В предыдущих уроках мы рассмотрели каждую формулу в отдельности и разбирали примеры их применения, теперь мы научимся решать задачи, применяя несколько формул одновременно или применяя одну формулу несколько раз.
Вспомним все формулы сокращенного умножения:
- называют неполным квадратом суммы;
- называют неполным квадратом разности.
- Отличие последних двух выражений от полного квадрата состоит в том, что в полном квадрате есть удвоенное произведение выражений, а в неполном – просто их произведение.
- Перейдем к примерам:
- Пример 1: упростить:
Комментарий: для решения данного примера нужно воспользоваться двумя формулами сокращенного умножения – формулой квадрата суммы и разности квадратов. После выполнения преобразований нужно привести в полученном выражении подобные члены.
Пример 2: привести многочлен к стандартному виду:
- Данный пример можно решить несколькими способами.
- Способ 1
- Поскольку показатели степени выражений одинаковы, можно преобразовать так:
Под знаком квадрата мы видим произведение суммы выражений на их разность, а это, как нам известно, формула разности квадратов. Преобразуем:
Теперь, очевидно, перед нами формула квадрата разности.
- Преобразуем:
- Способ 2: воспользуемся формулами квадрата разности и квадрата суммы для преобразования первой и второй скобки:
- Теперь выполним умножение полученных трехчленов, напомним правило: нужно каждый член первого трехчлена умножить на каждый член второго трехчлена:
- Ответ в обоих случаях получился одинаковый, а значит, возможно применение как первого, так и второго способа, но первый способ быстрее и удобнее.
- Пример 3: упростить выражение:
- Пример, аналогичный предыдущему. Воспользуемся первым способом:
- Комментарий: аналогично предыдущему примеру воспользуемся свойством степени, в скобках получим формулу разности квадратов, распишем ее, получим формулу квадрата разности и, расписав ее, получим ответ.
- Пример 4: упростить выражение:
- Комментарий: при решении данного примера нужно дважды применить формулу разности квадратов: сначала свернуть первые две скобки, потом увидеть, что полученное выражение с третьей скобкой тоже представляют собой формулу разности квадратов, упростить полученное выражение и получить ответ.
- Пример 5: докажите тождество для любых значений , и :
- ;
Итак, мы получили . Тождество доказано.
- Комментарий: для решения данного примера нужно воспользоваться формулой разности квадратов для всех трех пар скобок и привести подобные члены в полученном выражении.
- Пример 6: упростить выражение и вычислить при :
- ;
Комментарий: для решения данного примера воспользуемся двумя формулами: для первой скобки квадрата суммы, а для следующей пары скобок – разности квадратов. После в полученном выражении приведем подобные члены и в конечный двучлен подставим значение .
- Пример 7: упростить и вычислить:
- ; ;
Комментарий: в данном примере нужно было дважды применить формулу квадрата разности, потом в полученном выражении привести подобные члены. Заметить, что полученное выражение представляет собой квадрат разности, свернуть его и легко произвести вычисление.
- Перейдем к решению уравнений.
- Пример 8:
- Комментарий: для решения данного уравнения нужно упростить левую часть, для этого к первой скобке необходимо применить формулу квадрата суммы, а к паре скобок – формулу разности квадратов, далее выполнить соответствующее умножение на , после привести подобные члены и решить линейное уравнение.
- Пример 9:
- Комментарий: для решения данного уравнения достаточно заметить, что в левой его части расписана разность кубов, свернуть ее и решить уравнение.
- Пример 10:
Комментарий: для решения данного уравнения нужно раскрыть квадрат суммы в левой части и умножить результат на 3, кроме того, расписать разность квадратов в правой части. После этого собрать все неизвестные в левой части, а свободные члены – в правой, привести подобные и решить линейное уравнение.
Вывод: в данном уроке мы разобрали много различных задач на совместное применение разных формул или использование одной формулы несколько раз. Мы научились решать различные типовые задачи, например вычислительные, на упрощение, уравнения и другие.
Список литературы
1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. – 6 изд. – М.: Просвещение, 2010.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.
3. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение. 2006.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-сайт UzTest.ru (Источник)
2. Интернет-сайт «Школьная математика» (Источник)
Домашнее задание
Задание 1: упростить выражение: а) ; б) .Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 571(8 10), с. 116.
Задание 2: решить уравнение: . Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 573(2), с. 116, № 574(3), с. 116.
Задание 3: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 583, с. 117.
Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/7-klass/mnogochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-nimi/sovmestnoe-primenenie-formul-sokraschyonnogo-umnozheniya
Формулы сокращенного умножения с примерами
Формулами сокращенного умножения (ФСУ) называют несколько наиболее часто встречающихся в практике случаев умножения многочленов
ФСУ используются при упрощении алгебраических выражений (в том числе в работе с алгебраическими дробями),решении уравнений и неравенств, при разложении на множители и т.д. Ниже мы рассмотрим наиболее популярные формулы и разберем как они получаются.
Пусть у нас возводиться в квадрат сумма двух одночленов, вот так: ((a+b)^2). Возведение в квадрат – это умножение числа или выражения само на себя, то есть, ((a+b)^2=(a+b)(a+b)). Теперь мы можем просто раскрыть скобки, перемножив их как делали это здесь, и привести подобные слагаемые. Получаем:
А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:
Квадрат суммы: ((a+b)^2=a^2+2ab+b^2)
Большинство учеников учат ее наизусть. А вы теперь знаете, как эту формулу вывести, и если вдруг забудете – всегда можете это сделать. Хорошо, но как ей пользоваться и зачем эта формула нужна? Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Давайте посмотрим на примере.
Пример. Раскрыть скобки: ((x+5)^2) Решение:
Обратите внимание, насколько быстрее и меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда вы эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет еще быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ. Поэтому они и называются формулы СОКРАЩЕННОГО умножения. Так что, знать их и научиться применять – точно стоит.
На всякий случай отметим, что в качестве (a) и (b) могут быть любые выражения – принцип остается тем же. Например:
Если вы вдруг не поняли какие-то преобразования в двух последних примерах – повторите свойства степеней и тему приведения одночлена к стандартному виду.
Пример. Преобразуйте выражение ((1+5x)^2-12x-1 ) в многочлен стандартного вида.
Решение:
| ((1+5x)^2-12x-1= ) | Раскроем скобки, воспользовавшись формулой квадрата суммы… |
| (=1+10x+25x^2-12x-1=) | …и приведем подобные слагаемые. |
| (=25x^2-2x) | Готово. |
Ответ: (25x^2-2x).
Важно! Необходимо научиться пользоваться формулами не только в «прямом», но и в «обратном» направлении.
Пример. Вычислите значение выражения ((368)^2+2·368·132+(132)^2) без калькулятора.
Решение:
| ((368)^2+2·368·132+(132)^2=) | Мда… возводить в квадрат трехзначные числа, перемножить их же, а потом все это складывать – удовольствие ниже среднего. Давайте искать другой путь: обратите внимание, что данное нам числовое выражение очень похоже на правую часть формулы. Применим ее в обратную сторону: (a^2+2ab+b^2=(a+b)^2) |
| (=(368+132)^2=) | Вот теперь вычислять гораздо приятнее! |
| (=(500)^2=250 000.) | Готово. |
Ответ: (250 000).
Выше мы нашли формулу для суммы одночленов. Давайте теперь найдем формулу для разности, то есть, для ((a-b)^2):
В более краткой записи имеем:
Квадрат разности: ((a-b)^2=a^2-2ab+b^2)
Применяется она также, как и предыдущая.
Пример. Упростите выражение ((2a-3)^2-4(a^2-a)) и найдите его значение при (a=frac{17}{8}).
Решение:
| ((2a-3)^2-4(a^2-a)=) | Если сразу подставить дробь в выражение – придется возводить ее в квадрат и вообще делать объемные вычисления. Попробуем сначала упростить выражение, воспользовавшись формулой выше и раскрыв скобки. |
| (=4a^2-12a+9-4a^2+4a=) | Теперь приведем подобные слагаемые. |
| (=-8a+9=) | Вот теперь подставляем и наслаждаемся простотой вычислений. |
| (=-8·frac{17}{8}+9=-17+9=8) | Пишем ответ. |
Ответ: (8).
Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:
Получили формулу:
Разность квадратов (a^2-b^2=(a+b)(a-b))
Эта формула одна из наиболее часто применяемых при разложении на множители и работе с алгебраическими дробями.
Пример. Сократите дробь (frac{x^2-9}{x-3}).
Решение:
| (frac{x^2-9}{x-3})(=) | Да, я знаю, что рука так и тянется сократить иксы и девятку с тройкой – однако так делать ни в коем случае нельзя, ведь и в числителе, и в знаменателе стоит минус! Попробуем воспользоваться формулой. |
| (=) (frac{x^2-3^2}{x-3})(=)(frac{(x+3)(x-3)}{x-3})(=) | Вот теперь все плюсы и минусы попрятались в скобки, и значит без проблем можем сокращать одинаковые скобки. |
| (=x+3) | Готов ответ. |
Ответ: (x+3).
Пример.Разложите на множители (25x^4-m^{10} t^6). Решение:
| (25x^4-m^{10} t^6) | Воспользуемся формулами степеней: ((a^n )^m=a^{nm}) и (a^n b^n=(ab)^n). |
| (=(5x^2 )^2-(m^5 t^3 )^2=) | Ну, а теперь пользуемся формулой (a^2-b^2=(a+b)(a-b)), где (a=5x^2) и (b=m^5 t^3). |
| (=(5x^2-m^5 t^3 )(5x^2+m^5 t^3 )) | Готов ответ. |
Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.
Пример (повышенной сложности!).Сократите дробь (frac{x^2-4xy-9+4y^2}{x-2y+3}) . Решение:
| (frac{x^2-4xy-9+4y^2}{x-2y+3})(=) | На первый взгляд тут тихий ужас и сделать с ним ничего нельзя (вариант «лечь и помереть» всерьез не рассматриваем). Однако давайте попробуем поменять два последних слагаемых числителя местами и добавим скобки (просто для наглядности). |
| (frac{(x^2-4xy+4y^2)-9}{x-2y+3})(=) |
|
| (frac{(x^2-4xy+(2y)^2)-9}{x-2y+3})(=) | Теперь приглядимся – и заметим, что в скобке у нас получилась формула квадрата разности, у которой (a=x), (b=2y). Сворачиваем по ней к виду скобки в квадрате. И одновременно представляем девятку как (3) в квадрате. |
| (frac{(x-2y)^2-3^2}{x-2y+3})(=) | Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой (a=(x-2y)), (b=3). Раскладываем по ней к произведению двух скобок. |
| (frac{(x-2y-3)(x-2y+3)}{x-2y+3})(=) | И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель. |
| (x-2y-3) | Готов ответ. |
Скачать статью
Источник: http://cos-cos.ru/math/140/
Формулы сокращенного умножения:степень суммы и степень разности
| Справочник по математике | Алгебра | Формулы сокращенного умножения |
Формулы сокращенного умножения включают в себя следующие группы формул:
Группа формул «Степень суммы» составляет Таблицу 1. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:
| (x + y)2 = (x + y)(x + y) ,(x + y)3 = (x + y)2(x + y) ,(x + y)4 = (x + y)3(x + y) |
и т.д.
Группу формул «Степень суммы» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.
Таблица 1. – Степень суммы
| Название формулы | Формула |
| Квадрат (вторая степень)суммы | (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 |
| Куб (третья степень) суммы | (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 |
| Четвертая степень суммы | (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 |
| Пятая степень суммы | (x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5 |
| Шестая степень суммы | (x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6 |
| … | … |
| Квадрат (вторая степень) суммы(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 |
| Куб (третья степень) суммы(x + y)3 == x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 |
| Четвертая степень суммы(x + y)4 = x4 + 4x3y ++ 6x2y2 + 4xy3 + y4 |
| Пятая степень суммы(x + y)5 = x5 + 5x4y ++ 10x3y2 ++ 10x2y3 ++ 5xy4 + y5 |
| Шестая степень суммы(x + y)6 = x6 + 6x5y ++ 15x4y2 ++ 20x3y3 ++ 15x2y4 + 6xy5 + y6 |
| … |
- Общая формула для вычисления суммы
- (x + y)n
- с произвольным натуральным значением n рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.
Степень разности
Если в формулах из Таблицы 1 заменить y на – y , то мы получим группу формул «Степень разности» (Таблица 2.):
Таблица 2. – Степень разности
| Название формулы | Формула |
| Квадрат (вторая степень)разности | (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 |
| Куб (третья степень) разности | (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 |
| Четвертая степень разности | (x – y)4 = x4 – 4x3y + 6x2y2 – 4xy3 + y4 |
| Пятая степень разности | (x – y)5 = x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4– y5 |
| Шестая степень разности | (x – y)6 = x6 – 6x5y + 15x4y2 – 20x3y3 + 15x2y4 – 6xy5 + y6 |
| … | … |
| Квадрат (вторая степень) разности(x – y)2 = x2 – 2xy + y2 |
| Куб (третья степень) разности(x – y)3 == x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 |
| Четвертая степень разности(x – y)4 = x4 – 4x3y ++ 6x2y2 – 4xy3 + y4 |
| Пятая степень разности(x – y)5 = x5 – 5x4y ++ 10x3y2 –– 10x2y3 ++ 5xy4– y5 |
| Шестая степень разности(x – y)6 = x6 – 6x5y ++ 15x4y2 –– 20x3y3 ++ 15x2y4 – 6xy5 + y6 |
| … |
Квадрат многочлена
Следующая формула применяется достаточно часто и называется «Квадрат многочлена»:
Словами эту формулу можно выразить так: — «Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов плюс сумма всевозможных удвоенных произведений его членов».
Куб трехчлена
- Следующая формула называется «Куб трехчлена»:
- (x + y + z)3 == x3 + y3 + z3 + 3x2y ++ 3x2z + 3xy2 ++ 3xz2 ++ 3y2z + 3yz2 + 6xyz .
- Другие формулы сокращенного умножения приведены в разделе «Формулы сокращенного умножения: сумма степеней, разность степеней» нашего справочника.
Источник: https://www.resolventa.ru/spr/algebra/brief1.htm
Легкий способ запомнить формулы сокращенного умножения, или… Треугольник Паскаля
Трудно запоминаются формулы сокращенного умножения? Делу легко помочь. Нужно просто запомнить, как изображается такая простая вещь, как треугольник Паскаля. Тогда вы вспомните эти формулы всегда и везде, вернее, не вспомните, а восстановите.
В этой записи легко запоминается, что вначале стоит куб первого, а в конце – куб второго числа. А вот что посередине – запоминается сложно. И даже то, что в каждом следующем слагаемом степень одного множителя все время уменьшается, а второго – увеличивается – несложно заметить и запомнить, труднее дело обстоит с запоминанием коэффициентов и знаков (плюс там или минус?).
Итак, сначала коэффициенты. Не надо их запоминать! На полях тетрадки быстренько рисуем треугольник Паскаля, и вот они – коэффициенты, уже перед нами. Рисовать начинаем с трех единичек, одна сверху, две ниже, правее и левее – ага, уже треугольник получается:
Первая строка, с одной единичкой – нулевая. Потом идет первая, вторая, третья и так далее. Чтобы получить вторую строку, нужно по краям снова приписать единички, а в центре записать число, полученное сложением двух чисел, стоящих над ним:
- Записываем третью строку: опять по краям единицы, и опять, чтобы получить следующее число в новой строке, сложим числа, стоящие над ним в предыдущей:
- Как вы уже догадались, мы получаем в каждой строке коэффициенты из разложения двучлена в многочлен:
- Ну а знаки запомнить еще проще: первый – такой же, как в раскладываемом двучлене (раскладываем сумму – значит, плюс, разность – значит, минус), а дальше знаки чередуются!
Вот такая это полезная штука – треугольник Паскаля. Пользуйтесь!
Источник: https://easy-physic.ru/legkij-sposob-zapomnit-formuly-sokrashhennogo-umnozheniya-ili-treugol-nik-paskalya/
Фсу – формулы сокращённого умножения по алгебре за 7 класс с примерами
Основная задача формул сокращённого умножения
Формулы сокращённого умножения (ФСУ) нужны для того, чтобы умножать и возводить в степень числа, выражения, в том числе многочлены. То есть, при помощи формул можно работать с числами значительно быстрее и проще. Таким образом можно из сложного уравнения сделать обычное, что упростит задачу.
Таблица с формулами сокращённого умножения
| Квадрат суммы | Квадрат первого выражения плюс удвоенного произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения. | |
| Квадрат разности | Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения. | |
| Куб суммы | Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на второе в квадрате, плюс второе выражение в кубе. | |
| Куб разности | Куб разности двух величин равен первое выражение в кубе минус утроенное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на второе в квадрате, минус второе выражение в кубе. | |
| Разность квадратов | Разность квадратов первого и второго выражений равен произведению разности двух выражений и их суммы. | |
| Сумма кубов | Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов. | |
| Разность кубов | Произведение разности двух выражений на неполный квадрат суммы равно разности их кубов. |
Формулы сокращенного умножения (скачать таблицу для печати)
Обратите внимание на первые четыре формулы. Благодаря им можно возводить в квадрат или куб суммы (разности) двух выражений. Что касается пятой формулы, её нужно применять, чтобы вкратце умножить разность или сумму двух выражений.
Две последние формулы (6 и 7) применяются, чтобы умножать суммы обоих выражений на их неполный квадрат разности или суммы.
Вышеперечисленные формулы довольно-таки часто нужны на практике. Именно поэтому их желательно знать наизусть.
Если вам попался пример, разложить многочлен на множители, тогда во многих случаях нужно левую и правую часть переставить местами.
Такую же процедуру можно проделывать и с остальными формулами.
Доказательство ФСУ
Шаг первый.
Возведём a + b во вторую степень. Для этого степень трогать не будем, а выполним банальное умножение: = x .
Шаг второй. Теперь и выносим за скобки: x + x .
Шаг третий. Раскрываем скобки: x + x + x + x .
Шаг четвёртый. Умножаем, не забывая о знаках: x + x + .
Шаг пятый. Упрощаем выражение: .
Точно так же можно доказать абсолютно любую формулу сокращённого умножения.
Примеры и решения с помощью ФСУ
Как правило, эти семь формул применяются тогда, когда нужно упростить выражение, чтобы решить какое-либо уравнение и даже обычный пример.
Пример 1
- Задание
- Упростите выражение:
- Как видно, к этому примеру подходит первая формула сокращённого умножения – Квадрат суммы.
- Решение
Исходя из первой формулы надо пример разложить на множители. Для этого смотрим на формулу и вместо букв подставляем цифры. В нашем случае «а» – это 3x, а «b» – это 5:
- x x +
- Считаем правую часть и записываем результат. У нас получается:
- + x x +
- В примере надо умножить всё то, что умножается и сразу получаем ответ:
Конечно же, есть примеры и с дробями. Но, если научитесь решать простые примеры, тогда другие виды вам будут не страшны.
Пример 2
- Задание
- Упростите выражение
- Решение
- = – x x + =
Пример 3
- Задание
- Представьте в виде квадрата двучлена трёхчлен
- Решение
- Здесь квадраты выражений – и
- Выражения, которые возводились в квадрат – и
- Удвоенное произведение этих выражений – , который совпадает с со вторым членом трёхчлена (со знаком «плюс), значит,
Итак, как видно, ничего сложно в примерах нет. Главное, знать формулы, где их можно применять, а где можно обойтись и без них.
Полезные источники
- Арефьева И. Г., Пирютко О. Н. Алгебра: учебник пособие для 7 класса учреждений общего среднего образования: Минск “Народная Асвета”, 2017 – 304 с.
- Никольский С. М., Потапов М. К. Алгебра 7 класс: М: 2015 – 287 с.
- Рубин А. Г., Чулков П. В. Алгебра. 7 класс. М: 2015 – 224 с.
Источник: https://NauchnieStati.ru/spravka/formuly-sokrashhjonnogo-umnozhenija/
Тренажер по теме : "Формулы сокращенного умножения"
Тренажер по теме: «Формулы сокращенного умножения» предназначен для тренировки и отработки навыков по данной теме.
Матричная форма записи позволяет организовывать отработку либо заданий одного типа (для этого используются строки), либо целого набора разного вида заданий по теме (для этого используются столбцы).
Тренажер позволяет проводить небольшие самостоятельные работы, а также организовывать индивидуальную коррекционную работу.
Тренажер №1 по теме : «Формулы сокращенного умножения»
| № | Задание | Вариант 1 | Вариант 2 | Вариант 3 | Вариант 4 | Вариант 5 |
| 1 | Раскрыть скобки | (a + 2)2 | (x + 4)2 | (7 + x)2 | (2y + 3)2 | (5x + 4y)2 |
| 2 | Раскрыть скобки | ( x — 3)2 | ( a — 5)2 | ( 8 — x)2 | ( 3a — 1)2 | (8a – 5b)2 |
| 3 | Представить в виде квадрата суммы | a2+ 4ab +4b2 | a2+ 8a +16 | 25b2+ 10bc +c2 | 16a2+24ab +9b2 | 9x2+ 42xy +49y2 |
| 4 | Представить в виде квадрата разности | 9m2— 6mn +n2 | m2— 12m + 36 | 4z2— 20z + 25 | 36a2— 24ab +4b2 | 64x2— 48xy +9y2 |
| 5 | Разложите на множители | 25a2 – 9b2 | 16a2 – 64b2 | 49x2 – 0,25 | 81a6 – 25b8 | 121x2 – 0,16y4 |
| 6 | Выполните умножение | (2 – 3x)(2 + 3x) | (5x+1)(5x–1) | (7x – 3)(7x + 3) | (4b+5a)(5a–4b) | (2n–3m)(3m+2n) |
| 7 | Представьте в виде произведения многочленов | m3+n3 | a3+1 | 8x3+64 | 27m3+ 8n3 | 125x3+ 216y3 |
| 8 | Представьте в виде произведения многочленов | t3 — 64 | a3 — 8 | 27x3 — 125 | 64m3 – p3 | 27a3 – 64b3 |
| 9 | Раскройте скобки | (a + 4)3 | (1 +a)3 | (x + 3)3 | (2a + 1)3 | (4x + 2y)3 |
| 10 | Раскройте скобки | (b — 5)3 | (p — 2)3 | (4 — b)3 | (2x — 3)3 | (5a – 3b)3 |
Тренажер №2 по теме : « Формулы сокращенного умножения»
| № | Задание | Вариант 1 | Вариант 2 | Вариант 3 | Вариант 4 | Вариант 5 |
| 1 | Преобразуйте выражение в многочлен | 5(4x – 1)2 | 2a(4 – a)2 | (y + 7)23 | x2(x + 2)2 | x2(x + 2)2 |
| 2 | Преобразуйте выражение в многочлен | x(x+2)(x—2) | 7(2a – 5)(2a +5) | (a3 – 3)(a3 +3)4 | (8 – 3x2)(8 + 3x)2x | (3m – 9)(3m + 9)4m2 |
| 3 | Преобразуйте выражение в многочлен | (2p – 3)(2p + 3) — 11 | (4m – 3)(4m + 3) — 2m | 4x2— (5x – 2)(5x + 2) | (c2 – 2b)(c2 + 4b)+4c2 | 25 — (9 – n)(9 + n) |
| 4 | Разложите многочлен на множители | 25 — (2a +3)2 | (4x — 1)2 — 36 | 49 — (3x -4)2 | (3m+5)2 — 64 | (7a — 3)2 — 100 |
| 5 | Разложите многочлен на множители | (2 — x)2 —(3x +5)2 | (5 + x)2 —(7 — x)2 | (7 +5m)2 —(3m -2)2 | (3x — 1)2 —(4 – 2x)2 | (a — 2b)2 —(2b + a )2 |
| 6 | Сократить дробь | |||||
| 7 | Сократить дробь | |||||
| 8 | Сократить дробь | |||||
| 9 | Сократить дробь |
Тренажер №3 по теме : « Формулы сокращенного умножения»
| № | Задание | Вариант 1 | Вариант 2 | Вариант 3 | Вариант 4 | Вариант 5 |
| 1 | Вычислить, используя формулу квадрата суммы | 422 | 532 | 612 | 742 | 832 |
| 2 | Вычислить, используя формулу квадрата разности | 992 | 672 | 482 | 562 | 782 |
| 3 | Вычислить, применив формулу квадрата суммы и квадрата разности: | 52 + 2 5 3 + 32 | 72 — 2 7 3 + 32 | 42+ 2 4 6 + 62 | 32— 48 + 82 | 62+ 108+ 92 |
| 4 | Вычислить, используя разложение на множители | 472 — 372 | 1262 — 742 | 532 — 632 | 472 — 332 | 792 — 612 |
| 5 | Вычислить, используя разложение на множители | 3,12 – 0,12 | 2,72 – 0,72 | 5,82 – 3,82 | 6,42 – 3,62 | 8,22 – 1,82 |
| 6 | Разложите многочлен на множители | 3842 | 56 64 | 81 99 | 8179 | 56 44 |
| 7 | Разложите многочлен на множители | 22 18 | 37 43 | 54 46 | 2713 | 61 59 |
| 8 | Вычислить | |||||
| 9 | Вычислить |
Источник: https://videouroki.net/razrabotki/trienazhier-po-tiemie-formuly-sokrashchiennogho-umnozhieniia.html
Формулы сокращенного умножения
- Р Е Ф Е
Р А Т - на тему:
- Формулы сокращённого умножения
- Содержание
- Целью реферата является изучение формул сокращённого умножения
- (далее ФСУ) и их применения
в решении задач и примеров. - Задачи:
- проанализировать ФСУ, изучаемые по школьной программе;
- познакомиться с ФСУ, не изучаемыми по школьной программе;
- попытаться вывести своё ФСУ;
- проанализировать применение ФСУ.
Практическая значимость реферата — систематизация моих знаний по теме «ФСУ», знакомство с материалом по этой теме, который не изучается в школе.
Немного теории: вспомним определения некоторых терминов, которые будут встречаться в реферате.
1. Одночлен — это произведение числовых и буквенных множителей.
2. Многочлен — это алгебраическая сумма нескольких одночленов.
3. Разложение многочлена на множители — преобразование многочлена в произведение 2-х или нескольких более простых многочленов.
4. Многочлен вида (а2+ав+в2) называется неполным квадратом суммы.
5. Многочлен вида (а2-ав+в2) называется неполным квадратом разности.
2. Историческая справка
Некоторые правила сокращённого умножения
были известны ещё около 4 тыс. лет
тому назад. Их знали вавилоняне и
другие народы древности. Тогда они
формулировались словесно или геометрически.
У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками
прямых. Они говорили не «a2», а «квадрат на отрезке а», не «ab», а «прямоугольник, содержащийся между отрезками a и b».
Например, тождество (a+b)2=a2+2ab+b2
Во второй книге «Начал» Евклида (III век до н.э.) формулировалось так:
Если прямая линия (имеется в виду отрезок) как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключённым между отрезками».
Доказательство опиралось на геометрические соображения:
Некоторые термины такого геометрического
изложения алгебры сохранились
до сих пор. Так, мы называем вторую степень числа квадратом, а третью степень — кубом числа.
3. Формулы сокращенного умножения, изучаемые в школе
Математиками было подмечено, что некоторые многочлены можно умножать короче, быстрее, чем остальные. Так появились ФСУ. Несколько формул изучается по школьной программе. Рассмотрим их:
- Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения:.
(a+b)2=a2+2ab+b2
- Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения:
(a-b)2=a2-2ab+b2
- Разность квадратов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на их разность:
a2-b2 =(a+b)(a-b)
- Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго выражения:
(a+b) 3
=a3+3a 2b+3ab2+b3
- Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго выражения:
(a-b) 3
=a3-3a 2b+3ab2-b3
- Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности:
a3 +b3 =(a+b)(a2-ab+b2)
- Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы:
a3- b3= (a — b)(a2+ab+b2)
Все эти формулы доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Они остаются справедливыми, если в них вместо a и b подставить любые целые выражения.
- Например докажем формулу a3+b3 = ( a + b )( a2 – ab + b2 ).
- Имеем: ( a + b )( a2 – ab + b2 ) = a3 – a2b + ab2 + ba2– ab2 – b3
- Приводя подобные слагаемые, мы видим, что
- (a + b)(a2 – ab + b2) = a3+b3, что и доказывает нужную формулу.
4. Формулы сокращенного умножения, не изучаемые по школьной программе
4.1. Треугольник Паскаля
- Блез Паскаль (1623— 1662).
- Исаак Ньютон (1643—1727).
-
Из дополнительной литературы я
узнал, что многие ФСУ являются частным
случаем Бинома Ньютона. - Мы знаем формулы «квадрата
суммы» (а+b)2 и «куба суммы» (а+b)3, но при увеличении показателя степени с определением коэффициентов при членах многочлена начинаются трудности. Чтобы не совершить ошибку и применяется формула бинома Ньютона:
- Запомнить такую
формулу непросто. - Видимо, для того чтобы облегчить
запоминание этой формулы, великий
французский математик и физик Блез Паскаль триста пятьдесят лет назад придумал специальный инструмент для определения этих самых коэффициентов — «треугольник Паскаля».
Строится он следующим образом.
В вершине треугольника пишем 1. Единица соответствует выражению (a+b)0, поскольку любое число, возведённое в нулевую степень, даёт единицу. Достраивая треугольник, ниже пишем ещё по единице. Это коэффициенты разложения того же двучлена, возведённого в первую степень: (a+b)1=a+b. Идём дальше.
Стороны треугольника образуют единицы, а между ними — сумма двух единичек, находящихся сверху, то есть 2. Это и есть коэффициенты трёхчлена «квадрат суммы»:
a2+2ab+b2.
Следующий ряд, как и предыдущий, начинается и заканчивается единицами, а между ними — суммы цифр, находящихся сверху: 1, 3, 3, 1. Мы получили коэффициенты разложения « куба суммы ». Ряд коэффициентов двучлена четвёртой степени составят 1, 4, 6, 4, 1 и так далее.
- Построим треугольник Паскаля для (a+b)n
: - n=0 1
- n=1 1 1
- n=2 1 2 1
- n=3 1 3 3 1
- n=4 1 4 6 4 1
- n=5 1 5 10 10 5 1
- n=6 1 6 15 20 15 6 1
- n=7 1 7 21 35 35 21 7 1
- n=8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
- n=9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
- n=10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
. . . . . . . . . . .
Некоторые историки науки приписывают
Блезу Паскалю авторство не только треугольника, позволяющего находить биномиальные коэффициенты, но и самой
формулы бинома. Они считают, что
Паскаль вывел её несколько раньше Ньютона, а тот лишь обобщил формулу для разных показателей степеней.
4.2. Интересные свойства формул
т.е. это формула для чётных степеней,
например: (a-b)2
= (b-a)2 .
т.е. это формула для нечётных степеней,
например: (a-b)3
= (b-a)3
.
4.3. Другие полезные ФСУ
5. Применение формул сокращённого умножения
5.1. Арифметические расчёты
- ФСУ можно применять для упрощения
арифметических вычислений. Например: - 993 = (100 — 1)3 = 1 000 000 — 3х10 000х1+3х100х1-1=
- 1 000 000-30 000+300-1=970 299
- Здесь была применена формула куб разности.
5.2. Упрощение алгебраических выражений
- Упростим выражение: (2х3-5z)(2×3+5z).
- Воспользуемся формулой разности квадратов:
- (2х3-5z)(2×3+5z) = (2х3)2 — (5z)2 = 4×6 — 25z2
5.3. Разложение многочлена на множители
- Применение ФСУ (иногда вместе с
другими способами: вынесение общего множителя за скобку и группировки) оказывается очень полезным для
представления многочлена в форме произведения. - Например, дан трёхчлен:
- 49m2 – 42mn + 9n2 =(7m)2 — 2 x 7m x 3n + (3n)2 = (7m – 3n)2
Мы убедились, что трёхчлен содержит квадраты одночленов 7m и 3n и удвоенное произведение этих одночленов.
Значит это полный квадрат. Причём это квадрат разности.
Из дополнительной литературы я узнал, что с ФСУ мы вряд ли когда расстанемся. Мы будем их использовать при решении уравнений, сокращении дробей и различных доказательств. Вот какие они важные и нужные.
6. Мои исследования
6.1. Квадрат трёхчлена -a-b-c
- Доказательство:
- (-a-b-c)2=(-a-b-c) x (-a-b-c)=a2+b2+c2+ab+ac+ab+bc+ac+bc=
- =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
- Таким образом (-a-b-c)2=(a+b+c)2
6.2. Куб трёхчлена -a-b-c
- Доказательство:
- (-a-b-c)3 = (-a-b-c)2 x (-a-b-c) = (a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc) x
- x (-a-b-c) = -a3-ab2-ac2-2a2b-2a2c-2abc-a2b-b3-bc2-2ab2-2abc-
- -2b2c-a2c-b2c-c3-2abc-2ac2-2bc2
= -a3-b3-c3-3a2b-3ab2- - -3a2c-3ac2-3b2c-3bc2-6abc
Исходя из п.6.1. , можно также записать: (-a-b-c)3=(a+b+c)2 x (-a-b-c)
7. Заключение
Из дополнительной литературы я узнал, что с ФСУ мы вряд ли когда-нибудь расстанемся. Мы будем их использовать при решении уравнений, сокращении дробей и различных доказательств. Вот какие они важные и нужные.
- ФСУ позволяют быстро и красиво
решать многие задачи и примеры. - ПОЭТОМУ ИХ НУЖНО ПРОСТО ЗНАТЬ НАИЗУСТЬ!
- Для лучшего запоминания можно предложить следующие способы:
- повесить листок с ФСУ на место, которое попадается нам на глаза чаще всего (на компьютере, на телевизоре, на двери, на потолке над кроватью и т. д.);
- сделать список ФСУ обложкой дневника;
- инсценировать формулы;
- вместо алгебраических символов использовать забавные символы (будет смешно и легко запомнится).
Например:
Но работая над рефератом, я
понял, что мало просто знать наизусть формулы сокращенного умножения. Надо еще научиться видеть в конкретном алгебраическом выражении эту формулу.
8 Список используемой литературы
1. Энциклопедический словарь юного
математика.
Москва, «Педагогика», 1989г.
2. Алгебра, 7 класс.
Под редакцией С.А.
Телляковского. Москва, «Просвещение», 2009г.
3. Статьи интернета.
Сайты: Википедия, Общероссийский
образовательный портал «Моя
школа».
Источник: https://www.stud24.ru/mathematic/formuly-sokrashhennogo-umnozheniya/444443-1673987-page1.html
Загрузка...
