Открытый банк заданий по теме применение производной к исследованию функций и построению графиков. Задания B7 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-4; 10). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Показать решение
Как известно, функция f(x) убывает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f'(x) меньше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).
Длина наибольшего из них — (5; 9) равна 4.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-6; -2].
Показать решение
Из графика видно, что производная f'(x) функции f(x) меняет знак с плюса на минус (именно в таких точках будет максимум) ровно в одной точке (между -5 и -4) из промежутка [-6; -2]. Поэтому на промежутке [-6; -2] ровно одна точка максимума.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Показать решение
Равенство нулю производной в точке означает, что касательная к графику функции, проведённая в этой точке, параллельна оси Ox. Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 5.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -6, -1, 1, 4 на оси абсцисс. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Показать решение
Проводим касательные к графику функции в точках с указанными абсциссами. Определяем, под каким углом они наклонены к положительному направлению оси Ox. Как известно, значение тангенса указанного угла это и есть значение производной в указанных точках.
В точках -1 и 4 касательные наклонены под острым углом, поэтому в этих точках значение производной отрицательно. Учитывая, что в точке x=-6 касательная наклонена под меньшим тупым углом (ближе к вертикальной прямой), значение производной в этой точке наименьшее.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-9; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Показать решение
Как известно, функция f(x) возрастает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f'(x) больше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-9; -8); (-5; -1); (1; 4).
Длина наибольшего из них (-5; -1), равна 4.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-4; 3].
Показать решение
Из графика видно, что производная f'(x) функции f(x) меняет знак с минуса на плюс (именно в таких точках будет минимум) ровно в одной точке x=2 из промежутка [-4; 3]. Поэтому на промежутке [-4; 3] ровно одна точка минимума.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -5, -4, -1, 1 на оси абсцисс. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Показать решение
Проводим касательные к графику функции в точках с указанными абсциссами. Определяем, под каким углом они наклонены к положительному направлению оси Ox. Как известно, значение тангенса указанного угла это и есть значение производной в указанных точках.
В точках -4 и -1 касательные наклонены под тупым углом, поэтому в этих точках значение производной отрицательно. В точках -5 и 1 касательные наклонены под острым углом, поэтому в этих точках значение производной положительно.
Учитывая, что касательная, проведённая к графику функции в точке x=1, образует больший угол с положительным направлением оси Ox, то значение производной в этой точке наибольшее.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-7; 5). В какой точке отрезка [-6; -2] функция f(x) принимает наименьшее значение?
Показать решение
Из графика видно, что производная f'(x) функции f(x) больше нуля во всех точках промежутка [-6; -2]. Значит, на этом промежутке функция f(x) возрастает. Поэтому наименьшее значение функции будет на левом конце промежутка, то есть в точке -6.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5; 7). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Показать решение
Производная отрицательна в тех точках промежутков, на которых функция убывает. Рассматривая график, находим шесть таких точек с целочисленными абсциссами: -3; -2; 1; 2; 5; 6.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
На рисунке изображён график функции y=f(x) и семь точек на оси абсцисс: x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?
Показать решение
Производная отрицательна в тех точках, которые принадлежат промежуткам убывания функции, если только касательные в них не горизонтальны.
Точками, удовлетворяющими сказанному, будут: x_1, x_4, x_5, x_6. Их оказалось 4.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Источник: https://academyege.ru/theme/primenenie-proizvodnoj-k-issledovaniyu-funkcij-i-postroeniyu-grafikov.html
Производная, часть II: геометрический смысл
Неопубликованная запись
- Продолжение задач на производные для первой части ЕГЭ.
- Геометрический смысл производной и ее применения для исследования функций.
- Первая часть о производных.
Геометрический смысл производной
- Про геометрический смысл написано много теории. Не буду вдаваться в вывод приращения функции, напомню основное для выполнения заданий:
- Производная в точке x равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке, то есть это тангенс угла наклона к оси Х.
- Возьмем сразу задание из ЕГЭ и начнем в нем разбираться:
Задание №1. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Кто очень торопится и не хочет разбираться в объяснениях: стройте до любого такого треугольника (как показано ниже) и делите стоячую сторону (вертикальную) на лежащую (горизонтальную) и будет вам счастье, если про знак не забудите (если прямая убывает(→↓), то ответ должен быть с минусом, если прямая возрастает(→↑), то ответ должен быть положительный!)
Найти нужно угол между касательной и осью Х, назовем его α: проведем параллельную оси Х прямую в любом месте через касательную к графику, получим тот же угол.
Лучше не брать точку х0, т.к. понадобится большая лупа для определения точных координат.
Взяв любой прямоугольный треугольник (на рисунке предложено 3 варианта), найдем tgα (углы, то равны, как соответственные), т.е. получим производную функции f(x) в точке x0. Почему же так?
Если мы проведем касательные в других точках x2, x1 и т.д. касательные будут другие.
- Вернемся к 7 классу, чтобы построить прямую!Уравнение прямой задается уравнением y = kx + b, где
- k — наклон относительно оси Х.
- b — расстояние между точкой пересечения с осью Y и началом координат.
Производная прямой, всегда одна и та же: y' = k.
В какой бы точке на прямой мы не взяли производную, она будет неизменна.
Поэтому, осталось только найти tgα (как было сказано выше: делим стоячую сторону на лежачую). Делим противолежащий катет на прилежащий, получаем, что k = 0,5. Однако, если график убывает, коэффициент отрицательный: k = −0,5.
Советую себя проверять вторым способом: По двум точкам можно задать прямую. Найдем координаты двух любых точек. Например, (-2;-2) и (2;-4):
- Подставим в уравнение y = kx + b вместо y и х координаты точек:
- −2 = −2k + b
- −4 = 2k + b
- Решив эту систему, получим b = −3, k = −0,5
- Вывод: Второй способ дольше, но в нем вы не забудете про знак.
- Ответ: −0,5
Задание №2. На рисунке изображён график производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, …, x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x) ?
- Если график функции убывает — производная отрицательна (верно и наоборот).
- Если график функции возрастает — производная положительна (верно и наоборот).
- Эти две фразы помогут вам решить большую часть задач.
- Внимательно смотрите, рисунок производной вам дан или функции, а дальше выбирайте одну из двух фраз.
Построим схематично график функции. Т.к. нам дан график производной, то там, где она отрицательна, график функции убывает, где положительна — возрастает!
Получается, что 3 точки лежат на участках возрастания: x4; x5; x6.
Ответ: 3
Задание №3. Функция f(x) определена на промежутке (-6; 4). На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция принимает наибольшее значение.
Советую всегда строить, как идет график функции, такими стрелочками или схематично со знаками (как в №4 и №5):
Очевидно, если график возрастает до −2, то максимальная точка и есть −2.
Ответ: −2
Задача №4. На рисунке изображён график функции f(x) и двенадцать точек на оси абсцисс: x1, x2, …, x12. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?
- Задача обратная, дан график функции, нужно схематично построить, как будет выглядеть график производной функции, и посчитать, сколько точек будет лежать в отрицательном диапазоне.
- Положительные: x1, x6, x7, x12.
- Отрицательные: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.
- Ноль: x8.
Ответ: 7
Еще один вид заданий, когда спрашивается про какие-то страшные «экстремумы»? Что это такое вам найти не составит труда, я же поясню для графиков.
Задача №5. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-16; 6). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [-11; 5].
- Отметим промежуток от -11 до 5!
- Обратим свои светлые очи на табличку: дан график производной функции => тогда экстремумы это точки пересечения с осью X.
- Ответ: 3
Задача №6. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-13; 9). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [-12; 5].
Отметим промежуток от -12 до 5!
Можно одним глазом взглянуть в табличку, точка максимума — это экстремум, такой, что до него производная положительна (функция возрастает), а после него производная отрицательна (функция убывает). Такие точки обведены в кружочек.
- Стрелочками показано, как ведет себя график функции
- Ответ: 3
Задача №7. На рисунке изображен график функции f(x),определенной на интервале (-7; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Можно посмотреть на выше приведенную табличку (производная равна нулю, значит это точки экстремума). А в даной задаче дан график функции, значит требуется найти количество точек перегиба!
- А можно, как обычно: строим схематический график производной.
- Производная равна нулю, когда график функций меняет свое направление (с возрастания на убывание и наоборот)
- Ответ: 8
Задача №8. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-2; 10). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
- Построим схематично график функции:
- Там, где он возрастает, получаем 4 целые точки: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.
- Ответ: 22
Задача №9. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-6; 6). Найдите количество точек f(x), в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 2x + 13 или совпадает с ней.
Нам дан график производной! Значит, и нашу касательную нужно «перевести» в производную.
- Производная касательной: y' = 2.
- А теперь построим обе производные:
- Касательные пересекаются в трех точках, значит, наш ответ 3.
- Ответ: 3
Задача №10. На рисунке изображен график функции f(x), и отмечены точки -2, 1, 2, 3. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
- Задание чем-то похоже на первое: чтобы найти значение производной, нужно построить касательную к этому графику в точке и найти коэффициент k.
- Если прямая убывает, k < 0.
- Если прямая возрастает, k > 0.
- Подумаем, как значение коэффициента отразится на наклоне прямой:
- При k = 1 или k = −1 график будет посередине между осями Х и У.
- Чем ближе прямая к оси Х, тем ближе коэффициент k нулю.
- Чем ближе прямая к оси Y, тем ближе коэффициент k к бесконечности.
- В точке -2 и 1 k именно там и будет наименьшее значение производной
- Ответ: 1
Задание №11. Прямая является касательной y = 3x + 9 к графику функции y = x³ + x² + 2x + 8. Найдите абсциссу точки касания.
Прямая будет касательной к графику, когда графики имеют общую точку, как и их производные. Приравняем уравнения графиков и их производные:
Решив второе уравнение, получаем 2 точки. Чтобы проверить, какая из них подходит, подставляем в первое уравнение каждый из иксов. Подойдет только один.
- Кубическое уравнение совсем решать не хочется, а квадратное за милую душу.
- Вот только, что записывать в ответ, если получится два «нормальных» ответа?
- При подстановке икса (х) в первоначальные графики y = 3x + 9 и y = x³ + x² + 2x + 8 должен получиться один и тот же Y
- y= 3×1+9=12
- y= 1³+1²+2×1+8=12
- Верно! Значит x=1 и будет ответом
Ответ: 1
Задание №12. Прямая y = − 5x − 6 является касательной к графику функции ax² + 5x − 5. Найдите a.
- Аналогично приравняем функции и их проивзодные:
- Решим эту систему относительно переменных a и x:
- Ответ: 25
- Задание с производными считается одним из самых сложных в первой части ЕГЭ, однако, при небольшой доли внимательности и понимания вопроса у вас все получится, и вы поднимете процент выполнения этого задания!
- Тест для закрепления
- Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.
- Большинство заданий взято с сайтов ФИПИ и РЕШУ ЕГЭ.
Источник: https://ik-study.ru/ege_math/gieomietrichieskii_smysl_proizvodnoi_i_ieie_primienieniia_dlia_issliedovaniia_funktsii_
Задания №7. Применение производной к исследованию функции
Елена Репина 2013-08-09 2018-11-08
Часть 3.
- Здесь смотрите части 1, 2, 4
- Продолжаем разбор Задач №8 ЕГЭ по математике.
- Сегодня нам понадобится при решении задач следующая таблица, показывающая связь знака производной с характером монотонности функции.
Пожалуйста, будьте предельно внимательны в следующем. Смотрите, график ЧЕГО вам дан! Функции или ее производной
Если дан график производной, то интересовать нас будут только знаки функции и нули. Никакие «холмики» и «впадины» не интересуют нас в принципе!
Задача 1
На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
- Решение: + показать
- Производная функции отрицательна там, где функция убывает.
- На рисунке выделены цветом области убывания функции :
- В эти области убывания функции попадает 4 целые значения .
- Ответ: 4.
Задача 2
На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.
- Решение:+ показать
- Раз касательная к графику функции параллельна (или совпадает) прямой (или, что тоже самое, ), имеющей угловой коэффициент , равный нулю, то и касательная имеет угловой коэффициент .
- Это в свою очередь означает, что касательная параллельна оси , так как угловой коэффициент есть тангенс угла наклона касательной к оси .
- Поэтому мы находим на графике точки экстремума (точки максимума и минимума), – именно в них касательные к графику функции будут параллельны оси .
- Таких точек – 4.
- Ответ: 4.
Задача 3
На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.
- Решение: + показать
- Раз касательная к графику функции параллельна (или совпадает) прямой , имеющей угловой коэффициент , то и касательная имеет угловой коэффициент .
- Это в свою очередь означает, что в точках касания.
- Поэтому смотрим, сколько точек на графике имеют ординату , равную .
- Как видим, таких точек – четыре.
- Ответ: 4.
Задача 4
На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.
- Решение: + показать
- Производная равна нулю в точках экстремума. У нас их 4:
- Ответ: 4.
Задача 5
На рисунке изображён график функции и одиннадцать точек на оси абсцисс:. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?
Решение: + показать
На промежутках убывания функции её производная принимает отрицательные значения. А убывает функция в точках. Таких точек 4.
Ответ: 4.
Задача 6
На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции .
- Решение: + показать
- Точки экстремума – это точки максимума (-3, -1, 1) и точки минимума (-2, 0, 3).
- Сумма точек экстремума: -3-1+1-2+0+3=-2.
- Ответ: -2.
Задача 7.
На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
- Решение: + показать
- На рисунке выделены промежутки, на которых производная функции неотрицательная.
- На малом промежутке возрастания целых точек нет, на промежутке возрастания четыре целых значения : , , и .
- Их сумма:
- Ответ: 14.
Задача 8.
На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.
- Решение: + показать
- На рисунке выделены цветом все промежутки, на которых производная положительна, а значит сама функция возрастает на этих промежутках.
- Длина наибольшего из них – 6.
- Ответ: 6.
Задача 9.
На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наибольшее значение.
- Решение: + показать
- Смотрим как ведет себя график на отрезке , а именно нас интересует только знак производной.
- Знак производной на – минус, так как график на этом отрезке ниже оси .
- Это означает убывание функции на отрезке .
- А значит, наибольшее значение функция принимает в начале отрезка, то есть в точке .
- Ответ: -5.
Задача 10.
На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек максимума функции , принадлежащих отрезку .
- Решение: + показать
- На рисунке изображен график производной, значит нас на этом рисунке будут интересовать только знаки и нули производной.
Мы видим на рисунке на указанном отрезке () три нуля у . Причем, производная мняет знак при переходе через них. Это точки экстремума функции (точки максимума и минимума).
- При этом производная меняет знак с «+» на «-» в точке 8, помеченной красным цветом, и с «-» на «+» в двух точках (3 и 12), помеченных синим цветом.
- Так вот при переходе через точку максимума функция меняет возрастание на убывание, а значит производная меняет знак с «+» на «-».
- Итак, точка максимума одна (помечена красным цветом).
- Ответ: 1.
Задача 11.
На рисунке изображен график функции и отмечены точки -3, 1, 6, 8. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Решение: + показать
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. В свою очередь, угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси .
- В точке -3 (точка минимума) производная равна нулю.
- В точке 6 производная положительна, так как точки лежат на промежутке возрастания функции.
- А вот в точках 1 и 8 производная отрицательна.
- При этом в точке 8 угол наклона касательной явно меньше, чем в точке 1.
- Поэтому в точке 8 тангенс угла наклона будет наименьшим, а значит и значение производной, будет наименьшее.
- Ответ: 8.
🙂 Самое время немного отдохнуть. Неправда ли? –>
Вам было нелегко?..
Этим ребятам, наверное, тоже не сладко… Не сдавайтесь!
- Вы можете пройти тест «Применение производной к исследованию функции»
- egeMax |
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Печать страницы
Источник: https://egemaximum.ru/8-primenenie-proizvodnoj/
Исследование функции и построение графика функции
 |
Приведем примерный алгоритм получения необходимых данных.
1.Нахождение области определения функции
Определение интервалов, на которых функция существует.
!!! Очень подробно об области определения функций и примеры нахождения области определения тут.
2.Нули функции
Для вычисления нулей функции, необходимо приравнять заданную функцию к нулю и решить полученное уравнение. На графике это точки пересечения с осью ОХ.
3.Четность, нечетность функции
Функция четная, если y(-x) = y(x). Функция нечетная, если y(-x) = -y(x). Если функция четная – график функции симметричен относительно оси ординат (OY). Если функция нечетная – график функции симметричен относительно начала координат.
4.Промежутки знакопостоянства
Расстановка знаков на каждом из интервалов области определения. Функция положительна на интервале — график расположен выше оси абсцисс. Функция отрицательна — график ниже оси абсцисс.
5. Промежутки возрастания и убывания функции
Для определения вычисляем первую производную, приравниваем ее к нулю. Полученные нули и точки области определения выносим на числовую прямую. Для каждого интервала определяем знак производной. Производная положительна — график функции возрастает, отрицательна — убывает.
6. Выпуклость, вогнутость
Вычисляем вторую производную. Находим значения, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Вторая производная положительна — график функции выпукл вверх. Отрицательна — график функции выпукл вниз.
7. Наклонные асимптоты
Пример исследования функции и построения графика №1
Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Пример исследования функции и построения графика №2
Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Пример исследования функции и построения графика №3
Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Пример исследования функции и построения графика №4
- Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Пример исследования функции и построения графика №5
- Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Пример исследования функции и построения графика №6
- Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Пример исследования функции и построения графика №7
- Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Пример исследования функции и построения графика №8
- Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Пример исследования функции и построения графика №9
- Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Пример исследования функции и построения графика №10
- Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Пример исследования функции и построения графика №11
- Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Пример исследования функции и построения графика №12
- Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Пример исследования функции и построения графика №13
- Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Пример исследования функции и построения графика №14
- Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Пример исследования функции и построения графика №15
- Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Пример исследования функции и построения графика №16
- Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Пример исследования функции и построения графика №17
- Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Пример исследования функции и построения графика №18
- Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Пример исследования функции и построения графика №19
- Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Пример исследования функции и построения графика №20
- Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Пример исследования функции и построения графика №21
- Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Пример исследования функции и построения графика №22
- Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Пример исследования функции и построения графика №23
- Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Пример исследования функции и построения графика №24
- Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Пример исследования функции и построения графика №25
- Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Пример исследования функции и построения графика №26
- Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.
Источник: http://matecos.ru/mat/matematika/issledovanie-funktsii-i-postroenie-grafika-funktsii.html
Секущая графика функции. Касательная к графику функции. Производная функции. Геометрический смысл производной
| Справочник по математике | Элементы математического анализа | Производная функции |
Рассмотрим график некоторой функции y = f (x), точки A= (x0; f (x0)) и B = (x1; f (x1)) на графике, прямую, проходящую через точки A и B, и произвольную точку C = (x; y) на этой прямой (рис. 1).
Рис.1
Определение 1. Прямую, проходящую через две произвольные точки графика функции, называют секущей графика функции.
- В соответствии с определением 1 прямая, проходящая через точки A и B графика функции y = f (x), является секущей этого графика.
- Выведем уравнение секущей графика функции.
- Для этого рассмотрим векторы и , координаты которых имеют вид:
Поскольку векторы и лежат на одной прямой, то справедливо равенство
 |
(1) |
где k – некоторое число.
Переписывая равенство (1) в координатах, получим систему (2):
  |
(2) |
Исключая из системы (2) переменную k , получим систему (3):
| (3) |
второе уравнение которой можно записать в следующем виде
| (4) |
Уравнение (4) и является уравнением секущей графика функции y = f (x), проходящей через точки A = (x0; f (x0)) и B = (x1; f (x1)) этого графика.
Касательная к графику функции
Проведем секущую графика функции y = f (x), проходящую через точки A и B этого графика, и рассмотрим случай, когда точка A неподвижна, а точка B неограниченно приближается к точке A по графику функции y = f (x) (рис. 2).
- Рис.2
- Неограниченное приближение точки B к точке A принято обозначать
- B → A
- и произносить «B стремится к A».
- Заметим, что, если B → A для точек A = (x0; f (x0)) и B = (x1; f (x1)) графика функции y = f (x), то это означает, что x1 → x0 .
Определение 2. Если при x1 → x0 существует предельное положение секущей графика фукнкции y = f (x), то это предельное положение секущей называют касательной к графику функции y = f (x) в точке A = (x0; f (x0)) (рис. 3) .
Рис.3
Производная функции
Определение 3. Если при x1 → x0 отношение
| (5) |
входящее в формулу (4), стремится к некоторому числу, то это число называют производной функции y = f (x) в точке x0 , обозначают f ′(x0) или и записывают так:
| (6) |
Уравнение касательной к графику функции
Из формул (4) и (6) вытекает следующее
Утверждение. Если у функции y = f (x) существует производная в точке x0 , то к графику функции y = f (x) в точке с координатами (x0; f (x0)) можно провести касательную, а уравнение этой касательной имеет вид:
| y = f′(x0) (x – x0) + f (x0) | (7) |
Геометрический смысл производной
Рассмотрим сначала возрастающую функцию y = f (x) и проведем секущую графика этой функции, проходящую через точки A = (x0; f (x0)) и B = (x1; f (x1)) (рис. 4).
Рис.4
Обозначим буквой φ угол, образованный секущей и положительным направлением оси Ox, отсчитываемый против часовой стрелки. Тогда угол BAD в треугольнике ABD на рисунке 4 равен φ , и по определению тангенса угла получаем равенство
| (8) |
причем по определению углового коэффициента прямой tg φ является угловым коэффициентом секущей графика функции y = f (x), проходящей через точки A = (x0; f (x0)) и B = (x1; f (x1)) этого графика.
Случай, когда функция y = f (x) убывает, изображен на рисунке 5
Рис.5
В этом случае угол φ является тупым, причем
то есть формула (8) справедлива и для случая, когда функция y = f (x) убывает.
Отсюда в соответствии с определением производной функции вытекает соотношение:
где буквой α обозначен угол, образованный касательной к графику функции y = f (x) в точке A = (x0; f (x0)) с положительным направлением оси Ox (рис. 6).
- Рис.6
- Таким образом, если у функции y = f (x) в точке x0 существует производная, то эта производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции y = f (x) в точке (x0; f (x0)) :
- f′(x0) = tg α ,
- где угол наклона α образован касательной и положительным направлением оси Ox и отсчитывается в положительном направлении (то есть против часовой стрелки).
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
Источник: https://www.resolventa.ru/spr/matan/tangent.htm
Исследование функции с помощью производной /qualihelpy
Теоремы о дифференцируемых функциях
Рассмотрим функции и , которые непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале .
Теорема Ферма
: если функция в точке имеет локальный экстремум, то . Геометрический смысл теоремы: касательная к графику функции в точке параллельна оси абсцисс.
-
Теорема Лагранжа:
, где . - Геометрический смысл теоремы: касательная к графику функции в точке параллельна секущей, соединяющей концы графика этой функции.
- Теорема Ролля: если и , то .
- Геометрический смысл теоремы: у графика функции существует точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс.
- Теорема Коши: если , то .
- Исследование функции с помощью первой производной
- С помощью производной функции можно определить характер монотонности функции, точки экстремума, а также ее наибольшее и наименьшее значение на заданном промежутке.
- Достаточное условие возрастания (убывания) функции:
- а) если на заданном промежутке , то функция возрастает на этом промежутке;
- б) если , то функция убывает на этом промежутке.
- Экстремум
функции - Максимумом (минимумом)
функции называют такое ее значение, которое больше (меньше) всех ее других значений в окрестности рассматриваемой точки.
Максимум и минимум функции имеют локальный характер, поскольку отдельные минимумы некоторой функции могут оказаться больше максимумов той же функции (рис. 6.4).
Максимум и минимум функции называются
экстремумом функции
.
Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называется
точкой экстремума
. На рисунке 6.
4 значения , , , и являются точками экстремума рассматриваемой функции.
Критическими точками
функции называют те значения аргумента, при которых производная функции равна нулю или не существует. Критические точки функции находят, решая уравнение: .
- Алгоритм нахождения точек экстремума функции:
- 1) находим область определения функции ;2) находим ;
- 3) находим критические точки функции, решая уравнение ;
- 4) наносим критические точки на область определения функции;
- 5) определяем знак производной функции на полученных промежутках;
- 6) определяем точки экстремума функции по правилу: если при переходе через критическую точку производная меняет знак c «+» на «–», то имеем точку максимума, а если с «–» на «+», то имеем точку минимума.
Рассмотрим функцию на отрезке . Свое наибольшее и наименьшее значение она может принимать либо на концах отрезка, либо в точках экстремума.
- Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего
значений
функции на заданном отрезке: - 1) находим ;
- 2) находим критические точки функции, решая уравнение ;
- 3) находим значение функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих данному отрезку;
- 4) определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных.
- Исследование
функции с помощью второй производной - Критическими точками второго рода
функции называют те значения аргумента, при которых вторая производная этой функции равна нулю или не существует. - Критические точки второго рода функции находят, решая уравнение .
- Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная функции меняет знак, то имеем точку перегиба
графика функции. - Если на некотором промежутке выполняется неравенство , то функция вогнута
на этом промежутке, а если , то функция
выпукла
на этом промежутке.
Источник: http://helpy.quali.me/theme/university/78
Справочник репетитора по математике. Касательные, экстремумы и исследования функций
Cправочник репетитора по математике предназначен для учащихся 5-11 классов и для преподавателей математики. Последние найдут в нем несколько оригинальных подходов к подаче и оформлению теоретических конспектов, упрощающих работу школьников с математическими понятиями и законами.
Касательная к графику функции
- Школьное определение касaтельной: прямая y=f (x) называется касательной к графику функции f (x) в точке если она проходит через точку и имеет угловой коэффициент .
- Строгое определение касательной (из курса математического анализа) : прямая называется касательной к графику функции в точке , если при
разность есть бесконечно малая величина, более высокого порядка малости чем - Иллюстрация касательной m к графику функции в точке :
- Геометрический смысл производной: Значение производной функции в точке равнo угловому коэффициенту касательной, проведенной к в точке , то есть , где k — угловой коэффициент касательной.
Комментарий репетитора по математике: угол наклона касательной определяется как направленный положительный угол, то есть тот самый угол, который вы привыкли откладывать на тригонометрическом круге от положительного направления оси OX против часовой стрелки. Поэтому, если если касательная отклонена влево от вертикального положения, ваш угол наклона окажется тупым, то есть принадлежащим промежутку . Так как тангенс любого такого угла (угла второй четверти) отрицательный, то отрицательной окажется и производная.
- Общая форма уравнения касательной:
Окончательная форма уравнения касательной : - Полезные факты для решения задач на касательную:
- 1) две наклонный прямые параллельны, тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны.
- 2) две наклонный прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно -1.
- Как найти угол наклона касательной по ее угловому коэффициенту:
- Если , то
Если , то - Достаточный признак возрастания функции: если все значения производной некоторой функции положительны внутри промежутка, то функция внутри него строго возрастает.
- Замечание репетитора по математике: если концы промежутка являются точками непрерывности функции (один или оба), то их можно присоденить к указанному промежутку возрастания.
- Достаточный признак убывания функции: если все значения производной некоторой функции отрицательны внутри промежутка, то функция внутри него строго убывает.
- Замечание репетитора по математике: если функция непрерывна на концах промежутка (на одном или на обоих), то эти концы можно присоединить к указанному промежутку убывания.
- Блиц вопросы к репетитору:
Что такое критическая точка? Внутренняя точка области определения функции называется критической, если производная в этой точке либо не сущуствует, либо она равна нулю.
Что такое стационарная точка: Если у критической точки производная равна нулю — она называется стационарной точной.
Экстремумы
Минимум функции.
Определение: Точка называется точкой минимума функции , если в некотором промежутке I оси ОХ, содержащем для всех точек выполняется неравенство . В этом случае число называется минимумом функции в точке (или локальным минимумом).
Фрагмент графика функции, имеющей точку минимума:
Комментарий репетитора по математики к рисунку: знаки — и + на оси OХ показывают на отрицательные/положитлеьные значения производной в левой/правой окрестности точки . Стрелки указывают на возрастание и убывание функции в этих крестностях. Я советую репетиторам математики включать в теоретические памятки для учеником именно такую (интегрированную) иллюстрацию минимума.
Максимум функции.
Определение:Точка называется точкой максимума функции , если в некотором промежутке I оси ОХ, содержащем для всех точек выполняется неравенство . В этом случае число называется максимумом функции в точке (или локальным максимумом).
- Фрагмент графика функции, имеющей точку максимума:
- Комментарий репетитора по математике: все обозначения и опорные знаки для подачи материала преподавателем аналогичны случаю с минимумом.
Экстремум — общее название минимума и максимума. Точка экстремума — общее название для точки минимума и точки максимума. На всех рисунках — экстремум, а — точка экстремума.
Необходимое условие существования экстремума: если — точка экстремума и в этой точке существует производная, то она равна нулю, то есть . В этом случае касательная, проведенная к графику функции будет параллельна оси ОХ.
- Достаточное условие существования экстремума: если функция y=f (x) непрерывна в точке и при переходе через производная меняет знак , то — точка экстремума.
- Признак минимума функции: если функция y=f (x) непрерывна в точке и производная меняет знак с минуса на плюс, то — точка минимума.
- Признак максимума функции: если функция y=f (x) непрерывна в точке и производная меняет знак с плюса на минус , то — точка максимума.
- Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y=f (x) на отрезке [a;b], на которм она непрерывна
1) Найдите производную от данной функции
2) Найдите стационарные точки, решив уравнение
2*) В редких случаях функция может иметь точки, в которых производной не существует. Их тоже нужно выявить.
3) Выберите из всех найденных точек те, которые попадают в исследуемый отрезок
4) Найдите значения данной функции в выбранных точках
5) Выберите среди них наименьшее и наибольшее
План исследования функции с применением производной. Построение графика.
1) Найдите производную
2) Разложите ее на множители (если это возможно) или приведите все ее дроби к общему знаменателю, а затем разложите числитель.
Тем самым вы ее готовите к дальнейшему исследованию методом интервалов
2) Определите у функции критические и стационарные точки, приравнивая числитель и знаменатель ее производной к нулю
2*) Точки, в которых производной не существует (обычно это нули знаменателя) отесите в группу тех, в которых функция будет иметь вертикальные асимптоты
- 3) Отметьте все найденные точки на оси Х и раставьте методом интервалов на образовавшихся промежутках знаки производной
- 6) Нанесите их на координатной плоскости и также по характеру стрелок проведите через эти точки график.
4) Определите промежутки монотонности (промежутки возрастания и убывания) и над каждым из них поставьте соответствующую стрелку в соответствии с видом этой монотонности
5) Определите через признак минимума и максимума (или по характеру расположения стрелок) соответствующие точки экстремумов и найдите значения функции в этих точках
Замечание репетитора по математике: аккуратнее выполняйте рисунок вблизи асимптот. График функции не должен их пересекать и обрываться рядом с ними. Плавно приближайте его к асимтоте пока на это хватает выделенного пространства системы координат.
Удачи в изучении математики!
Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике, Москва, Строгино.
Виртуальный математический справочник профессионального репетитора — преподавателя.
Источник: https://ankolpakov.ru/2011/01/05/spravochnik-repetitora-po-matematike-kasatelnye-ekstremumy-i-issledovaniya-funkcij/
Загрузка...
