Обратные тригонометрические функции — справочник студента

Радианное измерение углов

Один радиан равен центральному углу окружности, длина дуги которого равна радиусу этой окружности.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Углы в градусах φ° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
Углы в радианах π/180° ∙ φ° π/6 π/4 π/3 π/2 π 3/2π

Значения тригонометрических функций некоторых углов

α π/6 π/4 π/3 π/2 π 3/2π
sin α 1/2 √2/2 √3/2 1 -1
cos α 1 √3/2 √2/2 1/2 -1
tg α √3/3 1 √3
ctg α √3 1 √3/3

Основные тригонометрические тождества

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Формулы суммы и разности аргументов

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Формулы двойного и тройного аргументов

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Если х ≠ π + 2πk, k ∈ Z, то

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Методика коллективной организаторской деятельности - справочник студента

Оценим за полчаса!

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

  • Обратные тригонометрические функции - Справочник студента a φ определяется из формулы Обратные тригонометрические функции - Справочник студента
  • Обратные тригонометрические функции - Справочник студента a φ определяется из формулы Обратные тригонометрические функции - Справочник студента
  • Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
  • Определение обратных тригонометрических функций
  • *Свойства обратных тригонометрических функций
  • Некоторые значения обратных тригонометрических функций
x 1/2 √2/2 √3/2 1 -1
arcsin x π/6 π/4 π/3 π/2 -π/2
arccos x π/2 π/3 π/4 π/6 π
x √2/3 1 √3
arctg x; π/6 π/4 π/3
arcctg x π/2 π/3 π/4 π/6

Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений

Источник: https://compendium.su/mathematics/ege/7.html

Уроки 32-33. Обратные тригонометрические функции | Поурочные планы по алгебре и начала анализа 10 класс | Поурочные планы по алгебре и математике

Уроки 32-33. Обратные тригонометрические функции

09.07.2015
9080 0

  • Цель: рассмотреть обратные тригонометрические функции, их использование для записи решений тригонометрических уравнений.
  • Ход уроков
  • I. Сообщение темы и цели уроков
  • II. Изучение нового материала
  • 1. Обратные тригонометрические функции
  • Рассмотрение этой темы начнем со следующего примера.
  • Пример 1
  • Решим уравнение: a) sin x = 1/2; б) sin x = а.
  • Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

а) На оси ординат отложим значение 1/2 и построим углы x1 и х2, для которых sin x = 1/2. При этом х1 + х2 = π, откуда х2 = π – x1. По таблице значений тригонометрических функций найдем величину х1 = π/6, тогда Обратные тригонометрические функции - Справочник студента Учтем периодичность функции синуса и запишем решения данного уравнения: Обратные тригонометрические функции - Справочник студента где k ∈ Z.

б) Очевидно, что алгоритм решения уравнения sin х = а такой же, как и в предыдущем пункте. Разумеется, теперь по оси ординат откладывается величина а. Возникает необходимость каким-то образом обозначить угол х1. Условились такой угол обозначать символом arcsin а.

Тогда решения данного уравнения можно записать в виде Обратные тригонометрические функции - Справочник студента  Эти две формулы можно объединить в одну: Обратные тригонометрические функции - Справочник студента при этом Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Аналогичным образом вводятся и остальные обратные тригонометрические функции.

Очень часто бывает необходимо определить величину угла по известному значению его тригонометрической функции.

Такая задача является многозначной — существует бесчисленное множество углов, тригонометрические функции которых равны одному и тому же значению.

Поэтому, исходя из монотонности тригонометрических функций, для однозначного определения углов вводят следующие обратные тригонометрические функции.

Арксинус числа a (arcsin а) — такой угол а из промежутка , синус которого равен а, т. е. Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Арккосинус числа a (arccos а) — такой угол а из промежутка [0; π], косинус которого равен а, т. е. Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Арктангенс числа a (arctg а) — такой угол а из промежутка  тангенс которого равен а, т. е. Обратные тригонометрические функции - Справочник студента tg а = а.

Арккотангенс числа a (arcctg а) — такой угол а из промежутка (0; π), котангенс которого равен а, т. е. Обратные тригонометрические функции - Справочник студента ctg а = а.

  1. Пример 2
  2. Найдем:
  3. Учитывая определения обратных тригонометрических функций получим:
  4. Пример 3
  5. Вычислим 

Пусть угол а = arcsin 3/5, тогда по определению sin a = 3/5 и . Следовательно, надо найти cos а. Используя основное тригонометрическое тождество, получим:       Учтено, что  и cos a ≥ 0. Итак, 

Рассмотрим более подробно свойства обратных тригонометрических функций.

Свойства функции Функция
у = arcsin х у = arccos х у = arctg х у = arcctg х
Областьопределения х ∈ [-1; 1] х ∈ [-1; 1] х ∈ (-∞; +∞) х ∈ (-∞ +∞)
Область значений y ∈ [-π/2; π/2] y ∈ [0; π] y ∈ (-π/2; π/2) y ∈ (0; π)
Четность Нечетная Ни четная, ни нечетная Нечетная Ни четная, ни нечетная
Нули функции (y =0) При х = 0 При х = 1 При х = 0 у ≠ 0
Промежутки знакопостоянства у > 0 при х ∈(0; 1],у < 0 при х ∈[-1; 0) у > 0 при х∈ [-1; 1) у > 0 при х ∈(0; +∞),у < 0 при х ∈(-∞; 0) у > 0 при x∈ (-∞; +∞)
Монотонность Возрастает Убывает Возрастает Убывает
Связь с тригонометрической функцией sin у = х cos у = х tg у = х ctg у = х
График а б в г
  • Приведем еще ряд типичных примеров, связанных с определениями и основными свойствами обратных тригонометрических функций.
  • Пример 4
  • Найдем область определения функции 
  • Для того чтобы функция у была определена, необходимо выполнение неравенства  которое эквивалентно системе неравенств  Решением первого неравенства является промежуток х ∈ (-∞; +∞), второго —  Этот промежуток  и является решением системы неравенств, а следовательно, и областью определения функции 
  • Пример 5
  • Найдем область изменения функции 

Рассмотрим поведение функции z = 2х — х2 (см. рисунок).

  1. Видно, что z ∈ (-∞; 1]. Учитывая, что аргумент z функции арккотангенса меняется в указанных пределах, из данных таблицы получим, что  Таким образом, область изменения 
  2. Пример 6

Докажем, что функция у = arctg х нечетная. Пусть  Тогдаtg а = -х или х = -tg а = tg(-a), причем  Следовательно, — a = arctg х или а = -arctg х. Таким образом, видим, что  т. е. у(х) — функция нечетная.

  • Пример 7
  • Выразим через все обратные тригонометрические функции 
  • Пусть  Очевидно, что  Тогда  Так как 
  • Введем угол  Так как  то 
  • Аналогично  поэтому  и 
  • Итак, 
  • Пример 8
  • Построим график функции у = cos(arcsin х).

Обозначим а = arcsin x, тогда  Учтем, что х = sin а и у = cos а, т. е. x2 + у2 = 1, и ограничения на х (х ∈ [-1; 1]) и у (у ≥ 0). Тогда графиком функции у = cos(arcsin х) является полуокружность.

  1. Пример 9
  2. Построим график функции у = arccos(cos x).

Так как функция cos х изменяется на отрезке [-1; 1], то функция у определена на всей числовой оси и изменяется на отрезке [0; π]. Будем иметь в виду, что у = arccos(cos x) = х на отрезке [0; π]; функция у является четной и периодической с периодом 2π. Учитывая, что этими свойствами обладает функция cos x, теперь легко построить график.

  • Отметим некоторые полезные равенства:
  • Пример 10
  • Найдем наименьшее и наибольшее значения функции  Обозначим  тогда  Получим функцию   Эта функция имеет минимум в точке z = π/4, и он равен  Наибольшее значение функции достигается в точке z = -π/2, и оно равно  Таким образом,  и 
  • Пример 11
  • Решим уравнение 
  • Учтем, что   Тогда уравнение имеет вид:  или  откуда  По определению арктангенса получим: 
  • 2. Решение простейших тригонометрических уравнений
  • Аналогично примеру 1 можно получить решения простейших тригонометрических уравнений.
Читайте также:  Виды эмоций - справочник студента
Уравнение Решение
tgx = а
ctg х = а
  1. Пример 12
  2. Решим уравнение 
  3. Так как функция синус нечетная, то запишем уравнение в виде  Решения      этого уравнения:  откуда находим 
  4. Пример 13
  5. Решим уравнение 
  6. По приведенной формуле запишем решения уравнения:  и найдем 
  7. Заметим, что в частных случаях (а = 0; ±1) при решении уравнений sin х = а и cos х = а проще и удобнее использовать не общие формулы, а записывать решения на основании единичной окружности:
  8. для уравнения sin х = 1 решения 
  9. для уравнения sin х = 0 решения х = πk;
  10. для уравнения sin х = -1 решения 
  11. для уравнения cos х = 1 решения х = 2πk;
  12. для уравнения cos х = 0 решения 
  13. для уравнения cos х = -1 решения 
  14. Пример 14
  15. Решим уравнение 
  16. Так как в данном примере имеется частный случай уравнения, то по соответствующей формуле запишем решение:  откуда найдем 
  17. III. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)

1. Дайте определение и перечислите основные свойства обратных тригонометрических функций.

2. Приведите графики обратных тригонометрических функций.

3. Решение простейших тригонометрических уравнений.

  • IV. Задание на уроках
  • § 15, № 3 (а, б); 4 (в, г); 7 (а); 8 (а); 12 (б); 13 (а); 15 (в); 16 (а); 18 (а, б); 19 (в); 21;
  • § 16, № 4 (а, б); 7 (а); 8 (б); 16 (а, б); 18 (а); 19 (в, г);
  • § 17, № 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 7 (в, г); 9 (б); 10 (а, в).
  • V. Задание на дом
  • § 15, № 3 (в, г); 4 (а, б); 7 (в); 8 (б); 12 (а); 13 (б); 15 (г); 16 (б); 18 (в, г); 19 (г); 22;
  • § 16, № 4 (в, г); 7 (б); 8 (а); 16 (в, г); 18 (б); 19 (а, б);
  • § 17, № 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 7 (а, б); 9 (г); 10 (б, г).
  • VI. Творческие задания
  • 1. Найдите область определения функции:
  • Ответы: 
  • 2. Найдите область значений функции:
  • Ответы:  
  • 3. Постройте график функции:
  • VII. Подведение итогов уроков

Источник: https://tak-to-ent.net/load/625-1-0-16987

Интернет Репетитор по Физике и Математике — Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Основные формулы: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.
Связь между различными арк-функциями.

Область определения и множество значений:

Значения функции: Значения аргумента:
Обратные тригонометрические функции - Справочник студента
Обратные тригонометрические функции - Справочник студента
Обратные тригонометрические функции - Справочник студента Обратные тригонометрические функции - Справочник студента
Обратные тригонометрические функции - Справочник студента Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Основные тождества:

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента Обратные тригонометрические функции - Справочник студента
Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Значения тригонометрических функций от обратных тригонометрических функций:

z arcsin x arccos x arctg x arcctg x
sin z x
cos z x
tg z x
ctg z x

Взаимосвязь арксинуса с другими обратными тригонометрическими функциями:

arccos z arctg z arcctg z
arcsin x, x>0
arcsin x, x0
arccos x, x0
arctg x, x0
arcctg x, x 0, y > 0, x2 + y2 > 1
при x  0
при xy > 1, x 

Источник: http://web-tutor.narod.ru/index/arc_functions/0-14

Обратные тригонометрические функции

Справочник по математике Тригонометрия

      Предположим, что число a удовлетворяет неравенству . Число x называют арксинусом числа a и обозначают   x = arcsin a, если выполнены два условия:

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

      Предположим, что число a удовлетворяет неравенству . Число x называют арккосинусом числа a и обозначают   x = arccos a, если выполнены два условия:

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

      Рассмотрим произвольное число a . Число x называют арктангенсом числа a и обозначают   x = arctg a, если выполнены два условия:

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

      Рассмотрим произвольное число a . Число x называют арккотангенсом числа a и обозначают   x = arcctg a, если выполнены два условия:

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

      Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс удовлетворяют, в частности, следующим соотношениям:

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента
Обратные тригонометрические функции - Справочник студента
arcsin (– a) = – arcsin a ,
arccos (– a) == π – arccos a ,
arctg (– a) = – arctg a ,
arcctg (– a) == π – arcctg a .

      Обратными тригонометрическими функциями называют функции:

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

     Графики этих функций изображены на рисунках 1, 2, 3, 4.

Обратные тригонометрические функции - Справочник студентаОбратные тригонометрические функции - Справочник студента

      Рис. 1. График функции   y = arcsin x

      Таблица значений функции   y = arcsin x

x – 1  0  1
y = arcsin x
x y = arcsin x
– 1
 0 
1

      Рис. 2. График функции   y = arccos x

      Таблица значений функции   y = arccos x

x – 1  0   1 
y = arccos x π
x y = arccos x
– 1 π
 0 
 1 

      Рис. 3. График функции   y = arctg x

      Таблица значений функции   y = arctg x

x – 1  1 
y = arctg x  0 
x y = arctg x
– 1
 0 
 1 

      Рис. 4. График функции   y = arcctg x

      Таблица значений функции   y = arcctg x

x – 1 1
y = arcctg x
x y = arcctg x
– 1
1

      Пример. Решить уравнение

2 arcsin 2x = arccos 7x .

      Решение. Возьмём косинус от обеих частей уравнения. Тогда в левой части уравнения получим:

cos ( 2 arcsin 2x ) = 1 – 2sin2( arcsin 2x ) = 1 – 2 ( 2x )2 = 1 – 8×2 .

cos ( 2 arcsin 2x ) == 1 – 2sin2( arcsin 2x ) == 1 – 2 ( 2x )2 = 1 – 8×2 .

  •       В правой части уравнения получим:
  • cos ( arccos 7x ) = 7x.
  •       Следовательно, возникает квадратное уравнение:

      В силу того, что область определения обратных тригонометрических функций   y = arcsin x и   y = arccos x   имеет вид: , второй корень должен быть отброшен.

      Ответ:

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/trig/inverse.htm

Обратные тригонометрические функции

Алгебра

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции—это математические функции, являющиеся обратными тригонометрическим функциям.

Функция y=arcsin(x)

Арксинусом числа α называют такое число α из промежутка [-π/2;π/2], синус которого равен α. График функции Обратные тригонометрические функции - Справочник студента   Функция у= sin⁡(x) на отрезке [-π/2;π/2], строго возрастает и непрерывна; следовательно, она имеет обратную функцию , строго возрастающую и непрерывную. Функция , обратная для функции у= sin⁡(x), где х ∈[-π/2;π/2], называется арксинусом и обозначается  y=arcsin(x),где х∈[-1;1]. Итак, согласно определению обратной  функции , областью определения арксинуса является отрезок [-1;1], а множеством значений  — отрезок [-π/2;π/2].

Отметим , что график функцииy=arcsin(x),где х ∈[-1;1].симметричен графику функции у= sin(⁡x), где х∈[-π/2;π/2],относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arcsin(x).

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Пример№1.

Найти arcsin(1/2)? Обратные тригонометрические функции - Справочник студента Так как область значений функцииarcsin(x)принадлежит промежутку [-π/2;π/2], то подходит только значениеπ/6 .Следовательноarcsin(1/2) =π/6. Ответ:π/6   Пример №2. Найти arcsin(-(√3)/2)?Обратные тригонометрические функции - Справочник студента Так как область значений arcsin(x) х ∈[-π/2;π/2], то подходит только значение -π/3.Следовательноarcsin(-(√3)/2) =- π/3.

Функция y=arccos(x)

Арккосинусом числа α называют такое число α из промежутка [0;π], косинус которого равен α.

График функции   

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента Функция у= cos(⁡x) на отрезке [0;π], строго убывает и непрерывна; следовательно, она имеет обратную функцию , строго убывающую и непрерывную. Функция , обратная для функции у= cos⁡x, где х ∈[0;π], называется арккосинусом и обозначается  y=arccos(x),где х ∈[-1;1]. Итак, согласно определению обратной функции , областью определения арккосинуса является отрезок [-1;1], а множеством значений  — отрезок [0;π].

Отметим , что график функцииy=arccos(x),где х ∈[-1;1] симметричен графику функции у= cos(⁡x), где х ∈[0;π],относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arccos(x).

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Пример №3.

Найти arccos(1/2)?

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента Так как область значений arccos(x) х∈[0;π], то подходит только значение π/3.Следовательно arccos(1/2) =π/3. Пример №4. Найти arccos(-(√2)/2)?Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Так как область значений функции arccos(x) принадлежит промежутку [0;π], то подходит только значение 3π/4.Следовательноarccos(-(√2)/2) =3π/4.

Ответ: 3π/4  

Функция y=arctg(x)

Арктангенсом числа α называют такое число α из промежутка [-π/2;π/2], тангенс которого равен α.

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента Функция тангенс непрерывная и строго возрастающая на интервале(-π/2;π/2); следовательно, она имеет обратную функцию , которая непрерывна и строго возрастает. Функция , обратная для функции у= tg⁡(x), где х∈(-π/2;π/2); называется арктангенсом и обозначается  y=arctg(x),где х∈R. Итак, согласно определению обратной  функции , областью определения арктангенса является интервал(-∞;+∞), а множеством значений  — интервал  (-π/2;π/2).

  • Отметим , что график функции y=arctg(x),где х∈R, симметричен графику функции у= tg⁡x, где х ∈ (-π/2;π/2), относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.
  • Область значения функции y=arctg(x).
  • Пример№5?
  • Найти arctg((√3)/3).
  • Найти arctg(-1)?
  • Функция y=arcctg(x)
  • График функции
  • Область значения функции y=arcctg(x).
  • Найти arcctg((√3)/3)?
  • Найти arcctg(-(√3)/3)?
  • Чефранов Андрей Игоревич
  • Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

Так как область значений arctg(x) х ∈(-π/2;π/2), то подходит только значение π/6 .Следовательноarctg((√3)/3) =π/6. Пример№6. Так как область значений arctg(x) х ∈(-π/2;π/2), то подходит только значение -π/4 .Следовательноarctg(-1) = — π/4. Арккотангенсом числа α называют такое число α из промежутка (0;π), котангенс которого равен α. На интервале   (0;π),функция котангенс строго убывает; кроме того,она непрерывна в каждой точке этого интервала; следовательно, на интервале    (0;π), эта функция имеет обратную функцию, которая является строго убывающей и непрерывной. Функция , обратная для функции у=ctg(x), где х ∈(0;π), называется арккотангенсом и обозначается  y=arcctg(x),где х∈R. Итак, согласно определению обратной  функции , областью определения арккотангенса будет R,а множеством значений –интервал (0;π).График функции y=arcctg(x),где х∈R симметричен графику функции y=ctg(x) х∈(0;π),относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей. Пример№7. Так как область значений arcctg(x) х ∈(0;π), то подходит только значение π/3.Следовательно arccos((√3)/3) =π/3. Пример№8. Так как область значений arcctg(x) х∈(0;π), то подходит только значение 2π/3.Следовательноarccos(-(√3)/3) =2π/3.

Источник: http://www.teslalab.ru/articles/algebra/55/

Обратные тригонометрические функции, их графики и формулы

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

Даны определения обратных тригонометрических функций и их графики. А также формулы, связывающие обратные тригонометрические функции, формулы сумм и разностей.

Содержание

Определение обратных тригонометрических функций ⇓Графики обратных тригонометрических функций ⇓Основные формулы ⇓Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции ⇓Формулы суммы и разности ⇓

См. также:

 

Арксинус, арккосинус — свойства, графики, формулы Арктангенс, арккотангенс Синус, косинус Тангенс, котангенс

Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции не однозначны. Так, уравнение   y = sin x,   при заданном   ,   имеет бесконечно много корней. Действительно, в силу периодичности синуса, если x   такой корень, то и   x + 2πn   (где n целое) тоже будет корнем уравнения.

Таким образом, обратные тригонометрические функции многозначны. Чтобы с ними было проще работать, вводят понятие их главных значений. Рассмотрим, например, синус:   y = sin x.   Если ограничить аргумент x интервалом , то на нем функция   y = sin x   монотонно возрастает.

Поэтому она имеет однозначную обратную функцию, которую называют арксинусом:   x = arcsin y.

Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями имеют в виду их главные значения, которые определяются следующими определениями.

Арксинус ( y = arcsin x ) – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ), имеющая область определения и множество значений . Арккосинус ( y = arccos x ) – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ), имеющая область определения и множество значений . Арктангенс ( y = arctg x ) – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ), имеющая область определения и множество значений . Арккотангенс ( y = arcctg x ) – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ), имеющая область определения и множество значений .

Графики обратных тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой   y = x. См. разделы Синус, косинус, Тангенс, котангенс.

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента

y = arcsin x

Обратные тригонометрические функции - Справочник студента y = arccos x Обратные тригонометрические функции - Справочник студента y = arctg x Обратные тригонометрические функции - Справочник студента y = arcctg x

Основные формулы

  • Здесь следует особо обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.
  • arcsin(sin x) = x     при sin(arcsin x) = x arccos(cos x) = x     при cos(arccos x) = x
  • arctg(tg x) = x     при tg(arctg x) = x arcctg(ctg x) = x     при ctg(arcctg x) = x

Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции

См. также:  Вывод формул обратных тригонометрических функций

Формулы суммы и разности

  1.      при или      при и      при и
  2.      при или      при и      при и
  3.      при      при
  4.      при      при
  5.      при      при      при
  6.      при      при      при

Использованная литература: И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Источник: https://1cov-edu.ru/mat_analiz/funktsii/obratnie_trigonometricheskie/

Расчет обратных тригонометрических функций

Здравствуйте, читатели! Знакомимся мы с вами сегодня с обратными тригонометрическими функциями. Мы узнаем, что такое арксинусы, арккосинусы и арктангенсы – арккотангенсы, и научимся решать примеры с их участием.

  • Сначала вспомним определение:
  • Арксинусом числа ,  модуль которого не больше 1, называется такое число из промежутка , синус которого равен .
  • , если ,
  • Также мы можем записать это так: , если , а также справедливо: .
  • Еще нам пригодится такая формула: .
  • Арккосинусом числа ,  модуль которого не больше 1, называется такое число из промежутка , косинус которого равен .
  • , если ,
  • Также мы можем записать это так: , если , аналогично  .
  • Еще нам пригодится такая формула: .
  • Арктангенсом числа называется такое число из промежутка , тангенс которого равен .
  • , если ,
  • Также мы можем записать это так: ,  , аналогично  .
  • Будем пользоваться и такой формулой: .
  • Арккотангенсом числа называется такое число из промежутка , котангенс которого равен .
  • , если ,
  • Также мы можем записать это так: ,  , аналогично  .
  • Будем пользоваться и такой формулой: .
  • Интересно, что .
  • Ну что ж, формул много, давайте попробуем их применять на практике.
  • Вычислить:
  • Задача 1.  , так как
  • Задача 2. 
  • Задача 3.  , так как
  • Задача 4. 
  • Так как , то выражение – это  число, синус которого равен 0,6. Тогда косинус этого числа можно вычислить через основное тригонометрическое тождество:
  • Задача 5. 
  • Задача 6. 
Читайте также:  Власть как признак государства - справочник студента

Задача 7.  . Так как , то . Но , а 6,28 – это .  Тогда . Число меньше 1, и к нему применим формулу :

  1. Задача 8. 
  2. По формуле приведения

Задача 9.  .  Рассуждаем так: – это такое число, синус которого равен . Тогда  по основному тригонометрическому тождеству косинус этолго числа: . Тогда тангенс этого числа – отношение синуса к косинусу:

  • Задача 10. 
  • Применим формулу косинуса суммы:
  • Сначала отдельно рассчитаем значения выражений и :
  • – если синус угла равен , то косинус найдем через основное тригонометрическое тождество:
  • Аналогично : если синус числа равен 1/3, то косинус его равен .
  • Тогда получим:
  • Имеет ли смысл выражение:
  • Задача 11. 
  • Так как , то выражение имеет смысл.

Задача 12.  – выражение смысла не имеет.

  1. Решить уравнение:
  2. Задача 13. 
  3. Применим такой прием:
  4. Тогда
  5. Задача 14. 
  6. И снова тот же прием:
  7. Доказать тождество:
  8. Задача 15.
  9. Сначала избавимся от отрицательного числа под знаком арккосинуса:
  10. Теперь применим уже знакомый прием, определим косинус правой и левой частей:
  11. Раскрываем по формуле «косинус суммы»:
  12. Теперь определим :
  13. Нам нужно определить косинус такого угла, синус которого равен , воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
  14. Определим  :
  15. Нам нужно определить синус такого угла, косинус которого равен , воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
  16. Вернемся к примеру:
  17. Тождество доказано.
  18. Задача 16.
  19. Снова видим отрицательные числа под знаками арккосинусов, избавимся от них:
  20. Поменяем знаки:
  21. Применим операцию взятия косинуса от правой и левой частей:
  22. Применяем формулу косинуса разности:
  23. Определим :
  24. Нам нужно определить синус такого угла, косинус которого равен , воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
  25. Определим
  26. Нам нужно определить синус такого угла, косинус которого равен , воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
  27. Возвращаемся к примеру:
  28. Тождество доказано.
  29. Вычислить:
  30. Задача 17.
  31. По формулам приведения
  32. Задача 18. 
  33. Применим формулу косинуса суммы:
  34. Сначала отдельно рассчитаем значения выражений и :
  35. – если синус угла равен 3/5, то косинус найдем через основное тригонометрическое тождество:
  36. Аналогично : если синус числа равен 3/5, то косинус его 4/5 (определяем через основное тригонометрическое тождество).
  37. Тогда получим:

Источник: https://easy-physic.ru/raschet-obratny-h-trigonometricheskih-funktsij/

Сборник заданий по теме:"Обратные тригонометрические функции"

Введение

В данной работе содержится практический материал по одному из разделов тригонометрии «Обратные тригонометрические функции».

Практический материал подразделяется на примеры с подробными решениями по всем разделам, на подборку примеров для самостоятельного решения с последующими ми и решениями ( алгебраический тренажер) и в заключении дается пробный тест, состоящий из 17 заданий уровня А,В и С.

Данная работа помогает решить проблему в преподавании, обучении и качественном усвоении знаний по наиболее сложной теме раздела «Тригонометрия».

Основная идея этой работы – создать такой обучающий модуль, чтобы в нем были собраны все практические задания с решениями по данной теме, необходимый набор примеров для закрепления каждого раздела

  • Данный обучающий модуль решает сразу несколько проблем:
  • 1. уменьшает потери времени на поиск и систематизацию практических заданий;
  • 2. подробно рассмотрены все шаги решений как простых, так и сложных заданий наиболее часто встречающихся типов;
  • 3. нет необходимости долго искать и подбирать материал для закрепления каждого раздела — он предоставлен в необходимом количестве, с ответами и пояснениями к решениям, а при необходимости его пополнить указаны литературные источники, откуда взяты многие примеры и задачи;

4. есть возможность проверить свои знания по трем уровням сложности и своевременно устранить пробелы в знаниях.

Рекомендации к этой теме будут полезны учителям и учащимся. Изучать их можно не только на уроке, но и на дополнительных занятиях, на факультативах, на спецкурсе по предмету. В данном сборнике собраны разнообразные задания с подробными решениями и ми. Приведен в пример тест, состоящий из заданий группы А,В и С на обратные тригонометрические функции с решениями и ответами.

Задания, содержащие обратные тригонометрические функции.

  1. Найти область определения следующих функций:

  1. Решение.
  2. 1) D (arcsin) = , поэтому -1 х-2 1 1 х 3.
  3. D (y) = .
  4. 2) D (arccos) = и значит
  5. -1 1 -4 1-2х 4 -5 -2х 3
  6. -1,5 х 2,5.
  7. D (y) = .
  8. 3) Аналогично
  9. -1 1 -2 х-3 2, 1 х 5.
  10. D (y) = .
  11. Ответ :
  12. Обратные тригонометрические функции .
  13. ( область определения и множество значений)
  14. 1. Какие значения могут принимать х и у в равенствах:
  15. а) у = arcsin x; б) у = arcos x; в) у = arctg x; г) у = arcctg x
  16. Ответы: (неупорядоченные):
  17. х R, y (0;х [-1;1], у [0;]; x [-1;1], y ; ]; x R, y ; ).

2. Какие из данных равенств верные и какие неверные? Ответ обоснуйте.

  • 1. a) arcsin1 = -; б) arccos = ; в) arctg (-1) = ; г) arcctg (- ) = — д) arcsin ()
  • 2. a) arcsin = ; б) arcos ) = — ; в) arcctg (— г) arcctg = д)arcos( 0) =
  • 3. a) arcsin 0 = ; б) arcos = ; в) arctg(-1) = ; г) arcctg 1 = ; д) arcos (

Ответы: Верными равенствами являются: 1. б); д). 2. в); д). 3. г); д).

3. Имеют ли смысл следующие выражения:

1. arcsin 3,1; arctg 3,1; arcos (- ; arcctg (-; arcos ).

2. arcctg 5,4 ; arcos 5,4 ; arctg (-5); arcsin ; arcsin .

3. arcsin (-2); arctg (-2); arcos ; arcctg ; arcsin .

Ответы: 1. Нет; да; нет; да; нет. 2. Да; нет; да; нет; да. 3. Нет; да; да; да; нет.

  1. 4. Вычислите:
  2. а) arccos — arcsin arctg – arcctg ; в) arcsin + arcsin ; г) arctg — arcctg ; д) arcsin 0 + arcctg 0; е) arcsin (-1) + arccos 1; ж) arccos 1 + arctg 0; з) arccos 0 + arcsin 1; и) arcsin + arccos ) ; к)arcsin (- + arccos ; л) arctg ) + arcctg (-1) ; м) arctg + arcctg (-
  3. н) arcctg (- + arcctg ; о) arcsin 1 – arctg 1.
  4. Ответы: а) ; б) ; в) ; и) ; л) ; м) ; н) .
  5. 5. Найдите область определения функции:

1. а) у = arcsin ; б) y = arcctg ; в) y = arccos ; г) y = arcsin (2x – 3); д) y = arctg ; е) y = .

2. а)y = arctg 2x; б)y = arccos в)y = arcsin ; г) y = arccos (; д) y = ; е) y = .

Ответы: 1. а) [-2;2]; б) [0;д) [-5;2]; е) [-1;1].

2. а) R; б)[-1;1]; в)[-12;5]; г)[0;4]; д)[- е) [0;1].

6. Найдите область значений функции:

1. а) у = 0,5 arcctg x; б) y = + arccos x; в) y = 0,5 — arctg x; г) y = arcsin ; д) y = 4 + arcctg x; е) y = (arcsin ).

2. a) y = 2arcsin x; б) y = + arcctg x; в) y = 0,5 — arccos x; г) y = arctg ; д) y = 6 + arcsin x; е) y = (arctg x.

Ответы (неупорядоченные):

  1. [0;]; [0; ]; [0; ]; [0; ]; []; [-);

(-

7. В каком промежутке расположен угол?

  • 1. а) arcsin ; б) arctg (-8); в) arcctg 2; г) arcsin д) arctg 8; е) arccos 0,69;
  • ж) arcctg (-5); з) arccos ().
  • Ответы: а) (0;); б) в) (0;); г) д) (0;); е) (0;); ж) (з) (
  • 2. Найти значения функций (подробные решения) :

1). Найдите arcsin х, если arcсos х =.

А. . Б. 0,3. В. 0,8. Г. — =.

Решение.

Так как arcsin х + arcсos х =, то arcsin х = — arcсos х, т.е.

arcsin х = — = 0,3.

Ответ: Б.

    1. Найдите х, если arcsin х = .

А. . Б. . В. . Г. .

Решение: arcсos х = — = . Ответ: Г.

    1. Найдите значение выражения

аrcsin — arcсos .

arctg

А. 3,5. Б. -4,5. В. – 5,5. Г. -3,5.

  1. Решение.
  2. аrcsin — arcсos =
  3. arctg
  4. -аrcsin — ( — arcсos ) = = = -5,5.
  5. Ответ: В.

4. Вычислите: сos (аrcsin (-0,6)).

А. -0,36. Б. 0,6. В. -0,8. Г. 0,8.

  • Решение.
  • сos (аrcsin (-0,6)) = сos ( — аrcsin 0,6) = сos (аrcsin 0,6) = 0,8.
  • Обозначим аrcsin 0,6 = а, а . Тогда sin = 0,6, сos= ,
  • сos= = 0,8.
  • Ответ: Г.

5. Вычислите: sin (arcсos (-)).

А. — . Б. . В. — . Г. .

Решение. sin (arcсos (-)) = sin ( — arcсos ) = sin (arcсos).

  1. Обозначим sin b = = = .
  2. Ответ: Б.
  3. Следующие задания можно применить для самостоятельной работы.
  4. Вычислите значения выражений.
  5. I Вычислите:
  6. Вариант 1
  7. а) sin arccos ; б) ctg arcctg (-1); в) tg arctg (-1); г) cos arccos (; д) sin arcctg
  8. е) ctg arcctg 1; ж) tg arcsin з) sin arcsin a.
  9. Вариант 2
  1. сos arccos ; б) ctg arcctg ; в) ctg arcsin 1; г) cos arcctg (-1); д) tg arctg ;

е) tg arcsin ; ж) sin arcsin ; з) ctg arcctg a.

Ответы: 1. А) ; б) ; в) -1; г) ; д) ; е) 1; ж) 1; з) а.

  1. а) ; б) ; в) 0; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) а.

  • II Вычислите:
  • Вариант 1
  • а) arccos cos ; б) arctg tg ; в) arcctg ctg ; г) arccos cos ; д) arcctg tg ;
  • е) arcsin sin ; ж) arctg (2sin); з) arcsin tg .
  • Вариант 2
  • А) arcctg ctg ; б) arcsin sin ; в) arccos cos ; г) arcctg ctg ; д) arcsin sin ;
  • е) arcctg ctg ; ж) arcsin (0,5arctg ); з) arctg sin

Ответы: 1. А) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .

2. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .

  1. III Вычислите:
  2. Вариант 1
  3. А) sin arccos ; б) ctg arctg ; в) sin arctg ; г) ctg arccos 0,6; д) cos arctg ;
  4. е) tg arccos ; ж) cos arcsin ; з) tg arcctg .
  5. Вариант 2
  6. А) cos arcsin ; б) tg arcctg ; в) sin arcctg ; г) sin arctg ; д) cos arctg ;
  7. е) cos arcctg ; ж) sin arccos ; з) ctg arctg (-2,4).
  8. Ответы:

Вариант 1. а) 0,6; б) ; в) 0,96; г) 0,75; д) ; е) 2,4; ж) ; з) .

Вариант 2. а) ; б) ; в) ; г) 0,8; д) 0,8; е) 0,28; ж) ; з) .

Упражнения – тренажер

(примеры решаются с помощью формул или вспомогательного треугольника)

1. Вычислите: sin.

  • Решение.
  • Обозначим: α =, β= .
  • sin(α+ β)=sin α cos β+ cos α sin β.
  • а) cos α =,
  • sin α = ? 17 15

sin α=. α II ч . 8

б) tg β = ,

sin β – ?, cos β – ?

  1. sin β = , cos β = .
  2. sin(α+ β)= .
  3. Ответ: .

2. Вычислитесуммуarctg2 + arctg3.

  • Решение.
  • Найдем tg (arctg 2 + arctg 3).
  • Обозначим: α = arctg 2, β = arctg 3.
  • tg(α+β)= .
  • tg α = 2 , tg β =3
  • tg (α+β) =.
  • В этом промежутке есть единственный угол, тангенс которого равен -1.
  • Это угол .
  • Ответ: .

3. Вычислите при x > 1.

  1. 2arctgx + arcsin.
  2. Решение.
  3. tg .
  4. Обозначим α = arctg x, β = arcsin
  5. tg (2α + β) =. 2х
  6. tg 2α — ?
  7. tg2α =, tg2α =.

2. sinβ= .

  • .
  • tg β= .
  • tg(2α + β)=
  • tg (2α + β)=0,
  • При n=0 2α+ β=0,
  • При n=1 2α+ β= π,
  • При n=0 2 α+ β=2 π,

Итак, 2 α+ β= π. Ответ: π.

  1. Вычислите: arctg 13 + arctg15 + arctg17 + arctg18.

  1. Решение. Обозначим α = arctg1/3, β = arctg 1/5 , γ = arctg1/7, δ = arctg 1/8,
  2. Α € (0; Π4 ), β€ (0;Π4) , γ € (0;Π4), δ €(0; Π4).
  3. Можно по-разному решать, но удобнее вычислить так:
  4. tg(α+β)= 1/3+1/5 = 8/15 = 8/15 = 4/7,
  5. 1-1/3*1/5 1-1/15 14/15
  6. α+β= arctg 4/7, 0< α+β< π2;
  7. tg(γ+δ) = 1/7+1/8 = 15/56 = 15 = 3/11,
  8. 1-1/7*1/8 55/56 55
  9. γ+δ= arctg 3/11, 0< γ+δ< π2;

Источник: https://infourok.ru/sbornik-zadaniy-po-temeobratnie-trigonometricheskie-funkcii-1580053.html

Ссылка на основную публикацию