Касательная к окружности — справочник студента

 Касательная к окружности - Справочник студента

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

1. Определения и основная теорема

В обычной жизни ты очень хорошо представляешь себе, что значит слово «коснуться». И вот представь себе, в математике тоже существует такое понятие. В этой теме мы разберёмся с выражениями «прямая касается окружности» и «две окружности касаются».

Итак.

Касательная к окружности - Справочник студента Прямая касается окружности, если имеет с ней ровно одну общую точку.

Такая прямая называется касательной к данной окружности.

Посмотри-ка внимательно: очень похоже на жизнь, не правда ли? Прямая на картинке лишь чуть-чуть дотрагивается до окружности, касается ее.

Ну вот, и точно так же:

Касательная к окружности - Справочник студента Две окружности касаются, если имеют ровно одну общую точку.

Что же тебе нужно знать о касательных и касающихся окружности?

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Коллективные способы обучения - справочник студента

Оценим за полчаса!

Самая важная теорема гласит, что:

Касательная к окружности - Справочник студента Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Запомни это прямо как таблицу умножения! Все остальные факты о касательных и касающихся окружностях основаны именно на этой теореме.

Доказывать её мы здесь не будем (можешь заглянуть в следующие уровни теории), а вот как эта самая важная теорема работает, увидим сейчас несколько раз.

2. Угол между касательной и хордой

Касательная к окружности - Справочник студента Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла.

Прежде всего: как это понимать? Подробнее о том, что такое «градусная мера дуги» написано в теме «Окружность. Вписанный угол».

Касательная к окружности - Справочник студента Здесь напомним только, что в дуге столько же градусов, сколько в центральном угле, заключающем эту дугу.То есть «градусная мера дуги» — это «сколько градусов в центральном угле» — и всё!

Ну вот, как говорит Карлсон, «продолжаем разговор».

Рисуем ещё раз теорему об угле между касательной и хордой.

Касательная к окружности - Справочник студента Смотри, хорда   разбила окружность на две дуги. Одна дуга находится ВНУТРИ угла  , а другая дуга – внутри угла  .

И теорема об угле между касательной и хордой говорит, что   равен ПОЛОВИНЕ угла  ,   равен ПОЛОВИНЕ большего (на рисунке — зеленого) угла  .

При чем же тут тот факт, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной?

Сейчас и увидим.   – радиус,   – касательная.

Касательная к окружности - Справочник студента Значит ,  . Поэтому: .Но   (  и   — радиусы) .

И осталось вспомнить, что сумма углов треугольника   равна  .

Пишем:

Касательная к окружности - Справочник студента

Короче:

Касательная к окружности - Справочник студента

Здорово, правда? И самым главным оказалось то, что  .

3. Равенство отрезков касательных

Задумывался ли ты над вопросом «а сколько касательных можно провести из одной точки к одной окружности»? Вот, представь себе, ровно две! Вот так:

А ещё более удивительный факт состоит в том, что:

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны.
  • То есть, на нашем рисунке,  .
  • И для этого факта тоже самым главным является то, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
  • Вот, убедись: проведём радиусы   и   и соединим   и  .
  –радиус.   – касательная, значит, . Ну, и так же  .

Получилось два прямоугольных треугольника   и  , у которых:

  •   — равные катеты
  •   — общая гипотенуза

(заглядываем в тему «Прямоугольный треугольник», если не помним, когда, бывают равны прямоугольные треугольники).

Но раз   то .УРА!
  1. И ещё раз повторим – этот факт тоже очень важный:
  2. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, – равны.
  3. И есть ещё один факт, который мы здесь не будем доказывать, но он может оказаться тебе полезен при решении задач.
Для любой прямой  , пересекающей окружность, , где  — отрезок касательной.
  • Хитроумными словами об этом говорят так:
  • «квадрат длины отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть».
  • Страшно? Не бойся, помни только, что в буквах это:

4. Общая касательная к двум окружностям

Прямая, которая касается двух окружностей, называется их общей касательной.

Общие касательные бывают внешние и внутренние.

Смотри на картинки.

Две внутренние общие касательные.
Две внешние общие касательные.

А всего – четыре — не больше, но может быть меньше.

Вот так:

Есть только две внешние общие касательные.
Или так: одна «внутренняя» и две «внешних».

А может быть вообще так:

только одна общая касательная:

И снова факты:

  1. Длины отрезков двух внутренних общих касательных равны
  2. Длины отрезков двух внешних общих касательных равны.

НО! При этом: внешние и внутренние касательные – разные! (а некоторых, может, и вообще нет…)

5. Касающиеся окружности

Касание окружностей бывает внешним и внутренним.

Вот такая картинка называется

«окружности касаются внешним образом».

А вот такая картинка называется

«окружности касаются внутренним образом».

Что же самое главное нужно знать?

Если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей центры.Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей.
  1. Если тебе показалось слишком длинно – посмотри картинку. Может быть ещё так:
  2. Ура, теперь ты полностью вооружён на борьбу с касательными – дерзай!

КАСАТЕЛЬНЫЕ, КАСАЮЩИЕСЯ ОКРУЖНОСТИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Касательная — прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку.

  • Касательная окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
  • Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла:  , где
  •   — касательная,
  •   — хорда,
  •   — угол, внутри которого находится дуга  .
  • Отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны:  
  • Углы, образованные касательными, проведёнными из одной точки, и прямой, проходящей через центр окружности и эту точку, равны:  .
  • Секущая — прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках:   и  .
  • Для любой прямой  , пересекающей окружность:  ,где  — отрезок касательной.

Касание окружностей: если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей их центры. Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей:

Внешнее касание  Внутреннее касание 

Для двух окружностей с центрами   и  , и радиусами   и  :

  • при внешнем касании:  ;
  • при внутреннем касании:  .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

  • Стать учеником YouClever,
  • Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 
  • А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

Источник: https://youclever.org/book/kasatelnye-kasayushhiesya-okruzhnosti-1

Электронный образовательный ресурс "подборка задач на свойство касательной к окружности"

Подборка задач на свойство касательной

Касательная к окружности - Справочник студента

Угол AОB стягивает дугу окружности в 82˚. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

Касательная к окружности - Справочник студента

Через концы A и B дуги окружности проведены касательные AC и BC. Угол AОB равен 620  Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Касательная к окружности - Справочник студента

Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный 1220. Найдите величину меньшей дуги AB, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

Касательная к окружности - Справочник студента

Угол ACO равен 280, где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите Угол АОС. Ответ дайте в градусах.

Касательная к окружности - Справочник студента

Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а Угол AОD равен 1160. Ответ дайте в градусах. 

Касательная к окружности - Справочник студента

Угол ACO равен 24. Его сторона CA касается окружности. Найдите градусную величину угла AОD  Ответ дайте в градусах

Касательная к окружности - Справочник студента

Угол между хордой AB  и касательной BC  к окружности равен 32. Найдите величину угла AОB. Ответ дайте в градусах.

Касательная к окружности - Справочник студента

Угол АОВ равен 92. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

Касательная к окружности - Справочник студента

Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а угол АОВ составляет 64о. Ответ дайте в градусах.

Касательная к окружности - Справочник студента

Угол AОB стягивает дугу окружности в 82˚. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах

Источник: https://infourok.ru/elektronniy-obrazovatelniy-resurs-podborka-zadach-na-svoystvo-kasatelnoy-k-okruzhnosti-2144158.html

Видеоурок «Касательная к окружности»

§ 1  Касательная к окружности

  • В этом уроке мы узнаем, что подразумевается под понятиями «касательная к окружности», «отрезки касательных», докажем теорему о свойстве касательной к окружности и обратную ей теорему, являющуюся признаком касательной, познакомимся со свойством отрезков касательных, рассмотрим решение задачи по данной теме.
  • Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
  • На рисунке прямая р – касательная к окружности, А – точка касания.

Касательная к окружности - Справочник студента

  1. Докажем теорему о свойстве касательной к окружности.
  2. Теорема: касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
  3. Дано: окружность с центром в точке О, прямая р – касательная к окружности, А – точка касания.

Касательная к окружности - Справочник студента

Доказать: р перпендикулярна ОА.

Доказательство: предположим, что прямая р не перпендикулярна ОА, тогда радиус ОА является наклонной к прямой р.

Так как перпендикуляр, проведенный из центра окружности к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра окружности до прямой р меньше радиуса.

Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки, но это противоречит условию, что прямая р является касательной. Таким образом, предположение сделано неверно, значит, прямая р перпендикулярна к радису ОА. Что и требовалось доказать.

Касательная к окружности - Справочник студента

К окружности с центром в точке О проведем две кастельные АВ и АС, точки В и С – точки касания. Отрезки АВ и АС называют отрезками касательных, проведенными из точки А.

Касательная к окружности - Справочник студента

  • Для них справедливо свойство:
  • Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
  • Докажем это свойство.
  • Дано: окружность с центром в точке О, АВ и АС – касательные к окружности.
  • Доказать: АВ = АС, ∠3 = ∠4.

Касательная к окружности - Справочник студента Касательная к окружности - Справочник студента

  1. Рассмотрим признак касательной – теорему, обратную теореме о свойстве касательной к окружности.
  2. Теорема: если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
  3. Докажем и это утверждение.
  4. Дано: окружность с центром в точке О, ОА – радиус окружности, прямая р, проходящая через точку А, р перпендикулярна ОА.
  5. Доказать: р – касательная.

Касательная к окружности - Справочник студента

Доказательство:

Расстояние от центра окружности до прямой равно длине перпендикуляра, а это радиус окружности ОА. Следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку. Это и означает, что прямая р является касательной к окружности. Теорема доказана.

§ 2  Решение задачи по теме урока

Рассмотрим решение задачи по теме урока.

Касательная к окружности - Справочник студента

Источник: https://znaika.ru/catalog/8-klass/geometry/Kasatelnaya-k-okruzhnosti.html

Окружность и касательная — урок. Геометрия, 8 класс

В плоскости прямая и окружность могут пересекаться или не пересекаться. При пересечении могут иметь одну или две общие точки.

1. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, то у прямой и окружности общих точек нет.

Касательная к окружности - Справочник студента

2. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то у прямой и окружности две общие точки.

Касательная к окружности - Справочник студента

В этом случае прямую называют секущей окружности.

Если прямая имеет две общие точки с окружностью, то она называется секущей.

3. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то у прямой и окружности одна общая точка.

Касательная к окружности - Справочник студента

В этом случая прямую называют касательной к окружности.

Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Касательная к окружности - Справочник студента

Предположим, что радиус (OA) не перпендикулярен к прямой, но является наклонной. Тогда из точки (O) можно провести перпендикуляр к прямой, который будет короче радиуса. А это означает, что расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, и у прямой и окружности должны быть две общие точки. Но это противоречит данной информации, наше предположение неверно.

Если из точки к окружности проведены две касательные, тоа) длины отрезков касательных от этой точки до точки касания равны,

б) прямая, проходящая через центр окружности и эту точку, делит угол между касательными пополам.

Касательная к окружности - Справочник студента

Пусть (AB) и (AC) — касательные к окружности с центром (O).

Требуется доказать, что (AB = AC) и (OA) является биссектрисой угла (A).

Треугольники (OBA) и (OCA) — прямоугольные, так как касательные перпендикулярны к радиусам в точках (B) и (C). Сторона (OA) — общая. Катеты (OB) и (OC) равны как радиусы одной и той же окружности. Треугольники равны по гипотенузе и катету, отсюда равны и катеты (AB) и (AC), и углы (BAO) и (CAO), то есть (OA) делит угол пополам.

Источник: https://www.yaklass.ru/p/geometria/8-klass/okruzhnost-9230/kasatelnaia-k-okruzhnosti-9242/re-ca89ade5-1388-4df8-af6d-be4437358f63

Окружность. Касательная к окружности. Вписанные и центральные углы

  • Вопросы занятия:
  • ·  назвать элементы окружности;
  • ·  поговорить о касательной к окружности;
  • ·  вспомнить, какие углы называют вписанными и центральными.
  • Материал урока
  • Определение.
  • Окружность – это фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной.

Касательная к окружности - Справочник студента

Чертить окружности вы научились ещё в младших классах. Давайте вспомним, как происходит этот процесс. Для того чтобы начертить окружность мы должны установить остриё циркуля в некоторой точке О. Затем, будем вращать ножку с карандашом. Карандаш начертит на плоскости листа линию, которая и называется окружностью. Точка, в которой устанавливалось острие циркуля, или точка О, называется центром окружности.

Вообще с окружностью связано 7 элементов: радиус, хорда, диаметр, дуга, круг, сектор и сегмент.

Определение.

Радиусом называется отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности. Радиус обозначают маленькой латинской буквой .

Все радиусы окружности равны между собой, т.к. длина любого радиуса – это расстояние между острием циркуля и кончиком карандаша.

Все точки окружности равноудалены от её центра, т.е. удалены от центра на расстояние, равное длине радиуса.

Теперь давайте соединим любые две точки на окружности, не проходящие через центр окружности, например,  и . У нас получился отрезок .

Определение.

Отрезок, концы которого лежат на окружности, называется хордой. Т.е. у нас хорда .

  1. Хорда, проходящая через центр окружности, называется её диаметром.
  2. Диаметр обозначают маленькой латинской буквой .
  3. Запомните, диаметр окружности в 2 раза длиннее радиуса.
  4. Все диаметры окружности равны между собой.

Отметим на окружности две точки, например,  и . Эти две точки разделили окружность на две части, каждую из которых называют дугой.

На нашем рисунке они изображены линиями разного цвета. Точки  и  называют концами дуг.

Окружность является замкнутой линией. Она разбивает плоскость на две части – внутреннюю и внешнюю.

Очень часто путают круг и окружность. Окружность – это линия (граница), а круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Хорда разбивает круг на две части, называемые сегментами. Напомним ещё, что сектором круга называется часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности, соединяющей концы этих радиусов.

Давайте вспомним, как могут располагаться окружность и прямая в зависимости от отношения расстояния от центра окружности до прямой и радиуса окружности.

Напомним, что если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки. Такая прямая называется секущей.

  • Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку.
  • Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Рассмотрим более подробно случай, когда прямая и окружность имеют одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности. А общая точка окружности и прямой называется точкой касания прямой и окружности.

Давайте из центра окружности проведём радиус к точке касания. По рисунку можно предположить, что радиус, проведённый к точке касания будет перпендикулярен касательной.

  1. Докажем это предположение.
  2. Пусть прямая  – касательная к окружности с центром в точке О и точка А – точка касания.

Предположим, что касательная  не перпендикулярна радиусу ОА. Опустим из точки О перпендикуляр на прямую . Тогда радиус ОА – является наклонной к прямой .

Поскольку перпендикуляр, проведённый из точки меньше любой наклонной, проведённой из этой же точки, то получаем, что расстояние от точки О до прямой  меньше радиуса . Но ведь тогда прямая и окружность будут пересекаться в двух точках.

В таком случае прямая  является секущей. А по условию, она – касательная. Получили противоречие.

  • Этим мы доказали свойство касательной к окружности.
  • Сформулируем его: касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
  • Задача.

Радиус  окружности с центром  делит хорду  пополам. Доказать, что касательная, проведенная через точку , параллельна хорде .

Итак, проведём радиусы ОА и ОВ. Рассмотрим треугольник . Он равнобедренный, так как стороны  – радиусы окружности. А мы знаем, что все радиусы окружности равны.

Поскольку ОК делит АВ пополам, то часть этого отрезка ОН будет являться медианой треугольника , а следовательно и высотой. То есть . По свойству касательной, касательная, проведённая в точке К будет . Таким образом, мы получили две прямые, перпендикулярные радиусу ОК. А по теореме: две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны. Значит, хорда .

Что и требовалось доказать.

Теперь давайте рассмотрим две касательные к окружности с центром О, проходящие через точку А и касающиеся окружности в точках В и С. Отрезки АВ и АС называются отрезками касательных, проведёнными из точки А.

  1. Эти отрезки обладают следующим свойством:
  2. отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
  3. Докажем это свойство.

Проведём радиусы ОВ и ОС. Рассмотрим два треугольника  и . По свойству касательных к окружности, , значит, эти треугольники прямоугольные. Гипотенуза АО – общая, катеты  как радиусы окружности, таким образом,  по двум катетам. Значит, равны , .

Что и требовалось доказать.

Задача.

Через концы хорды , равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке . Найдите .

Итак, проведём радиусы ОА и ОВ. Рассмотрим треугольник . Он является равносторонним. Так как . А тогда, .

Теперь рассмотрим треугольник . По свойствам отрезков касательных, проведённых из одной точки, . Значит, треугольник  равнобедренный.

По свойству касательной к окружности, . Тогда . По свойству углов равнобедренного треугольника, . По теореме о сумме углов треугольника имеем: .

  • Теперь, давайте сформулируем и докажем признак касательной.
  • Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Доказательство. По условию теоремы, данный радиус является перпендикуляром, проведённым из центра окружности к данной прямой. А значит, он является расстоянием от центра окружности до прямой. То есть радиус окружности и расстояние до прямой равны, а, значит, окружность с прямой имеют одну общую точку. То есть, прямая является касательной к окружности.

Что и требовалось доказать.

Задача.

К окружности с радиусом  проведена касательная из точки , удаленной от центра на расстояние, равное . Найти длину отрезка касательной от точки  до точки касания.

Рассмотрим треугольник . По свойству касательной, . Значит, треугольник  – прямоугольный. По теореме Пифагора найдём длину отрезка . Получим, что он равен .

Рассмотрим окружность. Отметим на ней две точки А и В. Эти точки разделяют окружность на две дуги. Возникает вопрос, а как узнать про какую дугу говорить? Ведь и одна, и вторая дуги стягиваются хордой АВ.

Для их различия на этих дугах берут дополнительные точки. Напомним, что дуги обозначаются специальным знаком и тремя заглавными буквами.

На экране вы видите дуги:  и .

Иногда дуга может обозначаться и двумя буквами, но только в том случае, когда точно ясно о какой дуге идёт речь. Например, если дуга стягивается диаметром. Такая дуга носит особое название – полуокружность.

  1. Определение.
  2. Угол с вершиной в центре этой окружности называется центральным углом.
  3. По рисунку видно, что центральный угол может быть любым: как меньше развёрнутого, так и больше развёрнутого.
  4. Задание.
  5. Указать центральные углы.
  6. Итак, исходя из определения, центральными углами будут:  и .
  7. А теперь поговорим о градусной мере дуги.

Пусть есть окружность с центром в точке О. Дуга  не больше полуокружности, дуга  больше полуокружности.

  • Определение.
  • Градусной мерой дуги  называется градусная мера соответствующего центрального угла .
  • Для дуги  градусной мерой считается разность: .

Две дуги вместе составляют целую окружность. А градусная мера окружности равна .

  1. Теперь давайте поговорим о таком понятии, как вписанный угол.
  2. Определение.
  3. Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

На экране изображён вписанный угол , вершина В лежит на окружности. Дуга  находится внутри данного вписанного угла. Говорят, что  опирается на дугу .

  • Сформулируем теорему о вписанном угле.
  • Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
  • Докажем это утверждение.
  • Итак, возможны три случая расположения центра окружности относительно вписанного угла: центр окружности находится на одной из сторон угла; центр окружности находится внутри вписанного угла; центр окружности находится вне вписанного угла.

Рассмотрим первый случай: пусть центр окружности находится на одной из сторон угла. Тогда луч ВО совпадает с одной из сторон .

В данном случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому её градусная мера равна . Он в свою очередь является внешним углом треугольника . По теореме о внешнем угле треугольника получаем, что .

Рассмотрев треугольник , не трудно заметить, что он равнобедренный, ведь две его стороны являются радиусами данной окружности, а значит, эти стороны равны. Тогда соответственно . И значит, можно записать, что .

Отсюда следует, что .

Рассмотрим второй случай: пусть центр окружности находится внутри угла. Тогда луч ВО находится внутри  и пересекает окружность в некоторой точке .

Рассмотрим в отдельности два полученных вписанных угла. Опираясь на доказательство, проведённое в первом из рассмотренных случаев, получаем, что , .

Сложив покомпонентно полученные равенства, получаем, что .

И рассмотрим последний случай: пусть центр окружности находится вне угла. Тогда луч ВО находится вне .

  1. Опираясь на доказательство, проведённое в первом из рассмотренных случаев, получаем, что , а .
  2. Записав разность полученных равенств, получаем, что .
  3. Что и требовалось доказать.
  4. Запишем следствия из данной теоремы.
  5. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
  6. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.
  7. Ведь градусная мера полуокружности равна 180о.
  8. Вспомним ещё одну теорему.
  9. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство. Пусть хорды .

Нужно доказать, что .

Рассмотрим треугольники . Углы  как вертикальные. Углы , так как опираются на одну дугу. Значит, треугольники  по двум углам.

Имеет место равенство отношений соответствующих сторон . Отсюда получаем, что .

Что и требовалось доказать.

Задача.

Найти величину , если известно, что хорды  и  окружности пересекаются в точке . И градусная мера дуги  равна , а дуги  – .

Рассмотрим вписанный , то есть равен .

Вписанный угол . То есть угол .

Далее рассмотрим треугольник . Искомый угол  является внешним для этого треугольника. Значит, он равен сумме несмежных с ним углов . То есть равен .

  • И прежде чем мы закончим урок давайте повторим ещё несколько утверждений.
  • Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой.
  • Угол между двумя хордами (угол с вершиной внутри окружности) равен полусумме угловых величин дуг окружности, заключённых внутри данного угла и внутри вертикального угла.
  • Угол между двумя секущими (угол с вершиной вне окружности) равен полуразности угловых величин дуг окружности, заключённых внутри угла.
  • Если из данной точки проведены к окружности касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной  равен произведению  всего отрезка секущей на его внешнюю часть.
  • Итоги урока

На этом уроке мы говорили об окружности. Назвали элементы окружности. Поговорили о касательной к окружности. А также вспомнили, какие углы называют вписанными и центральными.

Источник: https://videouroki.net/video/59-okruzhnost-kasatiel-naia-k-okruzhnosti-vpisannyie-i-tsientral-nyie-ughly.html

Касательная к окружности

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, которая называется точкой касания прямой и окружности. На рисунке 1 прямая — касательная к окружности, точка Н — точка касания прямой и окружности с центром в точке О.

Касательная к окружности - Справочник студента

Свойство касательной к окружности

Теорема

Доказательство

Дано: — касательная к окружности с центром в точке О, Н — точка касания (Рис. 2).

Доказать: ОН.

Доказательство:

Предположим, что ОН. Тогда радиус ОН является наклонной к прямой . При этом перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой , меньше наклонной ОН, тогда расстояние от центра О окружности до прямой меньше радиуса. Следовательно прямая и окружность будут иметь две общие точки, что противоречит условию: прямая — касательная. Поэтому наше предположение неверно, значит, ОН . Теорема доказана.

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Доказательство

Дано: АВ и АС — касательные к окружности с центром в точке О, В и С — точки касания (Рис. 3).

  • Доказать: АВ = АС и 3 =4.
  • Доказательство:

1 =2 = 900, т.к. ОВАВОСАС по теореме о свойстве касательной (смотри выше), поэтому АВО и АСО прямоугольные.

При этом ОВ = ОС (радиусы), АО — общая, следовательно, АВО =АСО (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников следует, что АВ = АС и 3 =4. Что и требовалось доказать.

Теорема, обратная теореме о свойстве касательной (признак касательной)

Теорема

Доказательство

Дано: ОН — радиус окружности с центром в точке О, Н, ОН (Рис. 4).

  1. Доказать: — касательная.
  2. Доказательство:

По условию радиус ОН , поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку, значит, данная прямая является касательной к окружности (по определению касательной). Теорема доказана.

  • Задача
  • Через данную точку А окружности с центром О провести касательную к этой окружности.
  • Дано: точка А лежит на окружности с центром в точке О.
  • Провести касательную к окружности так, что А.
  • Решение:
  • Строим с помощью циркуля окружность с центром в точкеО, отмечаем на данной окружности точку А.

Далее проводим прямую ОА и строим прямую , проходящую через точку А перпендикулярно к прямой ОА.

Для этого с помощью циркуля строим окружность произвольного радиуса с центром в точке А (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное красным).

Точки пересечения данной окружности с прямой ОА обозначаем буквами В и С.

Затем строим две окружности радиуса ВС с центрами в точках В и С (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом).

Данные окружности пересекаются в двух точках, обозначим их Р и Q.

Через точки Р и Q с помощью линейки проводим прямую , которая будет перпендикулярна к прямой ОА.

Итак, ОА, ОА — радиус, следовательно, — искомая касательная к окружности с центром в точке О радиуса ОА (по признаку касательной).

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

  1. Взаимное расположение прямой и окружности
  2. Градусная мера дуги окружности
  3. Теорема о вписанном угле
  4. Свойство биссектрисы угла
  5. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку
  6. Теорема о пересечении высот треугольника
  7. Вписанная окружность
  8. Описанная окружность
  9. Окружность

Правило встречается в следующих упражнениях:

  • 7 класс
  • Задание 637, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 658, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 675, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 677, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 691, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 692, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 6, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 892, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 1077, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 1171, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  1. © budu5.com, 2020
  2. Пользовательское соглашение
  3. Copyright
  4. Нашли ошибку?
  5. Связаться с нами

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3510

Определение формулы касательной к окружности

Общая формула окружности
Уравнение касательной в указанной точке

Если не использовать понятие производной, и взять объяснение из учебников середины прошлого века, то «Касательная к окружности — это прямая пересекающая окружность в двух совпадающих точках»

Окружность на  плоскости может быть представлена  в виде нескольких исходных данных

1. В виде  координат центра окружности (x0,y0) и её радиуса R.

  • В виде параметрического вида и в полярных координатах мы рассматривать не будем, так как там формулы тоже на базируются на  координатах центра окружности и радиусе. 
  • Наша задача, зная параметры  окружности  и точку принадлежащую этой окружности вычислить параметры касательной к этой окружности.
  • Эта задача, является частным решением более общего калькулятор касательная к кривой второго порядка
  • Итак, если окружность выражена формулой
  • Уравнение касательной к окружности  если нам известны параметры общего уравнения  таково:

Таким  образом, зная все коэффициенты,   мы очень легко найдем уравнение касательной в заданной точке.

ВАЖНО: При указании точки, она должна быть обязательно(!!) принадлежать окружности, и не быть точкой в какой либо стороне. В противном случае, уравнение касательной будет неверным.

Примеры

Вычислить уравнение касательной в точке (13.8, 0) к окружности выраженной формулой

Запишем коэффиценты этой кривой, взглянув на общую формулу

Общая формула окружности
Уравнение касательной в указанной точке
  1. Второй пример:
  2. Через окружность с центром (8.71, -4) и радиусом 7 проходит касательная и касается в точке (4,-4)
  3. Найти уравнение этой прямой.
  • Раз у нас заданы радиус и коордианты центтра то уравнение имеет вид
  • раскроем скобки, получим 
Общая формула окружности
Уравнение касательной в указанной точке

Отрисовав, полученные линии в GeoGebra мы убедимся что расчет произведен верно.

Формально, используя вышеупомянутую программу, касательную можно провести там проще и быстрее. Смотрите где и как проще.

Удачных расчетов!

Источник: https://abakbot.ru/online-2/330-kasatelnaya-circle

Ссылка на основную публикацию