Дифракция на круглом отверстии и экране — справочник студента

Дифракция света проявляется в огибании световыми волнами небольших препятствий, при этом наблюдаются отклонения от законов геометрической оптики.

Это также относится и к световым волнам, проходящим через отверстие, например, в объективе фотокамеры или через зрачок глаза. Есть дифракция Френеля и Фраунгофера.

Различия состоят в величине расстояния между источником света, препятствием и экраном, на котором наблюдается картина этого явления.

Место дифракции в общем ряду оптических явлений

Прохождение световых (и вообще электромагнитных) волн через различные неоднородные среды сопровождается явлениями их отражения, дифракции и преломления.

Когда волна достигает границы двух сред, она разделяется на отраженную, остающуюся в исходной среде, но с изменением направления распространения, и преломленную, которая проходит через границу сред, но также с изменением направления.

Дифракция Френеля — это процесс изменения в направлении световой волны при встрече на своем пути не границы двух сред, а некоторого непрозрачного препятствия с отверстием (или без него, но небольших размеров) в той же среде. Степень дифракции увеличивается с ростом длины световой волны.

Открытие явления

Наверное, первым, кто наблюдал дифракцию, был Франческо Мария Гримальди (2 апреля 1618 г. — 28 декабря 1663 г.), итальянский священник-иезуит и одновременно математик и физик, преподававший в иезуитском колледже в Болонье. Вторую половину своей жизни он посвятил изучению астрономии и оптики.

Знаменитым сделала Гримальди его работа под названием «Физическая наука о свете, цветах и радуге», которая была опубликована в Болонье в 1665 году.

Большая ее часть состоит из утомительного обсуждения природы света с теологических позиций и сегодня не представляет интереса.

Исходя из повседневного опыта, люди еще в древности сделали вывод, что лучи света распространяются по прямым линиям. Ведь предмет, находящийся между, например, пламенем свечи и стеной, отбрасывает тень с резкой границей, как если бы прямые лучи света обрывались на непрозрачной преграде.

Однако результаты опытов Гримальди противоречили этим устоявшимся за тысячелетия представлениям. Оказывается, если освещать разные предметы через преграду с маленьким отверстием, то тени от них будут вовсе не такими, как при отсутствии преграды. Получалось, что свет способен менять направление распространения и огибать небольшие препятствия.

Как была обнаружена дифракция Френеля на круглом отверстии

Гримальди, пропустив свет солнца в темную комнату через небольшое отверстие (апертуру), заметил, что ширина тени тонких объектов вроде иглы и волоса на экране оказывается значительно большей (как видно на фото ниже), чем это было бы, если бы лучи света проходили по прямым линиям.

Он отметил также, что круг света, формируемый на экране лучами, проходящими через очень небольшое отверстие в пластине свинца, был явно больше, чем это было бы, если бы эти лучи падали на экран прямолинейно. Гримальди пришел к выводу, что они изменяют свое направление при прохождении вблизи краев отверстия.

В его опытах, проводившихся внутри одной комнаты, свет в которую попадал через отверстия в ставнях, расстояние между препятствием для световых волн (пластина с круглым отверстием) и экраном было малым.

Этим условиям соответствует и такое явление, как дифракция Френеля. Анализируя ее, нельзя пренебрегать кривизной фронта как исходной падающей на препятствие волны, так и вторичных волн.

Именно они дают на экране дифракционное изображение препятствия с отверстием, как показано на фото ниже.

Что происходит, если свет падает на небольшое непрозрачное препятствие

Гримальди обнаружил также, что тень небольшого тела (неправильной формы) была окружена тремя цветными полосами или лентами, которые становились более узкими по мере удаления от центра тени.

Если исходный поток света был более сильным, он воспроизводил аналогичные цветные полосы и в зоне самой тени: там оказывались две или более таких полос, причем их число увеличивалось пропорционально расстоянию между тенью и освещаемым телом.

И в этом случае Гримальди удалось наблюдать явление, которое позже было названо «дифракция Френеля», в результате которого на экране получалась дифракционная картина препятствия. Аналитически рассчитать ее очень трудно. Впрочем, имеются методы, которые позволяют в некоторых частных случаях существенно упростить этот расчет.

И еще одно замечание об опытах Гримальди.

Если бы он использовал в них в качестве экрана круглый диск (например, блюдце), то, возможно, ему удалось бы на полтора столетия раньше, чем это случилось в действительности, наблюдать такое явление, как дифракция Френеля на круглом диске. Но история вообще и история науки в частности не знают сослагательного наклонения. Поэтому данный опыт был выполнен только в начале 19 в. (см. ниже).

Первое наблюдение интерференции

Пропустив солнечные лучи в комнату через несколько маленьких круглых отверстий, Гримальди получил следы перекрывающихся друг другом конусов света на экране.

Как и следовало ожидать, в тех областях, на которые падали лучи от двух отверстий, экран был освещен сильнее, чем это было бы от одного конуса света; но исследователь был удивлен, обнаружив, что те части суммарной тени, в которых конусы света наложены друг на друга, оказались темнее, чем соответствующие части, в которых не было никакого наложения (рисунок ниже).

Таким образом, впервые было зафиксировано, что освещенное тело может стать темнее, если добавить свет к тому, который оно уже получает. Сейчас мы знаем, что причиной этому является интерференция, т. е. взаимное усиление или ослабление световых волн. Она же проявляется и в таком явлении, как дифракция Френеля. Многие современные ученые даже принципиально не делают различий между этими понятиями, сводя все дифракционные проявления к интерференционным, как это сделал, например, Р. Фейнман в 3-м томе своих «Фейнмановских лекций по физике».

От Гримальди до Гюйгенса и Ньютона

Первую попытку объяснить причину отклонения света от прямолинейного распространения предпринял знаменитый английский ученый Р. Гук.

Он предположил, что свет – это волновые колебания мирового эфира, под которым тогда понималась всепроникающая субстанция, заполняющая все пространство.

В идее Гука уже была заложена основа для будущего правильного объяснения того, что такое дифракция Френеля и все оптические явления. Однако он не смог создать соответствующую количественную теорию.

Следующий шаг был сделан Христианом Гюйгесом, который сформулировал свой знаменитый принцип в 1690 г. Согласно ему, видимый свет есть совокупность распространяющихся от источника во все стороны сферических волн в эфире.

При этом источником этих волн могут быть не только частицы эфира, возбужденные непосредственно источником света (например, пламенем свечи), но и любые другие его частицы в точках пространства, которые проходит свет при распространении.

Поэтому, согласно этой теории, никакого огибания светом препятствий попросту нет – от новых (вторичных) источников он распространяется за препятствия.

Однако, согласно принципу Гюйгенса, вообще невозможны узкие световые лучи – их края сразу же должны расползаться во все стороны. Тем не менее, их можно видеть невооруженным глазом, как это было в опытах Гримальди. Возникало противоречие между теорией и практикой.

Преодолеть его попытался И. Ньютон в своей корпускулярной теории света, которая также давала объяснения всем оптическим явлениям, включая и такое, как дифракция света Френеля.

Однако основной постулат Ньютона о том, что свет — это не волна в эфире, а поток тел (корпускул), породил другие противоречия. Так, было неясно, почему не влияют друг на друга пересекающиеся пучки света, ведь корпускулы должны были бы сталкиваться друг с другом.

Но авторитет Ньютона был настолько высок, что волновая теория света была забыта более чем на сто лет.

Возвращение световых волн

В 1880 г. английский физик Т. Юнг предложил вернуться к волновой теории света, дополненной понятием об интерференции световых волн. Оно означает, что при наложении друг на друга когерентных (с одинаковыми частотами) волн возможно устойчивое во времени усиление интенсивности света в одних точках поля и ослабление в других в зависимости от соотношения фаз складываемых световых волн.

Понятием интерференции воспользовался французский физик О. Френель, чтобы дополнить им принцип Гюйгенса. Согласно его варианту, все вторичные сферические волны являются когерентными и интерферируют при наложении. Какой же физический механизм имеет дифракция Гюйгенса-Френеля?

Пропускаем свет через круглое отверстие

Когда световая волна распространяется через отверстие, соотношение между его диаметром и длиной волны падающего луча определяет поведение света. Как показано на левой части рисунка ниже, когда длина волны значительно меньше, чем диаметр отверстия, она просто проходит вперед по прямой линии, как будто препятствия вообще нет.

На правой стороне рисунка, однако, показана другая ситуация. В этом случае длина волны света, прошедшего от точечного источника, превышает диаметр проема, и возникает дифракция Френеля на отверстии.

При анализе этого явления отверстие считают отсутствующим, а вместо него помещают совокупность фиктивных вторичных источников света, которые возбуждают те самые вторичные сферические волны, о которых уже упоминалось выше.

Они распространяются в направлении экрана и достигают разных его точек с разными фазами, интерферируя друг с другом, т. е. усиливаясь или ослабляясь в каждой такой точке.

Поскольку вся система обладает осевой симметрией, то падающий цилиндрический пучок света превращается в конический, а на экране наблюдается также осесимметричная дифракционная картина из чередующихся ярких и темных колец, называемых также максимумами и минимумами освещенности соответственно.

В точке P, находящейся на оси отверстия, будет яркое пятно – основной максимум, а первый из вторичных максимумов освещенности возникнет в точке Q. Интенсивность вторичных максимумов уменьшается по мере увеличения их расстояния от центра дифракционной картины. Соотношение между размером отверстия и степенью дифракции определяется следующим уравнением:

sinθ = λ/d, где

• θ — угол между направлением на центр дифракционной картины и направлением на ее первый минимум,
• λ – длина световой волны.

Рисунок ниже показывает, как изменяется интенсивность освещенности экрана в зависимости от углового расстояния от центра. Обратите внимание, что минимумы, находящиеся между вторичными максимумами, расположены в точках, кратных величине ∏.

Аналитический расчет картины такого явления, как дифракция Френеля на отверстии и диске, существенно упрощается вследствие осевой симметрии, о чем будет дополнительно сказано ниже.

Круглый диск на пути пучка света

Если следовать теории Френеля, то при помещении на пути пучка света круглого непрозрачного диска все точки на его краях становятся источниками когерентных вторичных сферических волн.

Расстояния между этими точками и точкой пересечения оси диска с перпендикулярным ей непрозрачным экраном одинаковы. Поэтому волны от всех точек на краю диска должны пересечься в одно время и в одной фазе, т. е. они должны сложиться и значительно усилить друг друга.

Получается, что в центре круглой тени от диска должно наблюдаться яркое освещенное пятно, как на рисунке ниже.

На это обстоятельство впервые обратил внимание французский физик С. Пуассон, бывший противником теории Френеля. Он считал, что отмеченное им обстоятельство доказывает ее несостоятельность. Каково же было его удивление, когда Френель совместно с Араго проделал соответствующий опыт и получил в центре тени от диска именно такое пятно! На рисунке ниже схематически показан этот опыт.

Так проявляет себя дифракция Френеля на диске. Яркое же пятно в центре его тени получило наименование пятна Пуассона. Если диск небольшой, то интенсивность света в центре его дифракционного изображения практически такая же, как и при его (диска) отсутствии.

Как рассчитывать картины дифракции

В общем случае расчет интерференции вторичных волн для получения дифракционной картины является сложным. Но в осесимметричных случаях он может быть упрощен, так что становится несложной и вся картина такого явления, как дифракция. Метод зон Френеля позволяет наглядно геометрическим способом разбить фронт сферической волны на кольцевые участки.

Амплитуды и относительные фазы всех зон принимаются во внимание для расчета распределения интенсивности. Таким образом, для определения дифракционной картины применяется достаточно сложная математическая обработка. Но при анализе такого явления, как дифракция Френеля на круглом отверстии и диске,она существенно упрощается.

На рисунке ниже S является точечным источником света.

S излучает сферическую световую волну длиной λ в направлении слева направо. Пусть радиус ее фронта в момент времени t равен R. Эффект этого волнового фронта в точке Р определяется путем его разделения на кольцевые зоны. Расстояния от краев двух последовательных зон до точки Р отличаются на λ/2. Кольцевые зоны, обладающие этим свойством, называются зонами Френеля. Расстояние от нулевой зоны до точки Р равно b0.

Первая зона находится на расстоянии b1 = b0 + λ/2; вторая: b2 = b0 + 2λ/2; третья: b3 = b0 + 3λ /2; i-я зона: bi = b0 + iλ /2.

Последовательно расположенные края двух соседних зон находятся в сходственных точках. Если в них возбуждаются вторичные сферические волны, то они приходят в точку наблюдения Р с разностью фаз в 180° и взаимно ослабляют друг друга при наложении (но не уничтожают).

Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске — картина с осевой симметрией. Поэтому применение этого метода позволяет существенно упростить построение дифракционной картины при прохождении светом таких препятствий.

Как работают кольцевые зоны Френеля на круглом отверстии

Рассмотрим снова случай, когда на круглом отверстии происходит дифракция света.

Зоны Френеля, на которые может быть разбит волновой фронт, укладывающиеся в отверстии данного диаметра при определенной длине волны λ и расстоянии от фронта до экрана b0, могут оказаться в количестве, выраженном нечетным или четным числом.

Как уже было отмечено выше, вторичные волны от двух соседних зон в каждой точке экрана ослабляют, хотя и не уничтожают друг друга.

Поэтому, если для центра дифракционной картины число зон Френеля, укладывающихся в отверстии, нечетно (2k+1), то амплитуда освещенности в центре картины будет складываться из суммы остатка действия первой (центральной) зоны и ничем не скомпенсированного действия (2k+1)-й зоны, которые будут усиливать друг друга. Дифракционная картина для этого случая показана на рисунке ниже.

Если же число зон Френеля, укладывающихся в отверстии, будет четным, то влияние всех зон в центре картины будет взаимно попарно скомпенсировано, и в нем появится темное пятно.

Источник: https://www.syl.ru/article/200479/new_difraktsiya-frenelya-na-kruglom-otverstii-i-diske

Дифракция на круглом отверстии и на круглом экране

Задача 1. Интенсивность плоской электромагнитной волны, распространяющейся в пространстве без препятствий, равна I. На пути волны поставили непрозрачный экран с прямолинейным краем, параллельный волновым поверхностям.

Чему равна интенсивность волны на границе геометрической тени экрана?Указание. При ответе на поставленный в задаче вопрос пользуйтесь рисунками 49 и 50.

Учтите, что загораживание экраном части волнового фронта приводит к убиранию из спирали соответствующей части векторочков.

Задача 2. Используя рисунок 49, дайте качественное объяснение зависимости интенсивности электромагнитной волны от расстояния до границы геометрической тени экрана, изображенной на рисунке 47.

Попытайтесь объяснить, почему при перемещении вглубь тени от экрана колебаний интенсивности не происходит.Указание. Перемещение вдаль от края геометрической тени в освещенную область равносильно включению все новых антенн, которые ранее были закрыты экраном.

Перемещение от края тени в затененную область равносильно выключению антенн.

2.1.4 Зоны Френеля

При решении задачи 2 обращает внимание на себя следующий факт. При получении результирующей напряженности электрического поля волны путем последовательного сложения бесконечно малых вкладов приращения напряженности оказываются то положительными, то отрицательными.

Участок фронта волны, все части которого дают вклады в результирующую напряженность в данной точке наблюдения одного знака, называется зоной Френеля.

На рисунке 50 отмечены половина первой, вторая и третья зоны вкладов одного знака.

Задача 3. На рисунке 47 изображена зависимость интенсивности электромагнитной волны от расстояния до границы геометрической тени экрана. Отметьте на этой зависимости участки, являющиеся результатом добавок 1й, 2й, 3й и 4й зон Френеля одного знака.

Вопрос 2. На пути электромагнитной волны поставили полосатый экран: непрозрачные участки загораживают четные зоны, а прозрачные участки приходятся на нечетные зоны. К какому эффекту это приведет? Изобразите диаграмму сложения вкладов в электрическое поле волны от элементарных источников.

3. Дифракция на круглом отверстии и на круглом экране

3.1 Поправка к определению зон Френеля для плоской волны

Выбор участков фронта волны в виде прямых полосок не вполне соответствует определению зоны Френеля, данному в разделе 2.1.4, так как на каждой из полосок имеются чередующиеся участки, дающие вклады в электрическое поле противоположного знака.

Вопрос 3. Какую форму должны иметь зоны Френеля плоской волны для заданной точки P?

Границы зон выбираются таким образом, чтобы разность хода вторичных волн, пришедших от краев, равнялась половине длины волны.

Задача 4. Плоская электромагнитная волна, излучаемая генератором трехсантиметровых волн, принимается в точке P, находящейся на расстоянии L от выбранного фронта. Рассчитать радиус первой зоны Френеля на волновом фронте, отстоящем от точки P на расстоянии L=1,5 м.

Решение. На рисунке изображено расположение фронта, точки P и границы первой зоны (зона помечена жирной линией). По определению, разность хода AB от точки О и от границы первой зоны Френеля должна равняться половине длины волны, т. е.

(1)

где J — угол, под которым виден радиус первой зоны. При малых углах . Так что уравнение (1) дает

(2)

Подставляя данные условия задачи, находим r1»21 см.

Задача 5. Используя условия задачи 4, рассчитайте размеры следующих трех зон Френеля.

3.2 Зоны Френеля на сферическом фронте

Если электромагнитная волна генерируется точечным колеблющимся зарядом, расположенным не слишком далеко от точки наблюдения P, то при расчете дифракционной картины при прохождении волной препятствия или отверстия надо иметь в виду, что волновой фронт является сферой. Зоны Френеля следует определять на этой сфере (рисунок 52). При этом, за исключением геометрических построений, вся идея расчета дифракционной картины остается той же самой, что и в случае плоской волны.

[См. также учебник “Физика 11” под ред. А. А.Пинского §34.]

Задача 6. Экран с круглым отверстием радиусом 1,5 мм расположен на расстоянии 8,6 м от точечного источника света, излучающего свет с длиной волны 0,6 мкм. Источник находится на оси отверстия. На каком расстоянии от отверстия расположена точка наблюдения, если из нее видна одна первая зона Френеля?

Решение. При решении данной задачи проведем уже известный из предыдущего рассмотрения дифракции плоской волны ход рассуждений, восстановим чертеж и еще раз разберемся в геометрии первой зоны Френеля.

• Из чертежа на рисунке 53 для радиуса r1 имеем: (3) Разность хода волны от центра зоны и от края первой зоны равна . (4)
• При r1, x

Источник: http://fiziku5.ru/uchebnye-materialy-po-fizike/difrakciya-na-kruglom-otverstii-i-na-kruglom-ekrane

Дифракция Френеля на круглом отверстии и круглом экране

Пусть волна å, идущая из А, встречает на пути экран MN с круглым отверстием. Исследуем явление в точке В, лежащей на линии, соединяющей А с центром круглого отверстия.

Вспомогательная поверхность Френеля å будет касаться экрана MN. Разбивка на зоны Френеля, произведенная, покажет, что  в зависимости от размера отверстия в нем уложится большее или меньшее число зон.

При небольшом размере отверстия и соответственных расстояниях А и В можно учитывать лишь ограниченное число действующих зон. Легко видеть, что если отверстие открывает всего лишь одну зону или небольшой нечетное число зон, то действие в точке В будет больше, чем при отсутствии экрана.

Наименьшая освещенность соответствует двум открытым зонам диаграммы, и определяющие световое возбуждение в точке В  зависимости от числа зон, укладывающихся  в отверстии.

Дифракция на круглом отверстии

Аналогичная картина будет наблюдаться для любой точки, лежащей на линии АВ. Расчет картины для точек, лежащих в плоскости, перпендикулярной к АВ, в стороне от этой линии, несколько сложнее.

Но легко увидеть, что  вследствие симметрии всего расположения вокруг линии АВ распределение света в указанной плоскости должно быть симметрично, т.е. области одинаковой освещенности должны располагаться кольцеобразно около точки В.

При подходящих условиях опыта можно наблюдать несколько концентрических областей максимумов и минимумов освещенности, плавно переходящих друг в друга. Дифракция на круглом отверстии

Дифракция на круглом отверстии

Дифракция на круглом экране.

Для точки В, лежащей на линии, соединяющей источник А с центром экрана, построение Френеля дает первую зону от края экрана до линии пересечения поверхности волны с конусом, образующая которого равна b+½l, вторую зону — до конуса с образующей b+l. Повторяя рассуждение получим, что амплитуда световых колебании в B равна половине амплитуды, обусловленной первой открытой зоной.

Картины дифракции на круглом отверстии

Картины дифракции на круглом отверстии

Картины дифракции на круглом отверстии

Если размер экрана невелик, то действие первой открытой зоны практически не отличается от действия центральной зоны волнового фронта. Таким образом, освещенность в точке В будет такой же как и в отсутствии экрана.

Вследствие симметрии всей картины относительно прямой АВ светлая точка в В окружена кольцевыми зонами чередующихся тени и света.

По мере удаления от В в направлении, перпендикулярном линии АВ, кольца становятся все менее и менее резкими, пока вдали от В не получится равномерная освещенность.

Парадоксальное на первый взгляд заключение, в силу которого в самом центре геометрической тени должна находится светлая точка, было выдвинуто Пуассоном в 1818 при рассмотрении мемуара Френеля в Парижской академии, в качестве доказательства несостоятельности рассуждений Френеля.

Однако Арго произвел соответствующий опыт и показал, что выводы Пуассона соответствуют действительности и лишь подтверждают теорию Френеля.

Светлое пятно в центре геометрической тени, предсказанное Пуассоном в качестве мнимого опровержения волновой природы света, получило наименование пятна Пуассона.

Для успеха опыта необходимо, чтобы край экрана хорошо совмещался с границами зоны. Удобным для этой цели являются стальные шарики от шарикоподшипников.

В этом случае, когда края экрана имеют неровности, сравнимые с размерами первой открытой френелевой зоны, расчет и опыт показывает, что экранчик нарушит однозначные предсказания теории Френеля о наличии пятна Пуассона.

Схема дифракции на круглом диске

Картина дифракции на круглом диске

Источник: https://physoptika.ru/difrakciya-sveta/difrakciya-frenelya-na-kruglom-otverstii-i-kruglom-ekrane.html

3.8. Дифракция света



Дифракцией света называется явление отклонения света от прямолинейного направления распространения при прохождении вблизи препятствий. Как показывает опыт, свет при определенных условиях может заходить в область геометрической тени. Если на пути параллельного светового пучка расположено круглое препятствие (круглый диск, шарик или круглое отверстие в непрозрачном экране), то на экране, расположенном на достаточно большом расстоянии от препятствия, появляется дифракционная картина – система чередующихся светлых и темных колец. Если препятствие имеет линейный характер (щель, нить, край экрана), то на экране возникает система параллельных дифракционных полос.

Дифракционные явления были хорошо известны еще во времена Ньютона, но объяснить их на основе корпускулярной теории света оказалось невозможным. Первое качественное объяснение явления дифракции на основе волновых представлений было дано английским ученым Т. Юнгом. Независимо от него в 1818 г. французский ученый О. Френель развил количественную теорию дифракционных явлений.

В основу теории Френель положил принцип Гюйгенса, дополнив его идеей об интерференции вторичных волн. Принцип Гюйгенса в его первоначальном виде позволял находить только положения волновых фронтов в последующие моменты времени, т. е. определять направление распространения волны. По существу, это был принцип геометрической оптики.

В ряде практически важных случаев решение дифракционных задач на основе этого принципа дает достаточно хороший результат. Рис. 3.8.1 иллюстрирует принцип Гюйгенса–Френеля.

Рисунок 3.8.1.Принцип Гюйгенса–Френеля. ΔS1 и ΔS2 – элементы волнового фронта, и – нормали

Пусть поверхность S представляет собой положение волнового фронта в некоторый момент. В теории волн под волновым фронтом понимают поверхность, во всех точках которой колебания происходят с одним и тем же значением фазы (синфазно). В частности, волновые фронта плоской волны – это семейство параллельных плоскостей, перпендикулярных направлению распространения волны. Волновые фронта сферической волны, испускаемой точечным источником – это семейство концентрических сфер.

Для того чтобы определить колебания в некоторой точке P, вызванное волной, по Френелю нужно сначала определить колебания, вызываемые в этой точке отдельными вторичными волнами, приходящими в нее от всех элементов поверхности S (ΔS1, ΔS2 и т. д.), и затем сложить эти колебания с учетом их амплитуд и фаз. При этом следует учитывать только те элементы волновой поверхности S, которые не загораживаются каким-либо препятствием.

Рассмотрим в качестве примера простую дифракционную задачу о прохождении плоской монохроматической волны от удаленного источника через небольшое круглое отверстие радиуса R в непрозрачном экране (рис. 3.8.2).

Рисунок 3.8.2.Дифракция плоской волны на экране с круглым отверстием

Точка наблюдения P находится на оси симметрии на расстоянии L от экрана. В соответствии с принципом Гюйгенса–Френеля следует мысленно заселить волновую поверхность, совпадающую с плоскостью отверстия, вторичными источниками, волны от которых достигают точки P.

В результате интерференции вторичных волн в точке P возникает некоторое результирующее колебание, квадрат амплитуды которого (интенсивность) нужно определить при заданных значениях длины волны λ, амплитуды A0 падающей волны и геометрии задачи.

Для облегчения расчета Френель предложил разбить волновую поверхность падающей волны в месте расположения препятствия на кольцевые зоны (зоны Френеля) по следующему правилу: расстояние от границ соседних зон до точки P должны отличается на половину длины волны, т. е.

Если смотреть на волновую поверхность из точки P, то границы зон Френеля будут представлять собой концентрические окружности (рис. 3.8.3).

Рисунок 3.8.3.Границы зон Френеля в плоскости отверстия

Из рис. 3.8.2 легко найти радиусы ρm зон Френеля:

Так в оптике λ 

Источник: https://physics.ru/courses/op25part2/content/chapter3/section/paragraph8/theory.html

Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске

Рис.2

Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника монохроматического света S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием, диаметр которогоd=BC. Пусть Ф — фронт волны, который является частью поверхности сферы. Разобьем поверхность фронта на зоны Френеля (см. рис.2) так, что волны от соседних зон приходят в точку наблюдения Мв противофазе. Тогда амплитуда результирующей волны в точке М

А=А1-А2+А3-А4+- Аm , (1)

где Аi — амплитуда волны, пришедшей от i-ой зоны Френеля. Перед Аm берется знак плюс, если m — нечетное, и минус, если m — четное.

Величина Аi зависит от площади si i-той зоны и угла ai между внешней нормалью к поверхности зоны в какой-либо точке и прямой, направленной из этой точки в точку М (см. рис.2, где в частности показан угол a3).

Можно показать, что все зоны Френеля примерно равновелики по площади. Увеличение же углаai с ростом номера зоны приводит к уменьшению амплитуды Аi.

Она уменьшается с ростом i также и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки М. Таким образом, А1>А2>-> Am .

При большом числе зон можно приближенно считать, чтоАi=(Ai-1+Ai+1)/2. (2)

Перепишем теперь (1) в виде

так как согласно (2) все выражения, стоящие в скобках, равны нулю.

Можно показать, что общее число m зон Френеля, обращенное к точке М,

где d=BC — диаметр отверстия, R=SO, L=OM (см. рис.2), l- длина волны.

• Если d=1 см, R=L=10 см и l=500 нм, то m=1000.
• В этом случае Аml. При уменьшении диаметра отверстия до величины d 1мм число зон согласно (4) уменьшается иАm становится сравнимым с А1, и поэтому пренебречь слагаемым Аm/2 в (3) нельзя.
  1. При нечетном числе зон согласно (3)
  2. А=А1/2 +Аm/2(6)
  3. и в точке Мнаблюдается максимум (светлое пятно).
  4. При четном числе зон
  5. А=А1/2 —Аm/2 (7)

  и в точке М будет наблюдаться минимум (темное пятно). Этот факт особенно наглядно противоречит закону прямолинейного распространения света. Очевидно, что максимум и минимум будут тем сильнее отличаться друг от друга, чем ближе значение Аm к А1, т.е. когда число зон m мало (m 10). Расчет амплитуды в других точках экрана более сложен. Можно показать, что дифракционная картина вблизи точки М имеет вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке М. По мере удаления от точки Минтенсивность максимумов света убывает. Если на пути световой волны в плоскости отверстия поставить зонную пластинку, которая перекрывала бы все четные зоны, то А=А1+А3+А5+- и интенсивность I=A2 в точке М резко возрастает. Еще большего эффекта можно достичь, не перекрывая четные зоны, а изменяя фазу их колебаний на p, тогда А=А1+А2+А3+-Такая пластинка называется фазовой зонной пластинкой, и использование ее позволяет получить дополнительное увеличение интенсивности в 4 раза. Опыт подтверждает эти выводы: зонная пластинка увеличивает интенсивность в точке М, действуя подобно собирающей линзе.

Источник: https://megaobuchalka.ru/3/16841.html

Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске — Шпаргалки к экзамену по оптике

Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника монохроматического света S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием, диаметр которого d=BC.

  Пусть Ф – фронт волны, который является частью поверхности сферы. Разобьем поверхность фронта на зоны Френеля (см. рис.2) так, что волны от соседних зон приходят в точку наблюдения М в противофазе.

Тогда амплитуда результирующей волны в точке М

                         А=А1-А2+А3-А4+…Аm ,                                                (1)

где  Аi – амплитуда волны, пришедшей от i-ой зоны Френеля. Перед Аm берется знак плюс, если m – нечетное, и минус, если m – четное.

         Величина Аi зависит от площади si i-той  зоны и угла ai между внешней нормалью к поверхности зоны в какой-либо точке и прямой, направленной из этой точки в точку М (см. рис. 2, где, в частности, показан угол a3).

         Можно показать, что все зоны Френеля примерно равновелики по площади. Увеличение же угла ai с ростом номера зоны приводит к уменьшению амплитуды Аi.

Она уменьшается с ростом i также и вследствие увеличения расстояния   от зоны до точки М. Таким образом, А1>А2>…> Am.

При большом числе зон можно приближенно считать, что                     Аi=(Ai-1+Ai+1)/2.                      (2)

так как, согласно (2), все выражения, стоящие в скобках, равны нулю.

         Можно показать, что общее число m зон Френеля, обращенное к точке М,

где d=BC – диаметр отверстия, R=SO, L=OM (см. рис. 2), l – длина волны.

         Если d = 1 см, R = L= 10 см и l = 500 нм, то m = 1000. В этом случае Аml.

• При уменьшении диаметра отверстия до величины d1мм число зон согласно (4) уменьшается и Аm становится сравнимым с А1, и поэтому пренебречь слагаемым Аm/2 в (3) нельзя.
•          При нечетном числе зон, согласно (3),
•          А=А1/2 +Аm/2                                            (6)
• и в точке М наблюдается максимум (светлое пятно).
•          При четном числе зон
•          А=А1/2 —Аm/2                                                       (7)

и в точке М будет наблюдаться минимум (темное пятно). Этот факт особенно наглядно противоречит закону прямолинейного распространения света.

         Очевидно, что максимум и минимум будут тем сильнее отличаться друг от друга, чем ближе значение Аm к А1, т.е. когда число зон m мало (m  10).

Расчет амплитуды в других точках экрана более сложен. Можно показать, что дифракционная картина вблизи точки М имеет вид чередующихся темных и светлых колец с центрами  в точке М.

По мере удаления от точки М интенсивность максимумов света убывает.

         Если на пути световой волны  в плоскости отверстия поставить зонную пластинку, которая перекрывала бы все четные зоны, то А=А1+А3+А5+… и интенсивность I=A2 в точке М резко возрастает.

Еще большего эффекта можно достичь, не перекрывая четные зоны, а изменяя фазу их колебаний на p, тогда А=А1+А2+А3+…      Такая пластинка называется фазовой зонной пластинкой, и использование ее позволяет получить дополнительное увеличение интенсивности в 4 раза.        

         Опыт подтверждает эти выводы: зонная пластинка увеличивает интенсивность в точке М, действуя подобно собирающей линзе.

Источник: https://students-library.com/library/read/95277-difrakcia-frenela-na-kruglom-otverstii-i-diske

Дифракция на круглом отверстии и на круглом экране

Дифракция- это явление огибания волнами препятствий и проникновение волн света в область геометрической тени. Различают два вида дифракции.

Если источник света S и точка наблюдения Р расположены о препятствия настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие, и лучи, идущие в точку Р, образуют практически параллельные пучки, говорят о дифракции в параллельных лучах или о дифракции Фраунгофера. В противном случае говорят о дифракции Френеля.

Проникновение световых волн в область геометрической тени может быть объяснено с помощью принципа Гюйгенса:

Каждую точку фронта волны можно рассматривать, как совокупность вторичных волн, их огибающая дает положение фронта волны в последующий момент времени.

Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн. Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет найти амплитуду результирующей волны в любой точке пространства.

Развитый таким способом принцип Гюйгенса получил название принципа Гюйгенса-Френеля

Согласно принципу Гюйгенса-Френеля каждый элемент волновой поверхности S служит источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна величине элемента dS. От каждого участка dS волновой поверхности в точку Р, лежащую перед этой поверхностью, приходит колебание

k — волновое число,

r — расстояние от элемента поверхности dS до точки Р

Коэффициент k зависит от угла между нормалью n к площадке dS и направлением от dS к точке Р. При этот коэффициент максимален, при он обращается в нуль.

Результирующее колебание в точке Р представляет собой суперпозицию колебаний, взятых для всей волновой поверхности S :

Зоны Френеля.

• — номер зоны Френеля.
• Свойства зон Френеля:

1. 1) колебания от аналогичных точек соседних зон Френеля приходят в точку Р в противофазе
2. (Аm амплитуда результирующих колебаний, приходящих в точку Р от mой зоны)
3. Аm и Аm+1 гасят друг друга в противофазе.

2) площадь зон Френеля практически не зависит от номера зоны, т.е. при не слишком больших m площади зон Френеля примерно одинаковы.

Площадь mой зоны:

Итак, площади зон Френеля примерно одинаковы. Расстояние bm от зоны до точки Р медленно растет с номером зоны m . Это приводит к тому, что амплитуда Аm колебания, возбуждаемого mой зоной в точке Р, монотонно убывает с ростом m .

• Даже при очень больших m, когда площадь зоны начинает заметно расти с m, убывание множителя перевешивает рост , так что Am продолжает убывать. Таким образом, амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке Р зонами Френеля, образуют монотонно убывающую последовательность:
• … …
• 3) фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами, отличаются на . Поэтому амплитуда А результирующего колебания в точке Р может быть представлена в виде:
• … …
• N- число зон Френеля, которое укладывается в дырке экрана для данной точки Р.
• Если N- четное, то в точке Р темно, а если N- нечетное, то в точке р светло.
• Вследствие монотонного убывания можно приближенно считать, что

если N= ,то А= (т.к. скобки равны 0),

1. если N=1, то А=А1 (происходит перераспределение энергии в пространстве),
2. если N=2, то А=0
3. Зонная пластинка

Колебания от четных и нечетных зон Френеля находятся в противофазе и, следовательно. Взаимно ослабляют друг друга.

Если поставить на пути световой волны пластинку, которая перекрывала бы все четные или нечетные зоны, то интенсивность света в точке Р резко возрастает. Такая пластинка, называется зонной.

Еще большего эффекта можно достичь, не перекрывая четные (или нечетные) зоны, а изменяя фазу их колебаний на .

Это можно осуществить с помощью прозрачной пластинки, толщина которой в местах, соответствующих четным или нечетным зонам, отличается на подобранную величину. Такая пластинка называется фазовой зонной пластинкой. По сравнению с перекрывающей зоны амплитудной зонной пластинкой фазовая дает дополнительное увеличение амплитуды в два раза, а интенсивности света – в четыре раза.

• Дифракция на экране.
• Поместим между источником света S и точкой наблюдения Р круглый непрозрачный диск.
• Если диск закроет N зон Френеля:
• …
• (скобки равны нулю)
• Таким образом, в случае круглого непрозрачного диска дифракционная картина имеет вид чередующихся светлых и темных концентрических колец.

Рекомендуемые страницы:

Источник: https://poisk-ru.ru/s82383t1.html

Дифракция на отверстии, диске и щели

Существуют различные формы проявления и наблюдения дифракции: на границах различных сред, на отверстиях и щелях, на различных препятствиях. В частности, рассеяние света в неоднородных средах (туман, запыленность и пр.), молекулярное рассеяние (голубой цвет неба) объясняются дифракцией света. Рассмотрим простейшие способы наблюдения дифракции.

Дифракция на круглом отверстии. Разместим на пути сферической волны экран с круглым отверстием.

Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием радиуса .

Дифракционную картину наблюдаем на экране в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром отверстия. Здесь b — расстояние от вершины волновой поверхности до точки В, а — радиус волновой поверхности.

Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, укладывающихся в отверстии. Для амплитуды в точке В имеем

,

где знак + соответствует нечетным зонам, а минус — четным. В окрестности точки В имеем чередующиеся кольца. В зависимости от т в точке В может быть светлое или темное пятно. При перемещении экрана вдоль направления b в центре будут происходить чередование светлых и темных пятен. Если радиус отверстия равен радиусу первой зоны Френеля (), то яркость света в точке М увеличится в 4 раза.

Дифракция на диске. Разместим на пути от источника света S к точке наблюдения В непрозрачный диск и рассмотрим дифракционную картину в окрестности точки В.

В данном случае закрытый диском участок фронта волны надо исключить из суммы амплитуд. Пусть диск закрывает первые т зон Френеля. Тогда

.

Следовательно, в точке В всегда наблюдается интерференционный максимум, соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля.

Дифракция Фраунгофера на щели. Рассмотрим дифракцию на щели. Этот эффект детально исследовался Фраунгофером, поэтому называется дифракцией Фраунгофера. Рассмотрим параллельный пучок света, созданный бесконечно удаленным источником или с помощью системы линз.

Вычисления показывают, что интенсивность центрального максимума почти в 20 раз превосходит интенсивность первого.

Оптическая разность хода в направлении ц

, где a = MN.

Разобьем открытую часть волновой поверхности на зоны Френеля, т.е. на такие отрезки, что разность хода на концах отрезка равна л/2. На ширине щели уместится п = Д/(л/2) зон. От каждой пары соседних зон Френеля результирующая амплитуда равна нулю. Следовательно, если число зон четное, то имеем дифракционный минимум, нечетное — максимум.

Условие минимума

,

Условие максимума

,

В прямом направлении (ц = 0) имеется центральный дифракционный максимум. Интенсивности максимумов уменьшаются при удалении от центрального максимума. Это изменение связано с изменением угла (на севере средняя температура ниже, чем на экваторе). Для немонохроматического света наблюдаются максимумы различных цветов, которые перекрываются и искажают картину дифракции.

Из условия следует , т.е. число минимумов ограничено:

Источник: https://studbooks.net/2001519/matematika_himiya_fizika/difraktsiya_otverstii_diske_scheli