Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла — справочник студента

Рассмотрим постановку задачи о площади криволинейной трапеции.

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями (рис. 1).

.

Рис. 1. Площадь криволинейной трапеции

• Как мы пытались ее решить:
• Первый способ.
• Разбили отрезок на  одинаковых отрезков, заменили искомую площадь площадью поступенчастой линии, легко ее сосчитали и получили приближенное решение нашей задачи. Далее устремили  в пределе и

получили искомую площадь S. Ввели обозначение .

Это определенный интеграл. Вот таким образом мы пытались решить задачу. Мы знаем теперь, как приближенно ее решить, знаем обозначения для точного решения, но точного решения еще не знаем.

Затем мы получили точное решение задачи следующим образом: рис. 2:

Рис. 2. Функция S (x)

Каждому  соответствует единственное значение .

Методику нахождения площади рассмотрим сначала на относительно простом примере.

Пример 1.

Решение.

Вот искомая площадь:

Рис. 3. Площадь

Вот формула:

Это общая формула. Конкретно к нашему случаю она применима так:

1. =.
2. Вычислили площадь криволинейной фигуры.
3. Ответ:
4. В следующей задаче площадь искомой фигуры образовывается с помощью  А именно:
5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
6. Решение.

Посмотрим, как выглядит фигура (рис. 4).

Рис. 4. Фигура, ограниченная линиями

• Формула та же самая:
• В нашем случае . Итак, надо найти определенный интеграл
• =-(-1)+1=1+1=2.
• Искомая площадь найдена, и ответ получен.
• Ответ: 2
• Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
• Решение.

Рис. 5. Площадь фигуры, ограниченной линиями

1. Формула для площади та же самая:
2. В нашем случае .
3. Ответ:
4. В следующем примере ищется площадь под параболой.
5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
6. Решение.
7. Схематически изобразим параболу  Корни

Рис. 6. Парабола

• Применим известную формулу
• И применим ее для данной функции  и пределов интегрирования
• Искомая площадь найдена.
• Ответ:

В предыдущих задачах площадь образовывалась с помощью разных кривых, но эта площадь находилась над осью . В следующей задаче наоборот.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

Решение.

Посмотрим, что это за фигура. График в пределах от Π до 2Π расположен под осью Ox (рис. 7).

Рис. 7. График в пределах от Π до 2Π

1. Ясно, что если возьмем определенный интеграл, то мы получим отрицательное число.
2. Вычисляем.
3. 1. Сначала вычисляем определенный интеграл от π до 2π от подынтегральной функции
4. Надо найти первообразную.
5. По таблице первообразных: .
6. =-1-1=-2.

2. Для того чтобы найти площадь, надо взять модуль =2.

• Ответ: 2.
• Следующее усложнение – искомая площадь расположена между двумя кривыми.
• А именно:
• Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (рис. 8)

Рис. 8. Площадь фигуры, ограниченной линиями

1. Решение.
2. Итак, площадь образуют 2 кривые, одна из них может находиться под осью .
3. Каким образом мы будем решать эту задачу?

Во-первых, мы можем сдвинуть фигуру на такое положительное , что площадь находится над осью . Рис. 9.

Рис. 9. Сдвиг фигуры

Затем мы возьмем соответствующий определенный интеграл и найдем площадь. Искомая площадь равна разности двух площадей.

• Площадь под верхней кривой  минус площадь под нижней кривой .
• Каждую из площадей мы умеем находить.
• Таким образом, в общем виде была поставлена задача, в общем виде получен ответ.
• Ответ:
• Обсудим и постановку задачи, и полученный важный результат.
• Нам надо было найти площадь фигуры, ограниченной линиями
•  .
• Мы использовали известный прием: эту площадь подняли на некоторое , и это  Так вот, эту площадь теперь можно считать без введения . Правило следующее:
• Площадь фигуры, ограниченной прямыми линиями  непрерывных на отрезке  и таких, что для всех  из отрезка  вычисляется по формуле, которую мы вывели:
• Рассмотрим первый конкретный пример на нахождение площади между двумя линиями.
• Найти площадь фигуры, ограниченную линиями
•  .

Решение. Для начала построим графики этих линий и поймем, где та площадь, которую нам надо искать.

График квадратичной функции – парабола. Корни – 0, 4, ветви вниз. График

 – биссектриса первого координатного угла. Вот площадь, которую надо найти:

Рис. 10. Искомая площадь

Но для этого сначала надо найти точки пересечения и решить стандартную задачу.

1. Находим точки пересечения. Для этого решаем систему: .

1. Отсюда получаем квадратное уравнение относительно :

Мы нашли , то есть, пределы интегрирования. Это первое важное действие.

• Теперь стандартное действие:
• 2. =  =()
• Искомая площадь равна 4,5
• Ответ: 4,5
• Во втором примере часть площади находится под осью , но на методику это не влияет.
• Пример 6.
• Итак, требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями
• Решение.

Сначала построим графики, посмотрим, какую площадь нам нужно найти. Рис. 11.

Первая функция – парабола, ветви вниз. График второй функции – прямая линия.

Есть две точки пересечения, их придется найти, а именно взять пределы интегрирования, и тогда будем решать задачу по знакомому нам плану.

Рис. 11. Площадь фигуры, ограниченной линиями

1. Первое действие – найти пределы интегрирования и второе – найти площадь.
2. Пределы интегрирования найдем из системы.
3. То есть, пределы интегрирования найдены.
4. = ()
5. Ответ:
6. Итак, мы показали, каким образом можно вычислять площади плоских фигур с помощью определенного интеграла.
7. Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , ,
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1030, 1033, 1037, 1038.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/11-klass/integralb/vychislenie-ploschadey-ploskih-figur-s-pomoschyu-opredelyonnogo-integrala

Двойные интегралы, примеры решений

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?! Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Двойной интеграл от функции двух переменных по области G обозначается

   

Для вычисления двойного интеграла, его нужно свести к повторному интегралу. Возможны два случая. Пусть область интегрирования – элементарна относительно оси (рис. 1). Тогда двойной интеграл по области выражается через повторные по формуле:

•    
• Если же область интегрирования – элементарна относительно оси (рис. 2), то двойной интеграл по области выражается через повторные следующим образом:
•    

При решении задач иногда полезно разбить исходную область интегрирования на две или более областей и вычислять двойной интеграл в каждой области отдельно.

Примеры

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Источник: http://ru.solverbook.com/primery-reshenij/primery-resheniya-dvojnyx-integralov/

Калькулятор онлайн.Вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции)

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции). Программа для вычисления определенного интеграла (площади криволинейной трапеции) не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс интегрирования функции.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.

А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

• Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
• Вы можете посмотреть теорию о определенном интеграле.
• Примеры подробного решения >>

Введите подинтегральную функцию и пределы интегрирования Вычислить Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать. Возможно у вас включен AdBlock.

В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь. Через несколько секунд решение появится ниже.

Пожалуйста подождите  сек…

Наши игры, головоломки, эмуляторы: Игра «iChart»Создание островаЭмуляторгравитацииГоловоломка «SumWaves»

Задача 1 (о вычислении площади криволинейной трапеции).

В декартовой прямоугольной системе координат xOy дана фигура (см. рисунок), ограниченная осью х, прямыми х = a, х = b (a < b) и графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b] функции y = f(x); назовем эту фигуру криволинейной трапецией.

Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции. Решение. Геометрия дает нам рецепты для вычисления площадей многоугольников и некоторых частей круга (сектора, сегмента).

Используя геометрические соображения, мы сумеем найти лишь приближенное значение искомой площади, рассуждая следующим образом.

Разобьем отрезок [а; b] (основание криволинейной трапеции) на n равных частей; это разбиение осуществим с помощью точек x1, x2, … xk, … xn-1. Проведем через эти точки прямые, параллельные оси у. Тогда заданная криволинейная трапеция разобьется на n частей, на n узеньких столбиков. Площадь всей трапеции равна сумме площадей столбиков.

Рассмотрим отдельно k-ый столбик, т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок [xk; xk+1]. Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(xk) (см. рисунок).

Площадь прямоугольника равна ( f(x_k) cdot Delta x_k ), где ( Delta x_k ) — длина отрезка [xk; xk+1]; естественно считать составленное произведение приближенным значением площади k-го столбика.

Если теперь сделать то же самое со всеми остальными столбиками, то придем к следующему результату: площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна площади Sn ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников (см. рисунок): ( S_n = f(x_0)Delta x_0 + dots + f(x_k)Delta x_k + dots + f(x_{n-1})Delta x_{n-1} )

Здесь ради единообразия обозначений мы считаем, что a = х0, b = xn; ( Delta x_0 ) — длина отрезка [x0; x1], ( Delta x_1 ) — длина отрезка [x1; x2], и т.д; при этом, как мы условились выше, ( Delta x_0 = dots = Delta x_{n-1} )

Итак, ( S approx S_n ), причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n. По определению полагают, что искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности (Sn): $$ S = lim_{n o infty} S_n $$

Задача 2 (о перемещении точки) По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v = v(t). Найти перемещение точки за промежуток времени [а; b].

Решение. Если бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: s = vt, т.е. s = v(b-а). Для неравномерного движения приходится использовать те же идеи, на которых было основано решение предыдущей задачи.

1) Разделим промежуток времени [а; b] на n равных частей.

2) Рассмотрим промежуток времени [tk; tk+1] и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, такой, как в момент времени tk. Итак, мы считаем, что v = v(tk).

3) Найдем приближенное значение перемещения точки за промежуток времени [tk; tk+1], это приближенное значение обозначим sk ( s_k = v(t_k) Delta t_k ) 4) Найдем приближенное значение перемещения s: ( s approx S_n ) где ( S_n = s_0 + dots + s_{n-1} = v(t_0)Delta t_0 + dots + v(t_{n-1}) Delta t_{n-1} )

5) Искомое перемещение равно пределу последовательности (Sn):

$$ s = lim_{n o infty} S_n $$

Подведем итоги. Решения различных задач свелись к одной и той же математической модели. Многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, данную математическую модель надо специально изучить.

1. Дадим математическое описание той модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для функции y = f(x), непрерывной (но необязательно неотрицательной, как это предполагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [а; b]: 1) разбиваем отрезок [а; b] на n равных частей; 2) составляем сумму $$ S_n = f(x_0)Delta x_0 + f(x_1)Delta x_1 + dots + f(x_{n-1})Delta x_{n-1} $$
2. 3) вычисляем $$ lim_{n o infty} S_n $$
3. В курсе математического анализа доказано, что этот предел в случае непрерывной (или кусочно-непрерывной) функции существует. Его называют определенным интегралом от функции y = f(x) по отрезку [а; b] и обозначают так: ( intlimits_a^b f(x) dx )
4. Числа a и b называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним).
5. Вернемся к рассмотренным выше задачам. Определение площади, данное в задаче 1, теперь можно переписать следующим образом: ( S = intlimits_a^b f(x) dx )

здесь S — площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке выше. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Определение перемещения s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = a до t = b, данное в задаче 2, можно переписать так: ( S = intlimits_a^b v(t) dt )

• Для начала ответим на вопрос: какая связь между определенным интегралом и первообразной?
• Ответ можно найти в задаче 2. С одной стороны, перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = а до t = b и вычисляется по формуле ( S = intlimits_a^b v(t) dt )
• С другой стороны, координата движущейся точки есть первообразная для скорости — обозначим ее s(t); значит, перемещение s выражается формулой s = s(b) — s(a). В итоге получаем: ( S = intlimits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) )
• где s(t) — первообразная для v(t).

В курсе математического анализа доказана следующая теорема. Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то справедлива формула ( S = intlimits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) )

1. где F(x) — первообразная для f(x).
2. Приведенную формулу обычно называют формулой Ньютона — Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643—1727) и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646— 1716), получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно.

На практике вместо записи F(b) — F(a) используют запись ( left. F(x)
ight|_a^b ) (ее называют иногда двойной подстановкой) и, соответственно, переписывают формулу Ньютона — Лейбница в таком виде: ( S = intlimits_a^b f(x) dx = left. F(x)
ight|_a^b )

• Вычисляя определенный интеграл, сначала находят первообразную, а затем осуществляют двойную подстановку.
• Опираясь на формулу Ньютона — Лейбница, можно получить два свойства определенного интеграла.
• Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов: ( intlimits_a^b (f(x) + g(x))dx = intlimits_a^b f(x)dx + intlimits_a^b g(x)dx )
• Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: ( intlimits_a^b kf(x)dx = k intlimits_a^b f(x)dx )

С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций, но и плоских фигур более сложного вида, например такого, который представлен на рисунке.

Фигура Р ограничена прямыми х = а, х = b и графиками непрерывных функций y = f(x), y = g(x), причем на отрезке [а; b] выполняется неравенство ( g(x) leq f(x) ).

Чтобы вычислить площадь S такой фигуры, будем действовать следующим образом: ( S = S_{ABCD} = S_{aDCb} — S_{aABb} = intlimits_a^b f(x) dx — intlimits_a^b g(x) dx = )

( = intlimits_a^b (f(x)-g(x))dx )

Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и графиками функций y = f(x), y = g(x), непрерывных на отрезке [a; b] и таких, что для любого x из отрезка [а; b] выполняется неравенство ( g(x) leq f(x) ), вычисляется по формуле ( S = intlimits_a^b (f(x)-g(x))dx )

$$ int 0 cdot dx = C $$ $$ int 1 cdot dx = x+C $$ $$ int x^n dx = frac{x^{n+1}}{n+1} +C ;; (n
eq -1) $$ $$ int frac{1}{x} dx = ln |x| +C $$ $$ int e^x dx = e^x +C $$ $$ int a^x dx = frac{a^x}{ln a} +C ;; (a>0, ;; a
eq 1) $$ $$ int cos x dx = sin x +C $$ $$ int sin x dx = -cos x +C $$ $$ int frac{dx}{cos^2 x} = ext{tg} x +C $$ $$ int frac{dx}{sin^2 x} = — ext{ctg} x +C $$ $$ int frac{dx}{sqrt{1-x^2}} = ext{arcsin} x +C $$ $$ int frac{dx}{1+x^2} = ext{arctg} x +C $$ $$ int ext{ch} x dx = ext{sh} x +C $$ $$ int ext{sh} x dx = ext{ch} x +C $$

Источник: https://www.math-solution.ru/math-task/definite-integral

Методические материалы к ПР Вычисление двойных интегралов

Практическая работа №19

Тема: «Вычисление двойных интегралов»

1. Формируемые профессиональные и общие компетенции:

• ОК 1: Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
• ОК 2: Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
• ОК 3: Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
• ОК 4: Осуществлять поиск информации, для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного роста.
• ОК 5: Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
• ОК 8: Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации

ПК 1.1. Выполнять разработку спецификаций отдельных компонент.

1. Знания: понятие функции двух переменных, предел функции двух переменных, определенный интеграл и его свойства, таблица неопределенных интегралов, свойства двойных интегралов, двукратный интеграл;

Умения: Находить двойные интегралы сведением его к повторному (двукратному) интегралу.

1. Методические рекомендации:

Понятие двойного интеграла.

Пусть в некоторой области D плоскости xOy задана непрерывная функция z=(х, у) (рис.1).

Рис.1

Разобьем область D произвольным образом на n элементарных областей с площадями ∆S1, ∆S2, ∆S3, …∆Sn и в каждой из них произвольно выберем по одной точке Mi(xi,yi).

Умножим значение функции в этой точке f(xi,yi) на площадь ∆Si соответствующей области и составим сумму этих произведений, т. е. , которая называется интегральной суммойфункции (х, у) в областиD.

Двойным интегралом функцииf(x, у) по областиD называется предел этой суммы:

где d – наибольший из диаметров элементарных областей ∆Si . Функция z=(х, у), для которой предел (1) существует и конечен, называется интегрируемой в этой области.

В прямоугольных координатах дифференциал площади равен dS = dxdy, тогда двойной интеграл примет вид

Еслиf(x,y)>0, то двойной интеграл функцииz= f(x, у) по областиDравен объему тела, ограниченного сверху поверхностьюz=f(x,y), сбоку цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны осиOz, а направляющей служит контур фигурыD, и снизу плоскостью z=0 (рис.1).

1. Основные свойства двойного интеграла.
2. 1°. Двойной интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме двойных интегралов от слагаемых функций:
3. 2°. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:

3°. Область интегрирования двойного интеграла можно разбить на части, т. е. если область Dсостоит из двух областей D1 и D2, то

Понятие повторного (двукратного) интеграла.

1) Если областьD, в которой рассматривается двойной интеграл , есть прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям и заданными уравнениями х=а, x=b (, у = с, y=d (рис. 2), то двойной интеграл вычисляется по одной из формул

Рис.2

переменной y.

Если нижняя или верхняя линии границы состоят из нескольких участков, имеющих различные уравнения, то область D необходимо разбить прямыми, параллельными оси Оу, на такие части, чтобы каждый из участков выражался одним уравнением. В этом случае вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух (и более) повторных интегралов.

• Пример 1.
• Вычислить двойной интеграл по области D , ограниченной линиями y=x, y=4x, y= .
• Решение:
• Находим точки пересечения этих линий (рис.5):

1. Рис.5
2. Область Dразобьем на две области D1 и D2, которые соответственно определяются системами неравенств
3. Вычислим двойной интеграл по области D1:
4. Вычислим двойной интеграл по областиD2:
5. Значит,
6. Используемая литература:

Конспект лекций по высшей математике: полный курс/- Д.Т.Письменный – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009.-608с.

• Практическая работа №19
• Дисциплина: «Элементы высшей математики» 2 курс 3 семестр
• Тема: «Вычисление двойных интегралов»
• Вычислить двойные интегралы

ВАРИАНТ 1

1. ВАРИАНТ 2
2. 1)
3. если D – треугольник, ограниченный прямыми x=0, y=0, x+y=1
4. 1)
5. еслиD – прямоугольник 0≤x≤1, 1≤y≤3
6. 2)
7. если D – область, ограниченная линиями , x=3, y=0
8. 2)
9. если D – область, ограниченная линиями , y=x, x=4
10. ВАРИАНТ 3
11. ВАРИАНТ 4
12. 1)
13. если D – область, ограниченная линиями , y=1
14. 1)
15. если D – прямоугольник
16. 2)
17. если D – область, ограниченная линиями , y= x=1
18. 2)
19. если D – треугольник, ограниченный прямыми x=0, y=0, x+y=3
20. ОТВЕТЫ.
21. Вариант 1.
22. Вариант 2.
23. Вариант 3.
24. Вариант 4.

Источник: https://infourok.ru/metodicheskie-materiali-k-pr-vichislenie-dvoynih-integralov-2965111.html

Вычисление площади поверхности

Пример 1

Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая поверхность $sigma $, однозначно проектирующаяся в область $mathbf { extit { D } } $ на плоскости $mathbf { extit { Оху } } $. Пусть эта поверхность задаётся уравнением $sigma :;z=f(x,y),;(x,y)in D$. Тогда площадь этой поверхности выражается формулой

$ s(sigma )=iintlimits_D { sqrt { 1+left( { frac { partial f } { partial x } }
ight)^2+left( { frac { partial f } { partial y } }
ight)^2 } dxdy } . $

Мы докажем эту формулу позже, когда будем изучать поверхностные интегралы.

Сейчас рассмотрим пример: найти площадь лепестков, вырезаемых цилиндром $mathbf { extit { x } } ^ { 2 } +mathbf { extit { y } } ^ { 2 } $ = 2$mathbf { extit { ax } } $ из сферы $mathbf { extit { x } } ^ { 2 } +mathbf { extit { y } } ^ { 2 } +mathbf { extit { z } } ^ { 2 } $ = 4$mathbf { extit { a } } ^ { 2 } $ .

Решение:

На рисунке изображён верхний из этих лепестков.

Уравнение поверхности $z=sqrt { 4a^2-x^2-y^2 } ,$ вычисляем производные $frac { partial z } { partial x } =-frac { x } { sqrt { 4a^2-x^2-y^2 } } , quad frac { partial z } { partial y } =-frac { y } { sqrt { 4a^2-x^2-y^2 } } ,$ и $s(sigma )=iintlimits_D { sqrt { 1+frac { x^2+y^2 } { 4a^2-x^2-y^2 } dxdy } } =2aiintlimits_D { frac { dxdy } { sqrt { 4a^2-x^2-y^2 } } } $.

Область $mathbf { extit { D } } $ — сдвинутый на $mathbf { extit { а } } $ единиц по оси $mathbf { extit { Ох } } $ круг, поэтому вычисляем в полярных координатах, учитывая симметрию поверхности относительно плоскостей $mathbf { extit { Оху } } $ и $mathbf { extit { Охz } } $:

$s(sigma )=4cdot 2aiintlimits_ { D_ { r,varphi } } { frac { rdrdvarphi } { sqrt { 4a^2-r^2 } } } =8aintlimits_0^ { pi /2 } { dvarphi intlimits_0^ { 2acos varphi } { left( { 4a^2-r^2 }
ight)^ { -1/2 } rdr } } =-8aintlimits_0^ { pi /2 } { dvarphi left.

{ left( { 4a^2-r^2 }
ight)^ { 1/2 } }
ight|_0^ { 2acos varphi } } = \ =8aintlimits_0^ { pi /2 } { left[ { 2a-2asqrt { 1-cos ^2varphi } }
ight]dvarphi } =16a^2left. { left( { varphi +cos varphi }
ight) }
ight|_0^ { pi /2 } =16a^2left( { pi /2-1 }
ight)$.

• Пример 2
• Вычислить площадь cферы радиуса (a.)
• Решение:

Рассмотрим верхнюю полусферу. Ее уравнение имеет вид $ { { x^2 } + { y^2 } + { z^2 } = { a^2 } } ;; { ext { или } ;;z = sqrt { { a^2 } — { x^2 } — { y^2 } } . } $

Очевидно, область интегрирования (R) представляет собой круг с таким же радиусом (a,) расположенный в центре координат. Площадь полусферы вычисляется по формуле $ { S_ { largefrac { 1 } { 2 }
ormalsize } } = iintlimits_R { sqrt { 1 + { { left( { frac { { partial z } } { { partial x } } }
ight) } ^2 } + { { left( { frac { { partial z } } { { partial y } } }
ight) } ^2 } } dxdy } .$

Найдем частные производные.

$ { frac { { partial z } } { { partial x } } } = { frac { partial } { { partial x } } sqrt { { a^2 } — { x^2 } — { y^2 } } } = { frac { { — { 2 } x } } { { { 2 } sqrt { { a^2 } — { x^2 } — { y^2 } } } } } = { — frac { x } { z } , } $ $ { frac { { partial z } } { { partial y } } } = { frac { partial } { { partial y } } sqrt { { a^2 } — { x^2 } — { y^2 } } } = { frac { { — { 2 } y } } { { { 2 } sqrt { { a^2 } — { x^2 } — { y^2 } } } } } = { — frac { y } { z } . } $

Подставляя найденные производные, получаем $ { { S_ { largefrac { 1 } { 2 }
ormalsize } } = iintlimits_R { sqrt { 1 + { { left( { frac { { partial z } } { { partial x } } }
ight) } ^2 } + { { left( { frac { { partial z } } { { partial y } } }
ight) } ^2 } } dxdy } } = { iintlimits_R { sqrt { 1 + frac { { { x^2 } } } { { { z^2 } } } + frac { { { y^2 } } } { { { z^2 } } } } dxdy } } = { iintlimits_R { sqrt { frac { { { z^2 } + { x^2 } + { y^2 } } } { { { z^2 } } } } dxdy } } = { iintlimits_R { frac { a } { z } dxdy } . } $

Преобразуем двойной интеграл в полярные координаты.

$ { { S_ { largefrac { 1 } { 2 }
ormalsize } } = iintlimits_R { frac { a } { z } dxdy } } = { intlimits_0^ { 2pi } { intlimits_0^a { frac { a } { { sqrt { { a^2 } — { r^2 } } } } rdrd heta } } } = { aintlimits_0^ { 2pi } { d heta } intlimits_0^a { frac { { rdr } } { { sqrt { { a^2 } — { r^2 } } } } } } = { — 2pi aintlimits_0^a { frac { { dleft( { { a^2 } — { r^2 } }
ight) } } { { 2sqrt { { a^2 } — { r^2 } } } } } } = { — 2pi aleft. { left( { sqrt { { a^2 } — { r^2 } } }
ight) }
ight|_ { r = 0 } ^a } = { — 2pi aleft( { 0 — a }
ight) = 2pi { a^2 } . } $

Площадь поверхности полной сферы, соответственно, равна $S = 2 { S_ { largefrac { 1 } { 2 }
ormalsize } } = 4pi { a^2 } .$

Далее:

Класс M. Теорема о замкнутости класса M

Односторонние и двусторонние поверхности. Ориентация поверхности

Скалярное поле, производная по направлению, градиент

Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Примеры

Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода

Упрощение логических функций

Поток векторного поля через поверхность

Теорема о полныx системаx в Pk

Класс $T_0$. Теорема о замкнутости класса $T_0$

Дифференциальные характеристики векторного поля

Гармонические поля

Механические и физические приложения поверхностного интеграла первого рода

Вычисление площадей плоских областей

Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл

Класс $L$. Теорема о замкнyтости класса $L$

Огравление $Rightarrow $

Источник: https://3dstroyproekt.ru/dvojnoj-integral/vychislenie-ploshhadi-poverhnosti

Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла
Рубрика (тематическая категория)	Технические дисциплины
Articles-ads

Если везде в сфере D на координатнои̌ плоскости xOy формулы I=iint limits _{D}fleft(x,y
ight)cdot dxcdot dy положить fleft(x,y
ight)equiv 1 , то, в соответствии со своим геометрическим смыслом, двойнои̌ интеграл будет численно равен площади S области интегрирования D , то есть S=iint limits _{D}dxcdot dy . В полярнои̌ системе координат эта самая формула приобретает вид S=iint limits _{D^{*} }
ho cdot d
ho cdot dphi .

Здесь D_{2} и D_{3} — области, в которые проецируется поверхность Q на координатные плоскости yOz и xOz соответственно.

Применение формул на практике

Задача 1

Замкнутая область D на плоскости определяется пересечением параболы y=2cdot x^{2} -16cdot x+31 с двумя прямыми в точках A и B при x_{A} =3 и x_{B} =6 соответственно. Данные прямые, в свою очередь, пересекаются в заданнои̌ точхе Cleft(5,9
ight) . С помощью двойного интеграла вычислить площадь области D , рассматривая её как правильную в направлении оси Oy .

1. Находим координаты точки Aleft(x_{A} ,y_{A} ight) :

y_{A} =2cdot x_{A}^{2} -16cdot x_{A} +31=2cdot 3^{2} -16cdot 3+31=1 . Получаем Aleft(3,1
ight) .

2. Находим координаты точки Bleft(x_{B} ,y_{B} ight) :

y_{B} =2cdot x_{B}^{2} -16cdot x_{B} +31=2cdot 6^{2} -16cdot 6+31=7 . Получаем Bleft(6,7
ight) .

3. Находим уравнение прямой AC . Она проходит через точки Aleft(3,1
   ight) и Cleft(5,9
   ight) . Её уравнение имеет вид y=a_{1} cdot x+b_{1} . Угловой коэффициент: a_{1} =frac{9-1}{5-3} =4 , смещение b_{1} =1-4cdot 3=-11 . Окончательно y=4cdot x-11 .
4. Находим уравнение прямой CB . Она проходит через точки Cleft(5,9
   ight) и Bleft(6,7
   ight) . Её уравнение имеет вид y=a_{2} cdot x+b_{2} . Угловой коэффициент: a_{2} =frac{7-9}{6-5} =-2 , смещение b_{2} =9-left(-2
   ight)cdot 5=19 . Окончательно y=-2cdot x+19 .
5. Заданная область D правильнои̌ в направлении оси Oy . Нижняя граница области образована параболой. Верхняя граница области состоит ᴎɜ двух участков: прямой AC и прямой CB . По϶тому область D разбиваем на две подобласти (левую D_{1} и правую D_{2} ) вертикальнои̌ прямой, проходящей через точку C .
6. Площади подобластей определяем с помощью двойного интеграла S=iint limits _{D}dxcdot dy . При ϶том двойнои̌ интеграл каждой подобласти будем вычислять с помощью двукратного интеграла S=iint limits _{D}dxcdot dy =int limits _{a}^{b}dxcdot int limits _{phi _{1} left(x
   ight)}^{phi _{2} left(x
   ight)}dy .
7. Находим площадь S_{1} левой подобласти D_{1} , которая слева ограничена прямой x=3 , справа — прямой x=5 , снизу — параболой y=2cdot x^{2} -16cdot x+31 , сверху — прямой AC , уравнение которой y=4cdot x-11 . Исходя из всᴇᴦο выше сказанного, мы приходим к выводу, что a=3 , b=5 , phi _{1} left(x
   ight)=2cdot x^{2} -16cdot x+31 , phi _{2} left(x
   ight)=4cdot x-11 Важно сказать, что для вычисления площади S_{1} левой подобласти D_{1} окончательно получаем интеграл S_{1} =int limits _{3}^{5}dxcdot int limits _{2cdot x^{2} -16cdot x+31}^{4cdot x-11}dy .
8. Сначала вычисляем внутренний интеграл I_{1} , в котором интегрирование выполняется по y , а x считается постояннои̌:

[I_{1} =int limits _{2cdot x^{2} -16cdot x+31}^{4cdot x-11}dy =left[y
ight]_{2cdot x^{2} -16cdot x+31}^{4cdot x-11} =] [=left(4cdot x-11
ight)-left(2cdot x^{2} -16cdot x+31
ight)=-2cdot x^{2} +20cdot x-42.]

9. Теперь полученную функцию от x следует проинтегрировать по x :

[S_{1} =int limits _{3}^{5}I_{1} cdot dx =int limits _{3}^{5}left(-2cdot x^{2} +20cdot x-42
ight)cdot dx =] [=-2cdot int limits _{3}^{5}x^{2} cdot dx +20cdot int limits _{3}^{5}xcdot dx -42cdot int limits _{3}^{5}dx =-2cdot left[frac{x^{3} }{3} ight]_{3}^{5} +20cdot left[frac{x^{2} }{2} ight]_{3}^{5} -42cdot left[x
ight]_{3}^{5} =] [=-2cdot frac{1}{3} cdot left[5^{3} -3^{3} ight]+20cdot frac{1}{2} cdot left[5^{2} -3^{2} ight]-42cdot left[5-3
ight]=] [=-frac{2}{3} cdot 98+10cdot 16-42cdot 2approx 10,667.]

10. Находим площадь S_{2} правой подобласти D_{2} , которая слева ограничена прямой x=5 , справа — прямой x=6 , снизу — параболой y=2cdot x^{2} -16cdot x+31 , сверху — прямой CB , уравнение которой y=-2cdot x+19 . Исходя из всᴇᴦο выше сказанного, мы приходим к выводу, что a=5 , b=6 , phi _{1} left(x
    ight)=2cdot x^{2} -16cdot x+31 , phi _{2} left(x
    ight)=-2cdot x+19 Важно сказать, что для вычисления площади S_{2} правой подобласти D_{2} окончательно получаем интеграл S_{2} =int limits _{5}^{6}dxcdot int limits _{2cdot x^{2} -16cdot x+31}^{-2cdot x+19}dy .
11. Сначала вычисляем внутренний интеграл I_{2} , в котором интегрирование выполняется по y , а x считается постояннои̌:

[I_{2} =int limits _{2cdot x^{2} -16cdot x+31}^{-2cdot x+19}dy =left[y
ight]_{2cdot x^{2} -16cdot x+31}^{-2cdot x+19} =] [=left(-2cdot x+19
ight)-left(2cdot x^{2} -16cdot x+31
ight)=-2cdot x^{2} +14cdot x-12.]

12. Теперь интегрируем по x полученную функцию от x :

[S_{2} =int limits _{5}^{6}I_{2} cdot dx =int limits _{5}^{6}left(-2cdot x^{2} +14cdot x-12
ight)cdot dx =] [=-2cdot frac{1}{3} cdot left[6^{3} -5^{3} ight]+14cdot frac{1}{2} cdot left[6^{2} -5^{2} ight]-12cdot left[6-5
ight]=] [=-frac{2}{3} cdot 91+7cdot 11-12cdot 1approx 4,333.]

13. Площадь области D равна S=S_{1} +S_{2} =10,667+4,333=15 кв.ед.

Задача 2

На горизонтальнои̌ плоскости xOy находится вертикальное цилиндрическое сооружение. Пол сооружения (область D ) имеет вид прямоугольника с вершинами Oleft(0,0
ight) , Mleft(5,0
ight) , Kleft(5,7
ight) и Nleft(0,7
ight) .

Крыша сооружения имеет вид купола и описывается уравнением z=sqrt{left(4cdot x+5
ight)^{3} } +sqrt{left(2cdot y+6
ight)^{3} } . Требуется с помощью двойного интеграла вычислить площадь крыши сооружения.

1. Площадь крыши сооружения вычисляем по формуле S=int limits _{a}^{b}dxcdot int limits _{phi _{1} left(x
   ight)}^{phi _{2} left(x
   ight)}sqrt{1+left(frac{partial z}{partial x} ight)^{2} +left(frac{partial z}{partial y} ight)^{2} } cdot dy . Здесь z=sqrt{left(4cdot x+5
   ight)^{3} } +sqrt{left(2cdot y+6
   ight)^{3} } .
2. Находим частную производную frac{partial z}{partial x} :

[frac{partial z}{partial x} =frac{partial left(sqrt{left(4cdot x+5
ight)^{3} } +sqrt{left(2cdot y+6
ight)^{3} } ight)}{partial x} =frac{partial sqrt{left(4cdot x+5
ight)^{3} } }{partial x} =6cdot sqrt{4cdot x+5} .]

3. Находим частную производную frac{partial z}{partial y} :

[frac{partial z}{partial y} =frac{partial left(sqrt{left(4cdot x+5
ight)^{3} } +sqrt{left(2cdot y+6
ight)^{3} } ight)}{partial y} =frac{partial sqrt{left(2cdot y+6
ight)^{3} } }{partial y} =3cdot sqrt{2cdot y+6} .]

4. Находим подкоренное выражение интеграла:

[W=1+left(frac{partial z}{partial x} ight)^{2} +left(frac{partial z}{partial y} ight)^{2} =144cdot x+18cdot y+235.] [S=int limits _{0}^{5}dx int limits _{0}^{7}sqrt{W} cdot dy =int limits _{0}^{5}dx int limits _{0}^{7}sqrt{144cdot x+18cdot y+235} cdot dy .]

5. Находим внутренний интеграл:

[I=int limits _{0}^{7}sqrt{144cdot x+18cdot y+235} cdot dy =frac{1}{27} cdot left(144cdot x+361
ight)^{frac{3}{2} } -frac{1}{27} cdot left(144cdot x+235
ight)^{frac{3}{2} } .]

6. Находим площадь крыши:

[S=int limits _{0}^{5}Icdot dx =frac{1}{27} cdot int limits _{0}^{5}left(144cdot x+361
ight)^{frac{3}{2} } cdot dx -frac{1}{27} cdot int limits _{0}^{5}left(144cdot x+235
ight)^{frac{3}{2} } cdot dx ;] [I_{1} =int limits _{0}^{5}left(144cdot x+361
ight)^{frac{3}{2} } cdot dx =left[frac{1}{144} cdot frac{left(144cdot x+361
ight)^{frac{5}{2} } }{frac{5}{2} } ight]_{0}^{5} approx 99845,86;] [I_{2} =int limits _{0}^{5}left(144cdot x+235
ight)^{frac{3}{2} } cdot dx =left[frac{1}{144} cdot frac{left(144cdot x+235
ight)^{frac{5}{2} } }{frac{5}{2} } ight]_{0}^{5} approx 75938,31;]

окончательно S=frac{1}{27} cdot left(99845,86-75938,31
ight)approx 885,46 кв.ед.

Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла — понятие и виды. Классификация и особенности категории «Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла»2018-2019.

— Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла

Основные формулыЕсли везде в области $D$ на координатной плоскости $xOy$ для формулы $I=iint limits _{D}fleft(x,y
ight)cdot dxcdot dy $ положить $fleft(x,y
ight)equiv 1$, то, в соответствии со своим геометрическим смыслом, двойной интеграл будет численно равен площади $S$ области интегрирования $D$, то есть $S=iint… [читать далее].

Источник: http://referatwork.ru/info-lections-55/tech/view/924_vychislenie_ploschadi_poverhnosti_s_pomosch_yu_dvoynogo_integrala