Непрерывность функций — справочник студента

На этом уроке будем учиться устанавливать непрерывность функции. Будем делать это с помощью пределов, причем односторонних — правого и левого, которые совсем не страшны, несмотря на то что записываются как и .

Но что такое вообще непрерывность функции? Пока мы не дошли до строгого определения, проще всего представить себе линию, которую можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги. Если такая линия начерчена, то она непрерывна. Эта линия и является графиком непрерывной функции.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Непрерывность функций - Справочник студента Непрерывность функций - Справочник студента

Определение непрерывности функции через предел. Функция является непрерывной в точке при соблюдении трёх условий:

1. Функция определена в точке .

2. Существует предел функции в точке , при этом правый и левый пределы равны: Непрерывность функций - Справочник студента. Правый и левый пределы вычисляются как предел вообще: в выражение функции вместо икса подставляется то, к чему стремится икс, причём вместе с плюс нулём при правом пределе и с минус нулём при левом пределе.

Непрерывность функций - Справочник студента

А могут ли правый и левый пределы хоть когда-нибудь быть не равны, если к значению, к которому стремится икс, прибавляется или вычитается всего лишь нуль? Могут. Когда и почему — это объяснено на уроке о точках разрыва функции и их видах.

Если хотя бы одно из перечисленных условий не соблюдено, функция не является непрерывной в точке. При этом говорят, что функция терпит разрыв, а точки на графике, в которых график прерывается, называются точками разрыва функции. График такой функции , терпящей разрыв в точке x=2 — на рисунке ниже.

Непрерывность функций - Справочник студента

Пример 1. Функция f(x) определена следующим образом:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Предел и непрерывность - справочник студента

Оценим за полчаса!

Непрерывность функций - Справочник студента

Будет ли эта функция непрерывной в каждой из граничных точек её ветвей, то есть в точках x = 0, x = 1, x = 3?

Решение. Проверяем все три условия непрерывности функции в каждой граничной точке. Первое условие соблюдается, так как то, что функция определена в каждой из граничных точек, следует из определения функции. Осталось проверить остальные два условия.

Точка x = 0. Найдём левосторонний предел в этой точке:

Непрерывность функций - Справочник студента

  • Найдём правосторонний предел:
  • .
  • Предел функции и значение функции в точке x = 0 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:
  • .

Как видим, предел функции и значение функции в точке x = 0 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 0.

  1. Точка x = 1. Найдём левосторонний предел в этой точке:
  2. .
  3. Найдём правосторонний предел:

Непрерывность функций - Справочник студента

Предел функции и значение функции в точке x = 1 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:

Непрерывность функций - Справочник студента

Предел функции и значение функции в точке x = 1 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 1.

Точка x = 3. Найдём левосторонний предел в этой точке:

Непрерывность функций - Справочник студента

  • Найдём правосторонний предел:
  • Предел функции и значение функции в точке x = 3 должны быть найдены при той ветви функции, которая включает в себя эту точку, то есть второй ветви. Находим их:
  • .

Предел функции и значение функции в точке x = 3 равны. Следовательно, функция является непрерывной в точке x = 3.

Основной вывод: данная функция является непрерывной в каждой граничной точке.

Непрерывное изменение функции можно определить как изменение постепенное, без скачков, при котором малое изменение аргумента влечёт малое изменение функции .

Читайте также:  Тесты успешности и достижений - справочник студента

Проиллюстрируем это непрерывное изменение функции на примере.

Пусть над столом висит на нитке груз. Под действием этого груза нитка растягивается, поэтому расстояние l груза от точки подвеса нити является функцией массы груза m, то есть l = f(m), m≥0.

Если немного изменить массу груза, то расстояние l изменится мало: малым изменениям m соответствуют малые изменения l.

Однако если масса груза близка к пределу прочности нити, то небольшое увеличение массы груза может вызвать разрыв нити: расстояние l скачкообразно увеличится и станет равным расстоянию от точки подвеса до поверхности стола. График функции l = f(m) изображён на рисунке.

На участке этот график является непрерывной (сплошной) линией, а в точке он прерывается. В результате получается график, состоящий из двух ветвей. Во всех точках, кроме , функция l = f(m) непрерывна, а в точке она имеет разрыв.

Непрерывность функции на промежутке

Пусть функция y = f(x) определена в интервале ]a, b[ и непрерывна в каждой точке этого интервала. Тогда она называется непрерывной в интервале ]a, b[. Аналогично определяется понятие непрерывности функции на промежутках вида ]- ∞, b[, ]a, + ∞[, ]- ∞, + ∞[.

Пусть теперь функция y = f(x) определена на отрезке [a, b]. Разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок.

Здесь следует упомянуть о так называемой односторонней непрерывности: в точке a, оставаясь на отрезке [a, b], мы можем приближаться только справа, а к точке b — только слева.

Функция называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Примером непрерывной функции может служить любая из элементарных функций. Каждая элементарная функция непрерывна на любом отрезке, на котором она определена. Например, функции и непрерывны на любом отрезке [a, b], функция непрерывна на отрезке [0, b], функция непрерывна на любом отрезке, не содержащем точку a = 2.

Пример 4. Исследовать функцию на непрерывность.

Решение. Проверяем первое условие. Функция не определена в точках — 3 и 3. По меньшей мере одно из условий непрерывности функции на всей числовой прямой не выполняется. Поэтому данная функция является непрерывной на интервалах

.

  1. Пример 5. Определить, при каком значении параметра a непрерывна на всей области определения функция
  2. Решение. Найдём левосторонний предел функции в точке :
  3. .
  4. Найдём правосторонний предел при :
  5. .
  6. Очевидно, что значение в точке x = 2 должно быть равно ax:
  7. Ответ: функция непрерывна на всей области определения при a = 1,5.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение Пройти тест по теме Предел

  • Пример 6. Определить, при каких значениях параметров a и b непрерывна на всей области определения функция
  • Решение. Найдём левосторонний предел функции в точке :
  • .
  • Следовательно, значение в точке должно быть равно 1:
  • .
  • Найдём левосторонний функции в точке :
  • .
  • Очевидно, что значение функции в точке должно быть равно :
  • Ответ: функция непрерывна на всей области определения при a = 1; b = -3.

Основные свойства непрерывных функций

К понятию непрерывной функции математика пришла, изучая в первую очередь различные законы движения. Пространство и время бесконечны, и зависимость, например, пути s от времени t, выраженная законом s = f(t), даёт пример непрерывной функции f(t). Непрерывно изменяется и температура нагреваемой воды, она также является непрерывной функцией от времени: T = f(t).

В математическом анализе доказаны некоторые свойства, которыми обладают непрерывные функции. Приведём важнейшие из этих свойств.

1. Если непрерывная на интервале функция принимает на концах интервала значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю. В более формальном изложении это свойство дано в теореме, известной как первая теорема Больцано-Коши.

2. Функция f(x), непрерывная на интервале [a, b], принимает все промежуточные значения между значениями в концевых точках, то есть, между f(a) и f(b). В более формальном изложении это свойство дано в теореме, известной как вторая теорема Больцано-Коши.

3. Если функция непрерывна на интервале, то на этом интервале она достигает своего наибольшего и своего наименьшего значения: если m — наименьшее, а M — наибольшее значение функции на интервале [a, b], то найдутся на этом отрезке такие точки и , что и . Теорема, в которой изложено это свойство, называется второй теоремой Вейерштрасса.

Пример 7. Используя первое из приведённых выше свойств непрерывных функций, доказать, что уравнение имеет по меньшей мере один вещественный корень в интервале [1; 2].

  1. Решение.
  2. Пусть .
  3. Вычислим значения функции при x = 1 и x = 2.
  4. .
  5. .

Получили, что функция на концах интервала принимает значения разных знаков: и , т. е.

Следовательно, в интервале [1; 2] существует такое число a, при котором f(a) = 0. То есть, уравнение имеет по меньшей мере один вещественный корень в данном интервале.

Установление непрерывности функции может быть как самостоятельной задачей, так и частью Полного исследования функции и построения графика.

Пример 8. Есть ли у уравнения хотя бы один вещественный корень?

Решение. Функция определена на интервале .

  • Вычислим значения функции при x = 0 и .
  • .
  • .
  • Получили и .

Следовательно, существует такое число a, при котором f(a) = 0. Ответ на вопрос задачи: уравнение имеет по меньшей мере один вещественный корень.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Предел

Весь раздел «Исследование функций»

Источник: https://function-x.ru/function_continuity.html

Предел. Непрерывность функции (Лекция №1)

ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь от их конкретного содержания.

В дальнейшем, говоря о величинах, мы будем иметь в виду их числовые значения. В различных явлениях некоторые величины изменяются, а другие сохраняют свое числовое значение.

Например, при равномерном движении точки время и расстояние меняются, а скорость остается постоянной.

Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения. Величина, числовые значения которой не меняются, называется постоянной. Переменные величины будем обозначать буквами x, y, z,…, постоянные – a, b, c,…

Заметим, что в математике постоянная величина часто рассматривается как частный случай переменной, у которой все числовые значения одинаковы.

Областью изменения переменной величины называется совокупность всех принимаемых ею числовых значений. Область изменения может состоять как из одного или нескольких промежутков, так и из одной точки.

УПОРЯДОЧЕННАЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

Будем говорить, что переменная x есть упорядоченная переменная величина, если известна область ее изменения, и про каждые из двух любых ее значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее.

Частным случаем упорядоченной переменной величины является переменная величина, значения которой образуют числовую последовательность x1,x2,…,xn,… Для таких величин при i < j, i, j Î N, значение xi считается предшествующим, а xj – последующим независимо от того, какое из этих значений больше.

Таким образом, числовая последовательность – это переменная величина, последовательные значения которой могут быть перенумерованы. Числовую последовательность будем обозначать . Отдельные числа последовательности называются ее элементами.

Например, числовую последовательность образуют следующие величины:

  1. ,
  2. ,
  3. , где а, d – постоянные числа.

ФУНКЦИЯ

При изучении различных явлений природы и решении технических задач, а, следовательно, и в математике приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой.

Так, например, известно, что площадь круга выражается через радиус формулой S = πr2. Если радиус r принимает различные числовые значения, то площадь S также принимает различные числовые значения, т.е.

изменение одной переменной влечет изменение другой.

Если каждому значению переменной x, принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной y, то y называется функцией переменной х. Символически будем записывать y=f(x). При этом переменная x называется независимой переменной или аргументом.

  • Запись y=C, где C – постоянная, обозначает функцию, значение которой при любом значении x одно и то же и равно C.
  • Множество значений x, для которых можно определить значения функции y по правилу f(x), называется областью определения функции.
  • Заметим, что числовая последовательность также является функцией, область определения которой совпадает с множеством натуральных чисел.
  • К основным элементарным функциям относятся все функции, изучаемые в школьном курсе математики:
  1. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана основными элементарными функциями и постоянными при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.
  2. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
  3. В дальнейшем курсе математики понятие предела будет играть фундаментальную роль, так как с ним непосредственно связаны основные понятия математического анализа – производная, интеграл и др.
  4. Начнем с понятия предела числовой последовательности.
  5. Число a называется пределом последовательности x = {xn}, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |xn — a| N должны лежать в интервале (a – ε; a + ε).

    Следовательно, постоянное число a есть предел числовой последовательности {xn}, если для любой малой окрестности с центром в точке a радиуса ε (ε – окрестности точки a) найдется такой элемент последовательности с номером N, что все последующие элементыс номерами n>N будут находиться внутри этой окрестности.

    Примеры.

    1. Пусть переменная величина x последовательно принимает значения

      Докажем, что предел этой числовой последовательности равен 1. Возьмем произвольное положительное число ε. Нам нужно найти такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |xn — 1| < ε. Действительно, т.к.

      то для выполнения соотношения |xn — a| 6 будем иметь .

    2. Используя определение предела числовой последовательности, доказать что .

      Возьмем произвольное ε > 0. Рассмотрим

      .

      Тогда , если или , т.е. . Поэтому выберем любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству .

    Сделаем несколько замечаний.

    Замечание 1. Очевидно, что если все элементы числовой последовательности принимают одно и то же постоянное значение xn = c, то предел этой последовательности будет равен самой постоянной. Действительно, при любом ε всегда выполняется неравенство |xn — c| = |c — c| = 0 < ε.

    Замечание 2. Из определения предела следует, что последовательность не может иметь двух пределов. Действительно, предположим, что xn → a и одновременно xn → b.

    Возьмем любое и отметим окрестности точек a и b радиуса ε (см. рис.).

    Тогда по определению предела, все элементы последовательности, начиная с некоторого, должны находиться как в окрестности точки а, так и в окрестности точки b, что невозможно.

    Замечание 3. Не следует думать, что каждая числовая последовательность имеет предел. Пусть, например, переменная величина принимает значения . Несложно заметить, что эта последовательность не стремится ни к какому пределу.

    ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

    Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a. Предположим, что независимая переменная x неограниченно приближается к числу a. Это означает, что мы можем придавать х значения сколь угодно близкие к a, но не равные a.

    Будем обозначать это так x → a. Для таких x найдем соответствующие значения функции. Может случиться, что значения f(x) также неограниченно приближаются к некоторому числу b.Тогда говорят, что число b есть предел функции f(x) при x → a.

    Введем строгое определение предела функции.

    Функция y=f(x) стремится к пределу b при x → a, если для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число δ, что при всех x ≠ a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x — a| < δ, имеет место неравенство |f(x) — b| < ε. Если b есть предел функции f(x) при x → a, то пишут или f(x) → b при x → a.

    Проиллюстрируем это определение на графике функции. Т.к. из неравенства |x — a| < δ должно следовать неравенство |f(x) — b| < ε, т.е.

    при x Î (a — δ, a + δ) соответствующие значения функции f(x) Î (b — ε, b + ε), то, взяв произвольное ε > 0, мы можем подобрать такое число δ, что для всех точек x, лежащих в δ – окрестности точки a, соответствующие точки графика функции должны лежать внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми y = b – ε и y = b + ε.

    • Несложно заметить, что предел функции должен обладать теми же свойствами, что и предел числовой последовательности, а именно и если при x → a функция имеет предел, то он единственный.
    • Примеры.
    1. Найти предел функции y=2x+1 при x → 1. Используя график функции, можно увидеть, что если x → 1 с любой стороны, то соответствующие точки M(x, y) графика стремятся к точке M(1, 3), т.е. можно предположить, что . Докажем это. Зададим произвольное число ε > 0. Нам нужно, чтобы выполнялось неравенство |(2x+1) – 3| 0 все значения переменной, начиная с некоторого, по абсолютной величине будут больше M.
    2. Переменная величина x → +∞, если при произвольном M > 0 все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству x > M.
    3. Аналогично, x → – ∞, если при любом M > 0 x < -M.
    4. Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b при x → ∞, если для произвольного малого положительного числа ε можно указать такое положительное число M, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x|>M, выполняется неравенство |f(x) — b| < ε.
    5. Обозначают .
    6. Примеры.
    1. Используя определение, доказать, что .

      Нужно доказать, что при произвольном ε будет выполняться неравенство , как только |x|>M, причем число М должно определяться выбором ε. Записанное неравенство эквивалентно следующему , которое будет выполняться, если |x|>1/ε=M. Это и значит, что (см. рис.).

    2. Несложно заметить, что .
    3. не существует.
    • БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ
    • Ранее мы рассмотрели случаи, когда функция f(x) стремилась к некоторому конечному пределу b при x → a или x → ∞.
    • Рассмотрим теперь случай, когда функция y=f(x) стремится к бесконечности при некотором способе изменения аргумента.

    Функция f(x) стремится к бесконечности при x → a, т.е. является бесконечно большой величиной, если для любого числа М, как бы велико оно ни было, можно найти такое δ > 0, что для всех значений хa, удовлетворяющих условию |x-a| < δ, имеет место неравенство |f(x)| > M.

    1. Если f(x) стремится к бесконечности при x→a, то пишут или f(x)→∞ при x→a.
    2. Сформулируйте аналогичное определение для случая, когда x→∞.
    3. Если f(x) стремится к бесконечности при x→a и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут или .
    4. Примеры.
    1. .
    2. (см. рис.).
    3. .
    4. Функция при x→0 не стремится ни к какому пределу (см. рис.).

    ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ

    Пусть задана функция y=f(x), определенная на некотором множестве D значений аргумента.

    Функция y=f(x) называется ограниченной на множестве D, если существует положительное число М такое, что для всех значений x из рассматриваемого множества, выполняется неравенство |f(x)|≤M. Если же такого числа М не существует, то функция f(x) называется неограниченной на множестве D.

    Примеры.

    1. Функция y=sin x, определенная при -∞N, функция f(x) ограничена.
    2. Установим связь между ограниченной функцией и функцией, имеющей предел.
    3. Теорема 1. Если и b – конечное число, то функция f(x) ограничена при x→a.

      Доказательство. Т.к. , то при любом ε>0 найдется такое число δ>0, что при вех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x-a|

    Источник: https://toehelp.ru/theory/math/lecture01/lecture01.html

    Предел и непрерывность функций

    • Областное государственное автономное образовательное учреждение
    • среднего профессионального образования
    • «Ангарский техникум строительных технологий»
    • Предел и непрерывность функций
    • методические указания к самостоятельной работе по учебной дисциплине «Математика» для обучающихся по специальностям СПО
    • Ангарск, 2013г.
    1. Рассмотрено и одобрено
    2. на заседании ПЦК
    3. естественнонаучного цикла
    4. Протокол № ____ от «___»______20___г.
    5. Председатель ПЦК

    _____________ Л.Д. Шурмелёва

    Утверждаю:Директор АТСТ___________ В.Н. Леснов
    • Рассмотрено и одобрено
    • на заседании методического совета
    • Протокол № ____ от «___»______20___г.
    • Председатель совета,
    • зам.директора по УМР

    _______________ О.Н. Ермакова

    Кезля С.В., преподаватель математики первой квалификационной категории ОГАОУ СПО «Ангарский техникум строительных технологий»
    Рецензент:Клопцова Л.И., зам. директора по учебной работе, преподаватель математики высшей квалификационной категории ГБОУ СПО «Ангарский автотранспортный техникум»
    1. СОДЕРЖАНИЕ
    2. Пояснительная записка………………………………………………………………4
    3. Способы задания функции………………………………………………………… 6
    4. Непрерывность функции…………………………………………………………… 7
    5. Предел функции………………………………………………………………………7

    Примеры заданий с решениями……………………………………………………….… 10

    Задачи для самостоятельного решения………………………………………….…10

    Тренировочные упражнения……………………………………………………..…10

    • Литература……………………………………………………………………………12
    • ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
    • Методические указания для самостоятельной работы разработаны в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины « Математика», федеральными государственными стандартами для обучающихся по специальностям СПО.

    Изложение материала строится на основе понятия функции. Сначала читатель знакомится с понятием непрерывности, а уже потом с понятием предела. Понятие предела вызывает трудности у студентов, так как в повседневной жизни с понятием предела встречаться не приходится.

    Методические указания написаны для обучающихся, желающих углубить и несколько расширить свои знания. Цель методических указаний тем, кто окончил школу, но продолжает изучать математику. Задачи, представленные в методических указаниях могут использоваться при изучении темы « Непрерывность и предел функции».

    Новизна данного методического указания заключается в том, что ее содержание выстроено под содержание учебной программы «Математика» для образовательных учреждений среднего профессионального образования.

    Данная методическая разработка содержит теорию основных понятий, формулы, примеры с разобранными решениями, тренировочные задания с ответами для самостоятельной работы, контрольную работу, списки используемой литературы.

    1. Уровень качества усвоения знаний обучающихся оценивается в рамках дифференцированного зачета.
    2. ПЕРЕЧЕНЬ
    3. САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
    4. «МАТЕМАТИКА»
    Систематическая обработка конспектов занятий, учебной литературы
    Выполнение практических заданий
    Подготовка к контрольным работам
    Подготовка рефератов

    Понятие функции

    Все вокруг нас находится в постоянном изменении. Меняется температура, влажность воздуха, атмосферное давление, скорость движения и тому подобное. Меняется — это значит, при изменениях одной и той же величины в разное время и в разных местах будут получаться разные числа.

    Постоянные величины встречаются редко. Примером постоянной величины может служить отношение длины окружности к ее диаметру, это отношение равно π=3,14; сумма углов треугольников, она равна .

    Переменные величины можно разделить на две группы: одни изменяются произвольно – их называют независимыми переменными, а изменение вторых зависит от изменения первых – их называют зависимыми переменными, или функциями.

    Например, ,r – независимая переменная, а С меняется в зависимости от r, С-зависимая переменная. При этом говорят, что С – есть функция от r, а r – есть аргумент этой функции. Каждому значению аргумента соответствует определенное значение функции.

    Определение1. Величина называется функцией переменной X, если каждому значению Х соответствует определенное значение Y. Записывают Y=f(x),Y(x).Говорят: величина Y зависит от Х, сообразно с этим аргумент Х называют независимой переменной, аY – независимой переменной.

    Определение 2. Если каждому значению аргумента соответствует одно значение функции, то функцию называют однозначной, если два и больше – то многозначной (двузначной, трехзначной и т.д.).

    Способы задания функции

    Употребительны три способа задания функции: а) табличный, б) графический; в) аналитический.

    Табличный способ дает сразу числовое значение функции. Графиком функции Y=F(X) называется множество точек на плоскости с координатами (x;y).

    Например, графиком функциислужит прямая, графиком функции y= является гипербола, -парабола. Задать функцию графически значит нарисовать ее график.

    Аналитический способ состоит в задании функции одной или несколькими формулами.

    • Область определения и область значений функции
    • МножествоX называют областью определения функции; множествоY называют множеством значений функции.
    • Непрерывность функции

    Наблюдая происходящие вокруг нас изменения, можно отметить, что они происходят постепенно, непрерывно. Например, поставили кипятить воду, время идет, температура воды повышается.

    1. Определение 3. Функцияf(x) называется непрерывной в точке x=a, если соблюдаются два условия:
    2. Приx=a функция f(x) имеет определенное значение b;
    3. Приx a функция имеет предел, тоже равный b.
    4. При нарушении хотя бы одного из этих условий функция называется разрывной в точкеx=a.
    5. Свойства непрерывных функций.
    6. Теорема 1. Если функции непрерывны в точке , то функции
    7. непрерывны в точке .

    Теорема 2. Если функция t=g(x) непрерывна в точке , а функция y=f(t) непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

    Теорема 3. Если функции непрерывны в точке ,то функции – постоянная,непрерывны в точке .

    Предел функции

    Любой интервал, содержащий точку , называется окрестностью точки . Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

    • Определение 4. Число А называется пределом функции при х стремящихся к (х ), если функция
    • , непрерывна в точке .
    • Символически записывают
    • Например, если непрерывна в точке , то взяв
    • Теорема 4. Если существуют
    • II. Рассмотрим несколько примеров:

    Пример1. Дана функция . Доказать, что функция непрерывна в точке х=5.

    При х=5 , имеет определенное значение;

    Пример 2. Рассмотрим функцию

    Она не определена в точке . Можно доопределить по непрерывности, т.е. существует предел этой функции при . Для этого надо подобрать функцию F(x), равную f(x) при xи такую, чтобы F(x) была непрерывной в точке

    , полученная дробь непрерывна в точке. Положим F(x)=

    Примеры 3,4. Вычислить:

    Замечание. При xфункция не может иметь двух пределов.

    1. Несколько замечательных пределов.
    2. Например,
    3. .
    4. Например,
    5. Например,

    Замечание. Если предел делителя равен нулю, а предел делимого не равен нулю, то частное имеет бесконечный предел.

    • Пример 5.
    • Пример 6.
    • Пример 7.
    • Задания для самостоятельного решения.

    Ответы: 1.; 5. 3; 6. 6; 7. 3; 8. -1.

    1. Самостоятельная работа.
    2. Найти пределы функций
    3. .
    4. ЛИТЕРАТУРА

    Гусев В.А. Математика : учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования / С.Г.Григорьев,С.В. Иволгина; под редакцией В.А. Гусева.-М.: Академия,2011 – 35 с.

    Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике / М.Я. Выгодский. – М.: АСТ :Астрель, 2006. – 261-515 с.

    Кутасов А.Д. Пособие по математике для поступающих в вузы/ А.Д. Кутасов; под редакцией Г.Н.

    Яковлева. – М. : «НАУКА», 2005 – 93с.

    Доброва О.Н. Задания по алгебре и математическому анализу / О.Н. Доброва. – М.: « Просвещение», 2008 – 150 с.

    16

    2

    15

    3

    14

    4

    13

    5

    12

    6

    11

    7

    10

    8

    9

    Источник: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/114098-predel-i-nepreryvnost-funkcij

Ссылка на основную публикацию