0,4535×2=0,907 ®0
• 0,2768×2=0,5536 ®0 0,907×2=1,8140 ®1
• 0,5536×2=1,1072 ®1 0,8140×2=1,6280 ®1
• 0,1072×2=0,2144 ®0 2,6280×2=1,256 ®1
• 0,2144×2=0,04288®0 1,256×2=0,512 ®0
• 0,0×2=0,0 ®0 0,512×2=1,024 ®1
• (0,6384)10 = (0,101000)2 0,024×2=0,048 ®0
• 0,048×2=0,096 ®0
• 0,096×2=0,182 ®0
• (0,4535)10 = (0,011101000)2
• Форматы чисел.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Рекомендуемые страницы:

Источник: https://lektsia.com/7×2626.html

1.4.1 Позиционные системы счисления

Видеоурок: Системы счисления: Позиционные системы счисления

Лекция: Позиционные системы счисления

Позиционные системы счисления

Под позиционными системами счисления понимают такие системы, в которых одна и та же цифра может обозначать различные числа в зависимости от того места, на котором эта цифра стоит.

Давайте рассмотрим основную терминологию для позиционного счисления:

Основание – это количество знаков, которые используются в выбранной системе счисления.

Разряд – это место цифры в некотором числе, чем правее находится цифра в числе, тем меньший у нее разряд.

При записи чисел в различных системах счисления используют развернутую запись числа – это сумма множителей цифр.

Общая формула развернутой записи для произвольной позиционной системы счисления:

X — число;

a — цифры численной записи;i — индекс;m — количество разрядов дробной части числа;n — количество разрядов целой части числа;q — основание системы счисления.

Например, для записи числа 15,67 в развернутом виде десятичной системы счисления мы получим следующее:

15,67 = 1*101 + 5*100 + 6*10-1 + 10-2.

Если число необходимо записать в систему счисления с основанием большим за 10, то принято использовать буквы. Например, если некоторое число необходимо записать в развернутом виде в шестнадцатеричной системе счисления, то следует использовать следующие знаки: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

К примеру, запишем число 7А,5В12:

Мы помним, что в двенадцатеричной системе счисления 10=А, 11=В. Учитывая это запишем:

7А,5В12 = В*12-2 + 5*12-1 + А*120+ 7*121

Перевод чисел из десятичной системы счисления в любую другую

Как уже было сказано в предыдущем вопросе, при необходимости можно перевести число из одной системы счисления в любую другую. Чтобы перевести число из десятичной СС в любую другую, необходимо делить заданное число на основание системы исчисления до тех пор, пока не будет получен нуль.

Все цифры, которые будут получены в результате деления в качестве остатка, необходимо записать последовательно. Запись из последовательных цифры и будет кодированием числа в любую систему исчисления.

Если же необходимо перевести дробное число в произвольную систему исчисления, то наоборот необходимо умножать его на основание до тех пор, пока не получится нуль. Каждую новую целую часть необходимо последовательно записать в запись в новой системе исчисления.

Предыдущий урок

Следующий урок

Источник: https://cknow.ru/knowbase/790-141-pozicionnye-sistemy-schisleniya.html

К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013 1 Системы счисления § 9. Системы счисленияСистемы счисления § 10. Позиционные системы счисленияПозиционные системы счисления. — презентация

1 К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Системы счисления § 9. Системы счисления Системы счисления § 10. Позиционные системы счисления Позиционные системы счисления § 11. Двоичная система счисления Двоичная система счисления

2 К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Системы счисления § 9. Системы счисления 2

3 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А.

Ерёмин, Что такое система счисления? 3 Система счисления это правила записи чисел с помощью специальных знаков цифр, а также соответствующие правила выполнения операций с этими числами.

Счёт на пальцах: Унарная (лат. unus – один) – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …) только натуральные числа запись больших чисел – длинная ( ?)

5 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Непозиционные системы счисления 5 Непозиционная система счисления: значение цифры не зависит от её места в записи числа. унарная египетская десятичная римская славянская и другие… «Пираты XX века»

6 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Римская система счисления 6 I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев), X – 10 (две ладони), L – 50, C – 100 (Centum), D – 500 (Demimille), M – 1000 (Mille) Спасская башня Московского Кремля

7 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Римская система счисления 7 Правила: (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!) Примеры: MDCXLIV = – – = = M M C C C L X X X I X M CCCLXXXIX = 1644

8 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Римская система счисления 8 MCDLXVII = MMDCXLIV = MMMCCLXXII = CMXXVIII =

9 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Римская система счисления = 2983 = 1452 = 1999 =

10 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Римская система счисления 10 только натуральные числа (дробные? отрицательные?) для записи больших чисел нужно вводить новые цифры сложно выполнять вычисления Какое максимальное число можно записать? ?

11 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Славянская система счисления 11 алфавитная система счисления (непозиционная) Часы Суздальского Кремля

13 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Определения 13 Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа. Алфавит системы счисления это используемый в ней набор цифр. Основание системы счисления это количество цифр в алфавите (мощность алфавита). Разряд это позиция цифры в записи числа.

Разряды в записи целых чисел нумеруются с нуля справа налево. Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа. Алфавит системы счисления это используемый в ней набор цифр. Основание системы счисления это количество цифр в алфавите (мощность алфавита). Разряд это позиция цифры в записи числа.

Разряды в записи целых чисел нумеруются с нуля справа налево.

14 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Формы записи чисел разряды = 6· · · · тысячи сотни десятки единицы развёрнутая форма записи числа Схема Горнера: = (( ) ) для вычислений не нужно использовать возведение в степень удобна при вводе чисел с клавиатуры, начиная с первой

15 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Перевод в десятичную систему 15 a 3 a 2 a 1 a 0 = a 3 p 3 + a 2 p 2 + a 1 p 1 + a 0 p 0 Через развёрнутую запись: Через схему Горнера: = = 194 =1 разряды : a 3 a 2 a 1 a 0 = (( a 3 p + a 2 ) p + a 1 ) p + a = (( ) 5 + 3) = 194 основание системы счисления

16 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Перевод из десятичной в любую = = (( ) 5 + 3) делится на 5 остаток от деления на 5 a 3 a 2 a 1 a 0 = (( a 3 p + a 2 ) p + a 1 ) p + a 0 остаток от деления на p a 3 a 2 a 1 = ( a 3 p + a 2 ) p + a 1 частное от деления на p Как найти a 1 ? ? Как по записи числа в системе с основанием p определить, что оно делится на p 2 ? ?

17 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Перевод из десятичной в любую = Делим число на p, отбрасывая остаток на каждом шаге, пока не получится 0.

Затем надо выписать найденные остатки в обратном порядке. Делим число на p, отбрасывая остаток на каждом шаге, пока не получится 0. Затем надо выписать найденные остатки в обратном порядке.

Как перевести в систему с основанием 8? ?

19 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, в записи есть цифра 5, поэтому X > 5 переводим правую часть в десятичную систему решаем уравнение Задачи 19 Задача: в некоторой системе счисления число 71 записывается как «155 x »? Определите основание системы счисления X. 71 = 155 X x = 1·X 2 + 5·X 1 + 5·X 0 = X 2 + 5·X = X 2 + 5·X + 5X = 6 X = -11

20 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Задачи 20 Задача: найдите все основания систем счисления, в которых запись десятичного числа 24 оканчивается на = k·X = k·XX = 3, 7, 21

21 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Задачи 21 Задача: найдите все десятичные числа, не превосходящие 40, запись которых в системе счисления с основанием 4 оканчивается на 11. N = k· ·4 + 1 = k· При k =0, 1, 2, 3, … получаем N = 5, 21, 37, 53, …

22 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Задачи 22 Задача: Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, О и У, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка: 1. ААААА 2. ААААО 3. ААААУ 4. АААОА 5. … Найдите слово, которое стоит на 140-м месте от начала списка. А 0 O 1 У … в троичной системе! на 1-м месте: 0 на 140-м месте: = ОУАОО Сколько всего? ?

23 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Дробные числа 23 0,6375 = 6·0,1 + 3·0,01 + 7·0, ·0,0001 0, = 6· · · ·10 -4 Развёрнутая форма записи: разряды : Схема Горнера: 0, 6375 = ·( ·( ·( ·5))) 0, = 1· · · ·5 -4 0, = 5 -1 ·( ·( ·( ·4))) перевод в десятичную систему

24 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Дробные числа: из десятичной в любую 24 0, = 5 -1 ·( ·( ·( ·4))) 5·(0, )= ·( ·( ·4)) целая часть дробная часть 0,a 1 a 2 a 3 a 4 = p -1 ( a 1 + p -1 ( a 2 + p -1 ( a 1 + p -1 a 0 ))) p ( 0,a 1 a 2 a 3 a 4 ) = a 1 + p -1 ( a 2 + p -1 ( a 1 + p -1 a 0 )) Как найти a 2 ? ?

25 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Дробные числа: из десятичной в любую Вычисления Целая часть Дробная часть 0, = 4,688 40,688 0,688 5 = 3,44 30,44 0,44 5 = 2,2 20,2 0,2 5 = 110 0,9376 0,9376 = 0, ,3 Что делать? ?

27 К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Системы счисления § 11. Двоичная система счисления 27

28 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Двоичная система 28 Основание (количество цифр): 2 Алфавит: 0, = система счисления разряды = 1· · · · ·2 0 = = 19

29 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Метод подбора = Разложение по степеням двойки: 77 = …+ 4 + … = разряды наибольшая степень двойки, которая меньше или равна заданному числу 77 =

30 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Перевод из двоичной в десятичную = разряды = = 77 Схема Горнера: Разряд ВычисленияРезультат

31 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Арифметические операции 31 сложение вычитание 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1= = =0 0+1=1 1+0=1 1+1= = =0 1-1=0 1-0= =1 0-0=0 1-1=0 1-0= =1 перенос заём –

32 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Арифметические операции

33 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Арифметические операции – – – –

35 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Дробные числа Вычисления Целая часть Дробная часть 0, = 1,625 10,625 0,625 2 = 1,25 10,25 0,25 2 = 0,5 00,5 0,5 2 = 110 0,8125 0,8125 = 0, ,6 =0, … =0,(1001) 2 Бесконечное число разрядов! !

36 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Дробные числа 36 Большинство дробных чисел хранится в памяти с некоторой погрешностью. При выполнении вычислений с дробными числами погрешности накапливаются и могут существенно влиять на результат. Желательно обходиться без использования дробных чисел, если это возможно. если то… целые если то…

37 Системы счисления, 10 класс К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, Двоичная система счисления 37 длинная запись чисел: 1024 = запись однородна (только 0 и 1) нужны только устройства с двумя состояниями надёжность передачи данных при помехах компьютеру проще выполнять вычисления (умножение сводится сложению и т.п.)

Источник: http://www.myshared.ru/slide/1025577/

Позиционные системы счисления

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления, к которым относятся и широко распространенная десятичная система, числовое значение цифры зависит от ее местоположения или позиции в последовательности цифр изображающих число. Единственной, дошедшей до нашего времени, системой, не относящейся к позиционной системе счисления, является римская система счисления.

• Любое число в позиционной системе счисления изображается последовательностью цифр:
• Х = аn-1 an-2…a1a0
• где aiє{0,1,…,q-1}, q – основание системы счисления.
• Наибольшее распространение получили системы счисления с основанием q=2, 8, 10, 16.

Если q >10, то вводят специальные символы, соответствующие цифрам 10, 11 и т.д. Так в 16-ной системе счисления такими символами являются начальные буквы латинского алфавита:

[А(10), В(11), С(12), D(13), E(14), F(15)].

Микропроцессорная техника оперирует двоичными цифрами. Независимо от изображения чисел и цифр в программе пользователя, микропроцессор всегда преобразует их в последовательность двоичных цифр: 0 и 1.

1. Обозначение основания системы счисления числа производится ниж-ним числовым индексом после записи числа, либо передними символами:
2. (1238, 12310, 12316,…) или 0х__(16), bx__(2).
3. Используют следующие сокращения для обозначения форматов двоичных чисел.

Бит – двоичная цифра, имеющая два значения (0, 1). С помощью двух бит можно представить четыре числа (00, 01, 10, 11). С помощью трех бит можно представить восемь чисел.

С помощью n бит можно представить 2n чисел.

Тетрада – это комбинация из четырех бит, она описывает 16 комбинаций чисел, т.е. совпадает с числом цифр в 16-теричной системе счисления. Т.о. любую комбинацию тетрады мы можем записать либо 4 битами, либо одной цифрой 16-ной системы счисления:

00002 = 016 00012 = 116 00102 = 216 00112 = 316 01002 = 416 01012 = 516 01102 = 616 01112 = 716 10002 = 816 10012 = 916 10102 = А16 10112 = В16 11002 = С16 11012 = D16 11102 = E16 11112 = F16

Байт (от английского слова “слог”) – это группа из 8 бит.

Байт позволяет описать 256 различных чисел. Биты в байте номеруются справа, налево начиная с нуля.

Самое младшее число в 16-теричной системе счисления, формата байт, записывается в виде 0016, а самое старшее число записывается в виде FF16.

Слово – это комбинация из 16 бит или 2 байт. Слово содержит: 216 = 65536 комбинаций.

Для краткой записи больших степеней числа 2 (что используется при характеристике объема памяти ) величину 210 обозначают буквой К, которая читается “килобайт” (Кбайт), число 220 обозначают М, которая читается “мегабайт” (Мбайт), число 230 обозначают Г, которая читается “гигабайт” (Гбайт).

Источник: http://testent.ru/publ/studenty/informatika/pozicionnye_sistemy_schislenija/33-1-0-1325

Позиционные системы счисления — урок. Информатика, 10 класс

Количество ((р)) различных символов, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления.

Основание показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее в младший или старший разряд.

Набор символов, используемый для обозначения цифр, называется алфавитом.

Так, например, алфавит двоичной системы счисления содержит всего два символа: (0) и (1), а алфавит шестнадцатеричной системы — (16) символов: десять арабских цифр и шесть латинских букв ((0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F)).

Np=±(ak−1⋅pk−1+ak−2⋅pk−2+…+a0⋅p0+a−1⋅p−1+…+a−m⋅p−m)

• Такой вид записи числа называют развернутой формой записи числа,
• где (р) — основание системы счисления;
• ai — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
• (k) — количество разрядов в целой части числа;
• (m) — количество разрядов в дробной части числа.
• Нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):
• — положительные значения индексов — для целой части числа;
• — отрицательные значения индексов — для дробной части числа.
• Свернутой формой записи числа называется запись в виде:

N=(ak−1ak−2…a1a0,a−1a−2…a−m)p

1. Например:
2. — при (р = 10) в записи числа 2466,67510 в десятичной системе счисления (k = 3), (m = 3);
3. — при (р = 2) в записи числа 1011,112 в двоичной системе (k = 3), (m = 2).
4. Свернутой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни, ее называют естественной или цифровой.

Основанием позиционной системы счисления может быть любое натуральное число (например, (5), (21), (37)). Во избежание путаницы справа от числа нижним индексом приписывают основание: 1011012, 3678, 3B8A16, 3AO37.

Десятичная система счисленияОснование: (p = 10).Алфавит: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Десятичная система счисления наиболее распространенная система счисления в мире. Используется при повседневном счете. Для записи чисел используются арабские цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Число в десятичной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае (10)), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

765,34510=7⋅102+6⋅101+5⋅100+3⋅10−1+4⋅10−2+5⋅10−3Двоичная система счисления

• Основание: (p = 2).
• Алфавит: (0, 1).
• Двоичную систему счисления широко применяют в вычислительной технике. К ее достоинствам относятся:
• — возможность использования наиболее простой элементной базы микроэлектроники — всего с двумя устойчивыми состояниями;
• — возможность использования аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
• — возможность использования простейших правил арифметики.

Основной недостаток двоичной системы — быстрый рост количества разрядов, необходимых для записи чисел. По этой, а также по некоторым другим причинам в вычислительной технике, кроме двоичной, применяются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Число в двоичной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае (2)), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

Пример:

1011,012=1⋅23+0⋅22+1⋅21+1⋅20+0⋅2−1+1⋅2−2

Восьмеричная система счисления

Основание: (p = 8).Алфавит: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).

Восьмеричная система чаще всего используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триады (группы по 3 разряда) двоичных. Ранее широко использовалась в программировании и вообще компьютерной документации, однако в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.

Число в восьмеричной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае (8)), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

Пример:

567,128=5⋅82+6⋅81+7⋅80+1⋅8−1+2⋅8−2

Шестнадцатеричная система счисления

Основание: (p = 16).Алфавит: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение (0, 1, …, 9). Для записи остальных цифр ((10, 11, 12, 13, 14) и (15)) обычно используются первые шесть букв латинского алфавита.

Шестнадцатеричная система счисления, на сегодняшний день является наиболее популярным средством компактной записи двоичных чисел. Очень широко используется при разработке и проектировании цифровой техники.

Число в шестнадцатеричной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае (16)), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

Пример:

10FC16=1⋅163+0⋅162+F⋅161+C⋅160

1. Помимо рассмотренных выше позиционных систем счисления, существуют и другие, например:- троичная ((0, 1, 2));
2. — пятеричная ((0, 1, 2, 3, 4))
3. — двенадцатеричная ((0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B))
4. — тринадцатеричная ((0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C)).

Обрати внимание!

В системах счисления с основанием больше (10) для представления чисел после цифр (0, 1, 2,…, 9) используют латинские буквы в алфавитном порядке: (А) ((10)), (В) ((11)), (С) ((12)) и т. д.

Источники:

Информатика и ИКТ. 10 класс. Базовый уровень / Под ред. проф. Н. В. Макаровой. — СПб.: Лидер, 2009, стр. 39

Угринович Н. Д. Информатика и ИКТ. Профильный уровень : учебник для 10 класса / Н. Д. Угринович. — 3-е изд. испр. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008, стр. 125-128

Источник: https://www.yaklass.ru/p/informatika/10-klass/informatciia-i-informatcionnye-protcessy-11955/predstavlenie-chislovoi-informatcii-v-kompiutere-11901/re-e11efb05-3712-445c-affa-9e803562e80b

Урок №1. Позиционные системы счисления

Май 10 2013

Как решать некоторые задачи разделов A и B экзамена по информатике

Урок №1. Позиционные системы счисления. Представление целых чисел

Для записи целых чисел можно использовать разные способы. Такие способы принято называть системами счисления. Например, целое число можно записывать последовательностью «палочек».

Число 5 выглядит при таком способе как |||||. Понятно, что такой способ хорош только для записи небольших чисел. Для записи целых чисел, особенно дат,  иногда применяют римскую систему счисления.

В этой системе 2013 год записывается следующим образом MMXIII.

Основным способом записи чисел является их запись в различных позиционных системах счисления. Для записи числа в позиционной системе счисления используется некоторое множество символов, называемых цифрами системы счисления.

Общепринято использовать 10 цифр — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, значения которых задают первые 10 чисел натурального ряда. Число используемых цифр задает основание системы счисления. В привычной со школьной скамьи десятичной системе счисления используются 10 цифр.

В двоичной системе счисления с основанием 2 используются две цифры – 0 и 1. В позиционных системах счисления с основанием p, где p 10 десяти приведенных цифр не хватает, поэтому необходимы другие символы для записи цифр.

В широко используемой при работе с компьютерами 16-иричной системе счисления, где необходимо 16 цифр, наряду с цифрами 0 – 9 в качестве цифр используют начальные буквы латинского алфавита – A, B, C, D, E, F, задающие соответственно числа от 10 до 15.

В любой системе счисления основание системы счисления – число p – всегда записывается как число 10. Поясним причину этого на примере десятичной системы. Число 9 можно записать, используя цифру 9, но, если прибавить к 9 единицу, то на следующее число цифры уже не будет.

В двоичной системе счисления числа 0 и 1 можно записать с помощью цифр, но, если прибавить к 1 единицу, то для двойки уже цифры нет, поэтому в двоичной системе число 2 записывается с помощью двух цифр, как число 10.

• Вопрос: Чему равно число, записанное в системе счисления с основанием p  как 10p?
• Ответ:   Эта запись означает число p в привычной для нас десятичной системе счисления.
• Вопрос: В каких системах счисления справедливы утверждения? 2 * 2 = 10 2 * 2 = 11 2 * 2 = 100 2 * 2 = 4
• Ответы: ( В системах с основаниями соответственно: 4, 3, 2, в любых системах с основанием p > 4)

Рассмотрим привычную для нас запись числа N = 754 в десятичной системе счисления. Не задумываясь, мы ответим, что число N состоит из 7-и сотен, 5-и десятков и 4-х единиц.

1. N = 7* 102 + 5 * 101 + 4*100
2. В общем случае запись N = ck-1 ck-2…c0, где ci – цифры системы счисления означает: N = ck-1 * pk-1 + ck-2 * pk-2 + … + c0 * p0,                                                                 (*)
3. где p – основание системы счисления. Учитывая, что в любой системе счисления p = 10, то справедлива и такая запись:
4. N = ck-1 * 10pk-1 + ck-2 * 10pk-2 + … + c0 * 10p0,                          (**)
5. Вот точное определение:  

     Запись числа в позиционной системе счисления означает разложение числа по степеням основания. В роли коэффициентов выступают цифры системы счисления.

• Понимание этого факта и соответствующего ему представления числа N соотношением (*) достаточно для решения многих задач экзамена ЕГЭ.
•     Задача 1: Сколько единиц в двоичной записи числа 130?
• Ответ: 2.

Решение. Число 130 = 128 + 2  = 1* 27  + 1* 21. Остальные коэффициенты равны 0. Полное решение задачи. Поскольку максимальная степень двойки равна 7, то число 130 в двоичной системе будет содержать 8 цифр – 2 единицы и 6 нулей 13010 = 100000102 Задача 1 решается мгновенно, если помнить степени числа 2

1.     Задача 2: Сколько нулей в троичной записи числа 130?
2. Ответ: 0
3. Решение: Используя разложение по степеням основания 3, число 130 можно представить: 13010 = 34  + 33 + 2*32 + 3 + 1 = 81 + 27 + 18 + 3 + 1 = 112113
4. Задача 2 может потребовать некоторых вычислений из-за того, что со степенями тройки сложнее работать, чем со степенями двойки, которые  обычно помнит наизусть каждый ученик, изучающий информатику.
5.     Задача 3: Чему равно число, записанное как 2435 в пятеричной системе счисления?
6. Ответ: 7310

Решение: Это обратная задача по отношению к задаче 1. Здесь, зная цифры и основание системы счисления, нужно восстановить число, используя соотношение (*).

• N = 2435 = 2*52 + 4 * 51 + 3 = 50 + 20 + 3 = 7310
•     Задача 4: Число 2435 записать в двоичной системе счисления?
• Ответ: 10010012

Решение: Задача записи числа N в системе счисления с основанием p, если задана его запись в системе с основанием q, решается в два этапа. На первом этапе число переводится в десятичную систему, на втором этапе – в систему с основанием p.

N = 2435  = 7310  = 64 + 8 + 1 = 10010012

Формальный алгоритм перевода десятичного числа в систему с основанием p

    Алгоритм достаточно прост. На пальцах он выглядит так. Необходимо последовательно делить число на p — основание системы счисления. Остатки от деления дают цифры для записи числа в системе с основанием p.

Приведу обоснование алгоритма:

Воспользуемся представлением (*) для записи числа  N.

1. Положим M = N = ck-1 * pk-1 + ck-2 * pk-2 + … + c0 * p0;
2. Представим число M в виде: M = (ck-1 * pk-2 + ck-2 * pk-3 + … + c1) * p + c0
3. Нетрудно видеть: с0 = M % p, где операция % означает остаток от деления;
4. Вычислим новое значение M = M / p, где операция / означает деление нацело. Результатом этой операции является число, от которого отрезана последняя цифра; Полученное число сохраняет представление (*).
5. Операции 3 и 4 будем повторять k раз, получая каждый раз очередную цифру в разложении N по степеням основания p.

1. Вот как выглядит точная запись этого алгоритма в виде функции на языке С#:
2. ///
3. /// Перевод десятичного числа N
4. /// в систему счисления с основанием p
5. ///
6. /// переводимое число
7. /// основание системы счисления
8. ///
9. /// строка, задающая запись числа
10. /// в системе с основанием p
11. ///
12. static string Perevod10ToP(int N, int p)
13. {
14. string result = «»;
15. int M = N;
16. while (M != 0)
17. {
18. result = (M % p).ToString() + result;
19. M = M / p;
20. }
21. return result;
22. }
23. К этому алгоритму мы еще вернемся, а сейчас рассмотрим несколько менее тривиальных задач, на тему представления чисел в системах счисления.

Задача 5: Число 77 в системе счисления с основанием pзаканчивается на 0, а число 29 в этой системе заканчивается на 1. Чему равно p – основание системы счисления?

• Ответ: 7
• Решение: При обосновании алгоритма перевода было показано, что с учетом представления (*) любое число может быть записано в виде:
• (ck-1 * pk-2 + ck-2 * pk-3 + … + c1) * p + c0
• Отсюда следует возможность представить наши числа 77 и 29 следующим образом:
• 77 = k1*p + 0
• 29 = k2 * p + 1
• Следовательно, справедливо соотношение:
• 49 = (k1 – k2) * p
• Произведение двух целых, отличных от 1, равно 49 в том и только в том случае, когда:
• (k1 – k2)  =  p = 7

Задача 6: Двузначное число Nв системах счисления с основаниями 3 и 7 заканчивается одной и той же цифрой. Укажите минимально возможное  значение N.

1. Ответ: 21
2. Решение: Nпредставимо в виде:
3. N = 3k1 + c0 = 7k2 + c0
4. Следовательно, справедливо соотношение:
5. 3k1 = 7k2
6. Минимальное значение для N получается при:
7. k1 = 7;  k2 = 3; N = 21

Алгоритм перевода десятичных чисел в систему счисления с основанием pследует хорошо  знать. В ряде задач он используется для разбора десятичного числа на цифры. Зная число цифр в числе, их сумму или произведение, можно найти минимальное, максимальное или все числа, удовлетворяющие заданным характеристикам. Вот несколько задач на эту тему:

•  Задача 7:
•  При выполнении фрагмента программы на печать выводятся два числа  — 3 и 18.
•  Каким может быть минимальное (максимальное) значение числа N в этом случае?
• int a = 0, b = 0;
• while (N != 0)
• {
• a = a + 1;     //число цифр в числе
• b = b + N % 10;  //сумма цифр
• N = N / 10;
• }

Console.WriteLine(“ a = “ + a.ToString());

Console.WriteLine(“ b = “ + b.ToString());

Ответ: минимальное N – 189; максимальное N = 990

Решение: Если в качестве основания системы использовать число 10, то алгоритм позволяет разобрать десятичное число на цифры. Переменная a играет роль счетчика цикла, задавая тем самым число цифр в числе. Переменная b в данном фрагменте вычисляет сумму цифр.

Задача сводится к определению к-значного числа по заданной сумме его цифр. Если сумма трех цифр числа равна 18, то первой цифрой у числа с минимальным значением может быть цифра 1. Две оставшиеся цифры в сумме дают 17, откуда и следует ответ.

Для максимального числа, последней цифрой может быть 0, а две старшие цифры могут быть равны 9.

    Задача 8:  При выполнении фрагмента программы на печать выводятся два числа  — 3 и 18. Перечислите все возможные значения числа N в этом случае?

1. int a = 0, b = 1;
2. while (N != 0)
3. {
4. a = a + 1;     //число цифр в числе
5. b = b * N % 10;  //произведение цифр
6. N = N / 10;
7. }

Console.WriteLine(“ a = “ + a.ToString());

Console.WriteLine(“ b = “ + b.ToString());

Ответ: (129, 136, 163, 192, 219, 233, 291, 316, 323, 332, 361, 613, 631, 912, 921)

Решение: Эта задача является вариацией предыдущей задачи. Здесь необходимо определить возможное значение трехзначного числа, зная произведение его цифр. В ответе перечислены все возможные решения

10 задач для самостоятельной работы

1. Что больше 1010112    или 2А16?
2. Выполните сложение 1010112  +  2А16  + 578 и укажите результат в десятичной системе.
3. В какой системе счисления выполняется равенство: 53P + 35P = 110P
4. Сколько решений имеет неравенство: a

Источник: http://edu.cps.tver.ru/archives/2481