Уравнения с переменными — справочник студента

• Примеры решений линейных однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с переменными коэффициентами.
• Пример 1.
• Найти общее решение уравнения
• (2x+1)y''+(4x-2)y'-8y=0, x≠-1/2
• Попробуем найти частное решение в виде y1(x)=eax.

Найдем «а».

Для этого y1(x)=eax подставим в уравнение.

Итак, y1(x)=e-2x является частным решением.

Для того чтобы найти лбщее решение, воспользуемся формулой Острогадского — Лиувилля

Здесь p(x)=(4x-2)/(2x+1)

Вычислим интегал

Итак,

1. или
2. e-2xy'+2-2xy=Ce-2x(2x+1)2
3. Делим на y12(x),

• При вычислении интеграла 2 раза воспользовались формулой интегрирования по частям
• y(x)=(C/2)(4×2+1)+C1e-2x — общее решение исходного уравнения.
• Пример 2.
• Найти общее решение уравнения
• (1-x2)y''-2xy'+2y=0 на (1;1).

Попробуем найти частное решение y1(x) в виде алгебраического многочлена. Для этого подставим y1(x)=xn+a1xn-1+…+an

1. Выписываем только члены с самой старшей степенью «х». Приравнивая к нулю коэффициент при старшей степени «х», определим степень многочлен
2. -n(n-1)+2n+2=0,
3. n2-3n+2=0 n=1; n=2
4. частным решением будет и y1=x+a и y1=x2+ax+b
5. Возьмем за y1(x)=x+a. Чтобы найти «a», опять подставим y1=x+a в исходное уравнение
6. -2x+2x+2a=0
7. a=0
8. Итак, y1=x является частным решением.
9. Для нахождения общего решения воспользуемся формулой Острогадского — Лиувилля

• (Интеграл разбили на два
• и во втором интеграле воспользовались тем, что

1. Пример 3
2. Найти общее решение уравнения
3. x2y''-xy'-3y=0 x>0 если известно что
4. y1(x)=1/x — частное решение
5. Проверим, что y1(x)=1/x — частное решение. Для этого подставим y1(x)=1/x в уравнение y1'(x)=-1/x2 , y''=2/x3

Источник: https://tehtab.ru/Guide/GuideMathematics/Equations/DifferentialEquations/ExamplesOfLineurEquations/

Способы решения систем уравнений с двумя неизвестными

Елена Репина 2015-10-09 2019-08-08

Линейные системы уравнений

Системы линейных уравнений. Метод подстановки 

+ показать

• Выражаем одну переменную через другую.

• Выраженную из одного уравнения переменную подставляем во второе уравнение. Получаем уравнение относительно одной переменной, которое и решаем.

• Опираясь на найденное значение одной переменной, находим значение второй, подставляя в оставшееся уравнение.

Решение: + показать

Из первого уравнения системы выражаем через и подставляем во второе уравнение:

Вторая строка системы – уравнение с одной переменной. Решаем его и найденное значение подставляем в первое уравнение для нахождения .

Ответ:

Системы линейных уравнений. Метод сложения 

• + показать
• • Добиваемся, путем равносильных преобразований, наличия равных (или противоположных) коэффициентов при одной из неизвестных переменных в уравнениях.
• • Вычитаем (или складываем) полученные уравнения с целью выхода на уравнение с одной неизвестной. 
• • Решаем  полученное уравнение с одной неизвестной.
• • Найденное значение одной переменной подставляем в любое из уравнений системы, находим значение второй.

1. 1. Решить систему уравнений: 
2. Решение: + показать
3. Складываем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.

Ответ:  

• 2. Решить систему уравнений: 
• Решение: + показать

Прежде домножаем первую строку системы , вторую строку системы – на . Вычитаем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.

1. Ответ:  

Нелинейные системы уравнений

Системы уравнений, сводящихся к линейным

• 1. Решить систему уравнений: 
• Решение: + показать
• Можно сделать замену и Тогда выходим на систему линейных уравнений:
• Систему можно решить методом сложения, например.
• Но приведем решение без замены.
• Умножим первое уравнение системы на , второе – на и произведем сложение полученных уравнений, оставим при этом в системе, например, первое уравнение исходной системы.
• Ответ:  

1. 2.

    Решить систему уравнений: 

2. Решение: + показать
3. Можно сделать замену и выйти на систему линейных уравнений:
4. Приведем решение без замены.
5. Выражаем из второго уравнения системы и подставляем в первое.

6. Ответ:  

Нелинейные системы уравнений. Метод подстановки

• Решить систему уравнений: 
• Решение: + показать
• Выражаем из первого уравнения системы и подставляем во второе.
• Ответ:  

Нелинейные системы уравнений. Метод сложения

1. Решить систему уравнений: 
2. Решение: + показать
3. Складываем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.
4. Ответ:  

Нелинейные системы уравнений. Метод почленного умножения (деления)

• 1. Решить систему уравнений: 
• Решение: + показать
• Производим деление первой строки на вторую, оставляем в системе вторую строку без изменений.
• Ответ:  
• Симметрические системы. Метод введения переменной

Симметрическая система – система, все уравнения которой симметрические.

Симметрическое уравнение от двух переменных и – уравнение, которое не изменяется при замене на и на .

1. Для таких систем удобно использовать замену  
2. Решить систему уравнений: 
3. Решение: + показать
4. При замене  приходим к следующей системе
5.  которую будем решать способом подстановки:
6. Производим обратную замену:
7. Ответ:
8. Системы однородных уравнений и приводящиеся к ним системы
9. Однородным уравнением с двумя неизвестными  будем называть уравнение вида
10. 1. Решить систему уравнений: 
11. Решение: + показать

Первое уравнение системы – однородное. Производим деление первого уравнения системы на (можно и на или ). Заметим, опасности деления на ноль нет.

• Первое уравнение системы – квадратное относительно .
• Ответ:
• 2. Решить систему уравнений: 
• Решение: + показать

Применим прежде к системе метод сложения. После чего выйдем на однородное уравнение.

1. Ответ:

Графический метод решения систем уравнений

• 1. Решите графически систему уравнений: 
• Решение: + показать
• Выразим в обеих строках системы через :

Первое уравнение системы задает прямую, второе – гиперболу. Строим графики в одной системе координат, находим координаты точек пересечения графиков.

1. Ответ: 
2. 2. Решите графически систему уравнений: 
3. Решение: + показать

Первая строка системы задает окружность с центром в точке радиусом .  Вторая строка системы задает прямую .

• Находим координаты точек пересечения графиков:
• Ответ: 
• 3. Решите графически систему уравнений: 
• Решение: + показать
• Первая строка системы задает параболу с ветвями вверх с вершиной в точке .
• Так как , то из второй строки системы при условии, что То есть вторая строка системы задает прямую с выколотой точкой 
• Ответ: 
• Задания для самостоятельной работы
• + показать
• Решите системы уравнений:
• 1.
• Ответ:
• 2. 
• Ответ:
• 3. 
• Ответ:
• 4. 
• Ответ:
• 5. 
• Ответ:
• 6. 
• Ответ:
• 7. 
• Ответ:
• 8. 
• Ответ:
• Решите графически системы уравнений:
• 9. 
• Ответ:
• 10. 
• Ответ:
• egeMax |

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Печать страницы

Источник: https://egemaximum.ru/sposoby-resheniya-sistem-uravnenij-s-dvumya-neizvestnymi/

Основные понятия и определения /qualihelpy

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты Линейным уравнением с  переменными называют уравнение вида , (2.1)где , , ; . Числа  называют коэффициентами при переменных,а число  – свободным членом.Запись  означает, что все коэффициенты при переменных одновременно не могут быть равны нулю. Системой линейных уравнений называют множество линейных уравнений с  неизвестными (), для которых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющих всем уравнениям системы.Система, состоящая из  уравнений и содержащая  переменных уравнений, имеет вид: (2.2)Числа  называют коэффициентами при переменных, а числа  – свободными членами .

• Если все свободные члены равны нулю, то такая система уравнений называется однородной.
• Матрицы системы (2.2):
• 1) искомая матрица Х системы состоит из переменных:

; (2.3)

2) основная матрица системы А состоит из коэффициентов при переменных:

; (2.4)

3) матрица-столбец В состоит из свободных членов системы:

 ; (2.5)

4) расширенная матрица системы состоит из коэффициентов при переменных и свободных членов:

. (2.6)

Решением системы является упорядоченная совокупность чисел, при подстановке которых в систему каждое из ее уравнений обращается в верное равенство. 

Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или показать, что эта система решений не имеет.

Система, которая имеет хотя бы одно решение, называется совместной. Если система имеет только одно решение, то она называется определенной, а если имеет бесконечно много решений – неопределенной.

Система, которая не имеет ни одного решения, называется несовместной.

Пример 1. Запишем матрицы системы уравнений

 1) основная матрица 2.4 системы: ;2) искомая матрица 2.3 системы: ;3) матрица свободных членов 2.5системы: ;4) расширенная матрица 2.6системы: .Пример 2. Убедимся в том, что совокупность чисел ,  и  образуют решение системы уравнений Действительно, 

Однородная система линейных уравнений всегда совместна.

Источник: http://helpy.quali.me/theme/university/60

6.5.1. Линейное уравнение с одной переменной

•  Равенство с переменной называют уравнением.
•  Решить уравнение – значит найти множество его корней. Уравнение может иметь один, два, несколько, множество корней или не иметь их вовсе.
• Каждое значение переменной, при котором данное уравнение превращается в верное равенство, называется корнем уравнения.
• Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями.
•  Любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
•  Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Примеры.  Решить уравнение.

1. 1,5х+4 = 0,3х-2.

1,5х-0,3х = -2-4. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.

1,2х = -6. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).

х = -6 : 1,2. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

• х = -5. Делили по правилу деления десятичной дроби на десятичную дробь:
• чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно перенести запятые в делимом и делителе на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число:
• 6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.
• Ответ: 5.

2. 3∙(2х-9) = 4∙(х-4).

6х-27 = 4х-16. Раскрыли скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно отдельно уменьшаемое и отдельно вычитаемое умножить на третье число, а затем из первого результата вычесть второй результат, т.е. (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.

6х-4х = -16+27. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.

2х = 11. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).

х = 5,5.

Ответ: 5,5.

3. 7х- (3+2х)=х-9.

7х-3-2х = х-9. Раскрыли скобки по правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-»: если перед скобками стоит знак «-», то убираем скобки, знак «-» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, с противоположными знаками.

7х-2х-х = -9+3. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.

4х = -6. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).

х = -6 : 4. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

1. х = -1,5.
2. Ответ: -1,5.
3. 

3 ∙ (х-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2х-11). Умножили обе части равенства на 12 – наименьший общий знаменатель для знаменателей данных дробей.

3х-15 = 84-8х+44. Раскрыли скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно отдельно уменьшаемое и отдельно вычитаемое умножить на третье число, а затем из первого результата вычесть второй результат, т.е. (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.

3х+8х = 84+44+15. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.

11х = 143. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).

х = 143 : 11. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

• х = 13.
• Ответ: 13.
• 5. Решить самостоятельно уравнения:
• а) 3-2,6х = 5х+1,48;
• б) 1,6 · (х+5) = 4 · (4,5-0,6х);
• в) 9х- (6х+2,5) = — (х-5,5);
• 
• Ответы.
• 5а) 0,2; 5б) 2,5; 5в) 2; 5г) -1.

Источник: https://www.mathematics-repetition.com/6-klass-mathematics/6-5-1-lineynoe-uravnenie-s-odnoy-peremennoy.html

Уравнения с одной переменной

• Главная
• Справочник
• Алгебра
• Уравнения с одной переменной

На предыдущих занятиях мы знакомились с выражениями, а также учились их упрощать и вычислять. Теперь переходим к более сложному и интересному, а именно к уравнениям.

Уравнение и его корни

Равенство, содержащие переменную (-ые) называются уравнениями. Решить уравнение, значит найти значение переменной, при котором равенство будет верным. Значение переменной называют корнем уравнения.

Уравнения могут иметь, как один корень, так и несколько или вообще ни одного.

При решении уравнений используются следующие свойства:

• если в уравнении перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, поменяв при этом знак на противоположный, то получится уравнение равносильное данному.
• если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже число, то получится уравнение равносильное данному.

• Пример №1 Какие из чисел: -2, -1, 0, 2, 3 являются корнями уравнения: 
• ( x^2=10-3x )
• Чтобы решить данное задание необходимо просто поочередно подставить вместо переменной x каждое из чисел и выделить те числа, при которых равенство считается верным.
• При «х= -2»:
• ( (-2)^2=10-3 cdot (-2) )
• ( 4=4 ) — равенство верное, значит (-2) — корень нашего уравнения
• При «х= -1»
• ( (-1)^2=10-3 cdot (-1) )
• ( 1=7 ) — равенство неверное, поэтому (-1) — не является корнем уравнения
• При «х=0»
• ( 0^2=10-3 cdot 0 )
• ( 0=10 ) — равенство неверное, поэтому 0 не является корнем уравнения
• При «x=2»
• ( 2^2=10-3 cdot 2 )
• ( 4=4 ) — равенство верное, значит 2 — корень нашего уравнения
• При «х=3»
• ( 3^2=10-3 cdot 3 )
• ( 9=1 ) — равенство неверное, поэтому 3 не является корнем уравнения
• Ответ: из представленных чисел, корнями уравнения ( x^2=10-3x ) являются числа -2 и 2.

Линейное уравнение с одной переменной

1. Линейное уравнение с одной переменной — это уравнения вида ax = b, где x — переменная, а a и b — некоторые числа.

2. Существует большое количество видов уравнений, но решение многих из них сводится именно к решению линейных уравнений, поэтому знание этой темы обязательно для дальнейшего обучения!
3. Пример №2 Решить уравнение: 4(x+7) = 3-x
4. Для решения данного уравнения, в первую очередь, нужно избавиться от скобки, а для этого домножим на 4 каждое из слагаемых в скобке, получаем:
5. 4х + 28 = 3 — х
6. Теперь нужно перенести все значения с «х» в одну сторону, а все остальное в другую сторону (не забывая менять знак на противоположный), получаем:
7. 4х + х = 3 — 28
8. Теперь вычитаем значение слева и справа:
9. 5х = -25
10. Чтобы найти неизвестный множитель (х) нужно произведение (25) разделить на известный множитель (5):
11. х = -25:5
12. х = -5
13. Ответ х = -5
14. Если сомневаетесь в ответе можно проверить, подставив полученное значение в наше уравнение вместо х:
15. 4(-5+7) = 3-(-5)
16. 4*2 = 8
17. 8 = 8 — уравнение решено верно!
18. Решить теперь что-нибудь по-сложнее:
19. Пример №3 Найти корни уравнения: ( (y+4)-(y-4)=6y )
20. В первую очередь, также избавимся от скобок:
21. ( y+4-y+4=6y )
22. Сразу видим в левой части y и -y, а значит их можно просто вычеркнуть, а полученные числа просто сложить, и записать выражение:
23. ( 8 = 6y )

Теперь можно перенести значения с «y» в левую сторону, а значения с числами в правую. Но ведь это не обязательно, ведь не важно с какой стороны находятся переменные, главное, чтобы они были без чисел, а значит, ничего переносить не будем. Но для тех кто не понял, то сделаем, как гласит правило и разделим обе части на (-1), как гласит свойство:

• ( 6y=8 )
• Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель:
• ( y=frac{8}{6} = frac{4}{3} = 1frac{1}{3} )
• Ответ: y = ( 1frac{1}{3} )
• Также можно проверить ответ, но сделайте это самостоятельно.
• Пример №4 ( (0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) )
• Теперь я просто решу, без объяснений, а вы посмотрите на ход решения и правильную запись решения уравнений:
• ( (0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) )
• ( 0,5x+1,2-3,6+4,5x=4,8-0,3x+10,5x+0,6 )
• ( 0,5x+4,5x+0,3x-10,5x=4,8+0,6-1,2+3,6 )
• ( -5,2x=7,8 )
• ( x=frac{7,8}{-5,2}=frac{3}{-2} =-1,5 )
• Ответ: x = -1,5
• Если что-то не понятно по ходу решения пишите в х

Решение задач с помощью уравнений

Зная что такое уравнения и научившись их вычислять — вы также открываете себе доступ к решению множества задач, где для решения используются именно уравнения.

Не буду вдаваться в теорию, лучше показать все и сразу на примерах

Пример №5 В корзине было в 2 раза меньше яблок, чем в ящике. После того, как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в ящике их стало в 5 раз больше, чем в корзине. Сколько яблок было в корзине, а сколько в ящике?

В первую очередь нужно определить, что мы примем за «х», в данной задаче можно принять и ящики, и корзины, но я возьму яблоки в корзине.

Значит, пусть в корзине было x яблок, так как в ящике яблок было в два раза больше, то возьмем это за 2х. После того, как  из корзины яблоки переложили в ящик в корзине яблок стало: х — 10,  а значит, в ящике стало — (2х + 10) яблок.

1. Теперь можно составить уравнение:
2. 5(х-10) — в ящике стало в 5 раз больше яблок, чем в корзине.
3. Приравняем первое значение и второе:
4. 2x+10 = 5(x-10) и решаем:
5. 2х + 10 = 5х — 50
6. 2х — 5х = -50 — 10
7. -3х = -60
8. х = -60/-3 = 20 (яблок) — в корзине
9. Теперь, зная сколько яблок было в корзине, найдем сколько яблок было в ящике — так как их было в два раза больше, то просто результат умножим на 2:
10. 2*20 = 40 (яблок) — в ящике
11. Ответ:  в ящике — 40 яблок, а в корзине — 20 яблок.
12. Я понимаю, что многие из вас, возможно, не до конца разобрались в решении задач, но уверяю к этой теме мы вернемся и еще не раз на наших уроках, а пока если у вас остались вопросы — задавайте их в х.
13. Под конец еще несколько примеров на решения уравнений
14. Пример №6 ( 2x — 0,7x = 0 )
15. ( 1,3x = 0 )
16. ( x=0/1,3 )
17. ( x = 0 )
18. Пример №7 ( 3p — 1 -(p+3) = 1 )
19. ( 3p-1-p-3=1 )
20. ( 3p-p=1+1+3 )
21. ( 2p=5 )
22. ( p=5/2 )
23. ( p=2,5 )
24. Пример №8 ( 6y-(y-1) = 4+5y )
25. ( 6y-y+1=4+5y )
26. ( 6y-y-5y=4-1 )

( 0y=3 ) — корней нет, т.к. на ноль делить нельзя!

Всем спасибо за внимание. Если что-то непонятно спрашивайте в х.

Источник: https://calcsbox.com/post/uravnenia-s-odnoj-peremennoj.html

Алгебра 7-9 классы. 1. Уравнения с одной переменной. Выражения и их преобразования — Всё для чайников

Подробности Категория: Алгебра 7-9 классы

 УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ

Решим задачу: «На двух полках 40 книг, причем на верхней полке в 8 раза больше книг, чем на нижней. Сколько книг на нижней полке?»

Обозначим буквой х число книг на нижней полке. Тогда число книг на верхней полке равно Зх. По условию задачи на обеих полках находится 40 книг. Это условие можно записать в виде равенства:

3x + x = 40.

Чтобы найти неизвестное число книг, мы составили равенство, содержащее переменную. Такие равенства называют уравнениями. Переменную в уравнении называют также неизвестным числом или просто неизвестным.

Определение. Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Уравнение Зх + х = 40 имеет один корень. Можно привести примеры уравнений, которые имеют два, три и более корней или вообще не имеют корней.

Так, уравнение (х—4)(х — 5) (х—6)=0 имеет три корня: 4, б и 6. Действительно, каждое из этих чисел обращает в нуль один из множителей произведения (х—4) (х—5)(х—б), а значит, и само произведение.

При любом другом значении х ни один из множителей в нуль не обращается, а значит, не обращается в нуль и произведение.

Уравнение х + 2 = х не имеет корней, так как при любом значении х левая часть уравнения на 2 больше правой части.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Уравнение х2=4 имеет два корня — числа 2 и —2. Уравнение (х—2) (х+2)=0 также имеет корни 2 и —2. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.

• Уравнения обладают следующими свойствами:
• 1)    если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение, равносильное данному;
• 2)    если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Рассмотрим уравнение х2 — 2 = 7. Прибавив к левой и правой частям этого уравнения число 2, получим уравнение х2 = 9. Докажем, что уравнения х2 — 2 = 7 и х2 = 9 равносильны.

Пусть некоторое значение х является корнем первого уравнения, т. е. при этом значении- х уравнение х2—2 = 7 обращается в верное равенство. Прибавив к обеим частям этого равенства число 2, мы снова получим верное равенство. Значит, при этом значении х второе уравнение также обращается в верное равенство. Мы доказали, что каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения.

Допустим теперь, что некоторое значение х является корнем второго уравнения х2 = 9, т. е. обращает его в верное равенство. После вычитания из обеих частей этого равенства числа 2 мы получим верное равенство. Значит, при этом значении х первое уравнение также обращается в верное равенство. Поэтому каждый корень второго уравнения является корнем первого.

Подобными рассуждениями устанавливается справедливость обоих свойств уравнений в общем случае.

3) Можно также доказать, что  если в уравнении перенести слагаемое ив одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, перенеся в уравнении 5х = 2х + 9 слагаемое 2х с противоположным знаком из правой части уравнения в левую, получим уравнение 5х—2дс=9, ему равносильное.

Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую часто применяется при решении уравнений.

 

Линейное уравнение с одной переменной

Каждое из уравнений 5х = — 4,  — 0,2х = 0,  —х= —6,5 имеет вид ах = b где а и b — числа.  В первом уравнении а = 5, b= — 4, во втором а= —0,2, b = 0, в третьем а= — 1, b= —6,5. Такие уравнения называют линейными уравнениями с одной переменной.

Определение. Уравнение вида ах = b, где х — переменная, а и b — числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Число а называется коэффициентом при переменной, а число b — свободным членом.

Рассмотрим линейное уравнение ах = b, в котором коэффициент а не равен нулю. Разделив обе части уравнения на а, получим . Значит, линейное уравнение ах=b в котором а≠ 0, имеет единственный корень

Рассмотрим теперь линейное уравнение ах = b, у которого коэффициент а равен нулю. Если а = 0 и b≠ О, то уравнение ах =b не имеет корней, так как равенство Ox = b, где b≠ 0, не является верным ни при каком x. Если а = 0 и b = О, то любое значение х является корнем уравнения, так как равенство 0х = 0 верно при любом х.

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.

Пример. Решим уравнение Раскроем скобки:

Перенесем слагаемое —х в левую часть уравнения, а слагаемое 28 в правую, изменив при этом их знаки:

Приведем подобные слагаемые:

Заменяя последовательно одно уравнение другим, равносильным ему, мы получили линейное уравнение, в котором коэффициент при х отличен от нуля. Разделим обе части уравнения на этот коэффициент:

Источник: https://forkettle.ru/vidioteka/estestvoznanie/matematika/181-algebra/algebra-7-9-klassy/1891-algebra-7-9-klassy-1-uravneniya-s-odnoj-peremennoj-vyrazheniya-i-ikh-preobrazovaniya

Теоретический материал: Линейное уравнение с двумя неизвестными

Алгебра

Глава 8. Системы уравнений

8.1. Линейное уравнение с двумя неизвестными

Определение

Уравнение вида , где и — неизвестные и свободный член — любые действительные числа, называется линейным уравнением с двумя неизвестными. — нормальный вид такого уравнения. Каждая пара значений и , удовлетворяющая уравнению с двумя неизвестными, называется решением этого уравнения.

• Ученик:
• А как решается, например, уравнение ?
• Учитель:

Одному из неизвестных можно дать любое значение; тогда получим уравнение с одним неизвестным, из которого найдем значение второго неизвестного. Пусть , тогда , , .Если бы неизвестному дали значение , то нашли бы значение . Пара чисел и удовлетворяет данному уравнению — обращает его в верное равенство : , , .Таких пар чисел существует бесконечно много.

1. Ученик:
2. Так сколько решений обычно имеют уравнения с двумя неизвестными?
3. Учитель:
4. Линейное уравнение с двумя неизвестными обычно имеет бесконечное множество решений и поэтому называется неопределенным уравнением.
5. Ученик:
6. А может ли быть такое, чтобы такое уравнение вообще не имело корней?
7. Учитель:

Да, конечно, такое может быть. Например, уравнение . После приведения его к нормальному виду получим: ,, (или ) — равенство неверно, т.к. ему не удовлетворяют никакие значения и .

Если в уравнении первой степени с двумя неизвестными коэффициент при равен нулю, то получим уравнение с одним неизвестным (). Например, ;

;. Графиком последнего уравнения, а поэтому и двух других равносильных ему уравнений является прямая, параллельная оси ординат.

Итак, графиком уравнения

, если и не равны нулю одновременно, является прямая линия. Ее обычно строят по точкам пересечения с осями координат. Если и , то возможны два случая:1) или — уравнение не имеет ни одного решения и ему не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости;2) или — уравнение имеет бесчисленное множество решений (причем значения и здесь даже не зависят друг от друга) и ему удовлетворяют координаты всех точек плоскости.

Источник: https://dl.bsu.by/mod/book/view.php?id=10170