Переходные процессы в rc и lc цепях — справочник студента

Если соединить резистор и конденсатор, то получится пожалуй одна из самых полезных и универсальных цепей.  

О многочисленных способах применения которой я сегодня и решил рассказать. Но вначале про каждый элемент в отдельности: 

Резистор — его задача ограничивать ток. Это статичный элемент, чье сопротивление не меняется, про тепловые погрешности сейчас не говорим — они не слишком велики. Ток через резистор определяется законом ома — I=U/R, где U напряжение на выводах резистора, R — его сопротивление. 

Когда же он заряжен, то становится как обрыв и ток через него течь перестает, а напряжение на нем становится равным заряжающему источнику. Получается интересная зависимость — есть ток, нет напряжения, есть напряжение — нет тока.

 

Чтобы визуализировать себе этот процесс, представь ган… эмм.. воздушный шарик который наполняется водой. Поток воды — это ток. Давление воды на упругие стенки — эквивалент напряжения.

Теперь смотри, когда шарик пуст — вода втекает свободно, большой ток, а давления еще почти нет — напряжение мало.

Потом, когда шарик наполнится и начнет сопротивляться давлению, за счет упругости стенок, то скорость потока замедлится, а потом и вовсе остановится — силы сравнялись, конденсатор зарядился. Есть напряжение натянутых стенок, но нет тока!  

Теперь, если снять или уменьшить внешнее давление, убрать источник питания, то вода под действием упругости хлынет обратно. Также и ток из конденсатора потечет обратно если цепь будет замкнута, а напряжение источника ниже чем напряжение в конденсаторе.  

Емкость конденсатора. Что это?
Теоретически, в любой идеальный конденсатор можно закачать заряд бесконечного размера.

Просто наш шарик сильней растянется и стенки создадут большее давление, бесконечно большое давление.

А что же тогда насчет Фарад, что пишут на боку конденсатора в качестве показателя емкости? А это всего лишь зависимость напряжения от заряда (q = CU). У конденсатора малой емкости рост напряжения от заряда будет выше.

Представь два стакана с бесконечно высокими стенками. Один узкий, как пробирка, другой широкий, как тазик. Уровень воды в них — это напряжение. Площадь дна — емкость.

И в тот и в другой можно набузолить один и тот же литр воды — равный заряд. Но в пробирке уровень подскочит на несколько метров, А в тазике будет плескаться у самого дна. Также и в конденсаторах с малой и большой емкостью.

Залить то можно сколько угодно, но напряжение будет разным.

Плюс в реале у конденсаторов есть пробивное напряжение, после которого он перестает быть конденсатором, а превращается в годный проводник 🙂  

А как быстро заряжается конденсатор?
В идеальных условиях, когда у нас бесконечно мощный источник напряжения с нулевым внутренним сопротивлением, идеальные сверхпроводящие провода и абсолютно безупречный конденсатор — этот процесс будет происходить мгновенно, с временем равным 0, равно как и разряд.

Но в реальности всегда существуют сопротивления, явные — вроде банального резистора или неявные, такие как сопротивление проводов или внутреннее сопротивление источника напряжения. В этом случае скорость заряда конденсатора будет зависить от сопротивлений в цепи и емкости кондера, а сам заряд будет идти по экспоненциальному закону. 

А у этого закона есть пара характерных величин:

• Т — постоянная времени, это время при котором величина достигнет 63% от своего максимума. 63% тут взялись не случайно, тут прямая завязка на такую формулу VALUET=max—1/e*max.
• 3T — а при троекратной постоянной значение достигнет 95% своего максимума.

Постоянная времени для RC цепи Т=R*C.  

Чем меньше сопротивление и меньше емкость, тем быстрей конденсатор заряжается. Если сопротивление равно нулю, то и время заряда равно нулю.  

Рассчитаем за сколько зарядится на 95% конденсатор емкостью 1uF через резистор в 1кОм:
T= C*R = 10-6 * 103 = 0.001c
3T = 0.003c через такое время напряжение на конденсаторе достигнет 95% от напряжения источника.

Разряд пойдет по тому же закону, только вверх ногами. Т.е. через Твремени в на конденсаторе остаенется всего лишь 100% — 63% = 37% от первоначального напряжения, а через 3T и того меньше — жалкие 5%. 

Ну с подачей и снятием напряжения все ясно.

А если напряжение подали, а потом еще ступенчато подняли, а разряжали также ступеньками? Ситуация тут практически не изменится — поднялось напряжение, конденсатор дозарядился до него по тому же закону, с той же постоянной времени — через время 3Т его напряжение будет на 95% от нового максимума.
Чуть понизилось — подразрядился и через время 3Т напряжение на нем будет на 5% выше нового минимума.

Да что я тебе говорю, лучше показать. Сварганил тут в мультисиме хитровыдрюченный генератор ступечнатого сигнала и подал на интегрирующую RC цепочку:

Видишь как колбасится 🙂 Обрати внимание, что и заряд и разряд, вне зависимости от высоты ступеньки, всегда одной длительности!!! 

А до какой величины конденсатор можно зарядить?
В теории до бесконечности, этакий шарик с бесконечно тянущимися стенками. В реале же шарик рано или поздно лопнет, а конденсатор пробьет и закоротит. Вот поэтому у всех конденсаторов есть важный параметр — предельное напряжение.

На электролитах его часто пишут сбоку, а на керамических его надо смотреть в справочниках. Но там оно обычно от 50 вольт. В общем, выбирая кондер надо следить, чтобы его предельное напряжение было не ниже того которое в цепи. Добавлю что при расчете конденсатора на переменное напряжение следует выбирать предельное напряжение в 1.4 раза выше. Т.к.

на переменном напряжении указывают действующее значение, а мгновенное значение в своем максимуме превышает его в 1.4 раза.  

Что следует из вышеперечисленного? А то что если на конденсатор подать постоянное напряжение, то он просто зарядится и все. На этом веселье закончится. 

А если подать переменное? То очевидно, что он будет то заряжаться, то разряжаться, а в цепи будет туда и обратно гулять ток. Движуха! Ток есть! 

Выходит, несмотря на физический обрыв цепи между обкладками, через конденсатор легко протекает переменный ток, а вот постоянному слабо.  

Любой изменяющийся во времени сигнал можно представить как сумму двух составляющих — переменной и постоянной.

Например, у классической синусоиды есть только переменная часть, а постоянная равна нулю. У постоянного же тока наоборот. А если у нас сдвинутая синусоида? Или постоянная с помехами? 

Переменная и постоянная составляющие сигнала легко разделяются!
Чуть выше я тебе показал как конденсатор дозаряжается и подразряжается при изменениях напряжения. Так что переменная составляющая сквозь кондер пройдет на ура, т.к. только она заставляет конденсатор активно менять свой заряд. Постоянная же как была так и останется и застрянет на конденсаторе.

Но чтобы конденсатор эффективно разделял переменную составляющую от постоянной частота переменной составляющей должна быть не ниже чем 1/T 

Возможны два вида включения RC цепочки:
Интегрирующая и дифференцирующая. Они же фильтр низких частот и фильтр высоких частот. 

Фильтр низких частот без изменений пропускает постоянную составляющую (т.к. ее частота равна нулю, ниже некуда) и подавляет все что выше чем 1/T.

Постоянная составляющая проходит напрямую, а переменная составляющая через конденсатор гасится на землю.
Такой фильтр еще называют интегрирующей цепочкой потому, что сигнал на выходе как бы интегрируется.

Помнишь что такое интеграл? Площадь под кривой! Вот тут она и получается на выходе.

Как здесь вычисляется постоянная составляющая? А с виду и не скажешь, но надо помнить, что любой периодически сигнал раскладывается в ряд Фурье, превращаясь в сумму из постоянной составляющей и пачки синусоид разной частоты и амплитуды.  

Фильтр высоких частот работает наоборот. Он не пускает постоянную составляющую (т.к. ее частота слишком низка — 0) — ведь конденсатор для нее равносилен обрыву, а вот переменная пролазит через кондер без проблем.

А дифференцирующей цепью ее называют потому, что на выходе у нас получается дифференциал входной функции, который есть не что иное как скорость изменения этой функции.

• На участке 1 происходит заряд конденсатора, а значит через него идет ток и на резисторе будет падение напряжения.
• На участке 2 происходит резкое увеличение скорости заряда, а значит и ток резко возрастет, а за ним и падение напряжения на резисторе.
• На участке 3 конденсатор просто удерживает уже имеющийся потенциал. Ток через него не идет, а значит на резисторе напряжение тоже равно нулю.
• Ну и на 4м участке конденсатор начал разряжаться, т.к. входной сигнал стал ниже чем его напряжение. Ток пошел в обратную сторону и на резисторе уже отрицательное падение напряжения.

А если подать на вход прямоугольнй импульс, с очень крутыми фронтами и сделать емкость конденсатора помельче, то увидим вот такие иголки:

Вверху идет осциллограма того что на входе, внизу то что на выходе дифференциальной цепи.
Как видишь, тут мощные всплески на фронтах. Оно и понятно, в этом месте функция меняется резко, а значит производная (скорость изменения) этой функции велика, на пологих участках сигнал константа и его производная, скорость изменения, равна нулю — на графике ноль.

А если загнать в дифференциатор пилу, то на выходе получим…

прямоугольник. Ну, а чо? Правильно — производная от линейной функции есть константа, наклон этой функции определяет знак константы.  

• Короче, если у тебя сейчас идет курс матана, то можешь забить на богомерзкий Mathcad, отвратный Maple, выбросить из головы матричную ересь Матлаба и, достав из загашников горсть аналоговой рассыпухи, спаять себе истинно ТРУЪ аналоговый компьютер 🙂 Препод будет в шоке 🙂 
• Правда на одних только резисторах кондерах интеграторы и диффернциаторы обычно не делают, тут юзают операционные усилители. Можешь пока погуглить на предмет этих штуковин, любопытная вещь 🙂  
• А вот тут я подал обычный приямоугольный сигнал на два фильтра высоких и низких частот. А выходы с них на осциллограф:

И вот что получилось на осциллографе:

Вот, чуть покрупней один участок:

Как видишь, на одном срезало постоянную составляющую, на другом переменную.  

Ладно, что то мы отвлеклись от темы.  

Как еще можно применить RC цепь?
Да способов много. Часто ее используют не только в качестве фильтров, но и как формирователи импульсов. Например, на сбросе контроллера AVR, если надо чтобы МК стартанул не сразу после включения питания, а с некоторой выдержкой:

При старте кондер разряжен, ток через него вваливат на полную, а напряжение на нем мизерное — на входе RESET сигнал сброса. Но вскоре конденсатор зарядится и через время Т его напряжение будет уже на уровне логической единицы и на RESET перестанет подаваться сигнал сброса — МК стартанет.

А для AT89C51 надо с точностью наоборот RESET организовать — вначале подать единицу, а потом ноль. Тут ситуация обратная — пока кондер не заряжен, то ток через него течет большой, Uc — падение напряжения на нем мизерное Uc=0. А значит на RESET подается напряжение немногим меньше напряжения питания Uпит-Uc=Uпит.

Но когда кондер зарядится и напряжение на нем достигнет напряжения питания (Uпит=Uс), то на выводе RESET уже будет Uпит-Uc=0

Аналоговые измерения
Но фиг сними с цепочками сброса, куда прикольней использовать возможность RC цепи для замера аналоговых величин микроконтроллерами в которых нет АЦП.

Тут используется тот факт, что напряжение на конденсаторе растет строго по одному и тому же закону — экспоненте. В зависимости от кондера, резистора и питающего напряжения.

А значит его можно использовать как опорное напряжение с заранее известными параметрами.

Работает просто, мы подаем напряжение с конденсатора на аналоговый компаратор, а на второй вход компаратора заводим измеряемое напряжение.

А дальше кондер начинает заряжаться через резистор и как только компаратор доложит, что напряжение с RC догнало измеряемое, то останавливаем таймер.

Зная по какому закону от времени идет возрастание опорного напряжения RC цепи, а также зная сколько натикал таймер, мы можем довольно точно узнать чему было равно измеряемое напряжение на момент сработки компаратора. Причем, тут не обязательно считать экспоненты.

На начальном этапе зарядки кондера можно предположить, что зависимость там линейная.

Или, если хочется большей точности, аппроксимировать экспоненту кусочно линейными функциями, а по русски — отрисовать ее примерную форму несколькими прямыми или сварганить таблицу зависимости величины от времени, короче, способов вагон просто. 

Если надо заиметь аналоговую крутилку, а АЦП нету, то можно даже компаратор не юзать. Дрыгать ножкой на которой висит конденсатор и давать ему заряжаться через перменный резистор.  

По изменению Т, которая, напомню T=R*C и зная что у нас С = const, можно вычислить значение R.

Причем, опять же необязательно подключать тут математический аппарат, в большинстве случаев достаточно сделать замер в каких-нибудь условных попугаях, вроде тиков таймера.

Если что то непонятно, то не парься скоро напишу статью про то как прикрутить к микроконтроллеру аналоговую фиговину не используя АЦП. Там подробно все разжую.  

Теперь, думаю, ты понял за что я так люблю RC цепочки и почему на моей отладочной плате PinBoard их несколько и с разными параметрами 🙂 

Источник: http://easyelectronics.ru/kondensator-i-rc-cepochka.html

Переходные процессы в RC- и RL- цепях

Переходными, в электрической цепи, принято называть процессы возникающие в результате различных воздействий (например: включений или отключений цепи от источника питания, обрывах или коротких замыканиях, импульсных возмущающих воздействий и так далее)  и переводящих её из одного стационарного (установившегося) состояния  в новое (другое) стационарное состояние.

Рассмотрим переходный процесс в RC-цепи (рисунок 1), в состав которой входят резистор R, конденсатор С, ключ К и источник питания, на зажимах которого поддерживается постоянное напряжение E=U.

Рисунок 1. Схема RC-цепи.

• Если установить ключ К в положение ”1” (рисунок 1), то начнётся процесс заряда конденсатора С через резистор R (рисунок 2,a). Для образовавшейся цепи будет справедливо соотношение :
• Так как на конденсаторе напряжение скачком изменяться не может, то в момент (t=0) подключения цепи к источнику питания всё напряжение источника окажется на резисторе R, то есть uR = U, uc = 0.

В начальный момент времени заряда конденсатора, ток в RC-цепи будет иметь наибольшее значение: i=U/R.

Конденсатор начнёт заряжаться, напряжение на нём “постепенно” повышается, что, в свою очередь, приведёт к уменьшению падения напряжения на резисторе uR = U — uC, а следовательно и уменьшению тока в RC-цепи, вплоть до его ”полного” прекращения. Напряжение на конденсаторе, во время заряда, нарастает по экспоненциальной зависимости согласно формуле:

1. 
2. где t – любой момент времени, τ – постоянная времени заряда конденсатора в секундах:
3. Значения напряжения на резисторе и общего тока RC-цепи уменьшаются также по экспоненциальному закону:
4. 

Рисунок 2. Переходные процессы в RC-цепи. (а – при подключении к                      источнику; б –при замыкании цепи)

Из приведенных выше математических выражений, а также изображений на рис.2,а можно сделать вывод что, величина τ характеризует скорость заряда конденсатора или скорость затухания переходного процеесса.

Через время t= τ , после подключения RC-цепи к источнику постоянного напряжения, напряжение на конденсаторе достигнет значения , а напряжение на резисторе уменьшится до значения . Процесс заряда конденсатора будет продолжаться до тех пор, пока напряжения на его выводах не достигнет значения равного напряжению источника питания U. Когда заряд конденсатора закончится — ток в RC-цепи становится равным нулю. Теоретически, для “полного” заряда конденсатора, потребуется бесконечно большое время.

Поэтому, принято считать, что процесс заряда конденсатора заканчивается, когда напряжение на нём достигает значений 90,95 или 99% величины напряжения источника питания U=E.

В подавляющем большинстве случаев, как на практике, так и в теоретических расчётах, время t в течение которого конденсатор считается полностью заряженным, принимают равным 3τ. Также это можно отнести ко всем электрическим цепям, где токи меняются по экспоненциальному закону.

Если установить ключ К в положение ”2” (рисунок 1) то начнётся новый переходный процесс — разряд конденсатора С через резистор R (рисунок 2,a).

В этом случае предварительно заряженный конденсатор становится фактическим источником напряжения, т.к.

источник внешнего напряжения E=U перестаёт действовать и для любого момента времени становится действительным соотношение uC + uR = 0, то есть uC = -uR.

• Ток в начальный  момент ( t=0) разряда конденсатора будет иметь максимальное значение:
• Но по мере разряда конденсатора (превращения накопленной в его электрическом поле энергии в тепловую на резисторе R ) напряжение на нём будет уменьшаться и, как следствие, будут уменьшаться по экспоненциальному закону ток в цепи и напряжение на резисторе:
• 

Через некоторое время, например t=3τ (см. приведенную выше табл.), на конденсаторе останется примерно 5% напряжения от начального значения, что условно можно считать окончанием переходного процесса и возвратом схемы в исходное состояние когда: uC = 0, uR = 0, i = 0.

Теперь рассмотрим переходной процесс в RL-цепи (рис.3), в состав которой входят резистор R, катушка индуктивности L, ключ К и источник питания, на зажимах которого поддерживается постоянное напряжение E=U.

Рисунок 3. Схема RL-цепи.

При подключении к источнику E=U, переводом ключа “K” в положение 1, ток в RL-цепи не сразу достигнет значения i=U/R, а будет нарастать по экспоненциальному закону (см.рис.4,а). Это связано с тем, что кроме источника E=U, в цепи с индуктивностью L начинает действовать ЭДС самоиндукции  eL, препятствующая нарастанию тока.

В момент включения, когда t=0, ЭДС самоиндукции максимальна и принимает значение  eL = -U, при этом все напряжения выделяются на катушке индуктивности L : , так как при t=0 ток в цепи i=0, следовательно iR = 0.

С течением времени напряжение на катушке uL уменьшается, а ток i и напряжение на резисторе uR экспоненциально возрастают:

где τ – постоянная времени RL-цепи, 

Рисунок 4. Переходные процессы в RL-цепи.                    (а – при подключении к источнику; б –при замыкании цепи)

На рисунке 4,а показано что ток в цепи, особенно в начале подключения к источнику, нарастает с наибольшей скоростью, но уже при t= τ его рост значительно замедляется, а при t=3τ практически прекращается и можно считать что его величина достигла установившегося значения i=U/R. При этом, с ростом тока, ЭДС самоиндукции уменьшается до нуля, переходной процесс заканчивается.

Переведём ключ К в положение ”2” (рисунок 3) – начнётся обратный переходной процесс, ”разряда” накопленной катушкой индуктивноси “энергии магнитного поля” и превращения её в тепловую на резисторе R, .

В самом начале этого переходного процесса (рисунок 4,б) напряжение на катушке возрастает скачком от нуля до uL = -U.

В дальнейшем, начинается процесс уменьшения по экспоненциальному закону тока и напряжения на элементах R-L цепи:Итого:

•  переходные процессы в обеих цепях, как RC так и RL , происходят в соответствии с  экспоненциальным   законом ;
•  в момент подключения RC-цепи к постоянному источнику питания напряжение на конденсаторе             “минимамальное” и практически равняется нулю  uc = 0 (если он был разряжен), но при этом по цепи      протекает максимальный ток i=U/R, значение которого постепенно уменьшается по мере заряда              конденсатора (рисунок 2,а);
• в момент подключения RL-цепи к постоянному источнику питания напряжение на катушке                      индуктивности принимает максимальное значение и приравнивается к величине напряжения                  источника, а ток имеет минимальное значение и практически равен нулю i=0, но с течением времени,    по мере уменьшения ЭДС самоиндукции катушки, принимает значение i=U/R (рисунок 4,а);
• величина τ характеризует скорость затухания переходного процесса:

1. постоянная времени RC-цепи —;
2. постоянная времени RL-цепи —   ;

Источник: https://elenergi.ru/perexodnye-processy-v-rc-i-rl-cepyax.html

6.3. Переходные процессы в цепях первого порядка. 6. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод анализа. Теория электрических цепей. Курс лекций

Примером цепей первого порядка являются простейшие RL и RC цепи.

Переходные процессы в RL-цепях

Рассмотрим включение RL-цепи к источнику напряжения u(t) (рис. 6.1).

Из рис. 6.1 следует, что до коммутации ключ К разомкнут, поэтому ток iL(0–) = 0 и цепь находится при нулевых начальных условиях. В момент t = 0 ключом К замыкаем (осуществим коммутацию) цепь, подключив ее к источнику напряжения u(t).

После замыкания ключа К в цепи начнется переходный процесс. Для его математического описания выберем в качестве независимой переменной iL = i и составим относительно нее дифференциальное уравнение по ЗНК: (6.11)

Уравнение (6.11) относится к линейным неоднородным дифференциальным уравнениям первого порядка типа (6.3), решение которого можно записать согласно (6.5) в форме (6.

12) где iсв — свободная составляющая тока, обусловленная свободными процессами, протекающими в цепи без участия источника u(t); inp — принужденная составляющая тока, обусловленная действием источника напряжения u(t).

Свободная составляющая тока iсв есть общее решение однородного дифференциального уравнения (6.13) и согласно (6.7) (6.14) где А — постоянная интегрирования; р — корень характеристического уравнения типа (6.6); (6.15)

Отсюда p = —R/L. Величина 1/|р| носит название постоянной времени цепи. В неразветвленной RL-цепи = L/R.

Принужденная составляющая iпp может быть определена как частное решение уравнения (6.11). Однако, как было указано выше, iпp можно найти более просто методами расчета установившегося режима цепи. Рассмотрим два частных случая:

В первом случае принужденная составляющая может быть определена из установившегося режима: iпp = U/R. Для нахождения постоянной интегрирования A перепишем (6.12) в форме i = Ае–t / + U/R и учтем начальные условия для i, а также первый закон коммутации (6.1):

Отсюда А = —U/R. Таким образом, закон изменения тока в RL-цепи определяется уравнением (6.16)

На рис. 6.2 изображены графики зависимости i(t) и uL(t). Анализ полученных уравнений (6.16) и (6.17) показывает, что чем больше постоянная времени цепи , тем медленнее затухает переходной процесс. На практике принято считать переходной процесс законченным при t = (3…

5), при t = 3 ток достигает 95% своего установившегося значения, а при t = 5 — более 99%. Графически постоянная времени может определиться как интервал времени на оси t от t = 0 до точки пересечения касательной к uL (рис. 6.

2), в указанный момент напряжение на uL уменьшается в е раз по сравнению с начальным.

Анализ полученных результатов показывает, что при нулевых начальных условиях в момент t = 0+ индуктивность ведет себя как бесконечно большое сопротивление (разрыв цепи), а при t = как бесконечно малое сопротивление (короткое замыкание цепи).

Для второго случая принужденная составляющая тока где , = arctg(L/R). Постоянная интегрирования определяется из уравнения

Откуда . Следовательно, закон изменения тока в цепи в этом случае будет (6.18)

На рис. 6.3 изображена временная зависимость тока (6.18). Напряжение на индуктивности (6.19) где UmL = LIm.

Анализ уравнения (6.18) показывает, что в случае подключения цепи к источнику u(t) в момент, когда u = ± /2 в последней могут возникать сверхтоки.

Если постоянная времени цепи достаточно велика, то скачок тока в начальный период может достигать imax 2Im. Напротив, при включении цепи в момент, когда u = , в ней сразу наступает установившийся режим.

Аналогичная картина наблюдается и с напряжением на индуктивности (6.19).

В качестве второго примера расчета рассмотрим случай ненулевых начальных условий в RL-цепи (рис. 6.4).

К моменту коммутации в данной цепи была запасена энергия магнитного поля, равная WL = Li2(0– )/2, где i(0– ) = U/(R0 + R).

После коммутации в RL-цепи возникает переходный процесс, описываемый уравнением: (6.20) т. е. iпp = 0. Решая уравнение (6.20), находим с учетом (6.13) – (6.15):

Окончательно закон изменения тока в переходном режиме описывается уравнением (6.21)

Напряжение uL определяется как (6.22)

На рис. 6.5 изображены графики i и uL. Следует отметить, что вся энергия WL, запасенная в индуктивности с течением времени, расходуется на тепловые потери в R. При ненулевых начальных условиях L ведет себя как источник тока.

Переходные процессы в RС-цепях

При расчете переходных процессов в RС-цепях в качестве независимой переменной выбирают uC. Затем также составляют дифференциальное уравнение для заданной RС-цепи, решение которого с учетом начальных условий для uC(0) и определяет закон изменения напряжения на емкости.

Рассмотрим вначале RC-цепь при нулевых начальных условиях (рис. 6.

6), которая подключается в момент t = 0 к источнику постоянного и(t) = U или синусоидального и(t) = Umsin(t + u ) напряжения.

Переходный процесс в данной цепи описывается дифференциальным уравнением (6.23) решение которого ищем также в форме суммы общего и частного решений, определяющих свободную и принужденную составляющие: (6.24)

Свободная составляющая является решением однородного дифференциального уравнения (6.25) (6.26) где р определяется из характеристического уравнения

Величина RC носит название постоянной времени RC-цепи и обозначается через .

Определим принужденную составляющую uC пp для случая, когда u(t) = U = const. Из рис. 6.6 следует, что в установившемся режиме uC пp = U. Следовательно, с учетом (6.24) и (6.

26) уравнение для иC примет вид иC = Ae–t / + U. Для нахождения постоянной интегрирования А учтем нулевые начальные условия для uC(0–) и второй закон коммутации (6.

2): uC(0–) = uC(0+) = 0 = A + U, откуда А = —U. Таким образом, получаем окончательно: (6.27)

Ток в цепи определяется согласно (1.12): (6.28)

Анализ полученных результатов показывает, что в момент t = 0+ емкость С (при нулевых начальных условиях) ведет себя как короткозамкнутый участок. Напротив, при t = емкость представляет собой бесконечно большое сопротивление (разрыв цепи для постоянного тока).

Рассмотрим случай гармонического воздействия. Нетрудно видеть что при этом (6.29) где (6.30) а напряжение

Постоянная А находится из начальных условий для uC(0+) при t = 0+:

Окончательно закон изменения напряжения (6.31)

На рис. 6.8 изображен график зависимости uC(t). Анализ уравнения (6.31) показывает, что в случае неудачного включения при u = – и большой в цепи могут возникать перенапряжения, достигающие на емкости величины uCmax 2UmC. В случае удачного включения, когда u = /2 – , в цепи сразу наступает установившийся режим.

Ток в цепи (6.32)

Рассмотрим теперь случай ненулевых начальных условий, когда емкость С, заряженная до напряжения U, разряжается на сопротивление R (рис. 6.9). К моменту коммутации в емкости была запасена энергия WC = CU2/2. После коммутации возникает переходный процесс, определяемый уравнением (6.33) т. е. имеет место свободный режим разряда (емкости): (6.34)

Постоянную интегрирования А находим из начального условия для uC(0+) = U и закона коммутации (6.2):

Таким образом, получаем закон изменения напряжения на емкости (6.35) и тока в цепи (6.36)

10 приведены графики изменения напряжения иС(t) и тока i(t) данной RС-цепи. Следует подчеркнуть, что вся запасенная энергия WC емкости с течением времени преобразуется в элементе R в тепло.

При ненулевых начальных условиях С ведет себя как источник напряжения.

Источник: https://siblec.ru/radiotekhnika-i-elektronika/teoriya-elektricheskikh-tsepej/6-perekhodnye-protsessy-v-linejnykh-elektricheskikh-tsepyakh-klassicheskij-metod-analiza/6-3-perekhodnye-protsessy-v-tsepyakh-pervogo-poryadka

4.3. Переходные процессы в RC-цепях

Переходные процессы в цепи рис. 4.2 будут возникать при установке ключа К в положение 1 (нулевые начальные условия) или 2 (ненулевые начальные условия).

Рис. 4.2. RC-цепь а) и переходные процессы в ней б) и в).

Переходной процесс в RC-цепи при нулевых начальных условиях. Рассмотрим случай, когда на входе цепи действует постоянное напряжение, т.е. u(t) = U.

В момент t = 0 замкнем ключ К в положение 1 и подключим постоянное напряжение к цепи.

Под действием напряжения U в цепи будет протекать ток i, который создает на резисторе R падение напряжения и заряжает емкость C. На основании второго закона Кирхгофа можно записать

Решение этого уравнения будем искать в форме суммы общего и частного решений, которые определяют свободную и принужденную составляющие:

Для определения свободной составляющей необходимо найти решение однородного дифференциального уравнения, которое получается из (4.16) приU = 0 и имеет вид:

Общее решение уравнения (4.18) определяется выражением

,                                                          (4.19)

где А – постоянная интегрирования; p – корень характеристического уравнения, полученного из (4.18) RCp + 1 = 0, откуда p = -1/RC = -1/τ, тогда (4.19) примет вид

,                                                  (4.20)

где τ = RC – постоянная времени цепи.

В установившемся режиме (после заряда конденсатора) напряжение на конденсаторе будет равно приложенному ко входу цепи напряжению, т.е. принужденная составляющая определяется уравнением:

.                                                          (4.21)

Подставляя (4.20) и (4.21) в (4.17)будем иметь

Учитывая, что в момент коммутации t = 0 и uC = 0 из (4.22) находим постоянную интегрирования А = -U, тогда (4.20)примет вид:

.                                                  (4.23)

Подставляя (4.21) и (4.23) в (4.17) получаем выражение, которое определяет как изменяется напряжение на выходе RC-цепи при подключении к ее входу источника постоянного напряжения

Учитывая (4.24)находим выражение, определяющее изменение тока в цепи

Графики изменения напряжения (4.24) и тока (4.25), поясняющие переходной процесс в RC-цепи при заряде емкости изображены на рис. 4.2,б.

Из графиков видно, что в момент подключения к RC-цепи источника постоянного напряжения ток в цепи достигает максимального значения, а напряжение на конденсаторе равно нулю , т.е. емкость ведет себя как короткозамкнутый участок цепи.

С увеличением времени ток уменьшается а напряжение на емкости увеличивается по экспоненциальному закону. Приt = 0 ток становится равным нулю, а uC = U, т.е. емкость эквивалентна разрыву цепи для постоянного тока.

Рассмотрим переходной процесс в RC-цепи при нулевых начальных условиях, когда к входу цепи подключается гармоническое воздействие. В этом случае принужденная составляющая будет иметь вид:

где

Учитывая (4.20) и (4.26) находим

• Постоянную интегрирования А определим исходя из начальных условий, что при t = 0 uC = 0, тогда
• .
• Подставляя А в (4.28) находим выражение, определяющее изменение UC при подключении к RC-цепи гармонического воздействия

.          (4.29)

Ток в цепи определяется выражением

Из выражения (4.29) видно, что при подключении к RC-цепи с большой постоянной времени τ гармонического воздействия в момент, когда φu = π – φ в цепи могут возникнуть перенапряжения достигающие величины            UCmax ≈ 2UmC. Если к цепи подключается гармоническое воздействие, когда   φu = π/2 – φ, то в цепи нет переходного процесса и сразу наступает установившийся режим.

Переходной процесс в RC-цепи при ненулевых начальных условиях. Переведем ключ К в цепи рис. 4.2 в положение 2. При этом произойдет отключение цепи от источника входного воздействия и емкость будет подключена к резисторуR.

К моменту коммутации емкость была заряжена до напряжения U и в ней была запасена энергия WC = CU2/2. После коммутации емкость начинает разряжаться и энергия расходуется на резисторе R. Переходной процесс, т.е. процесс разряда емкости, определяется уравнением

.                                                  (4.30)

Решением уравнения (4.30) является выражение (4.20)

.                                  (4.31)

Постоянную интегрирования А находим из начальных условий, т.е. при     t = 0 uC = U, тогда из (4.31) определяем А = U. Подставляя значение А = U в (4.31) находим выражение, определяющее изменение напряжения в RC-цепи при разряде емкости через резистор

.                                                          (4.32)

Ток в цепи изменяется в соответствии с выражением

.                                          (4.33)

Знак (-) в уравнении (4.33) означает, что ток разряда имеет обратное направление току заряда емкости.

Графики изменения uC и i приведены на рис. 4.2,в.

Из графиков рис. 4.2,в и выражений (4.32) и (4.33) видно, что в начале разряда емкости (t = 0) ток в цепи и напряжение на емкости имеют максимальные значения uC = U, i = -U/R.

С увеличением времени разряда напряжение на емкости и ток в цепи стремятся к нулю по экспоненциальному закону, т.е. в цепи имеет место переходной процесс. Длительность переходного процесса зависит от постоянной времени цепиτ, который заканчивается через время t ≈ 3τ.

Вся энергия, запасенная в конденсаторе, за время разряда преобразуется в резисторе R в тепло.

Источник: https://support17.com/rtcs-lecture-26/

Переходные процессы в RC и LC цепях

Переходными процессами, возникающими в электрических цепях, называют явления (процессы), которые происходят в них после того как один ᴎɜ параметров испытал быстрое изменение. К примеру, включение и выключение ЭДС в цепи с сопротивлением и индуктивностью.

RC цепь

RC цепью называется электрическая цепь, которая состоит ᴎɜ конденсатора (конденсаторов) (емкость C), сопротивления (сопротивлений) (R) и источника ЭДС (рис.1). В такой цепи могут происходить только релаксационные непериодические процессы.

Рисунок 1.

Присутствие в цепи конденсатора исключает возможность существования в ней постоянного тока. Разность потенциалов между обкладками конденсатора полностью компенсирует действие сторонней ЭДС (источника).

Переменный ток в такой сети возможен благодаря переменному заряду на конденсаторе. Разность потенциалов на обкладках не компенсирует действия сторонней ЭДС, в результате чᴇᴦο поддерживается некоторая сила тока.

где q — заряд на обкладке конденсатора, frac{q}{C} — разность потенциалов между обкладками конденсатора, U_0 — постоянное напряжение. Иногда уравнение (1) используют в виде:

Включение (выключение) постояннои̌ ЭДС в RC цепи

Допустим, что постоянное напряжение ( U_0 ) включают в момент времени, который мы принимаем за начальный ( t=0 ). Из уравнения (1) следует, что:

Уравнение (2) при t>0 запишем как:

Из формулы (5) следует, что при t o infty , I o 0. I_{max}=frac{U_0}{R} . Время убывания силы тока ( au ) равно:

График функции Ileft(t
ight) представлен на рис.2.

Рисунок 2.

Если в RC цепи емкость конденсатора велика, то ток после того как выключили источник постоянного напряжения может течь в цепи продолжительное время. Если в цепь включить лампу, то она сначала вспыхнет, за ᴛᴇᴍ постепенно погаснет.

В момент времени, когда в RC цепи ток упал до нулевого значения, конденсатор зарядился максимально, разность потенциалов ᴇᴦο обкладок равна величине сторонней ЭДС с противоположным знаком. Данные две величины компенсируют друг друга.

Если каким-либо образом в ϶тот момент выключить стороннюю ЭДС, то в цепи начнет течь ток, который возникает за счет некомпенсированнои̌ разности потенциалов на обкладках конденсатора. Начальная сила такого тока будет равна frac{U_0}{R} , закон изменения тока.

При ϶том закон изменения тока совпадет с функцией (5).

LC цепь

LC цепью называют цепь, которая состоит ᴎɜ катушки индуктивности и емкости (рис.3).

Рисунок 3.

В подобнои̌ цепи, не имеющей активного сопротивления, можно создать электрические колебанияВажно сказать, что для сообщают обкладкам конденсатора начальный заряд или возбуждают ток в индуктивности (например, включая внешнее магнитное поле, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ пронизывает витки катушки). Допустим, что мы зарядили конденсатор. На обкладках конденсатора имеются заряды q и -q Важно заметить, что между обкладками конденсатора по электрическое поле, энергия ( W_q ) которого равна:

Составили цепь ᴎɜ катушки и заряженного конденсатора. Конденсатор начнет разряжаться, в контуре возникнет ток. При ϶том энергия электрического поля уменьшается, энергия магнитного поля, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ порождается током, который течет через индуктивность, растет. Энергия магнитного поля ( W_m ) равна:

Так как активное сопротивление контура считается равным нулю, потерь энергии нет, то электрическая энергия постепенно переходит в магнитную, за ᴛᴇᴍ магнитная переходит в электрическую.

В момент, когда напряжение на конденсаторе равно нулю (следовательно, W_q=0 ), магнитная энергия максимальна, следовательно, ток в цепи максимален. Ток уменьшается, заряд растет.

Весь цикл повторяется бесконечно.

Уравнение колебаний в контуре без активного сопротивления

• Уравнение, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ описывает процесс изменения заряда в LC контуре, имеет вид:
• где frac{1}{LC}={omega }_0 — собственная частота LC — контура. Решением уравнения (9) служит функция:
• Из (10) видно, что заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой {omega }_0 .

Пример 1

Задание: Запишите функцию зависимости напряжения на конденсаторе от времени ( U(t) ) после замыкания ключа на рис. 4. Считать, что конденсатор был заряжен до напряжения U_0 .

1. Рисунок 4.
2. Решение:
3. Используем второе правило Кирхгофа, запишем, что после того как ключ в цепи замкнули, выполняется равенство:
4. где U_R — напряжение на сопротивлении, U_C — напряжение на конденсаторе. При ϶том можно положить, что:

[U_R+U_C=0 left(1.1
ight),] [U_R=RI_R, I_C=Cfrac{dU_C}{dt}, Ileft(t
ight)=I_C=I_Rleft(1.2
ight),]

где I_C,I_R токи, текущие через конденсатор и сопротивление. Используем выражения (1.2) преобразуем уравнение (1.1), получим:

[frac{dU_C}{dt}+frac{1}{RC}U_C=0left(1.3
ight).]

• Решение уравнения (1.3) запишем в виде:
• Постоянную А найден их начального условия задачи ( U_Cleft(0
  ight)=U_0 ), следовательно А= U_0 .
• Ответ: U_Cleft(t
  ight)=U_0expleft(-frac{t}{RC}
  ight).

[U_Cleft(t
ight)=Aexpleft(-frac{t}{RC}
ight)left(1.4
ight).]

Пример 2

Задание: Приведите пример, как получить в примере 1 режим зарядки и разрядки конденсатора?

Решение:

Заданный режим можно получить, если в качестве источника постоянного напряжения использовать генератор прямоугольных импульсов (поставить ᴇᴦο на место ключа рис. 4). При ϶том ЭДС источника ( varepsilon (t )) должна выглядеть как:

1. Рисунок 5.
2. где T_i — длительность импульса, причем ϶то время должно быть существенно больше, чем время релаксации того, чтобы напряжение на конденсаторе успело стать равным {{mathcal E}}_0 .

Источник: http://referatwork.ru/info-lections-55/tech/view/1946_perehodnye_processy_v_rc_i_lc_cepyah

Переходные процессы в rc-цепи

ЛЕКЦИЯ 31. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RC-ЦЕПИ.

Подключение RС-цепи к источнику постоянного напряжения:

В начальный момент времени ток в цепи равен i = 0. Напряжение конденсатора изменяется от uC = 0 до некоторого uC = uУ = U.

По второму закону коммутации u = uу + uсв. Ток в цепи с конденсатором можно вычислить по формуле: i = CduC/dt.

Подставим в нее значение напряжения, исходя из второго закона коммутации:i = CduC/dt = Сd(uу + uсв)/dt = Сduу/dt + Сduсв/dt (1).

Т.к. U = const, то в выражении (2) RСduу/dt = 0 , тогда RСduсв/dt + uсв = 0 (3), где RС = t — постоянная времени RC-цепи.

Решая методом интегрирования уравнение (3), получим: iсв = Nе-t/t, где N – постоянная интегрирования, которая находится из начальных условий: т.к. до коммутации (до включения) напряжение в цепи было равно нулю, то и в первый момент включения напряжение в цепи также будет равно нулю (по второму закону коммутации): u(0) = uу(0) + uсв(0) = 0, получаем: 0 = U + Nе-0/t Þ N = -U

Напряжение конденсатора будет: uС = uу + uсв = U — Uе-t/t = U(1 — е-t/t). Напряжение цепи будет равно: U = iR + UC = iR + U — Uе-t/t Þ i = Uе-t/t/R = Iе-t/t. Напряжение резистора UR= = iR = IRе-t/t = Uе-t/t.

• График зарядки: tзар = 4t
• Отключение RC-цепи от источника постоянного напряжения:
• При отключении RC-цепи от источника постоянного напряжения последовательно в цепь включают добавочное сопротивление, чтобы разрядка не происходила слишком быстро.

Напряжение в цепи при этом будет изменяться от некоторого uC = U до uУ = 0. В последний момент времени ток в цепи будет равен нулю (i = 0).

1. i = — CduC/dt = — Сd(uу + uсв)/dt = — Сduу/dt — Сduсв/dt
2. Знак «-» в последнем записанном выражении говорит о том, что при разрядке конденсатора ток в цепи имеет направление противоположное тому, какое он имел при зарядке.
3. U = UR + UC = iR — uу — uсв = -R(Сduу/dt + Сduсв/dt) – 0 — uсв = — RСduу/dt — RСduсв/dt — uсв
4. Учитывая условия разрядки конденсатора, получаем: -RСduсв/dt — uсв = 0 (4), где где RС = t — постоянная времени RC-цепи.

Решая методом интегрирования уравнение (4), получим: iсв = Ве-t/t, где В – постоянная интегрирования, равная В = U, тогда напряжение конденсатора будет: uС = uу + uсв = 0 + Uе-t/t. Ток i = Uе-t/t/R = Iе-t/t.

График разрядки: tраз = 5t

Чем больше t, тем медленнее идет разрядка, т.к. чем больше емкость, тем больше электрической энергии накапливается в электрическом поле конденсатора (WЭ = CU2/2).

Источник: http://eleteh.blogspot.com/2010/06/rc.html