Двоично-десятичная система счисления — справочник студента

Системы счисления
Десятичная система счисления
Двоичная система счисления
Шестнадцатиричная система счисления
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Арифметические операции в двоичной системе счисления

Системы счисления

Давайте посмотрим определение:

Система счисления – символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. То есть, к примеру, думаем «Один», а записываем — 1.

Как вы наверняка знаете, существует много разных систем счисления, одними пользуются и сейчас (наша, родная, десятичная система; римская система, известная нам как «римские цифры»), другие остались в глубоком прошлом (системы счисления инков и майя, древнеегипитская система, вавилонская).
К примеру, еще не так давно, на Руси в ходу была пятиричная система счисления, так называемый «счет на пятки» (с ударением на «и»). При этом, число 10 произносилось как «два-пять».
Тут, я думаю, вопросов у нас нет, что такое системы счисления нам понятно — отображение чисел символами. А вот какая связь систем счисления с микроконтроллерами.
Дело в том, что при изучении устройства микроконтроллеров, создании программ, хотим мы того, или нет, нам с вами придется столкнуться с несколькими системами счисления.

Общаясь с микроконтроллером (а как вы уже знаете из предыдущей статьи, это общение происходит на уровне определенных команд, которые представляют из себя наборы единиц и нулей), мы используем одну систему счисления; оперируя различными данными — придется пользоваться другими системами счисления.

Если коротко, то при создании конструкций на микроконтроллерах используются три системы счисления: десятичная, двоичная и шестнадцатеричная. Вот о них мы сегодня поговорим более подробно.

Десятичная система счисления

Тут все просто. Все мы, в повседневной жизнедеятельности пользуемся десятичной системой счисления — набором цифр от 0 до 9 (всего десять цифр — потому и десятичная), из которых можно составить число любой величины. А так как эта система нам хорошо известна, то и не будем на ней останавливаться.

Шестнадцатиричная система счисления

Давайте посмотрим определение шестнадцатиричной системы счисления, а потом расшифруем его:

Шестнадцатеричная система счисления (шестнадцатеричные числа) — позиционная система счисления по целочисленному основанию 16

Что это значит.

Если в десятичной системе для записи любого числа используется десять символов (основание 10) — цифры от нуля до девяти, то в шестнадцатиричной системе используется шестнадцать символов (основание 16), в качестве которых обычно используются десятичные цифры от нуля до девяти (всего десять) и латинские буквы от A до F (всего шесть — A, B, C, D, E и F).
К примеру, число девять и в десятичной и шестнадцатиричной системах, будет записываться одинаково — 9. А вот число десять (в десятичной — 10), в шестнадцатиричной системе будет выглядеть так — «А».

Шестнадцатиричная система счисления используется потому, что в микроконтроллерах (как и всей компьютерной технике) минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого очень удобно записывать именно в шестнадцатиричной системе.

Такое использование началось на заре развития компьютерной техники с систем фирмы IBM, где вся документация использовала шестнадцатеричную систему.

Для того, чтобы случайно не спутать числа в десятичной системе с числами в шестандцатиричной, для последней используется определенный синтаксис:

— используется префикс (запись перед числом):   «0х» или знак «зеленного» — «$», или такой знак — «#», или

— в конце числа ставят букву «h»
К примеру, десятичное число 10 в шестнадцатиричной системе может выглядеть так:
— A
— OxA
— $A
— Ah
— #A
Встречается и другой синтаксис.

• Давайте посмотрим соответствие шестандцатиричных чисел десятичным:
  1 – 1
  5 – 5
  10 – А
• 200 – С8
• Ну а выражение «позиционная система счисления», или «позиционная нумерация», означает, что значение цифры в записи числа зависит от его позиции (единица в самом конце числа — просто единица, а если она вторая справа, то уже — десяток).

Двоичная система счисления

Как всегда, определение:

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2. Благодаря непосредственной реализации в цифровых электронных схемах на логических вентилях, двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и прочих устройствах на их основе.

В двоичной системе все числа записываются двумя цифрами — и 1 (поэтому и двоичная. и поэтому — с основанием 2).
Двоичная система счисления — основная система для нашего общения с микроконтроллером (да и со всей цифровой техникой).
Почему именно двоичная система.

Дело в том, что своих «мозгов» у цифровой технике нет, и распознают они цифры не глазами, а уровнями напряжения на своих входах. Для распознавания «0» и «1» достаточно двух уровней напряжения (а если бы пользовались десятичной системой счисления, то понадобилось бы уже десять уровней напряжения).

Принято считать, что:
— цифре 1 соответствует высокий уровень напряжения
— цифре 0 соответствует низкий уровень напряжения

К примеру, если на «ножку» микроконтроллера (при напряжении его питания равном 5 вольтам) подать 5 вольт, то он поймет, что это «1», а если ничего не подать, а замкнуть «ножку» на «землю», то он поймет, что это «0». Тоже и в обратном порядке.

Если микроконтроллер должен передать «1» то он выставляет на своей «ножке» высокое напряжение – 5 вольт, а если «0» – то низкое напряжение – 0 вольт. То есть, распознание цифр 0 и 1 в цифровой технике происходит двумя уровнями сигнала.

Напряжения высокого и низкого уровня лежат в некоторых пределах, не имеют точной величины.

Можно считать, что высокому уровню, соответствует напряжение лежащее в пределах от 2,5 до 5 вольт, а низкому уровню, соответствует напряжение не превышающее 0,5 вольт.

В цифровой технике высокий уровень напряжения, соответствующий «1», называют — логическая единица, а низкий уровень напряжения, соответствующий «0», называют логическим нулем.

1. Давайте посмотрим, как числа десятичной системы соответствуют числам в двоичной системе:
   1 – 1
   2 – 10
   3 – 11
   5 – 101
   10 – 11010
2. 200 – 11001000
3. Как и в шестнадцатиричной системе, в двоичной системе, для того, чтобы не путать ее с десятичной, существует свой синтаксис:
   — в конце числа дописывают символ «В», например — 1000В
   — также используются символы и впереди числа — «0b» или «#b», например — 0b1000, или  #b1000.

Арифметические операции в двоичной системе счисления

• С числами в двоичной системе счисления можно выполнять такие-же арифметические операции, как и в десятичной системе:
  — сложение
  — вычитание
  — умножение
  — деление
• Так как в двоичной системе используются только две цифры, то при выполнении арифметических операции необходимо соблюдать некоторые правила.
• Сложение двоичных чисел:
  0+0 = 0
  0+1 = 1
  1+0 = 1
• 1+1 = 10 (при этом единица переносится в старший разряд)
• 
• Вычитание двоичных чисел:
  0 – 0 = 0
  1 – 0 = 1
  1 – 1 = 0
• 10 – 1 = 1 (занимается 1 из старшего разряда, которая равна двум 1 младшего разряда)
• 
• Умножение двоичных чисел:
  0 * 0 = 0
  0 * 1 = 0
  1 * 0 = 0
• 1 * 1 = 1
• 
• Деление двоичных чисел:
  Деление в двоичной системе производится вычитанием делителя со сдвигом вправо, если остаток больше нуля.
• 

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Я не буду вам рассказывать как можно с помощью ручки и бумаги перевести любое число из одной системы счисления в другую. Об этом вы можете (при желании) почитать в популярной литературе по микроконтроллерам.

Самый простой способ перевода чисел из одной системы счисления в другую — калькулятор, который имеет так называемый «инженерный режим».

Если у вас нет такого калькулятора, то всегда можно воспользоваться стандартным калькулятором «Windows», переведя его в «инженерный режим»:

Предыдущие статьи:
1. Микроконтроллеры — первый шаг
Следующие статьи:
1. Логические операции, логические выражения, логические элементы
2. Битовые операции
3. Прямой, обратный и дополнительный коды двоичного числа

Источник: https://microkontroller.ru/programmirovanie-mikrokontrollerov-avr/dvoichnaya-i-shestnadtsatirichnaya-sistemyi-schisleniya/

Системы счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная — урок. Информатика, 8 класс

Для кодирования информации в компьютере вместо привычной десятичной системы счисления используется двоичная система счисления.

Двоичной системой счисления люди начали пользоваться очень давно. Древние племена Австралии и островов Полинезии использовали эту систему в быту. Так, полинезийцы передавали необходимую  информацию, выполняя два вида ударов по барабану: звонкий и глухой. Это было примитивное представление двоичной системы счисления.

Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием (2).

Для обозначения системы счисления, в которой представляется число, используют нижний индекс, указывающий основание системы. Например, 110112 —  число в двоичной системе счисления.

• Цифры в двоичном числе являются коэффициентами его представления в виде суммы степеней с основанием (2), например:
• 1012=1 ·22+0 ·21+1 ·20.
• В десятичной системе счисления это число будет выглядеть так:
• 1012=4+0+1=5.

Для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления нужно последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на (2) до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в двоичной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример:

Переведём десятичное число (13) в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так:

Получили 1310=11012.

Пример:

Если десятичное число достаточно большое, то более удобен следующий способ записи рассмотренного выше алгоритма:

(224)	(112)	(56)	(28)	(14)	(7)	(3)	(1)
(0)	(0)	(0)	(0)	(0)	(1)	(1)	(1)

22410=111000002.

Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием (8).

 

Для записи чисел в восьмеричной системе счисления используются цифры:  (0), (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7).

Для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.

Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в восьмеричной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример:

Переведём восьмеричное число  154368 в десятичную систему счисления.

154368=1 ·84+5 ·83+4 ·82+3 ·81+6 ·80=694210

Пример:

Переведём десятичное число (94) в восьмеричную систему счисления.

9410=1368

Шестнадцатеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием (16).

 

Для записи чисел в шестнадцатеричной системе счисления используются цифры:  (0), (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9) и латинские буквы A, B, C, D, E, F. Буквы A, B, C, D, E, F имеют значения 1010, 1110, 1210, 1310, 1410, 1510.

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания шестнадцатеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах шестнадцатеричного числа.

Для перевода целого десятичного числа в шестнадцатеричную  систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на (16) до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример:

Переведём шестнадцатеричное число (2)(A7) в десятичное. В соответствии с вышеуказанными правилом представим его в виде суммы степеней с основанием (16):

2A716=2 ·162+10 ·161+7 ·160=512+160+7=679.

Пример:

Переведём десятичное число (158) в шестнадцатеричную систему счисления.

15810=9E16.

Для перевода числа из любой позиционной системы счисления в десятичную необходима использовать развернутую формулу числа, заменяя, если это необходимо, буквенные обозначения соответствующими цифрами.

Для перевода целых чисел десятичной системы счисления в число любой системы счисления последовательно выполняют деление нацело на основание системы счисления, пока не получат нуль.

 Числа, которые возникают как остаток от деления на основание системы счисление, представляют собой последовательную запись разрядов числа в выбранной системе счисления от младшего разряда к старшему.

Поэтому для записи самого числа остатки от деления записывают в обратном порядке.

Источник: https://www.yaklass.ru/p/informatika/8-klass/matematicheskie-osnovy-informatiki-13971/sistemy-schisleniia-13916/re-4f162a05-a7b1-43a2-81f9-cd8848fb795c

Курс Harvard CS50 — Лекция: Двоичная система счисления

У нас 10 пальцев, и система — десятичная. То есть, любое, сколь угодно большое число мы можем представить с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В зависимости от того, где в числе стоит цифра, она может означать разное: если эта цифра последняя, то она расположена в разряде единиц, предпоследняя — разряд десятков, еще левее — разряд сотен и так далее. По сути, любое число можно расписать в виде суммы цифр, каждая из которых умножена на десять в определенной степени. В случае единиц, эта степень — нулевая.

Например,

1573 = 3*100 + 7*101 + 5*102 + 1*103.

Число, на степень которого умножаются цифры называется базой системы счисления. Для десятичной системы базой, логично, является десятка.

У компьютера пальцев нет, но есть два состояния: условно «ток идет» и «ток не идет», нулик и единичка.

Соответственно все числа (да и вообще информация) в памяти компьютера состоят только из двух цифр — 0 и 1. Их расположение, как и в случае десятичной системы счисления, указывает на разряд.

Только теперь число можно разложить на сумму цифр, помноженных не на степени десятки, а степени двойки.

0 в двоичной системе = 0
1 в двоичной системе = 1
2 в двоичной системе = 10
710=1112

Научитесь переводить из двоичной системы в десятичую. Вы, наверное, уже поняли, как это делается — просто берем цифру числа начиная с самой правой и умножаем её на базу системы счисления в степени, соответствующей её разряду, так с каждым разрядом. Затем складываем все получившиеся таким образом числа.

Пример:

Давайте найдем десятичный аналог двоичного числа 1011012

• Самая правая единичка = 1*20
• Следующий нулик = 0*21
• Третья справа единичка = 1*22
• Четвертая = 1*23
• … и так далее

1011012 = 1*20 + 0*21 + 1*22 + 1*23 + 0*24 + 1*25 = 1 + 0 + 4 + 8 + 0 + 32 = 4510

Представьте восемь лампочек, выставленных в ряд. У каждой из них — свой собственный выключатель.

Каждая из лампочек — это разряд. Да что представлять, вспомните самую первую лекцию (там есть такой агрегат) или вот вам виджет: cdn.cs50.net/2016/x/psets/0/pset0/bulbs.html

Поиграйтесь с ним, «прочувствуйте» двоичную систему.

Перевод из десятичной системы в двоичную

Тут тоже всё просто, если понимать суть.

Пример:

У нас есть десятичное число 5710. Чтобы перевести его в двоичную систему, нужно определить, какая максимальная степень двойки не превосходит это число.

26 = 64.
Это явно многовато.
А вот 25 = 32.

Мы определили старший разряд. 3210 = 1000002. Теперь ищем следующий разряд. 57-32 = 25. Теперь для 25 ищем степень двойки, которая не превосходит 25. 24 = 16. Значит, следующий разряд у нас тоже равен 1. 32+16 = 4810 = 1100002. 57 – 48 = 9. 23 = 8, это меньше, чем 9. Значит следующий разряд тоже будет единичкой.

32 + 16 + 8 = 5610 = 1110002.
57 — 56 = 1, то есть осталась только одна степень 20.
Таким образом, 5710 = 1110012.

На этом все =) Переходите к следующей лекции!

Источник: https://javarush.ru/quests/lectures/questharvardcs50.level00.lecture03

Системы счисления. Перевод из одной системы в другую

1. Порядковый счет в различных системах счисления.

В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные».

Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы.

Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10.

Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100. И так далее.

Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение для 2-ной системы, для 3-ной и т.д.):

1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	10	3
4	100	11	4
5	101	12	10
6	110	20	11
7	111	21	12
8	1000	22	13
9	1001	100	14
10	1010	101	20
11	1011	102	21
12	1100	110	22
13	1101	111	23
14	1110	112	24
15	1111	120	30

Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита.

Например, для 12-ричной системы кроме десяти цифр нам понадобятся две буквы ( и ):

1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10
11
12	10
13	11
14	12
15	13

2.Перевод из десятичной системы счисления в любую другую.

Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Пример 1. Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления.

Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.

Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.

3. Перевод из любой системы счисления в десятичную.

Для того, чтобы научиться переводить числа из любой другой системы в десятичную, проанализируем привычную нам запись десятичного числа.
Например, десятичное число 325 – это 5 единиц, 2 десятка и 3 сотни, т.е.

Точно так же обстоит дело и в других системах счисления, только умножать будем не на 10, 100 и пр., а на степени основания системы счисления. Для примера возьмем число 1201 в троичной системе счисления. Пронумеруем разряды справа налево начиная с нуля и представим наше число как сумму произведений цифры на тройку в степени разряда числа:

Это и есть десятичная запись нашего числа, т.е.

Пример 4. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.

Пример 5. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.

4. Перевод из двоичной системы в систему с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.).

Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления.

Например, Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную систему. Для этого разобьем его на группы по 3 символа начиная справа (т.к. ), а затем воспользуемся таблицей соответствия и заменим каждую группу на новую цифру:

Таблицу соответствия мы научились строить в п.1.

1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7

Т.е.

Пример 6. Переведем двоичное 1100001111010110 число в шестнадцатеричную систему.

1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

5.Перевод из системы с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную.

Этот перевод аналогичен предыдущему, выполненному в обратную сторону: каждую цифру мы заменяем группой цифр в двоичной системе из таблицы соответствия.

Пример 7. Переведем шестнадцатеричное число С3A6 в двоичную систему счисления.

Для этого каждую цифру числа заменим группой из 4 цифр (т.к. ) из таблицы соответствия, дополнив при необходимости группу нулями вначале:

Источник: https://ege-study.ru/ege-informatika/sistemy-schisleniya-perevod-iz-odnoj-sistemy-v-druguyu/

Перевод чисел в различные системы счисления с решением | Онлайн калькулятор

• Главная

• /
• Калькуляторы

• /
• Перевод чисел в различные системы счисления

Калькулятор позволяет переводить целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Основание системы счисления не может быть меньше 2 и больше 36 (10 цифр и 26 латинских букв всё-таки).

Длина чисел не должна превышать 30 символов. Для ввода дробных чисел используйте символ . или ,.

Чтобы перевести число из одной системы в другую, введите исходное число в первое поле, основание исходной системы счисления во второе и основание системы счисления, в которую нужно перевести число, в третье поле, после чего нажмите кнопку «Получить запись».

• Исходное число

  записано в

  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
  10
  11
  12
  13
  14
  15
  16
  17
  18
  19
  20
  21
  22
  23
  24
  25
  26
  27
  28
  29
  30
  31
  32
  33
  34
  35
  36

  -ой системе счисления.

• Хочу получить запись числа в

  2
  3
  4
  5
  6
  7
  8
  9
  10
  11
  12
  13
  14
  15
  16
  17
  18
  19
  20
  21
  22
  23
  24
  25
  26
  27
  28
  29
  30
  31
  32
  33
  34
  35
  36
  -ой системе счисления.

• Получить запись
• =
• Выполнено переводов: 3823386

Также может быть интересно:

Системы счисления делятся на два типа: позиционные и не позиционные. Мы пользуемся арабской системой, она является позиционной, а есть ещё римская − она как раз не позиционная. В позиционных системах положение цифры в числе однозначно определяет значение этого числа. Это легко понять, рассмотрев на примере какого-нибудь числа.

Пример 1. Возьмём число 5921 в десятичной системе счисления. Пронумеруем число справа налево начиная с нуля:

Число 5921 можно записать в следующем виде: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·103+9·102+2·101+1·100. Число 10 является характеристикой, определяющей систему счисления. В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Пример 2. Рассмотрим вещественное десятичное число 1234.567. Пронумеруем его начиная с нулевой позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

Число:	1	2	3	4	5	6	7
Позиция:	3	2	1		-1	-2	-3

Число 1234.567 можно записать в следующем виде: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·103+2·102+3·101+4·100+5·10-1+6·10-2+7·10-3.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Наиболее простым способом перевода числа с одной системы счисления в другую, является перевод числа сначала в десятичную систему счисления, а затем, полученного результата в требуемую систему счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную достаточно пронумеровать его разряды, начиная с нулевого (разряд слева от десятичной точки) аналогично примерам 1 или 2. Найдём сумму произведений цифр числа на основание системы счисления в степени позиции этой цифры:

1. Перевести число 1001101.11012 в десятичную систему счисления.
Решение: 10011.11012 = 1·24+0·23+0·22+1·21+1·20+1·2-1+1·2-2+0·2-3+1·2-4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.812510
Ответ: 10011.11012 = 19.812510

2. Перевести число E8F.2D16 в десятичную систему счисления.
Решение: E8F.2D16 = 14·162+8·161+15·160+2·16-1+13·16-2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.1757812510
Ответ: E8F.2D16 = 3727.1757812510

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления целую и дробную части числа нужно переводить отдельно.

Перевод целой части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Целая часть переводится из десятичной системы счисления в другую систему счисления с помощью последовательного деления целой части числа на основание системы счисления до получения целого остатка, меньшего основания системы счисления. Результатом перевода будет являться запись из остатков, начиная с последнего.

3. Перевести число 27310 в восьмиричную систему счисления.
Решение: 273 / 8 = 34 и остаток 1, 34 / 8 = 4 и остаток 2, 4 меньше 8, поэтому вычисления завершены. Запись из остатков будет иметь следующий вид: 421
Проверка: 4·82+2·81+1·80 = 256+16+1 = 273 = 273, результат совпал. Значит перевод выполнен правильно.
Ответ: 27310 = 4218

Рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в различные системы счисления.

Перевод дробной части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Напомним, правильной десятичной дробью называется вещественное число с нулевой целой частью.

Чтобы перевести такое число в систему счисления с основанием N нужно последовательно умножать число на N до тех пор, пока дробная часть не обнулится или же не будет получено требуемое количество разрядов.

Если при умножении получается число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть дальше не учитывается, так как последовательно заносится в результат.

4. Перевести число 0.12510 в двоичную систему счисления.
Решение: 0.125·2 = 0.25 (0 — целая часть, которая станет первой цифрой результата), 0.25·2 = 0.5 (0 — вторая цифра результата), 0.5·2 = 1.0 (1 — третья цифра результата, а так как дробная часть равна нулю, то перевод завершён).
Ответ: 0.12510 = 0.0012

Источник: https://programforyou.ru/calculators/number-systems

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Данный конвертер переводит числа между наиболее популярными системами счисления: десятичной, двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной.

Система счисления — это способ представления числа. Одно и то же число может быть представлено в различных видах. Например, число 200 в привычной нам десятичной системе может иметь вид 11001000 в двоичной системе, 310 в восьмеричной и C8 в шестнадцатеричной.

Для указания системы счисления при записи числа используется нижний индекс, который ставится после числа:20010 = 110010002 = 3108 = C816

Кратко об основных системах счисления

Десятичная система счисления. Используется в повседневной жизни и является самой распространенной. Все числа, которые нас окружают представлены в этой системе. В каждом разряде такого числа может использоваться только одна цифра от 0 до 9.

Двоичная система счисления. Используется в вычислительной технике. Для записи числа используются цифры 0 и 1.

Восьмеричная система счисления. Также иногда применяется в цифровой технике. Для записи числа используются цифры от 0 до 7.

Шестнадцатеричная система счисления. Наиболее распространена в современных компьютерах. При помощи неё, например, указывают цвет. #FF0000 — красный цвет. Для записи числа используются цифры от 0 до 9 и буквы A,B,C,D,E,F, которые соответственно обозначают числа 10,11,12,13,14,15.

Перевод в десятичную систему счисления

Преобразовать число из любой системы счисления в десятичную можно следующим образом: каждый разряд числа необходимо умножить на Xn, где X — основание исходного числа, n — номер разряда. Затем суммировать полученные значения.

abcx = (a*x2 + b*x1 + c*x0)10

Примеры:

• 5678 = (5*82 + 6*81 + 7*80)10 = 37510
• 1102 = (1*22 + 1*21 + 0*20)10 = 610
• A516 = (10*161 + 5*160)10 = 16510

Перевод из десятичной системы счисления в другие

Делим десятичное число на основание системы, в которую хотим перевести и записываем остатки от деления. Запишем полученные остатки в обратном порядке и получим искомое число.

1. Переведем число 37510 в восьмеричную систему:
2. 375 / 8 = 46 (остаток 7)
3. 46 / 8 = 5 (остаток 6)
4. 5 / 8 = 0 (остаток 5)

Записываем остатки и получаем 5678

Перевод из двоичной системы в восьмеричную

Способ 1:

Для перевода в восьмеричную систему нужно разбить двоичное число на группы по 3 цифры справа налево. В последней (самой левой) группе вместо недостающих цифр поставить слева нули. Для каждой полученной группы произвести умножение каждого разряда на 2n, где n — номер разряда.

• 11012 = (001) (101) = (0*22 + 0*21 + 1*20) (1*22 + 0*21 + 1*20) = (0+0+1) (4+0+1) = (1) (5) = 158
• Способ 2:
• Так же как и в первом способе разбиваем число на группы. Но вместо преобразований в скобках просто заменим полученные группы (триады) на соответствующие цифры восьмеричной системы, используя таблицу триад:

Триада

Цифра

000	001	010	011	100	101	110	111
	1	2	3	4	5	6	7

101110102 = (010) (111) (010) = 2728

Способ 1:

Разбиваем число на группы по 4 цифры справа налево. Последнюю (левую) группу дополним при необходимости ведущими нулями. Внутри каждой полученной группы произведем умножение каждой цифры на 2n, где n — номер разряда, и сложим результаты.

1. 110102 = (0001) (1010) = (0*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20) (1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20) = (0+0+0+1) (8+0+2+0) = (1) (10) = 1A16
2. Способ 2:
3. Также как и в первом способе разбиваем число на группы по 4 цифры. Заменим полученные группы (тетрады) на соответствующие цифры шестнадцатеричной системы, используя таблицу тетрад:

Тетрада

Цифра

0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

1011111002 = (0001) (0111) (1100) = 17C16

Способ 1:

Каждый разряд восьмеричного числа будем делить на 2 и записывать остатки в обратном порядке, формируя группы по 3 разряда двоичного числа. Если в группе получилось меньше 3 разрядов, тогда дополняем нулями. Записываем все группы по порядку, отбрасываем ведущие нули, если имеются, и получаем двоичное число.

Возьмем число 438. Делим последовательно 4 на 2 и получаем остатки 0,0,1. Записываем их в обратном порядке. Получаем 100. Делим последовательно 3 на 2 и получаем остатки 1,1. Записываем их в обратном порядке и дополняем ведущими нулями до трех разрядов. Получаем 011.

Записываем вместе и получаем 1000112

Способ 2:

Используем таблицу триад:

Цифра

Триада

	1	2	3	4	5	6	7
000	001	010	011	100	101	110	111

Каждую цифру исходного восьмеричного числа заменяется на соответствующие триады. Ведущие нули самой первой триады отбрасываются.

• 3518 = (011) (101) (001) = 0111010012 = 111010012
• Способ 1:
• Аналогично переводу из восьмеричной в двоичную, только группы по 4 разряда.
• Способ 2:
• Используем таблицу тетрад:

Цифра

Тетрада

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

Каждую цифру исходного числа заменяется на соответствующие тетрады. Ведущие нули самой первой тетрады отбрасываются.

D816 = (1101) (1000) = 110110002

Такую конвертацию можно осуществить через промежуточное десятичное или двоичное число. То есть исходное число сначала перевести в десятичное (или двоичное), и затем полученный результат перевести в конечную систему счисления.

Источник: https://calcus.ru/perevod-sistem-schisleniya

ТЕОРИЯ

Система счисления (СС)-это совокупность приёмов и правил записи чисел с помощью определенного набора символов.

Алфавит СС — набор символов(цифр), используемых для записи числа.Основание СС (мощность алфавита СС) — количество символов(цифр) алфавита СС. Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

Непозиционная система счисления — это система, в которой количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.Итак, в непозиционных системах счисления позиция, которую цифра занимает в записи числа, роли не играет. Так, например, римская система счисления непозиционная.

В числах XI и IX «вес” обоих цифр одинаков, несмотря на их месторасположение.

Позиционная система счисления это система, в которой значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

Основание системы счисления количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления Основание системы счисления определяет её название: основание p — p-ая система счисления.

Например, система счисления в основном, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой, её основание равно десяти. Для записи любых чисел в ней используется десять всем хорошо известных цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Итак, мы сказали, что в позиционных системах счислениях имеет значение позиция, которую цифра занимает в записи числа. Так, запись 23 означает, что это число можно составить из 3 единиц и 2 десятков. Если мы поменяем позиции цифр, то получим совсем другое число – 32. Это число содержит 3 десятка и 2 единицы. «Вес» двойки уменьшился в десять раз, а «вес» тройки в десять раз возрос.

Развернутая запись числа Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде многочлена от p: N=ak pk + ak-1 pk-1+ak-2 pk-2+…+a1 p1+a0 p0+a-1 p-1+a-2 p-2+…, где N — число, p — основание системы счисления (p>1), ai — цифры числа (коэффициенты при степени p). Числа в p-ой системе счисления записываются в виде последовательности цифр:

N=ak ak-1 ak-2 …a1 a0 ,a-1 a-2…

Запятая в последовательности отделяет целую часть числа от дробной.

3210 -1-2 N=4567,1210=4*103+5*102+6*101+7*100+1*10-1+2*10-2

Для записи чисел используются только две цифры – 0 и 1. Выбор двоичной системы для использования в компьютере объясняется тем, что электронные элементы, из которых строятся ЭВМ, могут находиться только в двух хорошо различимых состояниях. По существу эти элементы представляют собой выключатели. Как известно выключатель либо включен, либо выключен. Третьего не дано. Одно из состояний обозначается цифрой 1, другое – 0. Благодаря таким особенностям двоичная система стала стандартом при построении ЭВМ. В этой системе счисления любое число может быть представлено в виде:

N=ak 2k + ak-1 2k-1+ak-2 2k-2+…+a1 21+a0 20+a-1 2-1+a-2 2-2+….

Например:11001,012=1*24+1*23+0*22+0*21+1*20+0*2-1+1*2-2(развернутая запись числа в двоичной системе счисления)

Цифра	Триада
	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

В восьмеричной системе используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Это система счисления в ЭВМ используется как вспомогательная для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используют три двоичных разряда (триада : см. таблицу Развернутая запись числа в восьмеричной системе счисления:

5378=5*82+3*81+7*80

Символ	Тетрада
	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
A	1010
B	1011
C	1100
D	1101
E	1110
F	1111

Для обозначения цифр в шестнадцатеричной системе счисления используют десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и латинские буквы A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15). Эта система счисления, так же, как и восьмеричная система, используется в ЭВМ как вспомогательная для записи информации в сокращенном виде. Для представления одного символа шестнадцатеричной системы используют четыре двоичных разряда (тетрада): см. таблицу Развернутая запись числа в восьмеричной системе счисления:

A2F,416=A*162+2*161+F*160+4*16-1

Алгоритм перевода целых десятичных чисел
Для того, чтобы перевести целое десятичное число в другую систему счисления, необходимо осуществлять последовательное деление десятичного числа и затем получаемых частных на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя.
Число в новой системе счисления записывается в виде остатков от деления, в обратном порядке их получения, начиная с последнего полученного частного.

Алгоритм перевода правильных десятичных дробей
Для того, чтобы перевести правильную десятичную дробь из десятичной системы счисления в другую, необходимо последовательно умножать эту дробь, а затем получаемые дробные части на основание той системы, в которую она переводится. Умножение производится до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю, или будет достигнута требуемая точность.

В новой системе дробь записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.

перевод десятичных дробей

Перевод A2—A8
Для того, чтобы перевести число из двоичной системы счисления в восьмеричную, необходимо: двигаясь от запятой влево и вправо, разбить двоичное число на группы по три разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группу. Затем триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (см. таблицу триад выше)

Перевод A2—A16
Для того, чтобы перевести число из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, необходимо: двигаясь от запятой влево и вправо, разбить двоичное число на группы по четыре разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группу. Затем тетраду заменить соответствующей шестнадцатеричной цифрой (см. таблицу триад выше)

Перевод A8—A2
Для того, чтобы перевести число из восьмеричной системы счисления в двоичную достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующей триадой (см. таблицу триад выше), при этом отбрасывают незначащие нули в старших и младших (после запятой) разрядах.
Перевод A16—A2
Для того, чтобы перевести число из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующей тетрадой (см. таблицу триад выше), при этом отбрасывают незначащие нули в старших и младших (после запятой) разрядах. Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным правилам. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:
0+0=00+1=11+0=11+1=10

1+1+1=11

Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или больше основания системы счисления. Для двоичной системы счисления эта величина равна двум. Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствие с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов с старшие. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначается 1 с чертой. Сложение и вычитание одноразрядных двоичных чисел
Сложение и вычитание многоразрядных двоичных чисел (примеры) В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел: Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с приведенной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления.
Умножение и деление двоичных чисел

Источник: http://qwertylike35.blogspot.com/p/blog-page_3567.html

2.2.3. Двоично-десятичная система счисления

Эта
система имеет основание S = 10, но каждая
цифра изображается четырехразрядным
двоичным числом, называемым тетрадой.
Обычно данная система счисления
используется в ЭВМ при вводе и выводе
информации.

Однако в некоторых типах
ЭВМ в АЛУ имеются специальные блоки
десятичной арифметики, выполняющие
операции над числами в двоично-десятичном
коде.

Это позволяет в ряде случаев
существенно повышать производительность
ЭВМ.

Например,
в автоматизированной системе обработки
данных чисел много, а вычислений мало.
В этом случае операции, связанные с
переводом чисел из одной системы в
другую, существенно превысили бы время
выполнения операций по обработке
информации.

Перевод
чисел из десятичной системы в
двоично-десятичную весьма прост и
заключается в замене каждой цифры
двоичной тетрадой.

Пример.

Записать десятичное
число 572.38(10)в двоично-десятичной
системе счисления.

Обратный
перевод также прост: необходимо
двоично-десятичное число разбить на
тетрады от точки влево (для целой части)
и вправо (для дробной), дописать необходимое
число незначащих нулей, а затем каждую
тетраду записать в виде десятичной
цифры.

Пример.

Перевод
чисел из двоично-десятичной в двоичную
систему осуществляется по общим правилам,
описанным выше.

2.3. Восьмеричная система счисления

В
восьмеричной системе счисления
употребляются всего восемь цифр, т.е.
эта система счисления имеет основание
S = 8. В общем виде восьмеричное число
выглядит следующим образом:

Восьмеричная
система счисления не нужна ЭВМ в отличие
от двоичной системы. Она удобна как
компактная форма записи чисел и
используется программистами (например,
в текстах программ для более краткой и
удобной записи двоичных кодов команд,
адресов и операндов).

В восьмеричной
системе счисления вес каждого разряда
кратен восьми или одной восьмой, поэтому
восьмиразрядное двоичное число позволяет
выразить десятичные величины в пределах
0-255, а восьмеричное охватывает диапазон
0-99999999 (для двоичной это составляет 27
разрядов).

Поскольку
8=23, то каждый восьмеричный символ
можно представить трехбитовым двоичным
числом.

Для перевода числа из двоичной
системы счисления в восьмеричную
необходимо разбить это число влево (для
целой части) и вправо (для дробной) от
точки (запятой) на группы по три разряда
(триады) и представить каждую группу
цифрой в восьмеричной системе счисления.
Крайние неполные триады дополняются
необходимым количеством незначащих
нулей.

Пример.

Двоичное число
10101011111101(2)записать в восьмеричной
системе счисления.

Пример.

Двоичное число
1011.0101(2)
записать в восьмеричной системе
счисления.

Перевод
из восьмеричной системы счисления в
двоичную осуществляется путем
представления каждой цифры восьмеричного
числа трехразрядным двоичным числом
(триадой).

2.4. Шестнадцатеричная система счисления

Эта
система счисления имеет основание S =
16. В общем виде шестнадцатеричное число
выглядит следующим образом:

Шестнадцатеричная
система счисления позволяет еще короче
записывать многоразрядные двоичные
числа и, кроме того, сокращать запись
4-разрядного двоичного числа, т.е.
полубайта, поскольку 16=24.
Шестнадцатеричная система также
применяется в текстах программ для
более краткой и удобной записи двоичных
чисел.

• Для
  перевода числа из двоичной системы
  счисления в шестнадцатеричную необходимо
  разбить это число влево и вправо от
  точки на тетрады и представить каждую
  тетраду цифрой в шестнадцатеричной
  системе счисления.
• Пример.
• Двоичное число
  10101011111101(2)записать в шестнадцатеричной
  системе.

Пример.

Двоичное число
11101.01111(2)записать в шестнадцатеричной
системе.

Для
перевода числа из шестнадцатеричной
системы счисления в двоичную, необходимо,
наоборот, каждую цифру этого числа
заменить тетрадой.

В
заключение следует отметить, что перевод
из одной системы счисления в другую
произвольных чисел можно осуществлять
по общим правилам, описанным в разделе
“Двоичная система счисления”. Однако
на практике переводы чисел из де­сятичной
системы в рассмотренные системы счисления
и обратно осуществляются через двоичную
систему счисления.

Кроме
того, следует помнить, что шестнадцатеричные
и восьмеричные числа – это только способ
представления больших двоичных чисел,
которыми фактически оперирует процессор.

В восьмеричной
же системе счисления предпочтительны
слова, кратные 3 битам, например слова
длиной 12 бит (как в PDP-8 фирмы DEC).

Источник: https://studfile.net/preview/2873862/page:12/

Перевод чисел из одной системы счисления в любую другую онлайн

• Калькулятор перевода чисел между систем счисления онлайн.
• Вы можете выполнить перевод числа из одной системы счисления в любую другую.
• Калькулятор покажет подробный ход решения. 

Поставить LIKE

и поделиться ссылкой

• Калькулятор
• Инструкция
• Теория
• История
• Сообщить о проблеме

Перевод 356.

из десятичной в шестнадцатиричную CC

Осуществлен перевод числа: 356. из десятичной системы счисления в шестнадцатиричную систему счисления. Дата и время данного расчета 2020-03-16 08:37 МСК

Результат:

164 Показать как оно получилось

Ура!!! Вам стало интересно как получилось данное число

Вы ввели число: 356.10 в десятичной системе счисления и хотите перевести его в шестнадцатиричную.

Переведем 35610 в шестнадцатиричную систему вот так:

Целая часть числа находится делением на основание новой

356	16
-352	22	16
4	-16	1
6

Получилось:35610 = 16416 Результат перевода:

356.10 = 16416

Вы можете отблагодарить нас:

1. Введите число которое надо перевести.
2. Укажите его систему счисления.
3. Укажите в какую систему счисления переводить.
4. Нажмите кнопку «Перевести».

Калькулятор перевода чисел имеет одно поле для ввода. В это поле необходимо ввести число которое Вы хотите перевести.

После этого Вам обязательно нужно указать в какой системе счисления Вы его ввели. Для этого под полем ввода есть графа «Его система счисления».

Если Вы не нашли своей системы, то выберите графу «другая» и появится поле ввода . В это поле необходимо вписать основание системы одним числом без пробелов. Далее необходимо выбрать в какую систему хотите перевести данное число. Если Вы опять не нашли нужной системы то введите ее в графе «другая».

После нажмите кнопку «ПЕРЕВЕСТИ» и результат появится в соответствующем поле. Если Вы хотите получить подробный ход решения, то нажмите на соответствующую ссылку.

• Научиться переводить число из одной системы счисления в другую очень просто.
• Любое число может быть легко переведено в десятичную систему по следующему алгоритму:
• Каждая цифра числа должна быть умножена на основание системы счисления этого числа возведенное в степень равное позиции текущей цифры в числе справа налево, причём счёт начинается с 0.
• Пример 1:

Сообщите нам о возникшей проблеме в результате расчета на этом калькуляторе.

Попробуйте новый сайт: Перейти

Источник: https://calculatori.ru/perevod-chisel.html?id=1390728