Взаимное расположение прямых в пространстве — справочник студента

п.3. Взаимное расположение двух плоскостей.

   Плоскости могут совпадать, быть параллельными или пересекаться по прямой.

                                           рис.3.

                                                рис.4.

                                                рис.5.

• Теорема. Пусть
•  и
• – общие уравнения двух плоскостей. Тогда:

3)  если  или , то плоскости пересекаются и система уравнений

является уравнениями прямой пересечения данных плоскостей.

   Доказательство. Первое и второе условия теоремы равносильны коллинеарности нормальных векторов данных плоскостей:

   Если , то , , ,  и уравнение плоскости  принимает вид:

Коэффициент пропорциональности k не может быть равен нулю, т.к.  и при  получаем, что , что противоречит определению нормального вектора. Следовательно, уравнение плоскости

совпадает с уравнением плоскости , а это означает, что плоскости совпадают.

   Если , то это означает коллинеарность нормальных векторов обеих плоскостей, а значит плоскости либо параллельны, либо совпадают. Но в этом случае плоскости не могут совпадать и остается единственная возможность их параллельности.

   Третье условие теоремы равносильно тому, что нормальные векторы плоскостей не коллинеарные, а потому они не совпадают и не параллельны, а следовательно, они пересекаются. Из геометрии известно, что линия пересечения двух плоскостей является прямой.

   Точка М лежит на прямой пересечения двух плоскостей  и  тогда и только тогда, когда она лежит одновременно на обеих плоскостях и ее координаты удовлетворяют обоим уравнениям системы (6), т.е. являются решением этой системы. А это означает, что система (6) является уравнениями прямой пересечения плоскостей, ч.т.д.

Теорема доказана.

п.4. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

   Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки.

                                           рис.6.

                                           рис.7.

                                          рис.8.

1. Теорема. Пусть плоскость  задана общим уравнением
2.                           ,
3. а прямая L задана каноническими уравнениями
4. или параметрическими уравнениями
5.                               ,   ,
6. в которых  – координаты нормального вектора плоскости ,  – координаты произвольной фиксированной точки прямой L,   –
7. координаты направляющего вектора прямой L. Тогда:
8. 1) если , то прямая L пересекает плоскость  в точке, координаты которой  можно найти из системы уравнений
9.              ;           (7)
10. 2) если  и , то прямая лежит на плоскости;
11. 3) если  и , то прямая параллельна плоскости.

   Доказательство. Условие  говорит о том, что вектроры  и  не ортогональны, а значит прямая не параллельна плоскости и не лежит в плоскости, а значит пересекает ее в некоторой точке М.

Координаты точки М удовлетворяют как уравнению плоскости, так и уравнениям прямой, т.е. системе (7).

Решаем первое уравнение системы (7) относительно неизвестной t и затем, подставляя найденное значение t в остальные уравнения системы, находим координаты искомой точки.

Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости и координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка .

Если , то точка  – лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.

   Если , а , то точка на прямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости.

Теорема доказана.

Источник: http://fxdx.ru/page/vzaimnoe-raspolozhenie-prjamoj-i-ploskosti-v-prostranstve-vzaimnoe-raspolozhenie-dvuh-ploskostej

Урок 5. взаимное расположение прямых в пространстве — Геометрия — 10 класс — Российская электронная школа

Урок Конспект Дополнительные материалы

• Геометрия, 10 класс
• Урок №5. Взаимное расположение прямых в пространстве
• Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1. признаки скрещивающихся прямых;
2. определение углов с сонаправленными сторонами;
3. доказательство теоремы о плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых;
4. доказательство теоремы о равенстве углов с сонаправленными сторонами.

1. Глоссарий по теме
2. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
3. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.
4. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.
5. Основная литература:

1. Учебник Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

1. Зив Б.Г. Дидактические материалы Геометрия 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
2. Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013.

Открытый электронный ресурс:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мы уже знаем, что прямы в пространстве могут располагаться параллельно или пересекаться. Существует еще один вид- скрещивающиеся прямые. С ним мы мимолетно познакомились на предыдущем уроке. А сегодня нам предстоит разобраться с этой темой более подробно.

Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости. (рис. 1)

• Рисунок 1 – скрещивающиеся прямые
• На прошлом уроке в качестве наглядного примера нами был приведен куб.
• Сегодня предлагаем вам обратить внимание на окружающую вас обстановку и найти в ней скрещивающиеся прямые.
• Примеры скрещивающихся прямых вокруг нас:

Одна дорога проходит по эстакаде, а другая под эстакадой
Кабели моста
Горизонтальные линии крыши и вертикальные линии стен

Разберем и докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых.

Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости). 

Доказательство.Рассмотрим прямую AB лежащую в плоскости и прямую CD, которая пересекает плоскoсть в точке D, не лежащей на прямой AB (рис. 2).

1. Допустим, что прямые AB и CD всё-таки лежат в одной плоскости.2. Значит эта плоскость идёт через прямую AB и точку D, то есть она совпадает с плоскостью α.3. Это противоречит условиям теоремы, что прямая CD не находится в плоскости α, а пересекает её.

   Теорема доказана.

Рисунок 2 – скрещивающиеся прямые АВ и СD

Итак, возможны три случая расположения прямых в пространстве:

Разберем и докажем еще одну теорему о скрещивающихся прямых.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

ДоказательствоРассмотрим скрещивающиеся прямые AB и CD.(рис. 3)

1. Через точку D можно провести прямую DE параллельную AB. 2. Через пересекающиеся прямые CD и DE можно провести плоскость α

3. Так как прямая АB не лежит в этой плоскости и параллельна прямой DE, то она параллельна плоскости.

4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через CD, будет пересекаться с DE и AB, которая ей параллельна. Теорема доказана.

Рисунок 3 – прямые АВ, СD, DЕ

Любая прямая, например ОО1, рассекает плоскость на две полуплоскости. Если лучи ОА и О1А1 параллельны и лежат в одной полуплоскости, то они называются сонаправленными.

Лучи О1А1 и ОА не являются сонаправленными. Они параллельны, но не лежат в одной полуплоскости. (рис. 4)

Рисунок 4 – сонаправленные лучи

Теорема.Если стороны двух углов соответственно сонаправленны, то такие углы равны. (рис. 5)

Доказательство:

при доказательстве  ограничимся случаем, когда углы лежат в разных плоскостях.

1. Стороны углов сонаправлены, а, значит, параллельны. Проведем через них плоскости-   как показано на чертеже.

Отметим на сторонах угла O произвольные точки A и B.

На соответствующих сторонах угла O1 отложим отрезки OA1 и O₁B₁ равные соответственно ОA и OB.

2. В плоскости    рассмотрим четырехугольник OAA1O1.

Так как противолежащие стороны OA и O1A1 этого четырехугольника равны и параллельны по условию, то этот четырехугольник– параллелограмм и, следовательно, равны и параллельны стороны  AA1  и OO1.

3. В плоскости, аналогично можно доказать, что OBB1O1 параллелограмм, поэтому равны и параллельны стороны ВВ1 и OO1.

4. Если две отрезка AA1 и BB1 равны параллельны третьему отрезку OO1, значит, они равны и параллельны, т. е. АА1||BB1 и AA1 = BB1.

По определению четырехугольник АВВ1А1 – параллелограмм и из этого получаем АВ=А1В1.

5.Из выше построенного и доказанного АВ=А1В1, ОA =O1A1 и OB =O1B1 следует, что треугольники AOB и A1 O1 B1. равны по трем сторонам, и поэтому  О= О1.

Рисунок 5 – равные углы с сонаправленными сторонами

Любые две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых угла. Если известен один из этих углов, то можно найти и другие три угла. Пусть а — тот из углов, который не превосходит любого из трех остальных углов. Тогда говорят, что угол между пересекающимися прямыми равен а. Очевидно, 0° < а ≤ 90°.

Введем теперь понятие угла между скрещивающимися прямыми(рис. 6, 7).Пусть АВ и СD- две скрещивающиеся прямые (рис. а.

) Через произвольную точку М1 проведем прямые А1В1 и С1D1, соответственно параллельные прямым АВ и СВ (рис. б).

Если угол между прямыми А1В1 и C1D1 равен φ, то будем говорить, что угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD равен φ. Докажем, что угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки М₁.

Так как А1В1||А1В1, C1D1|| С1D1, то стороны углов с вершинами М1 и М1 попарно сонаправлены (рис. б, такими углами являются ∟A1M1C1 и ∟A1M1C1, ∟A1M1D1 и ∟A1M1D1 и т.д.) Поэтому эти углы соответственно равны. Отсюда следует, что угол между прямыми А1В1 и С1D1 также равен φ. В качестве точки М, можно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых.

На рисунке в на прямой СD отмечена точка М и через нее проведена прямая А'В', параллельная АВ. Угол между прямыми А'В' и СD также равен φ.

1. Рисунок 6 – угол между скрещивающимися прямыми
2. Рисунок 7 – угол между скрещивающимися прямыми
3. Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Прямая с пересекает прямую а и не пересекает прямую b, параллельна прямой а. Докажите, что b и с- скрещивающиеся прямые .

Доказательство:

1. a||b- через a и b проведем плоскость α (эта плоскость существует по определению параллельных прямых);
2. пусть с пересекает а в точке М. a||b⇒ М ∉b.
3. по теореме о признаке скрещивающихся прямых, с и b скрещиваются.

• Пример 2. Выделите цветом верный ответ:
• Дано: ОВ||CD
• ОА и CD- скрещивающиеся
• ∟АОВ= 40°
• Найти: угол между ОА и CD
• Решение:

1. D ∈ A1D, A1D||AO
2. угол между ОА и CD=∟A1DC
3. ∟A1DC=∟AOB=40°.

Ответ: ∟A1DC=40°.

Правильный ответ:

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6133/conspect/

Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости

Ильиных Татьяна Геннадьевна

Предмет: Математика  

Продолжительность занятия: 2 академических часа                                                                                                                                   Группа:  262

Тема занятия:  Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости.

Цель: создать условия

• для освоения студентами понятий «параллельные прямые», параллельность прямой и плоскости», «расположение двух прямых»;
• для формирования у студентов пространственного представления,  умения анализировать  задачи, изображать  графический чертеж;
• для развития  аналитических  умений обучающихся, умений  обобщать учебный материал, делать выводы;
• воспитывать коммуникативные способности  через организацию работы в парах, в группах

• Ход занятия.
• Цель обучающихся: настроиться психологически на занятие, проверить готовность всего необходимого на своем рабочем месте.
• Цель преподавателя: создать условия для психологического настроя на занятии, проверить готовность рабочих мест обучающихся.
• Задачи: активизировать внимание студентов.
• Методы: словесный

Деятельность обучающихся	Деятельность преподавателя	Примечание
Приветствие преподавателя. Проверка готовности рабочего места к занятию (тетрадь, учебник Геометрия, А.В. Погорелов, письменные принадлежности) Приветствие студентов.	Проверка и фиксации в журнале отсутствующих студентов. Проверка рабочих мест обучающихся.

1. Опрос обучающихся по заданному на дом материалу.

1. Цель обучающихся: закрепить и систематизировать полученные знания по теме «Преобразование рациональных, иррациональных, степенных, показательных и логарифмических выражений» и сделать самооценку умения определять виды выражения и выполнять процесс преобразования.  
2. Цель преподавателя: проверить качество усвоения теоретического материала по теме «Преобразование рациональных, иррациональных, степенных, показательных и логарифмических выражений»  и умение применять полученные знания при выполнении практического  задания; отрабатывать навык работы в парах, умение осуществлять само и взаимо оценку при проверке самостоятельно выполненных заданий
3. Задачи:

1. Актуализировать знания и умения обучающихся по предыдущей теме.
2. Организовать письменный опрос по теме   при выполнении практического  задания
3. Организовать работу в парах при взаимопроверке выполнения заданий практического характера.

• Методы:

• опрос (письменный, в  форме  практического задания)
• работа в парах.

Критерии достижения цели и задач данного этапа урока:

• овладение обучающимися  понятиями «преобразование», «выражение», «степенное», «логарифмическое», «показательное», «рациональное».
• самоанализ результатов выполнения заданий  по теме «Преобразование рациональных, иррациональных, степенных, показательных и логарифмических выражений ».

1. Возможные действия преподавателя:

1. Акцентирование внимания обучающихся на основополагающих аспектах темы .
2. Контроль за соблюдением самостоятельного выполнения работы  обучающихся.
3. Регулирование (в случае необходимости) работы обучающихся в паре.

• Методы организации совместной деятельности обучающихся:

• самостоятельная работа
• работа в парах (взаимопроверка)
• взаимоконтроль (результатов  практического задания)
• взаимооценка.

1. Методы стимулирования учебной активности обучающихся:

• установка по выполнению заданий;
• создание ситуации успеха;
• поощрение;
• педагогическое требование.

• Критерии оценивания выполнения практического задания:

1. Глубина и полнота знаний по теме  «Преобразование рациональных, иррациональных, степенных, показательных и логарифмических выражений».
2. Точность формулировки ответов.
3. Объем выполнения заданий.
4. Сформированность умений взаимоконтроля и взаимооценки.

1. 3.Изучение нового учебного материала
2. Цель студентов: освоить теоретическое, практическое и методическое содержание нового материала,
3. Цель преподавателя: Создать условия для формирования ценностно-смысловой  компетенции и информационной грамотности студентов через активизацию их языковой компетентности в области математики. 
4. Задачи:

1. Развивать познавательную активность и мотивацию к изучению учебного материала, умение анализировать и структурировать материал, определять методы (способы) решения учебных задач занятия.
2. Способствовать актуализации знаний, необходимых для достижения цели занятия,  приобретения новых знаний.  
3. Формировать представление студентов об особенностях и закономерностях   представления о расположении    параллельных  прямых  в пространстве и на плоскости.
4. Осуществить межпредметные связи  с  алгеброй.

• 
• 
• 
• 
• 
• 

3. Закрепление учебного материала

Цель обучающихся: закрепить полученные знания по теме «Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости»  через проверку знаний , отвечая на вопросы из учебника автора А.В. Погорелов Геометрия с. 247.

Цель преподавателя:  создать условия для развития субъектной позиции обучающихся, формирования информационной компетенции. Задачи:

1. Закрепить знания обучающихся по теме.
2. Развивать практические умения   на примере темы «Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости».

Формы и методы закрепления учебного материала: —  Работа по вопросам из учебника геометрия Погорелова А.В.

Критерии усвоения учебного материала:

• овладение обучающимися понятий «параллельные прямые, скрещивающиеся прямые,  параллельность прямой и плоскости».
• включенность в деятельность;
• способность применять теоретические знания при выполнении практических заданий.

Возможные методы и приемы обучения.

1. Дополнительное объяснение учебного материала.
2. Индивидуальное консультирование обучающихся.

Акцентирование внимания обучающихся на основных аспектах темы. Деятельность обучающихся	Деятельность преподавателя	Примечание
Отвечают на поставленные вопросы	Спрашивает студентов по вопросам:Какие прямые в пространстве называются параллельными?Какие прямые называются скрещивающимися?Сформулируйте признак параллельности прямых?Что значит: прямая и плоскость параллельны?	Если не отвечают, находят ответ в учебнике и запоминают с. 239-242 учебник Геометрия. Погорелов А.В.

1. 4. Задание на дом
2. Цель обучающихся: организовать самостоятельную работу по закреплению материала темы.
3. Цель преподавателя: создать условия систематизации знаний и умений обучающихся по теме.
4. Критерии успешного выполнения домашнего задания:

• овладение понятиями по теме;
• творческий подход в выполнении практических заданий;
• полнота и глубина знаний;
• демонстрация практических умений.

Деятельность обучающихся	Деятельность преподавателя	Примечание
Принятие цели домашнего задания. Постановка цели выполнения домашнего задания.
Понимание содержания домашнего задания, вопросы на уточнение  Задание № 5 (4)  с. 248 из учебника Погорелов А.В. Геометрия
Подведение итогов урока  на занятии. Определение продуктивности учебной деятельности.	Подведение итогов занятия. Беседа по вопросам: — На сколько удалось достичь поставленной учебной задачи? — Какие практические  умения формировали?- Что удалось лучше?- Что вызвало  затруднение?

Источник: https://open-lesson.net/6115/

Конспект урока по математике "Взаимное расположение двух прямых в пространстве"

Урок №41.« Взаимное расположение двух прямых в пространстве» .

• Тип занятия:поисковый
• Цели:
• Методическая: активизация мыслительной деятельности
• обучающихся с использованием мультимедийных
• программ.
• Образовательная: рассмотреть ключевые понятия по данной теме; повторить аксиомы планиметрии; способствовать развитию навыков пространственного воображения; познакомить обучающихся с доказательством теоремы о существовании плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку на основе аксиом стереометрии; познакомить с историческим материалом; проверить умения применять полученные знания в ходе практической работы; рассмотреть полученные знания применительно к будущей профессии.
• Развивающая: у обучающихся умения творчески мыслить, сообразительность, навыки анализа и синтеза учебного материала, графические навыки, что способствует развитию глазомера, координации движения, памяти, пространственного воображения, интереса к предмету.
• Воспитательная: прививать аккуратность, чёткость при чтении и построении математической модели.
• Элементы содержания занятия:аксиомы планиметрии I – IX, пространственные аксиомы С1 – С3 и стереометрические аналоги планиметрических аксиом I – IX, теорема о точке и прямой с доказательством.
• Вид контроля, измерители: построение алгоритма действия, решение упражнений, ответы на вопросы, проблемные задания индивидуальный опрос и фронтальный опрос, составление конспекта.
• Требования к уровню подготовки учащихся:

знать: аксиомы планиметрии I – IX, аксиомы стереометрии, следствие из аксиом стереометрии – теорема 1.1 (о точке и прямой).

уметь: построить простейший стереометрический чертёж, воспроизводить формулировки аксиом планиметрии и стереометрии, приводить доказательство теоремы о точке и прямой.

Проведение информационно-смыслового анализа текста, выбор главного и основного, приведение примеров, формирование умения работать с чертёжными инструментами, пространственное воображение и логику.

Оборудование:иллюстрации на доске, учебник и сборник задач под ред.Атанасян., раздаточный дифференцированный материал «Тесты по геометрии 10 – 11 классы»; презентация по теме: «Аксиомы стереометрии и следствия из них»

1. Ход занятия.
2. -проверка готовности к занятию
3. -объявление темы занятия
4. -постановка целей и задач занятия

1. Повторение изученного материала.

Провести с учащимися обучающую практическую работу.

1. Постройте в тетради прямую а и отметьте на ней точку А и вне её точку В. Вывод: аксиома I1 планиметрии.

А

В а

Отметьте две произвольные точки А и В и проведите через них прямую АВ. А теперь попытайтесь провести через эти две точки ещё одну прямую, отличную от АВ. Вывод: аксиома I2 планиметрии.

а А В

1. Постройте прямую АВ и отложите на ней три точки А, В, С.

Вывод: аксиома II планиметрии.

а А C В

1. Отложите отрезок АВ и измерьте его длину. Отметьте на АВ точку С и измерьте длины АВ, АС, ВС. Вывод: аксиома III планиметрии.

А C В АВ 0, АВ = АС+ВС.

1. Проведите произвольную прямую а. На сколько частей данная прямая разобьёт плоскость (страницу тетради)?

Вывод: аксиома IV планиметрии.

1. Отложите угол произвольной градусной меры и измерьте его. Постройте развёрнутый угол. Чему равна его градусная мера? Проведите луч ОВ.

• А
• Вывод: аксиома V планиметрии.
• В
• О С M О N
• AOC 0
• AOC = AOB + BOC MON = 180°

1. Постройте отрезок АВ определённой длины. На луче ОС от точки О отложите отрезок равный данному. Сколько таких отрезков можно отложить от точки О? Вывод: аксиома VI планиметрии.

1. A B OC = AB
2. O
3. C

1. Постройте угол определённой градусной меры. На луче ОС от точки О отложите угол равный данному. Сколько таких углов можно отложить от точки О? Вывод: аксиома VII планиметрии.

• А1
• О1 С1
• А
• О С

1. Постройте произвольный треугольник. На луче ОDот точки О отложите треугольник, равный данному. Сколько таких треугольников можно отложить от точки О?

1. B Вывод: аксиома VIII планиметрии.
2. A
3. C
4. D
5. O
6. C1
7. B1

1. Постройте прямую а и точку А, не лежащую на прямой а. Проведите через точку А прямую в параллельную прямой а. Единственна ли прямая b? Вывод: аксиома IX планиметрии.

bА

а

1. Изучение нового материала с элементами повторения.

1. Что изучает стереометрия?

2. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость.

3. Введение нового геометрического образа – плоскости заставляет расширять систему аксиом. Поэтому мы вводим группу аксиом С, которая выражает основные свойства плоскости в пространстве:

С1А С2 С3

• Оформить записи в тетради.

1. Эти аксиомы выражают интуитивно ясные свойства плоскостей, их связь с двумя другими ясными фигурами стереометрии – с прямыми и точками.

2. Вывод: система аксиом стереометрии состоит из аксиом планиметрии и группы С.

3. Доказательство теоремы 1.1.

4. Изложение доказательства теоремы 1.1 одним или двумя учащимися.

5. Анализ теоремы 1.1 по вопросам:

1. существенно ли в условии теоремы, что точка не лежит на прямой?

Б)какое утверждение теоремы становиться неверным, если точка лежит на прямой?

(Утверждение о единственности плоскости. Утверждение о существовании остаётся оправданным.)

1. Обосновать на примерах необходимость введения основ стереометрии, дать историческую справку.

2. Применение в физике и технике, профессии.

1. Закрепление изученного материала.

• Письменно: № 3, № 1, № 2.

1. Докажите, что через любую точку можно провести плоскость.

2. Докажите, что через любую прямую можно провести по крайней мере две различные плоскости.

3. № 6.

Уточнить: слова «точки не лежат в одной плоскости» означают именно, что через эти точки нельзя провести плоскость, ни одной плоскости.

1. Подведение итогов занятия и задание на дом.

Устный фронтальный опрос:

1. Что такое стереометрия?

2. Какие основные фигуры стереометрии вы знаете?

3. Сформулируйте аксиомы планиметрии.

4. Сформулируйте аксиомы стереометрии.

5. Какие аксиомы используются при доказательстве теоремы о точке и прямой?

6. Приведите примеры из физики и техники.

Контрольные вопросы 1 – 3, п. 1 – 2 к § 15 (§ 1); задачи № 4, № 7.

Источник: https://intolimp.org/publication/konspiekt-uroka-po-matiematikie-vzaimnoie-raspolozhieniie-dvukh-priamykh-v-prost.html

Взаимное расположение прямых в пространстве

Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:

– прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;

– прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

– прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

– прямые совпадают.

Получим признаки этих случаев взаимного расположения прямых, заданных каноническими уравнениями

где — точки, принадлежащие прямым и соответственно, a — направляющие векторы (рис.4.34). Обозначим через вектор, соединяющий заданные точки.

• Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямых и соответствуют следующие признаки:
• – прямые и скрещивающиеся векторы не компланарны;
• – прямые и пересекаются векторы компланарны, а векторы не коллинеарны;
• – прямые и параллельные векторы коллинеарны, а векторы не коллинеарны;
• – прямые и совпадают векторы коллинеарны.
• Эти условия можно записать, используя свойства смешанного и векторного произведений. Напомним, что смешанное произведение векторов в правой прямоугольной системе координат находится по формуле:

Равенство нулю смешанного произведения векторов является необходимым и достаточным условием их компланарности. Поэтому:

– прямые и скрещивающиеся определитель отличен от нуля;

– прямые и пересекаются определитель равен нулю, а вторая и третья его строки не пропорциональны, т.е.

– прямые и параллельные вторая и третья строки определителя пропорциональны, т.е. а первые две строки не пропорциональны, т.е.

– прямые и совпадают все строки определителя пропорциональны, т.е.

Расстояние между параллельными прямыми

Найдем расстояние между параллельными прямыми, заданными каноническими уравнениями (рис.4.35)

где — произвольные точки на прямых и соответственно, а координаты направляющих векторов прямых пропорциональны:

Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторах и , и может быть найдено по формуле (4.35).

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Напомним, что расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра, т.е. кратчайшее расстояние между точками этих прямых.

Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми, заданными каноническими уравнениями

где — произвольные точки на прямых и соответственно.

Искомое расстояние равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах (рис.4.36), т.е.

(4.38)

где

— смешанное и векторное произведения векторов. Как показано выше, прямые и скрещивающиеся тогда и только тогда, когда векторы некомпланарные, т.е.

Отсюда следует, что вторая и третья строки не пропорциональны. Поэтому векторы неколлинеарные, т.е. и знаменатель в правой части (4.38) отличен от нуля.

Угол между прямыми

Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Поэтому величина острого угла между прямыми

вычисляется по формуле

(4.39)

Пример 4.16. Найти расстояние между прямой, проходящей через точки , и осью абсцисс. Найти величину острого угла между этими прямыми.

Решение. Каноническое уравнение оси абсцисс имеет вид так как ось проходит через точку а — ее направляющий вектор. Каноническое уравнение прямой получено в примере 4.15,»а»:

Полагая по формуле (4.38) получаем:

Острый угол находим по формуле (4.39):

Взаимное расположение прямой и плоскости

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости:

– прямая и плоскость пересекаются, т.е. имеют одну общую точку;

– прямая и плоскость параллельны, т.е. не имеют общих точек;

– прямая лежит в плоскости, т.е. все точки прямой принадлежат плоскости.

Получим признаки для всех этих случаев. Пусть прямая и плоскость заданы уравнениями:

т.е. прямая проходит через точку коллинеарно вектору а плоскость перпендикулярна вектору

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямой и плоскости соответствуют следующие признаки:

– прямая и плоскость пересекаются векторы и не ортогональны (рис.4.37,а);

– прямая и плоскость параллельны векторы и ортогональны, а точка не принадлежит плоскости (рис.4.37,б);

– прямая лежит в плоскости векторы и ортогональны, а точка принадлежит плоскости (рис.4.37,в).

1. Учитывая свойство скалярного произведения векторов получаем:
2. – прямая и плоскость пересекаются ;
3. – прямая и плоскость параллельны
4. – прямая лежит в плоскости

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость (рис.4.38). Из двух смежных углов и , как правило, выбирают меньший. Если прямая перпендикулярна плоскости (ее ортогональная проекция на плоскость является точкой), то угол считается равным . Если обозначить и углы, образованные наклонной с перпендикуляром к плоскости, то

Поскольку угол (или ) равен углу между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости , то . Записывая скалярное произведение через координаты множителей, получаем формулу вычисления угла между прямой и плоскостью:

(4.40)

Отсюда, например, следует полученное ранее необходимое условие параллельности прямой и плоскости.

Источник: http://MathHelpPlanet.com/static.php?p=vzaimnoe-raspolozhenie-pryamyh-v-prostranstve

План-конспект урока по геометрии (10 класс) по теме: Взаимное расположение прямых в пространстве | Социальная сеть работников образования

• Взаимное расположение прямых в пространстве
• Цели урока:
• обучающие:

• рассмотреть возможные случаи взаимного расположения прямых в пространстве;
• формировать навык чтения и построения чертежей, пространственных конфигураций, пространственных фигур к задачам.

развивающие:

• развивать пространственное воображение учащихся при решении геометрических задач, геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, память, внимание;
• вырабатывать самостоятельность в освоении новых знаний.

воспитательные:

• воспитывать у учащихся ответственное отношение к учебному труду, волевые качества;
• формировать эмоциональную культуру и культуру общения,
• развивать чувство патриотизма, любви к родному городу.

Методы обучения:

• словесный,
• наглядный,
• деятельностный

Формы обучения:

• коллективная,
• индивидуальная

Средства обучения:(в том числе технические средства обучения)

• компьютер,
• мультимедийный проектор,
• экран,
• принтер,
• печатные средства (раздаточный материал),
• кроссворд.

1. Содержание урока:
2. Вступительное слово учителя.
3. Применяя изученные знания из курса планиметрии о взаимном расположении прямых на плоскости, попытаемся решить вопрос о взаимном расположении прямых в пространстве.
4. Урок помогли подготовить учащиеся Скотникова Ольга и Штефан Юлия, которые методом самостоятельного поиска фотографий с достопримечательностями города Хабаровска рассмотрели различные варианты взаимного расположения прямых в пространстве.
5. Они не только сумели рассмотреть различные варианты взаимного расположения прямых в пространстве, но и выполнили творческую работу — создали мультимедийную презентацию .
6. Презентации творческих отчетов с кратким пояснением и исторической справкой достопримечательностей нашего города:
7. К 150-летнему юбилею нашего города постарались мастера света и на набережной устроили великолепное лазерное шоу. Слайд№2

Внимание многочисленных гостей Хабаровска привлекает монументальный памятник, установленный на Комсомольской площади. Двадцатидвухметровый монумент увековечил память о героическом подвиге дальневосточных красногвардейцев и партизан, навсегда освободивших край от белогвардейцев и иностранных интервентов. Памятник был открыт в октябре 1956г. Слайд№3

Железнодорожный вокзал Хабаровска был построен в 1929 г. и в те годы считался одним из самых больших и красивых вокзалов Дальнего Востока. В настоящее время вокзал реконструирован, полностью изменен его интерьер и он снова приобрел облик русского вокзала 20 века.Слайд№4

Вывод по слайдам №3№4 . Слайд№5

Источник: https://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2014/01/06/vzaimnoe-raspolozhenie-pryamykh-v-prostranstve

Тест по геометрии на тему «Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми»

ГБПОУ города Москвы «Спортивно-педагогический колледж»

Департамент спорта и туризма города Москвы

преподаватель математики, информатики и ИКТ: Макеева Е.С.

Тест «Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми»

Вариант 1

А1. В тетраэдре АВСD укажите прямую, скрещивающуюся с прямой АВ.

• BD
• CD
• AD
• AC

А2. В кубе ABCDA1B1C1D1 в плоскости ABCD найдите прямые, параллельные прямой А1В1.

1. АВ и СD
2. AB и C1D1
3. CD и AC
4. AC и AB
5. А3. В кубе ABCDA1B1C1D1найдите угол между скрещивающимися прямыми АА1 и BD
6. 45°
7. 60°
8. 30°
9. 90°

B1. Прямые ОВ и СD параллельные, а ОА и СD – скрещивающиеся прямые. Найдите угол между прямыми ОА и CD , если угол АОВ = 138°.

Ответ:_______________________________________________________________________________________________________________________

В2. Даны параллелограмм АВСD и трапеция АВЕК с основанием ЕК, не лежащим в одной плоскости. Выясните взаимное расположение прямых CD и ЕК. Найдите периметр трапеции, если в неё можно вписать окружность и CD = 22см и ЕК = 16 см.

Ответ:_______________________________________________________________________________________________________________________

С1. В кубе ABCDA1B1C1D1 на ребре DD1 выбрана точка Е так, что DE : ED1 = 1 : 2. Вычислите косинус угла между прямыми АЕ и СЕ

• Ответ:_______________________________________________________________________________________________________________________
• Тест «Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми»
• Вариант 2

А1. В тетраэдре АВСD укажите прямую, скрещивающуюся с прямой АВ.

1. AC
2. BD
3. BC
4. AB

А2. В кубе ABCDA1B1C1D1 в плоскости ABCD найдите прямые, параллельные прямой B1C1.

• AD и B1C1
• CD и BC
• BC и AC
• AD и BC
• А3. В кубе ABCDA1B1C1D1найдите угол между скрещивающимися прямыми BB1 и AC
• 30°
• 90°
• 45°
• 60°

B1. Прямые ОВ и СD параллельные, а ОА и СD – скрещивающиеся прямые. Найдите угол между прямыми ОА и CD , если угол АОВ = 156°.

Ответ:_________________________________________________________________________________________________________________

В2. Даны параллелограмм MNPK и трапеция MNLT с основанием LT, не лежащим в одной плоскости. Выясните взаимное расположение прямых PK и LT. Найдите периметр трапеции, если в неё можно вписать окружность и PK = 18см и LT = 24см.

Ответ:_________________________________________________________________________________________________________________

С1. В кубе ABCDA1B1C1D1 на ребре DD1 выбрана точка Е так, что DE : ED1 = 1 : 3. Вычислите косинус угла между прямыми АЕ и СE

Ответ:____________________________________________________________________________________________________________

Ключ тесту «Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми»

№ варианта	А1	А2	А3	В1	В2	С1
1	2	1	4	42	параллельны; 76 см	1/10
2	3	4	2	24	параллельны; 84 см	1/17

Источник: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/test_po_geometrii_na_temu_vzaimnoe_raspolozhenie_pr_003022.html