Материальная точка — справочник студента

При решении целой совокупности задач можно отвлечься от формы и размеров тела и рассматривать его как материальную точку.

Определение

Материальной точкой в физике называют тело, имеющее массу, но размерами которого, в сравнении с расстояниями до других тел, в рассматриваемой задаче можно пренебречь.

Понятие «материальная точка»

Понятие «материальная точка» — это абстракция. В природе материальных точек не существует. Но постановка некоторых задач механики дает возможность использовать данную абстракцию.

Когда мы говорим о точке в кинематике, то ее можно рассматривать как математическую точку. В кинематике под точкой понимается небольшая метка на теле или само тело, если его размеры малы в сравнении с теми расстояниями, которое тело преодолевает.

В таком разделе механики, как динамика, нужно уже говорить о материальной точке, как точке, которая обладает массой. Основные законы классической механики относятся к материальной точке, телу, которое не имеет геометрических размеров, но имеет массу.

Так, если человека интересует какое количество времени необходимо автомобилю, чтобы доехать от Москвы до Тюмени, то совершенно не обязательно знать, как движется при этом каждое из колес машины. Но, если автомобилист пытается втиснуть свой автомобиль на узкое парковочное место, принимать машину за материальную точку нельзя, так как имеют значение размеры автомобиля.

Можно принимать Землю за материальную точку, если мы рассматриваем движение нашей планеты вокруг Солнца, но так нельзя поступить, при изучении ее движения вокруг собственной оси, если мы пытаемся установить причины, по которым день сменяет ночь. Так, одно и то же тело в одних условиях можно рассматривать как материальную точку, в других условиях этого делать нельзя.

Существуют некоторые виды движения, в которых тело можно смело принимать за материальную точку. Так, например, при поступательном движении твердого тела все его части движутся одинаково, поэтому в таком движении тело обычно рассматривают как точку с массой, которая равна массе тела. Но если это же тело вращается вокруг своей оси, то его за материальную точку принять нельзя.

И так, материальная точка является простейшей моделью тела. Если тело можно уподобить материальной точке, то это существенно упрощает решение задачи по изучению его движения.

Разные виды движения точки различают, в первую очередь, по виду траектории. В том случае, если траекторией движения точки является прямая линия, то движение называют прямолинейным.

В отношении движения макроскопического тела имеет смысл говорить о прямолинейном или криволинейном движении тела только тогда, когда можно при описании движения ограничиться рассмотрением перемещения одной точки этого тела.

У тела, в общем случае разные точки могут совершать разные типы движения.

Система материальных точек

Если тело нельзя принять за материальную точку, то его можно представить в виде системы материальных точек. При этом тело мысленно делят на бесконечно малые элементы, каждый из которых можно принять за материальную точку.

В механике каждое тело можно представить в виде системы материальных точек. Имея законы движения точки, мы можем считать, что у нас есть метод описания любого тела.

В механике существенную роль играет понятие абсолютно твердого тела, которое определяют как систему материальных точек, расстояния между которыми неизменны, при любых взаимодействиях этого тела.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. В каком случае тело можно считать материальной точкой:

Спортсмен на соревнованиях бросает ядро. Ядро можно считать материальной точкой?

Шар вращается вокруг своей оси. Шар — это материальная точка?

Гимнастка выполняет упражнение на брусьях.

Бегун преодолевает дистанцию.

Ответ. 1) Ядро можно считать материальной точкой.

• 2) Вращающийся шар считать материальной точкой нельзя, так как, описывая его вращение, следует учитывать, что в таком движении разные его точки движутся по — разному.
• 3) Гимнастку считать материальной точкой нельзя.
• 4) Бегуна считать материальной точкой можно, если нет необходимости рассматривать детально его бег, в особенности на финише, например при помощи фотофиниша.

   
Пример 2

Задание. При каких условиях движущийся вверх камень можно считать материальной точкой. См. рис.1 и рис.2.

Решение: На рис. 1 размеры камня нельзя считать малыми в сравнении с расстоянием до него. В этом случае камень нельзя считать материальной точкой

На рис. 2 камень вращается, следовательно, его нельзя считать материальной точкой.

Ответ. Камень, брошенный вверх можно считать материальной точкой, если его размеры будут малы в сравнении с расстоянием до него, и он будет двигаться поступательно (вращения не будет).

   

Читать дальше: мгновенная скорость.

Источник: https://www.webmath.ru/poleznoe/fizika/fizika_48_materialnaja_tochka.php

Материальная точка

• Аксиома
• Первое задание
• Второе задание

Под материальной точкой подразумевается макроскопическое тело, свойствами которой (масса, вращение, форма и т.д.) можно пренебречь, если есть необходимость описании его движения. О том, что такое материальная точка, вы узнаете из этой статьи.

Если говорить о том, может ли это тело рассмотрено в качестве такой точки, то здесь все определяется не размерами тела, а от поставленных в задаче условий.

Как пример, радиус нашей планеты на порядок меньше расстояния между Солнцем и Землей, а орбитальное движение может быть описано как раз в виде движения материальной точки, которая обладает аналогичной земле массой и располагается в ее центре.

Как пример, согласно теореме о движении центра масс системы при перемещении поступательного типа каждое твёрдое тело можно рассматривать в качестве материальной точки, положение которой аналогично центру масс тела.

Такие физические свойства точки как масса, скорость, положение и прочие определяют её поведение в каждый момент времени.

Положение в пространстве рассматриваемой точки определяется в виде положения геометрической точки. В механике материальная точка имеет массу, постоянную во времени и независимую от каких-либо факторов её перемещения и взаимодействия с прочими телами. Если использовать подход к построению механики, основанный на аксиомах, тогда за одну них берется следующее:

Аксиома

Материальной точкой называют тело — геометрическую точку, которой соответствует скаляр, именуемый массой: (r и m), где r является вектором в евклидовом пространстве, который относится к той или иной декартовой координатной системе. Масса постоянна и независима от положения точки во времени и пространстве.

Материальная точка запасает механическую энергию исключительно как кинетическую энергию её перемещения в пространстве, либо в качестве потенциальной энергии, которая вступает во взаимодействие с полем.

Это говорит о том, что данная точка не может быть деформирована, вращаться вокруг своей же оси, а также она не реагирует на её изменения в пространстве.

Параллельно с этим материальная точка движется с изменением её расстояния от пары углов Эйлера и какого-либо мгновенного центра поворота, задающих линии направление, а она в свою очередь соединяет эту точку с центром. Такой метод весьма распространен в механике.

Методика, по которой изучаются законы движения реальных объектов за счет исследования перемещения идеальной модели — это основа механики.

Каждое макроскопическое тело может быть представлено в виде взаимодействующих друг с другом материальных точек, обладающими массами, соответствующими массам его частей.

Изучение перемещения данных частей сводится к тому, что проводится изучение движения рассматриваемых точек.

Внутренняя энергия молекулы определяется колебаниями и вращениями, а её ёмкость зависит от размеров, структуры и свойств частицы.

В некоторых случаях одноатомные молекулы могут быть рассмотрены как примеры материальной точки, но даже у них при высоком температурном режиме возбуждаются электронные оболочки из-за столкновений молекул с дальнейшим высвечиванием.

Первое задание

Можно ли считать материальной точкой:

• а) машину, въезжающую в гараж;
• б) машину на трассе Москва — Ростов?

Ответ:

• а) въезжающая в гараж машина не может считаться таким объектом, поскольку разница в размерах между автомобилем и гаражом относительно мала;
• б) авто на трассе Москва — Ростов можно рассматривать как такую точку, поскольку размеры транспортного средства на порядки меньше пути.

Второе задание

Можно ли считать материальной точкой:

• а) мальчика, идущего домой из школы (путь 1 км);
• б) мальчика, делающего физические упражнения?
• а) Поскольку путь от школы к дому составляет километр, мальчик может быть рассмотрен в качестве такой точки, поскольку по своим размерам он очень мал относительно проходимого расстояния.
• б) когда этот же ребенок выполняет утреннюю зарядку, его нельзя принимать за материальную точку.

Источник: https://sciterm.ru/spravochnik/materialnaya-tochka/

Для студентов 1 курса по Физике — файл Lect02.doc

Для студентов 1 курса по Физикескачать (1245.3 kb.)Реклама MarketGid: Динамика материальной точки. В основе классической механики лежат три закона динамики, сформулированные Ньютоном в 1687г.

Первый закон Ньютона: Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.

Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета. Система отсчета, в которой выполняется первый закон Ньютона, называется инерциальной системой отсчета.

Инерциальных систем отсчета существует бесконечное множество. Любая система отсчета, движущаяся относительно некоторой инерциальной системы прямолинейно и равномерно (т.е.

с постоянной скоростью), будет также инерциальной.

Опытным путем установлено, что система отсчета, центр которой совмещен с Солнцем, а оси направлены на соответствующим образом выбранные звезды, являются инерциальной. Эта система называется гелиоцентрической системой отсчета.

Всякое тело противится попыткам изменить его состояние движения. Это свойство тел называется инертностью. В качестве количественной характеристики инертности используется величина, называемая массой тела m. Для количественной характеристики взаимодействия тел или полей вводится физическая величина, называемая силой

Воздействие на данное тело со стороны других тел вызывает изменение его скорости. Опыт показывает, что одинаковые воздействия на разные тела, вызывают разные по величине изменения скоростей этих тел. Чтобы описать этот опытный факт, вводится понятие импульса тела или количества движения:

• .
• Второй закон Ньютона: Скорость изменения импульса тела равна геометрической сумме сил, действующих на данное тело:
• .
• Подставляя сюда выражение для импульса тела , получим еще одну формулировку второго закона Ньютона:
• Произведение массы тела на его ускорение равно геометрической сумме сил, действующих на тело:
• — второй закон Ньютона.
• Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия: если тело 1 действует на тело 2 с силой, то и тело ^ в свою очередь действует на тело 1 с силой .
• Третий закон Ньютона: Силы с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направлению:
• — третий закон Ньютона.
• Законы сохранения в механике

Эти силы не компенсируют друг друга, поскольку приложены к разным телам. Законы Ньютона позволяют решить любую задачу классической механики. Они устанавливают уравнения движения тела, которые в общем случае являются нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка и могут быть решены только численными методами. В некоторых случаях уравнения движения представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений, решение которых может быть представлено в аналитическом виде, т.е. в виде некоторых известных функций. В любом случае решение уравнений движения тела может представлять серьезную математическую проблему.

Но в механике можно ввести физические величины, которые при определённых условиях сохраняются во времени и могут существенно упростить решение задач механики. Таких физических величин три: импульс, энергия и момент импульса. Наличие законов сохранения этих величин связано со свойствами пространства и времени.

Так, законы сохранения импульса и энергии отражают такое свойство пространства и времени, как их однородность. Закон сохранения момента импульса выражает изотропные свойства пространства, т.е. равноправность всех направлений в пространстве. Конечно, законы сохранения энергии, импульса и момента импульса должны вытекать из законов Ньютона.

В дальнейшем мы так и будем поступать, т.е. выводить их из законов Ньютона.

Закон сохранения импульса системы материальных точек

Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек. Между материальными точками действуют силы внутреннего взаимодействия, а также на материальные точки действуют внешние силы. Здесь — внутренняя сила, действующая на i-ю материальную точку со стороны k-й материальной точки, — внешняя сила, действующая на i-ю материальную точку.

Материальные точки системы обладают импульсом:

— импульс i-ой материальной точки.

Запишем для каждой материальной точки второй закон Ньютона: ………………………………… Просуммировав левые и правые части этих уравнений, получим

Если система материальных точек замкнута, т.е. , тогда

и имеет место закон сохранения импульса:

.

— закон сохранения импульса системы материальных точек.

Если система материальных точек является замкнутой, то суммарный импульс системы остаётся постоянным, т.е. сохраняется во времени.

Центр масс системы материальных точек и его свойства

Важное значение для системы материальных точек имеет такое понятие, как центр масс. Сначала рассмотрим две материальные точки с массами m1 и m2 и найдём их центр масс. В данном случае центр масс — это точка С, которая лежит на прямой соединяющей материальные точки. Если положение материальных точек описывается радиус-векторами и , то положение центра масс С, будет описываться радиус-вектором , который равен

В общем случае системы из n материальных точек, положение центра масс будет описываться радиус-вектором:

= ,

где M = m1 + m2 + … + mn — полная масса системы материальных точек.

Взяв производную, получим скорость центра масс:

1. .
2. Если система материальных точек замкнута, то , и тогда
3. .
4. Таким образом, при отсутствии внешних сил центр масс системы материальных точек остается в покое или движется прямолинейно и равномерно.

^ На выполнении закона сохранения импульса основано движение ракеты, если её рассматривать как замкнутую систему. Мы рассмотрим более общий случай движения тела с переменной массой при наличии внешней силы, например, движение ракеты в гравитационном поле Земли.

• Для этого рассмотрим два близких момента времени t и t+ dt и вычислим изменение импульса системы: ракета + вытекающий газ.
• Пусть в момент времени t импульс системы равен
• .
• За время dt выброшен газ массой dm со скоростью относительно ракеты, и импульса системы: ракета + газ стал равен:
• .
• В выражении для раскроем скобки и пренебрежем малой величиной более высокого порядка ()
• .
• Тогда изменение импульса системы: ракета + газ за время dt равно:
• , .
• Подставляя это во второй закон Ньютона , получим уравнение движения тела с переменной массой:
• — уравнение Мещерского.
• — силу реактивной тяги, где — секундный расход топлива.

Второй член справа в этом уравнении представляет собой ^ Рассмотрим движение ракеты в невесомости, т.е.. Пусть в начальный момент времени t = 0 скорость ракеты . Масса ракеты вместе с топливом равна M, масса самой ракеты . Ракета при горении топлива может выбрасывать газы со скоростью u. Какую максимальную скорость v может развить ракета при полном расходовании топлива? Из уравнения Мещерского в этом случае получаем

1. mdv =—udm, или
2. .
3. — уравнение Циолковского,
4. где — число Циолковского.

Проинтегрируем левую и правую части этого уравнения

Чтобы ракета при существовавших на то время видах топлива развивала первую космической скорости 8 км /с, необходимо было иметь очень большое число , т.е. масса топлива во много раз должна была превышать массу оболочки ракеты.

Чтобы избежать этого Циолковский предложил использовать многоступенчатые ракеты. После выгорания топлива в одной ступени ракеты эта ступень отбрасывается , и начинает работать следующая ступень ракеты.

Циолковский таким образом предсказал полеты человека в космическое пространство.

^

Для простоты рассмотрим случай плоского движения, т.е. траектория движения материальной точки лежит в одной плоскости, которую мы расположим перпендикулярно плоскости листа. Выберем на плоскости начало координат О и положение материальной точки будем описывать радиус-вектором . Скорость точки , ее импульс , ускорение , и сила будут расположены в плоски движения материальной точки, как показано на рисунке.

• Введем две новые физические величины: момент силы и момент импульса относительно начала координат O.
• —
• — момент силы относительно начала координат.
• Модуль вектора равен

, где — угол между векторами и . Если опустить перпендикуляр из точки O на направление действия силы, то его длина будет плечом силы , и модуль момента сил будет равен произведению силы на плечо, т.е. , что совпадает со школьным определением момента силы.

Аналогично моменту силы вводится момент импульса

1. —
2. — момент импульса материальной точки относительно начала координат.
3. ,

где — угол между векторами и , —плечо импульса , т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки O на направление вектора материальной точки. Оба вектора и , согласно определения направлены перпендикулярно плоскости движения материальной точки.

• В общем случае неплоского движения, направление векторов и не совпадают, но существует закон, который связывает момент импульса с моментом силы . Чтобы установить этот закон, возьмем производную от вектора :
• .
• —
• —закон изменения момента импульса материальной точки относительно начала координат.
• Закон сохранения момента импульса системы материальных точек
• Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек: Выберем начало координат О, тогда положение точек будет задаваться радиус-векторами
• .
• ,
• и пусть между материальными точками системы действуют силы внутреннего взаимодействия , а также на материальные точки действуют внешние силы . Определим моменты этих сил относительно начала координат:
• — момент внутренней силы ,
• — момент внешней силы .
• .

В результате получаем: Пусть материальные точки обладают импульсами Определим также моменты импульсов материальных точек Далее для каждой материальной точки запишем закон изменения момента импульса Просуммировав левые и правые части этих уравнений, получим

Силы взаимодействия между материальными точками действуют в противоположные стороны вдоль одной и той же прямой. Их моменты относительно начала координат О равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил равна нулю. В результате получим

1. .
2. Если система материальных точек является замкнутой, то , и тогда имеет место закон сохранения момента импульса
3. —
4. — закон сохранения момента импульса системы материальных точек.

Если система материальных точек является замкнутой, то суммарный момент импульса системы остаётся постоянным, т.е. сохраняется во времени.

Скачать файл (1245.3 kb.) Нажми чтобы узнать.

Источник: https://gendocs.ru/v39768/?cc=3

Научно-учебный комплекс ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ НАУКИ МГТУ им.Н.Э.Баумана — Динамика материальной точки

Тема «Динамика точки» позволяет отработать на примере движения простейшей системы практические навыки составления и реше­ния задач динамики. Этим тема привлекательна для курсового задания.

В работе [1] отмечены основные моменты, которые должен уметь делать студент — выбрать систему координат, выявить закон изменения проекций сил на оси, составить и проинтегрировать дифференциальные уравнения движения, найти искомые величины, правильно использовать начальные ус­ловия движения. В [1] даются варианты заданий для каждого студента инди­видуальные. При этом в заданиях рассматриваются движения точки в под­вижной и неподвижной системах отсчета. В задании приведены примеры решения задач данного задания.

Работа [2] была подготовлена с учетом опыта использования пособия [1]. Была произведена систематизация вариантов заданий, задачи имели хорошее физическое содержание. В них движение материальной точки совер­шалось в два этапа, при этом на каждом этапе менялся характер движения (в подвижной или неподвижной системах координат) или менялся характер на­грузки на материальную точку.

Студент должен научиться стыковать реше­ния на каждом этапе движения, выбирать правильно на этапах движения на­чальные условия. Приведенные в задании типовые примеры полно отражают содержание вариантов задания. Варианты заданий также индивидуальны для каждого студента. Авторы создали ряд оригинальных задач, некоторые зада­чи навеяны содержанием сборника задач кафедры ТМ (1976 г.).

В [3] сделана попытка соединить в каждом варианте задания для студента первой и второй задач динамики точки. В задачах также на этапах решения надо найти необходимые начальные усло­вия.

• В [2,3] даны ответы к задачам задания.
• Работа [4] предназначена для самостоятельного изучения темы «Дина­мика точки» и использования полученных знаний при самостоятельном ре­шении задач и выполнении курсового задания.
• Приведены примеры решения первой и второй задач динамики точки, приводятся решения задач о движении точки в инерциальной и неинерциальной системах отсчета.

Для каждого типа задач в пособии даны задачи для самостоятельного решения. Добавлено большое количество оригинальных задач.

Задание [5] в настоящее время используется в учебном процессе. В зада­нии решается вторая задача динамики точки.

Варианты заданий обновлены, приведены примеры выполнения вариан­тов заданий, даны ответы к вариантам заданий. Приведен пример численного решения задачи, задания с помощью ЭВМ, и приведены графики, построенные по результатам вычисления.

Литература

1. Астафьев В. В., Гатауллина Г. И., Русанов П. Г., Саратов Ю. С. За­дания по курсу «Теоретическая механика». Раздел «Динамика точки». МВТУ, М. 1972.
2. Огурцов А. И., Саратов Ю. С. Динамика точки. Методические ука­зания по выполнению домашних заданий по курсу «Теоретическая механи­ка». МВТУ. М. 1978.
3. Методические указания к курсовой работе по теоретической ме­ханике. Раздел «Динамика точки». В. Н. Баранов, Я. А. Болотникова, Т. И. Го­рина, В. Г. Кинелев, В. И. Лямин. МВТУ. М. 1986.
4. Динамика материальной точки. Н. И. Бондаренко, Н. В. Борохова, В. Г. Кинелев, Ю. С. Саратов. МГТУ. М. 1990.
5. Саратов Ю. С., Баранов В. Н., Нарская Н. Л. Динамика материаль­ной точки. МГТУ. М. 1999.

Источник: http://fn.bmstu.ru/methodical-work-fs-3/117-cources-dynamics

Материальная точка — это… Что такое Материальная точка?

Материа́льная то́чка (частица) — простейшая физическая модель в механике — идеальное тело, размеры которого равны нулю, можно также считать размеры тела бесконечно малыми по сравнению с другими размерами или расстояниями в пределах допущений исследуемой задачи. Положение материальной точки в пространстве определяется как положение геометрической точки.

Практически под материальной точкой понимают обладающее массой тело, размерами и формой которого можно пренебречь при решении данной задачи.[1]

При прямолинейном движении тела достаточно одной координатной оси для определения его положения.

Содержание 1 Особенности 2 Следствия 3 Ограничения 4 Примечания

Особенности

Масса, положение и скорость материальной точки в каждый конкретный момент времени полностью определяют её поведение и физические свойства[2].

Следствия

Механическая энергия может быть запасена материальной точкой лишь в виде кинетической энергии её движения в пространстве, и (или) потенциальной энергии взаимодействия с полем.

Это автоматически означает неспособность материальной точки к деформациям (материальной точкой может быть названо лишь абсолютно твёрдое тело) и вращению вокруг собственной оси и изменениям направления этой оси в пространстве .

Вместе с этим модель движения тела, описываемого материальной точкой, которое заключается в изменении её расстояния от некоторого мгновенного центра поворота и двух углов Эйлера, которые задают направление линии, соединяющей эту точку с центром, чрезвычайно широко используется во многих разделах механики.

Ограничения

Ограниченность применения понятия о материальной точке видна из такого примера: в разреженном газе при высокой температуре размер каждой молекулы очень мал по сравнению с типичным расстоянием между молекулами. Казалось бы, им можно пренебречь и считать молекулу материальной точкой.

Однако это не всегда так: колебания и вращения молекулы — важный резервуар «внутренней энергии» молекулы, «ёмкость» которого определяется размерами молекулы, её структурой и химическими свойствами. В хорошем приближении как материальную точку можно иногда рассматривать одноатомную молекулу (инертные газы, пары металлов, и др.

), но даже у таких молекул при достаточно высокой температуре наблюдается возбуждение электронных оболочек за счёт соударений молекул, с последующим высвечиванием.

Примечания

1. ↑ Курс физики. Трофимова Т. И. М.: Высш. шк., 2001, изд. 7-ое.
2. ↑ Материальная точка также может иметь заряд (подробнее см. Электродинамика)

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/599