Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла — справочник студента

Конспект двух уроков математики по теме: Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.

Урок проводится с использованием рейтинговой накопительной системы. Обучающимся выдаются листы самооценки, по которым они сами себя смогут оценить после проведения урока. 

• Головатова Вера Анатольевна, преподаватель математики
• ГБ ПОУ «Охтинский колледж»
• Конспект двух уроков для обучающихся I курса (10кл.) по теме:
• «Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла»
• Цель: изучить зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.
• Для достижения поставленной цели необходимо:

1. формулировки определений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса);

2. знаки тригонометрических функций по четвертям;

3. множество значений тригонометрических функций;

4. основные формулы тригонометрии.

1. что пользоваться основным тригонометрическим тождеством можно только для одного и того же аргумента;

2. алгоритм вычисления одной тригонометрической функции через другую.

1. умение правильно выбрать нужную формулу для решения конкретного задания;

2. умение работать с простыми дробями;

3. умение выполнять преобразование тригонометрических выражений.

1. анализировать ошибки в логике рассуждения.

1. предложить свой способ решения примеров;

2. составить кроссворд, используя полученные знания.

1. знаний и умений по данной теме для использования в других разделах алгебры.

Оборудование: макет тригонометрической окружности, раздаточный справочный материал с формулами и таблицами значений тригонометрических функций, компьютер, мультимедийный проектор, презентация, листы с заданиями для самостоятельной работы.

Используемые источники:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А.Алимов, Ю.В. Сидоров и др. Просвещение, 2006.

2. Задания Открытого банка для подготовки к ЕГЭ по математике, 2011 г.

3. Ресурсы сети ИНТЕРНЕТ.

Краткий план урока:

Приветствие. Сообщение цели урока и плана работы на уроке – 3-5 мин.

1. Актуализация знаний и умений.

Учащимся раздаются карты урока и даются пояснения как с ними работать.

На экран выводятся вопросы; учащиеся записывают ответы в тетрадь; преподаватель выводит на экран правильный ответ. После окончания опроса учащиеся выставляют баллы в карту урока для Задания № 1 – 10 мин.

1. Объяснение нового материала.

1. Преподаватель выводит формулу для основного тригонометрического тождества – 5 мин.

2. Учащимся предлагается самостоятельно завершить запись примеров, выведенных на экран, проверить правильность ответов и выставить баллы в карту урока для Задания № 2 – 5 мин.

3. Учащимся в тетради предлагается самостоятельно выразить из основного тригонометрического тождества синус через косинус и косинус через синус. На экран выводится правильный ответ, учащиеся проверяют и выставляют баллы в карту урока для Задания №3 – 5-7 мин.

4. Преподаватель на доске решает примеры на применение основного тригонометрического тождества. Учащиеся отвечают на вопросы преподавателя по ходу объяснения и записывают примеры себе в тетрадь – 15 мин.

5. Преподаватель выводит формулы, показывающие зависимость между тангенсом и котангенсом, учащиеся принимают активное участие в выводе формул, отвечают на вопросы и делают записи в тетрадь – 5 мин.

6. Преподаватель выводит формулы, показывающие зависимость между тангенсом и косинусом, между синусом и котангенсом – 5 мин.

7. К доске вызываются учащиеся по желанию и с помощью преподавателя по алгоритму выполняют решение примеров. Все остальные записывают и по мере необходимости отвечают на вопросы – 10 мин.

1. Закрепление изученного материала

На экран выводятся рубрики самооценки. Каждому выдается лист с заданиями. Учащиеся самостоятельно решают задания на применение выведенных формул. Номер варианта соответствует рубрикам самооценки.

В конце урока на экран выводятся правильные ответы, учащиеся проверяют свои ответы и выставляют баллы в карту урока для Задания № 4 – 20 мин.

1. Домашнее задание: Учащиеся записывают в тетрадь задание на дом – 3 мин.

После посещения семинаров по РНС и проведении урока с использованием технологической карты мне стало очевидно, что рейтинговая система стимулирует максимально возможный интерес учащихся к конкретной теме. В моем случае – это основные формулы тригонометрии.

Тригонометрия очень часто не воспринимается учащимися не столько из-за своей сложности, сколько из-за большого количества формул, с которыми нужно уметь работать.

Трудно после одного урока, проведенного с использованием технологической карты, ожидать каких-то невероятных успехов и результатов, но мне кажется, что преимущества рейтинговой системы при изучении тригонометрии и математики в целом состоят в следующем:

• появилась возможность организовать и поддерживать как работу на уроке, так и самостоятельную, систематическую работу учащихся дома;
• должна повыситься посещаемость и уровень дисциплины на уроках;
• повышается мотивация к учебной деятельности;
• уменьшаются стрессовые ситуации при получении неудовлетворительных оценок;
• стимулируется творческое отношение к работе.

Единственный недостаток РНС (как мне кажется) – это большой объем работы для преподавателя, но это работа на результат. После единственного урока, проведенного по этой системе, учащиеся постоянно спрашивают, будем ли мы еще так работать. Значит, их что-то зацепило. И нужно продолжать работать.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

РУБРИКИ САМООЦЕНКИ:

1. Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, но с помощью наводящих вопросов (карточка – инструкция).

2. Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, используя указания преподавателя.

3. + Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, без наводящих вопросов и указаний.

4. + Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, не заглядывая в тетрадь.

Какой бы уровень вы не выбрали, сначала внимательно просмотрите все задания, которые я вам раздала, а затем выполните задание, соответствующее выбранному вами уровню (перед вами задания четырех вариантов, номер варианта соответствует уровням самооценки.)

1 вариант

1. Дано: Найдите

Инструкция:

• определите четверть, в которой находится угол . Если возникают затруднения, то можно посмотреть в справочнике;
• определите знак функции синус в этой четверти. Проверьте себя, посмотрев в справочник;
• напишите формулу (2) из сегодняшнего урока, указав перед корнем знак, который выбрали ранее;
• в написанное выражение подставьте значение косинуса, вспомните, как дробь возводится в квадрат (нужно возвести в квадрат числитель и знаменатель дроби);
• выполните вычисления под корнем, извлеките корень (нужно извлечь корень из числителя и знаменателя);
• вспомните определение функции тангенс, (можно посмотреть в справочник), запишите формулу;
• правильно выполните деление дробей: при делении дроби на дробь, вторую дробь нужно перевернуть и дальше числитель первой дроби умножить на числитель получившейся дроби, тоже нужно сделать и со знаменателями: ;
• функцию котангенс можно найти по формуле (6) из сегодняшнего урока;
• запишите ответ.

1. Упростите выражение:

Инструкция:

1. замените единицу равным ей выражением Только не забудьте, что в примере перед единицей стоит знак минус, значит у всех слагаемых изменится знак;

2. приведите подобные;

3. запишите ответ.

Решите самостоятельно этим способом пример:

2 вариант

1. Дано: Найдите

Указание: Для определения функции косинус воспользуйтесь формулой (3) из сегодняшнего урока. Не забудьте определить знак, который будет стоять перед корнем. Для вычисления значений тангенса и котангенса можно воспользоваться определением этих функций ил использовать формулы, которые мы вывели сегодня на уроке.

1. Упростите

Указание. Сгруппируйте первый и третий члены выражения, вынесите за скобку общий множитель….

3 вариант

1. Дано: Найдите

2. Упростите выражение: .

4 вариант

1. Дано: Найдите

2. Упростите выражение: .

Источник: https://kopilkaurokov.ru/matematika/uroki/zavisimost-miezhdu-sinusom-kosinusom-i-tanghiensom-odnogho-i-togho-zhie-ughla

Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

Урок 38/3 класс 10 дата _________________________

Тема урока: Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

• ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ: вывод формул зависимости между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла (числа); обучение применению этих формул для вычисления значений синуса, косинуса, тангенса числа по заданному значению одного из них.
• РАЗВИВАЮЩАЯ: учить анализировать, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать, доказывать и опровергать, определять и объяснять понятия..
• ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ: воспитание добросовестного отношения к труду и положительного отношения к знаниям.

Оборудование: учебник, тетрадь, плакаты по теме урока, таблицы, компьютер, диски, экран, проектор.

1. Организационный момент: приветствие, проверка явки учащихся, заполнение журнала.

2. Актуализация знаний учащихся

• Анализ ошибок домашнего задания. На экране — картинка с верно выполненным домашним заданием. Каждый ученик проверяет с подробным фронтальным объяснением и отмечает правильность выполнения в рабочей карте урока.

С/о – самооценка.

О/т – оценка товарища.

• Диктант (устное повторение необходимых сведений):

1. Дайте определение:

• синуса острого угла А прямоугольного треугольника;
• косинуса острого угла В прямоугольного треугольника;
• тангенса острого угла А прямоугольного треугольника;
• котангенса острого угла В прямоугольного треугольника;
• какие ограничения накладываем мы на синус и косинус при определении тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника.

2. Дайте определение :

• синуса угла a через координату (какую) точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на уголa.
• косинуса угла a через координату (какую) точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на уголa.
• тангенса угла a.
• котангенса угла a.

3. Записать знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса для углов, полученных поворотом точки Р(1;0) на угол 

4. Для всех этих углов указать четверти координатной плоскости.

Ребята проверяют диктант по слайду вместе с учителем, объясняя каждое высказывание и выставляя себе оценку в рабочую карту урока.

5. Из истории тригонометрии.

Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик 18 столетия Леонард Эйлер – швейцарец по происхождению, долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской академии наук.

1. Изучение нового материала

Класс разбивается по вариантам на первый и второй вариант – на экране слайд с условием и чертежами, решения пока нет.

• 1 вариант устанавливает зависимость между синусом и косинусом через уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1×2+y2=1; sin2+cos2=1.
• 2 вариант устанавливает зависимость между синусом и косинусом через теорему Пифагора – в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: OB2+AB2=OA2 — и получаем sin2+cos2=1.
• Сравнивают результаты, делают выводы: главный – равенство выполняется при любых значениях входящих в него букв? Ученики должны ответить, что это тождество
• (на слайде показывается верное решение, как для первого, так и для второго вариантов).

Мы получили равенство справедливое при любых значениях входящих в него букв. Как называются такие равенства? Правильно – тождества.

1. Вспомним – какие еще тождества мы с вами знаем в алгебре – формулы сокращенного умножения:
2. a2-b2=(a-b)(a+b),
3. (a-b)2=a2-2ab+b2,
4. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b2,
5. (a-b)3=a3-3a2b+3ab3-b3,
6. a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),
7. a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2).
8. Следующая проблема – а для чего мы вывели основное тригонометрическое тождество – sin2+cos2=1.
9. Правильно – для нахождения по одному известному нам значению синуса, косинуса или тангенса – значений всех остальных функций.
10. Вот теперь мы с вами всегда сможем пользоваться основным тригонометрическим тождеством, но главное – для одного и того же аргумента.
11. Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом………………………
12. Идет новое исследование на тему – каким может быть угол во втором тригонометрическом тождестве?

ГЛАВНОЕ – ВЫЯСНЕНИЕ МНОЖЕСТВА, НА КОТОРОМ ЭТИ РАВЕНСТВА ВЫПОЛНЯЮТСЯ. ОТМЕТИТЬ НА РИСУНКЕ ТОЧКИ, В КОТОРЫХ ТАНГЕНС И КОТЕНГЕНС УГЛА НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

1. Закрепление изученного материала

1 ВАРИАНТ – выразить синус через косинус угла.

2 вариант – выразить косинус через синус угла. На слайде верный ответ

Вопрос учителя – никто не забыл проставить знаки +и — ? Каким может быть угол? – любым.

В этих формулах знак перед корнем зависит от чего? от того, в какой четверти расположен угол (аргумент) тригонометрической функции, которую мы определяем.

Выполняем у доски 2 ученика №457. – 1 – й вариант — 1, 2-й вариант — 2.

На слайде – верное решение.

3-й ученик у доски. Равенства справедливы при……………………….

ЗАДАЧА3. Вычислить………, если………………………….

ЗАДАЧА 4. Вычислить…………….. если ………………………………………………………………

• Остальные учащиеся работают у себя в тетрадях.
• 1 ОПОРА………………………………………………………………………………………………
• 2 ОПОРА………………………………………………………………………………………………

3 ОПОРА. Применение основного тригонометрического тождества к решению задач.

6. Закрепление нового материала ( по технологии Г.Е.Хазанкина – технология опорных задач).

ЗАДАЧА 1. Вычислить ……….., если ………………………………………………………………….

1 ученик у доски самостоятельно – затем слайд с правильным решением.

ЗАДАЧА 2. Вычислить……………., если………………………………………………………………..

2-й ученик у доски, затем слайд с верным решением.

1. Самостоятельная работа на узнавание основного тригонометрического тождества

1. 1. найти значение выражения:
2. 2. выразить число 1 через угол a, если
3. Идет взаимопроверка – по готовому слайду и оценивание работ – как самооценкой, так и оценкой товарища.

Кроссворд. Анатоль Франс сказал как-то: “Учиться надо весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”.

Для проверки знаний по данной теме вам предлагается кроссворд.

1. Раздел математики, изучающий свойства синуса, косинуса, тангенса…

2. Абсцисса точки на единичной окружности.

3. Отношение косинуса к синусу.

4. Синус – это…..точки на единичной окружности.

5. Равенство не требующее доказательства и верное при любых значениях входящих в него букв. Называется……

Проверив кроссворд, ребята выставляют себе оценки в рабочую карту урока. Учитель выставляет оценки тем ученикам, которые особенно активно проявили себя на уроке. Итог – средний балл за работу на уроке.

1. Домашнее задание: параграф 25 (до задачи 5), №459 (четные), 460 (четные), 463*(4).

Источник: https://infourok.ru/zavisimost-mezhdu-sinusom-kosinusom-i-tangensom-odnogo-i-togo-zhe-ugla-2560316.html

Разработка урока по алгeрe по тeмe:" Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла"

• Урок 38/3 класс 10 дата _________________________
• Тема урока: Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
• Цели и задачи:

• ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ: вывод формул зависимости между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла (числа); обучение применению этих формул для вычисления значений синуса, косинуса, тангенса числа по заданному значению одного из них.
• РАЗВИВАЮЩАЯ: учить анализировать, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать, доказывать и опровергать, определять и объяснять понятия..
• ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ: воспитание добросовестного отношения к труду и положительного отношения к знаниям.

Оборудование: учебник, тетрадь, плакаты по теме урока, таблицы, компьютер, диски, экран, проектор.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент: приветствие, проверка явки учащихся, заполнение журнала.

2. Актуализация знаний учащихся

• Анализ ошибок домашнего задания. На экране — картинка с верно выполненным домашним заданием. Каждый ученик проверяет с подробным фронтальным объяснением и отмечает правильность выполнения в рабочей карте урока.

РАБОЧАЯ КАРТА УРОКА.

Д/з.	Диктант. Теория по теме.	Формулы. Проверка знания формул.	Самостоятельная работа. Решение упражнений	Кроссворд.	Оценка учителя.	Итог урока.
С/о	С/о	С/о	О/т	С/о	С/о

С/о – самооценка.

О/т – оценка товарища.

• Диктант (устное повторение необходимых сведений):

1. Дайте определение:

• синуса острого угла А прямоугольного треугольника;
• косинуса острого угла В прямоугольного треугольника;
• тангенса острого угла А прямоугольного треугольника;
• котангенса острого угла В прямоугольного треугольника;
• какие ограничения накладываем мы на синус и косинус при определении тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника.

2. Дайте определение :

• синуса угла a через координату (какую) точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на уголa.
• косинуса угла a через координату (какую) точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на уголa.
• тангенса угла a.
• котангенса угла a.

3. Записать знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса для углов, полученных поворотом точки Р(1;0) на угол 

4. Для всех этих углов указать четверти координатной плоскости.

Ребята проверяют диктант по слайду вместе с учителем, объясняя каждое высказывание и выставляя себе оценку в рабочую карту урока.

5. Из истории тригонометрии.

Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик 18 столетия Леонард Эйлер – швейцарец по происхождению, долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской академии наук.

1. Изучение нового материала

Класс разбивается по вариантам на первый и второй вариант – на экране слайд с условием и чертежами, решения пока нет.

1. 1 вариант устанавливает зависимость между синусом и косинусом через уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1×2+y2=1; sin2+cos2=1.
2. 2 вариант устанавливает зависимость между синусом и косинусом через теорему Пифагора – в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: OB2+AB2=OA2 — и получаем sin2+cos2=1.
3. Сравнивают результаты, делают выводы: главный – равенство выполняется при любых значениях входящих в него букв? Ученики должны ответить, что это тождество
4. (на слайде показывается верное решение, как для первого, так и для второго вариантов).

Мы получили равенство справедливое при любых значениях входящих в него букв. Как называются такие равенства? Правильно – тождества.

• Вспомним – какие еще тождества мы с вами знаем в алгебре – формулы сокращенного умножения:
• a2-b2=(a-b)(a+b),
• (a-b)2=a2-2ab+b2,
• (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b2,
• (a-b)3=a3-3a2b+3ab3-b3,
• a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),
• a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2).
• Следующая проблема – а для чего мы вывели основное тригонометрическое тождество – sin2+cos2=1.
• Правильно – для нахождения по одному известному нам значению синуса, косинуса или тангенса – значений всех остальных функций.
• Вот теперь мы с вами всегда сможем пользоваться основным тригонометрическим тождеством, но главное – для одного и того же аргумента.
• Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом………………………
• Идет новое исследование на тему – каким может быть угол во втором тригонометрическом тождестве?

ГЛАВНОЕ – ВЫЯСНЕНИЕ МНОЖЕСТВА, НА КОТОРОМ ЭТИ РАВЕНСТВА ВЫПОЛНЯЮТСЯ. ОТМЕТИТЬ НА РИСУНКЕ ТОЧКИ, В КОТОРЫХ ТАНГЕНС И КОТЕНГЕНС УГЛА НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

1. Закрепление изученного материала

1 ВАРИАНТ – выразить синус через косинус угла.

2 вариант – выразить косинус через синус угла. На слайде верный ответ

Вопрос учителя – никто не забыл проставить знаки +и — ? Каким может быть угол? – любым.

В этих формулах знак перед корнем зависит от чего? от того, в какой четверти расположен угол (аргумент) тригонометрической функции, которую мы определяем.

Выполняем у доски 2 ученика №457. – 1 – й вариант — 1, 2-й вариант — 2.

На слайде – верное решение.

3-й ученик у доски. Равенства справедливы при……………………….

ЗАДАЧА3. Вычислить………, если………………………….

ЗАДАЧА 4. Вычислить…………….. если ………………………………………………………………

1. Остальные учащиеся работают у себя в тетрадях.
2. 1 ОПОРА………………………………………………………………………………………………
3. 2 ОПОРА………………………………………………………………………………………………

3 ОПОРА. Применение основного тригонометрического тождества к решению задач.

6. Закрепление нового материала ( по технологии Г.Е.Хазанкина – технология опорных задач).

ЗАДАЧА 1. Вычислить ……….., если ………………………………………………………………….

1 ученик у доски самостоятельно – затем слайд с правильным решением.

ЗАДАЧА 2. Вычислить……………., если………………………………………………………………..

2-й ученик у доски, затем слайд с верным решением.

1. Самостоятельная работа на узнавание основного тригонометрического тождества

• 1. найти значение выражения:
• 2. выразить число 1 через угол a, если
• Идет взаимопроверка – по готовому слайду и оценивание работ – как самооценкой, так и оценкой товарища.

Кроссворд. Анатоль Франс сказал как-то: “Учиться надо весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”.

Для проверки знаний по данной теме вам предлагается кроссворд.

1. Раздел математики, изучающий свойства синуса, косинуса, тангенса…

2. Абсцисса точки на единичной окружности.

3. Отношение косинуса к синусу.

4. Синус – это…..точки на единичной окружности.

5. Равенство не требующее доказательства и верное при любых значениях входящих в него букв. Называется……

Проверив кроссворд, ребята выставляют себе оценки в рабочую карту урока. Учитель выставляет оценки тем ученикам, которые особенно активно проявили себя на уроке. Итог – средний балл за работу на уроке.

1. Домашнее задание: параграф 25 (до задачи 5), №459 (четные), 460 (четные), 463*(4).

Источник: https://multiurok.ru/files/razrabotka-uroka-po-alghere-po-teme-zavisimost-mie.html

Основные тригонометрические тождества: их формулировки и вывод, связь косинуса и тангенса, как из синуса получить косинус

В статье подробно рассказывается об основных тригонометрических тождествах.Эти равенства устанавливают связь между sin, cos, tg, ctg заданного угла. При известной одной функции можно через нее найти другую.

Тригонометрические тождества для рассмотрения в денной статье. Ниже покажем пример их выведения с объяснением.

sin2α+cos2α=1tg α=sin αcos α, ctg α=cos αsin αtg α·ctg α=1tg2α+1=1cos2α, 1+ctg2α=1sin2α

Связь между sin и cos одного угла

Поговорим о важном тригонометрическом тождестве, которое считается основой основ в тригонометрии.

sin2α+cos2α=1

Заданные равенства tg2α+1=1cos2α, 1+ctg2α=1sin2α выводят из основного путем деления обеих частей на sin2α и cos2α. После чего получаем tg α=sin αcos α, ctg α=cos αsin α и tg α·ctg α=1 — это следствие определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Равенство sin2α+cos2α=1 является основным тригонометрическим тождеством. Для его доказательства необходимо обратиться к теме с единичной окружностью .

Так как А1 находится в пределах единичной окружности, значит, координаты должны удовлетворят условию x2+y2=1 этой окружности. Выражение cos2α+sin2α=1 должно быть справедливым.

Для этого необходимо доказать основное тригонометрическое тождество для всех углов поворота α.

В тригонометрии выражение sin2α+cos2α=1 применяют как теорему Пифагора в тригонометрии. Для этого рассмотрим подробное доказательство.

Используя единичную окружность, поворачиваем точку А с координатами (1,0) вокруг центральной точки О на угол α. После поворота точка меняет координаты и становится равной А1(х,у). Опускаем перпендикулярную прямую А1Н на Ох из точки А1.

На рисунке отлично видно, что образовался прямоугольный треугольник ОА1Н. По модулю катеты ОА1Н и ОН равные, запись примет такой вид: |А1H|=|у|,|ОН|=|х|. Гипотенуза ОА1 имеет значение равное радиусу единичной окружности, |ОА1|=1. Используя данное выражение, можем записать равенство по теореме Пифагора: |А1Н|2 +|ОН|2 =|ОА1|2. Это равенство запишем как |y|2+|x|2=12, что означает y2+x2=1.

Используя определение sin α=y и cosα=x, подставим данные угла вместо координат точек и перейдем к неравенству sin2α+cos2α=1.

Основная связь между sin и cos угла возможна через данное тригонометрическое тождество. Таким образом, можно считать sin угла с известным cos и наоборот.

Чтобы выполнить это, необходимо разрешать sin2α+cos2=1 относительно sin и cos, тогда получим выражения вида sin α=±1-cos2α и cos α=±1-sin2α соответственно. Величина угла αопределяет знак перед корнем выражения.

Для подробного выяснения необходимо прочитать раздел вычисление синуса, косинуса, тангенса и котангенса с использованием тригонометрических формул.

Чаще всего основную формулу применяют для преобразований или упрощений тригонометрических выражений. Имеется возможность заменять сумму квадратов синуса и косинуса на 1. Подстановка тождества может быть как в прямом, так и обратном порядке: единицу заменяют на выражение суммы квадратов синуса и косинуса.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Из определения косинуса и синуса, тангенса и котангенса видно, что они взаимосвязаны друг с другом, что позволяет отдельно преобразовывать необходимые величины.

tg α=sin αcos αctg α=cos αsin α

Из определения синус является ординатой у, а косинус – абсциссой x. Тангенс – это и есть отношения ординаты и абсциссы. Таким образом имеем:

tg α=yx=sin αcos α, а выражение котангенса имеет обратное значение, то есть

ctg α=xy=cos αsin α.

Отметим, что tg α=sin αcos α и ctg α=cos αsin α верны для любого значение угла α, значения которого входят в диапазон. Из формулы tg α=sin αcos α значение угла α отлично от π2+π·z, а ctg α=cos αsin α принимает значение угла α, отличные от π·z, z принимает значение любого целого числа.

Связь между тангенсом и котангенсом

Имеется формула, которая показывает связь между углами через тангенс и котангенс. Данное тригонометрическое тождество является важным в тригонометрии и обозначается как tg α·ctg α=1. Оно имеет смысл при α с любым значением, кроме π2·z, иначе функции будут не определены.

Формула tg α·ctg α=1 имеет свои особенности в доказательстве. Из определения мы имеем, что tg α=yx и ctg α=xy, отсюда получаем tg α·ctg α=yx·xy=1. Преобразовав выражение и подставив tg α=sin αcos α и ctg α=cos αsin α, получим tg α·ctg α=sin αcos α·cos αsin α=1.

Тогда выражение тангенса и котангенса имеет смысл того, когда в итоге получаем взаимно обратные числа.

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Преобразовав основные тождества, приходим к выводу, что тангенс связан через косинус, а котангенс через синус. Это видно по формулам tg2α+1=1cos2α, 1+ctg2α=1sin2α.

Определение звучит так: сумма квадрата тангенса угла и 1 приравнивается к дроби , где в числителе имеем 1, а в знаменателе квадрат косинуса данного угла, а сумма квадрата котангенса угла наоборот.

Благодаря тригонометрическому тождеству sin2α+cos2α=1, можно разделить соответствующие стороны на cos2α и получить tg2α+1=1cos2α, где значение cos2α не должно равняться нулю.

При делении на sin2α получим тождество 1+ctg2α=1sin2α, где значение sin2α не должно равняться нулю.

Из приведенных выражений получили, что тождество tg2α+1=1cos2α верно при всех значениях угла α, не принадлежащих π2+π·z, а 1+ctg2α=1sin2α при значениях α, не принадлежащих промежутку π·z.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/trigonometrija/osnovnye-trigonometricheskie-tozhdestva/

Урок 32. зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс — Российская электронная школа

Алгебра и математического начала анализа, 10 класс

Урок №32. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла;
• доказательство тригонометрических тождеств на основе зависимости между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла;
• решение несложных уравнений с использованием зависимости между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.
• Упрощение тригонометрических выражений на основе зависимости между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.

• Глоссарий по теме
• Тождество — это равенство, верное для всех допустимых значений входящих в него букв (таких, при которых его левая и правая части имеют смысл, а задачи на доказательство таких равенств называют задачами на доказательство тождеств.
• Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Синусом угла является ордината точки В(х;у). Косинусом угла является её абсцисса.

Рисунок 1 – точка В на тригонометрической окружности

Катет ОС — это абсцисса точки В или , катет ВС- её ордината, или а гипотенуза ОВ — радиус единичной окружности, ОВ=1.Получаем формулу:

(1)

В тригонометрии её называют основным тригонометрическим тождеством. Она связывает синус с косинусом. А это значит, чо зная значения синуса, можно найти значения косинуса и наоборот.

2. (2)
3. (3)
4. В этих равенствах знаки перед корнем определяются по знакам синуса и косинуса.

Пример. Найти , если , .

• Выясним знак косинуса. Из условия опрелеляем, что угол в 4 четверти,
• Подставим значение в формулу (3), получаем:
• Ответ: .
• Пример. Могут ли одновременно выполняться равенства и
• Чтобы одновременно выполнялись эти равенства, необходимо выполнение условия

. Подставим данные значения в формулу и проверим верно ли равенство: .

1. ;
2. ;
3. 1=1, верно.
4. Ответ: данные равенства могут выполняться одновременно.

Пример. Известно, что , найти .

• Возведём в квадрат левую и правую части равенста:
• ; учтём, что ,
• ;
• ;
• .
• А какая же зависимость между тангенсом и котангенсом одного угла?
• По определению : , .
• Перемножим эти равенства и получим формулу, которая связывает тангенс и котангенс:
• .
• , (4)
• и ,
• причём угол и
• Из этих формул видно, что тангенс и котангенс являются взаимнообратными числами.
• Если , то .

Пример. Могут ли одновременно выполняться равенства и ? Подставляем данные значения в формулу (4) и получаем верное равенство.

1. .
2. Ответ: данные равенства могут выполняться одновременно.
3. А есть ли связь между тангенсом и косинусом? Рассмотрим равенство
4. и обе части возведём в квадрат:. Используя формулы (2) и (3), получаем:
5. ,
6. , (5)
7. где
8. По этой формуле можно находить значение тангенса по заданному значению косинуса и наоборот находить косинус, если известен тангенс.

Пример . Известно, что ; . Найти , и .

Угол в первой четверти, значит все значения положительны. Найдём их по тригонометрическим формулам.

1. ;
2. ;
3. .

Применяя тригонометрические формулы, можно зная одно из чисел , , и , найти остальные три. Эти формулы являются тождествами.

• Определение
• Равенство, верное для всех допустимых значений входящих в него букв (таких, при которых его левая и правая части имеют смысл), называется тождеством, а задачи на доказательство таких равенств называют задачами на доказательство тождеств.
• Рассмотрим некоторые приемы

1. Левую часть приводят к правой, или наоборот правую к левой.
2. Устанавливают то, что разность левой и правой частей равна нулю.

Пример. Доказать тождество:

Преобразуем левую часть:

Левая часть тождества равна правой. Доказано.

1. Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
2. Пример 1.
3. Найти , если , .
4. Из условия видим, что угол в 3 четверти, значит . Используем формулу (2):
5. Ответ: .
6. Пример 2.
7. Найти , если , .

Угол находится в 4 четверти, тангенс отрицательный. Подставим данное значение косинуса в формулу (5) и вычислим значение тангенса.

• .
• Ответ: .
• Пример 3.
• Доказать тождество:
• Преобразуем правую часть:

Правая часть тождества равна левой. Доказано.

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/3876/conspect/

Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

• Вспомним, что синусом угла  называется ордината точки , полученной поворотом точки  вокруг начала координат на угол .
• Косинусом угла  называется абсцисса точки , полученной поворотом точки  вокруг начала координат на угол .
• Тангенсом угла  называется отношение синуса угла  к его косинусу.
• Котангенсом угла  называется отношение косинуса угла  к его синусу.
• Итак, выясним зависимость между синусом и косинусом.

Пусть на координатной плоскости изображена единичная окружность с центром в начале координат. Точка  совершает поворот против часовой стрелки на угол  и оказывается в точке .

По определению синуса и косинуса можно сказать, что абсцисса точки  равна косинусу угла поворота, то есть , а ордината точки  равна синусу угла поворота, то есть . Тогда можем записать, что точка .

Теперь вспомним, что уравнение единичной окружности имеет вид: . Так как точка  принадлежит нашей единичной окружности, то её координаты удовлетворяют этому уравнению. А значит, можем записать: .

Давайте из этого тождества выразим . Итак, перенесём  в правую часть равенства: . Извлекаем квадратный корень из обеих частей равенства: , , если  – угол I или II четверти. И , если  – угол III или IV четверти.

В общем, можем записать так: .

Теперь выразим . Перенесём  в правую часть равенства: . Извлекаем квадратный корень из обеих частей равенства: , . , если  – угол I или IV четверти. , если  – угол II или III четверти.

В общем, можем записать так:    .

Вот таким образом мы получили равенства, которые связывают значения синуса и косинуса одного и того же угла.

Давайте вычислим , если  и . Воспользуемся формулой . Так как а, то есть угол альфа – это угол III четверти, то . Поэтому в формуле перед корнем нужно поставить знак «»: . Тогда подставим значение  в формулу: . Выполним вычисления: .

Теперь давайте вычислим , если  и . Воспользуемся формулой . Так как , то есть угол альфа – это угол IV четверти, то .

Поэтому в формуле перед корнем нужно поставить знак «»? Верно. Запишем формулу: . Подставим значение  в формулу: . Выполним вычисления: .

Ну а теперь выясним зависимость между тангенсом и котангенсом. По определению , а . Перемножим почленно эти равенства: . И получим:  Выразим из этого равенства  и получим, что . И выразим  и получим, что . Важно отметить, что так как на нуль делить нельзя, то  и , то есть , .

Вычислим , если  и . По формуле  найдём . Так как , то есть угол  – это угол II четверти, то . Поэтому в формуле перед корнем нужно поставить знак «»: . Подставим значение . Выполним вычисления: .

Теперь найдём значение . Подставим значения  и . Выполним вычисления: .

И нам осталось найти зависимость между тангенсом и косинусом. Для этого мы с вами разделим обе части основного тригонометрического тождества  на : . При этом  не должен равняться нулю, то есть , . Преобразуем левую часть равенства: . Первое слагаемое в левой части можем записать как , второе – как : .

Эта формула и показывает зависимость между тангенсом и косинусом? Да. Из этой формулы мы можем выразить тангенс через косинус и косинус через тангенс.

Давайте вычислим , если  и . Выразим  из формулы : . Подставим значение : . Выполним вычисления: . , то есть это угол II четверти. Тангенс во второй четверти принимает отрицательные значения. Поэтому .

И вычислим , если  и . Из формулы  выразим : . Подставим значение : . Выполним вычисления: . У нас . Косинус в III четверти принимает отрицательные значения. Поэтому .

А сейчас выполним несколько заданий.

Задание первое. Найдите ,  и , если  и .

Решение.

Задание второе. Найдите ,  и , если  и .

Решение.

Источник: https://videouroki.net/video/25-zavisimost-mezhdu-sinusom-kosinusom-i-tangensom-odnogo-i-togo-zhe-ugla.html

Основные тригонометрические тождества

• sin^{2} alpha+cos^{2} alpha=1
• Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.
• При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

tg alpha = frac{sin alpha}{cos alpha},enspace ctg alpha=frac{cos alpha}{sin alpha}

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y является синус, а абсциссой x — косинус. Тогда тангенс будет равен отношению frac{y}{x}=frac{sin alpha}{cos alpha}, а отношение frac{x}{y}=frac{cos alpha}{sin alpha} — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов alpha, при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества tg alpha = frac{sin alpha}{cos alpha}, ctg alpha=frac{cos alpha}{sin alpha}.

Например: tg alpha = frac{sin alpha}{cos alpha} является справедливой для углов alpha, которые отличны от frac{pi}{2}+pi z, а ctg alpha=frac{cos alpha}{sin alpha} — для угла alpha, отличного от pi z, z — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

tg alpha cdot ctg alpha=1

Данное тождество справедливо только для таких углов alpha, которые отличны от frac{pi}{2} z. Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tg alpha = frac{y}{x}, а ctg alpha=frac{x}{y}. Отсюда следует, что tg alpha cdot ctg alpha = frac{y}{x} cdot frac{x}{y}=1. Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

tg^{2} alpha + 1=frac{1}{cos^{2} alpha} — сумма квадрата тангенса угла alpha и 1, равна обратному квадрату косинуса этого угла. Данное тождество справедливо для всех alpha, отличных от frac{pi}{2}+ pi z.

1+ctg^{2} alpha=frac{1}{sin^{2}alpha} — сумма 1 и квадрат котангенса угла alpha, равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого alpha, отличного от pi z.

Примеры с решениями задач на использование тригонометрических тождеств

Пример 1

Найдите sin alpha и tg alpha, если cos alpha=-frac12 и frac{pi}{2} < alpha < pi;

Показать решение

1. Решение
2. Функции sin alpha и cos alpha связывает формула sin^{2}alpha + cos^{2} alpha = 1. Подставив в эту формулу cos alpha = -frac12, получим:
3. sin^{2}alpha + left (-frac12
   ight )^2 = 1
4. Это уравнение имеет 2 решения:
5. sin alpha = pm sqrt{1-frac14} = pm frac{sqrt 3}{2}

По условию frac{pi}{2} < alpha < pi. Во второй четверти синус положителен, поэтому sin alpha = frac{sqrt 3}{2}.

Для того, чтобы найти tg alpha , воспользуемся формулой tg alpha = frac{sin alpha}{cos alpha}. Соответствующие величины нам известны.

tg alpha = frac{sqrt 3}{2} : frac12 = sqrt 3

Пример 2

Найдите cos alpha и ctg alpha, если sin alpha=frac{sqrt3}{2} и frac{pi}{2} < alpha < pi.

Показать решение

Решение

Подставив в формулу sin^{2}alpha + cos^{2} alpha = 1 данное по условию число sin alpha=frac{sqrt3}{2}, получаем left (frac{sqrt3}{2}
ight )^{2} + cos^{2} alpha = 1. Это уравнение имеет два решения cos alpha = pm sqrt{1-frac34}=pmsqrtfrac14.

По условию frac{pi}{2} < alpha < pi. Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому cos alpha = -sqrtfrac14=-frac12.

ctg alpha = -frac12 : frac{sqrt3}{2} = -frac{1}{sqrt 3}.

Источник: https://academyege.ru/page/osnovnye-trigonometricheskie-tozhdestva.html