Математическое ожидание — справочник студента

Азартные игры были главной причиной возникновения и развития теории вероятностей. Эта теория, как и любая другая математическая теория, устанавливает свои законы и теоремы, которые приводят к некоторой путанице. Действительно, кажется странным, что случай может регулироваться законами, потому что если это так, и если мы знаем эти законы, мы можем выиграть в случайной игре — действительно несбыточная мечта. Первое, что нужно прояснить, это то, что случайной является игра, в которой игрок не может иметь никакого влияния на исход игры. Ни шахматы, ни спортивный бридж не являются случайными играми. А вот бросание монеты и рулетка — случайные игры.

Математическое ожидание

В некоторых играх, таких как обычная лотерея или бинго, игрок не принимает никакого участия, выходящего за рамки приобретения билета. Другие, такие как игры казино (рулетка и блэк джек), допускают более активное участие игрока, который может управлять ставками и выбирать тип игры. Вообще говоря, чем меньше участие, чем больше выигрыш.

В любом случае, у нас есть четкое ощущение, что в выигрыше всегда оказывается казино. Это потому, что с математической точки зрения, игра не является справедливой.

Понятие справедливой игры тесно связано с математическим ожиданием, которое впервые было введено голландским математиком Яном де Виттом (1625–1672) в трактате о пожизненной ренте (1671).

В игре, где известны вероятности событий, которые в ней происходят, математическое ожидание, обозначаемое буквой , представляет собой средний выигрыш за игру. Игра считается справедливой, когда математическое ожидание равно нулю. Посмотрим на примере, как найти математическое ожидание.

Предположим, что кто-то предлагает следующую игру: мы бросаем кости, если выпадает , то вы платите € , а если что-то другое, то вы выигрываете € . Первое, что нужно сделать, это вычислить вероятность каждого события.

Математическое ожидание рассчитывается как сумма всех вероятностей, умноженных на соответствующие доходы или убытки, (доход берем со знаком “плюс’’, убыток — со знаком “минус’’). В нашем случае математическое ожидание будет равно

Это сумма средней прибыли, которую получит наш противник, если мы согласимся на игру. Эта игра будет справедливой, если при выпадении чего-либо, отличного от , мы будем получать евро в случае подвижного, поскольку:

   

В некоторых случаях интуиция может помочь определить, является ли игра благоприятной, неблагоприятной или несправедливой, но существует много ситуаций, в которых эта интуиция не является полезным инструментом, и становится необходимым использовать карандаш и бумагу.

Есть множество примеров, которые показывают, как интуиция может ввести в заблуждение.

Например, на собрании, в котором участвуют человека, вероятность встретиться двум людям, имеющим день рождения в один и тот же день, несколько выше, чем вероятность выпадения орла при бросании монеты.

Вот еще один пример. Предположим, что два игрока и играют в следующую игру. Игрок случайным образом берет одну карту из колоды в карт.

Если у него валет, дама или король, игрок должен заплатить € , если туз, то игрок платит игроку €, и если любая другая карта, то также проигрывает , который должен заплатить игроку €. Кто выиграет? Сначала найдем вероятность каждого исхода.

В колоде 36 карт, из которых только валетов, королей и дам, поэтому вероятность вытянуть одну из этих карт:

•    
• Так как есть только туза, то вероятность вытянуть один из них
•    
• Исключим валетов, дам, королей и тузов, оставшихся карт в колоде, в общей сложности , поэтому вероятность вытянуть карту, отличную от перечисленных:
•    
• Теперь мы можем применить формулу для расчета математического ожидания игры.
•    
•    

Это средняя прибыль игрока . Ясно, что игра не является справедливой.

Источник: http://www.enriquegracian.com/articulos/esperanza-matematica

Источник: http://hijos.ru/2012/05/30/matematicheskoe-ozhidanie/

4.3.5. Математическое ожидание и дисперсия

Пусть мы измеряем случайную величину N раз, например, десять раз измеряем скорость ветра и хотим найти среднее значение. Как связано среднее значение с функцией распределения?

Будем кидать игральный кубик большое количество раз. Количество очков, которое выпадет на кубике при каждом броске, является случайной величиной и может принимать любые натуральные значения от 1 до 6.

Среднее арифметическое выпавших очков, подсчитанных за все броски кубика, тоже является случайной величиной, однако при больших N оно стремится ко вполне конкретному числу – математическому ожиданию Mx.

В данном случае Mx = 3,5.

Каким образом получилась эта величина? Пусть в N испытаниях раз выпало 1 очко, раз – 2 очка и так далее. Тогда При N → ∞ количество исходов, в которых выпало одно очко, Аналогично, Отсюда

Модель 4.5. Игральные кости

Предположим теперь, что мы знаем закон распределения случайной величины x, то есть знаем, что случайная величина x может принимать значения x1, x2, …, xk с вероятностями p1, p2, …, pk. Математическое ожидание Mx случайной величины x равно

Математическое ожидание случайной величины часто обозначается как . Записи и Mx эквивалентны.

Пример 1

Найти математическое ожидание числа очков, которые выбьет первый стрелок в предыдущем примере.

Закон распределения рассматриваемой случайной величины может быть задан следующей таблицей: Значит, Ответ. 2,8.

Математическое ожидание не всегда является разумной оценкой какой-нибудь случайной величины. Так, для оценки средней заработной платы разумнее использовать понятие медианы, то есть такой величины, что количество людей, получающих меньшую, чем медиана, зарплату и большую, совпадают.

Медианой случайной величины называют число x1/2 такое, что p (x

Источник: https://mathematics.ru/courses/algebra/content/chapter4/section3/paragraph5/theory.html

Формула математического ожидания дискретной и случайной величины: расчет и пример

После определенного количества бросков при помощи не сложных расчетов можно найти среднее арифметическое значение выпавших очков.

Также, как и выпадение любого из значений диапазона, эта величина будет случайной.

А если увеличить количество бросков в несколько раз? При больших количествах бросков среднее арифметическое значение очков будет приближаться к конкретному числу, получившему в теории вероятностей название математического ожидания.

Итак, под математическим ожиданием понимается среднее значение случайной величины. Данный показатель может представляться и в качестве взвешенной суммы значений вероятной величины.

Это понятие имеет несколько синонимов:

• среднее значение;
• средняя величина;
• показатель центральной тенденции;
• первый момент.

• Иными словами, оно является ничем иным как числом вокруг которого распределяются значения случайной величины.
• В различных сферах человеческой деятельности подходы к пониманию математического ожидания будут несколько отличаться.
• Оно может рассматриваться как:

• средняя выгода, полученная от принятия какого-то решения, в том случае, когда такое решение рассматривается с точки зрения теории больших чисел;
• возможная сумма выигрыша либо проигрыша (теория азартных игр), рассчитанная в среднем для каждой из ставок. На сленге они звучат как «преимущество игрока» (позитивно для игрока) либо «преимущество казино» (негативно для игрока);
• процент прибыли, полученной от выигрыша.

Матожидание не является обязательным для абсолютно всех случайных величин. Оно отсутствует для тех у которых наблюдается расхождение соответствующей суммы или интеграла.

Как и любому статистическому параметру, математическому ожиданию присущи свойства:

• в случае, когда речь идет о постоянной величине С, ее математическое ожидание равно этой постоянной Мс=С;
• вычисленное для суммы случайных независимых величин математическое ожидание будет равняться сумме математических ожиданий данных величин M(х+у)=Мх+Му;
• вычисленное для произведения случайных независимых величин математическое ожидание будет равняться произведению математических ожиданий данных величин M(х•у)=Мх•Му;
• при наличии постоянного множителя его можно располагать перед знаком математического ожидания М(СХ)=СМ(Х).

Основные формулы для математического ожидания

Вычисление математического ожидания может выполняться как для случайных величин, характеризующихся как непрерывностью (формула А), так и дискретностью (формула Б):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, где xi – значения случайной величины, pi – вероятности:
2.  M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, где f(x) – заданная плотность вероятностей.

Примеры вычисления математического ожидания

Пример А.

Можно ли узнать средний рост гномов в сказке о Белоснежке. Известно, что каждый из 7 гномов имел определенный рост: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 и 0,81 м.

Алгоритм вычислений достаточно прост:

• находим сумму всех значений показателя роста (случайная величина): 1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• полученную сумму делим на количество гномов: 6,31:7=0,90.

Таким образом, средний рост гномов в сказке равен 90 см. Иными словами таково математическое ожидание роста гномов.

1. Пример Б.
2. Рассчитать математическое ожидание для случайной дискретной величины при ее заданных значениях (х) и их вероятностях (р): х -4 6 10
3. р 0,2 0,3 0,5
4. Рабочая формула — М(х)=4•0,2+6•0,3+10•0,5=6

Практическая реализация математического ожидания

К вычислению статистического показателя математического ожидания прибегают в различных сферах практической деятельности. В первую очередь речь идет о коммерческой сфере. Ведь введение Гюйгенсом этого показателя связано с определением шансов, которые могут быть благоприятными, либо напротив неблагоприятными, для какого-то события.

Также данный показатель может использоваться при расчете эффективности проведения тех или иных мероприятий, например, по охране труда. Благодаря ему можно вычислить вероятность наступления события.

Еще одна сфера применения данного параметра – менеджмент. Также он может рассчитываться при контроле качества продукции. Например, при помощи мат. ожидания можно рассчитать возможное количество изготовления бракованных деталей.

Незаменимым мат.ожидание оказывается и при проведении статистической обработки полученных в ходе научных исследований результатов.

Он позволяет рассчитать и вероятность проявления желательного либо нежелательного исхода эксперимента или исследования в зависимости от уровня достижения поставленной цели.

Ведь ее достижение может ассоциироваться с выигрышем и выгодой, а ее не достижение – в качестве проигрыша либо убытка.

Использование математического ожидания на Форекс

Практическое применение данного статистического параметра возможно при проведении операций на валютном рынке. С его помощью можно осуществлять анализ успешности торговых сделок. При чем увеличение значения ожидания свидетельствует об увеличении их успешности.

Также важно помнить, что математическое ожидание не должно рассматриваться в качестве единственного статистического параметра используемого для анализа работы трейдера. Использование нескольких статистических параметров наряду со средним значением повышает точность проводимого анализа в разы.

Данный параметр хорошо зарекомендовал себя при мониторинговых наблюдениях за торговыми счетами. Благодаря ему выполняется быстрая оценка работ, осуществляемых на депозитном счете.

В тех случаях, когда деятельность трейдера удачна и он избегает убытков, пользоваться исключительно расчетом математического ожидания не рекомендуется.

В этих случаях не учитываются риски, что снижает эффективность анализа.

Проведенные исследования тактик трейдеров свидетельствуют о том, что:

• наиболее эффективными оказываются тактики, базирующиеся на случайном входе;
• наименее эффективны – тактики, базирующиеся на структурированных входах.

В достижении позитивных результатов не менее важны:

• тактика управления капиталом;
• стратегии выходов.

Используя такой показатель как математическое ожидание можно предположить каким будет прибыль либо убыток при вложении 1 доллара. Известно, что этот показатель, рассчитанный для всех игр, практикуемых в казино, в пользу заведения. Именно это позволяет зарабатывать деньги. В случае длинной серии игр вероятность потери денег клиентом существенно возрастает.

Игры профессиональных игроков ограничены небольшими временными промежутками, что увеличивает вероятность выигрыша и снижает риск проигрыша. Такая же закономерность наблюдается и при выполнении инвестиционных операций.

Инвестор может заработать значительную сумму при положительном ожидании и совершении большого количества сделок за небольшой временной промежуток.

В качестве примера можно рассмотреть следующий: позиция – 12,5 тыс. долларов, портфель — 100 тыс. долларов, риск на депозит – 1%. Прибыльность сделок составляет 40% случаев при средней прибыли 20%. В случае убытка средние потери составляют 5%. Расчет математического ожидания для сделки дает значение в 625 долларов.

(1

Источник: https://forex365.ru/indicators/formula-matematicheskogo-ozhidaniya.html

Оценки математического ожидания и дисперсии, их свойства. Примеры

Пусть имеется случайная величина Х с математическим ожиданием m и дисперсией D, при этом оба эти параметра неизвестны.

Над величиной Х произведено N независимых экспериментов, в результате которых была получена совокупность N численных результатов x1, x2, …, xN.

В качестве оценки математического ожидания естественно предложить среднее арифметическое наблюдаемых значений

(1)

Здесь в качестве xi рассматриваются конкретные значения (числа), полученные в результате N экспериментов. Если взять другие (независимые от предыдущих) N экспериментов, то, очевидно, мы получим другое значение . Если взять еще N экспериментов, то мы получим еще одно новое значение . Обозначим через Xi случайную величину, являющуюся результатом i-го эксперимента, тогда реализациями Xi будут числа, полученные в результате этих экспериментов. Очевидно, что случайная величина Xi будет иметь такую же плотность распределения вероятности, что и исходная случайная величина Х. Также считаем, что случайные величины Xi и Xj являются независимыми при i, не равном j (различные независимые друг относительно друга эксперименты). Поэтому формулу (1) перепишем в другом (статистическом) виде:

(2)

Покажем, что оценка является несмещенной:

Таким образом, математическое ожидание выборочного среднего  равно истинному математическому ожиданию случайной величины m. Это достаточно предсказуемый и понятный факт. Следовательно, за оценку математического ожидания случайной величины можно принять выборочное среднее (2). Теперь возникает вопрос: что происходит с дисперсией оценки математического ожидания при увеличении числа экспериментов? Аналитические вычисления показывают, что

,

где  — дисперсия оценки математического ожидания (2), а D — истинная дисперсия случайной величины X.

Из вышесказанного следует, что с ростом N (количества экспериментов) дисперсия оценки уменьшается, т.е. чем больше мы суммируем независимые реализации, тем ближе к математическому ожиданию мы получим оценку.

На первый взгляд наиболее естественной оценкой представляется

(3)

где  вычисляется по формуле (2). Проверим, является ли оценка  несмещенной. Формула (3) может быть записана следующим образом [1]:

.

Подставим в эту формулу выражение (2):

Найдем математическое ожидание оценки дисперсии:

(4)

Так как дисперсия случайной величины не зависит от того, какое математическое ожидание у случайной величины, примем математическое ожидание равным 0, т.е. m = 0.

Тогда

	(5)
при .	(6)

Последнее равенство следует из того, что эксперименты независимы, а математическое ожидание случайной величины в каждом эксперименте равно 0. Подставляя (5) и (6) в (4), получим:

Отсюда следует, что оценка  не является несмещенной — ее математическое ожидание равно не D, а несколько меньше. Пользуясь оценкой  вместо дисперсии D, мы получим систематическую ошибку. Чтобы ликвидировать это смещение, достаточно ввести поправку, умножив величину  на (N-1)/N. Такую исправленную статистическую дисперсию мы и выберем в качестве оценки:

• Таким образом, если в результате N экспериментов мы располагаем набором N значений случайной величины
• x1, x2, …, xN,
• то для оценок математического ожидания и дисперсии необходимо воспользоваться следующими формулами:

Источник: http://studentmtuci.blogspot.com/2016/01/blog-post_94.html

Математическое ожидание в спортивном беттинге

Нашел сегодня любопытную статью все с того же ресурса, где я чаще всего провожу свое время, когда дело касается ставок на спорт. Поэтому не мог не оставить ссылку на первоисточник сегодняшней статьи. А поговорим мы сегодня о том, что такое математическое ожидание в спортивном беттинге и какую роль оно играет в этой области азартных игр.

Математическое ожидание в ставках на спорт означает среднее (ожидаемое) значение размера выигрыша по сделанному пари. Вычисление данного показателя несет определенную ценность для беттора при сравнении котировок букмекерских контор. Далее в статье вы узнаете, как вычисление математического ожидания может помочь при прогнозировании выигрыша в спортивных ставках.

Математическое ожидание в спортивном беттинге – это сумма, которую беттор может выиграть или проиграть при многочисленном заключении пари с одинаковым коэффициентом.

Формула математического ожидания в ставках довольно проста и представляет собой следующее выражение: разность произведений значения вероятности выигрыша на сумму возможного выигрыша по ставке и значения вероятности проигрыша на сумму возможного проигрыша.

(Вероятность выигрыша * сумма выигрыша по ставке) – (вероятность проигрыша * сумма проигрыша по ставке).

Расчет математического ожидания наиболее просто увидеть в примере с подбрасыванием монетки. Допустим вы все время ставите на то, что выпадет решка. Вероятность выигрыша для вас составляет 50% (0.5), собственно аналогичному значению соответствует вероятность проигрыша, 50% (0.5). Сумма ставки соответствует 100 рублям. При выпадении решки ваш выигрыш составляет 110 рублей.

Рассчитываем математическое ожидание данной ставки: (0.5 * 110) – (0.5 * 100) = 5 рублей. Это означает, что если вы многократно будете ставить на то, что выпадет решка, ваш выигрыш в итоге в среднем составит 5 рублей.

Возьмем другой пример. Ожидается футбольный матч между командами Ливерпуль и Реал Мадрид. Букмекерская контора выставила на игру следующие котировки:

• победа Ливерпуля – 3.30;
• победа Реала Мадрид – 2.18;
• ничья – 3.95.

Рассчитаем математическое ожидание для ставки на победу Ливерпуля. Стоит оговорится заранее, что в формуле будут использоваться значения вероятности, рассчитанные на основании коэффициентов букмекерской конторы. У типстера либо беттора может быть своя, отличная от букмекера, модель вычисления вероятности исходов в матче.

Рассчитать вероятность, используя котировки оператора спортивных ставок, довольно просто. Для этого необходимо единицу разделить на коэффициент исхода:

• вероятность победы Ливерпуля – 1 / 3.30 = 0.303 или 30.3%;
• вероятность победы Реала Мадрид – 1 / 2.18 = 0.459 или 45.9%;
• вероятность ничьи – 1 / 3.95 = 0.253 или 25.3%.

Определили вероятность победы команды Ливерпуль, 0.303. Соответственно значение вероятности проигрыша составит 0.459 + 0.253 = 0.712. Сумму ставки, для примера, определим в 1 000 рублей. Тогда возможный выигрыш составит: 3.30 * 1 000 рублей – 1 000 рублей = 2 300 рублей.

Полученные данные добавим в формулу и вычислим математическое значение для нашей ставки: 0.303 * 2300 – 0.712 * 1000 = 696.9 – 712 = -15.1 рублей. Мы получили отрицательное математическое ожидание для данной ставки. Это означает, что в среднем размер проигрыша для такого пари в 1 000 рублей составляет 15.1 рублей.

Так в чем же истинная польза математического ожидания?

Необходимо понимать, что отрицательное математическое ожидание по ставке вовсе не означает, что данная ставка непременно окажется проигрышной. Также помните, что котировки букмекерских контор по своей природе являются субъективными.

Также, используя расчеты математического ожидания ставок, бетторы смогут дополнительно почерпнуть информацию о ценности котировок, предлагаемые их букмекером. Ставки с минимальным отрицательным математическим ожиданием означают, что данный букмекер закладывает в коэффициенты низкую маржу.

Источник: стратегии ставок на Prognoznado.ru

Источник: https://www.sports.ru/tribuna/blogs/teoriavbettinge/1722875.html