Энергия электрического диполя во внешнем поле — справочник студента

Электрическое поле, которое окружает заряд, это реальность, независящая от нашего желания что-либо изменить и как-то повлиять на это. Отсюда можно сделать вывод, что электрическое поле является одной из форм существования материи, так же как и вещество.

Электрическое поле зарядов, находящихся в состоянии покоя, называют электростатическим.

Чтобы обнаружить электростатическое поле определенного заряда нужно внести в его поле другой заряд, на который будет действовать определенная сила в соответствии с законом Кулона.

Однако без наличия второго заряда электростатическое поле первого заряда существует, но никак себя не проявляет.

Напряженностью Е характеризуют электростатическое поле. Напряженность в некоторой точке электрического поля – физическая величина, которая равна силе, действующей на помещенный в определенную точку поля единичный положительный покоящийся заряд, и направленная в сторону действия силы.

Если в электрическое поле, создаваемое  зарядом q, внести «пробный» положительный точечный заряд qпр, то по закону Кулона на него будет действовать сила:

Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента

Если в одну точку поля помещать различные пробные заряды q/пр,  q//пр и так далее, то на каждый из них будут действовать различные силы, пропорциональные величине заряда. Отношение F/qпр для всех зарядов, вносимых в поле, будет идентичным, а также будет зависеть лишь от q и r, определяющих электрическое поле в данной точке. Данную величину можно выразить формулой:

Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента

Если предположить, что qпр = 1, то E = F. Отсюда делаем вывод, что напряженность электрического поля является его силовой характеристикой. Из формулы (2) с учетом выражения кулоновской силы (1) следует:

Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента

Из формулы (2) видно, что за единицу напряженности принимается напряженность в определенной точке поля, где на единицу заряда будет действовать единица силы. Поэтому в системе СГС единицей напряженности является дин/СГСq, а в системе СИ будет Н/Кл. Соотношение между приведенными единицами называют абсолютной электростатической единицей напряженности (СГСЕ):

  • Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента
  • Вектор напряженности направлен от заряда вдоль радиуса при образующем поле положительном заряде q+, а при отрицательном – q – по направлению к заряду вдоль радиуса.
  • Если электрическое поле образовано несколькими зарядами, то силы, которые будут действовать на пробный заряд, складываются по правилу сложения векторов. Поэтому напряженность системы, состоящей из нескольких зарядов, в данной точке поля будет равна векторной сумме напряженностей каждого заряда в отдельности:
  • Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента
  • Данное явление носит название принцип суперпозиции (наложения) электрических полей.
  • Напряженность в любой точке электрического поля двух точечных зарядов – q2 и +q1 можно найти использовав принцип суперпозиции:
  • Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента
  • По правилу параллелограмма будет происходить сложение векторов Е1 и Е2. Направление результирующего вектора Е определяется построением, а его абсолютная величина может быть вычислена с использованием формулы ниже:
  • Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента
  • Где α – угол между векторами Е1 и Е2.

Давайте рассмотрим электрическое поле, которое создает диполь. Электрический диполь – это система равных по величине (q = q1 = q2), но противоположных по знаку зарядов, расстояние между которыми очень мало, если сравнивать с расстоянием до рассматриваемых точек электрического поля.

Электрический дипольный момент p, являющийся основной характеристикой диполя и определяемый как вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному, и равный произведению плеча диполя l на заряд q:

Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента

Также вектором является плечо диполя l, направленным от отрицательного заряда к положительному, и определяет расстояние между зарядами. Линия, которая проходит через оба заряда, носит название – ось диполя.

Давайте определим напряженность электрического поля в точке, которая лежит на оси диполя по середине (рисунок ниже а)):

Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента

В точке В напряженность Е будет равна векторной сумме напряженностей Е/ и Е//, которые создаются положительными и отрицательными зарядами но отдельности. Между зарядами –q и +q векторы напряженностей Е/ и Е// направлены в одну сторону, поэтому по абсолютной величине результирующая напряженность Е будет равна их сумме.

  1. Если же нам необходимо найти Е в точке A, лежащей на продолжении оси диполя, то в разные стороны будут направлены вектора Е/ и Е//, соответственно по абсолютной величине результирующая напряженность будет равна их разности:
  2. Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента
  3. Где r – расстояние между точкой, которая лежит на оси диполя и в которой происходит определение напряженности, и средней точкой диполя.
  4. В случае r>>l, величиной (l/2) в знаменателе можно пренебречь, тогда получим следующее соотношение:
  5. Где p – момент электрический диполя.
  6. Данная формула в системе СГС примет вид:
  7. Теперь нужно вычислить напряженность электрического поля в точке С (рисунок выше б)), лежащей на перпендикуляре, восстановленном из средней точки диполя.
  8. Так как r1 = r2, то будет иметь место равенство:
  9. В точке С вектор результирующей напряженности по абсолютной величине будет равен:
  10. Так как r>>l, то можно считать r1 ≈ r, тогда представленную выше формулу можно записать в другом виде:
  11. Напряженность диполя в произвольной точке можно определить по формуле:
  12. Где α – угол между плечом диполя l и радиус-вектором r, r – расстояние от точки, в которой определяется напряженность поля, до центра диполя, р – электрический момент диполя.

Пример

На расстоянии R = 0,06 м друг от друга находятся два одинаковых точечных заряда q1 = q2 = 10-6 Кл (рисунок ниже):

Необходимо определить напряженность электрического поля в точке А, которая расположена на перпендикуляре, восстановленном в центре отрезка, который соединяет заряды, на расстоянии h = 4 см от этого отрезка. Также нужно определить напряженность и в точке В, находящейся на середине отрезка,  который соединяет заряды.

Решение

По принципу суперпозиции (наложением полей) определяется напряженность поля Е. Таким образом, векторной (геометрической) суммой определяется Е, создаваемых каждым зарядом в отдельности: Е = Е1 + Е2.

  • Напряженность электрического поля первого точечного заряда равна:
  • Где q1 и q2 – заряды, образующие электрическое поле; r – расстояние от точки, в которой вычисляется напряженность, до заряда; ε0 – электрическая постоянная; ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды.

Для определения напряженности в точке В сначала нужно построить векторы напряженности электрических полей от каждого заряда. Поскольку заряды положительны, то векторы Е/ и Е// будут направлены от точки В в разные стороны. По условию q1 = q2:

  1. Это значит, что в средине отрезка напряженность поля равна нулю.
  2. В точке А необходимо произвести геометрическое сложение векторов Е1 и Е2. В точке А напряженность будет равна:

Источник: https://elenergi.ru/elektrostaticheskij-dipol-elektrostaticheskoe-pole-napryazhennost.html

Электрические диполи

Публикации по материалам Д. Джанколи. «Физика в двух томах» 1984 г. Том 2.

Два равных по величине заряда противоположного знака, +Q и -Q, расположенных на расстоянии l друг от друга, образуют электрический диполь. Величина Ql называется дипольным моментом и обозначается символом р.

Дипольным моментом обладают многие молекулы, например двухатомная молекула СО (атом С имеет небольшой положительный заряд, а О — небольшой отрицательный заряд); несмотря на то что молекула в целом нейтральна, в ней происходит разделение зарядов из-за неравного распределения электронов между двумя атомами.

(Симметричные двухатомные молекулы, такие, как O2, не обладают дипольным моментом.)

Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента Рассмотрим вначале диполь с моментом р = Ql, помещенный в однородное электрическое поле напряженностью Е. Дипольный момент можно представить в виде вектора р, равного по абсолютной величине Ql и направленного от отрицательного заряда к положительному. Если поле однородно, то силы, действующие на положительный заряд QE, и отрицательный, -QE, не создают результирующей силы, действующей на диполь. Однако они приводят к возникновению вращающего момента, величина которого относительно середины диполя О равна:

Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента

или в векторной записи τ = рЕ. В результате диполь стремится повернуться так, чтобы вектор р был параллелен Е. Работа W, совершаемая электрическим полем над диполем, когда угол θ изменяется от θ1 до θ2, дается выражением:

Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента

  • В результате работы, совершаемой электрическим полем, уменьшается потенциальная энергия U диполя; если положить U = , когда Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента, то
  • U= — W = -pEcosQ = -рЕ
  • Если электрическое поле неоднородно, то силы, действующие на положительный и отрицательный заряды диполя, могут оказаться неодинаковыми по величине, и тогда на диполь, кроме вращающего момента, будет действовать еще и результирующая сила.

Итак, мы видим, что происходит с электрическим диполем, помещенным во внешнее электрическое поле. Обратимся теперь к другой стороне дела. Предположим, что внешнее поле отсутствует, и определим электрическое поле, создаваемое самим диполем (способное действовать на другие заряды).

Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента Для простоты ограничимся точками, расположенными на перпендикуляре к середине диполя, подобно точке Р на рис. 22.26, находящейся на расстоянии r от середины диполя. (Заметим, что r на рис. 22.26 не является расстоянием от каждого из зарядов до Р, которое равно (r2 + l2/4)1/2, и именно его следует подставить в формулу.) Напряженность электрического поля в точке Р равна Е = Е+ + Е-, где Е+ и Е- — напряженности поля, создаваемые соответственно положительным и отрицательным зарядами, равные между собой по абсолютной величине:

Читайте также:  Волновое уравнение - справочник студента

Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента

Их Y-компоненты в точке Р взаимно уничтожаются, и по абсолютной величине напряженность электрического поля Е равна

Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента

или

Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента

Вдали от диполя (r » l ) это выражение упрощается:

Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента

Видно, что напряженность электрического поля диполя убывает с расстоянием быстрее, чем для точечного заряда (как 1/r3 вместо 1/r2). Этого и следовало ожидать: на больших расстояниях два заряда противоположных знаков кажутся столь близкими, что нейтрализуют друг друга. Зависимость вида 1/r3 справедлива и для точек, не лежащих на перпендикуляре к середине диполя.

Заключение

Существуют два вида электрических зарядов — положительные и отрицательные. Эти названия следует понимать алгебраически: всякий заряд содержит в единицах системы СИ плюс или минус столько-то кулонов (Кл).

Электрический заряд сохраняется: если в результате какого-либо процесса возникает некоторое количество заряда одного знака, то непременно появляется равное количество заряда противоположного знака на этом же или на других телах; суммарный же заряд останется равен нулю.

Согласно атомной теории, источником электрического заряда является атом, который состоит из положительно заряженного ядра, окруженного отрицательно заряженными электронами. Заряд электрона равен = -1,6 x 10-19 Кл.

Проводниками являются вещества, в которых имеется достаточно электронов, обладающих свободой передвижения, в то время как вещества, у которых мало свободных электронов, оказываются изоляторами. Тело с избытком электронов заряжено отрицательно, а тело, в котором электронов меньше нормального количества, заряжено положительно.

Тело может приобретать заряд одним из трех способов: трением, когда электроны переходят с одного тела на другое; за счет электропроводности, когда заряд при контакте переходит с одного заряженного тела на другое, и посредством индукции, когда разделение зарядов происходит при приближении к телу заряженного предмета без прямого контакта между ними.

Электрические заряды взаимодействуют друг с другом. Между зарядами противоположного знака возникает сила притяжения. Заряды одного знака отталкиваются. Сила, с которой один точечный заряд действует на другой, пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними {закон Кулона):

Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента

Заряд или группа зарядов создают в пространстве электрическое поле. Силу, действующую на заряженный предмет, можно объяснить существованием в месте его расположения электрического поля.

Напряженность электрического поля Е в любой точке пространства представляет собой отнесенную к единице заряда силу, действующую на положительный пробный заряд q в этой точке: Е = F/q.

Электрическое поле графически представляют в виде силовых линий, которые начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных.

Направление силовой линии в каждой точке соответствует направлению силы, которая действует на малый положительный пробный заряд, помещенный в эту точку; плотность силовых линий пропорциональна Е. Электростатическое поле (т.е. поле в отсутствие движущихся зарядов) внутри хорошего проводника равно нулю; силовые линии вблизи заряженного проводника перпендикулярны его поверхности.

Электрический диполь — это система из двух равных по величине зарядов противоположного знака +Q и -Q, находящихся на расстоянии l. Величина р = QI называется дипольным моментом.

Диполь, помещенный в однородное электрическое поле, испытывает действие момента сил (если р и Е не параллельны) и не испытывает действия результирующей силы.

Создаваемое диполем электрическое поле убывает обратно пропорционально третьей степени расстояния r от диполя (Е ~ 1/r3) при r » l.

  1. Продолжение следует. Коротко о следующей публикации:
  2. — Поток напряженности электрического поля.

— Теорема Гаусса.

Альтернативные статьи: Электрический ток., Закон Ома. Формула.

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!

Источник: https://tel-spb.ru/statika/dipol.php

Поведение диполя во внешнем электрическом поле

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 14Следующая ⇒

Однородное поле. Внесем диполь в однородное внешнее электрическое поле с напряженностью Е. На заряды диполя будут действовать силы F1 = F2 = qE . Разложим их на составляющие F1¢, F1¢¢и F2¢, F2¢¢. Составляющие F1¢¢ и F2¢¢ стремятся растянуть диполь, а составляющие F1¢ и F2¢ создают вращающие моменты и поворачивают диполь (по часовой стрелке) до тех пор, пока он не расположится вдоль силовой линии.

Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента М1 = М2 – вращающие моменты (моменты сил), векторы моментов направлены от нас ^ чертежу; результирующий момент равен М = М1 + М2= 2qE(l/2)sina. Учитывая, что рэл = ql, получим:
вращающий момент (момент сил), действующий на диполь во внешнем поле в скалярной и векторной формах

Таким образом, в однородном внешнем электрическом поле диполь одновременно будет растягиваться и поворачиваться до тех пор, пока не окажется в положении равновесия, при этом его дипольный момент станет параллельным вектору напряженности внешнего поля.

Неоднородное поле. В этом случае на положительный и отрицательный заряды диполя будут действовать неодинаковые силы (на рис. F2 > F1). Найдем выражение для силы, действующей на диполь для случая, когда напряженность зависит только от одной переменной х. Пусть поле характеризуется градиентом dE/dx. Найдем результирующую силу F = F2 — F1.

Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента изменение напряженности на отрезке l×cosa, a — угол между векторами рэл и Е Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента
Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента результирующая сила и дипольный момент; подставляя, получим:
Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента сила, действующая на диполь в неоднородном электрическом поле

Таким образом, в неоднородном электрическом поле диполь будет одновременно поворачиваться, растягиваться и втягиваться в область более сильного поля.

Тема 6. Вопрос 3.

Работа по повороту диполя в однородном внешнем электрическом поле.

Если внести диполь в однородное электростатическое поле так, что его дипольный момент будет составлять угол a с вектором напряженности поля Е, силы поля F будут поворачивать диполь (на рис. – по часовой стрелке) до достижения им положения равновесия.

Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента Энергия электрического диполя во внешнем поле - Справочник студента работа при вращательном движении, М — вращающий момент, a — угол поворота
работа по повороту диполя в однородном внешнем электростатическом поле

Если диполь из положения равновесия повернуть так, что между дипольным моментом и вектором напряженности внешнего поля образуется угол a, диполь получит запас потенциальной энергии Wпот. Так как работа равна убыли потенциальной энергии, то в общем случае получим:

Изменение потенциальной энергии диполя во внешнем электростатическом поле
Потенциальная энергия диполя во внешнем поле. Для определения константы надо принять некоторое положение диполя за нулевое (какое хочешь). Скобки в формуле – скалярное произведение указанных векторов.

Тема 6. Вопрос 4.

  • Поляризация диэлектриковназывается процесс ориентации диполей или появление под воздействием внешнего электрического поля ориентированных по полю диполей. Соответственно трем группам диэлектриков различают три вида поляризации:
  • деформационная поляризация диэлектрика с неполярными молекулами, заключающаяся в возникновении у атомов индуцированного дипольного момента за счет деформации электронных орбит;
  • ориентационная поляризация диэлектрика с полярными молекулами, заключающаяся в ориентации имеющихся дипольных моментов молекул по полю;
  • ионная поляризация диэлектриков с ионными кристаллическими решетками, заключающаяся в смещении подрешетки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных — против поля, приводящем к возникновению дипольных моментов.
  • Поляризуемость молекул полярного и неполярного диэлектриков

Центры «тяжести» положительных и отрицательных зарядов в отсутствие внешнего электрического поля совпадают и, следовательно, дипольный момент молекулы равен нулю.

Молекулы таких диэлектриков называются неполярными.

Под действием внешнего электрического поля заряды неполярных молекул смещаются в противоположные стороны (положительные по полю, отрицательные против поля) и молекула приобретает дипольный момент.

Центры «тяжести» положительных и отрицательных зарядов не совпадают. Таким образом, эти молекулы в отсутствие внешнего электрического поля обладают дипольным моментом. Молекулы таких диэлектриков называются полярными.

При отсутствии внешнего поля, однако, дипольные моменты полярных молекул вследствие теплового движения ориентированны в пространстве хаотично и их результирующий момент равен нулю.

Если такой диэлектрик поместить во внешнее поле, то силы этого поля будут стремиться повернуть диполи вдоль поля и возникает отличный от нуля результирующий момент.

Тема 6. Вопрос 5.

Часть 1.

Поляризация диэлектриков характеризуется физической величиной, называемой вектором поляризации (Р):

(Кл/м2) Здесь: pi – дипольный момент молекулы, V – объем диэлектрика. Вектор поляризации по смыслу представляет собой векторную сумму дипольных моментов всех молекул в единице объема диэлектрика.
Из опыта следует, что для многих диэлектриков при не очень сильных полях, вектор поляризации прямо пропорционален напряженности внешнего поля;
Читайте также:  Субъекты гражданского права - справочник студента

c — коэффициент пропорциональности — называется диэлектрической восприимчивостью диэлектрика, она зависит от плотности диэлектрика и температуры (c — греческая буква «хи»).

e = 1 – вакуум e @ 1 – воздух, газы e > 1 — для всех диэлектриков

диэлектрическая проницаемость – безразмерная величина, показывающая, во сколько раз уменьшается напряженность поля внутри диэлектрика по сравнению с вакуумом.

Электрическое поле в диэлектриках характеризуют также вспомогательным вектором D:

вектор электрической индукции (электрического смещения)

Вектор D физического смысла не имеет, но он удобен в случае, когда линии напряженности внешнего поля перпендикулярны поверхности диэлектрика. В этом случае D в вакууме и в диэлектрике имеет одно и то же значение: D = D0..

Векторы напряженности E, электрической индукции D и поляризации P связаны между собой соотношением:

Диэлектрическая проницаемость e это макрохарактеристика диэлектрика, она зависит от структуры и свойств его молекул и от температуры диэлектрика. Экспериментально определить e легко.

Для этого нужно поместить диэлектрик в конденсатор и измерить емкость с диэлектриком и без него: e = С/С0. Исследуя зависимость диэлектрической проницаемости e от температуры Т, можно получить сведения о свойствах молекул.

Для этого нужно иметь формулу зависимости e (Т), в которую входили бы характеристики молекул. Сложность в получении такой формулы состоит в том, что средняя напряженность поля внутри диэлектрика и поля, окружающего данную молекулу, отличаются друг от друга.

Разными учеными теоретически были получены различные формулы. Наиболее универсальной формулой является:

где n – концентрация молекул, a — поляризуемость молекулы, р0 — дипольный момент молекулы, k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура, e0 – электрическая постояннная

Тема 6. Вопрос 5.

Часть 2.

Из формулы следует, что если отложить на графике величину (e — 1)/(e — 2) в зависимости от обратной температуры (1/Т) для различных диэлектриков, то можно получить прямые 1, 2 или 3 (если формула справедлива!). В случае 1 (горизонтальная прямая) мы имеем дело с диэлектриком, у которого молекулы – неполярные. Под действием внешнего поля у таких молекул возникает индуцированный момент, который не зависит от температуры. Измерив величину А, можно вычислить поляризуемость a молекулы. Случай 2 соответствует диэлектрику с ориентационной поляризацией; по наклону прямой можно вычислить собственный дипольный момент р0 молекулы. В случае 3 можно сделать вывод, что молекулы диэлектрика полярные, но под действием поля у них дополнительно возникает индуцированный дипольный момент

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Рекомендуемые страницы:

Источник: https://lektsia.com/2×4744.html

Диполь в поле и поле диполя

А. Б. Рыбаков,< al-rybakov@mail.ru >, Военно-космический кадетский корпус, г. Санкт-Петербург

Основные вопросы электростатики: Какое поле создаёт данное распределение зарядов и какая сила действует на эти заряды во внешнем поле? Относительно точечного заряда эти вопросы решаются известными всем формулами школьного курса. Следующий важный и простой объект электростатики – это, конечно, диполь. Диполь – это два разноимённых, равных по величине  точечных заряда, расположенных на фиксированном расстоянии l друг от друга. Диполь характеризуется дипольным моментом p = qL            (1) где  l – вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному. Интерес к диполю связан, в частности, с тем, что молекулы многих веществ обладают дипольным моментом, а кроме того, молекулы всех веществ приобретают дипольный момент во внешнем электрическом поле. И макроскопические тела (как проводящие, так и не проводящие ток) во внешнем поле поляризуются, т.е. приобретают дипольный момент. Важнейшие приложения представленных здесь результатов – это поля в диэлектрике. Поставим самые напрашивающиеся вопросы в заявленной теме и попытаемся их разрешить. Никакой особой математики, выходящей за рамки школьного курса, нам не понадобится. Производную от функции Ф(х) будем обозначать  dФ/dх. Для удобства записи некоторых результатов мы будем использовать скалярное произведение векторов.

Напомним, что  a · b = a · b  · cos α, где α – угол между векторами. Размерную константу в законе Кулона мы обозначаем

Диполь в поле  (простые задачи)

1. Какие силы действуют на диполь в однородном электрическом поле? Пусть диполь p находится в поле напряжённостью E,   пусть вектор дипольного момента составляет угол α с вектором напряжённости поля. Легко видеть, что на диполь в этом случае действует пара сил с моментом М = qElsin α = pEsin α, которая стремится ориентировать диполь вдоль силовых линий поля. Так что если диполь может вращаться, то он сориентируется указанным образом. Заметим, что у диполя есть и другое положение равновесия, когда он сориентирован противоположным образом, но это положение неустойчиво. 2. Какова энергия диполя в однородном поле? Как всегда, в задачах, где речь идёт о потенциальной энергии, надо сначала условиться, откуда мы будем эту энергию отсчитывать. Пусть мы отсчитываем её от указанного выше равновесного положения. Тогда энергия – это работа, которую совершат силы поля при вращении диполя вокруг своего центра от исходного положения, характеризуемого углом α (см. рис. к п. 1),  до равновесного. Напомним, что работа связана только с перемещением заряда вдоль направления E. Заряды диполя при таком вращении сместятся вдоль линий поля (в разные стороны) на l (1– cos α)/2. Поэтому искомая энергия W = qEl (1 – cos α) = pE(1 – cos α). Но чаще в учебниках по электричеству предпочитают в этой задаче полагать, что W = 0 в том положении диполя, когда вектор p  перпендикулярен E. В этом случае W = –qEl cos α = –pE. Высказанное в конце п. 1 утверждение можно теперь сформулировать и иначе: диполь стремится занять теперь положение с минимальной энергией. Так, дипольные молекулы диэлектрика во внешнем поле стремятся все сориентироваться указанным образом (а тепловое движение мешает им в этом).

3. Теперь пусть диполь, сориентированный вдоль линий поля,  находится в неоднородном поле. Тогда, как легко видеть, на него вдоль линий поля действует сила, направленная в сторону увеличения величины поля:    

(индексы «+» и «–» помечают тот заряд диполя, к которому относится соответствующая физическая величина). Именно эта сила объясняет самый простой опыт, в котором заряженное тело (независимо от знака заряда) притягивает мелкие кусочки бумаги.

Поле диполя

4. Прежде чем заняться расчётом поля диполя, остановимся на общих моментах. Пусть, например, нас интересует гравитационное поле какого-то астероида неправильной формы. Поле в непосредственной близости от астероида можно получить только путём компьютерного расчёта. Но, чем дальше мы отходим от астероида, тем с большей точностью мы можем рассматривать его как материальную точку (поле которой мы знаем). При стремлении к большей математической строгости надо было сказать, что мы знаем асимптотическое поведение поля при С похожей ситуацией мы сталкиваемся и в электростатическом поле. Электростатическое поле по своим свойствам очень похоже на гравитационное (потому что аналогичны фундаментальные законы: закон Кулона и закон всемирного тяготения), но, если так можно сказать, «богаче» его. Ведь электрические заряды могут быть двух типов, между ними возможно и притяжение, и отталкивание, а между «гравитационными зарядами» (т.е. массами)  возможно только притяжение.

Будем считать, что в какой-то ограниченной области распределены положительные и отрицательные точечные заряды q1, q2, … , qn. Полный заряд системы

                                                                                        (2) Мы уже понимаем, что при Q ≠ 0 поле при больших r переходит в поле точечного заряда Q. Но возникает очень важный для нас вопрос: каким будет поле на больших расстояниях, если полный заряд Q = 0?  Самое простое распределение точечных зарядов с Q = 0 – это и есть диполь. Вот почему изучение поля диполя несёт в себе важные принципиальные моменты.

Итак, нас будут в основном интересовать такие ситуации, когда все характерные размеры r весьма велики по сравнению с расстоянием l между зарядами диполя. Эту ситуацию можно описать двояко.

Во-первых, мы можем всегда иметь в виду, что заряды расположены на конечном расстоянии l друг от друга, и интересоваться поведением полученных решений при Но можно и п росто говорить о точечном диполе с определённым дипольным моментом p, тогда все наши результаты справедливы при любом r > 0 (две эти точки зрения, конечно, эквивалентны).

Мы будем использовать известные всем формулы для полей точечных зарядов и в полученных выражениях учитывать, что l мало. Поэтому напомним формулы приближённых вычислений: если  , то Везде в выкладках знак «≈» будет указывать на то, что мы воспользовались этими формулами в случае малого параметра (малый параметр в рассматриваемых задачах – это l/r). 5. Качественная картинка силовых линий поля диполя хорошо известна, приводится во многих учебниках, и мы не будем её здесь приводить. Хотя и расчёт поля в произвольной точке несложен, мы всё же ограничимся расчётом потенциала и напряжённости вдоль двух выделенных направлений. Совместим начало системы координат с центром диполя, ось х направим вдоль вектора p, а ось Y – перпендикулярно  (при этом заряды диполя отстоят от начала координат на расстояние ). Будем считать, что в бесконечно удалённой точке   6. Рассчитаем напряжённость поля диполя на оси Y. По принципу суперпозиции, E = E+ +  E–,  где E+ и  E– – векторы напряжённости полей отдельных зарядов. Из подобия треугольников:  что можно записать как  Теперь скажем о ходе потенциала вдоль оси Y. По­скольку в любой точке оси Y вектор E перпендикулярен оси, то при перемещении какого-то заряда вдоль этой оси поле диполя никакой работы не совершает, и следовательно, в любой точке этой оси 7. Вычислим потенциал j поля в произвольной точке оси х. По принципу суперпозиции, он равен сумме потенциалов и  созданных положительным и отрицательным зарядами.                         Пусть х > 0, тогда:

Читайте также:  Рассмотрение гражданских исков в суде - справочник студента

                            (3)

(выражение для (х) для х < 0 будет c другим знаком). Из симметрии задачи ясно, что на оси х вектор напряжённости поля E имеет только составляющую Ех. Её можно вычислить, исходя из известной формулы, связывающей напряжённость поля и потенциал:                                                                                                                (4) но в школьном курсе формулу (4) обычно обходят стороной, поэтому вычислим Ех непосредственно: или

Итак, при удалении от диполя по оси х или по оси y поле спадает как r–3. Можно доказать, что так же ведёт себя поле по любому направлению.

Выражение для потенциала в произвольной точке приведём без вывода:   (т.е. при удалении

по любому направлению, кроме оси Y, потенциал спадает как r–2). Убедитесь, что в частных случаях эта формула приводит к уже известным нам результатам.

8. Отступление. Вспомним, что у бесконечной равномерно заряженной плоскости напряжённость поля не зависит от расстояния от плоскости (или, если угодно, спадает как r0). У точечного заряда – убывает как r–2. У диполя, как мы выяснили, убывает на бесконечности как r–3. Попробуйте догадаться, у какого распределения зарядов напряжённость поля  убывает как  r–1;  r–4.

Взаимодействие диполя с другими зарядами

9. Теперь рассмотрим взаимодействие диполя и точечного заряда q′ (пусть q′ > 0). Рисунок в значительной степени повторяет рисунок в п. 5.  Там мы рассчитали напряжённость поля диполя и, следовательно, уже знаем, какая сила  действует на точечный заряд. Заметим, что это взаимодействие являет нам простейший пример нецентральных сил (вспомните, где в школьном курсе встречаются нецентральные силы между частицами). Но ещё остались вопросы: какая сила действует на диполь? где она приложена? Можно ответить на эти вопросы сразу, без раздумий. Искомая сила F, по третьему закону Ньютона, должна быть равна  – F ′ и должна быть приложена на одной прямой с  F ′. Быть может, кого-то удивит, что равнодействующая двух сил, действующих на заряды  +q  и  –q  диполя, оказалась приложена где-то в стороне от диполя. Что это значит? Ничего не значит. А что значит, что равнодействующая сил тяжести, действующих на бублик, приложена в центре дырки? Равнодействующая двух сил никакого особого смысла не имеет, она просто во всех отношениях заменяет несколько (или даже бесчисленное множество) сил в фундаментальных уравнениях механики. (Объективности ради отметим, что есть весьма известные авторы, для которых такая точка зрения неприемлема. Они предпочитают говорить, что на диполь со стороны точечного заряда действует сила, приложенная к самому диполю, и ещё момент сил). 10. Найдите силу и энергию взаимодействия двух диполей, у которых векторы р1  и  р2 лежат на одной прямой. Расстояние между диполями x. Сосчитаем суммарную энергию зарядов второго диполя в поле первого (см. п. 7):  Ясно, что диполи, обращённые друг к другу разноимёнными полюсами (как на рисунке), притягиваются (этому соответствует знак «–» в выражении для W), при перевороте одного из диполей энергия сменит знак.

Не будем больше воспроизводить довольно однообразные выкладки и сразу выпишем выражение для величины силы взаимодействия этих диполей (проверьте!):  

11. Найдите энергию взаимодействия двух диполей, у которых  р1 лежит на прямой, соединяющей  диполи, а р2  перпендикулярен к ней. Расстояние между диполями x. (Проверьте себя – ответ очевиден.) 12. Найдите энергию взаимодействия двух диполей, у которых векторы р1 и р2 параллельны друг другу  и оба перпендикулярны оси х, на которой расположены диполи.  Дополнительные замечания 13. Итак, диполь являет нам простейший пример системы зарядов с полным зарядом Q = 0. Как мы видели, потенциал поля диполя на больших расстояниях от него убывает как r–2. Нельзя ли обобщить этот результат на более общий случай? Можно обобщить понятие дипольного момента так, чтобы оно характеризовало любое распределение зарядов. В частности, для системы n точечных зарядов дипольный момент определяют так: 

                                      .                                     (5)

Легко видеть, что эта величина аддитивна. Можно доказать, что Р при Q = 0 не зависит от выбора начала отсчёта. Убедитесь, что в частном случае эта формула переходит в (1).

Сосчитайте дипольный момент Р ряда простых распределений зарядов (во всех случаях расстояние между ближайшими зарядами l). Можно было бы вести речь и о непрерывных распределениях зарядов, но тогда вместо сумм в (2) и (5) пришлось бы писать интегралы по объёму.

Полученные выше результаты подсказывают нам, в чём значение дипольного момента. И действительно,  можно в общем случае доказать, что чем дальше мы отойдём от произвольной системы зарядов с полным зарядом Q = 0  и дипольным моментом Р ≠ 0, тем её поле будет ближе к рассмотренному нами полю элементарного диполя с дипольным моментом  Р.

Можно было бы пойти по этому пути дальше и рассмотреть поле системы зарядов с Q = 0 и P = 0. Один из самых простых примеров такой системы представлен на рис. а – это так называемый квадруполь. Потенциал поля квадруполя убывает на бесконечности как r–3.     Ряд «точечный заряд – диполь – квадруполь…» можно продолжать и далее. Общее название таких объектов мультиполь. Но мы на этом остановимся.

14. При помещении атома в электрическое поле силы, приложенные к ядру и к электронной оболочке, направлены в разные стороны. Под действием этих сил атом приобретает дипольный момент Р, совпадающий по направлению с направлением напряжённости внешнего поля Е0.

Конечно, молекулы тоже приобретают во внешнем поле дипольный момент (но для них, вообще говоря,  несправедливо предыдущее утверждение о направлении вектора Р). Но многие молекулы имеют дипольные моменты и в отсутствие внешнего поля. Причём эти собственные дипольные моменты обычно намного превышают наведённые моменты (если говорить об обычных, достижимых в лаборатории полях). Для множества процессов в природе (в частности, для существования жизни) чрезвычайно важно, что у молекулы воды есть дипольный момент.

 «Трудно вообразить, на что был бы похож мир, если бы атомы в молекуле Н2О были расположены по прямой линии, как в молекуле СО2; вероятно, наблюдать это было бы некому» (Э.Парселл. Электричество и магнетизм. – М., 1975).

Ответы

К п. 8. Система зарядов, у которой напряжённость поля убывает на бесконечности как  r–1, – это бесконечная равномерно заряженная нить.

К п. 11. При перемещении первого диполя вдоль оси х на его заряды действуют со стороны второго диполя силы, перпендикулярные этой оси, т.е. никакая работа при этом не совершается, значит, W = 0. К п. 12. Для упрощения расчёта надо удачно выбрать способ перевода одного из диполей из бесконечности в интересующее нас состояние. Удобно сначала перемещать его вдоль оси х, ориентировав его вектор дипольного момента вдоль оси (при этом работа сил взаимодействия диполей равна нулю), а потом повернуть его на 90°. При повороте второго диполя внешние силы должны совершить работу (см. п. 2) .  Это и есть энергия взаимодействия диполей. К п. 13. Дипольные моменты равны:  а) 0;  б) 2qlj; в) 0;  г) –3qli (здесь i  и j – единичные векторы в направлениях осей X и Y соответственно).

Источник: https://fiz.1sept.ru/article.php?ID=200802211

Ссылка на основную публикацию