Уравнения с одной переменной — справочник студента

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Уравнения с одной переменной

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Равенство, содержащее переменную, называют уравнением и записывают  Областью определения (или областью допустимых значений) уравнения  называют общую часть областей определения функций  и 

Значение переменной, при подстановке которого в уравнение получаем верное равенство, называют корнем (решением) уравнения. 

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Число  называют корнем кратности  многочлена  Уравнения с одной переменной - Справочник студента если справедливо равенство Уравнения с одной переменной - Справочник студента где  Уравнения с одной переменной - Справочник студента – многочлен степени и  – натуральные числа  и  

Равносильные и неравносильные уравнения

Уравнения   и   называют равносильными, если множества их решений совпадают (они имеют равные корни либо не имеют корней). Записывают:  Например: 1) уравнения   и   равносильны, так решением каждого из этих уравнений является только число  2) уравнения   и   равносильны, так как каждое из этих уравнений не имеет решений.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Организация опытно-поисковой исследовательской работы образовательного учреждения - справочник студента

Оценим за полчаса!

Уравнение   является следствием уравнения  если его решение содержит все корни уравнения Записывают:  Например, уравнение   является следствием уравнения   так как корнем уравнения   является число  а корнями уравнения   – числа  и  Если выполняются условия   и то 

Равносильные уравнения получают в результате следующих преобразований:

1. При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. 

2. При умножении или делении обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число. 

3. При замене уравнения   системой уравнений 

Существует ряд преобразований уравнений, которые могут привести к уравнению, неравносильному данному:

1. Возведение обеих частей уравнения в четную степень (в результате могут появиться посторонние корни). 

Например,уравнения   и   не равносильны, так как уравнение   корней не имеет, а уравнение   имеет корень 

2. Умножение обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную (могут появиться посторонние корни).

Например, уравнения   и   не равносильны, так как корнем уравнения   является только число  а корнями уравнения   являются числа  и 

3. Деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную (может произойти потеря корней). 

Например, 1) уравнения   и   не равносильны, так как корнями уравнения   являются числа  и а корнем уравнения   является только число  Пример 1.  Найдите область определения уравнения Решение.

Так как функция   определена на множестве всех действительных чисел, за исключением числа нуль, а функция  определена на множестве всех действительных чисел, то область определения данного уравнения имеет вид: 

Уравнения с двумя переменными 

Решением уравнения   с двумя переменными  и  является упорядоченная пара  чисел, при подстановке которых в уравнение, получим верное числовое равенство.Например: решение уравнения   образует множество пар чисел таких как    и т. д.Систему двух уравнений    и   с двумя переменными  и  записывают в виде  

Решение системы уравнений образуют только те пары чисел, которые являются решениями каждого уравнения системы. 

Источник: http://helpy.quali.me/theme/school/22

6.5.1. Линейное уравнение с одной переменной

  •  Равенство с переменной называют уравнением.
  •  Решить уравнение – значит найти множество его корней. Уравнение может иметь один, два, несколько, множество корней или не иметь их вовсе.
  • Каждое значение переменной, при котором данное уравнение превращается в верное равенство, называется корнем уравнения.
  • Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями.
  •  Любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
  •  Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Примеры.  Решить уравнение.

1. 1,5х+4 = 0,3х-2.

1,5х-0,3х = -2-4. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.

1,2х = -6. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).

х = -6 : 1,2. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

  • х = -5. Делили по правилу деления десятичной дроби на десятичную дробь:
  • чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно перенести запятые в делимом и делителе на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число:
  • 6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.
  • Ответ: 5.

2. 3(2х-9) = 4(х-4).

6х-27 = 4х-16. Раскрыли скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно отдельно уменьшаемое и отдельно вычитаемое умножить на третье число, а затем из первого результата вычесть второй результат, т.е. (a-b) c = a c-b c.

6х-4х = -16+27. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.

2х = 11. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).

х = 11 : 2. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

х = 5,5.

Ответ: 5,5.

3. 7х- (3+2х)=х-9.

7х-3-2х = х-9. Раскрыли скобки по правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-»: если перед скобками стоит знак «-», то убираем скобки, знак «-» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, с противоположными знаками.

7х-2х-х = -9+3. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.

4х = -6. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).

х = -6 : 4. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

  1. х = -1,5.
  2. Ответ: -1,5.
  3. Уравнения с одной переменной - Справочник студента

3 (х-5) = 7 12 — 4 (2х-11). Умножили обе части равенства на 12 – наименьший общий знаменатель для знаменателей данных дробей.

3х-15 = 84-8х+44. Раскрыли скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно отдельно уменьшаемое и отдельно вычитаемое умножить на третье число, а затем из первого результата вычесть второй результат, т.е. (a-b) c = a c-b c.

3х+8х = 84+44+15. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.

11х = 143. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).

х = 143 : 11. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

  • х = 13.
  • Ответ: 13.
  • 5. Решить самостоятельно уравнения:
  • а) 3-2,6х = 5х+1,48;
  • б) 1,6 · (х+5) = 4 · (4,5-0,6х);
  • в) 9х- (6х+2,5) = — (х-5,5);
  • Уравнения с одной переменной - Справочник студента
  • Ответы.
  • 5а) 0,2; 5б) 2,5; 5в) 2; 5г) -1.

Источник: https://www.mathematics-repetition.com/6-klass-mathematics/6-5-1-lineynoe-uravnenie-s-odnoy-peremennoy.html

Уравнение с одной переменной

Уравнение с одной переменной.

Уравнение – это равенство, в котором присутствует одна или несколько переменных.

Мы рассмотрим случай, когда в уравнении одна переменная, то есть одно неизвестное число. По сути, уравнение – это вид математической модели. Поэтому в первую очередь уравнения необходимы нам для решения задач.Уравнения с одной переменной - Справочник студента Вспомним, как составляется математическая модель для решения задачи. Например, в новом учебном году количество учащихся в школе №5 увеличилось вдвое. После того, как 20 учеников перешли в другую школу, в общей сложности в школе №5 стало учиться 720 учеников. Сколько учащихся было в прошлом году?

Нам нужно выразить то, что сказано в условии математическим языком. Пусть количество учащихся в прошлом году будет X. Тогда согласно условию задачи,

2X – 20 = 720. У нас получилась математическая модель, которая представляет собой уравнение с одной переменной. Если точнее, то это уравнение первой степени с одной переменной. Осталось найти его корень.

Что такое корень уравнения?

То значение переменной, при котором наше уравнение обратится в верное равенство, называется корнем уравнения. Бывают такие уравнения, у которых много корней. Например, в уравнении 2*X = (5-3)*X любое значение X является корнем.

А уравнение X = X +5 вообще не имеет корней, так как какое бы мы не подставили значение X, у нас не получится верное равенство. Решить уравнение означает найти все его корни, или определить, что оно не имеет корней.

Таким образом, чтобы ответить на наш вопрос, нам нужно решить уравнение 2X – 20 = 720.

Как решать уравнения с одной переменной?

Для начала запишем базовые определения. Каждое уравнение имеет правую и левую части. В нашем случае, (2X – 20) – левая часть уравнения (она стоит слева от знака равенства), а 720 – правая часть уравнения. Слагаемые правой и левой части уравнения называются членами уравнения. У нас членами уравнения являются 2X, -20 и 720.

Сразу скажем про 2 свойства уравнений:

  1. Любой член уравнения можно переносить из правой части уравнения в левую, и наоборот. При этом надо изменить знак этого члена уравнения на противоположный. То есть, записи вида 2X – 20 = 720, 2X – 20 – 720 = 0, 2X = 720 + 20, -20 = 720 – 2X равносильны.

  2. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число. Это число не должно быть равно нулю. То есть, записи вида 2X – 20 = 720, 5*(2X – 20) = 720*5, (2X – 20):2 = 720:2 также равносильны.

Воспользуемся этими свойствами для решения нашего уравнения.

2X – 20 = 720Перенесем -20 в правую часть с противоположным знаком. Получим:2X = 720 + 20.  Сложим то, что у нас в правой части. Получим, что 2X = 740.Теперь разделим левую и правую части уравнения на 2.2X:2 = 740:2 или X = 370. Мы нашли корень нашего уравнения и заодно нашли ответ на вопрос нашей задачи.

В прошлом году в школе №5 было 370 учеников.Проверим, действительно ли наш корень обращает уравнение в верное равенство. Подставим вместо X число 370 в уравнение 2X – 20 = 720. 2*370-20 = 720. 740-20 = 720 720 = 720.Все верно.

Итак, чтобы решить уравнение с одной переменной его нужно привести к так называемому линейному уравнению вида ax = b, где a и b – некоторые числа. Затем левую и правую часть разделить на число a. Получим, что x = b:a.

Что означает привести уравнение к линейному уравнению?

Рассмотрим такое уравнение:5X — 2X + 10 = 59 — 7X +3X.Это также уравнение с одной неизвестной переменной X. Наша задача привести это уравнение к виду ax = b.

Для этого сначала соберем все слагаемые, имеющие в качестве множителя X в левой части уравнения, а остальные слагаемые  — в правой части. Слагаемые, имеющие в качестве множителя одну и ту же букву, называют подобными слагаемыми.5X — 2X + 7X – 3X = 59 – 10.

Согласно распределительному свойству умножения мы можем вынести одинаковый множитель за скобки, а коэффициенты (множители при переменной x) сложить. Этот процесс также называют приведением подобных слагаемых.X(5-2+7-3) = 49.7X = 49. Мы привели уравнение к виду ax = b, где a = 7, b = 49.

А как мы написали выше, корнем уравнения вида ax = b будет x = b:a.  То есть X = 49:7 = 7.

Алгоритм нахождения корней уравнения с одной переменной.

  1. Собрать подобные слагаемые в левой части уравнения, остальные слагаемые – в правой части уравнения.
  2. Привести подобные слагаемые.
  3. Привести уравнение к виду ax = b.
  4. Найти корни по формуле x = b:a.

Примечание. В данной статье мы не рассматривали те случаи, когда переменная возводится в какую-нибдуь степень. Иначе говоря мы рассматривали уравнения первой степени с одной переменной.

04.09.2014 11:04 UTC

Источник: https://obuchalka.org/2014090479749/uravnenie-s-odnoi-peremennoi.html

Алгебра 7-9 классы. 1. Уравнения с одной переменной. Выражения и их преобразования — Всё для чайников

Подробности Категория: Алгебра 7-9 классы

 УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ

Решим задачу: «На двух полках 40 книг, причем на верхней полке в 8 раза больше книг, чем на нижней. Сколько книг на нижней полке?»

Обозначим буквой х число книг на нижней полке. Тогда число книг на верхней полке равно Зх. По условию задачи на обеих полках находится 40 книг. Это условие можно записать в виде равенства:

Читайте также:  Принципы и критерии отбора учебного материала - справочник студента

3x + x = 40.

Чтобы найти неизвестное число книг, мы составили равенство, содержащее переменную. Такие равенства называют уравнениями. Переменную в уравнении называют также неизвестным числом или просто неизвестным.

Нам надо найти число, при подстановке которого вместо х в уравнение Зх + х = 40 получается верное равенство. Такое число называют решением уравнения или корнем уравнения. Равенство Зх + х = 40 верно при х = 10. Число 10 — корень уравнения Зх + х = 40.

Определение. Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Уравнение Зх + х = 40 имеет один корень. Можно привести примеры уравнений, которые имеют два, три и более корней или вообще не имеют корней.

Так, уравнение (х—4)(х — 5) (х—6)=0 имеет три корня: 4, б и 6. Действительно, каждое из этих чисел обращает в нуль один из множителей произведения (х—4) (х—5)(х—б), а значит, и само произведение.

При любом другом значении х ни один из множителей в нуль не обращается, а значит, не обращается в нуль и произведение.

Уравнение х + 2 = х не имеет корней, так как при любом значении х левая часть уравнения на 2 больше правой части.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Уравнение х2=4 имеет два корня — числа 2 и —2. Уравнение (х—2) (х+2)=0 также имеет корни 2 и —2. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.

  • Уравнения обладают следующими свойствами:
  • 1)    если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение, равносильное данному;
  • 2)    если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Рассмотрим уравнение х2 — 2 = 7. Прибавив к левой и правой частям этого уравнения число 2, получим уравнение х2 = 9. Докажем, что уравнения х2 — 2 = 7 и х2 = 9 равносильны.

Пусть некоторое значение х является корнем первого уравнения, т. е. при этом значении- х уравнение х2—2 = 7 обращается в верное равенство. Прибавив к обеим частям этого равенства число 2, мы снова получим верное равенство. Значит, при этом значении х второе уравнение также обращается в верное равенство. Мы доказали, что каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения.

Допустим теперь, что некоторое значение х является корнем второго уравнения х2 = 9, т. е. обращает его в верное равенство. После вычитания из обеих частей этого равенства числа 2 мы получим верное равенство. Значит, при этом значении х первое уравнение также обращается в верное равенство. Поэтому каждый корень второго уравнения является корнем первого.

Таким образом, уравнения х2 — 2 = 7 и х2 = 9 имеют одни и те же корни, т. е. являются равносильными.

Подобными рассуждениями устанавливается справедливость обоих свойств уравнений в общем случае.

3) Можно также доказать, что  если в уравнении перенести слагаемое ив одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, перенеся в уравнении 5х = 2х + 9 слагаемое 2х с противоположным знаком из правой части уравнения в левую, получим уравнение 5х—2дс=9, ему равносильное.

Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую часто применяется при решении уравнений.

 

Линейное уравнение с одной переменной

Каждое из уравнений 5х = — 4,  — 0,2х = 0,  —х= —6,5 имеет вид ах = b где а и b — числа.  В первом уравнении а = 5, b= — 4, во втором а= —0,2, b = 0, в третьем а= — 1, b= —6,5. Такие уравнения называют линейными уравнениями с одной переменной.

Определение. Уравнение вида ах = b, где х — переменная, а и b — числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Число а называется коэффициентом при переменной, а число b — свободным членом.

Рассмотрим линейное уравнение ах = b, в котором коэффициент а не равен нулю. Разделив обе части уравнения на а, получим . Значит, линейное уравнение ах=b в котором а≠ 0, имеет единственный корень

Рассмотрим теперь линейное уравнение ах = b, у которого коэффициент а равен нулю. Если а = 0 и b≠ О, то уравнение ах =b не имеет корней, так как равенство Ox = b, где b≠ 0, не является верным ни при каком x. Если а = 0 и b = О, то любое значение х является корнем уравнения, так как равенство 0х = 0 верно при любом х.

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.

Пример. Решим уравнение Раскроем скобки:

Перенесем слагаемое —х в левую часть уравнения, а слагаемое 28 в правую, изменив при этом их знаки:

Приведем подобные слагаемые:

Заменяя последовательно одно уравнение другим, равносильным ему, мы получили линейное уравнение, в котором коэффициент при х отличен от нуля. Разделим обе части уравнения на этот коэффициент:

Может случиться, Что при решении уравнения мы придем к линейному уравнению вида 0х=b. В этом случае исходное уравнение либо не имеет корней, либо его корнем является любое число. Например, уравнение сводится к уравнению Ох = 7, и, значит, оно не имеет корней. Уравнение сводится к уравнению 0х = 0, и, значит, любое число является его корнем.

Источник: https://forkettle.ru/vidioteka/estestvoznanie/matematika/181-algebra/algebra-7-9-klassy/1891-algebra-7-9-klassy-1-uravneniya-s-odnoj-peremennoj-vyrazheniya-i-ikh-preobrazovaniya

Уравнения с одной переменной

  • Главная
  • Справочник
  • Алгебра
  • Уравнения с одной переменной

На предыдущих занятиях мы знакомились с выражениями, а также учились их упрощать и вычислять. Теперь переходим к более сложному и интересному, а именно к уравнениям.

Уравнение и его корни

Равенство, содержащие переменную (-ые) называются уравнениями. Решить уравнение, значит найти значение переменной, при котором равенство будет верным. Значение переменной называют корнем уравнения.

Уравнения могут иметь, как один корень, так и несколько или вообще ни одного.

При решении уравнений используются следующие свойства:

  • если в уравнении перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, поменяв при этом знак на противоположный, то получится уравнение равносильное данному.
  • если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже число, то получится уравнение равносильное данному.
  • Пример №1 Какие из чисел: -2, -1, 0, 2, 3 являются корнями уравнения: 
  • ( x^2=10-3x )
  • Чтобы решить данное задание необходимо просто поочередно подставить вместо переменной x каждое из чисел и выделить те числа, при которых равенство считается верным.
  • При «х= -2»:
  • ( (-2)^2=10-3 cdot (-2) )
  • ( 4=4 ) — равенство верное, значит (-2) — корень нашего уравнения
  • При «х= -1»
  • ( (-1)^2=10-3 cdot (-1) )
  • ( 1=7 ) — равенство неверное, поэтому (-1) — не является корнем уравнения
  • При «х=0»
  • ( 0^2=10-3 cdot 0 )
  • ( 0=10 ) — равенство неверное, поэтому 0 не является корнем уравнения
  • При «x=2»
  • ( 2^2=10-3 cdot 2 )
  • ( 4=4 ) — равенство верное, значит 2 — корень нашего уравнения
  • При «х=3»
  • ( 3^2=10-3 cdot 3 )
  • ( 9=1 ) — равенство неверное, поэтому 3 не является корнем уравнения
  • Ответ: из представленных чисел, корнями уравнения ( x^2=10-3x ) являются числа -2 и 2.

Линейное уравнение с одной переменной

  1. Линейное уравнение с одной переменной — это уравнения вида ax = b, где x — переменная, а a и b — некоторые числа.

  2. Существует большое количество видов уравнений, но решение многих из них сводится именно к решению линейных уравнений, поэтому знание этой темы обязательно для дальнейшего обучения!
  3. Пример №2 Решить уравнение: 4(x+7) = 3-x
  4. Для решения данного уравнения, в первую очередь, нужно избавиться от скобки, а для этого домножим на 4 каждое из слагаемых в скобке, получаем:
  5. 4х + 28 = 3 — х
  6. Теперь нужно перенести все значения с «х» в одну сторону, а все остальное в другую сторону (не забывая менять знак на противоположный), получаем:
  7. 4х + х = 3 — 28
  8. Теперь вычитаем значение слева и справа:
  9. 5х = -25
  10. Чтобы найти неизвестный множитель (х) нужно произведение (25) разделить на известный множитель (5):
  11. х = -25:5
  12. х = -5
  13. Ответ х = -5
  14. Если сомневаетесь в ответе можно проверить, подставив полученное значение в наше уравнение вместо х:
  15. 4(-5+7) = 3-(-5)
  16. 4*2 = 8
  17. 8 = 8 — уравнение решено верно!
  18. Решить теперь что-нибудь по-сложнее:
  19. Пример №3 Найти корни уравнения: ( (y+4)-(y-4)=6y )
  20. В первую очередь, также избавимся от скобок:
  21. ( y+4-y+4=6y )
  22. Сразу видим в левой части y и -y, а значит их можно просто вычеркнуть, а полученные числа просто сложить, и записать выражение:
  23. ( 8 = 6y )

Теперь можно перенести значения с «y» в левую сторону, а значения с числами в правую. Но ведь это не обязательно, ведь не важно с какой стороны находятся переменные, главное, чтобы они были без чисел, а значит, ничего переносить не будем. Но для тех кто не понял, то сделаем, как гласит правило и разделим обе части на (-1), как гласит свойство:

  • ( 6y=8 )
  • Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель:
  • ( y=frac{8}{6} = frac{4}{3} = 1frac{1}{3} )
  • Ответ: y = ( 1frac{1}{3} )
  • Также можно проверить ответ, но сделайте это самостоятельно.
  • Пример №4 ( (0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) )
  • Теперь я просто решу, без объяснений, а вы посмотрите на ход решения и правильную запись решения уравнений:
  • ( (0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) )
  • ( 0,5x+1,2-3,6+4,5x=4,8-0,3x+10,5x+0,6 )
  • ( 0,5x+4,5x+0,3x-10,5x=4,8+0,6-1,2+3,6 )
  • ( -5,2x=7,8 )
  • ( x=frac{7,8}{-5,2}=frac{3}{-2} =-1,5 )
  • Ответ: x = -1,5
  • Если что-то не понятно по ходу решения пишите в х

Решение задач с помощью уравнений

Зная что такое уравнения и научившись их вычислять — вы также открываете себе доступ к решению множества задач, где для решения используются именно уравнения.

Не буду вдаваться в теорию, лучше показать все и сразу на примерах

Пример №5 В корзине было в 2 раза меньше яблок, чем в ящике. После того, как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в ящике их стало в 5 раз больше, чем в корзине. Сколько яблок было в корзине, а сколько в ящике?

В первую очередь нужно определить, что мы примем за «х», в данной задаче можно принять и ящики, и корзины, но я возьму яблоки в корзине.

Значит, пусть в корзине было x яблок, так как в ящике яблок было в два раза больше, то возьмем это за 2х. После того, как  из корзины яблоки переложили в ящик в корзине яблок стало: х — 10,  а значит, в ящике стало — (2х + 10) яблок.

  1. Теперь можно составить уравнение:
  2. 5(х-10) — в ящике стало в 5 раз больше яблок, чем в корзине.
  3. Приравняем первое значение и второе:
  4. 2x+10 = 5(x-10) и решаем:
  5. 2х + 10 = 5х — 50
  6. 2х — 5х = -50 — 10
  7. -3х = -60
  8. х = -60/-3 = 20 (яблок) — в корзине
  9. Теперь, зная сколько яблок было в корзине, найдем сколько яблок было в ящике — так как их было в два раза больше, то просто результат умножим на 2:
  10. 2*20 = 40 (яблок) — в ящике
  11. Ответ:  в ящике — 40 яблок, а в корзине — 20 яблок.
  12. Я понимаю, что многие из вас, возможно, не до конца разобрались в решении задач, но уверяю к этой теме мы вернемся и еще не раз на наших уроках, а пока если у вас остались вопросы — задавайте их в х.
  13. Под конец еще несколько примеров на решения уравнений
  14. Пример №6 ( 2x — 0,7x = 0 )
  15. ( 1,3x = 0 )
  16. ( x=0/1,3 )
  17. ( x = 0 )
  18. Пример №7 ( 3p — 1 -(p+3) = 1 )
  19. ( 3p-1-p-3=1 )
  20. ( 3p-p=1+1+3 )
  21. ( 2p=5 )
  22. ( p=5/2 )
  23. ( p=2,5 )
  24. Пример №8 ( 6y-(y-1) = 4+5y )
  25. ( 6y-y+1=4+5y )
  26. ( 6y-y-5y=4-1 )

( 0y=3 ) — корней нет, т.к. на ноль делить нельзя!

Всем спасибо за внимание. Если что-то непонятно спрашивайте в х.

Источник: https://calcsbox.com/post/uravnenia-s-odnoj-peremennoj.html

Решение простых линейных уравнений

  • 6 октября 2015
  • В этом видео мы разберём целый комплект линейных уравнений, которые решаются по одному и тому же алгоритму — потому и они и называются простейшими.
  • Для начала определимся: что такое линейное уравнение и какое их них называть простейшим?

Линейное уравнение — такое, в котором присутствует лишь одна переменная, причём исключительно в первой степени.

  1. Под простейшим уравнением подразумевается конструкция:
  2. [ax+b=0]
  3. Все остальные линейные уравнения сводятся к простейшим с помощью алгоритма:
  1. Раскрыть скобки, если они есть;
  2. Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной — в другую;
  3. Привести подобные слагаемые слева и справа от знака равенства;
  4. Разделить полученное уравнение на коэффициент при переменной $x$ .

Разумеется, этот алгоритм помогает не всегда. Дело в том, что иногда после всех этих махинаций коэффициент при переменной $x$ оказывается равен нулю. В этом случае возможны два варианта:

  1. Уравнение вообще не имеет решений. Например, когда получается что-нибудь в духе $0cdot x=8$, т.е. слева стоит ноль, а справа — число, отличное от нуля. В видео ниже мы рассмотрим сразу несколько причин, по которым возможна такая ситуация.
  2. Решение — все числа. Единственный случай, когда такое возможно — уравнение свелось к конструкции $0cdot x=0$. Вполне логично, что какой бы $x$ мы ни подставили, все равно получится «ноль равен нулю», т.е. верное числовое равенство.

А теперь давайте посмотрим, как всё это работает на примере реальных задач.

Примеры решения уравнений

Сегодня мы занимаемся линейными уравнениями, причем только простейшими. Вообще, под линейным уравнением подразумевается всякое равенство, содержащее в себе ровно одну переменную, и она идет лишь в первой степени.

Решаются такие конструкции примерно одинаково:

  1. Прежде всего необходимо раскрыть скобки, если они есть (как в нашем последнем примере);
  2. Затем свести подобные
  3. Наконец, уединить переменную, т.е. всё, что связано с переменной — слагаемые, в которых она содержится — перенести в одну сторону, а всё, что останется без неё, перенести в другую сторону.

Затем, как правило, нужно привести подобные с каждой стороны полученного равенства, а после этого останется лишь разделить на коэффициент при «иксе», и мы получим окончательный ответ.

В теории это выглядит красиво и просто, однако на практике даже опытные ученики старших классов могут допускать обидные ошибки в достаточно простых линейных уравнениях. Обычно ошибки допускаются либо при раскрытии скобок, либо при подсчёте «плюсов» и «минусов».

Кроме того, бывает так, что линейное уравнение вообще не имеет решений, или так, что решением является вся числовая прямая, т.е. любое число. Эти тонкости мы и разберем в сегодняшнем уроке. Но начнем мы, как вы уже поняли, с самых простых задач.

Схема решения простейших линейных уравнений

Для начала давайте я еще раз напишу всю схему решения простейших линейных уравнений:

  1. Раскрываем скобки, если они есть.
  2. Уединяем переменные, т.е. все, что содержит «иксы» переносим в одну сторону, а без «иксов» — в другую.
  3. Приводим подобные слагаемые.
  4. Разделяем все на коэффициент при «иксе».

Разумеется, эта схема работает не всегда, в ней есть определенные тонкости и хитрости, и сейчас мы с ними и познакомимся.

Решаем реальные примеры простых линейных уравнений

Задача №1

[6x+72=0]

На первом шаге от нас требуется раскрыть скобки. Но их в этом примере нет, поэтому пропускаем данный этап. На втором шаге нам нужно уединить переменные. Обратите внимание: речь идет лишь об отдельных слагаемых. Давайте запишем:

  • [6x=-72]
  • Приводим подобные слагаемые слева и справа, но тут уже это сделано. Поэтому переходим к четвертому шагу: разделить на коэффициент:
  • [frac{6x}{6}=-frac{72}{6}]
  • [x=-12]
  • Вот мы и получили ответ.

Задача №2

  1. [5left( x+9
    ight)=5x+45]
  2. В этой задаче мы можем наблюдать скобки, поэтому давайте раскроем их:
  3. [5x+45=5x+45]

И слева и справа мы видим примерно одну и ту же конструкцию, но давайте действовать по алгоритму, т.е. уединяем переменные:

  • [5x-5x=45-45]
  • Приведем подобные:
  • [0=0]

При каких корнях это выполняется. Ответ: при любых. Следовательно, можно записать, что $x$ — любое число.

Читайте также:  Традиционные концепции лидерства - справочник студента

Задача №3

  1. Третье линейное уравнение уже интересней:
  2. [left( 6-x
    ight)+left( 12+x
    ight)-left( 3-2x
    ight)=15]
  3. Тут есть несколько скобок, однако они ни на что не умножаются, просто перед ними стоят различные знаки.

    Давайте раскроем их:

  4. [6-x+12+x-3+2x=15]
  5. Выполняем второй уже известный нам шаг:
  6. [-x+x+2x=15-6-12+3]
  7. Посчитаем:
  8. [2x=0]
  9. Выполняем последний шаг — делим все на коэффициент при «икс»:
  10. [frac{2x}{x}=frac{0}{2}]
  11. [x=0]

Что необходимо помнить при решении линейных уравнений

Если отвлечься от слишком простых задач, то я бы хотел сказать следующее:

  • Как я говорил выше, далеко не каждое линейное уравнение имеет решение — иногда корней просто нет;
  • Даже если корни есть, среди них может затесаться ноль — ничего страшного в этом нет.

Ноль — такое же число, как и остальные, не стоит его как-то дискриминировать или считать, что если у вас получился ноль, то вы что-то сделали неправильно.

Еще одна особенность связана с раскрытием скобок. Обратите внимание: когда перед ними стоит «минус», то мы его убираем, однако в скобках знаки меняем на противоположные. А дальше мы можем раскрывать ее по стандартным алгоритмам: мы получим то, что видели в выкладках выше.

Понимание этого простого факта позволит вам не допускать глупые и обидные ошибки в старших классах, когда выполнение подобных действий считается самим собой разумеющимся.

Решение сложных линейных уравнений

Перейдем к более сложным уравнениям. Теперь конструкции станут сложнее и при выполнении различных преобразований возникнет квадратичная функция. Однако не стоит этого бояться, потому что если по замыслу автора мы решаем линейное уравнение, то в процессе преобразования все одночлены, содержащие квадратичную функцию, обязательно сократятся.

Пример №1

  • [12-left( 1-6x
    ight)x=3xleft( 2x-1
    ight)+2x]
  • Очевидно, что первым делом нужно раскрыть скобки. Давайте это сделаем очень аккуратно:
  • [12-left( x-6xcdot x
    ight)=3xcdot 2x-3x+2x]
  • [12-left( x-6{{x}^{2}}
    ight)=6{{x}^{2}}-x]
  • [12-x+6{{x}^{2}}=6{{x}^{2}}-x]
  • Теперь займемся уединением:
  • [-x+6{{x}^{2}}-6{{x}^{2}}+x=-12]
  • Приводим подобные:
  • [0=-12]
  • Очевидно, что у данного уравнения решений нет, поэтому в ответе так и запишем:
  • [varnothing ]
  • или корней нет.

Пример №2

  1. [8left( 2x-1
    ight)-5left( 3x+0,8
    ight)=x-4]
  2. Выполняем те же действия.

    Первый шаг:

  3. [8cdot 2x-8-left( 5cdot 3x+5cdot 0,8
    ight)=x-4]
  4. [16x-8-left( 15x+4
    ight)=x-4]
  5. [16x-8-15x-4=x-4]
  6. Перенесем все, что с переменной, влево, а без нее — вправо:
  7. [16x-15x-x=-4+8+4]
  8. Приводим подобные:
  9. [0=8]
  10. Очевидно, что данное линейное уравнение не имеет решения, поэтому так и запишем:
  11. [varnothing ],
  12. либо корней нет.

Нюансы решения

Оба уравнения полностью решены. На примере этих двух выражений мы ещё раз убедились, что даже в самых простых линейных уравнениях всё может быть не так просто: корней может быть либо один, либо ни одного, либо бесконечно много. В нашем случае мы рассмотрели два уравнения, в обоих корней просто нет.

Но я бы хотел обратить ваше внимание на другой факт: как работать со скобками и как их раскрывать, если перед ними стоит знак «минус». Рассмотрим вот это выражение:

[12-left( 1-6x
ight)x=3xleft( 2x-1
ight)+2x]

Прежде чем раскрывать, нужно перемножить всё на «икс». Обратите внимание: умножается каждое отдельное слагаемое. Внутри стоит два слагаемых — соответственно, два слагаемых и умножается.

И только после того, когда эти, казалось бы, элементарные, но очень важные и опасные преобразования выполнены, можно раскрывать скобку с точки зрения того, что после неё стоит знак «минус».

Да, да: только сейчас, когда преобразования выполнены, мы вспоминаем, что перед скобками стоит знак «минус», а это значит, что все, что в низ, просто меняет знаки.

При этом сами скобки исчезают и, что самое главное, передний «минус» тоже исчезает.

Точно также мы поступаем и со вторым уравнением:

[8left( 2x-1
ight)-5left( 3x+0,8
ight)=x-4]

Я не случайно обращаю внимание на эти мелкие, казалось бы, незначительные факты. Потому что решение уравнений — это всегда последовательность элементарных преобразований, где неумение чётко и грамотно выполнять простые действия приводит к тому, что ученики старших классов приходят ко мне и вновь учатся решать вот такие простейшие уравнения.

Разумеется, придёт день, и вы отточите эти навыки до автоматизма. Вам уже не придётся каждый раз выполнять столько преобразований, вы всё будете писать в одну строчку. Но пока вы только учитесь, нужно писать каждое действие отдельно.

Решение ещё более сложных линейных уравнений

То, что мы сейчас будем решать, уже сложно назвать простейшими задача, однако смысл остается тем же самым.

Задача №1

  • [left( 7x+1
    ight)left( 3x-1
    ight)-21{{x}^{2}}=3]
  • Давайте перемножим все элементы в первой части:
  • [7xcdot 3x+7xcdot left( -1
    ight)+1cdot 3x+1cdot left( -1
    ight)-21{{x}^{2}}=3]
  • [21{{x}^{2}}-7x+3x-1-21{{x}^{2}}=3]
  • Давайте выполним уединение:
  • [21{{x}^{2}}-7x+3x-21{{x}^{2}}=3+1]
  • Приводим подобные:
  • [-4x=4]
  • Выполняем последний шаг:
  • [frac{-4x}{4}=frac{4}{-4}]
  • [x=-1]

Вот наш окончательный ответ. И, несмотря на то, что у нас в процессе решения возникали коэффициенты с квадратичной функцией, однако они взаимно уничтожились, что делает уравнение именно линейным, а не квадратным.

Задача №2

  1. [left( 1-4x
    ight)left( 1-3x
    ight)=6xleft( 2x-1
    ight)]
  2. Давайте аккуратно выполним первый шаг: умножаем каждый элемент из первой скобки на каждый элемент из второй.

    Всего должно получиться четыре новых слагаемых после преобразований:

  3. [1cdot 1+1cdot left( -3x
    ight)+left( -4x
    ight)cdot 1+left( -4x
    ight)cdot left( -3x
    ight)=6xcdot 2x+6xcdot left( -1
    ight)]
  4. А теперь аккуратно выполним умножение в каждом слагаемом:
  5. [1-3x-4x+12{{x}^{2}}=12{{x}^{2}}-6x]
  6. Перенесем слагаемые с «иксом» влево, а без — вправо:
  7. [-3x-4x+12{{x}^{2}}-12{{x}^{2}}+6x=-1]
  8. Приводим подобные слагаемые:
  9. [-7x+6x=-1]
  10. [-x=-1]
  11. [x=1]
  12. Мы вновь получили окончательный ответ.

Нюансы решения

Важнейшее замечание по поводу этих двух уравнений состоит в следующем: как только мы начинаем умножать скобки, в которых находится более чем оно слагаемое, то выполняется это по следующему правилу: мы берем первое слагаемое из первой и перемножаем с каждым элементом со второй; затем берем второй элемент из первой и аналогично перемножаем с каждым элементом со второй. В итоге у нас получится четыре слагаемых.

Об алгебраической сумме

На последнем примере я хотел бы напомнить ученикам, что такое алгебраическая сумма. В классической математике под $1-7$ мы подразумеваем простую конструкцию: из единицы вычитаем семь. В алгебре же мы подразумеваем под этим следующее: к числу «единица» мы прибавляем другое число, а именно «минус семь». Этим алгебраическая сумма отличается от обычной арифметической.

Как только при выполнении всех преобразований, каждого сложения и умножения вы начнёте видеть конструкции, аналогичные вышеописанным, никаких проблем в алгебре при работе с многочленами и уравнениями у вас просто не будет.

В заключение давайте рассмотрим ещё пару примеров, которые будут ещё более сложными, чем те, которые мы только что рассмотрели, и для их решения нам придётся несколько расширить наш стандартный алгоритм.

Решение уравнений с дробью

Для решения подобных заданий к нашему алгоритму придется добавить еще один шаг. Но для начала я напомню наш алгоритм:

  1. Раскрыть скобки.
  2. Уединить переменные.
  3. Привести подобные.
  4. Разделить на коэффициент.

Увы, этот прекрасный алгоритм при всей его эффективности оказывается не вполне уместным, когда перед нами дроби. А в том, что мы увидим ниже, у нас и слева, и справа в обоих уравнениях есть дробь.

Как работать в этом случае? Да всё очень просто! Для этого в алгоритм нужно добавить ещё один шаг, который можно совершить как перед первым действием, так и после него, а именно избавиться от дробей. Таким образом, алгоритм будет следующим:

  1. Избавиться от дробей.
  2. Раскрыть скобки.
  3. Уединить переменные.
  4. Привести подобные.
  5. Разделить на коэффициент.

Что значит «избавиться от дробей»? И почему выполнять это можно как после, так и перед первым стандартным шагом? На самом деле в нашем случае все дроби являются числовыми по знаменателю, т.е. везде в знаменателе стоит просто число. Следовательно, если мы обе части уравнения домножим на это число, то мы избавимся от дробей.

Пример №1

  • [frac{left( 2x+1
    ight)left( 2x-3
    ight)}{4}={{x}^{2}}-1]
  • []
  • Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:
  • [frac{left( 2x+1
    ight)left( 2x-3
    ight)cdot 4}{4}=left( {{x}^{2}}-1
    ight)cdot 4]

Обратите внимание: на «четыре» умножается все один раз, т.е. если у вас две скобки, это не значит, что каждую из них нужно умножать на «четыре». Запишем:

  1. [left( 2x+1
    ight)left( 2x-3
    ight)=left( {{x}^{2}}-1
    ight)cdot 4]
  2. Теперь раскроем:
  3. [2xcdot 2x+2xcdot left( -3
    ight)+1cdot 2x+1cdot left( -3
    ight)=4{{x}^{2}}-4]
  4. [4{{x}^{2}}-6x+2x-3=4{{x}^{2}}-4]
  5. Выполняем уединение переменной:
  6. [4{{x}^{2}}-6x+2x-4{{x}^{2}}=-4+3]
  7. Выполняем приведение подобных слагаемых:
  8. [-4x=-1left| :left( -4
    ight)
    ight.]
  9. [frac{-4x}{-4}=frac{-1}{-4}]
  10. [x=frac{1}{4}]
  11. Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.

Пример №2

  • [frac{left( 1-x
    ight)left( 1+5x
    ight)}{5}+{{x}^{2}}=1]
  • Здесь выполняем все те же действия:
  • [frac{left( 1-x
    ight)left( 1+5x
    ight)cdot 5}{5}+{{x}^{2}}cdot 5=5]
  • [1cdot 1+1cdot 5x+left( -x
    ight)cdot 1+left( -x
    ight)cdot 5x+5{{x}^{2}}=5]
  • [1+5x-x-5{{x}^{2}}+5{{x}^{2}}=5]
  • [5x-x-5{{x}^{2}}+5{{x}^{2}}=5-1]
  • [4x=4]
  • [frac{4x}{4}=frac{4}{4}]
  • [x=1]
  • Задача решена.
  • Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.

Ключевые моменты

Ключевые выводы следующие:

  • Знать алгоритм решения линейных уравнений.
  • Умение раскрывать скобки.
  • Не стоит переживать, если где-то у вас появляются квадратичные функции, скорее всего, в процессе дальнейших преобразований они сократятся.
  • Корни в линейных уравнениях, даже самых простых, бывают трех типов: один единственный корень, вся числовая прямая является корнем, корней нет вообще.

Надеюсь, этот урок поможет вам освоить несложную, но очень важную для дальнейшего понимания всей математики тему. Если что-то непонятно, заходите на сайт, решайте примеры, представленные там. Оставайтесь с нами, вас ждет еще много интересного!   

Источник: https://www.berdov.com/docs/equation/prosteyshie-lineynie-uravneniya/

Контент / АЛГЕБРА / Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Уравнения n-й степени — Я знаю!

  • Уравнение – это равенство, содержащее переменную, обозначенную буквой.
  • Корень уравнения (или решение уравнения) – это такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.
  • Пример: решим уравнение (то есть найдем корень уравнения): 4x – 15 = x + 15
  • Итак:
  • 4х – х = 15 + 15
  • 3х = 30
  • х = 30 : 3
  • х = 10
  • Результат: уравнение имеет один корень – число 10.

Уравнение может иметь и два, три, четыре и более корней.

  Например, уравнение (х — 4)(х — 5)(х — 6) = 0 имеет три корня: 4, 5 и 6.

Уравнение может вовсе не иметь корней. Например, уравнение х + 2 = х не имеет корней, т.к. при любом значении х равенство невозможно.

  1. Равносильность уравнений.
  2. Два уравнения являются равносильными, если они имеют одинаковые корни либо если оба уравнения не имеют корней.
  3. Пример1:
  4. Уравнения х + 3 = 5 и 3х – 1 = 5 равносильны, так как в обоих уравнениях х = 2.
  5. Пример 2:
  6. Уравнения х4 + 2 = 1 и х2 + 5 = 0 равносильны, так как оба уравнения не имеют корней.
  7. Целое уравнение с одной переменной

Целое уравнение с одной переменной – это уравнение, левая и правая части которого являются целыми выражениями (о целых выражениях см.раздел «Рациональные выражения»).

  • Уравнение с одной переменной может быть записано в виде P(x) = 0, где P(x) – многочлен стандартного вида.
  • Например: y2 + 3y – 6 = 0 (здесь P(x) представлен в виде многочлена y2 + 3y – 6).
  • В таком уравнении степень многочлена называют степенью уравнения.
  • В нашем примере представлено уравнение второй степени (так как в нем многочлен второй степени).
  • Уравнение первой степени.
  • Уравнение первой степени можно привести к виду:
  • ax + b = 0,
  • где x – переменная, a и b – некоторые числа, причем a ≠ 0.
  • Отсюда легко вывести значение x:
  •            b x = – —           a
  • Это значение x является корнем уравнения.
  • Уравнения первой степени имеют один корень.
  • Уравнение второй степени.
  • Уравнение второй степени можно привести к виду:
  • ax2 + bx + c = 0,
  • где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0.
  • Число корней уравнения второй степени зависит от дискриминанта:
  • — если D > 0, то уравнение имеет два корня;
  • — если D = 0, то уравнение имеет один корень;
  • — если D < 0, то уравнение корней не имеет.
  • Уравнение второй степени может иметь не более двух корней.

(о том, что такое дискриминант и как находить корни уравнения, см.разделы «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант» и «Другой способ решения квадратного уравнения»).

  1. Уравнение третьей степени.
  2. Уравнение третьей степени можно привести к виду:
  3. ax3 + bx2 + cx + d = 0,
  4. где x – переменная, a, b, c, d – некоторые числа, причем a ≠ 0.
  5. Уравнение третьей степени может иметь не более трех корней.
  6. Уравнение четвертой степени.
  7. Уравнение четвертой степени можно привести к виду:
  8. ax4 + bx3 + cx2 + dx + e  = 0,
  9. где x – переменная, a, b, c, d, e – некоторые числа, причем a ≠ 0.
  10. Уравнение третьей степени может иметь не более четырех корней.
  11. Обобщение:

1) уравнение пятой, шестой и т.д. степеней можно легко вывести самостоятельно, следуя приведенной выше схеме;

  • 2) уравнение n-й степени может иметь не более n корней.
  • Пример 1: Решим уравнение
  • x3 – 8×2 – x + 8 = 0.

Мы видим, что это уравнение третьей степени. Значит, у него может быть от нуля до трех корней. Найдем их и тем самым решим уравнение.

Разложим левую часть уравнения на множители:

  1. x2(x – 8) – (x – 8) = 0.
  2. Применим правило разложения многочлена способом группировки его членов. Для этого поставим перед вторыми скобками число 1:
  3. x2(x – 8) – 1(x – 8) = 0.

Теперь сгруппируем многочлены x2 и –1, являющиеся множителями многочлена x–8. Получим две группы многочленов: (x2 –1) и (x – 8). Следовательно, наше уравнение примет новый вид:

(x – 8)(x2 – 1) = 0.

Здесь выражение x2 – 1 можно представить в виде x2 – 12. А значит, можем применить формулу сокращенного умножения: x2 – 12 = (x – 1)(x + 1). Подставим в наше уравнение это выражение и получим:

(x – 8)(x – 1)(x + 1) = 0.

Дальше все просто. При x – 8 = 0 всё уравнение тоже равно нулю. И так – в случае и с двумя остальными выражениями x – 1 и x + 1. Таким образом:

  • x – 8 = 0
  • x – 1 = 0
  • x + 1 = 0
  • Осталось найти корни нашего уравнения:
  • x1 = 0 + 8 = 8
  • x2 = 0 + 1 = 1
  • x3 = 0 – 1 = –1.

Уравнение решено. Оно имеет три корня: 8, 1 и –1.

Пример 2: Решим уравнение

(x2 – 5x + 4)(x2 – 5x +6) = 120

Это уравнение сложнее. Но его можно упростить оригинальным образом – методом введения новой переменной. В нашем уравнении дважды встречается выражение x2 – 5x. Мы можем обозначить его переменной y. То есть представим, что x2 – 5x = y.

  1. Тогда наше уравнение обретает более простой вид:
  2. (y + 4)(y + 6) = 120.
  3. Раскроем скобки:
  4. y2 + 4y + 6y + 24 = 120
  5. y2 + 10y + 24 = 120
  6. Приравняем уравнение к нулю:
  7. y2 + 10y + 24 – 120 = 0
  8. y2 + 10y – 96 = 0

Мы получили обычное квадратное уравнение. Найдем его корни. Нет необходимости производить расчеты: о том, как решать подобные уравнения, подробно написано в разделах «Квадратные уравнения» и «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант». Здесь же мы сразу выведем результат. Квадратное уравнение y2 + 10y – 96 = 0 имеет два корня:

  • y1 = -16
  • y2 = 6
  • Буквой y мы заменили выражение x2 – 5x. А значит, мы уже можем подставить значения y и найти корни заданного уравнения, тем самым решив задачу:
  • 1) Сначала применяем значение y1 = –16:
  • x2 – 5x = –16
  • Чтобы решить это уравнение, превращаем его в квадратное уравнение:
  • x2 – 5x + 16 = 0
  • Решив его, мы обнаружим, что оно не имеет корней.
  • 2) Теперь применяем значение y2 = 6:
  • x2 – 5x = 6
  • x2 – 5x – 6 = 0
  • Решив это квадратное уравнение, мы увидим, что у него два корня:
  • x1 = –1
  • x2 = 6.

Уравнение решено. Оно имеет два корня: –1 и 6.

Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнения четвертой степени, которые являются квадратными относительно x2 (такие уравнения называют биквадратными).

Источник: http://test1.czl23.ru/plugins/content/content.php?content.21

Ссылка на основную публикацию