Обратные тригонометрические функции — справочник студента

Радианное измерение углов

Один радиан равен центральному углу окружности, длина дуги которого равна радиусу этой окружности.

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Углы в градусах φ° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
Углы в радианах π/180° ∙ φ° π/6 π/4 π/3 π/2 π 3/2π

Значения тригонометрических функций некоторых углов

α π/6 π/4 π/3 π/2 π 3/2π
sin α 1/2 √2/2 √3/2 1 -1
cos α 1 √3/2 √2/2 1/2 -1
tg α √3/3 1 √3
ctg α √3 1 √3/3

Основные тригонометрические тождества

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Формулы суммы и разности аргументов

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Формулы двойного и тройного аргументов

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Если х ≠ π + 2πk, k ∈ Z, то

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

  • Обратные тригонометрические функции - Справочник студента a φ определяется из формулы Обратные тригонометрические функции - Справочник студента
  • Обратные тригонометрические функции - Справочник студента a φ определяется из формулы Обратные тригонометрические функции - Справочник студента
  • Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
  • Определение обратных тригонометрических функций
  • *Свойства обратных тригонометрических функций
  • Некоторые значения обратных тригонометрических функций
x 1/2 √2/2 √3/2 1 -1
arcsin x π/6 π/4 π/3 π/2 -π/2
arccos x π/2 π/3 π/4 π/6 π
x √2/3 1 √3
arctg x; π/6 π/4 π/3
arcctg x π/2 π/3 π/4 π/6

Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений

Источник: https://compendium.su/mathematics/ege/7.html

Уроки 32-33. Обратные тригонометрические функции | Поурочные планы по алгебре и начала анализа 10 класс | Поурочные планы по алгебре и математике

Уроки 32-33. Обратные тригонометрические функции

09.07.2015
9080 0

  • Цель: рассмотреть обратные тригонометрические функции, их использование для записи решений тригонометрических уравнений.
  • Ход уроков
  • I. Сообщение темы и цели уроков
  • II. Изучение нового материала
  • 1. Обратные тригонометрические функции
  • Рассмотрение этой темы начнем со следующего примера.
  • Пример 1
  • Решим уравнение: a) sin x = 1/2; б) sin x = а.
  • Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

а) На оси ординат отложим значение 1/2 и построим углы x1 и х2, для которых sin x = 1/2. При этом х1 + х2 = π, откуда х2 = π – x1. По таблице значений тригонометрических функций найдем величину х1 = π/6, тогда Обратные тригонометрические функции - Справочник студента Учтем периодичность функции синуса и запишем решения данного уравнения: Обратные тригонометрические функции - Справочник студента где k ∈ Z.

б) Очевидно, что алгоритм решения уравнения sin х = а такой же, как и в предыдущем пункте. Разумеется, теперь по оси ординат откладывается величина а. Возникает необходимость каким-то образом обозначить угол х1. Условились такой угол обозначать символом arcsin а.

Тогда решения данного уравнения можно записать в виде Обратные тригонометрические функции - Справочник студента  Эти две формулы можно объединить в одну: Обратные тригонометрические функции - Справочник студента при этом Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Аналогичным образом вводятся и остальные обратные тригонометрические функции.

Очень часто бывает необходимо определить величину угла по известному значению его тригонометрической функции.

Такая задача является многозначной — существует бесчисленное множество углов, тригонометрические функции которых равны одному и тому же значению.

Поэтому, исходя из монотонности тригонометрических функций, для однозначного определения углов вводят следующие обратные тригонометрические функции.

Арксинус числа a (arcsin а) — такой угол а из промежутка , синус которого равен а, т. е. Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Арккосинус числа a (arccos а) — такой угол а из промежутка [0; π], косинус которого равен а, т. е. Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Арктангенс числа a (arctg а) — такой угол а из промежутка  тангенс которого равен а, т. е. Обратные тригонометрические функции - Справочник студента tg а = а.

Арккотангенс числа a (arcctg а) — такой угол а из промежутка (0; π), котангенс которого равен а, т. е. Обратные тригонометрические функции - Справочник студента ctg а = а.

  1. Пример 2
  2. Найдем:
  3. Учитывая определения обратных тригонометрических функций получим:
  4. Пример 3
  5. Вычислим 

Пусть угол а = arcsin 3/5, тогда по определению sin a = 3/5 и . Следовательно, надо найти cos а. Используя основное тригонометрическое тождество, получим:       Учтено, что  и cos a ≥ 0. Итак, 

Рассмотрим более подробно свойства обратных тригонометрических функций.

Свойства функции Функция
у = arcsin х у = arccos х у = arctg х у = arcctg х
Областьопределения х ∈ [-1; 1] х ∈ [-1; 1] х ∈ (-∞; +∞) х ∈ (-∞ +∞)
Область значений y ∈ [-π/2; π/2] y ∈ [0; π] y ∈ (-π/2; π/2) y ∈ (0; π)
Четность Нечетная Ни четная, ни нечетная Нечетная Ни четная, ни нечетная
Нули функции (y =0) При х = 0 При х = 1 При х = 0 у ≠ 0
Промежутки знакопостоянства у > 0 при х ∈(0; 1],у < 0 при х ∈[-1; 0) у > 0 при х∈ [-1; 1) у > 0 при х ∈(0; +∞),у < 0 при х ∈(-∞; 0) у > 0 при x∈ (-∞; +∞)
Монотонность Возрастает Убывает Возрастает Убывает
Связь с тригонометрической функцией sin у = х cos у = х tg у = х ctg у = х
График а б в г
  • Приведем еще ряд типичных примеров, связанных с определениями и основными свойствами обратных тригонометрических функций.
  • Пример 4
  • Найдем область определения функции 
  • Для того чтобы функция у была определена, необходимо выполнение неравенства  которое эквивалентно системе неравенств  Решением первого неравенства является промежуток х ∈ (-∞; +∞), второго —  Этот промежуток  и является решением системы неравенств, а следовательно, и областью определения функции 
  • Пример 5
  • Найдем область изменения функции 

Рассмотрим поведение функции z = 2х — х2 (см. рисунок).

  1. Видно, что z ∈ (-∞; 1]. Учитывая, что аргумент z функции арккотангенса меняется в указанных пределах, из данных таблицы получим, что  Таким образом, область изменения 
  2. Пример 6

Докажем, что функция у = arctg х нечетная. Пусть  Тогдаtg а = -х или х = -tg а = tg(-a), причем  Следовательно, — a = arctg х или а = -arctg х. Таким образом, видим, что  т. е. у(х) — функция нечетная.

  • Пример 7
  • Выразим через все обратные тригонометрические функции 
  • Пусть  Очевидно, что  Тогда  Так как 
  • Введем угол  Так как  то 
  • Аналогично  поэтому  и 
  • Итак, 
  • Пример 8
  • Построим график функции у = cos(arcsin х).

Обозначим а = arcsin x, тогда  Учтем, что х = sin а и у = cos а, т. е. x2 + у2 = 1, и ограничения на х (х ∈ [-1; 1]) и у (у ≥ 0). Тогда графиком функции у = cos(arcsin х) является полуокружность.

  1. Пример 9
  2. Построим график функции у = arccos(cos x).

Так как функция cos х изменяется на отрезке [-1; 1], то функция у определена на всей числовой оси и изменяется на отрезке [0; π]. Будем иметь в виду, что у = arccos(cos x) = х на отрезке [0; π]; функция у является четной и периодической с периодом 2π. Учитывая, что этими свойствами обладает функция cos x, теперь легко построить график.

  • Отметим некоторые полезные равенства:
  • Пример 10
  • Найдем наименьшее и наибольшее значения функции  Обозначим  тогда  Получим функцию   Эта функция имеет минимум в точке z = π/4, и он равен  Наибольшее значение функции достигается в точке z = -π/2, и оно равно  Таким образом,  и 
  • Пример 11
  • Решим уравнение 
  • Учтем, что   Тогда уравнение имеет вид:  или  откуда  По определению арктангенса получим: 
  • 2. Решение простейших тригонометрических уравнений
  • Аналогично примеру 1 можно получить решения простейших тригонометрических уравнений.
Уравнение Решение
tgx = а
ctg х = а
  1. Пример 12
  2. Решим уравнение 
  3. Так как функция синус нечетная, то запишем уравнение в виде  Решения      этого уравнения:  откуда находим 
  4. Пример 13
  5. Решим уравнение 
  6. По приведенной формуле запишем решения уравнения:  и найдем 
  7. Заметим, что в частных случаях (а = 0; ±1) при решении уравнений sin х = а и cos х = а проще и удобнее использовать не общие формулы, а записывать решения на основании единичной окружности:
  8. для уравнения sin х = 1 решения 
  9. для уравнения sin х = 0 решения х = πk;
  10. для уравнения sin х = -1 решения 
  11. для уравнения cos х = 1 решения х = 2πk;
  12. для уравнения cos х = 0 решения 
  13. для уравнения cos х = -1 решения 
  14. Пример 14
  15. Решим уравнение 
  16. Так как в данном примере имеется частный случай уравнения, то по соответствующей формуле запишем решение:  откуда найдем 
  17. III. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)

1. Дайте определение и перечислите основные свойства обратных тригонометрических функций.

2. Приведите графики обратных тригонометрических функций.

3. Решение простейших тригонометрических уравнений.

  • IV. Задание на уроках
  • § 15, № 3 (а, б); 4 (в, г); 7 (а); 8 (а); 12 (б); 13 (а); 15 (в); 16 (а); 18 (а, б); 19 (в); 21;
  • § 16, № 4 (а, б); 7 (а); 8 (б); 16 (а, б); 18 (а); 19 (в, г);
  • § 17, № 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 7 (в, г); 9 (б); 10 (а, в).
  • V. Задание на дом
  • § 15, № 3 (в, г); 4 (а, б); 7 (в); 8 (б); 12 (а); 13 (б); 15 (г); 16 (б); 18 (в, г); 19 (г); 22;
  • § 16, № 4 (в, г); 7 (б); 8 (а); 16 (в, г); 18 (б); 19 (а, б);
  • § 17, № 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 7 (а, б); 9 (г); 10 (б, г).
  • VI. Творческие задания
  • 1. Найдите область определения функции:
  • Ответы: 
  • 2. Найдите область значений функции:
  • Ответы:  
  • 3. Постройте график функции:
  • VII. Подведение итогов уроков
Читайте также:  Функция ланжевена - справочник студента

Источник: https://tak-to-ent.net/load/625-1-0-16987

Интернет Репетитор по Физике и Математике — Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Основные формулы: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.
Связь между различными арк-функциями.

Область определения и множество значений:

Значения функции: Значения аргумента:
Обратные тригонометрические функции - Справочник студента
Обратные тригонометрические функции - Справочник студента
Обратные тригонометрические функции - Справочник студента Обратные тригонометрические функции - Справочник студента
Обратные тригонометрические функции - Справочник студента Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Основные тождества:

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента Обратные тригонометрические функции - Справочник студента
Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Значения тригонометрических функций от обратных тригонометрических функций:

z arcsin x arccos x arctg x arcctg x
sin z x
cos z x
tg z x
ctg z x

Взаимосвязь арксинуса с другими обратными тригонометрическими функциями:

arccos z arctg z arcctg z
arcsin x, x>0
arcsin x, x0
arccos x, x0
arctg x, x0
arcctg x, x 0, y > 0, x2 + y2 > 1
при x  0
при xy > 1, x 

Источник: http://web-tutor.narod.ru/index/arc_functions/0-14

Обратные тригонометрические функции

Справочник по математике Тригонометрия

      Предположим, что число a удовлетворяет неравенству . Число x называют арксинусом числа a и обозначают   x = arcsin a, если выполнены два условия:

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

      Предположим, что число a удовлетворяет неравенству . Число x называют арккосинусом числа a и обозначают   x = arccos a, если выполнены два условия:

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

      Рассмотрим произвольное число a . Число x называют арктангенсом числа a и обозначают   x = arctg a, если выполнены два условия:

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

      Рассмотрим произвольное число a . Число x называют арккотангенсом числа a и обозначают   x = arcctg a, если выполнены два условия:

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

      Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс удовлетворяют, в частности, следующим соотношениям:

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента
Обратные тригонометрические функции - Справочник студента
arcsin (– a) = – arcsin a ,
arccos (– a) == π – arccos a ,
arctg (– a) = – arctg a ,
arcctg (– a) == π – arcctg a .

      Обратными тригонометрическими функциями называют функции:

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

     Графики этих функций изображены на рисунках 1, 2, 3, 4.

Обратные тригонометрические функции - Справочник студентаОбратные тригонометрические функции - Справочник студента

      Рис. 1. График функции   y = arcsin x

      Таблица значений функции   y = arcsin x

x – 1  0  1
y = arcsin x
x y = arcsin x
– 1
 0 
1

      Рис. 2. График функции   y = arccos x

      Таблица значений функции   y = arccos x

x – 1  0   1 
y = arccos x π
x y = arccos x
– 1 π
 0 
 1 

      Рис. 3. График функции   y = arctg x

      Таблица значений функции   y = arctg x

x – 1  1 
y = arctg x  0 
x y = arctg x
– 1
 0 
 1 

      Рис. 4. График функции   y = arcctg x

      Таблица значений функции   y = arcctg x

x – 1 1
y = arcctg x
x y = arcctg x
– 1
1

      Пример. Решить уравнение

2 arcsin 2x = arccos 7x .

      Решение. Возьмём косинус от обеих частей уравнения. Тогда в левой части уравнения получим:

cos ( 2 arcsin 2x ) = 1 – 2sin2( arcsin 2x ) = 1 – 2 ( 2x )2 = 1 – 8×2 .

cos ( 2 arcsin 2x ) == 1 – 2sin2( arcsin 2x ) == 1 – 2 ( 2x )2 = 1 – 8×2 .

  •       В правой части уравнения получим:
  • cos ( arccos 7x ) = 7x.
  •       Следовательно, возникает квадратное уравнение:

      В силу того, что область определения обратных тригонометрических функций   y = arcsin x и   y = arccos x   имеет вид: , второй корень должен быть отброшен.

      Ответ:

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/trig/inverse.htm

Обратные тригонометрические функции

Алгебра

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции—это математические функции, являющиеся обратными тригонометрическим функциям.

Функция y=arcsin(x)

Арксинусом числа α называют такое число α из промежутка [-π/2;π/2], синус которого равен α. График функции Обратные тригонометрические функции - Справочник студента   Функция у= sin⁡(x) на отрезке [-π/2;π/2], строго возрастает и непрерывна; следовательно, она имеет обратную функцию , строго возрастающую и непрерывную. Функция , обратная для функции у= sin⁡(x), где х ∈[-π/2;π/2], называется арксинусом и обозначается  y=arcsin(x),где х∈[-1;1]. Итак, согласно определению обратной  функции , областью определения арксинуса является отрезок [-1;1], а множеством значений  — отрезок [-π/2;π/2].

Отметим , что график функцииy=arcsin(x),где х ∈[-1;1].симметричен графику функции у= sin(⁡x), где х∈[-π/2;π/2],относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arcsin(x).

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Пример№1.

Найти arcsin(1/2)? Обратные тригонометрические функции - Справочник студента Так как область значений функцииarcsin(x)принадлежит промежутку [-π/2;π/2], то подходит только значениеπ/6 .Следовательноarcsin(1/2) =π/6. Ответ:π/6   Пример №2. Найти arcsin(-(√3)/2)?Обратные тригонометрические функции - Справочник студента Так как область значений arcsin(x) х ∈[-π/2;π/2], то подходит только значение -π/3.Следовательноarcsin(-(√3)/2) =- π/3.

Функция y=arccos(x)

Арккосинусом числа α называют такое число α из промежутка [0;π], косинус которого равен α.

График функции   

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента Функция у= cos(⁡x) на отрезке [0;π], строго убывает и непрерывна; следовательно, она имеет обратную функцию , строго убывающую и непрерывную. Функция , обратная для функции у= cos⁡x, где х ∈[0;π], называется арккосинусом и обозначается  y=arccos(x),где х ∈[-1;1]. Итак, согласно определению обратной функции , областью определения арккосинуса является отрезок [-1;1], а множеством значений  — отрезок [0;π].

Отметим , что график функцииy=arccos(x),где х ∈[-1;1] симметричен графику функции у= cos(⁡x), где х ∈[0;π],относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arccos(x).

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Пример №3.

Найти arccos(1/2)?

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента Так как область значений arccos(x) х∈[0;π], то подходит только значение π/3.Следовательно arccos(1/2) =π/3. Пример №4. Найти arccos(-(√2)/2)?Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Так как область значений функции arccos(x) принадлежит промежутку [0;π], то подходит только значение 3π/4.Следовательноarccos(-(√2)/2) =3π/4.

Ответ: 3π/4  

Функция y=arctg(x)

Арктангенсом числа α называют такое число α из промежутка [-π/2;π/2], тангенс которого равен α.

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента Функция тангенс непрерывная и строго возрастающая на интервале(-π/2;π/2); следовательно, она имеет обратную функцию , которая непрерывна и строго возрастает. Функция , обратная для функции у= tg⁡(x), где х∈(-π/2;π/2); называется арктангенсом и обозначается  y=arctg(x),где х∈R. Итак, согласно определению обратной  функции , областью определения арктангенса является интервал(-∞;+∞), а множеством значений  — интервал  (-π/2;π/2).

  • Отметим , что график функции y=arctg(x),где х∈R, симметричен графику функции у= tg⁡x, где х ∈ (-π/2;π/2), относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.
  • Область значения функции y=arctg(x).
  • Пример№5?
  • Найти arctg((√3)/3).
  • Найти arctg(-1)?
  • Функция y=arcctg(x)
  • График функции
  • Область значения функции y=arcctg(x).
  • Найти arcctg((√3)/3)?
  • Найти arcctg(-(√3)/3)?
  • Чефранов Андрей Игоревич
  • Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

Так как область значений arctg(x) х ∈(-π/2;π/2), то подходит только значение π/6 .Следовательноarctg((√3)/3) =π/6. Пример№6. Так как область значений arctg(x) х ∈(-π/2;π/2), то подходит только значение -π/4 .Следовательноarctg(-1) = — π/4. Арккотангенсом числа α называют такое число α из промежутка (0;π), котангенс которого равен α. На интервале   (0;π),функция котангенс строго убывает; кроме того,она непрерывна в каждой точке этого интервала; следовательно, на интервале    (0;π), эта функция имеет обратную функцию, которая является строго убывающей и непрерывной. Функция , обратная для функции у=ctg(x), где х ∈(0;π), называется арккотангенсом и обозначается  y=arcctg(x),где х∈R. Итак, согласно определению обратной  функции , областью определения арккотангенса будет R,а множеством значений –интервал (0;π).График функции y=arcctg(x),где х∈R симметричен графику функции y=ctg(x) х∈(0;π),относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей. Пример№7. Так как область значений arcctg(x) х ∈(0;π), то подходит только значение π/3.Следовательно arccos((√3)/3) =π/3. Пример№8. Так как область значений arcctg(x) х∈(0;π), то подходит только значение 2π/3.Следовательноarccos(-(√3)/3) =2π/3.

Источник: http://www.teslalab.ru/articles/algebra/55/

Обратные тригонометрические функции, их графики и формулы

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Даны определения обратных тригонометрических функций и их графики. А также формулы, связывающие обратные тригонометрические функции, формулы сумм и разностей.

Читайте также:  Внимание и установка - справочник студента

Содержание

Определение обратных тригонометрических функций ⇓Графики обратных тригонометрических функций ⇓Основные формулы ⇓Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции ⇓Формулы суммы и разности ⇓

См. также:

 

Арксинус, арккосинус — свойства, графики, формулы Арктангенс, арккотангенс Синус, косинус Тангенс, котангенс

Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции не однозначны. Так, уравнение   y = sin x,   при заданном   ,   имеет бесконечно много корней. Действительно, в силу периодичности синуса, если x   такой корень, то и   x + 2πn   (где n целое) тоже будет корнем уравнения.

Таким образом, обратные тригонометрические функции многозначны. Чтобы с ними было проще работать, вводят понятие их главных значений. Рассмотрим, например, синус:   y = sin x.   Если ограничить аргумент x интервалом , то на нем функция   y = sin x   монотонно возрастает.

Поэтому она имеет однозначную обратную функцию, которую называют арксинусом:   x = arcsin y.

Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями имеют в виду их главные значения, которые определяются следующими определениями.

Арксинус ( y = arcsin x ) – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ), имеющая область определения и множество значений . Арккосинус ( y = arccos x ) – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ), имеющая область определения и множество значений . Арктангенс ( y = arctg x ) – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ), имеющая область определения и множество значений . Арккотангенс ( y = arcctg x ) – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ), имеющая область определения и множество значений .

Графики обратных тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой   y = x. См. разделы Синус, косинус, Тангенс, котангенс.

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

y = arcsin x

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента y = arccos x Обратные тригонометрические функции - Справочник студента y = arctg x Обратные тригонометрические функции - Справочник студента y = arcctg x

Основные формулы

  • Здесь следует особо обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.
  • arcsin(sin x) = x     при sin(arcsin x) = x arccos(cos x) = x     при cos(arccos x) = x
  • arctg(tg x) = x     при tg(arctg x) = x arcctg(ctg x) = x     при ctg(arcctg x) = x

Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции

См. также:  Вывод формул обратных тригонометрических функций

Формулы суммы и разности

  1.      при или      при и      при и
  2.      при или      при и      при и
  3.      при      при
  4.      при      при
  5.      при      при      при
  6.      при      при      при

Использованная литература: И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Источник: https://1cov-edu.ru/mat_analiz/funktsii/obratnie_trigonometricheskie/

Расчет обратных тригонометрических функций

Здравствуйте, читатели! Знакомимся мы с вами сегодня с обратными тригонометрическими функциями. Мы узнаем, что такое арксинусы, арккосинусы и арктангенсы – арккотангенсы, и научимся решать примеры с их участием.

  • Сначала вспомним определение:
  • Арксинусом числа ,  модуль которого не больше 1, называется такое число из промежутка , синус которого равен .
  • , если ,
  • Также мы можем записать это так: , если , а также справедливо: .
  • Еще нам пригодится такая формула: .
  • Арккосинусом числа ,  модуль которого не больше 1, называется такое число из промежутка , косинус которого равен .
  • , если ,
  • Также мы можем записать это так: , если , аналогично  .
  • Еще нам пригодится такая формула: .
  • Арктангенсом числа называется такое число из промежутка , тангенс которого равен .
  • , если ,
  • Также мы можем записать это так: ,  , аналогично  .
  • Будем пользоваться и такой формулой: .
  • Арккотангенсом числа называется такое число из промежутка , котангенс которого равен .
  • , если ,
  • Также мы можем записать это так: ,  , аналогично  .
  • Будем пользоваться и такой формулой: .
  • Интересно, что .
  • Ну что ж, формул много, давайте попробуем их применять на практике.
  • Вычислить:
  • Задача 1.  , так как
  • Задача 2. 
  • Задача 3.  , так как
  • Задача 4. 
  • Так как , то выражение – это  число, синус которого равен 0,6. Тогда косинус этого числа можно вычислить через основное тригонометрическое тождество:
  • Задача 5. 
  • Задача 6. 

Задача 7.  . Так как , то . Но , а 6,28 – это .  Тогда . Число меньше 1, и к нему применим формулу :

  1. Задача 8. 
  2. По формуле приведения

Задача 9.  .  Рассуждаем так: – это такое число, синус которого равен . Тогда  по основному тригонометрическому тождеству косинус этолго числа: . Тогда тангенс этого числа – отношение синуса к косинусу:

  • Задача 10. 
  • Применим формулу косинуса суммы:
  • Сначала отдельно рассчитаем значения выражений и :
  • – если синус угла равен , то косинус найдем через основное тригонометрическое тождество:
  • Аналогично : если синус числа равен 1/3, то косинус его равен .
  • Тогда получим:
  • Имеет ли смысл выражение:
  • Задача 11. 
  • Так как , то выражение имеет смысл.

Задача 12.  – выражение смысла не имеет.

  1. Решить уравнение:
  2. Задача 13. 
  3. Применим такой прием:
  4. Тогда
  5. Задача 14. 
  6. И снова тот же прием:
  7. Доказать тождество:
  8. Задача 15.
  9. Сначала избавимся от отрицательного числа под знаком арккосинуса:
  10. Теперь применим уже знакомый прием, определим косинус правой и левой частей:
  11. Раскрываем по формуле «косинус суммы»:
  12. Теперь определим :
  13. Нам нужно определить косинус такого угла, синус которого равен , воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
  14. Определим  :
  15. Нам нужно определить синус такого угла, косинус которого равен , воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
  16. Вернемся к примеру:
  17. Тождество доказано.
  18. Задача 16.
  19. Снова видим отрицательные числа под знаками арккосинусов, избавимся от них:
  20. Поменяем знаки:
  21. Применим операцию взятия косинуса от правой и левой частей:
  22. Применяем формулу косинуса разности:
  23. Определим :
  24. Нам нужно определить синус такого угла, косинус которого равен , воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
  25. Определим
  26. Нам нужно определить синус такого угла, косинус которого равен , воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
  27. Возвращаемся к примеру:
  28. Тождество доказано.
  29. Вычислить:
  30. Задача 17.
  31. По формулам приведения
  32. Задача 18. 
  33. Применим формулу косинуса суммы:
  34. Сначала отдельно рассчитаем значения выражений и :
  35. – если синус угла равен 3/5, то косинус найдем через основное тригонометрическое тождество:
  36. Аналогично : если синус числа равен 3/5, то косинус его 4/5 (определяем через основное тригонометрическое тождество).
  37. Тогда получим:

Источник: https://easy-physic.ru/raschet-obratny-h-trigonometricheskih-funktsij/

Сборник заданий по теме:"Обратные тригонометрические функции"

Введение

В данной работе содержится практический материал по одному из разделов тригонометрии «Обратные тригонометрические функции».

Практический материал подразделяется на примеры с подробными решениями по всем разделам, на подборку примеров для самостоятельного решения с последующими ми и решениями ( алгебраический тренажер) и в заключении дается пробный тест, состоящий из 17 заданий уровня А,В и С.

Данная работа помогает решить проблему в преподавании, обучении и качественном усвоении знаний по наиболее сложной теме раздела «Тригонометрия».

Основная идея этой работы – создать такой обучающий модуль, чтобы в нем были собраны все практические задания с решениями по данной теме, необходимый набор примеров для закрепления каждого раздела

  • Данный обучающий модуль решает сразу несколько проблем:
  • 1. уменьшает потери времени на поиск и систематизацию практических заданий;
  • 2. подробно рассмотрены все шаги решений как простых, так и сложных заданий наиболее часто встречающихся типов;
  • 3. нет необходимости долго искать и подбирать материал для закрепления каждого раздела — он предоставлен в необходимом количестве, с ответами и пояснениями к решениям, а при необходимости его пополнить указаны литературные источники, откуда взяты многие примеры и задачи;

4. есть возможность проверить свои знания по трем уровням сложности и своевременно устранить пробелы в знаниях.

Рекомендации к этой теме будут полезны учителям и учащимся. Изучать их можно не только на уроке, но и на дополнительных занятиях, на факультативах, на спецкурсе по предмету. В данном сборнике собраны разнообразные задания с подробными решениями и ми. Приведен в пример тест, состоящий из заданий группы А,В и С на обратные тригонометрические функции с решениями и ответами.

Читайте также:  Система со многими степенями свободы - справочник студента

Задания, содержащие обратные тригонометрические функции.

  1. Найти область определения следующих функций:

  1. Решение.
  2. 1) D (arcsin) = , поэтому -1 х-2 1 1 х 3.
  3. D (y) = .
  4. 2) D (arccos) = и значит
  5. -1 1 -4 1-2х 4 -5 -2х 3
  6. -1,5 х 2,5.
  7. D (y) = .
  8. 3) Аналогично
  9. -1 1 -2 х-3 2, 1 х 5.
  10. D (y) = .
  11. Ответ :
  12. Обратные тригонометрические функции .
  13. ( область определения и множество значений)
  14. 1. Какие значения могут принимать х и у в равенствах:
  15. а) у = arcsin x; б) у = arcos x; в) у = arctg x; г) у = arcctg x
  16. Ответы: (неупорядоченные):
  17. х R, y (0;х [-1;1], у [0;]; x [-1;1], y ; ]; x R, y ; ).

2. Какие из данных равенств верные и какие неверные? Ответ обоснуйте.

  • 1. a) arcsin1 = -; б) arccos = ; в) arctg (-1) = ; г) arcctg (- ) = — д) arcsin ()
  • 2. a) arcsin = ; б) arcos ) = — ; в) arcctg (— г) arcctg = д)arcos( 0) =
  • 3. a) arcsin 0 = ; б) arcos = ; в) arctg(-1) = ; г) arcctg 1 = ; д) arcos (

Ответы: Верными равенствами являются: 1. б); д). 2. в); д). 3. г); д).

3. Имеют ли смысл следующие выражения:

1. arcsin 3,1; arctg 3,1; arcos (- ; arcctg (-; arcos ).

2. arcctg 5,4 ; arcos 5,4 ; arctg (-5); arcsin ; arcsin .

3. arcsin (-2); arctg (-2); arcos ; arcctg ; arcsin .

Ответы: 1. Нет; да; нет; да; нет. 2. Да; нет; да; нет; да. 3. Нет; да; да; да; нет.

  1. 4. Вычислите:
  2. а) arccos — arcsin arctg – arcctg ; в) arcsin + arcsin ; г) arctg — arcctg ; д) arcsin 0 + arcctg 0; е) arcsin (-1) + arccos 1; ж) arccos 1 + arctg 0; з) arccos 0 + arcsin 1; и) arcsin + arccos ) ; к)arcsin (- + arccos ; л) arctg ) + arcctg (-1) ; м) arctg + arcctg (-
  3. н) arcctg (- + arcctg ; о) arcsin 1 – arctg 1.
  4. Ответы: а) ; б) ; в) ; и) ; л) ; м) ; н) .
  5. 5. Найдите область определения функции:

1. а) у = arcsin ; б) y = arcctg ; в) y = arccos ; г) y = arcsin (2x – 3); д) y = arctg ; е) y = .

2. а)y = arctg 2x; б)y = arccos в)y = arcsin ; г) y = arccos (; д) y = ; е) y = .

Ответы: 1. а) [-2;2]; б) [0;д) [-5;2]; е) [-1;1].

2. а) R; б)[-1;1]; в)[-12;5]; г)[0;4]; д)[- е) [0;1].

6. Найдите область значений функции:

1. а) у = 0,5 arcctg x; б) y = + arccos x; в) y = 0,5 — arctg x; г) y = arcsin ; д) y = 4 + arcctg x; е) y = (arcsin ).

2. a) y = 2arcsin x; б) y = + arcctg x; в) y = 0,5 — arccos x; г) y = arctg ; д) y = 6 + arcsin x; е) y = (arctg x.

Ответы (неупорядоченные):

  1. [0;]; [0; ]; [0; ]; [0; ]; []; [-);

(-

7. В каком промежутке расположен угол?

  • 1. а) arcsin ; б) arctg (-8); в) arcctg 2; г) arcsin д) arctg 8; е) arccos 0,69;
  • ж) arcctg (-5); з) arccos ().
  • Ответы: а) (0;); б) в) (0;); г) д) (0;); е) (0;); ж) (з) (
  • 2. Найти значения функций (подробные решения) :

1). Найдите arcsin х, если arcсos х =.

А. . Б. 0,3. В. 0,8. Г. — =.

Решение.

Так как arcsin х + arcсos х =, то arcsin х = — arcсos х, т.е.

arcsin х = — = 0,3.

Ответ: Б.

    1. Найдите х, если arcsin х = .

А. . Б. . В. . Г. .

Решение: arcсos х = — = . Ответ: Г.

    1. Найдите значение выражения

аrcsin — arcсos .

arctg

А. 3,5. Б. -4,5. В. – 5,5. Г. -3,5.

  1. Решение.
  2. аrcsin — arcсos =
  3. arctg
  4. -аrcsin — ( — arcсos ) = = = -5,5.
  5. Ответ: В.

4. Вычислите: сos (аrcsin (-0,6)).

А. -0,36. Б. 0,6. В. -0,8. Г. 0,8.

  • Решение.
  • сos (аrcsin (-0,6)) = сos ( — аrcsin 0,6) = сos (аrcsin 0,6) = 0,8.
  • Обозначим аrcsin 0,6 = а, а . Тогда sin = 0,6, сos= ,
  • сos= = 0,8.
  • Ответ: Г.

5. Вычислите: sin (arcсos (-)).

А. — . Б. . В. — . Г. .

Решение. sin (arcсos (-)) = sin ( — arcсos ) = sin (arcсos).

  1. Обозначим sin b = = = .
  2. Ответ: Б.
  3. Следующие задания можно применить для самостоятельной работы.
  4. Вычислите значения выражений.
  5. I Вычислите:
  6. Вариант 1
  7. а) sin arccos ; б) ctg arcctg (-1); в) tg arctg (-1); г) cos arccos (; д) sin arcctg
  8. е) ctg arcctg 1; ж) tg arcsin з) sin arcsin a.
  9. Вариант 2
  1. сos arccos ; б) ctg arcctg ; в) ctg arcsin 1; г) cos arcctg (-1); д) tg arctg ;

е) tg arcsin ; ж) sin arcsin ; з) ctg arcctg a.

Ответы: 1. А) ; б) ; в) -1; г) ; д) ; е) 1; ж) 1; з) а.

  1. а) ; б) ; в) 0; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) а.

  • II Вычислите:
  • Вариант 1
  • а) arccos cos ; б) arctg tg ; в) arcctg ctg ; г) arccos cos ; д) arcctg tg ;
  • е) arcsin sin ; ж) arctg (2sin); з) arcsin tg .
  • Вариант 2
  • А) arcctg ctg ; б) arcsin sin ; в) arccos cos ; г) arcctg ctg ; д) arcsin sin ;
  • е) arcctg ctg ; ж) arcsin (0,5arctg ); з) arctg sin

Ответы: 1. А) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .

2. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .

  1. III Вычислите:
  2. Вариант 1
  3. А) sin arccos ; б) ctg arctg ; в) sin arctg ; г) ctg arccos 0,6; д) cos arctg ;
  4. е) tg arccos ; ж) cos arcsin ; з) tg arcctg .
  5. Вариант 2
  6. А) cos arcsin ; б) tg arcctg ; в) sin arcctg ; г) sin arctg ; д) cos arctg ;
  7. е) cos arcctg ; ж) sin arccos ; з) ctg arctg (-2,4).
  8. Ответы:

Вариант 1. а) 0,6; б) ; в) 0,96; г) 0,75; д) ; е) 2,4; ж) ; з) .

Вариант 2. а) ; б) ; в) ; г) 0,8; д) 0,8; е) 0,28; ж) ; з) .

Упражнения – тренажер

(примеры решаются с помощью формул или вспомогательного треугольника)

1. Вычислите: sin.

  • Решение.
  • Обозначим: α =, β= .
  • sin(α+ β)=sin α cos β+ cos α sin β.
  • а) cos α =,
  • sin α = ? 17 15

sin α=. α II ч . 8

б) tg β = ,

sin β – ?, cos β – ?

  1. sin β = , cos β = .
  2. sin(α+ β)= .
  3. Ответ: .

2. Вычислитесуммуarctg2 + arctg3.

  • Решение.
  • Найдем tg (arctg 2 + arctg 3).
  • Обозначим: α = arctg 2, β = arctg 3.
  • tg(α+β)= .
  • tg α = 2 , tg β =3
  • tg (α+β) =.
  • В этом промежутке есть единственный угол, тангенс которого равен -1.
  • Это угол .
  • Ответ: .

3. Вычислите при x > 1.

  1. 2arctgx + arcsin.
  2. Решение.
  3. tg .
  4. Обозначим α = arctg x, β = arcsin
  5. tg (2α + β) =. 2х
  6. tg 2α — ?
  7. tg2α =, tg2α =.

2. sinβ= .

  • .
  • tg β= .
  • tg(2α + β)=
  • tg (2α + β)=0,
  • При n=0 2α+ β=0,
  • При n=1 2α+ β= π,
  • При n=0 2 α+ β=2 π,

Итак, 2 α+ β= π. Ответ: π.

  1. Вычислите: arctg 13 + arctg15 + arctg17 + arctg18.

  1. Решение. Обозначим α = arctg1/3, β = arctg 1/5 , γ = arctg1/7, δ = arctg 1/8,
  2. Α € (0; Π4 ), β€ (0;Π4) , γ € (0;Π4), δ €(0; Π4).
  3. Можно по-разному решать, но удобнее вычислить так:
  4. tg(α+β)= 1/3+1/5 = 8/15 = 8/15 = 4/7,
  5. 1-1/3*1/5 1-1/15 14/15
  6. α+β= arctg 4/7, 0< α+β< π2;
  7. tg(γ+δ) = 1/7+1/8 = 15/56 = 15 = 3/11,
  8. 1-1/7*1/8 55/56 55
  9. γ+δ= arctg 3/11, 0< γ+δ< π2;

Источник: https://infourok.ru/sbornik-zadaniy-po-temeobratnie-trigonometricheskie-funkcii-1580053.html

Ссылка на основную публикацию