Непрерывные и разрывные функции — справочник студента

Теорема (1 -ая теорема Больцано-Коши) Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка с(a, b), в которой f(с) = 0. 11

Доказательство: Пусть для определенности f(a)0. Разделим [a, b] пополам. Если значение функции в середине [a, b] равно нулю, то теорема доказана. В противном случае выберем тот из двух полученных отрезков, на концах которого f(x) имеет значения разных знаков, обозначим его [a 1, b 1]. Разделим его пополам.

Если значение функции в середине отрезка [a 1, b 1] равно нулю, то теорема доказана. В противном случае выберем тот из двух полученных отрезков, на концах которого f(x) имеет значения разных знаков. Обозначим его [a 2, b 2]. И т. д. Получим последовательность [a, b] [a 1, b 1] [a 2, b 2] … [an, bn] … вложенных отрезков.

По теореме о вложенных отрезках с, принадлежащая всем отрезкам, причем f (с)=0. Ч. т. д. Теорема имеет простой геометрический. смысл. 12

13

Теорема (вторая теорема Больцано-Коши) Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) = A, f(b) = B. Пусть С – любое число, заключенное между А и В. Тогда на отрезке [a, b] найдется точка с такая, что f(с) = С. Другими словами, непрерывная функция при переходе от одного значения к другому принимает и все промежуточные значения. 14

Теорема (первая теорема Вейерштрасса) Если функция f(х) определена и непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке. Замечание. Теорема неверна, если отрезок [a, b] заменить интервалом (а, b). 15

16

Понятие равномерной непрерывности функции Определение.

Функция f(х) называется равномернонепрерывной на промежутке Х, если для любого > 0 существует > 0 такое, что для любых двух точек х1, х2 Х, удовлетворяющих неравенству |x 2 – x 1| < , выполняется неравенство |f(х2) – f(x 1)| < . Символика: Теорема Кантора (о равномерной непрерывности) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она и равномерно непрерывна на нем. 18

Источник: https://present5.com/nepreryvnye-funkcii-i-ix-svojstva-lekciya-7-2/

Точки разрыва функции первого и второго рода

Функция f(x) называется непрерывной в точке х = а если: 1) она определена в этой точке; 2) существует предел функции в этой точке

3) значение предела равно значению функции в точке х = а, т.е.

Если одно из условий нарушается то функция называется разрывной в точке х = а, а сама точка х = а называется точкой разрыва. Все элементарные функции являются непрерывными на интервалах определенности.

Классификация точек разрыва

Точка х0 называется точкой разрыва первого рода функции у = f(x) если существуют конечные односторонние пределы справа и слева

• Если, кроме этого, выполняется хотя бы одно из условий то функция в точке х = а имеет неустранимый разрыв первого рода.
• Если пределы равны, однако функция не существует то имеем устранимый разрыв первого рода.
• Точка х0 называется точкой разрыва второго рода функции у= f(x) если граница справа или слева не существует или бесконечна.
• Скачком функции в точке разрыва х = х0 называется разность ее односторонних границ если они разные и не равны бесконечности.
• При нахождении точек разрыва функции можно руководствоваться следующими правилами:

1) элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках, но не может быть разрывной на определенном интервале. 2) элементарная функция может иметь разрыв в точке где она не определена при условии, что она будет определена хотя бы с одной стороны от этой точки. 3) Неэлементарные функция может иметь разрывы как в точках где она определена, так и в тех где она определена.

1. Например, если функция задана несколькими различными аналитическими выражениями (формулами) для различных интервалов, то на границе стыка может быть разрывной.
2. Рассмотрим несколько задач по данной теме.
3. Задача 1. Найти точки разрыва функции а)
4. Решение: Функция определена во всех точках кроме тех где знаменатель обращается в нуль x = 1, x = 1. Область определения функции следующая
5. Найдем односторонние пределы в точках разрыва

При нахождении односторонних границ подобного вида достаточно убедиться в знаке функции и в том, что знаменатель стремится к нулю. В результате получим границу равную бесконечности или минус бесконечности.

• Поскольку в точках x = 1, x = -1 функция имеет бесконечные односторонние пределы, то аргументы являются точками разрыва второго рода. График функции приведен на рисунке ниже
• ——————————————————-
• б)
• Решение: Задача достаточно простая. В первую очередь находим нули знаменателя
• Таким образом функция определена на всей действительной оси за исключением точек , которые являются точками разрыва. Вычислим односторонние пределы справа и слева
• Пределы бесконечны поэтому, по определению, имеем точки разрыва второго рода.

Из графиков приведенных функций видим что для ряда из них отыскания точек разрыва сводится до нахождения вертикальных асимптот. Но бывают функции которые и без вертикальных асимптот имеют разрывы первого или второго рода.

1. ——————————————————-
2. в)
3. Решение: Заданная функция непрерывна на всей числовой оси кроме точки x = -3. Вычислим односторонние границы в этой точке

Они различаются по значениям, однако есть конечными. Итак точка x = -3 является неустранимой точкой разрыва І рода.

——————————————————-

Задача 2. Найти точки разрыва функции если они существуют. Вычислить скачок функции в точке разрыва. Построить график функции.

• а)
• Решение: Для заданной функции точка x = 2 является точкой разрыва. Найдем предел функции , чтобы определить характер разрыва
• По определению, точка x = 2 является неустранимой точкой разрыва первого рода. Вычислим скачок функции при x=2
• График функции на интервале который нас интересует приведен далее
• ——————————————————-
• б)

Решение: Неэлементарная функция y (x) определена для всех положительных значений аргумента. Точки которые разбивают функцию на интервалы могут быть разрывами. Для проверки найдем соответствующие пределы

1. Поскольку предел функции в точке x = 2 равен значению функции в этой точке то функция — непрерывная.
2. Отсюда также следует, что для непрерывной функции скачок равен 6-6 = 0.
3. Исследуем на непрерывность вторую точку
4. По определению функция в точке x = 2 имеет неустранимый разрыв І рода.
5. Прыжок функции равен 29 — (- 3) = 31.
6. По условию задания построим график функции.

Из приведенного материала Вы должны научиться находить разрывы первого и второго рода, а также различать их. Для этого подобрано немного примеров, которые в полной мере раскрывают все важные вопросы темы. Все остальное сводится к нахождению простых односторонних пределов и не должно быть для Вас сложным.

Источник: https://yukhym.com/ru/issledovanie-funktsii/tochki-razryva-funktsii.html

Функция Римана непрерывна во всех иррациональных и разрывна во всех рациональных точках ≪ ∀ x, y, z

Эта функция имеет и много других названий: функция Томе (примеч. Carl Johannes Thomae (1840 – 1921) — немецкий математик), модифицированная функция Дирихле, поп-корн (popcorn) функция, функция дождевых капель (raindrop), функция счетных облаков (countable cloud), функция линейки (ruler) или Звезды над Вавилоном (Stars over Babylon).

Функция Римана является простейшим примером функции, которая непрерывна во всех иррациональных точках и разрывна во всех рациональных точках. Функция Римана определяется так: где — несократимая дробь (для любого рационального числа существует его представление в виде несократимой дроби). Докажем, что функция Римана непрерывна во всех иррациональных точках.

.

Никакая иррациональная точка не лежит в , поскольку в иррациональных точках функция обращается в ноль.

Если , тогда есть рациональное число вида , где , дробь несократима, и тогда и, следовательно, . Из ограничения на следует, что пересечение множества и любого ограниченного интервала состоит из конечного числа точек.

Пусть — произвольное иррациональное число. По определению . Мы можем выбрать окрестность точки так, чтобы в ней не содержалась ни одна точка множества . Если же , то . Таким образом, мы нашли интервал, который требуется в определении непрерывности.

Теперь докажем, что функция Римана разрывна во всех рациональных точках.

Пусть — произвольное рациональное число. По определению . В любой окрестности рационального числа найдутся иррациональное число и . Таким образом, условие непрерывности не выполняется.

Источник: https://forany.xyz/t-215

ПОИСК

    Области непрерывных и разрывных решений [c.

124]

    Таким образом, в зависимости от положения заданной концевой точки контура сопла в плоскости х, у могут реализовываться непрерывные и разрывные решения без торца и такие же решения с торцами.

Для определения областей этих решений при х = 1,4 выполнены расчеты оптимальных осесимметричных сопел с плоской звуковой поверхностью. Результаты расчетов представлены на рис. 3.39а. [c.141]

    Рассмотрим теперь поле скорости. В предельном состоянии жесткие части тела движутся со скоростью V соответственно вверх и вниз. Нормальные составляющие скорости на границах ВС, АС СО, СЕ непрерывны и легко вычисляются, поскольку эти границы известны. Касательные, составляющие скорости вдоль указанных линий раздела, разрывны. Поля скоростей в пластических областях АВС, СОЕ определяются единственным образом решением начальных характеристических задач. Таким образом, поле напряжений и скоростей согласованы (можно показать, что в каждой точке поля рассеяние положительно). [c.79]

    Если же по условиям задачи концентрация на поверхности С, (х) задана, то формула (V, 79) дает непосредственно аналитическое решение.

Так обстоит дело в тепловой задаче, которую рассматривал Лайтхилл, или в предельном случае протекания химической реакции в диффузионной области.

Если поток натекает на передний край тела при с = О, то концентрация на поверхности С, (х) может быть задана как разрывная функция, принимающая при X (+0) значение С ф С, хотя концентрация в объеме везде непрерывна и равна С. как при а О, так и при у — оо.

Интеграл в правой части (V, 79) рассматривается в этом случае как интеграл Стильтьеса, в котором функция х) в точке х = О скачком меняется от СI до С». Если пользоваться обычным интегралом Римана, то формула (V, 79) при заданной функции х) запишется как [c.247]

    Пусть точка Л расположена так, как это показано на рис. 3.22, и принадлежит области (4.12). Это означает, что в плоскости a,i , точка Л расположена ниже кривой VSU, определяемой равенством (4.8) при п = 0. На рис. 3.23 точку h отметим символом Hq в соответствии с индексацией 3.1.2.

Очевидно, что из точки Ло для получения решения вариационной задачи необходимо перейти некоторым путем ЛоЛд в область (4.11) так, что точка ftg будет принадлежать этой области. При всяком допустимом непрерывном переходе по крайней мере часть кривой /iq/iq принадлежит (рис. 3.24) области (4.12).

23) производится по характеристике второго семейства h(jh и характеристике первого семейства /11/14. [c.119]

    К проблеме взаимодействия УВ с пылевыми слоями тесно примыкает вопрос взаимодействия УВ с контактными разрывами, разделяющими два газа с сильно различающимися молекулярными весами. Действительно, смесь газа и твердых частиц можно моделировать тяжелым газом, сохраняя при этом одинаковыми числа Атвуда для обоих течений. Такой подход для моделирования рассматриваемой нами задачи о подъеме пыли был реализован, например, в работах А.Л. Кель, которые были процитированы выше и в которых исследовалось перемещивание двух различных газов на границе между ними в слое смешения. Традиционно слой перемешивания рассматривается как поверхность разрыва плотности, т.е. контактный разрыв. Взаимодействие ударной волны с коцтактным разрывом в одномерном нестационарном приближении описывается классическим решением задачи о распаде произвольного разрыва. Переход ударной волны из одного газа в другой через возмущенный контактный разрыв порождает неустойчивость Рихтмайе-ра-Мешкова. На заключительной стадии в области первоначального контактного разрыва образуется турбулентная область перемешивания, разделяющая потоки сжатых газов. Известно, что замена разрывного изменения плотности на контактном разрыве на непрерывное в некотором слое конечной ширины может снижать скорость роста возмущений на начальной стадии развития неустойчивости Рихмайера-Мешкова. Это отмечалось, например, в работах [103, 104], в которых проводились теоретические исследования нарастания амплитуды возмущения, и в экспериментальных работах [105 108]. [c.280] Смотреть страницы где упоминается термин Области непрерывных и разрывных решений: [c.47]    Смотреть главы в:

Аналитические исследования динамики газа и жидкости -> Области непрерывных и разрывных решений

© 2019 chem21.info Реклама на сайте

Источник: https://www.chem21.info/info/1477137/

Непрерывность функции: определение, точки разрыва, примеры

Непрерывные функции образуют основной класс функций, с которыми оперирует математический анализ. Представление о непрерывной функции можно получить, если сказать, что график ее непрерывен, т.е. его можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги.

Непрерывная функция математически выражает одно свойство, с которым нам приходится часто встречаться на практике, заключающееся в том, что малому приращению независимой переменной соответствует малое же приращение зависимой от нее переменной (функции).

Прекрасными примерами непрерывной функции могут служить различные законы движения тел , выражающие зависимости пути , пройденного телом, от времени . Время и пространство непрерывны, при этом тот или иной закон движения тела устанавливает между ними определенную непрерывную связь, характеризующуюся тем, что малому приращению времени соответствует малое же приращение пути.

К абстракции непрерывности человек пришел, наблюдая окружающие его, так называемые сплошные среды — твердые, жидкие или газообразные, например металлы, воду, воздух.

На самом деле, как теперь хорошо известно, всякая физическая среда представляет собой скопление большого числа отделенных друг от друга движущихся частиц.

Однако эти частицы и расстояния между ними настолько малы по сравнению с объемами сред, с которыми приходится иметь дело в макроскопических физических явлениях, что многие такие явления можно достаточно хорошо изучать, если считать приближенно массу изучаемой среды без всяких просветов, непрерывно распределенной в занятом ею пространстве. На таком допущении базируются многие физические дисциплины, например гидродинамика, аэродинамика, теория упругости. Математическое понятие непрерывности играет, естественно, в этих дисциплинах, как и во многих других, большую роль.

Рассмотрим какую-либо функцию и вполне определенное значение независимой переменной . Если наша функция отражает некоторый непрерывный процесс, то значениям , мало отличающимся от должны соответствовать значения функции мало отличающиеся от значения в точке . Таким образом, если приращение независимой переменной мало, то должно быть малым также и соответствующее приращение функции. Иными словами, если приращение независимой переменной стремится к нулю, то приращение функции должно, в свою очередь, стремиться к нулю, что может быть записано следующим образом:

(1)

• Это соотношение и является математическим определением непрерывности функции в точке .
• Функция называется непрерывной в точке , если выполняется равенство (1).
• Дадим еще такое определение:

Функция называется непрерывной для всех значений, принадлежащих к данному отрезку, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка, т.е. в каждой такой точке выполняется равенство (1).

Таким образом, для того чтобы ввести математическое определение свойства функции, заключающегося в том, что график ее есть непрерывная (в обычном понимании этого термина) кривая, появилась необходимость определить сначала локальное, местное свойство непрерывности (непрерывность в точке ), а затем на этой основе определить непрерывность функции на целом отрезке.

Приведенное определение, впервые указанное в начале прошлого столетия Коши, является общепринятым в современном математическом анализе. Проверка на многочисленных конкретных примерах показала, что это определение хорошо соответствует сложившемуся у нас практическому представлению о непрерывной функции, например представлению о непрерывном графике.

Если непрерывные функции складывать, вычитать, умножать и делить (при знаменателе, не равном нулю), то в результате мы снова придем к непрерывной функции. Однако при делении непрерывность, как правило, нарушается для тех значений , при которых функция, стоящая в знаменателе, обращается в нуль. Результат деления представляет собой тогда разрывную в точке функцию.

Функция может служить примером разрывной в точке функции. Ряд других примеров разрывных функций дают графики, изображенные на рис. 1.

Рекомендуем внимательно рассмотреть эти графики. Отметим, что разрывы функций бывают разные: иногда с приближением к точке , где функция претерпевает разрыв, предел существует, но отличен от , а иногда, как на рис. 1в, этого предела просто не существует.

Бывает и так, что с приближением к с одной стороны , а если , приближаясь с другой стороны, то уже не стремится к нулю. В этом случае, конечно, мы имеем разрыв функции, хотя про нее можно сказать, что она в этой точке «непрерывна с одной стороны».

Все эти случаи можно проследить на приведенных графиках.

Определение непрерывности функции

1. Функция непрерывна в точке , если пределы слева и справа равны и равны значению функции в этой точке, т.е.

2. Функция непрерывна в точке , если она определена в этой точке и если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. вблизи точки .

Сумма, разность и произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

Отсюда следует, что если в граничных точках отрезка функция имеет разные знаки, то внутри отрезка есть по крайней мере одно такое значение , при котором функция обращается в ноль.

Это свойство непрерывности функций позволяет находить приближенно корни многочленов.

Точки разрыва функции

Значения аргумента, которые не удовлетворяют условиям непрерывности, называются точками разрыва функции. При этом различают два рода точек разрыва функции.

Если при слева функция имеет конечный предел , а при справа функция имеет конечный предел и , то говорят, что функция при имеет разрыв первого рода. Разность определяет скачок функции в точке . Значение функции при при этом может быть равно какому угодно числу .

1. Если значение функции при равно , то говорят, что функция непрерывна слева; если же , то говорят, что функция непрерывна справа.
2. Если говорят, что функция имеет в точке устранимый разрыв.
3. Если при справа или слева, предел функции не существует или равен бесконечности, то есть , то говорят, что при функция имеет разрыв второго рода.

Пример 1. Найти множество значений , при которых функция непрерывна.

Решение. Найдем приращение функции

При любых значениях переменной приращение , если только поэтому функция непрерывна при всех действительных значениях переменной .

Пример 2. Доказать непрерывность функции в точке .

Решение. Для доказательства найдем приращение функции при переходе значения аргумента от к

Найдем предел приращения функции при

Так как предел приращения функции при равен нулю, то функция при непрерывна.

Пример 3. Определить характер разрыва функций и построить графики:

Решение.

a) При функция не определена, найдём односторонние пределы в этой точки:

Следовательно, в точке функция имеет разрыв второго рода.

b) При предел функции равен . При предел равен . Следовательно, в точке функция имеет разрыв первого рода и скачок функции равен .

c) Функция определена на всей числовой оси, неэлементарная, так как в точке аналитическое выражение функции меняется. Исследуем непрерывность функции в точке :

Очевидно, что в точке функция имеет устранимый разрыв.

d) Найдём левый и правый пределы функции в точке :

Итак, в точке справа функция имеет разрыв второго рода, а слева – непрерывность.

e) Найдём односторонние пределы функции в точке :

Итак, в точке с обеих сторон у функции скачки.

Источник: http://MathHelpPlanet.com/static.php?p=nepreryvnost-funktsii