Угол между двумя прямыми — справочник студента

Две прямые называются пересекающимися, если они имеют единственную общую точку. Эта точка называется точкой пересечения прямых. Прямые разбиваются точкой пересечения на лучи, которые образуют четыре неразвернутых угла, среди которых две пары вертикальных углов и четыре пары смежных углов. Если известен размер одного из углов, образованных пересекающимися прямыми, то легко определить размер остальных углов. Если один из углов прямой, то все остальные тоже прямые, а прямые перпендикулярны.

Определение Угол между прямыми — размер наименьшего из углов, образованных этими прямыми.

Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом

• y = k1x + b1, y = k2x + b2,
• то угол между ними можно найти, используя формулу:
• tg γ = k1 — k21 + k1·k2
• Если знаменатель равен нулю (1 + k1·k2 = 0), то прямые перпендикулярны.

Доказательство. Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами, то легко найти углы между этими прямыми и осью OX

1. tg α = k1 tg β = k2
2. Соответственно легко найти угол между прямыми
3. γ = α — β
4. tg γ = tg (α — β) = tg α — tg β1 + tg α ·tg β = k1 — k21 + k1·k2

Если a — направляющий вектор первой прямой и b — направляющий вектор второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:

Если уравнение прямой задано параметрически

x = l t + ay = m t + b

то вектор направляющей имеет вид {l; m}

Если уравнение прямой задано как

A x + B y + C = 0

то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой. Например, если C ≠ 0, A ≠ 0, C ≠ 0 , при x = 0 => y = -CB значит точка на прямой имеет координаты K(0, -CB), при y = 0 => x = -CA значит точка на прямой имеет координаты M(-CA, 0). Вектор направляющей KM = {-CA; CB}.

• Если дано каноническое уравнение прямой
• x — x0 l = y — y0m
• то вектор направляющей имеет вид {l; m}

1. Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом
2. y = kx + b
3. то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой, например, при x = 0 => y = b значит точка на прямой имеет координаты K(0, b), при x = 1 => y = k + b значит точка на прямой имеет координаты M(1, k + b). Вектор направляющей KM = {1; k}

Если a — вектор нормали первой прямой и b — вектор нормали второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:

• Если уравнение прямой задано как
• A x + B y + C = 0
• то вектор нормали имеет вид {A; B}

1. Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом
2. y = kx + b
3. то вектор нормали имеет вид {1; -k}

Если a — направляющий вектор первой прямой и b — вектор нормали второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми: Пример 1. Найти угол между прямыми y = 2x — 1 и y = -3x + 1.

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом:

tg γ = k1 — k21 + k1·k2 = 2 — (-3)1 + 2·(-3) = 5-5 = 1

Ответ. γ = 45°

Пример 2. Найти угол между прямыми y = 2x — 1 и x = 2t + 1y = t.

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми у которых известны направляющие векторы.

Для первой прямой направляющий вектор {1; 2}, для второй прямой направляющий вектор {2; 1}

cos φ = |1 · 2 + 2 · 1|12 + 22 · 22 + 12 = 45 · 5 = 0.8

Ответ. φ ≈ 36.87°

Пример 3 Найти угол между прямыми 2x + 3y = 0 и x — 23 = y4.

• Решение: Для решения этой задачи можно найти направляющие векторы и вычислить угол через направляющие векторы или преобразовать уравнения в уравнения с угловым коэффициентом и вычислить угол через угловые коэффициенты.
• Преобразуем имеющиеся уравнения в уравнения с угловым коэффициентом.
• 2x + 3y = 0 => y = -23x   (k1 = -23)
• x — 23 = y4 => y = 43x — 83   (k2 = 43)

tg γ = k1 — k21 + k1·k2 = -23 — 431 + (-23)·43 = -631 — 89 = 18

Ответ. γ ≈ 86.82°

Если a — направляющий вектор первой прямой, а b — направляющий вектор второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:

1. Если дано каноническое уравнение прямой
2. x — x0 l = y — y0m = z — z0n
3. то направляющий вектор имеет вид {l; m; n}

Если уравнение прямой задано параметрически

x = l t + ay = m t + bz = n t + c

то направляющий вектор имеет вид {l; m; n}

Пример 4. Найти угол между прямыми x = 2t + 1y = tz = -t — 1 и x = t + 2y = -2t + 1z = 1.

Решение: Так как прямые заданы параметрически, то {2; 1; -1} — направляющий вектор первой прямой, {1; -2; 0} направляющий вектор второй прямой.

cos φ = |2 · 1 + 1 · (-2) + (-1) · 0|22 + 12 + (-1)2 · 12 + (-2)2 + 02 = 06 · 5 = 0

Ответ. φ = 90°

Пример 5 Найти угол между прямыми x — 23 = y4 = z — 35 и -x — 22 = 1 — 3y = 3z — 52.

• Решение: Для решения этой задачи найдем направляющие векторы этих прямых.
• Уравнение первой прямой задано в канонической форме, поэтому направляющий вектор {3; 4; 5}.
• Преобразуем второе уравнение к каноническому вид.
• -x — 22 = x — 2-2
• 1 — 3y = 1 + y-1/3 = y — 1/3-1/3
• 3z — 52 = z — 5/32/3
• Получено уравнение второй прямой в канонической форме
• x — 2-2 = y — 1/3-1/3 = z — 5/32/3
• {-2; -13; 23} — направляющий вектор второй прямой.

cos φ = 3·(-2) + 4·(-13) + 5·2332 + 42 + 52 · (-2)2 + (-13)2 + (23)2 = -6 — 43 + 1039 + 16 + 25 · 4 + 19 + 49 = -450 · 41/9 = 12582 = 682205

Ответ. φ ≈ 74.63°

Источник: https://ru.onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/lines_angle/

На каких материалах репетитор по математике строит работу с темой: углы между прямыми

Предлагаю познакомиться некоторыми авторскими дидактическими материалами в рамках темы «углы между скрещивающимися прямыми». Обычно репетитор по математике использует на своих уроках стандартные номера из учебника, в которых информация об искомых объектах предоставляется в форме длинных текстов: в прямоугольном параллелепипеде с размерами .

.. проведены прямые MN и KP так, что … Если репетитор по математике работает с невнимательным учеником, который не воспринимает текстовую информацию, путается в переносе условия на рисунок, то единственным выходом может стать методика визуальных заданий. Она особенно эффективна при изучении темы «углы между прямыми и плоскостями» в пространстве (стереометрия).

Уже несколько лет я работаю с собственными методическими разработками, и не обращаюсь за помощью ни к каким задачникам и пособиям. Некоторые задания из своей базы я предлагаю для ознакомления.

Как репетитор по математике подает задания ученику?

Все визуальные номера снабжены минимальной текстовой информацией и сопровождаются обязательными рисунками. Все данные условий находятся на этих рисунках. Для того, чтобы собрать внимание ученика на отработке определенного навыка (например, на поиске углов между различными прямыми в кубе) задачи разбиты на блоки:
1) поиск углов в кубе

2) поиск углов в правильных пирамидах: а) в треугольных б) четырехугольных в) шестиугольных.

Я не стал оформлять страничку с разделением номеров для совместной и домашней работы, ибо это разделение, как и точный подбор задач, всецело зависит от конкретного ученика и от конктерной ситуации в которой находится репетитор (временной, учебной, методической, психологической…)

Как репетитор по математике выделяет прямые для поиска угла?

Линии во всех номерах, между которыми надо найти угол выделяются красным цветом. В таком случае у репетитора по математике отпадает необходимость формулировать вопрос к каждой задаче.

Перед его учеником стоит одна и так же цель при разных геометрических расположениях прямых линий. Так проще концентрироваться на поиске самого алгоритма. Согласитесь, что это удобно.

И не только для ученика.

Расположение точек, через которые проведены прямые, репетитор по математике выбирает самым простейшим образом. Обычно это или вершины многогранника, рили середины его ребер. В последнем случае репетитору достаточно показать черточками равные половинки этих ребер.

Задачи на нахождение углов между скрещивающимися прямыми

На этой страничке представлены образцы задач только с использованием куба и его элементов. Аналогичные материалы имеются в моей базе задач и на пирамиды.

Найдите углы между красными прямыми:

Все номера решаются по одной и той же системе. Напомню, что угом между скрещивающимися прямыми называется острый угол между любыми прямыми, которые или совпадают с имеющимися или параллельны им. Поэтому требуется параллельно сдвинуть одну из прямых (или обе) так, чтобы получить из них треугольник с удобными сторонами.

Далее ребро куба обозначается какой-нибудь буквой и через нее выражаются стороны этого треугольника. Если репетитор по математике объяснит уче6нику, что величины углов не зависят от того, в чем измеряются длины отрезков (ребер), то он будет вправе вводить для каждой задачи свою мерку (единицу), удобную для решения.

Для задач с серединами в качестве такой мерки лучше взять половину ребра куба.

Эти материалы подойдут для того случая, если репетитором проводится целенаправленная комплексная подготовка к ЕГЭ по математике на базе задачи С2. Возможны более сложные сочетания линий. Тогда на помощь репетитору приходит метод координат.

Один из моих учеников наловчился пристраивать к кубу точно такой же куб и сдвигать прямые, размещая их внутри этого вспомогательного куба. Я не советую заниматься подобным творчеством, ибо рисунок сильно усложняется. Всегда можно как-то устроить перемещения внутри исходного куба.

Или, в крайнем случае, воспользоваться методом координат:

Вводится система координат (в кубе это сделать проще всего), выбирается единица измерения, о которой я уже сказал выше, и векторы, имеющие направления данных прямых. Находим модуль их скалярного произведения и делим его на произведение длин векторов. Если в ответ нужно записать сам угол, то он будет равен арккосинусу того, что получилось.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике — автор заданий. Москва.

Источник: https://ankolpakov.ru/na-kakix-materialax-repetitor-po-matematike-stroit-rabotu-s-temoj-ugly-mezhdu-pryamymi/

Вычисление углов между прямыми и плоскостями

Вы уже знакомы с понятиями угла между прямыми и угла между векторами. А также знаете, что такое двугранный угол и угол между прямой и плоскостью.

Сегодня мы научимся вычислять углы между прямыми, а также между прямой и плоскостью.

• Но для начала введём понятие направляющего вектора.
• Определение:
• Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой а, если он лежит либо на прямой а, либо на прямой, параллельной прямой а.

Понятно, что таких векторов бесконечно много и все они коллинеарны.

Задача: найти угол между прямыми, если известны координаты направляющих векторов этих прямых.

Будем работать с прямыми а и b. Для прямой a направляющим является вектор p, а для прямой b — вектор q.

Итак, возможны два случая.

Если угол  между направляющими векторами острый, то он равен углу между прямыми .

1. И если угол  между направляющими векторами тупой, то угол  между прямыми равен 180о – .
2. Так как в первом случае косинус угла между прямыми равен косинусу угла между направляющими векторами, то мы можем вычислить его по известной формуле косинуса угла между векторами.

Ну, а во втором случае записан косинус угла смежного с углом . Косинусы смежных углов противоположны по знаку, поэтому мы получим выражение противоположное тому, которое было получено в первом случае.

Угол между прямыми всегда меньше либо равен 90о, поэтому его косинус соответственно будет являться числом неотрицательным. Тогда оба случая можно объединить в один и записать, что косинус угла между прямыми равен частному модуля скалярного произведения направляющих векторов и произведения их длин.

А сейчас найдём угол между прямой и плоскостью, если известны координаты направляющего вектора к прямой и координаты ненулевого вектора, перпендикулярного к плоскости.

Вам уже известно, что углом между прямой и плоскостью является угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Обозначим этот угол за . А угол между направляющим вектором и вектором, перпендикулярным к плоскости обозначим за .

Эти углы в сумме дают 90о (то есть углы  и  являются дополнительными). А нам известно, что синус угла равен косинусу дополнительного угла. Это означает, что .

• Ну, а  между векторами  и  мы без труда найдём по уже известной формуле:
• Но ведь возможен и случай, когда угол между векторами  и  тупой.
• Тогда углы  и  являются дополнительными, то есть их сумма равна .
• Отсюда можно записать, что .
• Ну, а формула косинуса угла между векторами нам уже известна.
• Чтобы объединить две полученных формулы в одну, можно вспомнить, что синус угла от нуля до 180о  является числом неотрицательным. Тогда можно записать, что

Таким образом, мы получили формулы косинуса угла между прямыми и синуса угла между прямой и плоскостью. Причём правые части эти формул абсолютно совпадают.

1. Отличие лишь в том, что две прямые задают направляющие векторы.
2. А прямую и плоскость — направляющий вектор прямой и вектор, перпендикулярный к плоскости.
3. Такой вектор называют нормальным вектором к плоскости.
4. Решим несколько задач.

Задача:  прямоугольный параллелепипед, где . Найти  и .

• Решение: ранее в таких случаях мы пытались по рисунку находить величины углов.
• Но теперь мы владеем формулой косинуса угла между прямыми.

Только для этого необходимо знать координаты направляющих векторов прямых. В данном случае, для прямой  направляющим может является вектор , а для прямой  — вектор .

Для удобства изобразим прямоугольную систему координат так, чтобы точка  совпадала с точкой начала координат. Взяв длину рёбер  и  за единичные отрезки, можно утверждать, что длина отрезка  равна 2.

Тогда не трудно определить координаты точек , ,  и .

Точка . Точка . Точка . А точка .

Теперь не трудно найти координаты векторов  и  как разности соответствующих координат конца и начала вектора.

Получаем, что вектор . А вектор .

1. А теперь, пользуясь фрагментом из таблицы Брадиса, найдём величину данного угла, помня о том, что поправка для косинуса имеет знак минус:
2. Итак, угол между прямыми .
3. Теперь найдём угол между прямыми  и .
4. В качестве направляющих векторов для данных прямых удобно взять векторы  и .
5. Найдём координаты точек ,  и .

Точка А имеет координаты . Точка . А точка .

Тогда вектор . А вектор .

• Подставим значения координат направляющих векторов в формулу косинуса угла между прямыми.
• В ходе вычислений получаем
• Вычислив примерное значение этой дроби, можем воспользоваться таблицей Брадиса:
• Так получаем, что угол между прямыми .
• Вот так по координатам направляющих векторов находят величину угла между прямыми.

Задача:  тетраэдр. . , а .

Вычислить синус угла между прямой, проходящей через середины рёбер  и , и плоскостью: а) ; б) ; в) .

Решение: По условию рёбра ,  и  взаимно перпендикулярны. Поэтому можно изобразить прямоугольную систему координат так, чтобы точка  совпадала с точкой начала координат.

1. Тогда зная длины рёбер ,  и  не трудно отметить единичные отрезки и определить координаты всех вершин.
2. Мы с вами будем находить синус угла между прямой и каждой из данных плоскостей.

Сначала разберёмся с прямой. Она проходит через середины рёбер  и , пусть это будут точки  и . И для вычисления синуса угла нужно знать координаты направляющего вектора. В качестве направляющего вектора можно взять вектор .

Координаты точки  найдём как координаты середины отрезка . Каждая из них равна полусумме соответствующих координат точек  и . Так получаем,

, .

Аналогично найдём координаты точки , как полусумму соответствующих координат точек  и . Получаем , .

• Теперь можем найти координаты вектора как разности соответствующих координат.
• Получаем, что направляющий вектор данной прямой имеет координаты .
• Также для вычисления синуса угла между прямой и плоскостью необходимо знать координаты нормального вектора к плоскости, то есть перпендикулярного к ней.
• Задача: Доказать, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани куба, равен .
• Решение: изобразим прямоугольную координатную плоскость так, чтобы координатные оси совпадали с рёбрами куба.

Обозначим буквами вершины куба, через которые проходят данные скрещивающиеся прямые. Найдём угол между прямыми .

1. Пусть длина единичных отрезков на осях равна длине ребра куба.
2. Тогда в такой системе координат нетрудно найти координаты точек О, О1, О2 и О3.
3. А теперь найдём координаты векторов ОО1 и О2О3, которые являются направляющими для данных прямых.

Вектор . А вектор .

• Найдём косинус угла между данными прямыми, подставив в формулу координаты направляющих векторов.
• В ходе вычислений получаем, что
• А значит, угол между прямыми .
• Что и требовалось доказать.
• Итоги:

На этом уроке мы получили формулу вычисления косинуса угла между прямыми по координатам их направляющих векторов. А также формулу вычисления синуса угла между прямой и плоскостью по координатам направляющего вектора данной прямой и нормального вектора данной плоскости.

Источник: https://videouroki.net/video/7-vychislieniie-ughlov-miezhdu-priamymi-i-ploskostiami.html

Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Угол между прямыми

Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. 

• Если уравнения прямой заданы в общем виде
• A1x + B1y + C1 = 0,         
• A2x + B2y + C2 = 0,     (6)
• угол между ними определяется по формуле

     (7)

1. 4. Условия параллельности двух прямых:
2. а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:
3. k1 = k2.     (8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

     (9)

Условием перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями

1.

служит соотношение

т.е. две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1, и не перпендикулярны, если оно не равно -1.

Пример 1.

Прямые

перпендикулярны, так как

4.

Пример 2.

Прямые

не перпендикулярны, так как

6.

Если две прямые представлены уравнениями

7.	A1 x+ B1 y+ C1= 0A1 x+ B1 y+ C1= 0

то условие их перпендикулярности есть

или в другом обозначении (определитель второго порядка) Пример 3.

Прямые

10.

перпендикулярны. Здесь

11.	А1= 2, А2= 5, В1= 5, В2=−2,

значит,

12.	А1 А2+ В1 В2= 10 – 10= 0

Пример 4.

Прямые

13.

• не перпендикулярны, так как здесь
• Угол между прямыми.
• Пусть две неперпендикулярные прямые L1, L2 (взятые в данном порядке) представляются уравнениями

1.

Тогда угол между двумя прямыми найдется по формуле

Угол между двумя прямыми

то выражение стоящее в знаменателе, обращается в нуль

и частное перестает существовать. Одновременно перестает существовать («обращается в бесконечность») tg(θ). Формула (2), понимаемая буквально, теряет смысл, но в этом случае ее нужно понимать условно. Именно, всякий раз, как в знаменателе появляется нуль, угол θ надо считать равным ±90° (как поворот на +90°, так и поворот на -90° совмещает любую из перпендикулярных прямых с другой).

1. то формула (2) вовсе неприменима, ибо тогда одну из прямых (или обе) нельзя представить уравнением вида (1).
2. В этом случае угол θ определяется следующим образом:
3. а) когда прямая L2 параллельная оси OY, а L1 не параллельна, применяем формулу
4. б) когда прямая L1 параллельна оси OY, а L2 не параллельна, применяем формулу
5. в) когда обе прямые параллельны оси OY, они параллельны и между собой, так что

Источник: http://studentmtuci.blogspot.com/2015/01/blog-post_28.html