Деление комплексных чисел — справочник студента

Комплексные числа. Сложение, вычитание, умножение, деление комплексных чисел. Формулы. Тригонометрическая форма представления, формула Муавра и корень n-ной степени из комплексного числа.

Комплексные числа — это минимальное расширение множества привычных нам действительных чисел. Их принципиальное отличие в том, что появляется элемент, который в квадрате дает -1, т.е. i, или мнимая единица.

i 2= — 1

Любое комплексное число состоит из двух частей: вещественной и мнимой:

Таким образом видно, что множество действительных чисел совпадает с множеством комплексных чисел с нулевой мнимой частью.

Самая популярная модель множества комплексных чисел — это обычная плоскость. Первая координата каждой точки будет её вещественной частью, а вторая -мнимой. Тогда в роли самих комплексных чисел бдут выступать вектора с началом в точке (0,0).

Операции над комплексными числами.

На самом деле, если брать в расчет модель множества комплексных чисел, интуитивно понятно, что сложение (вычитание) и умножение двух комплексных числе производятся так же как соответственные операции над векторами. Причем имеется в виду векторное произведение векторов, потому что результатом этой операции является опять же вектор.

1.1 Сложение.

(Как видно, данная операции в точности соответствует покоординатному сложению векторов)

1.2 Вычитание, аналогично, производится по следующему правилу:

2. Умножение.

(см. векторное произведение векторов)

3. Деление.

Определяется просто как обратная операция к умножению.

Тригонометрическая форма.

Модулем комплексного числа z называется следующая величина:

очевидно, что это, опять же, просто модуль (длина) вектора {a,b}.

Чаще всего модуль комплексного числа обозначается как ρ.

Если представлять каждое комплексное число a+bi как вектор началом в точке (0,0) и концом в точке (a,b), то можно ввести еще одно понятие — угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси х, то есть «правый» угол, который получается с осью х. (см. рисунок справа). Величина этого ула в радианах называется аргументом комплексного числа и обозначается : arg z.

Оказывается, что

z = ρ(cosφ+isinφ)

Непосредственно из тригонометрической формы записи комплексного числа вытекают следующие формулы:

Последнюю формулу называют Формулой Муавра. Непосредственно из нее выводится формула корня n-ной степени из комплексного числа:

таким образом, существует n корней n-ной степени из комплексного числа z.

Источник: https://tehtab.ru/guide/guidemathematics/complexnumbers/complexnumbers/

Комплексные числа

Изучение чисел традиционно начинается с натуральных чисел. Это числа вида то есть те числа, которые используются человеком для счёта.

В арифметике над натуральными числами вводятся операции сложения, вычитания, умножения и деления. Но операции вычитания и деления оказываются не всегда возможными для натуральных чисел.

Чтобы этого избежать, были придуманы целые числа и рациональные числа.

Наконец, желание всегда получать решение алгебраических уравнений (квадратных, кубических и т. д.) привело к появлению комплексных чисел.

Определение комплексного числа. Операции над комплексными числами

Определение. Комплексными числами называются выражения вида , в которых и — некоторые действительные числа, а — символ, называемый мнимой единицей.

Множество комплексных чисел обычно обозначается (от слова complex).
Введём понятие равенства и операции сложения и умножения для комплексных чисел.

1. Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда и .
2. Суммой комплексных чисел и называется число 

   (1)  

3. Произведением комплексных чисел и называется число

   (2)  

Обычно комплексное число обозначают одной буквой, чаще всего (пишут ). При этом число называется действительной частью числа и обозначается (от слова real); пишут или . Число называется мнимой частью числа и обозначается  (от слова imagine); пишут .

Множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел: любое действительное число можно представить в виде . Числа вида называются чисто мнимыми и обозначаются .

• Пользуясь формулой (2), найдём
•    
• То есть

(3)  

Заметим, что формулу (2) запоминать не нужно, так как она легко получается, если в произведении двучленов и заменить по формуле (3) на :

   

Пример 1. Найти сумму и произведение комплексных чисел и
Решение. Пользуясь формулой (1), находим сумму:

1.    
2. Учитывая, что , находим произведение:
3.    
4.    

Свойства операций над комплексными числами

1. Коммутативность сложения: для любых комплексных чисел и .
2. Ассоциативность сложения: для любых комплексных чисел , и .
3. для любого комплексного числа .
4. Для любых комплексных чисел и существует комплексное число такое, что . Это число называется разностью комплексных чисел и и обозначается .
5. Коммутативность умножения: для любых комплексных чисел и .
6. Ассоциативность умножения:  для любых комплексных чисел , и .
7. Закон дистрибутивности: для любых комплексных чисел , и .
8. для любого комплексного числа .
9. Для любых двух комплексных чисел и , , существует число такое, что . Это число называется частным комплексных чисел и и обозначается .

Все эти свойства напрямую следуют из определения операций над комплексными числами. Докажем здесь свойство 9.

• Пусть , , (неравенство числа нулю означает, что хотя бы одно из чисел и не равно нулю), . Тогда равенство записывается так: Приравнивая действительные и мнимые части, получаем, что числа и удовлетворяют системе уравнений:
• Эта система уравнений имеет единственное решение
• то есть
• (4)  

Эту формулу можно не запоминать. Далее мы покажем более простой способ нахождения частного двух комплексных чисел.

Определение. Пусть задано комплексное число . Число называется комплексно сопряжённым числу и обозначается .

Произведение комплексных чисел — всегда действительное число, большее нуля. Действительно, пусть , тогда

Определение. Модулем комплексного числа называется действительное число, равное .

1. Заметим, что .
2. Покажем теперь простой способ для нахождения частного двух комплексных чисел.

Здесь мы умножили числитель и знаменатель дроби на число, комплексно сопряжённое знаменателю. В результате в знаменателе получилось действительное число.

Пример 2. Найти разность и частное комплексных чисел

• Решение. Находим разность:
• Частное находим, домножая числитель и знаменатель дроби на число, комплексно сопряжённое знаменателю:

Источник: https://umath.ru/theory/kompleksnye-chisla/

Лекция «Изучение комплексных чисел в СПО»

Лекция 9

Тема 9. Комплексные числа.

Время: 2 часа

Цель лекции: Познакомить с понятием комплексного числа, алгебраической, тригонометрической и показательной формами комплексных чисел. Теоретически обосновать действия над комплексными числами. Показать возможность решения алгебраических уравнений в комплексной области.

• План лекции:
• Понятие комплексного числа.
• Формы записи комплексных чисел.
• Действия над комплексными числами.
• Операции над комплексными числами, заданными в показательной форме.
• Основная теорема алгебры.
• Понятие комплексного числа.
• Комплексным числом z называется выражение вида z = x +iy, где х и у – действительные числа, а i – так называемая мнимая единица, i2= –1.

Если х = 0, то число 0+iy = iy называется чисто мнимым; если у = 0, то число x +i0 = х отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т.е. RС.

Число х – действительная часть комплексного числа z и обозначается х=Rе z, а у – мнимой частью z, у=Im z.

Два комплексных числа z1 = x1 +iy1 z2 = x2 +iy2 называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Понятия больше и меньше для комплексных чисел не вводятся. Два комплексных числа, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряжёнными.

отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряжёнными.

Всякое комплексное число можно изобразить точкой М(х,у) плоскости Оху такой, что х=Rе z, у=Im z. Плоскость, на которой изображаются комплексные

1. В
2. О х х
3. М
4. у
5. у



сякое комплексное число можно изобразить точкой М(х,у) плоскости Оху такой, что х=Rе z, у=Im z. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Ось абсцисс – действительная ось, ось ординат – мнимая. Комплексное число можно задать в виде радиус вектора =. Длина вектора называется модулем этого числа и обозначается или r.

Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число – аргумент этого числа, обозначается Arg z или . Аргумент комплексного числа z=0 не определён.

Аргумент комплексного числа z0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого (k =0,–1,1,–2,2,…): Arg z= аrg z + , где аrg z – главное значение аргумента, заключённое в промежутке , т.е.

 аrg z  (иногда в качестве главного аргумента берут величину из промежутка ).

Формы записи комплексных чисел.

Запись числа в виде называют алгебраической формой комплексного числа. Модуль r и аргумент можно рассматривать как полярные координаты вектора = , изображающего комплексное число . Тогда получаем , . Следовательно, комплексное число можно записать в виде или . Такая запись называется тригонометрической формой.

Модуль однозначно определяется по формуле . Например, . Аргумент определяется из формул

, ,

Так как , то , .

Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента z, т.е. считать .

• Так как  аrg z , то из формулы получаем, что
• Используя формулу Эйлера , комплексное число можно записать в показательной (или экспотенциальной) форме , где – модуль комплексного числа, а угол .

В силу формулы Эйлера функция – периодическая с основным периодом 2. Для записи комплексного числа z в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т.е. считать .

Пример 1: Записать комплексные числа z1 = –1+i и z2 = –1 в тригонометрической и показательной формах.

Решение: Для числа z1 имеем:

, т.е. .

Поэтому

Для z2 имеем т.е. .

1. Поэтому .
2. Действия над комплексными числами.
3. Суммой двух комплексных чисел z1 и z2 у z1+z2
4. называется комплексное число, определяемое z2
5. равенством . z1
6. O x
7. С
8. у
9. О х
10. z2
11. z1

ложение комплексных чисел обладает переместительным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами. Из определения следует, что комплексные числа складываются как векторы. Из рисунка видно, что . Это соответствие называют неравенством треугольника. Разностью двух комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z, которое будучи сложенным с z2, даёт число z1, т.е. z = z1 – z2, если .

.

Из равенства следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы. Из рисунка видно, что .

Отметим, что, т.е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости.

Поэтому, например, равенство определяет на комплексной плоскости множество точек z, находящихся на расстоянии 1 от точки , т.е. окружность с центром в и радиусом 1.

• Произведением комплексных чисел z1 = x1+iy1 и z2 = x2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством:
• Произведение комплексных чисел можно находить путём формального перемножения двучленов x1 +iy1 и x2 +iy2, учитывая, что i2= –1.
• Например, (2–3i)(–5+4i)= –10+8i+15i–12i2 = –10+23i+12=2+23i.
• Заметим, что – действительное число.
• Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и распределительным свойствами.
• Найдём произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме:

Мы показали, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности

1. – формула Муавра.
2. Пример 2: Найти
3. Решение: Запишем сначала число в тригонометрической форме:
4. ;
5. По формуле Муавра имеем

Частным двух комплексных чисел z1 и z2≠0 называется комплексное число z, которое, будучи умноженным на z2, даёт число z1, т.е. , если .

• Если положить , , , то из равенства следует
• Решая систему, найдём значения х и у:
• .
• На практике частное двух комплексных чисел находят путём умножения числителя и знаменателя на число, сопряжённое знаменателю.
• Пример 3: Выполнить деление
• Решение:
• Для тригонометрической формы комплексного числа деление имеет вид: ,

т.е. .

1. Корнем п-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число , удовлетворяющее равенству .
2. Если положить , а , то по определению корня и формуле Муавра, получаем
3. .
4. Отсюда имеем

Т.е. (арифметический корень).

• Поэтому корень п-ой степени из комплексного числа имеет п различных значений, которые находятся по формуле:
• ,
• Точки, соответствующие значениям , являются вершинами правильного п-угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.
• Пример 4: Найти все значения .
• Решение: Запишем комплексное число в тригонометрической форме.
• .
• .
• Пример 5: Какое множество точек на комплексной плоскости определяется условием ?
• Р
• y
• С
• -1 О х
• ‒1+i i
• Операции над комплексными числами, заданными в показательной форме
• Пусть и , тогда:
• Произведение ;
• Частное ;
• Возведение в n – ю степень ;
• Извлечение корня n – й степени , .
• Формулы Эйлера.
• Рассмотрим разложение функции по формуле Маклорена.
• Если действительную переменную х заменить комплексной переменной z, то получим ряд по степеням z:
• (1)
• Аналогично определяются тригонометрические функции и комплексной переменной z:
• (2)
• (3)
• Подставим в (1) вместо z и сгруппируем в правой части все слагаемые, содержащие множитель i и не содержащие этот множитель.
• Сравнивая полученный результат с формулами (2) и (3), получаем
• и
• Таким образом, с помощью понятия комплексного числа устанавливается связь между тригонометрическими и показательной функциями:
• Складывая и вычитая эти два выражения, получим
• ; .
• Используя понятие комплексных чисел, вводится понятие гиперболических синуса и косинуса:
• ; .
• Из формулы Эйлера следует, что
• ; .
• Приведенные известные из элементарной математики формулы:
• , ;
• ; ,
• справедливы и для комплексных значений аргументов и .
• Основная теорема алгебры:
• Функция вида , где п ‒ натуральное число, ‒ постоянные коэффициенты, называется многочленом п –ой степени с действительными коэффициентами (или целой рациональной функцией).
• Корнем многочлена называется такое значение х0 (вообще говоря комплексное) переменной х, при котором многочлен обращается в нуль.

ешение: Комплексное число изображается вектором, началом которого является точка , а концом ‒ точка z. Угол между этим вектором и осью ОХ есть , и он меняется в пределах от до . ледовательно, данное неравенство определяет угол между прямыми, выходящими из точки и образующими с осью ОХ углы в и рад.

Теорема: Если х1 есть корень многочлена , то многочлен делится без остатка на х‒х1, т.е. , где ‒ многочлен степени (п‒1).

1. Теорема: (основная теорема алгебры) Всякий многочлен п-ой степени (n>0) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.
2. Теорема: Всякий многочлен можно представить в виде
3. ,
4. где ‒ корни многочлена, ‒ коэффициент многочлена при хп.
5. Множители называются линейными множителями.
6. Пример 1: Разложить многочлен на множители.
7. Решение: Многочлен обращается в нуль при Следовательно .
8. Пример 2: Представить выражение в виде произведения линейных множителей.
9. Решение: Легко проверить, что является корнем данного многочлена.
10. =
11. Уравнение имеет два комплексных корня и .
12. Следовательно, .

Если в разложении многочлена какой-либо корень встретился k раз, то он называется корнем кратности k. Тогда разложение многочлена можно записать в виде: , где ‒ кратности соответственно корней .

• Теорема: Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень , то он имеет сопряжённый корень .
• Перемножив линейные множители,
• ,
• получили трёхчлен второй степени с действительными коэффициентами
• =, где
• Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряжённым корням, можно заменить квадратным трёхчленом с действительными коэффициентами. Поэтому справедлива следующая теорема:
• Теорема:
• Всякий многочлен п-ой степени с действительными коэффициентами может быть разложен на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами:
• где ,
• х1, х2, … , хr ‒ корни многочлена, а все квадратные трехчлены не имеют действительных корней.
• Пример: этот многочлен имеет корни: х1= ‒2 и х2=3, других действительных корней нет. Тогда

Источник: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/izuchenie_kompleksnih_chisel_v_spo_143936.html

Примеры решений комплексных чисел + калькулятор — Help for engineer | Cхемы, принцип действия, формулы и расчет

Понятия комплексные или мнимые числа впервые начали применяться при решении квадратных уравнений. Когда дискриминант получался меньше нуля (D

Обозначение мнимой единицы предложил Эйлер, он взял первую букву латинского слова «imaginarius», что в переводе означает «мнимый». Мнимая единица равна корню квадратному из минус одного:

А при возведении мнимой единицы в квадрат, применив элементарные математические операции, мы получим -1:

Существуют три различных формы записи комплексных чисел:

— алгебраическая; — показательная;

— тригонометрическая.

Алгебраическая форма комплексного числа состоит из действительных, вещественных значений (a, b) и i – мнимой единицы. Комплексное число в алгебраической форме имеет вид a+bi, где a– действительная и bi – мнимая части.

Рисунок 1 – Построение комплексного числа на плоскости (в системе координат).

На вышеприведенном рисунке изображена комплексная плоскость, которую создают оси:

— действительная ось Re (real); — мнимая ось Im (imaginarius).

В качестве примера на плоскости уже построено комплексное число 5+3i. По действительной оси было отложено a=5, и по мнимой b=3. Поднимем перпендикуляры с осей. Соединим образовавшуюся точку пересечения с нулем.

Таким образом, мы получим радиус-вектор. Модуль комплексного числа (|z|) – это длина полученного радиус-вектора, или, другими словами, это расстояние от точки на комплексной плоскости до начала координат.

Рассчитывается модуль комплексного числа по формуле:

На рисунке 1 вектор z образовывает с действительной осью угол — аргумент комплексного числа, который легко находится:

Значения a и b можно выразить через радиус-вектор и угол фи (прямоугольный треугольник с углом φ, прилегающим катетом a, гипотенузой |z|):

Тогда, подставив полученные значения в алгебраическую форму, мы выведем следующую форму:

Тригонометрическая форма комплексного числа была выражена из алгебраической и имеет вид:

Я думаю, Вам уже стало понятно, что любое комплексное число можно преобразовать в любую из трех форм. Показательная (экспоненциальная) форма комплексного числа имеет следующее равенство с алгебраической:

Комплексные числа являются равными, только если у них равны и действительные, и мнимые части.

Онлайн калькулятор комплексных чисел

Программа для электротехнических расчетов

Программа выполняет вычисления c комплексными числами, представленными в алгебраической или показательной форме, а так же рациональными числами.

— сложение, вычитание, умножение, деление иррациональных чисел; — перевод чисел из алгебраической формы в показательную и наоборот; — возможность задавать точность вычисления от 1-го до 4-х десятичных знаков; — задание угла как в градусах, так и в радианах; — предусмотрено использование переменных;

— построение векторных диаграммм;

— вывод результатов расчетов на печать, сохранение и повторный ввод для продолжения расчета. Перед использованием софта, рекомендуем ознакомиться со «Справкой», которая находиться в архиве с программой. *Все свои пожелания/замечания, касающиеся работы калькулятора, оставляйте в х или обращайтесь непосредственно разработчику. Скачать программу | 467 Кб

Математические действия над комплексными числами

Сложение и вычитание комплексных чисел необходимо осуществлять в алгебраической форме, если число представлено в иной форме, нужно перевести его в алгебраическую, воспользовавшись калькулятором, или же вручную по формулам ниже:

Умножение и деление комплексных чисел возможно реализовать как в алгебраической, так и в показательной формах. Но намного практичней осуществлять действие в показательной форме, этот способ займет намного меньше времени при расчете, например, токов короткого замыкания.

Комплексно-сопряженными называются числа, у которых действительные части равны, а знак перед мнимой единицей – разный.

Сложение сопряженных чисел:

Умножение комплексно-сопряженных:

При делении комплексных чисел в алгебраической форме необходимо избавиться от мнимой составляющей в знаменателе. Для этого числитель и знаменатель домножают на число, сопряженное знаменателю.

Перевод чисел из алгебраической формы в показательную и наоборот возможно осуществить с помощью калькулятора для комплексных чисел, который Вы можете скачать по ссылке. Кстати, именно этим калькулятором я пользовался при расчете комплексных чисел ТОЭ, когда учился в университете. Пользоваться им крайне просто. Для перевода в разные формы используется установка нужного «флажка».

Как считать комплексные числа на инженерном калькуляторе?

1. Чтоб перевести комплексное число 5+3i из алгебраической формы в показательную, нажимаем клавиши в следующей последовательности:

(красным цветом помечены результаты, которые выведутся на дисплей калькулятора)

2. Перевод 4e-i7° в алгебраическую форму:

3. И в завершение выполним умножение (5+3i)∙(2-4i):

Кнопка калькулятора 2ndf — «secondfunction» (вторая функция):

— переводит в показательную форму; — в алгебраическую.

Недостаточно прав для комментирования

Источник: https://h4e.ru/obshchie-svedeniya/145-primery-reshenij-kompleksnykh-chisel-kalkulyator

Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел можно производить в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Для каждой из них существует своя формула.

Формула

Формула деления в алгебраической форме

Чтобы разделить в алгебраической форме нужно числитель и знаменатель умножить на число, сопряженное к знаменателю. Тем самым избавляемся от комплексности в знаменателе: $$ frac{z_1}{z_2} = frac{a_1 + b_1 i}{a_2 + b_2 i} = frac{(a_1+b_1 i)(a_2-b_2i)}{(a_2+b_2i)(a_2-b_2i)} = frac{a_1 cdot a_2 + b_1 cdot b_2}{a_2 ^2 + b_2 ^2} + ifrac{a_2 cdot b_1 — a_1 cdot b_2}{a_2 ^2 + b_2 ^2} $$

Формула деления в тригонометрической форме

В этой форме необходимо разделить модули комплексных чисел и найти разность аргументов: $$ frac{z_1}{z_2} = frac{r_1}{r_2} (cos (varphi_1 — varphi_2) + isin (varphi_1 — varphi_2)) $$

Формула деления в показательной форме

В данной форме делятся модули и в экспоненте вычисляется разность аргументов: $$ frac{z_1}{z_2} = frac{r_1}{r_2} e^{(varphi_1 — varphi_2)i} $$

Примеры решений 

Пример 1

Разделить два комплексных числа: $ z_1 = 3+i $ и $ z_2 = 2-3i $

Решение

Так как числа заданы в алгебраической форме, то и нужно применить соответствующую формулу. $$ frac{z_1}{z_2} = frac{3+i}{2-3i} = $$ Сопряженным комплексным числом к знаменателю будет $ overline{z_2} = 2+3i $. Домножим и разделим на него дробь, чтобы избавиться от комплексности в знаменателе: $$ = frac{(3+i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)} = frac{6 + 9i + 2i — 3}{4 + 6i — 6i + 9} = $$ Приводим подобные слагаемые: $$ = frac{3 + 11i}{13} = frac{3}{13} + frac{11}{13}i $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ frac{z_1}{z_2} = frac{3}{13} + frac{11}{13}i $$

Пример 2

Найти частное комплексных чисел: $ z_1 = 2(cos frac{pi}{3} + isin frac{pi}{6}) $ и $ z_2 = 4(cos frac{pi}{6} + isin frac{pi}{6}) $

Решение

Так как требуется выполнить деление комплексных чисел в тригонометрической форме, то пользуемся соответствующей формулой. В ней нужно найти деление модулей и разность аргументов. Деление модулей: $$ frac{r_1}{r_2} = frac{2}{4} = frac{1}{2} $$ Разность аргументов: $$ varphi_1 — varphi_2 = frac{pi}{3} — frac{pi}{6} = frac{pi}{6} $$ Выполняем деление чисел: $$ frac{z_1}{z_2} = frac{1}{6} (cos frac{pi}{6} + isin frac{pi}{6} ) $$

Ответ

$$ frac{z_1}{z_2} = frac{1}{6} (cos frac{pi}{6} + isin frac{pi}{6} ) $$

Пример 3

Выполнить деление комплексных чисел: $ z_1 = 3e^{frac{pi}{2}i} $ и $ z_2 = 4e^{frac{pi}{4}i} $

Решение

По формуле деления в показательной форме находим разность аргументов и частное модулей: $$ frac{r_1}{r_2} = frac{3}{4} $$ $$ varphi_1 — varphi_2 = frac{pi}{2} — frac{pi}{4} = frac{pi}{4} $$ Подставляем в формулу и получаем: $$ frac{z_1}{z_2} = frac{3}{4} e^{frac{pi}{4}i} $$

Ответ

$$ frac{z_1}{z_2} = frac{3}{4} e^{frac{pi}{4}i} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

Источник: https://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/delenie-kompleksnyh-chisel.html