Вычисление криволинейного интеграла — справочник студента

• Лекции 9-10
• Криволинейные интегралы.
• Контрольные вопросы.

1. Криволинейный интеграл второго рода и его свойства.

2. Вычисление криволинейного интеграла второго рода.

3. Формула Остроградского-Грина. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.

Криволинейный интеграл 2-го рода.

Рассмотрим ориентированную незамкнутую кривую L = АВ в плоскости хОу с началом в точке А и концом в точке В; z=P(x,y)  функция, определенная на кривой L. Разобьем кривую L последовательными точками

А=А, А1, А2, . . ., Аn=В

на дуги L1= АА1,L2= А1А2, . . . ,Ln= Аn-1Аn и на дуге Li выберем произвольную точку Мi(хi, уi) (i = 1, 2, . . .

, n). Обозначим xi = xixi1 , yi =yi  yi1, а dнаибольшую из длин дугLi (i =1,2,…, n).

Составим интегральную сумму функции P(x,y) по кривой L относительно х

Определение. Предел , если он существует, называется криволинейным интегралом 2-го рода от функции P(x,y) по кривой Lотносительно х и обозначается

1. Рисунок 16
2.  (5)
3. В случае замкнутой кривой L выбирается произвольная точка на кривой, которая принимается за концевые точки А, В,и криволинейный интеграл 2-го рода определяется аналогично случаю незамкнутой кривой.

Теорема (достаточное условие существования интеграла). Если функция P(x,y) непрерывна на кривой L за исключением, быть может, конечного числа точек и ограничена на L, то криволинейный интеграл 2-го рода (5) существует.

• Некоторые свойства криволинейного интеграла 2-го рода. Для криволинейных интегралов 2-го рода выполняются свойства линейности и аддитивности по области, аналогичные свойства 2), 3), 4) криволинейных интегралов первого рода, и свойство антиориентированности
• .
• Это свойство связано с тем, что при изменении направления обхода кривой все приращения xi и, следовательно, интегральная сумма Sxизменяют знак.
• Аналогично определяется криволинейный интеграл 2-го рода от функции Q(x,y) по кривой L относительно у
• , (6)
• где .
• Пусть на ориентированной кривой L определены две функции P(x, y) и Q(x, y). Тогда сумма интегралов (5) и (6) называется общим криволинейным интегралом 2-го рода от функций P(x,y) и Q(x,y) по кривой L и обозначается
• (7)

Физический смысл криволинейного интеграла 2-го рода. Пусть   вектор силы, действующей на материальной точку М(x, y) ориентированной кривой L. Тогда работа, совершаемая силой  при перемещении точки М вдоль ориентированной кривой L,равна

 (8)

Замечание. Криволинейный интеграл 2-го родааналогично определяется и для пространственной ориентированной кривой.

Площадь плоской фигуры. Пусть простая (т.е. без самопересечений) замкнутая кривая L ориентирована «против часовой стрелки”, D область, ограниченная кривой L. Тогда площадь области D находится по формуле:

1.  (9)
2. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.
3. Пусть ориентированная кривая L задана параметрическими уравнениями
4. x = (t), y= (t), ≤ t ≤,
5. где (t),  (t)  непрерывно дифференцируемые на отрезке [,] функции. Тогда
6. =
7. =  (10)

Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L: если ориентации кривой L соответствует изменение параметра tот до , то в формуле (10) выбирается первый вариант пределов интегрирования. В противном случае в (10) нужно выбирать вариант пределов интегрирования в скобках.

• Пусть кривая L задана явно уравнением y=f(x), a≤ x ≤b, где f(x)  непрерывно дифференцируемая на отрезке [a, b] функция. Тогда
• . (11)
• Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L,как в формуле (10).

Примеры. 1) Вычислить работу силы , приложенной к точке М(x, y) при перемещении точки вдоль кривой x=2cost, y=2sint, 0≤ t≤/2 от точки В(0, 2) до точки А(2, 0).

Решение. Данная кривая  это дуга окружности радиуса 2 в первой четверти. По формуле (8) искомая работа равна

Положим 

и применим формулу (11). При этом учтем, что при движении по кривой от точки В до точки А параметр t изменяется от /2 до 0.

1. 2) Вычислить ,где кривая ОА – дуга параболы .
2. Решение. Положив ,
3. применим формулу (11), при этом учтем тот факт, что при движении по кривой от точки О до А переменная x меняется от 0до 4.
4. 3) Вычислить где L замкнутая линия ОВАО, О(0; 0), А(4; 4), В(4; 0).

Решение. Кривая Lсостоит из линий ОВ, ВА и АО. По свойству аддитивности

 (12)

Отрезок ОВ задается уравнением у = 0 при 0≤х≤4. Значит, dy=0. Тогда

• .
• Отрезок ВA задается уравнением х = 4 при 0 ≤ у ≤ 4. Тогда dх=0 и
• .
• Кривая АО задается уравнением  при изменении значения у от 4 до 0. Значит,  и
• .
• Подставив вычисленные интегралы в (12), получаем

Замечание. По формуле (9) видно, что вычисленный интеграл равен удвоенной площади области, ограниченной контуром ОВАО.

Источник: https://greleon.ru/vishmath/lekcii/143-lekciya-krivolineynye-integraly-2.html

Контрольная Работа РУ — все по-шаговые математические калькуляторы в одном месте. Вы можете задать любой вопрос!

Калькулятор решает интегралы c описанием действий ПОДРОБНО на русском языке и бесплатно!

Решение неопределённых интегралов

Это онлайн сервис в один шаг:

• Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)

Перейти: Онлайн сервис «Неопределенный интеграл» →

Решение определённых интегралов

Это онлайн сервис в один шаг:

• Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
• Ввести нижний предел для интеграла
• Ввести верхний предел для интеграла

Перейти: Онлайн сервис «Определенный интеграл» →

Решение несобственных интегралов

• Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
• Введите верхнюю область интегрирования (или + бесконечность)
• Ввести нижнюю область интегрирования (или — бесконечность)

Перейти: Онлайн сервис «Несобственный интеграл» →

Решение двойных интегралов

• Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
• Ввести нижний и верхний пределы для первой области интегрирования
• Ввести нижний и верхний предел для второй области интегрирования

Перейти: Онлайн сервис «Двойной интеграл» →

Решение тройных интегралов

• Ввести подинтегральное выражение (подинтегральную функцию)
• Ввести нижний и верхний пределы для первой области интегрирования
• Ввести нижний и верхний предел для второй области интегрирования
• Ввести нижний и верхний предел для третьей области интегрирования

Перейти: Онлайн сервис «Тройной интеграл» →

Данный сервис позволяет проверить свои вычисления на правильность

Возможности

• Поддержка всех возможных математических функций: синус, косинус, экспонента, тангенс, котангенс, корень квадратный и кубический, степени, показательные и другие.
• Есть примеры для ввода, как для неопределённых интегралов, так и для несобственных и определённых.
• Исправляет ошибки в ведённых вами выражениях и предлагает свои варианты для ввода.
• Численное решение для определённых и несобственных интегралов (в том числе для двойных и тройных интегралов).
• Поддержка комплексных чисел, а также различных параметров (вы можете указывать в подинтегральном выражении не только переменную интегрирования, но и другие переменные-параметры)

Таблица интегралов

Вы также можете воспользоваться таблицей интегралов, чтобы самостоятельно посчитать любой интеграл, перейти:

Источник: https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/integral/

Калькулятор онлайн.Вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции)

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции). Программа для вычисления определенного интеграла (площади криволинейной трапеции) не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс интегрирования функции.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.

А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

• Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
• Вы можете посмотреть теорию о определенном интеграле.
• Примеры подробного решения >>

Введите подинтегральную функцию и пределы интегрирования Вычислить Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать. Возможно у вас включен AdBlock.

В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь. Через несколько секунд решение появится ниже.

Пожалуйста подождите  сек…

Наши игры, головоломки, эмуляторы: Игра «iChart»Создание островаЭмуляторгравитацииГоловоломка «SumWaves»

Задача 1 (о вычислении площади криволинейной трапеции).

В декартовой прямоугольной системе координат xOy дана фигура (см. рисунок), ограниченная осью х, прямыми х = a, х = b (a < b) и графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b] функции y = f(x); назовем эту фигуру криволинейной трапецией.

Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции. Решение. Геометрия дает нам рецепты для вычисления площадей многоугольников и некоторых частей круга (сектора, сегмента).

Используя геометрические соображения, мы сумеем найти лишь приближенное значение искомой площади, рассуждая следующим образом.

Разобьем отрезок [а; b] (основание криволинейной трапеции) на n равных частей; это разбиение осуществим с помощью точек x1, x2, … xk, … xn-1. Проведем через эти точки прямые, параллельные оси у. Тогда заданная криволинейная трапеция разобьется на n частей, на n узеньких столбиков. Площадь всей трапеции равна сумме площадей столбиков.

Рассмотрим отдельно k-ый столбик, т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок [xk; xk+1]. Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(xk) (см. рисунок).

Площадь прямоугольника равна ( f(x_k) cdot Delta x_k ), где ( Delta x_k ) — длина отрезка [xk; xk+1]; естественно считать составленное произведение приближенным значением площади k-го столбика.

Если теперь сделать то же самое со всеми остальными столбиками, то придем к следующему результату: площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна площади Sn ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников (см. рисунок): ( S_n = f(x_0)Delta x_0 + dots + f(x_k)Delta x_k + dots + f(x_{n-1})Delta x_{n-1} )

Здесь ради единообразия обозначений мы считаем, что a = х0, b = xn; ( Delta x_0 ) — длина отрезка [x0; x1], ( Delta x_1 ) — длина отрезка [x1; x2], и т.д; при этом, как мы условились выше, ( Delta x_0 = dots = Delta x_{n-1} )

Итак, ( S approx S_n ), причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n. По определению полагают, что искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности (Sn): $$ S = lim_{n o infty} S_n $$

Задача 2 (о перемещении точки) По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v = v(t). Найти перемещение точки за промежуток времени [а; b].

Решение. Если бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: s = vt, т.е. s = v(b-а). Для неравномерного движения приходится использовать те же идеи, на которых было основано решение предыдущей задачи.

1) Разделим промежуток времени [а; b] на n равных частей.

2) Рассмотрим промежуток времени [tk; tk+1] и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, такой, как в момент времени tk. Итак, мы считаем, что v = v(tk).

3) Найдем приближенное значение перемещения точки за промежуток времени [tk; tk+1], это приближенное значение обозначим sk ( s_k = v(t_k) Delta t_k ) 4) Найдем приближенное значение перемещения s: ( s approx S_n ) где ( S_n = s_0 + dots + s_{n-1} = v(t_0)Delta t_0 + dots + v(t_{n-1}) Delta t_{n-1} )

5) Искомое перемещение равно пределу последовательности (Sn):

$$ s = lim_{n o infty} S_n $$

Подведем итоги. Решения различных задач свелись к одной и той же математической модели. Многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, данную математическую модель надо специально изучить.

1. Дадим математическое описание той модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для функции y = f(x), непрерывной (но необязательно неотрицательной, как это предполагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [а; b]: 1) разбиваем отрезок [а; b] на n равных частей; 2) составляем сумму $$ S_n = f(x_0)Delta x_0 + f(x_1)Delta x_1 + dots + f(x_{n-1})Delta x_{n-1} $$
2. 3) вычисляем $$ lim_{n o infty} S_n $$
3. В курсе математического анализа доказано, что этот предел в случае непрерывной (или кусочно-непрерывной) функции существует. Его называют определенным интегралом от функции y = f(x) по отрезку [а; b] и обозначают так: ( intlimits_a^b f(x) dx )
4. Числа a и b называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним).
5. Вернемся к рассмотренным выше задачам. Определение площади, данное в задаче 1, теперь можно переписать следующим образом: ( S = intlimits_a^b f(x) dx )

здесь S — площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке выше. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Определение перемещения s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = a до t = b, данное в задаче 2, можно переписать так: ( S = intlimits_a^b v(t) dt )

• Для начала ответим на вопрос: какая связь между определенным интегралом и первообразной?
• Ответ можно найти в задаче 2. С одной стороны, перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = а до t = b и вычисляется по формуле ( S = intlimits_a^b v(t) dt )
• С другой стороны, координата движущейся точки есть первообразная для скорости — обозначим ее s(t); значит, перемещение s выражается формулой s = s(b) — s(a). В итоге получаем: ( S = intlimits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) )
• где s(t) — первообразная для v(t).

В курсе математического анализа доказана следующая теорема. Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то справедлива формула ( S = intlimits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) )

1. где F(x) — первообразная для f(x).
2. Приведенную формулу обычно называют формулой Ньютона — Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643—1727) и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646— 1716), получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно.

На практике вместо записи F(b) — F(a) используют запись ( left. F(x)
ight|_a^b ) (ее называют иногда двойной подстановкой) и, соответственно, переписывают формулу Ньютона — Лейбница в таком виде: ( S = intlimits_a^b f(x) dx = left. F(x)
ight|_a^b )

• Вычисляя определенный интеграл, сначала находят первообразную, а затем осуществляют двойную подстановку.
• Опираясь на формулу Ньютона — Лейбница, можно получить два свойства определенного интеграла.
• Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов: ( intlimits_a^b (f(x) + g(x))dx = intlimits_a^b f(x)dx + intlimits_a^b g(x)dx )
• Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: ( intlimits_a^b kf(x)dx = k intlimits_a^b f(x)dx )

С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций, но и плоских фигур более сложного вида, например такого, который представлен на рисунке.

Фигура Р ограничена прямыми х = а, х = b и графиками непрерывных функций y = f(x), y = g(x), причем на отрезке [а; b] выполняется неравенство ( g(x) leq f(x) ).

Чтобы вычислить площадь S такой фигуры, будем действовать следующим образом: ( S = S_{ABCD} = S_{aDCb} — S_{aABb} = intlimits_a^b f(x) dx — intlimits_a^b g(x) dx = )

( = intlimits_a^b (f(x)-g(x))dx )

Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и графиками функций y = f(x), y = g(x), непрерывных на отрезке [a; b] и таких, что для любого x из отрезка [а; b] выполняется неравенство ( g(x) leq f(x) ), вычисляется по формуле ( S = intlimits_a^b (f(x)-g(x))dx )

$$ int 0 cdot dx = C $$ $$ int 1 cdot dx = x+C $$ $$ int x^n dx = frac{x^{n+1}}{n+1} +C ;; (n
eq -1) $$ $$ int frac{1}{x} dx = ln |x| +C $$ $$ int e^x dx = e^x +C $$ $$ int a^x dx = frac{a^x}{ln a} +C ;; (a>0, ;; a
eq 1) $$ $$ int cos x dx = sin x +C $$ $$ int sin x dx = -cos x +C $$ $$ int frac{dx}{cos^2 x} = ext{tg} x +C $$ $$ int frac{dx}{sin^2 x} = — ext{ctg} x +C $$ $$ int frac{dx}{sqrt{1-x^2}} = ext{arcsin} x +C $$ $$ int frac{dx}{1+x^2} = ext{arctg} x +C $$ $$ int ext{ch} x dx = ext{sh} x +C $$ $$ int ext{sh} x dx = ext{ch} x +C $$

Источник: https://www.math-solution.ru/math-task/definite-integral

Калькулятор Интегралов

Наверху страницы введите функцию, которую Вы хотите проинтегрировать. Переменная интегрирования, пределы интегрирования и другие параметры могут быть изменены в разделе «Настройки». Нажмите «=» чтобы запустить интегрирование/нахождение первообразной функции. Результат будет показан ниже на этой странице.

Для тех кому интересны технические подробности, в этой части рассказывается как устроен и работает Калькулятор Интегралов.

Сначала синтаксический анализатор (па́рсер) анализирует исходное математическое выражение. Он преобразует его в форму более удобную для компьютера, а именно в форму дерева (см. картинку ниже).

В процессе такого преобразования, Интегральный Калькулятор должен соблюдать порядок операций с учетом их приоритета. Так же, как и то, что в математических выражениях знак умножения часто опускается, например, мы обычно пишем «5x» вместо «5*x».

Калькулятор Интегралов должен уметь понимать такие случаи и сам добавлять знак умножения.

Па́рсер написан на JavaScript, и основывается на алгоритме сортировочной станции, поэтому может исполняться прямо в браузере. Это дает возможность генерировать удобочитаемое выражение на ходу, преобразуя получающееся дерево в код для LaTeX (Ла́тех). С помощью MathJax происходит генерация картинки и ее отображение в браузере.

По нажатию кнопки «=», Калькулятор Интегралов отправляет математическое выражение вместе с параметрами (переменной интегрирования и пределами интегрирования) на сервер, где оно анализируется еще раз. В этот раз выражение преобразуется в форму которая будет понятна системе компьютерной алгебры Maxima (Ма́ксима).

Ма́ксима вычисляет интеграл математической функции. Результат Ма́ксимы снова преобразуется в Ла́тех а затем показывается пользователю. Первообразная вычисляется с помощью алгоритма Ри́ша, который достаточно замысловат для понимания человеком. Именно поэтому задача показывать промежуточные шаги решения интегралов является такой сложной.

Для того чтобы всё-таки показать пошаговое решение, Калькулятор Интегралов использует такие же методы, которыми бы воспользовался человек. Алгоритм, который это осуществляет, разрабатывался в течении нескольких лет и был написан на собственном языке программирования Ма́ксимы.

Программа содержит более чем 17000 строк кода.

Если интегрируемое выражение совпадает по форме с уже известным, алгоритм применяет заранее определённые правила для решения интеграла (например, метод неопределённых коэффициентов для рациональных функций, тригонометрическую подстановку в интегралах с квадратным корнем из квадратичной функции или интегрирование по частям для продуктов определенных функций). Если же оно не совпадает с уже известным, тогда алгоритм пробует разные подстановки и преобразования пока интеграл не будет решен или пока не закончится отведённое для этого время или же пока не кончатся все возможные варианты. С одной стороны, у Калькулятора нет математической интуиции, которая бы очень помогла в поисках первообразной, но зато, с другой стороны, Калькулятор в состоянии перепробовать большое количество разных вариантов за очень короткое время. Такое пошаговое вычисление первообразной по правилам, зачастую, более компактно и элегантно чем вычисленное Ма́ксимой.

Еще один режим работы «Проверка  решения» должен решить сложную задачу по определению являются ли два математических выражения равными друг другу. Разница между выражениями вычисляется и упрощается с помощью Ма́ксимы настолько, насколько это возможно.

К примеру, это может быть переписывание тригонометрических/гиперболических функций в их экспоненциальные формы. Если удается упростить разницу до нуля — задача выполнена. В противном случае, применяется вероятностный алгоритм, который вычисляет и сравнивает оба выражения в случайно выбранных местах.

В случае с первообразной, вся процедура повторяется для каждой производной, т.к. первообразная может отличаться константой.

Для каждой математической функции, которая должна быть отрисована, Калькулятор создает функцию JavaScript, которая затем вычисляется с шагом, необходимым для правильного отображения графика.

Все сингулярности (например  полюса) функции обнаруживаются в процессе отрисовки и обрабатываются отдельно. Управление жестами для мобильных устройств сделано на основе hammer.js.

Если у Вас есть вопросы или пожелания, а так же идеи как улучшить Калькулятор Интегралов, пожалуйста пишите мне на e-mail.

Источник: https://www.integral-calculator.ru/

Неопределенный интеграл. Онлайн калькулятор с примерами

Неопределенный интеграл онлайн

В школе говорят, интеграл – это значок ∫, а вычисление интеграла, то есть процесс интегрирования, – это операция обратная дифференцированию. Согласитесь скучно!

• Разумеется, у школьников возникает резонный вопрос: а нафиг он нам нужен?
• Но если бы учитель уделил несколько минут на вводную про интегралы, такой вопрос всё равно бы возник, но уже не у всех!
• Вводная к интегралам

В далеком 17 веке были на тот момент нерешенные насущные проблемы, а именно изучались закономерности движения тел. Много трудов было проделано Ньютоном, чтобы понять, как вычисляется скорость тела в любой момент времени. Но чем дальше, тем оказалось интереснее.

Допустим, мы знаем закон изменения скорости тела – это некая функция. Тогда площадь фигуры, ограниченная этой кривой и осью координат, будет равна пройденному пути. Вычисляя неопределенный интеграл от функции, мы как раз находим общий закон движения.

В этом заключается один из физических смыслов интеграла.

Как вы уже поняли, геометрический смысл интеграла – это площадь криволинейной трапеции. Соответственно с помощью кратного интеграла вычисляется объем тела.

Решение интегралов

Лейбниц и Ньютон заложили основы дифференциального и интегрального исчисления. В последующие десятилетия было много великих открытий, связанных с вычислением интегралов.

Поскольку подынтегральная функция может принимать различные виды, естественно это привело к разделению интегралов на свои типы, а главное были отрыты многочисленные методы решения интегралов.

Но не все так безоблачно. На практике часто происходит так, что в аналитическом виде вычислить интегралы невозможно, то есть используя какой-либо известный метод.

Конечно, получить аналитическое решение это здорово, но, с другой стороны, главное ведь вычислить точное значение интеграла. В этом случае интегралы решаются численными методами.

Калькулятор решения интегралов

Теперь самое интересное. Еще каких-то 15 лет назад школьник и помыслить не мог, что под рукой будут такие калькуляторы интегралов, как, например, наш. Это безусловно облегчает процесс обучения. Можно проверять свои решения, находить допущенные ошибки и лучше усваивать образовательный курс.

И тут в который раз повторяем, калькулятор решения интегралов – это только ваш безотказный помощник, к которому можете обратиться в любое время. Но никак не подмена вашей головы. Старайтесь самостоятельно решать задачи, только так можно развивать мышление, а компьютер будет в помощь.

Источник: https://math24.biz/integral