Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности — справочник студента

Практическая работа №3

Пример 1. Вероятность
сохранения килограмма картошки до весны равна 0,4. Какова вероятность того, что
будет сохранено 293000 килограмма картошки, если всего собрали 400000
килограмма?

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Решение.

По условию n=400000, p=0,4,
q=1-p=0,6, m=239000. Необходимо найти Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности - Справочник студента.
Воспользуемся локальной предельной теоремой Муавра-Лапласа: Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности - Справочник студента, где Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности - Справочник студента,
причем значение аргумента находят по формуле: Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности - Справочник студента.

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности - Справочник студента

По таблицам плотности нормального закона интеграла вероятности

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности - Справочник студента Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности - Справочник студента Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности - Справочник студента

Пример 2. Вероятность
всхожести семени пиона в теплице равна 0,8. Найти вероятность того, что из 2000
посаженных семян взойдет не менее 1550.

Решение.

По условию Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности - Справочник студента. Необходимо
найти Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности - Справочник студента. Воспользуемся интегральной теоремой
Лапласа.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Решение задач на геометрический смысл производной - справочник студента

Оценим за полчаса!
  • ,
  • где
  •  — функция Лапласа,
  • , .
  • Найдем
    :
  • Так
    как , то возмем
  • .
  • По таблицам плотности нормального закона интеграла вероятности найдем . Искомая вероятность  
  • Ответ:

Пример 3. Со
склада в магазин отправлено 1000 ящиков фарфора. Вероятность повреждения
содержимого ящика в пути равна 0,998. Найти вероятность того, что целыми
прибудут хотя бы 5 ящиков.

Решение.

По условию n=1000. События «поврежденное
содержимое ящика» и «целое содержимое ящика» противоположны, и так как
необходимо найти вероятность того, что целыми прибудут хотя бы 5 ящиков, то
следует принять p=1-0,998=0,002.

Так как вероятность мала, а число n
велико, то воспользуемся теоремой Пуассона: если при n независимых
испытаниях некоторое событие происходит с вероятностью p близкой к
нулю, то при достаточно большом n вероятность осуществления события m раз
приближенно равна: , где . Найдем
l:  .

Необходимо найти вероятность появления события хотя бы в 5 испытаниях, т.е.

  1. .
  2. Для удобства вычислений и
    исходя из смысла вероятности обратного события можно сделать переход
  3. Ответ: .

Пример 4. 200
солдат стреляют по команде из орудий. Вероятность выстрела не точно по команде
каждого солдата 0,25. Найти вероятность того, что относительная частота
несвоевременного выстрела отклонится от его вероятности не более чем на 0,1225,
если учесть, что все солдаты стреляют одинаково.

Решение.

По условию: n=200; p=0,25; q=0,75;
e=0,1225. Найдем вероятность P отклонения
частоты от вероятности. Воспользуемся формулой вероятности отклонения
относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях:

  • .
  • .
  • Ответ:
    .

Пример 5. Прыгает
196 парашютистов. Вероятность точного приземления на отведенный участок равна
0,98. Найти такое положительное число , чтобы
с вероятностью 0,1586 абсолютная величина отклонения относительной частоты
появления точного приземления парашютиста от вероятности его появления 0,98 не
превысила .

Решение.

По условию: n=196; p=0,98; q=0,02;
P=0,1586. Найти e. Воспользуемся
формулой вероятности отклонения относительной частоты от постоянной вероятности
в независимых испытаниях:

  1. .
  2. Исходя
    из условия
  3. По таблицам плотности нормального закона интеграла вероятности: ; Следовательно 100e=0,20; e =0,002.
  4. Ответ:
    .

Пример 6. При
увеличении напряжения в два раза может произойти разрыв электрической цепи
вследствие выхода из строя одного из трех последовательно соединенных элементов
соответственно с вероятностями 0,3; 0,4; 0,5. Определить вероятность того, что
не будет разрыв цепи.

Решение.

Пусть события , ,  означают
выход из строя соответственно первого, второго и третьего элементов. Их
вероятности по условию равны: , , .

Тогда
вероятность события , противоположного событию  (первый элемент не вышел из строя), будет
равна , аналогично вычисляются , .
Искомая вероятность равна вероятности того, что не выйдут из строя все три
элемента.

Так как события , ,  независимы,
то по теореме умножения независимых событий имеем

.

Ответ:
.

Пример 7. В
партии из 50 деталей 5 нестандартных. Определить вероятность того, что среди
выбранных на удачу для проверки шести деталей две окажутся нестандартными.

Решение.

Элементарным исходом является выборка любых шести
изделий из пятидесяти. Число  всех таких исходов,
очевидно, равно числу сочетаний из пятидесяти по шесть, т.е. С. Нас интересует событие , состоящее в том, что две из шести деталей
нестандартные.

Благоприятным исходом для события  является
любые шесть деталей, из которых две нестандартные и четыре — стандартные.

Такого рода групп по шесть деталей имеется  (так как  — число всевозможных пар нестандартных деталей, а  — число всевозможных
четверок стандартных деталей и каждая пара нестандартных деталей может
оказаться в одной группе с каждой четверкой стандартных деталей). Таким
образом, .

Пример 8. Вероятность
того, что в некоторой местности каждый из 30000 жителей окажется больным
туберкулезом, равна 0,00015. Найти границу отклонения частоты появления
заболевания от его вероятности по абсолютной величине, если это отклонение
можно ожидать с вероятностью, не меньшей 0,98.

Решение.

Для
нахождения e воспользуемся вторым неравенством Чебышева: если DX

Источник: https://vunivere.ru/work20591

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной

11)Интегральная теорема Лапласа. Имеет место следующее утверждение.

   Теорема. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых вероятность наступления события А одна и та же и равна Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности - Справочник студента. Пусть m — число появления события A в n опытах. Тогда для достаточно больших n случайная величина m имеет распределение, близкое к нормальному с параметрами a=M(m)=np, Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности - Справочник студента.

   Доказательство. Пусть — число наступления события A в i-м опыте. Тогда Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности - Справочник студента, Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности - Справочник студента(cм. § 4, п. 2, пример 2). Так как может принимать только два значения и 1, то для любого i имеем Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности - Справочник студента. Кроме того, величина стремится к бесконечности при . Итак, последовательность случайных величин удовлетворяет условиям следствия из теоремы Ляпунова. Поэтому сумма этих величин Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности - Справочник студентадостаточно больших n имеет распределение, близкое к нормальному, что и требовалось доказать.

   Вычислим вероятность того, что случайная величина m, т. е. число наступлений события А в n опытах, удовлетворяет неравенствам , где x1 и x2 — данные числа.

Так как a=M(m)=np, Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности - Справочник студента(cм. § 4, п. 2, пример 2). То согласно формуле (32) получим

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности - Справочник студента

12)« Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной

вероятности в независимых испытаниях »

Пусть производится n независимых испытаний по схеме Бернулли, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р, 0 < р 0, произвольное бесконечно малое.

  • Рассмотрим выражение ;
  • Итак,
  • (1)
  • 3) по данным условия задачи найти .
  • 13) « Случайныевеличины »
  • Существуют события, которые характеризуются тем или иным числовымзначением.

По интегральной теореме Лапласа:С использованием формулы (1) решаются задачи трёх типов:1) прямое применение формулы.2) по данным условия задачи найти n – число испытаний.Формула (1) имеет большое практическое применение. Покажем это на различных задачах, приведенных в параграфе.

Определение. СлучайнойвеличинойХназывается величина, которая в результате опыта может принимать то или иное числовое значение. Обозначаются случайные величины заглавными буквами X, Y, Z… В общем случае случайная величина Х может принимать в результате опыта числовые значения , , … .

ЗаписьХ= означает, в результате опыта случайная величина приняла значение , где , , … — множество всех её возможных значений.

Итак, случайное событие характеризуетсяслучайнойвеличиной, котораяявляетсяколичественноймеройрассматриваемогослучайногособытия.

Значение, которое принимает случайная величина в результате опыта, зависит от многих причин, причём учесть до опыта все из них невозможно. Поэтому числовоезначениехарактеризующее то или иное случайное событие, называется случайнойвеличиной.

Определение. Случайная величина называется дискретной, если на некотором промежутке она принимает только отдельное изолированное значение. Например, для двух соседних значений и существует интервал (,), в котором случайная величина не принимает ни одного значения.

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если она принимает сплошь все значения из какого-нибудь промежутка. Этот промежуток может быть как конечным, так и бесконечным.

Множество всех значений дискретной случайной величины может быть как конечным, так и бесконечным.

Из того, что множество всех значений случайной величины заключается в промежутке неследует, что она обязательно непрерывна. Наряду с непрерывной она может быть и дискретной.

Очевидно, что если заключается в том, что случайная величина приняла значение , то запись — вероятность этого события.

14)Определение.  Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.

            Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически.

            Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения.

            Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения.  При этом сумма все ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице.

 

            Пример. По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти вероятности числа попаданий и построить многоугольник распределения.

                        Вероятности пяти попаданий из пяти возможных, четырех из пяти и трех из пяти были найдены выше по формуле Бернулли и равны соответственно:

  1. ,     ,  
  2. 15)Биноминальное распределение вероятностей.
  3. Наивероятнейшее число успехов »
  4. q, где k=0, 1,2, … n.

             Аналогично найдем:

Ряд вероятностей , найденных при всех допустимых значениях k, вычисленных по формуле Бернулли, называется биномиальным распределением вероятностей. Биномиальным это распределение называется потому, что q есть формула любого члена для степени бинома (р + q).

В общем виде биномиальное распределение вероятностей для различных значений k записывается в виде следующей таблицы:

0 1 2 n

Р, q, n – известны

Очевидно, что +++…++…+=1

Определение. Число появления события А, которому соответствует наибольшая вероятность называется наивероятнейшим числом успехов.

  • Определение. Y=E(x) – endier (x)
  • Можно доказать, что наивероятнейшее число успехов можно определить по формуле =[(n + 1)p] (1).
  • npy np + p (2) – формула наивероятнейшего числа
  • 14,1 15,6 =15
  • 14 15 =14, ’=15
  • Следовательно, может принимать либо одно, либо два значения.
  • 16) Теорема Пуассона »

Целой частью числа х называется наибольшее число, не превосходящее данное. Обозначается [x] – целая часть числа x.Преобразуя выражение (1), можно получить

Пусть А – редкое событие при массовых испытаниях, то есть n велико, а р мало: 0 < р (число успехов) постоянно. Поэтому обозначим (1), где – число успехов при .

Тогда справедлива формула Пуассона:

(2)

Значение функции, стоящей в правой части формулы (2) под названием распределение Пуассона обычно приводится в таблице. Они находится по данному значению m и вычисленному значению .

Формула Пуассона даёт достаточную точность с n>50.

Источник: https://filling-form.ru/blank_dov/98525/index.html

Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности, наивероятнейшее число появления событий

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

Законы распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Реальное содержание понятия «случайная величина» может быть выражено с помощью такого определения: случайной величиной, связанной с данным опытом, называется величина, которая при каждом осуществлении этого опыта принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины будем обозначать буквами Определение. Говорят, что задана дискретная случайная величина , если указано конечное или счетное множество чисел и каждому из этих чисел поставлено в соответствие некоторое положительное число причем Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности - Справочник студента Числа называются возможными значениями случайной величины , а числа — вероятностями этих значений ( Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности - Справочник студента ).

Читайте также:  Гибридизация и форма многоатомных молекул - справочник студента

Таблица называется законом распределения дискретной случайной величины Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки и соединяют последовательно отрезками прямых.

Получающаяся при этом ломаная линия называется многоугольником распределения случайной величины Если возможными значениями дискретной случайной величины являются 0, 1, 2, …, n, а соответствующие им вероятности вычисляются по формуле Бернулли: то говорят, что случайная величина имеет биномиальный закон распределения: Пусть заданы натуральные числа m, n, s, причем Если возможными значениями дискретной случайной величины являются 0,1,2,…, m, а соответствующие им вероятности выражаются по формуле то говорят, что случайная величина имеет гипергеометрический закон распределения.

  • Другими часто встречающимися примерами законов распределения дискретной случайной величины являются: геометрический где
  • Числовые характеристики дискретных величин. Примеры
  • Числовые характеристики дискретных случайных величин

Закон распределения полностью характеризует случайную величину.

Однако, когда невозможно найти закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины.

Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно.

С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Теоретические моменты. Примеры.

Идея этого метода заключается в приравнивании теоретических и эмпирических моментов. Поэтому мы начнем с обсуждения этих понятий.

Пусть — независимая выборка из распределения зависящего от неизвестного параметра Теоретическим моментом -го порядка называется функция где — случайная величина с функцией распределения .

Особо отметим, что теоретический момент есть функция от неизвестных параметров, коль скоро распределение зависит от этих параметров.

Будем считать, что математические ожидания существуют, по крайней мере, для Эмпирическим моментом -го порядка называется Отметим, что по своему определению эмпирические моменты являются функциями от выборки. Заметим, что — это хорошо нам известное выборочное среднее.

  1. Для того, чтобы найти оценки неизвестных параметров по методу моментов следует:
  2. явно вычислить теоретические моменты , и составить следующую систему уравнений для неизвестных переменных
  3. В этой системе рассматриваются как фиксированные параметры.
  4. решить систему (35) относительно переменных Так как правая часть системы зависит от выборки, то в результате окажутся функциями от Это и есть искомые оценки параметров по методу моментов.

12.Неравенство Чебышева. Закон больших чисел.

Нера́венство Чебышева, известное также как неравенство Биенэме — Чебышева, это распространённое неравенство из теории меры и теории вероятностей. Оно было первый раз получено Биенэме (фран.) в 1853 году, и позже также Чебышевым. Неравенство, использующееся в теории меры, является более общим, в теории вероятностей используется его следствие.

Неравенство Чебышева в теории меры

Неравенство Чебышева в теории меры описывает взаимосвязь интеграла Лебега и меры. Аналог этого неравенства в теории вероятностей — неравенство Маркова. Неравенство Чебышева также используется для доказательства вложения пространства в слабое пространство

  • Формулировки
  • Пусть — пространство с мерой. Пусть также
  • — суммируемая на функция
  • Тогда справедливо неравенство:
  • В более общем виде:
  • Если — неотрицательная вещественная измеримая функция, неубывающая на области определения то В терминах пространства Пусть Тогда
  • Неравенство Чебышева в теории вероятностей

Неравенство Чебышева в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к своему среднему. Говоря более точно, оно даёт оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далёкое от своего среднего. Неравенство Чебышева является следствием неравенства Маркова.

Формулировки

Пусть случайная величина определена на вероятностном пространстве , а её математическое ожидание и дисперсия конечны.

Тогда где Если , где — стандартное отклонение и , то получаем В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на стандартных отклонения, с вероятностью меньше Она отклоняется от среднего на стандартных отклонения с вероятностью меньше .

Закон больших чисел

Основными понятиями теории вероятностей являются понятия случайного события и случайной величины. При этом предсказать заранее результат испытания, в котором может появиться или не появиться то или иное событие или какое-либо определенное значение случайной величины, невозможно, так как исход испытания зависит от многих случайных причин, не поддающихся учету.

Однако при неоднократном повторении испытаний наблюдаются закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Эти закономерности обладают свойством устойчивости.

Суть этого свойства состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате большой массы подобных явлений, а характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых в испытаниях, при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически не случайными.

Пусть производится большая серия однотипных опытов. Исход каждого отдельного опыта является случайным, неопределенным. Однако, несмотря на это, средний результат всей серии опытов утрачивает случайный характер, становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел.

Под законом больших чисел не следует понимать какой-то один общий закон, связанный с большими числами. Закон больших чисел — это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.

К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли — простейшим.

В основе доказательства теорем, объединенных термином «закон больших чисел», лежит неравенство Чебышева, по которому устанавливается вероятность отклонения от ее математического ожидания:

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Рекомендуемые страницы:

Источник: https://lektsia.com/7x37ca.html

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

  • Случайные события
  • Достоверным называют событие, которое произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S.
  • Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S.
  • Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S либо произойдет, либо нет.
  • События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
  • События называют единственно возможными, если появление в результате испытания одного и только одного из них есть достоверное событие.
  • События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из событий не является более возможным, чем другие.
  • Вероятностью события A называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех единственно возможных и равновозможных исходов испытания.
  • Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось к общему числу фактически произведенных испытаний.
  • Вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту — после.
  • В различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произвели испытаний) и колеблется возле некоторого постоянного числа — вероятности.

Принцип практической невозможности маловероятных событий. Если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит.

Суммой A+B двух событий A и B называют такое событие, которое состоит в появлении события A или события B, или обоих этих событий.

Суммой нескольких событий называют такое событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности - Справочник студента

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

Полной группой событий называют совокупность единственно возможных событий испытания.

Теорема. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу событий, равна единице.

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из них обозначено A, то другое принято обозначать . Если вероятность одного из них обозначена p, то вероятность другого принято обозначать q.

Теорема. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице.

События называют независимыми, если вероятность одного из них не зависит появления или непоявления другого. (При бросании монеты: выпадения герба в двух испытаниях — независимые события).

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимые.

Несколько событий называют независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация остальных событий (содержащая либо все остальные события, либо часть из них) есть события независимые.

Произведением двух событий A и B называют событие AB, которое состоит в совместном появлении этих событий.

Произведением нескольких событий называют событие, которое состоит в совместном появлении всех этих событий.

Теорема умножения вероятностей независимых событий.Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению этих событий.

Следствие.Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.

Замечание. Если события  независимы в совокупности, то и события  независимы в совокупности.

Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий .  

Условной вероятностью  называют вероятность события B при условии, что событие A уже наступило.

Теорема умножения.Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.

Следствие. Вероятность появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили.

Теорема сложения для совместных событий.Вероятность появления хотя бы одного из двух совестных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Формула полной вероятности. Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A.

Формулы Бейеса.

Пусть событие A может наступить при наступлении одного из несовместных событий , образующих полную группу событий. Поскольку заранее неизвестно, какое из событий наступит, их называют гипотезами. Допустим, что событие A наступило. Надо поределить, как изменились вероятности гипотез:

  1. Формула Бернулли.
  2. Необходимо вычислить вероятность того, что в n испытаниях событие произойдет ровно k раз.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность  того, что событие A появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции.

  • Функция четная
  • Интегральная теорема Лапласа.Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность  того, что событие A появится в n испытаниях от  до  раз, приближенно равна определенному интегралу
  • Функция нечетная
  • Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
  • Случайные величины
  • Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Его можно задать таблично, аналитически или графически.

  1. Сумма вероятностей второй строки таблицы равна единице. (События выпадения значений — полная группа событий)
  2. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной случайной величины не зависит от того, какие значения приняла другая величина.
  3. Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие значения приняли остальные величины.
  4. Произведением случайных величин X и Y называется случайная величина, возможные значения которой равны произведению каждого возможного значения величины X на каждое возможное значение величины Y, а вероятности возможных значений произведения XY равны произведению вероятностей множителей.
  5. Суммой случайных величин X и Y называется случайная величина, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения величины X на каждое возможное значение величины Y, а вероятности возможных значений суммы X+Y для независимых величин равны произведению вероятностей слагаемых, для зависимых величин — произведению вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго.
  6. Биноминальное распределение.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может либо проявиться, либо не проявиться. Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число появлений события A в этих испытаниях.

  • Возможные значения величины X:
  • Чтобы найти вероятности можно воспользоваться формулой Бернулли:
  • Биноминальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.
  • Распределение Пуассона. 
  • Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) редких (p мало) событий.

Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 219;

Источник: https://studopedia.net/5_73053_veroyatnost-otkloneniya-otnositelnoy-chastoti-ot-postoyannoy-veroyatnosti-v-nezavisimih-ispitaniyah.html

Одна интересная задача по теории вероятностей

В общем, ничего научного или всеобъемлющего в этой маленькой статейке не будет. Гуру математики и критикам, возможно, всё покажется тривиальным и очевидным. Но если вам всё таки интересны любые математические рассказы, то welcome 🙂 В нашем чате недавно была задачка по теории вероятности, на первый взгляд несложная, но дьявол кроется в мелочах. В любом явлении, есть малозаметные составляющие, которые тем не менее сильно влияют на его суть. Особенно часто это проявляется в физике, математике и программировании.

Формулировка задачи:

Вероятность рождения мальчика равна 0,5. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется а) 50 мальчиков б) не менее 50 мальчиков

Можно попробовать разрешить задачу с помощью схемы Бернулли. Давайте вспомним что это за штука такая.

Схема Бернулли — это когда производится n однотипных независимых опытов, в каждом из которых может появиться интересующее нас событие A, причем известна вероятность этого события P(A) = p. Требуется определить вероятность того, что при проведении n испытаний событие A появится ровно k раз.

Поскольку речь идет о независимых испытаниях, и в каждом опыте вероятность события A одинакова, возможны лишь два исхода:

  • A — появление события A с вероятностью p;
  • «не А» — событие А не появилось, что происходит с вероятностью q = 1 − p.
Читайте также:  Личностно-ориентированный подход в образовании - справочник студента

Для применения схемы Бернулли должны быть выполнены следующие условия:

  • Каждое испытание имеет ровно два исхода, условно называемых успехом и неудачей.
  • Независимость испытаний: результат очередного эксперимента не должен зависеть от результатов предыдущих экспериментов.
  • Вероятность успеха должна быть постоянной (фиксированной) для всех испытаний.

Важнейшее условие, без которого схема Бернулли теряет смысл — это постоянство. Сколько бы опытов мы ни проводили, нас интересует одно и то же событие A, которое возникает с одной и той же вероятностью p.

А теперь давайте зададимся вопросом. А всегда ли вероятность постоянна?

Между прочим, далеко не все задачи в теории вероятностей сводятся к постоянным условиям. Об этом вам расскажет любой грамотный репетитор по высшей математике. Даже такое нехитрое дело, как вынимание разноцветных шаров из ящика, не является опытом с постоянными условиями. Вынули очередной шар — соотношение цветов в ящике изменилось. Следовательно, изменились и вероятности.

Если же условия постоянны, можно точно определить вероятность того, что событие A произойдет ровно k раз из n возможных. Сформулируем этот факт в виде теоремы:

Теорема Бернулли. Пусть вероятность появления события A в каждом опыте постоянна и равна р. Тогда вероятность того, что в nнезависимых испытаниях событие A появится ровно k раз, рассчитывается по формуле:

В реальности эта схема часто применяется для решения задач, связанных с контролем качества продукции и надежности различных механизмов, все характеристики которых должны быть известны до начала работы.

Число сочетаний из n по k равно биномиальному коэффициенту:

Попробуем решить пункт а) в нашей задаче, то есть найдем вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.

Чтобы не мучить калькулятор, в качестве калькулятора можно использовать любой ЯП. Мне нравится Pascal для таких задач, потому что его IDE у меня очень быстро загружается даже на стареньком нетбуке :). Да и сам ЯП быстрый, красивый, понятный. Хотя в качестве средства для вычислений можно использовать что угодно. Хоть Excel. Тут уж всё очень субъективно. Получилось следующее:

И, если тут нет ошибок, то получается, что вероятность того, что родится ровно 50 мальчиков равна 0,079589237… Если посмотреть на ответ, то не скажешь, что этот ответ очевиден. Многие в начале своего знакомства с теорией вероятностей совершают ошибку и предполагают, что раз у нас один мальчик рождается, с вероятностью ~ 0.

5, то этот результат можно экстраполировать на большее число событий (на 50 новорожденных). Т.е. подумать, что половина мальчиков (50 из 100) родится с примерно такой же вероятностью ~ 0.5. Но это будет неправильно. Да и вообще, в математике и в физике очень часто случается, что длинные задачи решаются быстрее, чем короткие.

А то, что кажется простым на первый взгляд, оказывается очень сложным, если вдуматься во все мелочи.

Попробуем решить пункт б) в нашей задаче, то есть найдем вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется НЕ МЕНЕЕ 50 мальчиков.

Для начала, нужно как следует подумать над вопросом. Трактовать фразу «не менее 50» можно по-разному. На мой взгляд, эта фраза значит от 50 (включая 50) и до конца рассматриваемого диапазона (в нашем случае до 100). Т.е. нам нужно найти вероятность того, что количество мальчиков будет от 50 до 100.

И теперь, если вы занимаетесь обучением кого-то математике, если вы преподаватель в вузе, то это отличный повод поиздеваться над своими студентами.

Как? Предложить им решить пункт б) в аналогичной (или такой же) задаче, когда вы объяснили им схему Бернулли, но еще не объясняли локальную и интегральную теоремы Муавра-Лапласа (о них мы далее поговорим).

Ну и провести контрольную в обычном (не компьютерном классе), чтобы студенты измучились расчетами.

Конечно, это был сарказм. На самом деле, не нужно так делать! Это неправильно, это не делает вас умнее.

Проблема возникает в том, что мы теперь умеем рассчитывать вероятность рождения конкретного числа мальчиков, используя схему Бернулли, но как посчитать на промежутке? Величины у нас дискретная… Похоже нужно суммировать все вероятности для каждого количества мальчиков из диапазона [50; 100]. Либо мучить свой калькулятор, либо закодить небольшую расчетную программку

Получается, что вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется НЕ МЕНЕЕ 50 мальчиков, равна 0,539794618…

А есть ли другие методы, когда можно обойтись без программирования?Да, есть.

Вернемся к нашей задаче. Выборка у нас довольно большая. Поэтому такие задачи имеют второй способ решения.

Локальная и интегральная теоремы Лапласа (Муавра-Лапласа) решают аналогичную задачу с тем отличием, что они применимы к достаточно большому количеству независимых испытаний.

Теорема Муавра — Лапласа — одна из предельных теорем теории вероятностей, установлена Лапласом в 1812 году.

Если при каждом из nнезависимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события E равна p ∈ (0, 1), и m — число испытаний, в которых E фактически наступает, то вероятность справедливости неравенства близка (при больших n) к значению интеграла Лапласа.

С ростом n форма биномиальной фигуры распределения становится похожа на плавную кривую Гаусса.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f9/De_moivre-laplace-bzn.gifС ростом n форма биномиальной фигуры распределения становится похожа на плавную кривую Гаусса.https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f9/De_moivre-laplace-bzn.gif

С ростом n форма биномиальной фигуры распределения становится похожа на плавную кривую Гаусса.

При рассмотрении количества k появлений события A в n испытания Бернулли чаще всего нужно найти вероятность того, что k заключено между некоторыми значениями a и b. Так как при достаточно больших n промежуток [a, b] содержит большое число единиц, то непосредственное использование биномиального распределения

требует, как мы уже убедились, громоздких вычисления, так как нужно суммировать большое число определенных по этой формуле вероятностей.

Поэтому используют асимптотическое выражение для биномиального распределения при условии, что p фиксировано, а n →∞. Теорема Муавра — Лапласа утверждает, что таким асимптотическим выражением для биномиального распределения является нормальная функция.

Если в схеме Бернулли n →∞, величина p ∈ (0, 1) постоянна, а величина

ограничена равномерно по m и n ( то есть ∃a, b : -∞ < a ≤ xm ≤ b < +∞), то

Приближенную формулу

рекомендуется применять при n > 100 и m > 20.

Для доказательства теоремы будем использовать формулу Стирлинга из математического анализа:

При больших s величина Θ очень мала, и приближенная формула Стирлинга, записанная в простом виде

дает малую относительную ошибку, быстро стремящуюся к нулю при s→ +∞.

Нас будут интересовать значения m, не очень отличающиеся от наивероятнейшего. Тогда при фиксированном p условие n →+∞ будет также означать, что m→+∞, n — m →+∞. (3)

Поэтому использование приближённой формулы Стирлинга для замены факториалов в биномиальном распределении допустимо, и мы получаем

Также понадобится использование отклонения относительной частоты от наивероятнейшего значения:

Тогда выражение (4) приобретает вид:

Предположим, что

Взяв логарифм второго и третьего множителей равенства (6), применим разложение в ряд Тейлора:

Располагаем члены этого разложения по степеням xm:

Предположим, что при n →+∞,

Это условие, как уже было указано выше, означает, что рассматриваются значения m не очень далёкие от наивероятнейшего. Очевидно, что (10) обеспечивает выполнение (7) и (3).

Теперь, пренебрегая вторым и последующими членами в разложении (6), получаем, что логарифм произведения второго и третьего членов произведения в правой части (8) равен

Отбрасывая малые слагаемые в скобках первого множителя (6), получаем

Обозначив

переписываем (12) в виде

Поскольку в интервале [m, m + 1) имеется только одно целое число m, то можно сказать, что pn(m) есть вероятность попадания m в интервал [m, m + 1). Из (5) следует, что изменению m на 1 соответствует изменение xm на

Поэтому вероятность попадания m в интервал [m, m + 1) равна вероятность попадания xm в промежуток:

Если n →+∞ , то Δx →+0 и равенство (16) показывает, что нормальная функция φ(x) является плотностью случайной величины xm. Получается при n →+∞, nx³→0 для отклонения относительной частоты от наивероятнейшего значения справедлива асимптотическая формула (16), в которой φ(x) — нормальная функция с xm = 0 и σ² = pq/n.

Приведем пример расчета через формулу Муавра-Лапласа:

Как видно, результаты получились такие же.

Ну, а если мы хотим решить пункт б) с помощью данной формулы, то воспользуемся интегральной версией теоремы Муавра-Лапласа.

Интегральная теорема Лапласа

Если вероятность p появления случайного события A в каждом испытании постоянна, то вероятность Pn(m1 ≤ m ≤ m2) того, что в n испытаниях событие A наступит не менее m1 и не более m2 раз (от m1 до m2 раз включительно), приближенно равна:

При этом количество испытаний, разумеется, тоже должно быть достаточно большим и вероятность p не слишком мала/велика (ориентировочно npq > 10), иначе иначе приближение будет неважным либо плохим. Функция Ф(x) называется функцией Лапласа, и её значения опять же сведены в стандартную таблицу. Микрокалькулятор здесь не поможет, поскольку интеграл является «неберущимся».

Для нашей задачи, используя таблицу значений функций Лапласа, получим:

Получили два примерных результата:

0,4601 — через схему Бернулли для вероятности, что количество мальчиков будет не менее 50.0,49999 — через интегральную теорему Муавра-Лапласа для вероятности, что количество мальчиков будет не менее 50.

Какой способ использовать, зависит от конкретной задачи, от многих тонкостей, от начальных условий, от изменений вероятности, от количество данных в выборке, от того, какая точность вам нужна. Вот так вот мы рассмотрели «простую» задачку по теории вероятностей. Если вам нравятся статьи в подобном формате, поделитесь об этом в х 🙂

Биномиальное распределение или биномиальный закон распределения вероятностей. Это наиболее распространённый вид дискретного распределения. Пусть проводится независимых испытаний (не обязательно повторных), в каждом из которых случайное событие может появиться с вероятностью p. Тогда случайная величина – число появлений события в данной серии испытаний, имеет биномиальное распределение.

Автор статьи: Кирилл Хало

Больше интересных статей читай в группе Physics.Math.Code.Books

Помощь по физике, математике, информатике, программированию, подробные разборы задач, консультации по решению, а также репетиторство и наставничество по техническим предметам вы можете найти в группе Репетитор | IT mentor

Источник: https://zen.yandex.ru/media/id/5d1e3a76d616d900ad14fcce/5d1e5db87b832900ad7f6831

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Производится n независимых испытаний в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0 0 биномиальное распределение B(n,p) сходится к распределению Пуассона . Таким образом, случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром λ, принимает неотрицательные целые значения с вероятностью

  • Интегральная функция вероятности распределения равна
  • Параметр λ является одновременно и математическим ожиданием, и дисперсией случайной величины, имеющей распределение Пуассона .

Примером случайной величины, распределенной по Пуассону , является количество машин, проезжающих через какой-либо участок дороги за заданный период времен. Также можно отметить такие примеры, как количество звезд на участке неба заданной величины, количество ошибок в тексте заданной длины или количество обращений к веб-серверу за заданный период времени.

9.

Математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности: M(X) = x1p1 + x2p2 + … + xnpn

Свойства математического ожидания. 1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине:М(С) = С 2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:М(СХ) = С·М(Х) 3) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М(Х1 + Х2 + …+ Хn) = М(Х1) + М(Х2) + … + М(Хn)

4) Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

М(Х1 · Х2 · … · Хn) = М(Х1) · М(Х2) · … · М(Хn)

Теорема. Математическое ожидание числа появления события в независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.

Дисперсия дискретной случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: D(X) = M(X2)- [M(X)]2=(x1 — M(X))2p1 + (x2 — M(X))2p2 + … + (xn- M(X))2pn = x21p1 + x22p2 + … + x2npn — [M(X)]2

Свойства дисперсии. 1) Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С) = 0 2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СХ) = С2 · D(Х) 3) Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(Х1 ± Х2 ± … ± Хn) = D(Х1) + D(Х2) + … + D(Хn)

Теорема. Дисперсия числа появлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность p события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании.D (X)=npq

Серднее квадратическое отклонение. Ср.квадрат-е отклонение суммы взаимно независимых случайных величин.Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины.Начальные и центральные теоретические моменты.

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.

Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин.

Среднее квадратичное отклонение принято обозначать греческой буквой сигма σ:

Если число измерений примерно равно 10, то истинное значение величины может отличаться от среднего арифметического не более чем на величину среднего квадратичного отклонения σ. Отклонения, большие, чем σ, возможны лишь в исключительных случаях, число которых составляет около 0.5% всех возможных случаев.

Если число измерений значительно больше десяти, то максимальное практически возможное отклонение истинной величины от среднего арифметического будет меньше чем σ. Отклонение не превысит значения: ▲=3 σ/ √n.

Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше среднего квадратического отклонения каждой величины:( Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных и Дисперсия среднего арифметического)

σ (Х) = σ/√n

Таким образом, среднее арифметическое достаточно большого числа взаимно независимых случайных величин имеет значительно меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина. С увеличением n величина почти перестает быть случайной и приближается к постоянной М.

Тем самым оправдывается рекомендуемый в практической деятельности способ получения более точных результатов измерений: одна и та же величина измеряется многократно, и в качестве ее значения берется среднее арифметическое полученных результатов измерений.

Начальные и центральные теоретические моменты.

  1. Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины Xk:
  2. Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины (X—M(X))k:
  3. Моменты, рассмотренные здесь, называют

теоретическими. В отличие от теоретических моментов, моменты которые вычисляются по данным наблюдений, называют эмпирическими.



Источник: https://infopedia.su/12×4556.html

Ссылка на основную публикацию