Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения — справочник студента

  • Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Альметьевский профессиональный колледж»
  • Проектно-исследовательская работа по теме
  • «Объем тел вращения»
  • Работу выполнили: студенты 2 курса

13.02.11«Техническая эксплуатация и

  1. обслуживание электрического и
  2. электромеханического оборудования»
  3. Русяев Александр Иванович
  4. Шарифуллин Ислам Ильдарович
  5. Руководитель: Галиуллина Галия Науфаловна

г. Альметьевск, 2019 г.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Паспорт проектной работы

Название проекта Объем тела вращения
Авторы проекта Александр Русяев, Ислам Шарифуллин
Научный руководитель проекта Галия Науфаловна Галиуллина
Аннотация к проекту Вопросы, связанные с решением задач на нахождение объема геометрического тела, актуальны для каждого так, как они встречаются не только на уроках математики, но и на практике. В работе сведены в одно целое (в таблицу) все формулы для вычисления объемов и площадей поверхности тел вращения и так же и их свойства. Хорошим дополнением работы является исследовательская часть, в которой представлена история объемов тел и история вычисления объемов. Материал может быть полезен в качестве дополнительного материала для самих студентов
Цель Познакомиться с понятием «тела вращения», дать подробную характеристику их свойствам
Задача
  • Изучить историю объемов тел.
  • Проанализировав и сравнив предметы в жилище, транспорте, найти тела вращения в окружающем нас мире
  • Заполнить таблицу формул
  • Научиться рассчитывать объемы тел вращения
Продукт проекта буклет

Содержание

  1. Введение

  2. История изучения объемов тел

  3. История измерения объемов тел

  4. Объем тел вращения

  1. Цилиндр

  2. Конус

  3. Шар и сфера

Для людей всегда важную роль играет форма окружающих предметов. По форме и цвету отличают съедобные грибы от несъедобных, пригодные для построек породы деревьев от тех, которые годятся лишь на дрова, вкусные орехи от горьких и т.д.

Люди, добывая соль, наблюдая за снежинками, наталкиваются на кристаллы, имеющие геометрические формы. Так, овладевая окружающим их миром, люди знакомились с простейшими геометрическими телами. Среди них есть и тела вращения.

Действительно, вокруг нас все предметы напоминают различные геометрические фигуры.

В нашем доме холодильник, микроволновая печь, газовая плита, кухонный шкаф, стиральная машина имеют форму прямоугольного параллелепипеда, на полках нашего холодильника стоят банка сгущенки, банка молока, консервы, кусок колбасы, они имеют форму цилиндра. Обычная горошина, капельки росы имеют форму шара.

Для чего нужны тела вращения? Что такое объем тела вращения? Как вычислить объемы цилиндра, конуса, шара? Вопросы, связанные с решением задач на нахождение объема геометрического тела, актуальны для каждого так, как они встречаются не только на уроках математики, но и на практике.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Дисперсия и ее свойства - справочник студента

Оценим за полчаса!
  1. История изучения объемов тел

Начало геометрии было положено в древности при решении чисто практических задач.

Со временем, когда накопилось большое количество геометрических фактов, у людей появилось потребность обобщения, уяснения зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств. Постепенно создавалась геометрическая наука. Примерно в VI — V вв.

до н. э. в Древней Греции в геометрии начался новый этап развития, что объясняется высоким уровнем, которого достигла общественно-политическая и культурная жизнь в греческих государствах.

В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для определения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды.

Определять объем призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки и до Архимеда. И только он нашел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления.

Сам Архимед определил с помощью своего метода площади и объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. Он вывел, что объем шара, составляет две трети от объема описанного около него цилиндра. Он считал это открытие самым большим своим достижением.

Среди замечательных греческих ученых V — IV вв. до н.э., которые разрабатывали теорию объемов, были Демокрит и Евдокс Книдский.

Объем — это вместимость геометрического тела, т. е. части пространства, ограниченной одной или несколькими замкнутыми поверхностями. Вместимость или емкость выражается числом заключающихся в объеме кубических единиц. Процедура измерения объемов аналогична процедуре измерения площадей.

При выбранной единице измерения объем каждого тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объемов и частей единицы содержится в данном теле. Ясно, что число, выражающее объем тела, зависит от выбора единицы измерения объемов, и поэтому единица измерения объемов указывается после этого числа.

Например, если в качестве единицы измерения объемов взят 1см3 и при этом объем V некоторого тела оказался равным 2, то пишут

V = 2 см3.

  1. История измерения объемов тел

В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид. В III Тысячелетии до н.э. египтяне сооружали ступенчатые пирамиды, сложенные из каменных блоков; позже египетские пирамиды приобрели геометрически правильную форму, например пирамида Хеопса, высота которой достигает почти 147м, и др. Внутри пирамид находились погребальные склепы и коридоры.

Согласно Архимеду, еще в V до н.э. Демокрит из Абдеры установил, что объем пирамиды равен одной трети объема призмы с тем же основанием и той же высотой. Полное доказательство этой теоремы дал Евдокс Книдский в IV до н.э.

Объемы зерновых амбаров и других сооружений в виде кубов, призм и цилиндров египтяне и вавилоняне, китайцы и индийцы вычисляли путем умножения площади основания на высоту.

Однако древнему Востоку были известны в основном только отдельные правила, найденные опытным путем, которыми пользовались для нахождения объемов для площадей фигур.

В более позднее время, когда геометрия сформировалась как наука, был найден общий подход к вычислению объемов многогранников.

Евклид не применяет термина “объем”. Для него термин “куб”, например, означает, и объем куба. В ХI книге “Начал” изложены среди других и теоремы следующего содержания.

  1. Параллелепипеды с одинаковыми высотами и равновеликими основаниями равновелики.
  2. Отношение объемов двух параллелепипедов с равными высотами равно отношению площадей их оснований.
  3. В равновеликих параллелепипедах площади оснований обратно пропорциональны высотам.

Теоремы Евклида относятся только к сравнению объемов, так как непосредственное вычисление объемов тел. Евклид, вероятно, считал делом практических руководств по геометрии. В произведениях прикладного характера Герона Александрийского имеются правила для вычислений объема куба, призмы, параллелепипеда и других пространственных фигур.

В памятниках вавилонской и древнеегипетской архитектуры встречаются такие геометрические фигуры, как куб, параллелепипед, призма. Важнейшей задачей египетской и вавилонской геометрии было определение объема различных пространственных фигур. Эта задача отвечала необходимости строить дома, дворцы, храмы и другие сооружения.

Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента

Ее легко «перекроить» в прямоугольный параллелепипед

Объем V, площадь основания S и высота H параллелепипеда будут такими же, как у призмы. Следовательно, объем прямой треугольной призмы вычисляется по формуле: V = S H. Поскольку любую прямую призму можно разрезать на треугольные (рис.в), для нее справедлива та же формула.

Интересный исторический факт про цилиндр. Джон Гетерингтон гулял вчера по тротуару набережной, имея на голове громадную трубу, сделанную из шелка, отличавшуюся странным блеском. Действие ее на прохожих было ужасным.

Многие женщины при виде этого странного предмета лишались чувств, дети кричали, а один молодой человек, возвращающийся как раз от мыловара, у которого он сделал несколько покупок, был сбит в давке с ног и сломал руку.

По этому случаю господину Гетерингтону пришлось вчера отвечать перед лорд-мэром, куда он был приведен отрядом вооруженной полиции.

Арестованный объявил, что он считает себя вправе показывать своим лондонским покупателям новейшее свое изобретение, с каковым мнением лорд-мэр, однако, не согласился, присудив изобретателя блестящей трубы к уплате штрафа в 500 фунтов стерлингов.

  • ЦИЛИНДР – геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её
  • Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента
  • Цилиндр Осевое сечение цилиндра Сечение цилиндра плоскостью,
  • перпендикулярной
  • к оси

Интересный исторический факт про конус. Есть много интересных фактов о конусе. Во многих религиях и учениях, конус имеет культовое значение. Имеется множество обрядов, в которых затрагивается магические свойства конуса, например, у ведьм и колдуний имеется ритуал — «конус силы».

КОНУС — тело в евклидовом пространстве, полученное объединениемвсех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность

Развертка и площадь поверхности конуса — если боковую поверхность конуса разрезать по какой-нибудь образующей и развернуть ее на плоскости, то получится развертка боковой поверхности конуса 

Сечения конуса плоскостью — конус и плоскость могут иметь в пересечении часть конуса. В этом случае мы получаем различные сечения. Пусть плоскость сечения проходит через две образующие конуса.

  1. Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента
  2. Конус Развертка прямого конуса
  3. Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента
  4. Осевое сечение конуса Сечение конуса плоскостью, перпендикулярной
  5. к оси

Интересный исторический факт про шар. Аристотель считал, что шарообразная форма, как наиболее совершенная, свойственна Солнцу, Земле, Луне и всем мировым телам. Так же он полагал, что Земля окружена рядом концентрических сфер.

  • СФЕРА — поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.
  • Сечение — всякое сечение шараплоскостью есть круг, асферу плоскостьпересекает поокружности.
  • Чем дальше проходит секущая плоскость от центра сферы, тем меньше радиус сечения.
  • ШАР- геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного.
  • Шар Сечение шара плоскостью

Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента

Таблица формул вычисления объемов тел

Геометрическое тело Избражение Формула вычисления объема
цилиндр V=π·r²·h
конус V= SОСН*h
шар V= πR3

Исследование на тему «Как помогают экономить тела вращения?»

Задачи:

1. Доказать, что при равных объёмах площадь сферической поверхности меньше площади цилиндрической поверхности.

2. Найти применение полученным расчётам.

3. Объяснить шарообразную форму природных объектов.

Гипотеза. Природа экономит за счёт сферы.

  1. Ход исследования.
  2. Сначала обратим внимание на предметы сферической формы.
  3. Это планеты, спутники, лампы, чайники, самовары, капли воды, камни и другие.

Задача. Два самовара вмещают одинаковое количество стаканов. Один имеет форму шарообразную, а другой цилиндрическую. Определим, какой из них экономичней.

  • или
  • План исследования:
  • 1. объёмы цилиндра и шара равны Vцил = Vш, пусть rцил=hцил
  • 2. Объём цилиндра и шара рассчитать по формулам
  • Vцил =πr²h,
  • V= πr³
  • 3. Приравнять значения объёма цилиндра и шара
  • 4/3πR³= πr³,4/3R³=r³,4R³=3r³;

4. Выразим Rш через rцил; R³=3/4 r³.

  1. 5. Сравнить радиусы цилиндра и шара Rш rцил
  2. 6. Рассчитать площадь шара по формуле
  3. Sш= 4 πR²; площадь цилиндра по формуле Sцил = 4πr²
  4. 7. Сравнить площади шара и цилиндра Sш Sцил
  5. При равном V, SшSцил , следовательно шарообразный самовар экономичнее цилиндрического.
  6. Результат: При равном V, Sш Sцил, следовательно шарообразный самовар экономичнее цилиндрического, так как остывает медленнее.

Вывод: В результате исследования было подтверждено, что тела, имеющие сферическую поверхность экономнее, т.е. занимают меньшую площадь. Этим объясняется изобилие предметов, имеющих шарообразную форму.

В процессе проведения данной проектной работы увидели, сколько самых разнообразных геометрических фигур, тел и поверхностей использует человек в своей повседневной жизни, в своей деятельности.

 Вокруг нас находится большое количество предметов, имеющих форму геометрических фигур. При исследовании по данной теме мы добились поставленных целей: не много узнали о истории геометрии, изучили геометрические фигуры вокруг нас.

Невозможно представить современную жизнь без геометрических фигур, мы живем среди них, они нам нужны.

Объем тела вращения — объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Тела вращения нам в жизни нужны, так как красота и духовность в сочетании с целесообразностью рождает гармонию. А еще мы должны уметь рассчитывать какое количество материала нужно приобрести для изготовления предмета, имеющего форму тел вращения.

Например, цилиндр — предметы имеющие эту форму встречаются в быту, в технике и в строительстве.

VI. Литература

  1. История математики. Т. 1 /Ппод ред. Юшкевича А.Г. — М., 1970

  2. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. — М: Аванта плюс, 2002.

  3. Энциклопедия для детей. Я познаю мир. Математика. — М: Издательство АСТ, 1999.

  4. Ворошилов А. В. Математика и искусство. — М. просвещение, 1992. — 352

  5. Рыбников К. А. История математики: Учебник. — М.: Изд-во МГУ, 1994. — 495 с

  6. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. — М.: Аванта +, 1999.

  7. http://nsportal.ru/detskii-sad/raznoe/skazka-o-geometricheskikh-figurakh

  8. http://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/blog/geometriya-v-nashei-zhizni

  9. http://psiholog1.com/testydlyavseh/test-risunok-chelovechka-in-geometricheskix-figur. html

  10. Энциклопедический словарь юного натуралиста/ сост. А.Г Рогожкин. — М. : Педагогика, 1981.

  11. Энциклопедия для детей. Математика. — М. : Аванта +, 2003. 11

  12. http://ilib.mccme.ru/djvu/geometry/geom_rapsodiya.html — Левитин К.Ф.

  13. https://infourok.ru/voprosi-po-matematike-po-teme-tela-vrascheniya-1513831.html

Источник: https://multiurok.ru/files/proektno-issledovatelskaia-rabota-po-teme-obem-tel.html

Тела и поверхности вращения. Подробная теория

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Что такое тела и поверхности вращения?

Тело вращения – это тело в пространстве, которое возникает при вращении какой-нибудь плоской фигуры вокруг какой-нибудь оси.
  • Вот самый простой пример: цилиндр.
  • Берем прямоугольник и начинаем вращать его вокруг одной из сторон.
  • Смотри
  • Было Вращаем Стало
Читайте также:  Системы с переменным числом частиц - справочник студента

Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента

А теперь гораздо хитрее. Бывает так, что ось вращения находится далеко от фигуры, которая вращается.

Например, так

Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента

Вращаем

Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента

Что получится? Бублик. А по научному ТОР.

Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента

Ну и так вот можно любую фигуру вертеть вокруг любой оси, и будут получаться разные более или менее сложные тела вращения.

Ну, а поверхность вращения – это просто граница тела вращения. Ведь поверхность это всегда граница тела.

Здесь мы рассмотрим подробно несколько тел вращения. Те, которые встречаются в школьных задачах. Это шар, цилиндр и конус.

Шар

Шар – тело вращения, полученное вращением полуокружности вокруг диаметра.

Было Вращаем Стало

Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента

Вообще-то есть и другое определение шара – через ГМТ (геометрическое место точек)

Шар – геометрическое место точек, удаленных от одной фиксированной точки на расстояние, не более заданного.
  1. Скажу тебе по секрету, что хоть второе определение и пугающее на вид, оно удобнее в обращении. Задумайся, ведь если тебя попросят сказать, что такое шар, ты скажешь что-то вроде
  2. «ну …там есть центр и радиус…, подразумевая, что все точки внутри шара находятся я на расстоянии не большем, чем радиус.
  3. Ну, в общем, шар он и есть шар.
  4. Названия, которые ты должен знать:
  5. Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студентаОбъем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента
  6. Незнакомое тебе, наверное, только одно.
Диаметральное сечение шара – сечение, проходящее через центр. Это сечение иногда еще называют большим кругом.

А вообще:

  • Любое сечение шара – круг.
  • Граница шара называется сфера. (Так же, как граница круга – окружность.)

Площадь поверхности сферы

Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента   — радиус

Откуда взялось? Умные математики придумали – это не так уж просто – придется просто запомнить.

Объём шара

Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента   — радиус

Это еще одна хитрая формула, которую придется запомнить, не понимая, откуда она взялась.

Если ты знаком с производной, то можешь заметить это

И это не случайно! Но почему это так вышло, мы тоже здесь обсуждать не будем – читай теорию для сильного уровня.

Цилиндр

Цилиндр – тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из сторон.

Вообще – то полное имя этого тела «прямой круговой цилиндр», но составители задач и мы вместе с ними по дружбе называем его просто цилиндром. Названия, относящиеся к цилиндру, такие:

Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента

Основания у цилиндра – это круги

Еще у цилиндра есть так называемая развертка.

Представь, что у нас от цилиндра осталась только боковая поверхность, и мы ее разрезали вдоль образующей и развернули.

Что получится? Представь себе, прямоугольник.

Развертка цилиндра – прямоугольник.

Площадь поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности

  — радиус   — высота, она же образующая.

Откуда взялась эта формула? Это как раз легко! Именно потому, что цилиндр можно развернуть, и получится прямоугольник  .

Площадь этого прямоугольника и есть площадь боковой поверхности цилиндра. Площадь прямоугольника, как мы хорошо помним равна произведению сторон, поэтому

Площадь полной поверхности цилиндра

Прибавляем теперь площадь двух кругов – оснований и получаем

  • Можно вынести (хотя и не обязательно)  :
  • Но эту формулу неудобно запоминать!
  • Гораздо проще запомнить, что полная поверхность – сумма боковой поверхности и еще двух кругов – оснований, а боковая поверхность – прямоугольник. И тогда   можно вообще не запоминать, ты всегда сам напишешь, что

Объём цилиндра

  — радиус основания   — высота

Это точно как у призмы и параллелепипеда

 , только у призмы и параллелепипеда   — это площадь многоугольника, а у цилиндра   — это площадь круга.

Конус

Конус – тело вращения, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.
  1. Было Вращаем Стало
  2. И опять же, полное название этого тела: «прямой круговой конус», но во всех задачах у нас говорится просто «конус».

  3. Названия, относящиеся к конусу:
  4. Что тут нужно твердо помнить?
  • Основание корпуса – круг
  • Все образующие конуса – равны.

Ясно ли это? Вроде должно быть ясно, ведь образующая – это гипотенуза (одна и та же!) Треугольника, который вращаем, а радиус основания – катет.

У конуса тоже есть развертка.

Снова представим, что основания нет, разрежем боковую поверхность вдоль образующей и развернём кулек. Что получится?

Представь себе сектор круга. Пусть длина образующей равна  .

Развертка конуса – сектор круга радиуса  

Площадь поверхности конуса:

Как найти площадь боковой поверхности корпуса? Вспомним о развертке, Ведь для цилиндра все было просто именно с помощью развертки.

По формуле площади сектора   Где   — угол при вершине в радианах.

И это уже формула. В некоторых задачах бывает дан именно угол при вершине в развертке конуса. Но если все же даны только образующая и радиус основания? Как быть?

Нужно осознать, что же такое дуга в развертке? Это бывшая окружность основания! Поэтому длина этой дуги равна  .

  • С другой стороны, длина этой же дуги равна  , так как это дуга окружности радиуса  . Поэтому
  • Подставляем
  • Итак,
  •  , где
  •   — радиус окружности основания,
  •   — длина образующей
  • Ну, и осталось площадь полной поверхности конуса. Прибавим к боковой поверхности площадь круга основания, и получаем
Можно вынести  :

Но, как и для цилиндра, не надо запоминать вторую формулу, гораздо проще всегда пользоваться первой.

Объём конуса

  — радиус основания   — высота
  1. Это так же, как у пирамиды
  2.  , только
  3.   — это не площадь многоугольника, а площадь круга.

А вот откуда взялась  ?, по-прежнему остается загадкой, потому что эта   получена в результате довольно хитрых рассуждений умных математиков. А тебе нужно очень твердо запомнить, что в формулах объёма «треугольных» фигур: конуса и пирамиды эта   и есть, а в формулах параллелепипеда, призмы и цилиндра ее нет!

Тела и поверхности вращения. коротко о главном

Тело вращения – это тело в пространстве, которое возникает при вращении какой-нибудь плоской фигуры вокруг какой-нибудь оси.
  • Например:
  • Было Вращаем Стало
Поверхность вращения – это граница тела вращения.

В подробной теории, мы рассмотрим несколько тел вращения. Те, которые встречаются в школьных задачах. Это шар, цилиндр и конус.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

  1. Стать учеником YouClever,
  2. Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 
  3. А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

Источник: https://youclever.org/book/tela-i-poverhnosti-vrashheniya-2

Тела и поверхности вращения — урок. Геометрия, 9 класс

Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента

Цилиндр можно получить вращением прямоугольника AA1O1O вокруг одной из его сторон OO1 или прямоугольника AA1B1B вокруг прямой OO1, которая проходит через серединные точки противолежащих сторон.

Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента

  • Прямая OO1 называется осью цилиндра, AA1 и BB1 — образующими.
  • Высота (H) цилиндра совпадает с любым из отрезков OO1 (=) AA1 (=) BB1.
  • Два круга, которые образовались при вращении, называют основаниями цилиндра.

Радиусом (R) (=) (OA) (=) (OB) цилиндра называется радиус его основания.

Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевым сечением цилиндра (прямого кругового цилиндра) является прямоугольник, на данном рисунке — прямоугольник AA1B1B.

Развёртка боковой поверхности цилиндра — тоже прямоугольник.

Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента

Боковая поверхность прямого кругового цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту:Sбок.=2πRH.

Полная поверхность цилиндра вычисляется по формуле:S=Sбок.+2Sосн.=2πRH+2πR2.

Для объёма прямого кругового цилиндра верно:V=πR2H.

Конус можно получить вращением прямоугольного треугольника (POA) вокруг одного из его катетов (PO) или равнобедренного треугольника (APB) вокруг прямой (PO), проходящей через вершину (P) и середину (O) основания треугольника.

Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента

  1. Осью прямого кругового конуса называется прямая (PO), содержащая его высоту (H).
  2. Осевое сечение конуса, проходящее через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны (PA) и (PB) являются образующими (l) конуса.
  3. Радиус конуса (R) (=) (OA) (=) (OB) — это радиус основания.
  4. Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор.

Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента

Радиус этого сектора равен образующей конуса, то есть равен (l), а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, то есть равна (2πr).

Площадь боковой поверхности конуса определяется как площадь данного кругового сектора:

Sбок.=πl2⋅α°360°.

Если рассмотреть длину окружности основания конуса как длину дуги кругового сектора, получаем:

2πR=2πl⋅α°360°;2πR=πl⋅α°180°;α°=2πR⋅180°πl=R⋅360°l;Sбок.=πl2⋅α°360°=πl2⋅R⋅360°360°⋅l=πRl.

Sбок.=πRl — ещё одна формула для определения боковой поверхности конуса.

Полная поверхность конуса:

S=Sбок.+Sосн.=πRl+πR2.

Объём конуса находим по формуле:

V=13πR2H.

Шар и поверхность шара — сфера

Сфера получается при вращении полукруга или круга вокруг его диаметра (AB) как оси.

Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента

  • Граница шара называется шаровой поверхностью, или сферой.
  • Таким образом, точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра (O) на расстояние, равное радиусу (R).
  • Любой отрезок, такой как (OA), (OB) и (OC) или другие, соединяющие центр шара с точкой шаровой поверхности, также называется радиусом.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром, как (AB) на рисунке. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

  1. Сечение шара плоскостью, проходящей через его центр, называется большим кругом, а сечение сферы — большой окружностью.
  2. Поверхность сферы:
  3. S=4πR2.
  4. Объём шара:
  5. V=43πR3.

Источник: https://www.yaklass.ru/p/geometria/9-klass/nachalnye-svedeniia-o-stereometrii-13313/tela-i-poverkhnosti-vrashcheniia-13315/re-f78fa3ef-0945-4686-b080-5f4e17baf76e

Тела вращения

Тела вращения – это объемные тела, которые возникают при вращении некой плоской фигуры, которая, в свою очередь, ограничена кривой и крутится вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Какие же основные тела вращения существуют?

  1. Шар. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения полукруга вокруг диаметра разреза.
  2. Цилиндр. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.
  3. Конус. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов.
  4. Тор. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения окружности вокруг прямой, при этом окружность прямую не пересекает.

Стоит отметить такой интересный факт, что если вращаются контуры фигур, то у нас возникает поверхность вращения. Пример – сфера, которая образовывается в результате вращения окружности. Если же вращаются заполненные контуры, то у нас возникают тела. например, шар, который образовывается в результате вращения круга 9а круг. как всем известно, тело заполненное).

Тела вращения, разумеется, имеют свой объем и свою площадь. И то и другое, можно узнать с помощью теорем Гульдина-Паппа.

Первая теорема гласит о том, что площадь поверхности линии, которая образуется при вращении и лежит целиком в плоскости по одну сторону от оси вращения, равняется произведению длины линии на длину окружности, пробегаемой центром масс этой линии.

Вторая теорема говорит о том, что объем тела, который образуется при вращении фигуры и лежит целиком в плоскости по одну сторону от оси вращения, равняется произведению площади фигуры на длину окружности, пробегаемой центром масс этой фигуры.

Цилиндр
Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента     
Конус
Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента     
Усеченный конус
Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента     
S  полн = S  бок + π(R + r )
Шар
Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента     
Шаровой сектор
Шаровой сегмент
S  бок = 2πRh = π(a + h )
S  полн = π(2Rh + a ) = π(h + 2a )
Шаровой пояс(слой)
Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента     
V = 16 πh + 12 π(a 21 + a 22 )h

Источник: http://mateshka.ru/matematika/tela-vrasheniya.html

Тела вращения /qualihelpy

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Телом вращения называют пространственную фигуру, полученную в результате вращения некоторой плоской фигуры вокруг оси. Среди всех тел вращения выделяют цилиндр, конус и шар. 

  • Цилиндром называют фигуру, полученную в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон (оси цилиндра). 
  • Образующей цилиндра называют отрезок, соединяющий точки окружностей оснований цилиндра, и перпендикулярный диаметрам его оснований. 
  • Высотой цилиндра называют перпендикуляр, заключенный между основаниями цилиндра.

На рисунке 9.66 прямая   – ось вращения;   – высота,  – образующая цилиндра, полученного вращением прямоугольника  вокруг стороны  . Основание цилиндра – круг радиуса  . Прямоугольник  – осевое сечение цилиндра.Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента Объем цилиндра высоты  находят по формуле: . (9.15)Площадь основания цилиндра ( – радиус основания) находят по формуле: . (9.16)

Площадь поверхности цилиндра находят по формуле:

 . (9.17)

Площадь боковой поверхности цилиндра находят по формуле:

 , (9.18)где  – радиус основания,  – высота,  – образующая цилиндра.

  1. Конусом называют фигуру, полученную в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов (оси конуса). 
  2. Образующей конуса называют отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой окружности основания конуса. 
  3. Высотой конуса называют перпендикуляр, соединяющий вершину конуса с центром его основания. 

На рисунке 9.67 прямая   – ось вращения;   – высота конуса,  – образующая конуса,   – осевое сечение конуса, полученного вращением прямоугольного треугольника  вокруг катета  .

Усеченным конусом называют часть конуса, ограниченную его основанием и сечением, параллельным плоскости основания. 

На рисунке 9.68 изображен усеченный конус.

Объем конусавысоты  находят по формуле: . (9.19)Площадь основания конуса ( – радиус основания) находят по формуле:. (9.20)

Площадь поверхности конуса находят по формуле:

 . (9.21)

Площадь боковой поверхности конуса находят по формуле:

 , (9.22)где  – радиус основания,  – образующая конуса.

Объем усеченного конуса находят по формуле:

 , (9.23)где  и  – радиусы оснований,  – высота.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса находят по формуле:

 , (9.24)где  и   – радиусы оснований,   – высота,   – образующая усеченного конуса.

Сферой называют фигуру, полученную в результате вращения полуокружности вокруг ее диаметра (рис. 9.69). 

  • Шаром называют фигуру, полученную вращением полукруга вокруг его диаметра. 
  • Сечение сферы плоскостью – окружность. 
  • Сечение шара плоскостью – круг. 

Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называют большим кругом (на рисунке 9.69 круг с центром в точке  и радиусом  ). Касательной плоскостью к сфере (шару) называется плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку (на рисунке 9.69 плоскость ). Эту точку называют точкой касания сферы и плоскости (на рисунке 9.69 точка  ). 

Касательная плоскость перпендикулярна радиусу сферы в точке касания

Площадь сферы радиуса  находят по формуле: . (9.25)Объем шара радиуса находят по формуле: . (9.26)

Выпуклый многоугольник вписан в сферу, если все его вершины лежат на поверхности сферы, и описан около сферы, если все его стороны касаются поверхности сферы.

Сферическим (шаровым) сегментом называют часть сферы (шара), отсекаемую плоскостью. 

Высотой  шарового сегмента называют длину отрезка диаметра, перпендикулярного основанию шарового сегмента, расположенного между этим основанием и сферой (на рис. 9.70  ). 

Шаровым сектором называют тело, полученное вращением кругового сектора вокруг одного из ограничивающих круговой сектор радиусов. 

Высотой шарового сектора называют высоту части его сферической поверхности. 

На рисунке 9.70 шаровой сектор получен в результате вращения кругового сектора вокруг радиуса  .

Объем шарового сегмента находят по формуле:

 . (9.27)

Площадь сферической поверхности находят по формуле: 

 , (9.28)где  – радиус шара;  – высота сегмента.

Объем шарового сектора находят по формуле: 

 , (9.29)где  – радиус шара;  – высота сегмента.  Пример 1. Осевое сечение цилиндра – квадрат со стороной  . Найдите объем и площадь поверхности цилиндра. Решение. Так как осевое сечение квадрат (рис. 9.71), то   ,   . По формулам 9.15 и 9.16 найдем объем цилиндра:  . По формулам 9.16 , 9.17 и 9.18 найдем площадь поверхности цилиндра:   .Ответ:   ;   .Пример 2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна  , а объем его равен   . Найдите высоту этого цилиндра.Решение. Площадь боковой поверхности и объем цилиндра найдем по формулам 9.18 и  9.15 , где  – радиус основания,  – высота цилиндра. Тогда согласно условию задачи запишем:   Разделим первое уравнение системы на второе и получим:  ,   ,  . Найдем   из первого уравнения системы:   .Ответ:   . Пример 3. Найдите объем и площадь поверхности конуса, осевым сечением которого является правильный треугольник со стороной   см (рис. 9.72).Решение. Так как  см, а  см, то из теоремы Пифагора:   ,  (см). По формулам 9.19 и 9.20  найдем объем конуса:  ().По формулам 9.20 , 9.21 и 9.22 найдем площадь поверхности конуса:  ().Ответ:    ;    .Пример 4. Радиус основания конуса равен   , а угол при вершине в развертке его боковой поверхности равен   . Определите объем конуса. Решение. Рассмотрим конус радиуса   и развертку его боковой поверхности – круговой сектор радиуса  (рис. 9.73). Найдем длину окружности в основании конуса:   .Найдем длину дуги в развертке боковой поверхности конуса:   .Так как   , то   и   .Из теоремы Пифагора:   ,   .По формулам 9.19 и 9.20 найдем объем конуса:   .Ответ:   .Пример 5. Осевое сечение конуса – равнобокая трапеция с основаниями  и . Образующая конуса равна  . Найдите площадь боковой поверхности и объем конуса. Решение. Имеем усеченный конус (рис. 9.74), радиусы оснований которого соответственно равны  и  . Зная образующую конуса   , найдем его высоту:   ,  . По формуле 9.24 найдем площадь боковой поверхности конуса:   . По формуле 9.23 найдем объем конуса:  .Ответ:  ;   .Пример 6. Периметр правильного шестиугольника, все вершины которого лежат на поверхности шара, равен  . Объем шара равен  . Найдите расстояние от центра шара до плоскости шестиугольника. Решение. Найдем сторону правильного шестиугольника, зная его периметр:   . Так как радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне, то на рисунке 9.75   . Объем шара находят по формуле 9.26 .  Так как   , то   ,   ,   ,   .Из теоремы Пифагора:   ,   . Ответ:   .Пример 7. Сторона квадрата, описанного около шара, равна . Найдите площадь сферической поверхности, отсекаемой плоскостью квадрата от шара, если радиус шара равен  (рис. 9.76).Решение. 1. Найдем диагональ квадрата, зная его сторону:   ,   . Поскольку сечение шара плоскостью – круг, а квадрат описан около этого круга, то радиус сечения равен:   ,   . 2. Из теоремы Пифагора:   ,   . 

Читайте также:  Порядок разбирательства гражданских дел в суде первой инстанции - справочник студента

3. Найдем высоту сферической поверхности: 

 ,   .4. По формуле 9.28 найдем площадь сферической поверхности:  ,   .Ответ:   . Пример 8. Равнобедренная трапеция с основаниями  см и  см и острым углом   вращается вокруг меньшего основания. Вычислите поверхность полученной фигуры вращения.Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию  с основаниями  см и  см (рис. 9.77). Вращая трапецию вокруг основания , получим тело, боковая поверхность которого состоит из боковой поверхности цилиндра и боковой поверхности двух равных конусов:   . В трапеции  из вершин  и  проведем высоты  и . Тогда   .Рассмотрим прямоугольный треугольник :   ,  (см), тогда  (см) и  (см). Согласно формуле   получим:   ( ).Согласно формуле   получим:   ( ). Найдем площадь поверхности тела вращения:  ( ).Ответ:    .

1. В цилиндре умейте определять: радиус основания, высоту, образующую, осевое сечение.

2. В конусе умейте определять: радиус основания, высоту, образующую, осевое сечение.

3. Различайте шар и сферу (поверхность шара). Умейте определять: 1) центр, радиус и диаметр сферы; 2) в шаре: центр, радиус, диаметр, сечение, шаровой сегмент и шаровой сектор. 

Источник: http://helpy.quali.me/theme/school/53

Презентация на тему: Объёмы и поверхности тел вращения

Объем тела вращения и площадь поверхности тела вращения - Справочник студента Описание слайда:

Объёмы и поверхности тел вращения Учитель математики МОУ СОШ №8 х. Шунтук Майкопскского района Республики АдыгеяГрюнер Наталья Андреевна

Описание слайда:

Тела вращения

Описание слайда:

оглавление 1.Виды тел вращения2.Определения тел вращения:а)цилиндрб)конусв)шар3.Сечения тел вращения:а)цилиндрб)конусв)шар4.Объёмы тел вращения5.Площади поверхностей тел вращения

Описание слайда:

ВИДЫ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ Цилиндр-тело, которое описывает прямоугольник при вращении его около стороны как осиКонус-тело, которое получено при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как осиШар-тело полученное при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси

Описание слайда:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦИЛИНДРА Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки,соединяющие соответствующие точки окружностей кругов,образующими цилиндра.

Описание слайда:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНУСА Конусом называется тело,которое состоит из круга-основания конуса,точки, не лежащей в плоскости этого круга,вершины конуса и всех отрезков,соединяющих вершину конуса с точками основания.

Описание слайда:

СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА Сечение цилиндра плоскостью,параллельной его оси,представляет прямоугольник.Осевое сечение-сечение цилиндра плоскостью,проходящей через его осьСечение цилиндра плоскостью, параллельной основаниям, представляет собой круг.

Описание слайда:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШАРА Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии,не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние радиусом шара.

Описание слайда:

СЕЧЕНИЕ КОНУСА Сечение конуса плоскостью,проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник.Осевое сечение конуса-это сечение, проходящее через его ось.Сечение конуса плоскостью, параллельной его основаниям, представляет собой круг с центром на оси конуса.

Описание слайда:

СЕЧЕНИЯ ШАРА Сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого шара есть основание перпендикуляра,опущенного из центра шара на секущую плоскость.Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом.

Описание слайда:

ОБЪЁМЫ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

Описание слайда:

ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

Описание слайда:

Объём шараТеорема. Объём шара радиуса R равен . Доказательство. Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом (рис. ). Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М.

Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х — абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим:                  (2.6.1) Так как , то (2.6.2)         Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т. е. Для всех х,удовлетворяющих условию .

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при , получим Теорема доказана.

Описание слайда:

Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента. Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью. Всякая плоскость, пересекающая шар, разбивает его на два сегмента. Объема сегмента

Описание слайда:

Шаровой сектор . Объём шарового сектора. Шаровой сектор, тело, которое получается из шарового сегмента и конуса.Объём сектораV=2/3ПR2H

Описание слайда:

Задача № 1.       Цистерна имеет форму цилиндра ,к основаниям которой присоединены равные шаровые сегменты. Радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота сегмента равна 0,5 м. Какой длины должна быть образующая цилиндра, чтобы вместимость цистерны равнялась 50 м3?

Описание слайда:

Дано: Решение:

Описание слайда:

Задача № 2. О- центр шара. О1-центр круга сечения шара. Найти объём и площадь поверхности шара.

Описание слайда:

Дано: шар сечение с центром О1.Rсеч.=6см. Угол ОАВ=300.Vшара=? Sсферы=? Решение:V=4/3ПR2 S=4ПR2В ∆ ОО1А:угол О1=900,О1А=6,угол ОАВ=300.tg300=ОО1/О1А ОО1=О1А*tg300.ОО1=6*√3÷3=2√3ОА=R=OO1(по св-ву катета леж.против угла 300).ОА=2√3÷2=√3V=4П(√3)2÷3=(4*3,14*3)÷3=12,56S=4П(√3)2=4*3,14*3=37,68Ответ:V=12,56; S=37,68.

Описание слайда:

Задача № 3 Полуцилиндрический свод подвала имеет 6м. длины и 5,8м. в диаметре.Найдите полную поверхность подвала.

Описание слайда:

Дано: Цилиндр.АВСД-осевое сечение. АД=6м. D=5,8м. Sп.под.=? Решение :Sп.под.=(Sп÷2)+SАВСДSп÷2=(2ПRh+2ПR2)÷2=2(ПRh+ПR2)÷2=ПRh+ПR2R=d÷2=5,8÷2=2,9 м.Sп÷2=3,14*2,9+3,14*(2,9)2= 54,636+26,4074=81,0434 АВСД-прямоуг.(по опр.осев.сеч.) SАВСД=АВ*АД=5,8*6=34,8м2 Sп.под.=34,8+81,0434≈116м2.Ответ:Sп.под.≈116м2.

Источник: https://ppt4web.ru/geometrija/objomy-i-poverkhnosti-tel-vrashhenija.html

Сборник самостоятельных работ по геометрии на тему «Тела вращения»

ГБПОУ города Москвы «Спортивно-педагогический колледж» Департамента спорта и туризма города Москвы; преподаватель математики, информатики и ИКТ: Макеева Елена Сергеевна

                                    Самостоятельная работа № 1 «Цилиндр»

Вариант 1

Прямоугольник со сторонами, равными 3*а и 2*а, вращается сначала вокруг одной стороны, затем – вокруг другой. Вычислите отношение площадей полных поверхностей и площадей боковых поверхностей полученных тел вращения.

Через образующую цилиндра проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Площади полученных сечений S1 и S2. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Плоскость α пересекает основания цилиндра по хордам, дины которых равны 16 см и 12 см. Вычислите тангенс угла наклона плоскости α к плоскостям оснований цилиндра, если радиус оснований цилиндра 10 и высота 30 см.

Вариант 2

Прямоугольник со сторонами, равными 4*а и 3*а, вращается сначала вокруг одной стороны, затем – вокруг другой. Вычислите отношение площадей полных поверхностей и площадей боковых поверхностей полученных тел вращения.

Через образующую цилиндра проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Площадь одного из полученных сечений So, площадь осевого сечения цилиндра S. Найдите площадь другого полученного сечения.

Плоскость α пересекает основания цилиндра по хордам, дины которых равны 24 см и 32 см. Вычислите тангенс угла наклона плоскости α к плоскостям оснований цилиндра, если радиус оснований цилиндра 20 и высота 50 см.

Самостоятельная работа № 2 «Конус»

Вариант 1

Угол при вершине осевого сечения конуса равен 2α, радиус основания конуса равен R.ь Найдите площадь полной поверхности конуса.

Высота конуса равна h, радиус основания R. Через вершину конуса проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 60o . Вычислите площадь сечения.

Найдите площадь осевого сечения усеченного конуса, если его высота h, образующая L и площадь боковой поверхности S.

                                                                  Вариант 2

Угол между образующей конуса и его основанием равен α, радиус основания конуса R. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Высота конуса равна h, радиус основания R. Через вершину конуса проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 90o . Вычислите площадь сечения.

  • Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса, если его высота h, образующая L и площадь осевого сечения S.
  •                                            Самостоятельная работа № 3 «Сфера»
  • Вариант 1

Сфера радиуса 6 см касается плоскости треугольника ABC в центре описанной около него окружности. Найдите расстояние от центра сферы до вершин треугольника, если AB=3 см, AC=4 см, BC=5 см.

Определите расстояние между центрами сфер, которые заданы уравнениями x2 + y2 + z2 -2x+6y-4z=5 и x2 +y2+z2+4x+2y+6z=7

Сфера проходит через три вершины ромба со стороной, равной 6 см, и углом 60o . Найдите расстояние от центра сферы до четвертой вершины ромба, если радиус сферы равен 10 см.

Вариант 2

Сфера радиуса 1,5 см касается плоскости треугольника ABC в центре вписанной в него окружности. Найдите расстояние от центра сферы до сторон треугольника, если AB=6 см, AC=8 см, BC=10 см.

Определите расстояние между центрами сфер, которые заданы уравнениями x2 + y2 + z2 +6x-2y-4z=5 и x2 +y2+z2-2x-6y+4z=11

Сфера проходит через три вершины ромба со стороной, равной 8 см, и углом 60o . Найдите расстояние от центра сферы до четвертой вершины ромба, если радиус сферы равен 10 см.

  1. Самостоятельная работа № 4 «Объемы прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы и цилиндра»
  2. Вариант 1
  3. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если площади трех его граней равна 6 см2 , 18 см2 и 12 см2 .

Центры O1 и O2 оснований цилиндра имеют координаты (0;1;1) и (4;1;1). Одна из точек окружности основания с центром O2 имеет координаты (4;3;-2). Найдите объем цилиндра.

Вариант 2

Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если площади трех его граней равна 15 см2 , 45 см2 и 75 см2 .

Центры O1 и O2 оснований цилиндра имеют координаты (2;3;3) и (-2;3;3). Одна из точек окружности основания с центром O1 имеет координаты (2;5;-1). Найдите объем цилиндра.

Самостоятельная работа № 5 «Объемы наклонной призмы, пирамиды и конуса»

Вариант 1

Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны a и b (b>a). Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом α. Вычислите объем пирамиды.

Найдите объем и площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника со сторонами 6 см, 25 см и 29 см вокруг прямой, проходящей через вершину меньшего угла треугольника параллельно меньшей его стороне.

Вариант 2

Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны a и b (b>a). Боковая грань наклонена к плоскости основания под углом α. Вычислите объем пирамиды.

  • Найдите объем и площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника со сторонами 13 см, 14 см и 15 см вокруг прямой, проходящей через вершину среднего по величине угла треугольника параллельно средней его стороне.
  • Самостоятельная работа № 6 «Объем шара и площадь сферы»
  • Вариант 1

Сфера и два ее взаимно перпендикулярных сечения имеют единственную общую точку. Площади сечений равны 11 π см2 и 14 π см2 . Найдите объем шара и площадь сферы.

Плоскость, перпендикулярная радиусу шара, делит его на части в отношении 2:1, считая от цента шара. Площадь сечения шара этой плоскостью равна 20π см2 . Вычислите объем меньшего шарового сегмента.

Круговой сектор с углом наклона α и хордой aвращается вокруг одного из ограничивающих его радиусов. Найдите объем получившегося шарового сектора.

Вариант 2

Сфера и два ее взаимно перпендикулярных сечения имеют единственную общую точку. Площади сечений равны 13 π см2 и 23 π см2 . Найдите объем шара и площадь сферы.

Плоскость, перпендикулярная радиусу шара, делит его на части в отношении 3:1, считая от цента шара. Площадь сечения шара этой плоскостью равна 63 π см2 . Вычислите объем меньшего шарового сегмента.

Круговой сектор с углом наклона α и радиусом R вращается вокруг одного из ограничивающих его радиусов. Найдите объем получившегося шарового сектора.

Самостоятельная работа № 7 «Комбинации круглых тел»

Вариант 1

В цилиндр вписан шар радиуса R. Найдите объем и площадь полной поверхности цилиндра.

Вокруг конуса с образующей L и радиусом основания R описана сфера. Определите радиус сферы.

В конус вписан цилиндр, у которого диагонали осевого сечения соответственно параллельны двум образующим конуса. Образующая конуса равна L и составляет с плоскостью основания угол α. Найдите объем цилиндра и площадь его боковой поверхности.

Вариант 2

В цилиндр высотой h вписан шар. Найдите объем и площадь полной поверхности цилиндра.

Вокруг конуса с высотой h и радиусом основания R описана сфера. Определите радиус сферы.

В конус вписан цилиндр, у которого диагонали осевого сечения соответственно параллельны двум образующим конуса. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол α, радиус основания конуса равен R. Найдите объем цилиндра и площадь его боковой поверхности.

Самостоятельная работа № 8 «Комбинации многогранников и круглых тел»

Вариант 1

Образующая конуса равна L и составляет угол α c плоскостью основания. В конус вписана правильная треугольная пирамида. Найдите объем пирамиды.

Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна a, боковая грань составляет с плоскостью основания угол α. Определите радиус описанной сферы.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 2 см и 4 см. Диагональ большей боковой грани образует с основанием угол в 30o . В призму вписан цилиндр. Найдите объем цилиндра.

Вариант 2

Высота конуса равна h. Образующая конуса составляет угол α с плоскостью основания. В конус вписана правильная треугольная пирамида. Найдите объем пирамиды.

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно b, боковая грань составляет с плоскостью основания угол α. Определите радиус описанной сферы.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 4 см и 6 см. Диагональ большей боковой грани образует с основанием угол в 60o. В призму вписан цилиндр. Найдите объем цилиндра.

ОТВЕТЫ К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ

п/п Вариант Задание 1 Задание 2 Задание 3
1 1 3:2 и 1:1
2 4:3 и 1:1
2 1
2
3 1 6,5 см 8 см или 2 см
2 2,5 см 6 6 см или 2 см
4 1 36 см3 sin2 52π
2 225 см3 sin2 80
5 1 SLcos (b3 – a3)tg 1600 см3 и 1320 см2
2 (b3 – a3)tg 1344 см3 и 672 см2
6 1 см3 и 100 см2 см3 sin
2 288π см3 и 144π см2 99 см3
7 1 2 и 6 и
2 и и
8 1 sin2 (7 — 15см3
2 bctg 4(19-65) см3

Источник: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/sbornik_samostoyatelnih_rabot_po_geometrii_na_temu_202250.html

Ссылка на основную публикацию