Определенный интеграл — справочник студента

В каждой главе будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Понятие определённого интеграла и формула Ньютона-Лейбница

Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Психодинамическая теория личности - справочник студента

Оценим за полчаса!

Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ), определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т. е. как F(b) — F(a)).

Определенный интеграл - Справочник студента

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функция для f(x), то, согласно определению,

Определенный интеграл - Справочник студента

  • Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность F(b) – F(a) кратко записывают так:
  • Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

Определенный интеграл - Справочник студента

Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F(x) и Ф(х) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х) = F(x) + C. Поэтому

Определенный интеграл - Справочник студента

Тем самым установлено, что на отрезке [a, b] приращения всех первообразных функции f(x) совпадают.

Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С из последующих вычислений исключается.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Закон джоуля-ленца и его дифференциальная форма - справочник студента

Оценим за полчаса!

Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b, далее — значение нижнего предела a и вычисляется разность F(b) — F(a).

Полученное число и будет определённым интегралом..

При a = b по определению принимается

  1. Пример 1. Вычислить определённый интеграл
  2. Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:

Определенный интеграл - Справочник студента

  • Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной
  • (при С = 0), получим

Определенный интеграл - Справочник студента

Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде (39).

  1. Пример 2. Вычислить определённый интеграл
  2. Решение. Используя формулу

Определенный интеграл - Справочник студента

получим

Определенный интеграл - Справочник студента

Найти определённый интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

  • Пример 3. Найти определённый интеграл
  • .
  • Правильное решение и ответ.
  1. Пример 4. Найти определённый интеграл
  2. .
  3. Правильное решение и ответ.

Свойства определённого интеграла

Теорема 1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е.

Определенный интеграл - Справочник студента

Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

Определенный интеграл - Справочник студента

Пусть F(x) – первообразная для f(x). Для f(t) первообразной служит та же функция F(t), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,

  • На основании формулы (39) последнее равенство означает равенство интегралов
  • и

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.

                    (41)       

Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций, т.е.

            (42)

Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям, т.е. если

  1. то
  2.                   (43)

Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак, т.е.

                 (44)

Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его, т.е.

   (45)

Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если

Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство

можно почленно интегрировать, т.е.

             (46)

Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.

  • Пример 5. Вычислить определённый интеграл
  • Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных – табличные интегралы (7) и (6), получим

Определённый интеграл с переменным верхним пределом

  1. Пусть f(x) – непрерывная на отрезке [a, b] функция, а F(x) – её первообразная.

    Рассмотрим определённый интеграл

  2.                 (47)
  3. где
  4. ,

а через t  обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей.

При изменении х меняется и опредёленный интеграл (47), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х, которую обозначим через Ф(х), т.е.

  •                        (48)
  • Докажем, что функция Ф(х) является первообразной для f(x) = f(t). Действительно, дифференцируя Ф(х), получим
  • так как F(x) – первообразная для f(x), а F(a) – постояная величина.

Функция Ф(х) – одна из бесконечного множества первообразных для f(x), а именно та, которая при x = aобращается в нуль. Это утверждение получается, если в равенстве (48) положить x = aи воспользоваться теоремой 1 предыдущего параграфа.

Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной

  1. При выводе формулы интегрирования по частям было получено равенство u dv = d (uv) – v du.

    Проинтегрировав его в пределах от a до b и учитывая теорему 4 параграфа этой статьи о свойствах определённого интеграла, получим

  2. Как это следует из теоремы 2 параграфа о свойствах неопределённого интеграла, первый член в правой части равен разности значений произведения uv при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

    Записав эту разность кратко в виде

  3. получаем формулу интегрирования по частям для вычисления определенного интеграла:
  4.            (49)

Пример 6. Вычислить определённый интеграл

Решение. Интегрируем по частям, полагая u = ln x, dv = dx; тогда du = (1/x)dx, v = x. По формуле (49) находим

Найти определённый интеграл по частям самостоятельно, а затем посмотреть решение

  • Пример 7. Найти определённый интеграл
  • .
  • Правильное решение и ответ.
  1. Пример 8. Найти определённый интеграл
  2. .
  3. Правильное решение и ответ.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

  • Перейдём к вычислению определённого интеграла методом замены переменной. Пусть
  • где, по определению, F(x) – первообразная для f(x). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной
  • то в соответствии с формулой (16) можно записать
  • В этом выражении
  • первообразная функция для
  • В самом деле, её производная, согласно правилу дифференцирования сложной функции, равна
  • Пусть α и β – значения переменной t , при которых функция

принимает соответственно значения aи b, т.е.

  1. Тогда
  2. Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F(b) – F(a) есть
  3. поскольку F(x) – первообразная для f(x).
  4. Итак,
  5.            (50)
  6. Это и есть формула перехода к новой переменной под знаком определённого интеграла. С её помощью определённый интеграл
  7. после замены переменной

преобразуется в определённый интеграл относительно новой переменной t. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются новыми пределами и . Чтобы найти новые пределы, нужно в уравнение

поставить значения x = aи x = b, т.е. решить уравнения

  • и

относительно и . После нахождения новых пределов интегрирования вычисление определённого интеграла сводится к применению формулы Ньютона-Лейбница к интегралу от новой переменной t. В первообразной функции, которая получается в результате нахождения интеграла, возвращаться к старой переменной нет необходимости.

При вычислении определённого интеграла методом замены переменной часто бывает удобно выражать не старую переменную как функцию новой, а, наоборот, новую – как функцию старой.

  1. Пример 9. Вычислить определённый интеграл
  2. Решение. Произведём замену переменной, полагая
  3. Тогда dt = 2x dx, откуда x dx = (1/2) dt, и подынтегральное выражение преобразуется так:
  4. Найдём новые пределы интегрирования. Подстановка значений x = 4и x = 5в уравнение
  5. даёт
  6. а
  7. Используя теперь формулу (50), получим
  8. После замены переменной мы не возвращались к старой переменной, а применили формулу Ньютона-Лейбница к полученной первообразной.

Найти определённый интеграл заменой переменной самостоятельно, а затем посмотреть решение

  • Пример 10. Найти определённый интеграл
  • .
  • Правильное решение и ответ.
  1. Пример 11. Найти определённый интеграл
  2. .
  3. Правильное решение и ответ.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Интеграл

Начало темы «Интеграл»

Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры решений Метод замены переменной в неопределённом интеграле Интегрирование подведением под знак дифференциала Метод интегрирования по частям Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов Интегрирование некоторых иррациональных функций Интегрирование тригонометрических функций

Продолжение темы «Интеграл»

Площадь плоской фигуры с помощью интеграла Объём тела вращения с помощью интеграла Вычисление двойных интегралов Длина дуги кривой с помощью интеграла Площадь поверхности вращения с помощью интеграла Определение работы силы с помощью интеграла

Поделиться с друзьями

Источник: https://function-x.ru/integral4.html

Определенный интеграл, теория и примеры

Определенный интеграл - Справочник студента Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Определенный интеграл - Справочник студента Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?! Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Определенный интеграл - Справочник студента

Например. Определенный интеграл - Справочник студента

Детальный разбор понятия «Определенный интеграл»

Рассмотрим функцию , определенную и непрерывную на некотором отрезке . Выполним разбиение заданного отрезка с помощью точек Определенный интеграл - Справочник студента на частичных отрезков , ,…, . На каждом частичном отрезке Определенный интеграл - Справочник студента выберем произвольную точку Определенный интеграл - Справочник студента и вычислим значение заданной функции в ней. Умножим полученное значение на длину Определенный интеграл - Справочник студента соответствующего частичного отрезка: . Составим сумму всех таких произведений:

  •     Определенный интеграл - Справочник студента
  • Такая сумма называется интегральной суммой функции на отрезке .
  • Пусть – длина наибольшего частичного отрезка: . Если предел интегральной суммы , когда максимальный диаметр разбиения , не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число называется определенным интегралом от заданной функции на отрезке и обозначается , то есть
  • Здесь числа и называются соответственно верхним и нижним пределами интегрирования; – подынтегральная функция; – подынтегральное выражение; – переменная интегрирования; – область или отрезок интегрирования.

Примеры решения задач

Функция называется интегрируемой на отрезке , если для нее на этом отрезке существует определенный интеграл .

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Источник: http://ru.solverbook.com/spravochnik/integraly/opredelennyj-integral/

Интеграл произведения функций

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ
  • Интеграл произведения функций ( int f(x) g(x) d x ) в общем случае не равен произведению интегралов от каждого из факторов:
  • ( int f(x) g(x) d x
    eq int f(x) d x cdot int g(x) d x )

В зависимости от того, какие функции находятся под знаком интеграла, интеграл от произведения в некоторых случаях может быть выражен через элементарные функции, а в некоторых случаях можно оценить определенный интеграл произведения функций. Для этого используются теоремы о среднем значении.

Средние теоремы

  • Теорема

    Теорема 1. Пусть функции ( f(x) )и ( g(x) ) интегрируемы на отрезке ( [a ; b] ), с ( m leq f(x) leq M, x in[a ; b] ) и ( g(x) geq 0 ) на ( [mathrm{a} ; mathrm{b}] ), затем

    ( m(b-a) leq int_{a}^{b} f(x) g(x) d x leq M(b-a) )

    Следствие 1. Пусть функция ( f(x) ) интегрируема на отрезке ( [a ; b] ) и ограничены на этом отрезке: ( m leq f(x) leq M ) . затем
    ( m(b-a) leq int_{a}^{b} f(x) g(x) d x leq M(b-a) )

  • Теорема

    Теорема 2. Пусть функция ( f(x) ) непрерывна на отрезке ( [mathrm{a} ;mathrm{b}] ), функция ( g(x) geq 0 ) интегрируема на этом сегменте. Тогда существует точка ( c in[a ; b] ) такая, что имеет место равенство:

    ( int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(c) cdot int_{a}^{b} g(x) d x )

    Следствие 2. Пусть функция ( f(x) ) непрерывна на отрезке ( [mathrm{a} ; mathrm{b}] ). Тогда существует ( c in[a ; b] ) такое, что

    1. ( int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(c)(b-a) )
    2. Примеры решения проблем на тему «Интегральные работы»
    3. ПРИМЕР 1
    4. Задача
    5. Оцените Интеграл
    6. ( int_{0}^{2} frac{5-x}{9-x^{2}} d x )
  • Решение.

    Подынтегральная функция ( f(x)=frac{5-x}{9-x^{2}} ) определена на отрезке ( [0 ; 2] ). Используя дифференциальное исчисление, можно показать, что на этом отрезке функция принимает наименьшее значение, равное ( frac{1}{2} ) ; и самый маленький ( -frac{3}{5} ) . Тогда, согласно следствию 1, мы можем написать:

    • ( frac{1}{2} cdot(2-0) leq int_{0}^{2} frac{5-x}{9-x^{2}} d x leq frac{3}{5} cdot(2-0) )
    • или же
    • ( 1 leq int_{0}^{2} frac{5-x}{9-x^{2}} d x leq frac{6}{5} )
  • Ответ ( 1 leq int_{0}^{2} frac{5-x}{9-x^{2}} d x leq frac{6}{5} )

    ПРИМЕР 2

  • Задача
    1. Оценить Интеграл
    2. ( int_{frac{pi}{4}}^{frac{pi}{2}} frac{sin x}{x} d x )
  • Решение.
    • Интегральная функция ( f(x)=frac{sin x}{x} ) убывает на сегменте интегрирования ( left[frac{pi}{4} ; frac{pi}{2}
      ight] ), поэтому справедлива оценка:
    • ( fleft(frac{pi}{2}
      ight) leq f(x)=frac{sin x}{x} leq fleft(frac{pi}{4}
      ight) Rightarrow frac{2}{pi} leq f(x)=frac{sin x}{x} leq frac{2 sqrt{2}}{pi} )
    • Тогда, согласно следствию 1, имеем:
    • ( frac{2}{pi} cdotleft(frac{pi}{2}-frac{pi}{4}
      ight) leq int_{frac{pi}{4}}^{frac{pi}{2}} frac{sin x}{x} d x leq frac{2 sqrt{2}}{pi} cdotleft(frac{pi}{2}-frac{pi}{4}
      ight) )
    • или же
    • ( frac{2}{pi} cdot frac{pi}{4} leq int_{frac{pi}{4}}^{frac{pi}{2}} frac{sin x}{x} d x leq frac{2 sqrt{2}}{pi} cdot frac{pi}{4} Rightarrow frac{1}{2} leq int_{frac{pi}{4}}^{frac{pi}{2}} frac{sin x}{x} d x leq frac{sqrt{2}}{2} )
  • Ответ

    ( frac{1}{2} leq int_{frac{pi}{4}}^{frac{pi}{2}} frac{sin x}{x} d x leq frac{sqrt{2}}{2} )

    1. Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход? Закажи свою оригинальную работу УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ

      Источник: https://sciterm.ru/spravochnik/integral-proizvedeniya-funkcij/

      Методическая разработка

      Областное государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

       «НИЖНЕУДИНСКОЕ МЕДИЦИНСКОЕ УЧИЛИЩЕ»

      • Рассмотрено ЦМК общеобразовательных, общих гуманитарных, социально-экономических, математических и общих естественнонаучных дисциплин
      • Председатель ________ / _______________/
      •  «_____» ____________ 2019  г.
      1. МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
      2. ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ
      3. для студента
      4. По ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
      5. Математика:
      6. алгебра и начала математического анализа; геометрия

      Тема: Определённый интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Применение определённого интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции

      для специальности 3.34.02.01 Сестринское дело

      • на базе основного общего образования
      • (естественно – научный профиль)
      • Нижнеудинск, 2019 год
      • Организация-разработчик: Областное государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение  «Нижнеудинское медицинское училище».
      • Разработчики:  

      Быкова Н.Г. – преподаватель математики, высшая квалификационная категория

      Тема. Определённый интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Применение определённого интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции

      Уважаемые студенты!

      Неопределенный интеграл – одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, зная функцию скорости этой точки).

      Определенный интеграл применяется для решения таких прикладных задач, как: вычисление площадей плоских фигур, объёмов тел вращения, длин дуг, работу сил за определённый промежуток времени, среднее значение функций и т. п.

      Цели занятия

      Студент должен уметь:

      • находить первообразные функции, неопределенный интеграл;
      • применять метод непосредственного интегрирования.
      • Вычислять определенный интеграл.
      • Решать прикладные задачи с применением определенного интеграла.

      Студент должен знать:

      • определение понятия первообразной, неопределенного интеграла;
      • свойства неопределенного интеграла;
      • таблицу интегралов;
      • методы интегрирования;
      • область применения неопределенного интеграла.
      • Понятие определенного интеграла, формулу Ньютона-Лейбница.
      • Свойства определенного интеграла.
      • Геометрический смысл определенного интеграла.
      • Области применения определенного интеграла.

      Материал для повторения: лекция «Первообразная функции и неопределенный интеграл», «Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона — Лейбница. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции»

      Оснащение: таблица основных интегралов, дидактический материал.

      Этапы самостоятельной работы:

      № п/п
      1 Вычисление определенного интеграла задание 1
      2 Приложение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур задание 2

      Рекомендуемая литература:

      Для студентов

      — Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического   анализа, геометрия: учебник для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

      — Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

      — Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Задачник: учеб. пособие для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности  СПО. – М.,2017

      — Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Электронный учеб.- метод. комплекс для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

      — Гусев В.А., Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

      Дополнительные источники

      1. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2000.

      2.Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних учебных заведений. /  Н.В. Богомолов. – 7-е изд. М.: Высшая школа, 2004.- 495 с.

      3.Филимонова Е.В. математика: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. / Е.В. Филимонова. – 2-е изд., доп. и перераб. – Ростов-на- Дону.: Феникс, 2008.

      Интернет-ресурсы:

      www.slovari.yandex.ru

      www.wikiboks.org

      revolution.allbest.ru

      1. ИНФОРМАЦИЯ:

      Источник: https://nsportal.ru/npo-spo/estestvennye-nauki/library/2019/04/24/metodicheskaya-razrabotka-prakticheskogo-zanyatiya

      Ссылка на основную публикацию