Функция ланжевена — справочник студента

Функция Ланжевена - Справочник студентаФункция Ланжевена - Справочник студентаЛАНЖЕВЕН Поль (Langevin Paul) (23.I.1872 — 19.XII.1946) — французский физик, член Парижской АН (1934). Р. в Париже, в семье коммунара. Окончил Школу физики и химии (1891) и Нормальную школу (1897), после чего в течение года работал в Кавендишской лаборатории у Дж. Дж. Томсона. В 1902 получил степень доктора в Парижском ун-те. В 1900 там же получил место лаборанта, а в 1902 начал работать в Коллеж де Франс (с 1909 — профессор). Одновременно с 1903 стал профессором Школы физики и химии, заменив на этом посту П. Кюри, а с 1925 и до последних лет жизни был ее директором.

Работы посвящены ионизации газов, квантовой теории, теории относительности, ультраакустике, магнетизму.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Уже в докторской диссертации «Исследования в области ионизированных газов» изложил ряд важных и оригинальных результатов, в частности открыл существование тяжелых ионов, масса которых в 1000 раз превышает массу обычных. Однако на первом плане в творческом наследии Ланжевена стоят его исследования в области магнетизма.

  • Функция Ланжевена - Справочник студента
  • Функция Ланжевена - Справочник студента

В 1905 разработал термодинамическую и статистическую теории диа- и парамагнетизма. Доказал универсальность диамагнетизма и его связь с эффектом Зеемана, теоретически обосновал независимость диамагнетизма от температуры.

Статистическая теория парамагнетизма Ланжевена дала ясную молекулярную картину явления и возможность вычислить значения парамагнитного момента и магнитного момента атомов молекул вещества.

Развитый статистический метод Ланжевен использовал для построения теории эффекта Керра.

Разработал (1916) методы получения ультракоротких упругих волн при помощи пьезокварца. Заставляя кварц колебаться под действием переменного электрического поля, получил ультразвуковые волны.

Свой метод получения ультразвуковых волн первый применил в подводной сигнализации, ультраакустическом эхолоте, для обнаружения подводных лодок.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Структура и процесс развития конфликта - справочник студента

Оценим за полчаса!

В 1925 построил мощный излучатель высокочастотных акустических колебаний, впервые осуществив возбуждение кварца переменным током высокого напряжения, сконструировал подводный ультразвуковой кварцевый передатчик. Является пионером ультраакустики.

Функция Ланжевена - Справочник студентаФункция Ланжевена - Справочник студента

Исследования посвящены также электродинамике, электронной и квантовой теории. Принимал активное участие в развитии специальной теории относительности.

Независимо от А. Эйнштейна установил в 1906 взаимосвязь между массой и энергией и первый пришел в 1913 к понятию дефекта массы.

В 1911, исходя из идеи А. Зоммерфельда о квантовании механического действия, показал, что оно приводит к кванту магнитного момента — магнетону и вычислил его величину.

Был блестящим популяризатором и комментатором новых идей в физике. В 1911 сформулировал эффект релятивистского замедления времени в форме парадокса близнецов (участников космического путешествия). Его лекции оказали немалое влияние на французских физиков. В философских вопросах стоял на позициях материализма.

Функция Ланжевена - Справочник студента

Известный общественный деятель, активный борец за мир и справедливость, принимал активное участие в протесте против «дела Дрейфуса», в организации в 1932 вместе с А. Барбюсом и Р.

Ролланом Амстердамского антифашистского комитета, в создании Народного фронта Франции в 1935, свыше 20 лет работал в Лиге прав человека (в последние годы — президент).

Был искренним другом Советского Союза, одним из организаторов об-ва «Франция — СССР», его председателем (1946).

Член Академии наук СССР (1929), Лондонского королевского об-ва и др. Создал школу физиков (Л. де Бройль, М. де Бройль, Ф. Жолио-Кюри, Э. Боэр, П. Бикар, Р. Люка, Ф. Перрен, Ж. Соломон и др).

Сочинения:

  1. Ланжевен П. Избранные труды. Общая редакция, статья и примечания Я.Г. Дорфмана. Издание подготовила О.А. Старосельская-Никитина. Перевод А.Б. Шехтер, О.А. Старосельской- Никитиной. (Москва: Издательство Академии Наук СССР, 1960. — Серия «Классики науки»)
  2. Ланжевен П. Избранные произведения: Статьи и речи по общим вопросам науки. Перевод с французского З.А. Цейтлина. Вступительная статья А.А. Максимова. Редакция И.В. Кузнецова. (Москва: Издательство иностранной литературы, 1949)

Литература: О.А. Старосельская-Никитина. Поль Ланжевен. М. Физматлит. 1962  

«Его жажда помочь людям достичь более счастливого существования была, может быть, еще сильнее, чем его страсть к чистому интеллектуальному познанию… Я могу лишь выразить благодарность судьбе за то, что знал этого человека, этого чистого и лучезарного человека…»

А.Эйнштейн

Источник: https://www.eduspb.com/node/1565

ПОИСК

Ланжевена функция 273 Лапласа—Меллина преобразование 85 Лиувилля уравнение 26
[c.428]

Функцию ( th a—l 1а)—L (а) называют функцией Ланжевена. Впервые эта функция была введена в теории парамагнитной восприимчивости. При малых значениях а (т. е. в области не очень низких температур и не слишком больших полей) L a) можно 290
[c.290]

Здесь как и ранее, L(p)—функция Ланжевена, а р=М5/(/гвТ ). Результирующая намагниченность
[c.326]

Функция Bj(p)—обобщенная функция Ланжевена, называемая также функцией Бриллюэна. Используя (10.22), легко найти намагниченность
[c.327]

Уравнение (4.3) называется уравнением Ланжевена и представляет собой стохастическое дифференциальное уравнение, т. е. дифференциальное уравнение, коэффициенты которого (в данном случае Щ) являются случайными функциями (см. гл. V).
[c.41]

Рис. 1, График функции Ланжевена L(x). Рис. 1, a href=

В случае слабого электрического поля функция распределения электронов не зависит от его величины. Скорость дрейфа в этом случае выражается точной формулой Ланжевена
[c.83]

Аналитический вид функции Ь х) может быть найден только методами статистической физики. Мы будем называть ее обобщенной функцией Ланжевена, или для краткости просто функцией Ланжевена по своему физическому смыслу она представляет собой степень ориентации элементарных магнитных моментов.

Мы увидим в дальнейшем, что существует несколько различных функций Ь(х) — классическая функция Ланжевена и ряд квантовых функций Ланжевена.

Читайте также:  Образование как система и процесс - справочник студента

По этой причине мы не будем пользоваться явным видом функции Ь(х), тем более, что для получения большинства физических результатов существенны только следующие качественные свойства всех функций Ь(х) при X = МоН/КТ 1 (сильные поля и низкие температуры) имеет место эффект насыщения и Ь(х) 1 при х °о.

Наоборот, при х 1 (слабые поля и высокие температуры) степень ориентации магнитных моментов мала и Ь(х) 1. Тангенс угла наклона кривой Ланжевена при X = о отличен от нуля Ь (0) 0, и разложение функции Ь(х) при
[c.74]

Наконец, и функция Ланжевена и ее производная Ь (х) монотонны (Ь(х) монотонно возрастает, а Ь (х) монотонно убывает), так что качественно кривая Ланжевена имеет вид, изображенный на рис. 27.
[c.74]

Нетрудно видеть, что классическая функция Ланжевена Ь(х) представляет собой предел функции Lj (х) при у оо.
[c.246]

Точное его решение, естественно, невозможно, и мы обратимся к графическому исследованию, записав его предварительно в параметрическом виде. Обозначим аргумент функции Ланжевена через х  [c.417]

Наличие суперпарамагнетизма позволяет определить размер и количество мелкодисперсных выделений второй фазы. Размер включений определяют непосредственно по кривой, полученной при измерении намагничивания.

Начальный наклон функции Ланжевена равен МЩМ = ml kT, где — намагниченность насыщения т — магнитный момент ферромагнитной частицы, k — постоянная Больцмана.

На сплаве меди с 2% Со удалось этим методом изучать частицы выделяющейся фазы размером несколько десятых нанометра.
[c.113]

Картина, описываемая уравнением Фоккера — Планка, разумеется, полностью согласуется с уравнением Ланжевена, рассматриваемым совместно со статистическими допущениями относительно А t). Однако в уравнении (11.3.21) и в аналогичном уравнении для вероятности перехода w информация представлена в значительно более компактной форме. Если решить начальную задачу для уравнения (11.3.21) (а в данном случае это можно сделать в явном виде ), то найденная вероятность перехода позволит сразу же вычислить любое среднее значение любой функции от v посредством квадратуры.
[c.23]

Уравнение Ландау описывает приближение к равновесию без привлечения каких-либо специальных вводимых ad ho гипотез типа тех, которые понадобились в разд. 11.3 и 11.4. При простом рассмотрении уравнения Ланжевена мы вообще не располагали никакими данными о динамическом механизме взаимодействий, которые позволили бы вычислить функцию а (Г) в уравнении
[c.48]

Временные корреляционные функции. Линейные флуктуации в неравновесных системах могут изучаться как с помощью уравнения Фоккера-Планка для функции (функционала) распределения, так и с помощью эквивалентной ему системы уравнений Ланжевена для гидродинамических переменных. Наш анализ будет основан на методе Ланжевена ).
[c.242]

Существует масса работ, посвященных численному решению различных вариантов такой задачи (см. упомянутые обзоры). Во многих из них используется решетка Эйнштейна, т. е. модель независимых га -монических осцилляторов.

В [3] эта модель дополняется свойствами, призванными учесть явления связанные с увеличением энергии падения. В [4—6] развивается стохастическая теория, опирающаяся на идеи и результаты теории обобщенного броуновского движения, включающей многочастичные столкновения.

Центральное место занимает обобщенное уравнение Ланжевена, в котором явно фигурируют только координаты атома газа и п атомов поверхности. Остальная часть решетки влияет на столкновение через диссипативное ядро и гауссовскую случайную силу.

При решении уравнения Ланжевена находятся п- — траекторий и осредненная по температуре поверхности функция рассеяния.
[c.453]

Математические ожидания корреляционных флуктуаций порядка выше первого (т. е. произведения более чем двух множителей) однозначно получаются из математических ожиданий корреляционных функций первого порядка. Описанные свойства позволяют заключить, что Г+ и Г являются силами Ланжевена марковского-типа.
[c.116]

Рис. 2-4-3. Функция Ланжевена для дипольной ориентации. Рис. 2-4-3. Функция Ланжевена для дипольной ориентации.

Когда х[c.94]

На рис. 3-4-2 приведены для сравнения температурные характеристики, полученные из эксперимента и рассчитанные теоретически для намагниченности насыщения Ма ферромагнитного тела.

В случае использования функции Ланжевена Ь х)=с Ь х- -1 X получается хорошая согласованность по результатам с соотношениями, выведенными из упрощенных условий.

Направления магнитного момента ограничены
[c.183]

Как уже упоминалось выше, коллапс волновых функций удобно описывать в терминах случайных функций, удовлетворяющих уравнению типа Ланжевена.

Случайное влияние окружения, усиленное собственным динамическим хаосом, учитывается в таком уравнении двумя членами — регулярным затуханием и случайным рождением новых волновых пакетов.

Образно говоря, уже на уровне микромира мы встречаемся с «рождением» и постепенным «угасанием» волновых пакетов или волновых функций. Другими словами, жизнь начинается с микромира, а затем она может многократно усиливаться и расширяться в открытых биологических системах.
[c.14]

Функция L a) = tha—1/a называется функцией Ланжевена. Она была получена в 1905 г. Ланжевеном при аналогичном исследовании парамагнетизма (см. ниже). На рис. 44 представлен гра-
[c.262]

Наличие суперпарамагнетизма позволяет определить размер и количество мелкодисперсных выделений второй фазы. Размер включений определяется непосредственно по измеренной кривой намагничивания. Начальный наклон функции Ланжевена равен ЛН1а — М13кТ,
[c.319]

В другой работе [1095] исследовалась температурная зависимость ширины линии ФМР у частиц Ni, внедренных в поры Х-цеолита. Результаты измерений приведены на рис. 145.

Авторы этой работы разложили суммарную ширину линии на три составляюш,ие АЯ,, обусловленную полем магнитокристаллической анизотропии АЯд, связанную со взаимодействием дииольных магнитных моментов частиц, и АЯд, относяш уюся к спин-решеточной релаксации.

Величина АЯз пропорциональна дипольному магнитному моменту частицы, который, в свою очередь, пропорционален функции Ланжевена, даваемой формулой (448).
[c.327]

И 10 = 3,4-10 К . Для зависящей от спин-решеточной релаксации составляющей они получили выражение AH iT) = и Г «, где п = (4,6 0,5)-10 Г-с-К- и т = 6,8+0,7.

Зная АН2 и пользуясь функцией Ланжевена, они рассчитали затем величину намагниченности М, из которой определили средний размер частиц Ni —60 А.

В этой связи отметим, что сделанные в работах [1095, 1096] оценки размера частиц Ni полностью зависят от того, насколько справедливо предположение о суперпарамагнитном поведении образцов, которое отнюдь не очевидно.
[c.328]

Исходя из модели молекулярного поля, построить теорию ферромагнетизма полуклассическим путем, т. е. воспользоваться функцией Ланжевена L ( ). Показать, что дляГ/Гстемпература Кюри) состояние, для которого выполняется соотношение М [Т)/М (0) 9 о, является стабильным.
[c.54]

Основная идея метода Ланжевена в теории гидродинамических флуктуаций состоит во введении в уравнения переноса случайных источников , описывающих тепловой шум.

После этого уравнения переноса становятся стохастическими дифференциальными уравнениями а их решения описывают не только регулярное (усредненное) движение, но и флуктуации на фоне этого движения.

Средние значения случайных источников равны нулю, а их корреляции определяются из дополнительных условий самосо-гласования, например, из флуктуационно-диссипационной теоремы. Метод стохастических уравнений и метод уравнения Фоккера-Планка дополняют друг друга.

Отметим, однако, что эти методы, вообще говоря, не эквивалентны.

Мы видели, что уравнение Фоккера-Планка может быть выведено из фундаментального уравнения неравновесной статистической механики — уравнения Лиувилля, в то время как метод стохастических уравнений по своей сути является феноменологическим и его применимость необходимо обосновывать в каждом конкретном случае. Тем не менее, метод Ланжевена часто оказывается очень удобным, особенно при вычислении временных корреляционных функций флуктуаций. Поэтому представляет интерес построение стохастических гидродинамических уравнений, соответствующих уравнению Фоккера-Планка (9.1.63).
[c.237]

Чтобы вывести квантовомеханические уравнения Ланжевена, мы будем пользоваться представлением Гейнзенберга. В этом представлении операторы считаются зависящими от времени, а волновые функции от времени не зависят.

Временная зависимость операторов определяется уравнениями движения Гейзенберга, которые можно получить следующим путем. Допустим, мы хотим исследовать зависимость от времени для оператора Q.

Его временная производная дается уравнением
[c.255]

Полученная формула носит название закона Кюри — Вейсс а, а величина С называотся постоянной Кюри. Функция Ланжевена, выраженная формулой 182
[c.182]

Смотреть страницы где упоминается термин Ланжевена функция
: [c.695]    [c.537]    [c.674]    [c.195]    [c.633]    [c.263]    [c.11]    [c.327]    [c.105]    [c.82]    [c.244]    [c.245]    [c.416]    [c.219]    [c.257]    [c.119]    [c.279]    [c.308]    [c.523]    [c.95]    [c.281]    [c.10]    Задачи по термодинамике и статистической физике (1974) — [ c.12 ]

Термодинамика и статистическая физика Т.2 Изд.2 (2002) — [ c.273 ]

Статистическая механика (0) — [ c.145 , c.177 ]

Ланжевена

© 2019 Mash-xxl.info Реклама на сайте

Источник: https://mash-xxl.info/info/364837/

Моделирование биологических систем на GPU с использованием динамики Ланжевена

Программа курса по выбору

(весенний семестр, 32 часа, 1-6 курс)

Программу составил к.ф.-м.н. Барсегов В.А.

Лекции проходят по средам, 18.30, ауд. 214 ЛК, первое занятие — 16 февраля.

Лекция 1.

Биологические системы: белки, белок-белковые комплексы и агрегаты, ДНК, РНК, комплексы ДНК и РНК с белками. Биологические функции белков, белок ? белковых комплексов и агрегатов. Биологические свойства молекул ДНК и РНК. (4 часа)

Лекция 2.

Фундаментальные биологические процессы: фолдинг белка, механическая и термическая денатурация белка, формирование и распад белок-белковых комплексов и агрегатов. Примеры. (4 часа)

Лекция 3.

Методология численного моделирования биологических систем: молекулярная динамика в полноатомном разрешении в явном и неявном растворителе, динамика Ланжевена. Молекулярное силовое поле, аппроксимации. (4 часа)

  • Лекция 4.
  • Методология численного моделирования биологических систем с использованием динамики Ланжевена в задемпфированном растворителе. (2 часа)
  • Лекция 5.
  • Обзор особенностей архитектурных реализаций ЦПУ (CPU) и ГПУ (GPU) в контексте проведения многопоточных массивно параллельных расчётов. (2 часа)
  • Лекция 6.
  • Современные технологии CUDA и OpenCL как средство программирования на графических процессорах. (2 часа)
  • Семинар 1.
  • Использование технологии CUDA и OpenCL для программирования на графических процессорах. (2 часа)
  • Семинар 2.

Численное моделирование механической денатурации домена иммуноглобулина (домен Ig27, домен WW): построение и анализ молекулярных характеристик (силы денатурации, длины молекулярного растяжения, и т.д.). Моделирование энергетического ландшафта биомолекул с использованием аналитических моделей.(4 часа)

  1. Семинар 3.
  2. Численное моделирование белок-белкового взаимодействия в синаптотагмине (Syt1): сравнение кинетики механической денатурации отдельного домена С2А и двух взаимодействующих доменов С2А и С2В. (4 часа)
  3. Семинар 4.

Численное моделирование механической и термической денатурации вирусной капсулы HK97: анализ профиля потенциальной энергии и объема вирусной капсулы как функции силы и температуры. Сдача зачета. (4 часа)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

  1. Архитектура и программирование массивно параллельных процессоров: http://www.nvidia.ru/object/cuda_state_university_courses_ru.html
  2. GPU Gems 1, 2, 3 edited Hubert Nquyen from NVIDIA.

Источник: https://MIPT.ru/dbmp/student/files/altkurs/barsegov.php

функции Бриллюэна и Ланжевена — Brillouin and Langevin functions

Эти функции Бриллюэы и Ланжевенный представляют собой пару специальных функций , которые появляются при изучении идеализированного парамагнитного материала в статистической механике .

функция Бриллюэна

Функция Бриллюэна специальная функция определяется следующим уравнением:

В J ( Икс ) знак равно 2 J + 1 2 J COTH ⁡ ( 2 J + 1 2 J Икс ) — 1 2 J COTH ⁡ ( 1 2 J Икс ) { Displaystyle B_ {J} (х) = { гидроразрыва {2J + 1} {2J}} COTH влево ({ гидроразрыва {2J + 1} {2J}} х справа) — { гидроразрыва {1 } {2J}} CO влево ({ гидроразрыва {1} {2J}} х справа)}

Функция обычно применяется (см ниже) , в контексте , где х представляет собой действительный переменный , и J представляет собой положительное целое число , или половину-целое число. В этом случае функция изменяется от -1 до 1, приближаясь к +1 , как и -1 , как .
Икс → + ∞ { Displaystyle х до + infty}
Икс → — ∞ { Displaystyle х к — infty}

Функция является самым известным за возникающие в расчете намагниченности идеального парамагнетика . В частности, он описывает зависимость намагниченности от приложенного магнитного поля и полного углового момента квантового числа J микроскопических магнитных моментов материала.

Намагниченность определяется по формуле:
M { Displaystyle M}
В { Displaystyle B}

M знак равно N г μ В J ⋅ В J ( Икс ) { Displaystyle М = Нг му _ {B}, J CDOT B_ {J} (х)}

Читайте также:  Система воспитания в школе с. френе - справочник студента

где

  • N { Displaystyle N}
    это число атомов в единице объема,
  • г { Displaystyle г}
    г-фактор ,
  • μ В { Displaystyle му _ {В}}
    магнетон Бора ,
  • Икс { Displaystyle х}
    это отношение зеемановской энергии магнитного момента во внешнем поле к тепловой энергии : К В T { Displaystyle к_ {B}, Т}

Икс знак равно г μ В J В К В T { Displaystyle х = { гидроразрыва {г му _ {B}, JB} {к_ {B}, Т}}}

Следует отметить , что в системе единиц СИ , приведенных в Тесле обозначает магнитное поле , где это вспомогательное магнитное поле дано в А / м , и это проницаемость вакуума .
В { Displaystyle B}
В знак равно μ 0 ЧАС { Displaystyle В = му _ {0} Н}
ЧАС { Displaystyle Н}
μ 0 { Displaystyle мю _ {0}}

Нажмите кнопку «Показать», чтобы увидеть вывод этого закона:

Вывод этого закона , описывающего намагниченность идеального парамагнетике заключается в следующем. Пусть г быть направлением магнитного поля. Г-компонент углового момента каждого магнитного момента ( так называемый азимутальным квантовым числом ) может принимать одно из 2J + 1 возможных значений -J, -J + 1, …, + J. Каждый из них имеет различную энергию, за счет внешнего поля B : Энергия , связанная с квантовым числом т является
Е м знак равно — м г μ В В знак равно — К В T Икс м / J { Displaystyle Е- {т} = — мг му _ {B}, В = -K_ {B} Txm / J}

(где г является г-фактор , ц Б является магнетон Бора , а х , как определено в тексте выше). Относительная вероятность каждого из них задается фактором Больцмана :

п ( м ) знак равно е — Е м / ( К В T ) / Z знак равно е Икс м / J / Z { Displaystyle Р (т) = е ^ {- Е- {т} / (к_ {B}, Т)} / z = е ^ {хт / J} / Z}

где Z (The статсумма ) является константой нормировки , так что вероятности подвести к единице. Вычисление Z , результат:

п ( м ) знак равно е Икс м / J / ( Σ м ' знак равно — J J е Икс м ' / J ) { Displaystyle Р (т) = е ^ {хт / J} / влево ( сумма _ {т '= — J} ^ {j} е ^ {хт' / J} справа)}
,
Все сказали, среднее значение азимутального квантового числа т является

⟨ м ⟩ знак равно ( — J ) × п ( — J ) + ⋯ + J × п ( J ) знак равно ( Σ м знак равно — J J м е Икс м / J ) / ( Σ м знак равно — J J е Икс м / J ) { Displaystyle Лангле м rangle = (- J) P раз (-J) + cdots + J раз P (J) = влево ( сумма _ {т = -J} ^ {J} ^ я {хт / J} справа) / влево ( сумма _ {т = -J} ^ {j} е ^ {хт / J} справа)}
,
Знаменатель является геометрической прогрессией , а числитель представляет собой тип арифметико-геометрический ряд , так что ряды могут быть явно суммируются. После некоторой алгебры, результат оказывается

⟨ м ⟩ знак равно J В J ( Икс ) { Displaystyle Лангле м rangle = JB_ {j} (х)}

С N магнитных моментов на единицу объема, плотность намагниченность

M знак равно N г μ В ⟨ м ⟩ знак равно N г J μ В В J ( Икс ) { Displaystyle М = Нг му _ {B}, Лангле м rangle = NGJ му _ {В} B_ {J} (х)}
,

Takacs предложил следующее приближение к обратной функции Бриллюэна:

В J ( Икс ) — 1 знак равно a Икс J 2 1 — б Икс 2 { Displaystyle B_ {J} (х) ^ {- 1} = { гидроразрыва {AXJ ^ {2}} {1-BX ^ {2}}}}

где константы и определяются как
a { Displaystyle а}
б { Displaystyle Ь}

a знак равно 0,5 ( 1 + 2 J ) ( 1 — 0,055 ) ( J — 0,27 ) 2 J + 0,1 J 2 { Displaystyle а = { гидроразрыва {0,5 (1 + 2J) (1-0.055)} {(J-0.27) 2J}} + { гидроразрыва {0,1} {J ^ {2}}}}

б знак равно 0.8 { Displaystyle Ь = 0,8}

функция Ланжевена

Функция Ланжевена (синяя линия), по сравнению с (пурпурной линией).

TANH ⁡ ( Икс / 3 ) { Displaystyle TANH (х / 3)}

В классическом пределе, моменты можно непрерывно выравниваются в поле и может принимать все значения ( ).

Функция Бриллюэна затем упрощена в функции Ланжевена , названный в честь Поля Ланжевена :
J { Displaystyle J}
J → ∞ { Displaystyle J к infty}

L ( Икс ) знак равно COTH ⁡ ( Икс ) — 1 Икс { Displaystyle Ь (х) = COTH (х) — { гидроразрыва {1} {х}}}

При малых значениях х , функция Ланжевена может быть аппроксимирована с помощью усечения ее ряда Тейлора :

L ( Икс ) знак равно 1 3 Икс — 1 45 Икс 3 + 2 945 Икс 5 — 1 4725 Икс 7 + … { Displaystyle Ь (х) = { tfrac {1} {3}} х — { tfrac {1} {45}} х ^ {3} + { tfrac {2} {945}} х ^ {5 } — { tfrac {1} {4725}} х ^ {7} + точек}

Альтернатива лучше ведут себя приближение может быть получено из цепной дроби Ламберта расширения TANH ( х ) :

L ( Икс ) знак равно Икс 3 + Икс 2 5 + Икс 2 7 + Икс 2 9 + … { Displaystyle Ь (х) = { гидроразрыва {х} {3 + { tfrac {х ^ {2}} {5 + { tfrac {х ^ {2}} {7 + { tfrac {х ^ { 2}} {9+ ldots}}}}}}}}}

Для достаточно малых х , оба приближения численно лучше , чем прямая оценка фактического аналитического выражения, так как последний страдает от потери значимости .

Обратной функции Ланжевена L -1 ( х ) определена на открытом интервале (-1, 1). При малых значениях х , она может быть аппроксимирована усечением ее ряд Тейлора

L — 1 ( Икс ) знак равно 3 Икс + 9 5 Икс 3 + 297 175 Икс 5 + 1539 875 Икс 7 + … { Displaystyle л ^ {- 1} (х) = 3x + { tfrac {9} {5}} х ^ {3} + { tfrac {297} {175}} х ^ {5} + { tfrac { 1539} {875}} х ^ {7} + точки}

и по аппроксиманту Пада

L — 1 ( Икс ) знак равно 3 Икс 35 — 12 Икс 2 35 — 33 Икс 2 + О ( Икс 7 ) , { Displaystyle л ^ {- 1} (х) = {3x гидроразрыва {35-12x ^ {2}} {35-33x ^ {2}}} + О (х ^ {7}).}

Графики относительной погрешности при х ∈ [0, 1) для Cohen и Jedynak приближений

Поскольку эта функция не имеет замкнутую форму, полезно иметь действительные приближения при любых значениях х . Одним из популярного приближения, действуют на весь диапазоне (-1, 1), было опубликовано А. Коэн:

L — 1 ( Икс ) ≈ Икс 3 — Икс 2 1 — Икс 2 , { Displaystyle л ^ {-. 1} (х) около х { гидроразрыва {3-х ^ {2}} {1-х ^ {2}}}}

Это имеет максимальную относительную погрешность 4,9% в окрестности х = ± 0,8 . Большая точность может быть достигнута с помощью формулы , приведенной Р. Jedynak:

L — 1 ( Икс ) ≈ Икс 3.0 — 2,6 Икс + 0.7 Икс 2 ( 1 — Икс ) ( 1 + 0,1 Икс ) , { Displaystyle л ^ {- 1} (х) около х { гидроразрыва {3.0-2.6x + 0.7x ^ {2}} {(1-х) (1 + 0,1 x)}}}

справедливо для й ≥ 0 . Максимальная относительная погрешность этого приближения составляет 1,5% в окрестностях х = 0,85. Еще большая точность может быть достигнута с помощью формулы , приведенной М. Kröger:

L — 1 ( Икс ) ≈ 3 Икс — Икс ( 6 Икс 2 + Икс 4 — 2 Икс 6 ) / 5 1 — Икс 2 { Displaystyle л ^ {- 1} (х) около { гидроразрыва {3x-х (6х ^ {2} + х ^ {4} -2x ^ {6}) / 5} {1-х ^ 2 { }}}}

Максимальная относительная погрешность этого приближения составляет менее 0,28%. Более точное приближение было сообщено Р. Петросян:

L — 1 ( Икс ) ≈ 3 Икс + Икс 2 5 грех ⁡ ( 7 Икс 2 ) + Икс 3 1 — Икс , { Displaystyle л ^ {- 1} (х) приблизительно 3x + { гидроразрыва {х ^ {2}} {5}} грех слева ({ гидроразрыва {7x} {2}} справа) + { гидроразрыва {х ^ {3}} {1-х}}}

справедливо для й ≥ 0 . Максимальная относительная погрешность для приведенной выше формулы составляет менее 0,18%.

Новое приближение дана Р. Jedynak, лучшим сообщили аппроксимант на сложности 11:

L — 1 ( Икс ) ≈ Икс ( 3 — 1,00651 Икс 2 — 0.962251 Икс 4 + 1,47353 Икс 6 — 0,48953 Икс 8 ) ( 1 — Икс ) ( 1 + 1,01524 Икс ) , { Displaystyle л ^ {- 1} (х) около { гидроразрыва {х (3-1.00651x ^ {2} -0.962251x ^ {4} + 1.47353x ^ {6} -0.48953x ^ {8}) } {(1-х) (1 + 1.01524x)}}}

справедливо для й ≥ 0 . Максимальная относительная погрешность составляет менее 0,076%.

Текущее состояние дел в данной области техники схема аппроксимаций к функции обратного Ланжевена на рисунке ниже. Это справедливо и для рационального / Пада,

Современное состояние-оф-арт схема аппроксимаций к функции обратного Ланжевена,

В недавно опубликованной работе Р. Jedynak, обеспечивает ряд оптимальных аппроксимаций к функции обратного Ланжевена. В таблице ниже приведены результаты с правильными асимптотиками ,.

Сравнение относительных ошибок для различных оптимальных рациональных приближений, которые были вычислены с ограничениями (Приложение 8 Таблица 1)

сложность
Оптимальное приближение
Максимальная относительная погрешность [%]

3 р 2 , 1 ( Y ) знак равно — 2 Y 2 + 3 Y 1 — Y { Displaystyle R_ {2,1} (у) = { гидроразрыва {-2y ^ {2} + 3y} {1-у}}} 13
4 р 3 , 1 ( Y ) знак равно 0,88 Y 3 — 2,88 Y 2 + 3 Y 1 — Y { Displaystyle R_ {3,1} (у) = { гидроразрыва {0.88y ^ {3} -2.88y ^ {2} + 3y} {1-у}}} 0,95
5 р 3 , 2 ( Y ) знак равно 1,1571 Y 3 — 3,3533 Y 2 + 3 Y ( 1 — Y ) ( 1 — 0,1962 Y ) { Displaystyle R_ {3,2} (у) = { гидроразрыва {1.1571y ^ {3} -3.3533y ^ {2} + 3y} {(1-у) (1-0.1962y)}}} 0,56
6 р 5 , 1 ( Y ) знак равно 0,756 Y 5 — 1,383 Y 4 + 1,5733 Y 3 — 2,9463 Y 2 + 3 Y 1 — Y { Displaystyle R_ {5,1} (у) = { гидроразрыва {0.756y ^ {5} -1.383y ^ {4} + 1.5733y ^ {3} -2.9463y ^ {2} + 3y} {1- у}}} 0,16
7 р 3 , 4 ( Y ) знак равно 2,14234 Y 3 — 4,22785 Y 2 + 3 Y ( 1 — Y ) ( 0,71716 Y 3 — 0,41103 Y 2 — 0,39165 Y + 1 ) { Displaystyle R_ {3,4} (у) = { гидроразрыва {2.14234y ^ {3} -4.22785y ^ {2} + 3y} {(1-у) влево (0.71716y ^ {3} -0,41103 у ^ {2} -0.39165y + 1 справа)}}} 0,082

Также в последнем время, эффективная вблизи машину точности аппроксимация, на основе сплайна-интерполяции, была предложена Бенитесом и Montáns, где Matlab код дается также для создания сплайна на основе аппроксиманта и сравнить многие из ранее предложенных аппроксимаций во всей функции домен.

Верхний предел температуры

Когда то , когда мала, выражение намагниченности может быть аппроксимирована законом Кюри :
Икс « 1 { Displaystyle х LL 1}
μ В В / К В T { Displaystyle му _ {В} В / к_ {B}, Т}

M знак равно С ⋅ В T { Displaystyle М = С CDOT { гидроразрыва {B}, {T}}}

где константа. Можно отметить , что эффективное число магнетонов Бора.
С знак равно N г 2 J ( J + 1 ) μ В 2 3 К В { Displaystyle С = { гидроразрыва {Нг ^ {2} J (J + 1) му _ {В} ^ {2}} {3k_ {B}}}}
г J ( J + 1 ) { Displaystyle г { SQRT {J (J + 1)}}}

Верхний предел поля

Когда функция Бриллюэа переходит к 1. Намагниченность насыщает с магнитными моментами полностью выровненных с приложенным полем:
Икс → ∞ { Displaystyle х к infty}

M знак равно N г μ В J { Displaystyle М = Нг му _ {B}, J}

Рекомендации

  1. ^ Б с К. Киттель, Введение в физику твердого тела (8 изд.), Стр 303-4 ISBN  978-0-471-41526-8
  2. ^ Darby, М. И. (1967). «Таблица функции Бриллюэа и связанной с ними функцией для спонтанной намагниченности». Br. J. Appl. Phys . 18 (10): 1415-1417. Bibcode : 1967BJAP … 18.1415D . DOI : 10,1088 / 0508-3443 / 18/10/307 .
  3. ^ Takacs, Жено (2016). «Приближения для Бриллюэна и ее обратной функции». COMPEL . 35 (6): 2095.
  4. ^ Johal, AS; Dunstan, DJ (2007). «Функция энергии для каучука из микроскопических потенциалов» (PDF) . Журнал прикладной физики . 101 (8): 084917. Bibcode : 2007JAP … 101h4917J . DOI : 10,1063 / 1,2723870 .
  5. ^ Коэн, А. (1991). «А аппроксимацией Паде функции обратного Ланжевена». Rheologica Acta . 30 (3): 270-273. DOI : 10.1007 / BF00366640 .
  6. ^ Jedynak, R. (2015). «Приближение обратной функции Ланжевена вновь». Rheologica Acta . 54 (1): 29-39. DOI : 10.1007 / s00397-014-0802-2 .
  7. ^ Б с д Крегер, М. (2015). «Простые, допустимые и точные аппроксиманты обратной Ланжевенны и Бриллюэы функции, соответствующих для сильных деформаций и полимерных потоков». J Non-Ньютон жидкость Мех . 223 : 77-87. DOI : 10.1016 / j.jnnfm.2015.05.007 .
  8. ^ Б Petrosyan, R. (2016). «Улучшенные аппроксимации для некоторых моделей расширения полимера». Rheologica Acta . Arxiv : 1606,02519 . DOI : 10.1007 / s00397-016-0977-9 .
  9. ^ Б с д е Jedynak, Р. (2017). «Новые факты , касающиеся аппроксимации функции обратного Ланжевена». Журнал неньютоновских механики жидкости и газа . 249 : 8-25. DOI : 10.1016 / j.jnnfm.2017.09.003 .
  10. ^ Б с Jedynak, Р. (2018). «Комплексное исследование математических методов , используемых для аппроксимации функции обратного Ланжевена». Математика и механика твердого тела : 1-25. DOI : 10,1177 / 1081286518811395 .
  11. ^ Бенитес, JM; Montáns, FJ (2018). «Простой и эффективный численный метод для вычисления обратной функции Ланжевена с высокой точностью». Журнал неньютоновских механики жидкости и газа : 153-163. DOI : 10.1016 / j.jnnfm.2018.08.011 .

Источник: https://ru.qwe.wiki/wiki/Brillouin_and_Langevin_functions

Ссылка на основную публикацию