Обратные тригонометрические функции — справочник студента

Радианное измерение углов

Один радиан равен центральному углу окружности, длина дуги которого равна радиусу этой окружности.

Углы в градусах	φ°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Углы в радианах	π/180° ∙ φ°	π/6	π/4	π/3	π/2	π	3/2π	2π

Значения тригонометрических функций некоторых углов

α		π/6	π/4	π/3	π/2	π	3/2π
sin α		1/2	√2/2	√3/2	1		-1
cos α	1	√3/2	√2/2	1/2		-1
tg α		√3/3	1	√3	—		—
ctg α	—	√3	1	√3/3		—

Основные тригонометрические тождества

Формулы суммы и разности аргументов

Формулы двойного и тройного аргументов

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Если х ≠ π + 2πk, k ∈ Z, то

Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение

• a φ определяется из формулы
• a φ определяется из формулы
• Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
• Определение обратных тригонометрических функций
• *Свойства обратных тригонометрических функций
• Некоторые значения обратных тригонометрических функций

x		1/2	√2/2	√3/2	1	-1
arcsin x		π/6	π/4	π/3	π/2	-π/2
arccos x	π/2	π/3	π/4	π/6		π

x		√2/3	1	√3
arctg x;		π/6	π/4	π/3
arcctg x	π/2	π/3	π/4	π/6

Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений

Источник: https://compendium.su/mathematics/ege/7.html

Уроки 32-33. Обратные тригонометрические функции | Поурочные планы по алгебре и начала анализа 10 класс | Поурочные планы по алгебре и математике

Уроки 32-33. Обратные тригонометрические функции

09.07.2015
9080 0

• Цель: рассмотреть обратные тригонометрические функции, их использование для записи решений тригонометрических уравнений.
• Ход уроков
• I. Сообщение темы и цели уроков
• II. Изучение нового материала
• 1. Обратные тригонометрические функции
• Рассмотрение этой темы начнем со следующего примера.
• Пример 1
• Решим уравнение: a) sin x = 1/2; б) sin x = а.
• 

а) На оси ординат отложим значение 1/2 и построим углы x1 и х2, для которых sin x = 1/2. При этом х1 + х2 = π, откуда х2 = π – x1. По таблице значений тригонометрических функций найдем величину х1 = π/6, тогда  Учтем периодичность функции синуса и запишем решения данного уравнения:  где k ∈ Z.

б) Очевидно, что алгоритм решения уравнения sin х = а такой же, как и в предыдущем пункте. Разумеется, теперь по оси ординат откладывается величина а. Возникает необходимость каким-то образом обозначить угол х1. Условились такой угол обозначать символом arcsin а.

Тогда решения данного уравнения можно записать в виде   Эти две формулы можно объединить в одну:  при этом 

Аналогичным образом вводятся и остальные обратные тригонометрические функции.

Очень часто бывает необходимо определить величину угла по известному значению его тригонометрической функции.

Такая задача является многозначной — существует бесчисленное множество углов, тригонометрические функции которых равны одному и тому же значению.

Поэтому, исходя из монотонности тригонометрических функций, для однозначного определения углов вводят следующие обратные тригонометрические функции.

Арксинус числа a (arcsin а) — такой угол а из промежутка , синус которого равен а, т. е. 

Арккосинус числа a (arccos а) — такой угол а из промежутка [0; π], косинус которого равен а, т. е. 

Арктангенс числа a (arctg а) — такой угол а из промежутка  тангенс которого равен а, т. е.  tg а = а.

Арккотангенс числа a (arcctg а) — такой угол а из промежутка (0; π), котангенс которого равен а, т. е.  ctg а = а.

1. Пример 2
2. Найдем:
3. Учитывая определения обратных тригонометрических функций получим:
4. Пример 3
5. Вычислим 

Пусть угол а = arcsin 3/5, тогда по определению sin a = 3/5 и . Следовательно, надо найти cos а. Используя основное тригонометрическое тождество, получим:       Учтено, что  и cos a ≥ 0. Итак, 

Рассмотрим более подробно свойства обратных тригонометрических функций.

Свойства функции	Функция
у = arcsin х	у = arccos х	у = arctg х	у = arcctg х
Областьопределения	х ∈ [-1; 1]	х ∈ [-1; 1]	х ∈ (-∞; +∞)	х ∈ (-∞ +∞)
Область значений	y ∈ [-π/2; π/2]	y ∈ [0; π]	y ∈ (-π/2; π/2)	y ∈ (0; π)
Четность	Нечетная	Ни четная, ни нечетная	Нечетная	Ни четная, ни нечетная
Нули функции (y =0)	При х = 0	При х = 1	При х = 0	у ≠ 0
Промежутки знакопостоянства	у > 0 при х ∈(0; 1],у < 0 при х ∈[-1; 0)	у > 0 при х∈ [-1; 1)	у > 0 при х ∈(0; +∞),у < 0 при х ∈(-∞; 0)	у > 0 при x∈ (-∞; +∞)
Монотонность	Возрастает	Убывает	Возрастает	Убывает
Связь с тригонометрической функцией	sin у = х	cos у = х	tg у = х	ctg у = х
График	а	б	в	г

• Приведем еще ряд типичных примеров, связанных с определениями и основными свойствами обратных тригонометрических функций.
• Пример 4
• Найдем область определения функции 
• Для того чтобы функция у была определена, необходимо выполнение неравенства  которое эквивалентно системе неравенств  Решением первого неравенства является промежуток х ∈ (-∞; +∞), второго —  Этот промежуток  и является решением системы неравенств, а следовательно, и областью определения функции 
• Пример 5
• Найдем область изменения функции 

Рассмотрим поведение функции z = 2х — х2 (см. рисунок).

1. Видно, что z ∈ (-∞; 1]. Учитывая, что аргумент z функции арккотангенса меняется в указанных пределах, из данных таблицы получим, что  Таким образом, область изменения 
2. Пример 6

Докажем, что функция у = arctg х нечетная. Пусть  Тогдаtg а = -х или х = -tg а = tg(-a), причем  Следовательно, — a = arctg х или а = -arctg х. Таким образом, видим, что  т. е. у(х) — функция нечетная.

• Пример 7
• Выразим через все обратные тригонометрические функции 
• Пусть  Очевидно, что  Тогда  Так как 
• Введем угол  Так как  то 
• Аналогично  поэтому  и 
• Итак, 
• Пример 8
• Построим график функции у = cos(arcsin х).

Обозначим а = arcsin x, тогда  Учтем, что х = sin а и у = cos а, т. е. x2 + у2 = 1, и ограничения на х (х ∈ [-1; 1]) и у (у ≥ 0). Тогда графиком функции у = cos(arcsin х) является полуокружность.

1. Пример 9
2. Построим график функции у = arccos(cos x).

Так как функция cos х изменяется на отрезке [-1; 1], то функция у определена на всей числовой оси и изменяется на отрезке [0; π]. Будем иметь в виду, что у = arccos(cos x) = х на отрезке [0; π]; функция у является четной и периодической с периодом 2π. Учитывая, что этими свойствами обладает функция cos x, теперь легко построить график.

• Отметим некоторые полезные равенства:
• Пример 10
• Найдем наименьшее и наибольшее значения функции  Обозначим  тогда  Получим функцию   Эта функция имеет минимум в точке z = π/4, и он равен  Наибольшее значение функции достигается в точке z = -π/2, и оно равно  Таким образом,  и 
• Пример 11
• Решим уравнение 
• Учтем, что   Тогда уравнение имеет вид:  или  откуда  По определению арктангенса получим: 
• 2. Решение простейших тригонометрических уравнений
• Аналогично примеру 1 можно получить решения простейших тригонометрических уравнений.

Уравнение	Решение
tgx = а
ctg х = а

1. Пример 12
2. Решим уравнение 
3. Так как функция синус нечетная, то запишем уравнение в виде  Решения      этого уравнения:  откуда находим 
4. Пример 13
5. Решим уравнение 
6. По приведенной формуле запишем решения уравнения:  и найдем 
7. Заметим, что в частных случаях (а = 0; ±1) при решении уравнений sin х = а и cos х = а проще и удобнее использовать не общие формулы, а записывать решения на основании единичной окружности:
8. для уравнения sin х = 1 решения 
9. для уравнения sin х = 0 решения х = πk;
10. для уравнения sin х = -1 решения 
11. для уравнения cos х = 1 решения х = 2πk;
12. для уравнения cos х = 0 решения 
13. для уравнения cos х = -1 решения 
14. Пример 14
15. Решим уравнение 
16. Так как в данном примере имеется частный случай уравнения, то по соответствующей формуле запишем решение:  откуда найдем 
17. III. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)

1. Дайте определение и перечислите основные свойства обратных тригонометрических функций.

2. Приведите графики обратных тригонометрических функций.

3. Решение простейших тригонометрических уравнений.

• IV. Задание на уроках
• § 15, № 3 (а, б); 4 (в, г); 7 (а); 8 (а); 12 (б); 13 (а); 15 (в); 16 (а); 18 (а, б); 19 (в); 21;
• § 16, № 4 (а, б); 7 (а); 8 (б); 16 (а, б); 18 (а); 19 (в, г);
• § 17, № 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 7 (в, г); 9 (б); 10 (а, в).
• V. Задание на дом
• § 15, № 3 (в, г); 4 (а, б); 7 (в); 8 (б); 12 (а); 13 (б); 15 (г); 16 (б); 18 (в, г); 19 (г); 22;
• § 16, № 4 (в, г); 7 (б); 8 (а); 16 (в, г); 18 (б); 19 (а, б);
• § 17, № 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 7 (а, б); 9 (г); 10 (б, г).
• VI. Творческие задания
• 1. Найдите область определения функции:
• Ответы: 
• 2. Найдите область значений функции:
• Ответы:  
• 3. Постройте график функции:
• VII. Подведение итогов уроков

Источник: https://tak-to-ent.net/load/625-1-0-16987

Интернет Репетитор по Физике и Математике — Обратные тригонометрические функции

Основные формулы: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.
Связь между различными арк-функциями.

Область определения и множество значений:

Значения функции:	Значения аргумента:

Основные тождества:

Значения тригонометрических функций от обратных тригонометрических функций:

z	arcsin x	arccos x	arctg x	arcctg x
sin z	x
cos z	x
tg z	x
ctg z	x

Взаимосвязь арксинуса с другими обратными тригонометрическими функциями:

arccos z	arctg z	arcctg z
arcsin x, x>0
arcsin x, x0
arccos x, x0
arctg x, x0
arcctg x, x 0, y > 0, x2 + y2 > 1
при x  0
при xy > 1, x

Источник: http://web-tutor.narod.ru/index/arc_functions/0-14

Обратные тригонометрические функции

Справочник по математике

Тригонометрия

      Предположим, что число a удовлетворяет неравенству . Число x называют арксинусом числа a и обозначают   x = arcsin a, если выполнены два условия:

      Предположим, что число a удовлетворяет неравенству . Число x называют арккосинусом числа a и обозначают   x = arccos a, если выполнены два условия:

      Рассмотрим произвольное число a . Число x называют арктангенсом числа a и обозначают   x = arctg a, если выполнены два условия:

      Рассмотрим произвольное число a . Число x называют арккотангенсом числа a и обозначают   x = arcctg a, если выполнены два условия:

      Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс удовлетворяют, в частности, следующим соотношениям:

arcsin (– a) = – arcsin a ,

arccos (– a) == π – arccos a ,

arctg (– a) = – arctg a ,

arcctg (– a) == π – arcctg a .

      Обратными тригонометрическими функциями называют функции:

     Графики этих функций изображены на рисунках 1, 2, 3, 4.

      Рис. 1. График функции   y = arcsin x

      Таблица значений функции   y = arcsin x

x	– 1	0	1
y = arcsin x

x	y = arcsin x
– 1
0
1

      Рис. 2. График функции   y = arccos x

      Таблица значений функции   y = arccos x

x	– 1	0	1
y = arccos x	π

x	y = arccos x
– 1	π
0
1

      Рис. 3. График функции   y = arctg x

      Таблица значений функции   y = arctg x

x	– 1		1
y = arctg x	0

x	y = arctg x
– 1
	0
1

      Рис. 4. График функции   y = arcctg x

      Таблица значений функции   y = arcctg x

x	– 1		1
y = arcctg x

x	y = arcctg x
– 1
1

      Пример. Решить уравнение

2 arcsin 2x = arccos 7x .

      Решение. Возьмём косинус от обеих частей уравнения. Тогда в левой части уравнения получим:

cos ( 2 arcsin 2x ) = 1 – 2sin2( arcsin 2x ) = 1 – 2 ( 2x )2 = 1 – 8×2 .

cos ( 2 arcsin 2x ) == 1 – 2sin2( arcsin 2x ) == 1 – 2 ( 2x )2 = 1 – 8×2 .

•       В правой части уравнения получим:
• cos ( arccos 7x ) = 7x.
•       Следовательно, возникает квадратное уравнение:

      В силу того, что область определения обратных тригонометрических функций   y = arcsin x и   y = arccos x   имеет вид: , второй корень должен быть отброшен.

      Ответ:

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/trig/inverse.htm

Обратные тригонометрические функции

Алгебра

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции—это математические функции, являющиеся обратными тригонометрическим функциям.

Функция y=arcsin(x)

Арксинусом числа α называют такое число α из промежутка [-π/2;π/2], синус которого равен α. График функции   Функция у= sin⁡(x) на отрезке [-π/2;π/2], строго возрастает и непрерывна; следовательно, она имеет обратную функцию , строго возрастающую и непрерывную. Функция , обратная для функции у= sin⁡(x), где х ∈[-π/2;π/2], называется арксинусом и обозначается  y=arcsin(x),где х∈[-1;1]. Итак, согласно определению обратной  функции , областью определения арксинуса является отрезок [-1;1], а множеством значений  — отрезок [-π/2;π/2].

Отметим , что график функцииy=arcsin(x),где х ∈[-1;1].симметричен графику функции у= sin(⁡x), где х∈[-π/2;π/2],относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arcsin(x).

Пример№1.

Найти arcsin(1/2)? Так как область значений функцииarcsin(x)принадлежит промежутку [-π/2;π/2], то подходит только значениеπ/6 .Следовательноarcsin(1/2) =π/6. Ответ:π/6   Пример №2. Найти arcsin(-(√3)/2)? Так как область значений arcsin(x) х ∈[-π/2;π/2], то подходит только значение -π/3.Следовательноarcsin(-(√3)/2) =- π/3.

Функция y=arccos(x)

Арккосинусом числа α называют такое число α из промежутка [0;π], косинус которого равен α.

График функции   

Функция у= cos(⁡x) на отрезке [0;π], строго убывает и непрерывна; следовательно, она имеет обратную функцию , строго убывающую и непрерывную. Функция , обратная для функции у= cos⁡x, где х ∈[0;π], называется арккосинусом и обозначается  y=arccos(x),где х ∈[-1;1]. Итак, согласно определению обратной функции , областью определения арккосинуса является отрезок [-1;1], а множеством значений  — отрезок [0;π].

Отметим , что график функцииy=arccos(x),где х ∈[-1;1] симметричен графику функции у= cos(⁡x), где х ∈[0;π],относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arccos(x).

Пример №3.

Найти arccos(1/2)?

Так как область значений arccos(x) х∈[0;π], то подходит только значение π/3.Следовательно arccos(1/2) =π/3. Пример №4. Найти arccos(-(√2)/2)?

Так как область значений функции arccos(x) принадлежит промежутку [0;π], то подходит только значение 3π/4.Следовательноarccos(-(√2)/2) =3π/4.

Ответ: 3π/4  

Функция y=arctg(x)

Арктангенсом числа α называют такое число α из промежутка [-π/2;π/2], тангенс которого равен α.

Функция тангенс непрерывная и строго возрастающая на интервале(-π/2;π/2); следовательно, она имеет обратную функцию , которая непрерывна и строго возрастает. Функция , обратная для функции у= tg⁡(x), где х∈(-π/2;π/2); называется арктангенсом и обозначается  y=arctg(x),где х∈R. Итак, согласно определению обратной  функции , областью определения арктангенса является интервал(-∞;+∞), а множеством значений  — интервал  (-π/2;π/2).

• Отметим , что график функции y=arctg(x),где х∈R, симметричен графику функции у= tg⁡x, где х ∈ (-π/2;π/2), относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.
• Область значения функции y=arctg(x).
• Пример№5?
• Найти arctg((√3)/3).
• Найти arctg(-1)?
• Функция y=arcctg(x)
• График функции
• Область значения функции y=arcctg(x).
• Найти arcctg((√3)/3)?
• Найти arcctg(-(√3)/3)?
• Чефранов Андрей Игоревич
• Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

Так как область значений arctg(x) х ∈(-π/2;π/2), то подходит только значение π/6 .Следовательноarctg((√3)/3) =π/6. Пример№6. Так как область значений arctg(x) х ∈(-π/2;π/2), то подходит только значение -π/4 .Следовательноarctg(-1) = — π/4. Арккотангенсом числа α называют такое число α из промежутка (0;π), котангенс которого равен α. На интервале   (0;π),функция котангенс строго убывает; кроме того,она непрерывна в каждой точке этого интервала; следовательно, на интервале    (0;π), эта функция имеет обратную функцию, которая является строго убывающей и непрерывной. Функция , обратная для функции у=ctg(x), где х ∈(0;π), называется арккотангенсом и обозначается  y=arcctg(x),где х∈R. Итак, согласно определению обратной  функции , областью определения арккотангенса будет R,а множеством значений –интервал (0;π).График функции y=arcctg(x),где х∈R симметричен графику функции y=ctg(x) х∈(0;π),относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей. Пример№7. Так как область значений arcctg(x) х ∈(0;π), то подходит только значение π/3.Следовательно arccos((√3)/3) =π/3. Пример№8. Так как область значений arcctg(x) х∈(0;π), то подходит только значение 2π/3.Следовательноarccos(-(√3)/3) =2π/3.

Источник: http://www.teslalab.ru/articles/algebra/55/

Обратные тригонометрические функции, их графики и формулы

Даны определения обратных тригонометрических функций и их графики. А также формулы, связывающие обратные тригонометрические функции, формулы сумм и разностей.

Содержание

Определение обратных тригонометрических функций ⇓Графики обратных тригонометрических функций ⇓Основные формулы ⇓Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции ⇓Формулы суммы и разности ⇓

См. также:

 

Арксинус, арккосинус — свойства, графики, формулы Арктангенс, арккотангенс Синус, косинус Тангенс, котангенс

Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции не однозначны. Так, уравнение   y = sin x,   при заданном   ,   имеет бесконечно много корней. Действительно, в силу периодичности синуса, если x   такой корень, то и   x + 2πn   (где n целое) тоже будет корнем уравнения.

Таким образом, обратные тригонометрические функции многозначны. Чтобы с ними было проще работать, вводят понятие их главных значений. Рассмотрим, например, синус:   y = sin x.   Если ограничить аргумент x интервалом , то на нем функция   y = sin x   монотонно возрастает.

Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями имеют в виду их главные значения, которые определяются следующими определениями.

Арксинус ( y = arcsin x ) – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ), имеющая область определения и множество значений . Арккосинус ( y = arccos x ) – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ), имеющая область определения и множество значений . Арктангенс ( y = arctg x ) – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ), имеющая область определения и множество значений . Арккотангенс ( y = arcctg x ) – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ), имеющая область определения и множество значений .

Графики обратных тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой   y = x. См. разделы Синус, косинус, Тангенс, котангенс.

y = arcsin x

y = arccos x y = arctg x y = arcctg x

Основные формулы

• Здесь следует особо обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.
• arcsin(sin x) = x     при sin(arcsin x) = x arccos(cos x) = x     при cos(arccos x) = x
• arctg(tg x) = x     при tg(arctg x) = x arcctg(ctg x) = x     при ctg(arcctg x) = x

Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции

См. также:  Вывод формул обратных тригонометрических функций

Формулы суммы и разности

1.      при или      при и      при и
2.      при или      при и      при и
3.      при      при
4.      при      при
5.      при      при      при
6.      при      при      при

Использованная литература: И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Источник: https://1cov-edu.ru/mat_analiz/funktsii/obratnie_trigonometricheskie/

Расчет обратных тригонометрических функций

Здравствуйте, читатели! Знакомимся мы с вами сегодня с обратными тригонометрическими функциями. Мы узнаем, что такое арксинусы, арккосинусы и арктангенсы – арккотангенсы, и научимся решать примеры с их участием.

• Сначала вспомним определение:
• Арксинусом числа ,  модуль которого не больше 1, называется такое число из промежутка , синус которого равен .
• , если ,
• Также мы можем записать это так: , если , а также справедливо: .
• Еще нам пригодится такая формула: .
• Арккосинусом числа ,  модуль которого не больше 1, называется такое число из промежутка , косинус которого равен .
• , если ,
• Также мы можем записать это так: , если , аналогично  .
• Еще нам пригодится такая формула: .
• Арктангенсом числа называется такое число из промежутка , тангенс которого равен .
• , если ,
• Также мы можем записать это так: ,  , аналогично  .
• Будем пользоваться и такой формулой: .
• Арккотангенсом числа называется такое число из промежутка , котангенс которого равен .
• , если ,
• Также мы можем записать это так: ,  , аналогично  .
• Будем пользоваться и такой формулой: .
• Интересно, что .
• Ну что ж, формул много, давайте попробуем их применять на практике.
• Вычислить:
• Задача 1.  , так как
• Задача 2. 
• Задача 3.  , так как
• Задача 4. 
• Так как , то выражение – это  число, синус которого равен 0,6. Тогда косинус этого числа можно вычислить через основное тригонометрическое тождество:
• Задача 5. 
• Задача 6. 

Задача 7.  . Так как , то . Но , а 6,28 – это .  Тогда . Число меньше 1, и к нему применим формулу :

1. Задача 8. 
2. По формуле приведения

Задача 9.  .  Рассуждаем так: – это такое число, синус которого равен . Тогда  по основному тригонометрическому тождеству косинус этолго числа: . Тогда тангенс этого числа – отношение синуса к косинусу:

• Задача 10. 
• Применим формулу косинуса суммы:
• Сначала отдельно рассчитаем значения выражений и :
• – если синус угла равен , то косинус найдем через основное тригонометрическое тождество:
• Аналогично : если синус числа равен 1/3, то косинус его равен .
• Тогда получим:
• Имеет ли смысл выражение:
• Задача 11. 
• Так как , то выражение имеет смысл.

Задача 12.  – выражение смысла не имеет.

1. Решить уравнение:
2. Задача 13. 
3. Применим такой прием:
4. Тогда
5. Задача 14. 
6. И снова тот же прием:
7. Доказать тождество:
8. Задача 15.
9. Сначала избавимся от отрицательного числа под знаком арккосинуса:
10. Теперь применим уже знакомый прием, определим косинус правой и левой частей:
11. Раскрываем по формуле «косинус суммы»:
12. Теперь определим :
13. Нам нужно определить косинус такого угла, синус которого равен , воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
14. Определим  :
15. Нам нужно определить синус такого угла, косинус которого равен , воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
16. Вернемся к примеру:
17. Тождество доказано.
18. Задача 16.
19. Снова видим отрицательные числа под знаками арккосинусов, избавимся от них:
20. Поменяем знаки:
21. Применим операцию взятия косинуса от правой и левой частей:
22. Применяем формулу косинуса разности:
23. Определим :
24. Нам нужно определить синус такого угла, косинус которого равен , воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
25. Определим
26. Нам нужно определить синус такого угла, косинус которого равен , воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
27. Возвращаемся к примеру:
28. Тождество доказано.
29. Вычислить:
30. Задача 17.
31. По формулам приведения
32. Задача 18. 
33. Применим формулу косинуса суммы:
34. Сначала отдельно рассчитаем значения выражений и :
35. – если синус угла равен 3/5, то косинус найдем через основное тригонометрическое тождество:
36. Аналогично : если синус числа равен 3/5, то косинус его 4/5 (определяем через основное тригонометрическое тождество).
37. Тогда получим:

Источник: https://easy-physic.ru/raschet-obratny-h-trigonometricheskih-funktsij/

Сборник заданий по теме:"Обратные тригонометрические функции"

Введение

В данной работе содержится практический материал по одному из разделов тригонометрии «Обратные тригонометрические функции».

Практический материал подразделяется на примеры с подробными решениями по всем разделам, на подборку примеров для самостоятельного решения с последующими ми и решениями ( алгебраический тренажер) и в заключении дается пробный тест, состоящий из 17 заданий уровня А,В и С.

Данная работа помогает решить проблему в преподавании, обучении и качественном усвоении знаний по наиболее сложной теме раздела «Тригонометрия».

Основная идея этой работы – создать такой обучающий модуль, чтобы в нем были собраны все практические задания с решениями по данной теме, необходимый набор примеров для закрепления каждого раздела

• Данный обучающий модуль решает сразу несколько проблем:
• 1. уменьшает потери времени на поиск и систематизацию практических заданий;
• 2. подробно рассмотрены все шаги решений как простых, так и сложных заданий наиболее часто встречающихся типов;
• 3. нет необходимости долго искать и подбирать материал для закрепления каждого раздела — он предоставлен в необходимом количестве, с ответами и пояснениями к решениям, а при необходимости его пополнить указаны литературные источники, откуда взяты многие примеры и задачи;

4. есть возможность проверить свои знания по трем уровням сложности и своевременно устранить пробелы в знаниях.

Рекомендации к этой теме будут полезны учителям и учащимся. Изучать их можно не только на уроке, но и на дополнительных занятиях, на факультативах, на спецкурсе по предмету. В данном сборнике собраны разнообразные задания с подробными решениями и ми. Приведен в пример тест, состоящий из заданий группы А,В и С на обратные тригонометрические функции с решениями и ответами.

Задания, содержащие обратные тригонометрические функции.

1. Найти область определения следующих функций:

1. Решение.
2. 1) D (arcsin) = , поэтому -1 х-2 1 1 х 3.
3. D (y) = .
4. 2) D (arccos) = и значит
5. -1 1 -4 1-2х 4 -5 -2х 3
6. -1,5 х 2,5.
7. D (y) = .
8. 3) Аналогично
9. -1 1 -2 х-3 2, 1 х 5.
10. D (y) = .
11. Ответ :
12. Обратные тригонометрические функции .
13. ( область определения и множество значений)
14. №1. Какие значения могут принимать х и у в равенствах:
15. а) у = arcsin x; б) у = arcos x; в) у = arctg x; г) у = arcctg x
16. Ответы: (неупорядоченные):
17. х R, y (0;х [-1;1], у [0;]; x [-1;1], y ; ]; x R, y ; ).

№ 2. Какие из данных равенств верные и какие неверные? Ответ обоснуйте.

• 1. a) arcsin1 = -; б) arccos = ; в) arctg (-1) = ; г) arcctg (- ) = — д) arcsin ()
• 2. a) arcsin = ; б) arcos ) = — ; в) arcctg (— г) arcctg = д)arcos( 0) =
• 3. a) arcsin 0 = ; б) arcos = ; в) arctg(-1) = ; г) arcctg 1 = ; д) arcos (

Ответы: Верными равенствами являются: 1. б); д). 2. в); д). 3. г); д).

№ 3. Имеют ли смысл следующие выражения:

1. arcsin 3,1; arctg 3,1; arcos (- ; arcctg (-; arcos ).

2. arcctg 5,4 ; arcos 5,4 ; arctg (-5); arcsin ; arcsin .

3. arcsin (-2); arctg (-2); arcos ; arcctg ; arcsin .

Ответы: 1. Нет; да; нет; да; нет. 2. Да; нет; да; нет; да. 3. Нет; да; да; да; нет.

1. № 4. Вычислите:
2. а) arccos — arcsin arctg – arcctg ; в) arcsin + arcsin ; г) arctg — arcctg ; д) arcsin 0 + arcctg 0; е) arcsin (-1) + arccos 1; ж) arccos 1 + arctg 0; з) arccos 0 + arcsin 1; и) arcsin + arccos ) ; к)arcsin (- + arccos ; л) arctg ) + arcctg (-1) ; м) arctg + arcctg (-
3. н) arcctg (- + arcctg ; о) arcsin 1 – arctg 1.
4. Ответы: а) ; б) ; в) ; и) ; л) ; м) ; н) .
5. № 5. Найдите область определения функции:

1. а) у = arcsin ; б) y = arcctg ; в) y = arccos ; г) y = arcsin (2x – 3); д) y = arctg ; е) y = .

2. а)y = arctg 2x; б)y = arccos в)y = arcsin ; г) y = arccos (; д) y = ; е) y = .

Ответы: 1. а) [-2;2]; б) [0;д) [-5;2]; е) [-1;1].

2. а) R; б)[-1;1]; в)[-12;5]; г)[0;4]; д)[- е) [0;1].

№ 6. Найдите область значений функции:

1. а) у = 0,5 arcctg x; б) y = + arccos x; в) y = 0,5 — arctg x; г) y = arcsin ; д) y = 4 + arcctg x; е) y = (arcsin ).

2. a) y = 2arcsin x; б) y = + arcctg x; в) y = 0,5 — arccos x; г) y = arctg ; д) y = 6 + arcsin x; е) y = (arctg x.

Ответы (неупорядоченные):

1. [0;]; [0; ]; [0; ]; [0; ]; []; [-);

(-

№ 7. В каком промежутке расположен угол?

• 1. а) arcsin ; б) arctg (-8); в) arcctg 2; г) arcsin д) arctg 8; е) arccos 0,69;
• ж) arcctg (-5); з) arccos ().
• Ответы: а) (0;); б) в) (0;); г) д) (0;); е) (0;); ж) (з) (
• 2. Найти значения функций (подробные решения) :

1). Найдите arcsin х, если arcсos х =.

А. . Б. 0,3. В. 0,8. Г. — =.

Решение.

Так как arcsin х + arcсos х =, то arcsin х = — arcсos х, т.е.

arcsin х = — = 0,3.

Ответ: Б.

1. 1. Найдите х, если arcsin х = .

А. . Б. . В. . Г. .

Решение: arcсos х = — = . Ответ: Г.

1. 1. Найдите значение выражения

аrcsin — arcсos .

arctg

А. 3,5. Б. -4,5. В. – 5,5. Г. -3,5.

1. Решение.
2. аrcsin — arcсos =
3. arctg
4. -аrcsin — ( — arcсos ) = = = -5,5.
5. Ответ: В.

4. Вычислите: сos (аrcsin (-0,6)).

А. -0,36. Б. 0,6. В. -0,8. Г. 0,8.

• Решение.
• сos (аrcsin (-0,6)) = сos ( — аrcsin 0,6) = сos (аrcsin 0,6) = 0,8.
• Обозначим аrcsin 0,6 = а, а . Тогда sin = 0,6, сos= ,
• сos= = 0,8.
• Ответ: Г.

5. Вычислите: sin (arcсos (-)).

А. — . Б. . В. — . Г. .

Решение. sin (arcсos (-)) = sin ( — arcсos ) = sin (arcсos).

1. Обозначим sin b = = = .
2. Ответ: Б.
3. Следующие задания можно применить для самостоятельной работы.
4. Вычислите значения выражений.
5. I Вычислите:
6. Вариант 1
7. а) sin arccos ; б) ctg arcctg (-1); в) tg arctg (-1); г) cos arccos (; д) sin arcctg
8. е) ctg arcctg 1; ж) tg arcsin з) sin arcsin a.
9. Вариант 2

1. сos arccos ; б) ctg arcctg ; в) ctg arcsin 1; г) cos arcctg (-1); д) tg arctg ;

е) tg arcsin ; ж) sin arcsin ; з) ctg arcctg a.

Ответы: 1. А) ; б) ; в) -1; г) ; д) ; е) 1; ж) 1; з) а.

1. а) ; б) ; в) 0; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) а.

• II Вычислите:
• Вариант 1
• а) arccos cos ; б) arctg tg ; в) arcctg ctg ; г) arccos cos ; д) arcctg tg ;
• е) arcsin sin ; ж) arctg (2sin); з) arcsin tg .
• Вариант 2
• А) arcctg ctg ; б) arcsin sin ; в) arccos cos ; г) arcctg ctg ; д) arcsin sin ;
• е) arcctg ctg ; ж) arcsin (0,5arctg ); з) arctg sin

Ответы: 1. А) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .

2. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .

1. III Вычислите:
2. Вариант 1
3. А) sin arccos ; б) ctg arctg ; в) sin arctg ; г) ctg arccos 0,6; д) cos arctg ;
4. е) tg arccos ; ж) cos arcsin ; з) tg arcctg .
5. Вариант 2
6. А) cos arcsin ; б) tg arcctg ; в) sin arcctg ; г) sin arctg ; д) cos arctg ;
7. е) cos arcctg ; ж) sin arccos ; з) ctg arctg (-2,4).
8. Ответы:

Вариант 1. а) 0,6; б) ; в) 0,96; г) 0,75; д) ; е) 2,4; ж) ; з) .

Вариант 2. а) ; б) ; в) ; г) 0,8; д) 0,8; е) 0,28; ж) ; з) .

Упражнения – тренажер

(примеры решаются с помощью формул или вспомогательного треугольника)

1. Вычислите: sin.

• Решение.
• Обозначим: α =, β= .
• sin(α+ β)=sin α cos β+ cos α sin β.
• а) cos α =,
• sin α = ? 17 15

sin α=. α II ч . 8

б) tg β = ,

sin β – ?, cos β – ?

1. sin β = , cos β = .
2. sin(α+ β)= .
3. Ответ: .

2. Вычислитесуммуarctg2 + arctg3.

• Решение.
• Найдем tg (arctg 2 + arctg 3).
• Обозначим: α = arctg 2, β = arctg 3.
• tg(α+β)= .
• tg α = 2 , tg β =3
• tg (α+β) =.
• В этом промежутке есть единственный угол, тангенс которого равен -1.
• Это угол .
• Ответ: .

3. Вычислите при x > 1.

1. 2arctgx + arcsin.
2. Решение.
3. tg .
4. Обозначим α = arctg x, β = arcsin
5. tg (2α + β) =. 2х
6. tg 2α — ?
7. tg2α =, tg2α =.

2. sinβ= .

• .
• tg β= .
• tg(2α + β)=
• tg (2α + β)=0,
• При n=0 2α+ β=0,
• При n=1 2α+ β= π,
• При n=0 2 α+ β=2 π,

Итак, 2 α+ β= π. Ответ: π.

1. Вычислите: arctg 13 + arctg15 + arctg17 + arctg18.

1. Решение. Обозначим α = arctg1/3, β = arctg 1/5 , γ = arctg1/7, δ = arctg 1/8,
2. Α € (0; Π4 ), β€ (0;Π4) , γ € (0;Π4), δ €(0; Π4).
3. Можно по-разному решать, но удобнее вычислить так:
4. tg(α+β)= 1/3+1/5 = 8/15 = 8/15 = 4/7,
5. 1-1/3*1/5 1-1/15 14/15
6. α+β= arctg 4/7, 0< α+β< π2;
7. tg(γ+δ) = 1/7+1/8 = 15/56 = 15 = 3/11,
8. 1-1/7*1/8 55/56 55
9. γ+δ= arctg 3/11, 0< γ+δ< π2;

Источник: https://infourok.ru/sbornik-zadaniy-po-temeobratnie-trigonometricheskie-funkcii-1580053.html