Поток вектора напряженности электрического поля — справочник студента

Лекция 2

Расчет электрических полей. Понятие дивергенции вектора. Теорема Остроградского-Гаусса. Распределение зарядов: линейное, поверхностное, объемное. Основной закон электростатики – закон Гаусса. Примеры применения закона Гаусса: сферическая оболочка, шар, бесконечная плоскость, цилиндрическая поверхность, бесконечная прямая нить.

Способ 1.Применение принципа суперпозиции для нахождения напряжённости поля системы зарядов и протяжённых заряженных тел
Этот способ принципиально применим всегда. Другое дело, что получить
точный результат аналитически, без применения численных
методов и ЭВМ, удаётся только в очень ограниченном ряде случаев распределения зарядов-источников в пространстве.

Пример .Определить напряженность на оси равномерно заряженного кольца. Заряд кольца q, x – расстояние от центра кольца.

Прежде всего разобьём кольцо на элементы – точечные
заряды Δqi, каждый из которых создаёт в точке А поле с напряженнстью
Расстояние от элемента Δqi, кольца до точки А одинаково для всех таких элементов. Все векторы располагаются под одинаковым углом к оси
ОХ на конической поверхности. Далее воспользуемся принципом

суперпозиции, т.е. сложим все такие векторы. Вследствие симметрии задачи вклад в общую напряжённость дадут лишь составляющие Еxi. Поэтому

модуль вектора напряжённости в точке А будет равен только сумме именно этих составляющих Еix от всех элементов кольца:

Поток вектора напряженности электрического поля - Справочник студента

Сам же вектор Е очевидно, будет направлен вдоль оси ОХ.

Поток вектора напряженности электрического поля - Справочник студента

Рис.2. Зависимость проекции на ось ОХ вектора напряжённости Ex .

Видно, что на малых расстояниях от центра кольца эта
зависимость линейная, на больших – обратно пропорциональная
квадрату расстояния (кольцо “становится” точечным зарядом).
Чаще такие задачи решают, используя процедуру интегрирования.

Пример на доске. При этом полагают, что заряд распределен непрерывно по телу.

Поток вектора напряженности электрического поля - Справочник студента

Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Остроградского-Гаусса. Понятие дивергенции вектора. Математический оператор набла.

Многое задачи электростатики решаются намного изящнее и проще, если использовать такие свойства векторного поля, как теоремаОстроградского-Гаусса и теорема о циркуляции вектора. Эти свойства связаны с такими математическими понятиями как поток вектора, циркуляция и дивергенция вектора.

Элементарным потоком напряженности электрического поля dФ через произвольную площадку dS называют произведение модуля вектора Ена dS и на косинус угла α между вектором напряженности электрического поля и положительной нормалью к площадке.
dФ = Е ∙dS∙cosα или dФ = (Е ∙ dS)
Полный поток через замкнутую поверхность будет равен интегралу по поверхности по элементарным потокам.
Ф = = или
Если соблюдено условие – густота силовых линий пропорциональна модулю напряжённости поля, то справедливо и следующее важное утверждение: поток вектора напряжённости через данную поверхность пропорционален числу силовых линий проходящих сквозь неё.
Нужно сделать важную оговорку: поскольку

поток «величина алгебраическая», т.е. может иметь

разный знак в зависимости от

направления, в котором силовые линии пересекают поверхность (знака скалярного произведения EndS или соответствующей суммы), договоримся и «число линий» считать с учётом этого направления.

Договоримся также, при этом, для замкнутых поверхностей положительными считать нормали n смотрящие вовне.

Тогда линия «выходящая» изнутри наружу даёт вклад «+1», а «входящая» снаружи вовнутрь – «-1»

Теорема Остроградского-Гаусса.
Поток вектора напряжённости электростатического поля
Ф в вакууме через любую замкнутую поверхность пропорционален суммарному заряду, расположенному внутри этой поверхности ,деленному на электрическую постоянную

Физический смысл. Поток вектора Е через поверхность численно равен числу силовых линий пронизывающих эту поверхность.

Проведём теперь доказательство утверждения теоремы «по
шагам», отталкиваясь от самого простого случая:
а) сферическая поверхность охватывает точечный
положительный заряд*), расположенный в её центре
Рассчитаем поток вектора
напряжённости. Структура поля
точечного заряда нам уже хорошо
известна – в любой точке пространства
вектор напряжённости имеет радиальное
направление, а его величина обратно пропорциональна квадрату расстояния от точечного заряда-источника поля. Отметим, прежде всего, то, что для любого малого элемента сферической поверхности направления векторов E
и dS совпадают. Это позволяет перейти от проекции
вектора En к его модулю E(r) под знаком интеграла (мы добавили
в обозначении модуля напряжённости указание на то, что
имеется зависимость только от расстояния!):
Далее подставим известное нам выражение для напряжённости
поля точечного заряда:
Подынтегральное выражение в скобках есть константа в пределах всей
поверхности интегрирования S, поэтому её можно вынести за
знак интеграла. Оставшийся интеграл в строгом соответствии с
математическим определением не что иное, как площадь
поверхности S, равная для сферы, как известно, 4πr2.
В итоге получаем для искомого потока результат:
Как видим, он вполне соответствует утверждению теоремы.
б) сместим точечный заряд из центра всё той же
сферической поверхности
Обратим внимание, что вычисление
поверхностного интеграла (потока) в этом
случае сразу существенно усложняется.
Ведь теперь для каждого малого элемента
поверхности угол между векторами Eи dS
разный, также как разные значения принимает модуль напряженности.
Рисунок помогает понять, что обсуждаемый поток ничуть не изменяется
по сравнению со случаем «а». Вспомним, что поток через
поверхность пропорционален числу силовых линий пересекающих
эту поверхность. Это число, очевидно, не изменилось при

смещении заряда из центра. Поэтому можно предполагать, что остаётся в силе и утверждение теоремы Гаусса.

Вычислим поток через произвольную поверхность математически строго, используя dФ = Е ∙dS∙cosα.
Как видно из рисунка dS∙cosα = dS┴
Учитывая , что телесный угол dΩ = dS┴/r2 для точечного заряда запишем.
Выражение в скобках под знаком интеграла, очевидно, постоянная
величина, а телесный угол при обходе всей замкнутой
поверхности, охватывающей точечный заряд, изменяется в
пределах от 0 до 4π. Учитывая это, приходим к уже знакомому выражению
в) замкнутая поверхность произвольной формы охватывает

один точечный заряд. Морщинистая поверхность.

видно, что число силовых линий «истекающих» через поверхность ∑ наружу не изменилось (напомним, что мы выбрали случай положительного
заряда).Оно не изменяется даже в случае самых причудливых, например,
«складчатых» замкнутых поверхностей, охватывающих точечный заряд. Несмотря на то, что в последнем
случае, силовая линия может пересекать поверхность несколько раз, её итоговый «вклад» всегда равен «+1».
Проследите по рисунку, что число «выходов» всегда на единицу
превышает число «входов». Таким образом, и в этом случае
поток пропорционален заряду q внутри поверхности S.

Пример 1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.

Плоскость равномерно заряжена с постоянной поверхностной плотностью заряда s.
В качестве замкнутой поверхности построим цилиндр основания которого ½½плоскости, а ось ^ ей.
Поток Есквозь боковую поверхность =0, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания.

Вывод: напряженность не зависит от длины цилиндра т.е. Напряженность поля на любых расстояниях от плоскости одинакова, следовательно поле заряженной плоскости однородно.

Пример 2.Поле бесконечной однородно заряженной нити с линейной плотностью τ ( τ = dq/dl, Кл/м).

Поле симметричное, направлено перпендикулярно нити и из соображений симметрии на одинаковом расстоянии от оси симметрии цилиндра (нити) имеет одинаковое значение.
Модуль напряжённости может зависеть от расстояния от оси стержня r, но никак не от азимутального направления.
Критерий выбора замкнутой поверхности
На части этой поверхности вектор E должен совпадать с
направлением нормали и быть постоянным по модулю, а на
оставшейся части перпендикулярным к ней.
Этому критерию удовлетворят поверхность прямого кругового цилиндр
Процедура «вычисления» поверхностного интеграла вида
ò En dS может быть записана
Для оснований цилиндра
Для боковой поверхности
Тогда найдем поток вектора магнитной индукции по определению потока
Найдем поток вектора магнитной индукции по теореме Гаусса
Приравняем оба выражения
и найдем Е:

Здесь а радиус основания цилиндра, окружающего нить, т.е.расстояние от нити до данной точки пространства, τ(тау) — поверхностная плотность заряда.

Пример 3.Электрическое поле вне и внутри объемно заряженного бесконечного цилиндра радиуса R.

Распределение заряда так же, как и в случае с нитью имеет «аксиальную» (относительно оси) симметрию. Графическое изображение силового поля так же аналогично, изображению поля нити. Легко понять, что поле вне цилиндра будет аналогично полю нити.

Поток напряженности электрического поля через основания цилиндра равен нулю, т.к. угол между нормалью и вектором Е равен 900.Тогда

Таким образом, поверхностный интеграл удалось представить в
виде произведения скалярных величин. По внешнему виду он
выглядит совершенно одинаково как для поверхности S1
(охватывающей часть стержня снаружи), так и для поверхности S2
(расположенной внутри стержня). Разница здесь лишь в принадлежности r к определённому диапазону значений радиуса: r > R и r < R для S1 и S2
Отличие для поверхностей S1 и S2 обнаруживается в
величине охваченного ими заряда:
а)В первом случае (r > R) поверхность s1 охватывает весь
заряд участка стержня длины h. При постоянной объёмной
плотности заряда r получаем:
q1 = 2×p R ×hr
(2×p R ×h – объём прямого кругового цилиндра высоты h).
б)Цилиндрическая поверхность S2 имеет радиус r меньший,
чем у стержня, и охватывает лишь часть заряда распределённого
внутри участка стержня высоты h. Этот заряд равен
q2 = 2×p r hr
Тогда по теореме Гаусса поток напряженности электрического поля вне цилиндра будет равен:
при r > R (поле вне стержня).
Итак, вне стержня поле имеет радиальное направление и убывает обратно пропорционально расстоянию от оси заряженного цилиндра.
б) Для поверхности S2
Ключевым моментом в проведённых решениях являлся переход от поверхностного интеграла от (E dS) , представляющего собой в общем случае весьма сложную с математической точки зрения конструкцию, к произведению скалярных величин вида Е×S. Такой переход возможен только при наличии одного из трёх видов
симметрии распределения заряда в пространстве – сферической,
осевой («аксиальной») или плоской («билатеральной» или
«зеркальной»)*). При произвольной форме заряженного тела единственно возможным остаётся лишь «первый» способ
расчёта напряжённости, основанный на непосредственном
применении принципа суперпозиции электрических полей, или её
экспериментальное измерение.

Пример 3. Поле полого шара. (Поле проводящего шара)

Внутри шара электрическое поле отсутствует. На этом явлении основана электростатическая защита.

Пример 4. Поле равномерно заряженного шара. Заряд шара q, радиус R.

Источник: https://megaobuchalka.ru/11/51993.html

1 Линии напряженности. Поток вектора напряженности

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Лекция №2.

§2.1 Линии напряженности. Поток вектора напряженности.

Электрическое поле однозначно определено, если для каждой точки пространства величина (модуль) и направление вектора . Это можно сделать, если в пространстве провести так называемые линии напряженности (силовые линии) электрического поля.

Э Поток вектора напряженности электрического поля - Справочник студента ти линии проводятся так, что касательная к линии напряженности совпадает с направлением вектора в данной точке, а «густота» линий отражает величину вектора напряженности . Если в данную точку пространства, где присутствует электрическое поле, поместить единичную площадку т.е., перпендикулярную силовым линиям, то число линий, пронизывающих данную площадку, численно равно модуль вектора напряженности.

Для точечных зарядов силовые линии представляют собой радиальные прямые. Для положительных зарядов – уходящие от заряда в бесконечность, для отрицательных – приходящие к заряду из бесконечности.

Н Поток вектора напряженности электрического поля - Справочник студента айдем полное число N, уходящих/приходящих от/к заряда(у). Для этого окружим точечный заряд сферической поверхностью произвольного радиуса r. Тогда: Поток вектора напряженности электрического поля - Справочник студента

Таким образом число линий N уходящих от заряда всегда остается постоянным. т.е.

Отсюда и вытекает, что линии напряженности нигде кроме заряда не начинаются и не заканчиваются: для положительного заряда уходят в бесконечность, для отрицательного приходят из бесконечности и заканчиваются на заряде. При этом силовые линии нигде не пересекаются друг с другом. Это свойство линий вектора является общим для всех электростатических полей т.е. полей создаваемых системой неподвижных зарядов.

Рассмотрим некоторую поверхность S, которая находится в электрическом поле . Выделим на этой поверхности бесконечно малый элемент dS. Пусть – единичный вектор нормали к данному элементу dS. Тогда число линий, пронизывающих эту площадку равно:

Поток вектора напряженности электрического поля - Справочник студента

Выражение (1) называется потоком вектора через поверхность S.
Поток вектора – скалярная величина.
Смысл потока вектора Е – число силовых линий, пронизывающих данную поверхность S.

Е Поток вектора напряженности электрического поля - Справочник студента сли поверхность замкнутая, то принято вычислять поток вектора из захватываемой области наружу. Соответственно под нормалью подразумевается вектор, направленный наружу от поверхности S.

Выражение называется потоком вектора через замкнутую поверхность.

§2.2. Теорема Гаусса.

В предыдущем параграфе мы определили, что для точечного заряда поток через сферу (замкнутая поверхность):
Если поверхность имеет «складки», то линии напряженности всегда пересекают границу поверхности нечетное число раз и, следовательно, для любой поверхности, окружающей заряд
.
Если имеется некоторая система зарядов, окруженная произвольной замкнутой поверхностью S, то на основании принципа суперпозиции можно записать:

Поток вектора напряженности электрического поля - Справочник студента

Выражение (2) носит название теоремы Гаусса: поток вектора через произвольную поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на .
В частности, если зарядов внутри S нет, или их ;
Если заряд распределен внутри поверхности непрерывно с объемной плотностью , тогда полный заряд внутри S: и поток (2*)
Теорема Гаусса в виде (2) и (2*) носит название теоремы Гаусса в интегральной форме.

Теорема Гаусса может быть записана в дифференциальной форме. Для этого воспользуемся теоремой Остоградского-Гаусса, которая связывает интеграл по замкнутой поверхности S с интегралом по объему V, ограниченному данной поверхностью S.

Где
Если ввести символический вектор-оператор набла:
, тогда
Учитывая (2*)
И окончательно получим:
(3)
Соотношение (3) и есть дифференциальная форма теоремы Гаусса.
Уравнения (2), (2*), (3) – одно из основных соотношений электростатики. Справедливость теоремы Гаусса обусловлена следующими причинами:

Сила взаимодействия точечных зарядов обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами.
Центральным характером сил взаимодействия.
линейной суперпозицией эффектов, обусловленных различными зарядами.

Глубокий физический смысл теоремы Гаусса: в природе существуют электрические заряды и они являются источниками электрического поля.

Как будет показано далее соотношения (2), (2*), (3) вошли в так называемые уравнения Максвелла классической электродинамики в качестве 1-ого уравнения.

§2.3. Применение теоремы Гаусса для нахождения электростатического поля.

Для электростатических зарядов, обладающих сферической и цилиндрической симметрией, теорема Гаусса позволяет рассчитать поле зарядов более простым способом, чем если бы оно рассчитывалось непосредственно из закона Кулона и принципа суперпозиции.
а) Поле равномерно заряженной бесконечной нити.
Линейная плотность заряда:
Рассчитывая поле исходя из закона Кулона мы нашли, что , где a-расстояние до нити.

Получим тот же результат на основании теоремы Гаусса. Очевидно, что напряженность перпендикулярна нити. На расстоянии а от нити . Таким образом, задача обладает цилиндрической симметрией относительно оси совпадающей с нитью.

Окружим нить цилиндром радиуса а и длиной . Так как вектор перпендикулярен боковой поверхности цилиндра, то силовые линии Е проходят только через боковую поверхность. Применяя теорему Гаусса получим:

Получили тот же результат.
б) Поле заряженного металлического сплошного (полого) шара.

Поместим на металлический шар заряд Q. Заряд распределится по поверхности шара равномерно. Внутри шара зарядов нет.

Описав вокруг центра шара сферу произвольного радиуса rR), найдем:

Поле вне сферы совпадает с полем точечного заряда Q, расположенного в центре сферы.

Вблизи поверхности (снаружи) также легко определяется, если в последнем выражении для E положить r=R. Тогда — поверхностная плотность заряда на сфере. И

Это выражение для Е справедливо для любого заряженного металлического тела.

Следует отметить, что для металлического тела произвольной формы для различных точек поверхности этого тела.

в) Рассмотрим теперь бесконечную плоскость, на которой заряд распределен равномерно с поверхностной плотностью.

=Const

Найдем напряженность Е на произвольном расстоянии а от плоскости. Легко заметить, что вектор перпендикулярен плоскости.

Выберем на плоскости произвольную площадку.

Построим на основании вертикальный цилиндр высотой а над плоскостью и под ней. На торцах цилиндра и направлена из цилиндра. Поэтому поток вектора проходит только через торцы. Применим теорему Гаусса:

Таким образом электрическое поле не зависит от расстояния а и во всех точках пространства над и под плоскостью одинаково: . Такое поле называется однородным.

г) Найдём электрическое поле Е внутри и вне равномерно заряженной по объему сферы радиуса R.

Опишем вокруг центра шара сферу произвольного радиуса r

Источник: https://refdb.ru/look/1008232.html

Поток вектора напряженности электрического поля. Разбор теоремы Гаусса :

В физике закон Гаусса о потоке вектора напряженности электрического поля является правилом, связывающим распределение зарядов. Рассматриваемая поверхность может быть закрытой, охватывающей объем, такой, как сферическая поверхность.

Впервые закон был сформулирован Жозефом-Луи Лагранжем в 1773 году, а затем Карлом Фридрихом Гауссом в 1813 году в контексте притяжения эллипсоидов. Это одно из четырех уравнений Максвелла, лежащих в основе классической электродинамики. Закон Гаусса можно использовать для вывода закона Кулона и наоборот.

Математический аспект

Закон Гаусса имеет математическое сходство с рядом законов в других областях физики, таких, как теории магнетизма и гравитации. Фактически, любой закон обратных квадратов можно сформулировать аналогично закону Гаусса. Например, он сам по существу эквивалентен закону Кулона обратного квадрата.

Закон может быть выражен математически с использованием векторного исчисления в интегральной форме и дифференциальной форме; оба эквивалентны, так как они связаны теоремой расходимости, также называемой теоремой Гаусса.

Каждая из этих форм, в свою очередь, также может быть выражена двумя способами: в терминах зависимости между электрическим полем E и полным электрическим зарядом или в терминах поля электрического смещения D и свободного электрического заряда.

Интегрирование

Если электрическое поле известно повсеместно, закон Гаусса позволяет найти распределение электрического заряда: заряд в любой данной области может быть выведен путем интегрирования электрического поля, чтобы найти поток вектора напряженности электрического поля.

Обратная задача (когда распределение электрического заряда известно и электрическое поле должно быть вычислено) гораздо сложнее. Общий поток вектора напряженности электрического поля через данную поверхность дает мало информации об электрическом поле и может входить и выходить из поверхности в произвольно сложных схемах.

Исключением является наличие некоторой симметрии в задаче, которая требует, чтобы электрическое поле проходило через поверхность равномерным образом.

Если общий поток вектора напряженности электрического поля известен, само поле может быть выведено в каждой точке.

Общие примеры симметрий, которые поддаются закону Гаусса, включают цилиндрическую симметрию, плоскую симметрию и сферическую симметрию.

Свободный заряд

Электрический заряд, который возникает в простейших ситуациях из учебника, будет классифицироваться как «свободный заряд», например, заряд, который переносится статическим электричеством или заряд на пластине конденсатора. Напротив, «связанный заряд» возникает только в контексте диэлектрических (поляризуемых) материалов.

(Все материалы в некоторой степени поляризуемы.) Когда такие материалы помещаются во внешнее электрическое поле, электроны остаются связанными со своими соответствующими атомами, но смещают микроскопическое расстояние в ответ на поле, так что они больше на одной стороне атома, чем на другой.

Все эти микроскопические смещения в сумме дают макроскопическое распределение чистого заряда, что составляет «связанный заряд».

Хотя микроскопически весь заряд в основном одинаков, часто существуют практические причины желать рассматривать связанный заряд иначе, чем свободный заряд. Результатом является то, что более фундаментальный закон Гаусса в терминах E (выше) иногда приводится в эквивалентной форме ниже, то есть в терминах D и только свободного заряда.

Силовые линии

Закон Гаусса может быть истолкован в терминах силовых линий поля следующим образом.

Поток вектора напряженности электрического поля через поверхность зависит как от его величины, так и от направления его линий. В общем случае положительный поток определяется этими линиями, выходящими из поверхности, а отрицательный — линиями, входящими в эту поверхность.

Это приводит к тому, что положительные заряды вызывают положительный отклик, а отрицательные заряды создают отрицательный. Эти линии электрического поля будут бесконечно уменьшаться по силе на единицу на расстоянии от источника квадрата заряда.

Чем больше число силовых линий, исходящих от заряда, тем больше величина заряда, и чем ближе друг к другу силовые линии, тем больше величина электрического поля.

Это естественный результат того, что электрическое поле становится слабее по мере удаления от заряженной частицы, но площадь поверхности также увеличивается, так что суммарное электрическое поле, выходящее из этой частицы, останется прежним. Другими словами, замкнутый интеграл электрического поля и скалярное произведение производной площади будут равны приложенному суммарному заряду, деленному на диэлектрическую проницаемость свободного пространства.

Отличия

Строго говоря, закон Гаусса не может быть выведен из одного закона Кулона, поскольку закон Кулона дает электрическое поле только за счет отдельного точечного заряда.

Однако закон Гаусса может быть доказан из закона Кулона, если, кроме того, предполагается, что электрическое поле подчиняется принципу суперпозиции.

Принцип суперпозиции гласит, что результирующее поле является векторной суммой полей, генерируемых каждой частицей (или интегралом, если заряды равномерно распределены в пространстве).

Обратите внимание, что поскольку закон Кулона применяется только к стационарным зарядам, нет никаких оснований ожидать, что закон Гаусса будет действовать для движущихся зарядов, основываясь только на этом выводе. Фактически, закон Гаусса на самом деле действует для движущихся зарядов, и в этом отношении закон Гаусса является более общим, чем закон Кулона.

Строго говоря, закон Кулона не может быть выведен из одного закона Гаусса, поскольку закон Гаусса не дает никакой информации относительно скручивания E (см. «Разложение Гельмгольца и закон Фарадея»).

Читайте также: Учет долгосрочных инвестиций - справочник студента
Тем не менее, закон Кулона может быть доказан из закона Гаусса, если предположить, что электрическое поле от точечного заряда сферически симметрично (это предположение, как и сам закон Кулона, точно верно, если заряд является стационарным, и приблизительно верно, если заряд находится в движении).

Примеры и визуализация

Электрическое поле является векторным полем, величина и направление которого определено в каждой точке пространства. Другим примером векторного поля, которое легче визуализировать, является скорость воды в потоке вектора напряженности через замкнутую поверхность.

Это величина того, что поле представляет, проходя через область. Общий поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме зависит от напряженности поля, размера площади поверхности, через которую он проходит, и от того, как область ориентирована относительно поля.

Вы можете думать о нем как о количестве чего-то, пересекающего поверхность.

Поверхность представляет собой двумерную (реальную или воображаемую) границу, может быть открытой или закрытой. Открытая поверхность может быть областью двери, областью листа бумаги, областью чаши и т. д.

Закрытой поверхностью может быть поверхность из сферы или куба и т. д. Как нам убедительно доказывает теорема Остроградского-Гаусса, поток вектора напряженности измеряется в единый момент времени.

Поток — это общее количество чего-либо, пересекающего поверхность, но это не что-то на единицу площади и т. д.

Максимальное количество линий поля перехватывается, когда единичный вектор, нормальный к поверхности, n, параллелен полю E, в то время, как никакие линии поля не проходят через поверхность, когда n перпендикулярно полю.

Число линий поля, проходящих через область A, прямо пропорционально A * cosθ, где θ — угол между направлением поля и единичным вектором n, перпендикулярным поверхности. Это приводит к определению электрического потока.

ΔΦE — электрический поток через некоторую небольшую область ΔA, нормаль которой составляет угол θ с направлением электрического поля. Е — это величина поля. Единица СИ потока — Нм2 / с. Это и есть ответ на вопрос, в чем измеряется поток вектора напряженности.

Область E

E — векторная величина. Полезно также представлять область A вектором A. Длина этого вектора равна размеру области, а ее ориентация перпендикулярна области. Это в направлении нормального п. У нас есть A = An.

Нормаль к поверхности может указывать в двух разных направлениях. Для замкнутой поверхности условно нормаль указывает наружу.

С нашим определением A мы можем записать формулу потока вектора напряженности в виде точечного произведения E и ΔA.

Сигнал через какую-либо поверхность может быть положительным или отрицательным, поскольку косинус может быть положительным или отрицательным.

Поток через закрытую поверхность является положительным, если есть чистый внешний поток, и отрицательным, если есть чистый внутренний поток.

У нас есть чистый поток наружу, если внутри замкнутой поверхности есть источник, и чистый поток внутрь, если внутри замкнутой поверхности есть сток.

Кубическая поверхность

Рассмотрим электрический поток, проходящий через кубическую поверхность с двумя его гранями, перпендикулярными однородному электрическому полю. Поток, проходящий через верхнюю, нижнюю, переднюю и заднюю стороны куба, равен нулю, поскольку эти стороны параллельны полевым линиям и, следовательно, не пересекают ни одну из них.

Вектор нормали n перпендикулярен полю для этих сторон, и cosθ равен нулю. Как показано, линии поля параллельны вектору нормали n для правой стороны, поэтому поток через эту сторону равен ΦE = EA. Линии поля антипараллельны вектору нормали n для левой стороны, поэтому поток через эту сторону равен ΦE = -EA.

Общий поток через поверхность куба является суммой потоков через все стороны и равен нулю.

Поток векторного поля через замкнутую поверхность всегда равен нулю, если в объеме, окруженном поверхностью, нет источника или поглотителя векторного поля. Источниками и поглотителями электрического поля являются заряды.

Радиус R

Представьте себе сферу радиуса R с равномерно распределенным внутри зарядом. Симметрия распределения заряда требует сферически-симметричного электрического поля. Поле должно быть направлено радиально внутрь к центру или наружу от центра сферы.

Если у нас сферически-симметричное распределение заряда, то, независимо от того, как мы ориентируем нашу систему координат, распределение всегда выглядит одинаково. Поэтому поле должно также выглядеть одинаково, независимо от того, как мы ориентируем нашу систему координат.

Поле, которое не радиальное, будет выглядеть иначе, если мы повернем нашу систему координат, т. е. если мы посмотрим на нее под другим углом.

Поэтому для сферического симметричного распределения заряда величина E может зависеть только от радиальной координаты r и заряда Q. Чтобы определить E как функцию от r, мы используем закон Гаусса. Нарисуем сферическую гауссову поверхность радиуса r с центром в центре сферического распределения заряда. Радиус r поверхности может быть больше или меньше радиуса R распределения.

Закон Гаусса — одно из двух утверждений, описывающих электрические и магнитные потоки.

Закон Гаусса об электричестве гласит, что электрический поток через любую замкнутую поверхность пропорционален суммарному электрическому заряду, приложенному поверхностью.

Закон подразумевает, что существуют изолированные электрические заряды, и что подобно зарядам, они отталкиваются друг от друга, а в отличие от зарядов, притягиваются.

Закон Гаусса о магнетизме гласит, что магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю; этот закон согласуется с наблюдением, что изолированные магнитные полюсы (монополи) не существуют.

Математические формулировки

Математические формулировки для этих двух законов — вместе с законом Ампера (относительно магнитного эффекта изменения электрического поля или тока) и законом индукции Фарадея (относительно электрического эффекта изменения магнитного поля) — собраны в наборе, который известен как Уравнения Максвелла (см.). Они составляют основу единой электромагнитной теории.

Связи

Связь между векторными полями в физике и их источниками, например, между гравитационным полем и массами, между электрическим полем и электрическими зарядами, а также между магнитным полем и магнитными диполями можно выразить удивительно простым и элегантным образом, известным как закон Гаусса. С практической точки зрения закон Гаусса часто полезен при определении полного электрического или гравитационного поля, возникающего из распределений зарядов или масс, которые имеют достаточную симметрию.

В этих ситуациях часто проще использовать закон Гаусса, чем складывать все вклады в общее поле, приходящиеся на каждую отдельную часть заряда или распределения массы.

Векторные потоки

Закон Гаусса включает в себя величину, называемую потоком (также известным как интегральный поток или полный поток) электрического, гравитационного или магнитного поля из воображаемой двумерной поверхности, когда эта поверхность является непосредственной границей трехмерного объема. Рассматриваемая двумерная поверхность должна рассматриваться как «нарисованная в пространстве», то есть это чисто математическая конструкция, которую не следует путать с любой материальной поверхностью, которая может быть частью физической ситуации.

Например, вы можете представить трехмерную часть пространства в форме шара, и рассматриваемая поверхность будет его граничной поверхностью, которая является сферой.

Грубо говоря, теорема Гаусса гласит, что при произвольной такой двумерной поверхности, если суммировать нормальные компоненты поля по всей поверхности, результат, пропорциональный суммарному заряду, приложенному поверхностью, то есть заряду, присутствующему в части пространства, границей которой является поверхность.

Заключение

Концепция потока является важной и распространенной в физике.

В случае веществ или энергии, которые физически протекают через пространство и, в частности, через данную поверхность, поток относится к скорости потока (вещества или энергии) через поверхность.

Но можно определить поток вектора напряженности через поверхность, даже если, как и в случае электрического, гравитационного или магнитного поля, векторное поле не описывает поток какого-либо физического объекта.

Источник: https://www.syl.ru/article/467869/potok-vektora-napryajennosti-elektricheskogo-polya-razbor-teoremyi-gaussa

Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса

Как и для любого векторного поля важно рассмотреть свойства потока электрического поля. Поток электрического поля определяется традиционно.

Выделим малую площадку площадью ΔS, ориентация которой задается единичным вектором нормали (рис. 157).

В пределах малой площадки электрическое поле можно считать однородным [1], тогда поток вектора напряженности ΔФE определяется как произведение площади площадки на нормальную составляющую вектора напряженности

где — скалярное произведение векторов и ; En — нормальная к площадке компонента вектора напряженности.

В произвольном электростатическом поле поток вектора напряженности через произвольную поверхность, определяется следующим образом (рис. 158):

— поверхность разбивается на малые площадки ΔS (которые можно считать плоскими);

— вычисляется сумма потоков через все площадки, на которые разбита поверхность

.

Эта сумма называется потоком вектора напряженности электриче-ского поля через заданную поверхность.

Непрерывные линии, касательные к которым в каждой точке, через которую они проходят, совпадают с вектором напряженности, называются силовыми линиями электрического поля или линиями напряженности.

Густота линий больше там, где напряженность поля больше. Силовые линии электрического поля, созданного неподвижными зарядами не замкнуты: они начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. Электрическое поле, напряженность которого одинакова во всех точках пространства, называется однородным. Густота линий больше вблизи заряженных тел, где напряженность больше. Силовые линии одного и того же поля не пересекаются.На любой заряд в электрическом поле действует сила. Если заряд под действием этой силы перемещается, то электрическое поле совершает работу. Работа сил по перемещению заряда в электростатическом поле не зависит от траектории движения заряда и определяется только положением начальной и конечной точек.Рассмотрим однородное электрическое поле, образованное плоскими пластинами, заряженными разноименно. Напряженность поля во всех точках одинакова. Пусть точечный заряд q перемещается из точки А в точку B вдоль кривой L. При перемещении заряда на небольшую величину D L работа равна произведению модуля силы на величину перемещения и на косинус угла между ними, или, что то же самое, произведению величины точечного заряда на напряженность поля и на проекцию вектора перемещения на направление вектора напряженности. Если подсчитать полную работу по перемещению заряда из точки А в точку B, то она независимо от формы кривой L, окажется равной работе по перемещению заряда q вдоль силовой линии в точку B1. Работа по перемещению из точки B1 в точку B равна нулю, так как вектор силы и вектор перемещения перпендикулярны.

5. Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме

Общая формулировка: Поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду.

СГС СИ

где

§ — поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность .

§ — полный заряд, содержащийся в объёме, который ограничивает поверхность .

§ — электрическая постоянная.

Данное выражение представляет собой теорему Гаусса в интегральной форме.

§ Замечание: поток вектора напряжённости через поверхность не зависит от распределения заряда (расположения зарядов) внутри поверхности.

В дифференциальной форме теорема Гаусса выражается следующим образом:

Читайте также: Методика организации и проведения урока этикета - справочник студента

СГС СИ

Здесь — объёмная плотность заряда (в случае присутствия среды — суммарная плотность свободных и связанных зарядов), а — оператор набла.

§ Теорема Гаусса может быть доказана как теорема в электростатике исходя из закона Кулона (см. ниже). Формула однако также верна в электродинамике, хотя в ней она чаще всего не выступает в качестве доказываемой теоремы, а выступает в качестве постулируемого уравнения (в этом смысле и контексте ее логичнее называть законом Гаусса[2].

6. Применение теоремы Гаусса к расчету электростатического поля равномерно заряженной длинной нити (цилиндра)

Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити). Бесконечный цилиндр радиуса R (рис. 6) равномерно заряжен слинейной плотностью τ (τ = –dQ/dt заряд, который приходится на единицу длины).

Из соображений симметрии мы видим, что линии напряженности будут направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. Мысленно построим в качестве замкнутой поверхности коаксиальный цилиндр радиуса r и высотой l.

Поток вектора Е сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю (торцы и линии напряженности параллельны), а сквозь боковую поверхность равен 2πrlЕ. Используя теорему Гаусса, при r>R 2πrlЕ = τl/ε0, откуда

(5)

Если rR,ro внутрь поверхности попадает весь заряд Q, который создает рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса, 4πr2E = Q/ε0 , откуда

(3)

При r>R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда. График зависимости Е от r приведен на рис. 4. Если r'

Источник: https://poznayka.org/s42928t1.html

Линии напряженности. поток вектора

НАПРЯЖЁННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ.

Для того, чтобы описать электрическое поле, нужно задать Е в каждой точке поля . Это можно сделать аналитически, выражая зависимость Е(х,у,z) в виде формул. Однако, это можно сделать и графически с помощью так называемых линий напряженности или силовых линий.

Силовой линией,или линией вектора напряженности поля,называют линию, проведенную в электрическом поле, для которой направление касательной в любой точке совпадает с направлением вектора напряженности поля (рис.2)

`E

Рис.2 `E

Т.к. касательная определяет два взаимно противоположных направления, то силовой линии приписывают определенное направление, отмечая его на чертеже стрелкой.

Густота силовых линий на чертеже отражает величину напряженности поля, а именно, число силовых линий, проходящих через единицу поверхности, перпендикулярной к силовым линиям, равно ( или пропорционально) величине напряженности поля в данном месте. Вследствие наглядности графический способ представления полей широко применяют в электротехнике.

Из сказанного следует, что силовую линию можно провести через всякую точку поля. Далее, т.к. в каждой точке поля вектор напряженности имеет вполне определенное (одно!) положение, то силовые линии нигде не пересекаются.

В качестве примера рассмотрим картину силовых линий точечного заряда. Для точечного заряда `E||`r и линии напряженности направлены по радиусам, проведённым из заряда. Для положительного заряда (q>0) эти линии исходят из заряда и уходят в ¥ (рис.3 а). Для отрицательного заряда (q0 иk

поэтому

поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен отношению алгебраической суммы зарядов, охватываемых этой поверхностью, к электрической постоянной.Это и есть теорема Оетроградского -Гаусса применительно к электростатическому полю в вакууме.

Теорема Остроградского-Гаусса выведена нами как прямое следствие из закона Кулона. Она позволяет сравнительно просто рассчитывать электрические поля при симметричных распределениях зарядов и окружающих их диэлектриков.

Для характеристики электрического поля наряду с `Е удобно ввести ещё одну векторную величину `D ,называемую электрическим смещениемили электрической индукцией.Для поля в электрически изотропной среде связь `D и `E в СИ имеет вид

`D = ee0 `E

Тогда к

Источник: https://infopedia.su/8xd22d.html

Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса для вектора напряженности

Элементарный заряд. Закон сохранения заряда. Уравнение непрерывности.

Зарядов в природе существует только два: «+» и «-». Притягиваются и отталкиваются. По числовому значению заряд может быть лишь в целое число больше элементарного заряда е=1,6·10-19Кл. Электрон «-», протон «+». Величина заряда не зависит от системы отсчета, а значит не зависит от движется этот заряд или покоится.

Измеряется в Кулонах [Кл] – электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника при силе тока 1А за время 1с. Все тела в природе способны приобретать электрический заряд. Процесс заряжения – разделение зарядов, при котором на одном из тел (или части) появляется избыток «+» заряда, а на другом «-».

Общее количество зарядов, содержащихся в телах, не изменяется, оно лишь перераспределяются между телами. Закон сохранения заряда: алгебраическая сумма электрических зарядов любой замкнутой системы (системы, не обменивающейся зарядами с внешними телами) остается неизменной, какие бы процессы не происходили бы внутри этой системы.

Деление по поведению. В зависимости от концентрации свободных зарядов тела делятся на проводники, полупроводники и диэлектрики. Проводники – заряд перемещается по всему объему (с и без химических превращений). Диэлектрики – практически отсутствуют свободные электрические заряды. Полупроводники – что-то среднее.

Уравнение непрерывности: v∫divJdV=-d/dt∫ρdV=>divJ=-dρ/dt. Для постоянного тока divJ=0.

Взаимодействие заряженных тел. Точечный заряд. Закон Кулона.

Притягиваются и отталкиваются. Точечный заряд – заряд, сосредоточенный на теле, линейные размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми он взаимодействует (принято для упрощения).

Закон Кулона: сила взаимодействия между двумя неподвижными точечными зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними: F=k|q1q2|/r2. Сила F (Кулоновская) направлена по прямой, соединяющей взаимодействующие заряды, т.е.является центральной, и соответствует притяжению (F0) в случае ++ и —.

В векторной форме: F12=kq1q2r12/r2r. F21=F12. В СИ k=1/(4πε0)=9·109 Н·м2/Кл2, м/Ф. ε0=8,85·10-12 Кл2/(Н·м2), Ф/м. В случае нескольких тел: F1=-kΣq1q2r1i/r1i2r1i.

Электростатическое поле. Напряженность поля. Поле точечного заряда. Принцип суперпозиции полей.

Если в пространство, окружающее электрический заряд, внести другой заряд, то на него будут действовать кулоновские силы. Значит, в пространстве, окружающем электрические заряды, существует силовое поле. Электрическое поле – поле, посредством которого взаимодействуют электрические заряды. Для обнаружения эл.

п используют пробный точечный положительный заряд – не вызывающий искажения поля. Если в поле, создаваемое зарядом Q, поместить пробный заряд Q0, то на него действует сила F, различная в разных точках поля, которая, согласно закону Кулона, пропорциональна пробному заряду Q0.

Поэтому отношении F/Q0 не зависит от Q0 и характеризует электростатическое поле в этой точке, где пробный заряд находится. Эта величина называется напряженностью и является силовой характеристикой электростатического поля. Н.э.п в данной точке есть физическая величина, определяемой силой, действующей на пробный единичный заряд, помещенный в эту точку поля: E=F/Q0.

С законом Кулона: E=1Qr/4πε0r2r или E=1Q/4πε0r2. Направление вектора E совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд. Если заряд +, то Е направлен вдоль радиус-вектора от заряда (отталкивание заряда); если -, то Е к заряду (притягивание). 1Н/м (В/м) – напряженность такого поля, которое на точечный заряд 1Кл действует с силой в 1Н.

Графически электростатическое поле изображают с помощью линий напряженности — линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора Е. Линии напряженности совпадают по направлению с вектором напряженности. Линии напряженности никогда не пересекаются.

Для однородного поля (когда вектор напряженности в любой точке постоянен по величине и направлению) линии параллельны вектору. Если поле создается точечным зарядом, то линии напряженности – радиальные прямые, выходящие из заряда, если он +, и входящие в, если -.

Для того, что бы с помощью линий напряженности можно было характеризовать не только направление, но и значение напряженности: EdScosα=EndS, En-проекция вектора Е на нормаль n к площади dS. Величина dФE=EndS=EdS называется потоком вектора напряженности через площадку dS [B·м]. Принцип независимости действия сил (как в механике) т.е.

результирующая сила F, действующая со стороны поля на пробный заряд Q0, равна векторной сумме сил Fi, приложенных к нему со стороны каждого из зарядов Qi: F=ΣFi. F=Q0E и Fi=Q0Ei, где Е – напряженность результирующего поля, а Ei – напряженность поля, создаваемого зарядом Qi. E=ΣEi. Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей – напряженность Е результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.

Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса для вектора напряженности.

Линии напряженности условились проводить с опр густотой: число линий напряженности, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора E. Тогда число линий напряженности равно EdScosα=EndS (n –нормаль, образующая с Е угол α). En-проекция вектора Е на нормаль n к площади dS.

Величина dФE=EndS=EdS называется потоком вектора напряженности через площадку dS=dSn – вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали n к площадке. Единица потока вектора напряженности электростатического поля – 1 В·м.

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора E сквозь эту поверхность ФE=s∫EndS=s∫EdS. Поток вектора Е зависит не только от поля Е, но и от выбора направления n. Для замкнутых положительное направление нормали – наружу.

Поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность r, охватывающей точечный заряд Q, равен: ФE=s∫EndS=Q4πr2/4πε0r2=Q/ε0. Справедливо для всех замкнутых поверхностей. Вход линий напряженности -, выход +. Знак потока совпадает со знаком заряда.

Теорема Гаусса: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на ε0. Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов. По принципу суперпозиции E=ΣEi.

Поэтому ФE= s∫EdS= s∫( ΣEi)dS= Σ s∫EidS. Каждый из интегралов равен Qi/ε0. Следовательно, s∫EdS= s∫EndS=1/ε0ΣQi. Заряд может быть распределен с некоторой объемной плотностью ρ=dQ/dV, различной в разных местах. Тогда суммарный заряд ΣQi=v∫ρdV. Используя теорему Гаусса: s∫EdS= s∫EndS=1/ε0v∫ρdV.

Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 418;

Источник: https://studopedia.net/1_48594_potok-vektora-napryazhennosti-elektricheskogo-polya-teorema-gaussa-dlya-vektora-napryazhennosti.html