Средняя линия треугольника — справочник студента

Инфоурок › Геометрия ›Другие методич. материалы›Средняя линия треугольника. Решение задачи.

Средняя линия треугольника - Справочник студента

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Описание слайда:

Средняя линия треугольника

2 слайд Описание слайда:

Средняя линия треугольника Средняя линия трапеции

3 слайд Описание слайда:

Средняя линия треугольника. Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называют СРЕДНЕЙ ЛИНИЕЙ ТРЕУГОЛЬНИКА.

4 слайд Описание слайда:

Теорема Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. т.е.: КМ ║АС КМ = ½ АС A B C K M

5 слайд Описание слайда:

Решить задачу устно: A B C K M 7 см Дано: MК – сред. линия Найти: АС ?

6 слайд Описание слайда:

Работа в парах:

7 слайд Описание слайда:

Решим задачу : Дано: MN – сред. линия Найти: P∆АВС M N A B C 3 4 3,5

8 слайд Описание слайда:

Работа в парах:

9 слайд Описание слайда:

Самостоятельная работа Дано: AC║EF; EB =4; EF =12; FC =5 Найти: PABC А В С E F

10 слайд Описание слайда:

Решим задачу Дано: СD║BE║MK; AD =16; CD =10;MB=4 Найти: PAMK А B C D E K M

11 слайд Описание слайда:

Задача Дано:СЕ║ВМ║АК; СЕ+ВМ+АК =21см АВ=4 см; ВС =2см; СД =2см Найти: АК;СЕ;ВМ А В С Д Е М К

12 слайд Описание слайда:

Вспомним: Трапеция – это четырехугольник , у которого две стороны параллельны , а две другие стороны не параллельны BC || AD — основания AB łł CD – боковые стороны A D B C

13 слайд Описание слайда:

Средняя линия трапеции. Определение: Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. MN – средняя линия трапеции ABCD A D B C M N

14 слайд Описание слайда:

Теорема о средней линии трапеции Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме. т.е.: МN║ВС║АD МN=½(ВС+АD)

15 слайд Описание слайда:

Решить устно: 6,3 см 18,7 см ?

16 слайд Описание слайда:

Решить устно в парах: Дано: AB = 16 см; CD = 18 см; МN = 15 см Найти: P ABCD = ?

17 слайд Описание слайда:

Самостоятельная работа Задача: Средняя линия трапеции равна 5 см. Найти основания трапеции, если известно, что нижнее основание больше верхнего основания в 1,5 раз. Решение: 5 см Пусть BC = Х см тогда AD = 1.5X см BC+AD = 10 см X + 1.5X = 10 X = 4 Значит: BC = 4 см AD = 6 см A D B C

18 слайд Описание слайда:

Самостоятельная работа Дано: АВСD – трапеция; MN=8 S АВСD = 56; MN- средняя линия Найти: высоту А B C D M N H

19 слайд
20 слайд

Скрыть

Важно! Узнайте, чем закончилась проверка учебного центра «Инфоурок»?

Общая информация

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Источник: https://infourok.ru/srednyaya-liniya-treugolnika-reshenie-zadachi-2882970.html

Средняя линия треугольника

[{Large{ ext{Подобие треугольников}}}]
Определения
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого(стороны называются сходственными, если они лежат напротив равных углов).
Коэффициент подобия (подобных) треугольников – это число, равное отношению сходственных сторон этих треугольников.

Средняя линия треугольника - Справочник студента

Определение
Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.
Теорема
Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Доказательство

Рассмотрим треугольники (ABC) и (A_1B_1C_1) со сторонами (a,b,c) и (a_1, b_1, c_1) соответственно (см. рисунок выше).

Тогда (P_{ABC}=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=kcdot
P_{A_1B_1C_1})
Теорема
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Доказательство

Пусть треугольники (ABC) и (A_1B_1C_1) подобны, причём (dfrac{AB}{A_1B_1} = dfrac{AC}{A_1C_1} = dfrac{BC}{B_1C_1} = k). Обозначим буквами (S) и (S_1) площади этих треугольников соответственно.

Средняя линия треугольника - Справочник студента

Так как (angle A = angle A_1), то (dfrac{S}{S_1} = dfrac{ABcdot
AC}{A_1B_1cdot A_1C_1}) (по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу).
Так как (dfrac{AB}{A_1B_1} = dfrac{AC}{A_1C_1} = k), то (dfrac{S}{S_1} = dfrac{AB}{A_1B_1}cdotdfrac{AC}{A_1C_1} = kcdot k = k^2), что и требовалось доказать.
[{Large{ ext{Признаки подобия треугольников}}}]
Теорема (первый признак подобия треугольников)
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство

Пусть (ABC) и (A_1B_1C_1) – треугольники такие, что (angle A =
angle A_1), (angle B = angle B_1). Тогда по теореме о сумме углов треугольника (angle C = 180^circ — angle A — angle B = 180^circ
— angle A_1 — angle B_1 = angle C_1), то есть углы треугольника (ABC) соответственно равны углам треугольника (A_1B_1C_1).

Средняя линия треугольника - Справочник студента

Так как (angle A = angle A_1) и (angle B = angle B_1), то (dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = dfrac{ABcdot AC}{A_1B_1cdot
A_1C_1}) и (dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = dfrac{ABcdot
BC}{A_1B_1cdot B_1C_1}).
Из этих равенств следует, что (dfrac{AC}{A_1C_1} =
dfrac{BC}{B_1C_1}).
Аналогично доказывается, что (dfrac{AC}{A_1C_1} =
dfrac{AB}{A_1B_1}) (используя равенства (angle B = angle B_1), (angle C = angle C_1)).
В итоге, стороны треугольника (ABC) пропорциональны сходственным сторонам треугольника (A_1B_1C_1), что и требовалось доказать.
Теорема (второй признак подобия треугольников)
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Доказательство

Рассмотрим два треугольника (ABC) и (A'B'C'), таких что (dfrac{AB}{A'B'}=dfrac{AC}{A'C'}), (angle BAC = angle A'). Докажем, что треугольники (ABC) и (A'B'C') – подобны. Учитывая первый признак подобия треугольников, достаточно показать, что (angle B = angle B').

Средняя линия треугольника - Справочник студента

Рассмотрим треугольник (ABC''), у которого (angle 1 = angle A'), (angle 2 = angle B'). Треугольники (ABC'') и (A'B'C') подобны по первому признаку подобия треугольников, тогда (dfrac{AB}{A'B'} =
dfrac{AC''}{A'C'}).

С другой стороны, по условию (dfrac{AB}{A'B'} = dfrac{AC}{A'C'}). Из последних двух равенств следует, что (AC = AC'').

Треугольники (ABC) и (ABC'') равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, (angle B = angle 2 = angle B').
Теорема (третий признак подобия треугольников)
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство

Пусть стороны треугольников (ABC) и (A'B'C') пропорциональны: (dfrac{AB}{A'B'} = dfrac{AC}{A'C'} = dfrac{BC}{B'C'}). Докажем, что треугольники (ABC) и (A'B'C') подобны.

Средняя линия треугольника - Справочник студента

Для этого, учитывая второй признак подобия треугольников, достаточно доказать, что (angle BAC = angle A').
Рассмотрим треугольник (ABC''), у которого (angle 1 = angle A'), (angle 2 = angle B').
Треугольники (ABC'') и (A'B'C') подобны по первому признаку подобия треугольников, следовательно, (dfrac{AB}{A'B'} = dfrac{BC''}{B'C'}
= dfrac{C''A}{C'A'}).
Из последней цепочки равенств и условия (dfrac{AB}{A'B'} =
dfrac{AC}{A'C'} = dfrac{BC}{B'C'}) вытекает, что (BC = BC''), (CA
=
C''A).
Треугольники (ABC) и (ABC'') равны по трем сторонам, следовательно, (angle BAC = angle 1 = angle A').

[{Large{ ext{Теорема Фалеса}}}]
Теорема
Если на одной из сторон угла отметить равные между собой отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то эти прямые отсекут на второй стороне также равные между собой отрезки.
Доказательство
Докажем сначала лемму: Если в ( riangle OBB_1) через середину (A) стороны (OB) проведена прямая (aparallel BB_1), то она пересечет сторону (OB_1) также в середине.

Средняя линия треугольника - Справочник студента

Через точку (B_1) проведем (lparallel OB). Пусть (lcap a=K). Тогда (ABB_1K) — параллелограмм, следовательно, (B_1K=AB=OA) и (angle
A_1KB_1=angle ABB_1=angle OAA_1); (angle AA_1O=angle KA_1B_1) как вертикальные. Значит, по второму признаку ( riangle
OAA_1= riangle B_1KA_1 Rightarrow OA_1=A_1B_1). Лемма доказана.

Средняя линия треугольника - Справочник студента

Перейдем к доказательству теоремы. Пусть (OA=AB=BC), (aparallel
bparallel c) и нужно доказать, что (OA_1=A_1B_1=B_1C_1).

Таким образом, по данной лемме (OA_1=A_1B_1). Докажем, что (A_1B_1=B_1C_1). Проведем через точку (B_1) прямую (dparallel OC), причем пусть (dcap a=D_1, dcap c=D_2).

Тогда (ABB_1D_1, BCD_2B_1) — параллелограммы, следовательно, (D_1B_1=AB=BC=B_1D_2).

Таким образом, (angle A_1B_1D_1=angle C_1B_1D_2) как вертикальные, (angle
A_1D_1B_1=angle C_1D_2B_1) как накрест лежащие, и, значит, по второму признаку ( riangle A_1B_1D_1= riangle C_1B_1D_2
Rightarrow A_1B_1=B_1C_1).

Теорема Фалеса

Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

Средняя линия треугольника - Справочник студента

Доказательство

Пусть параллельные прямые (pparallel qparallel rparallel s) разбили одну из прямых на отрезки (a, b, c, d). Тогда вторую прямую эти прямые должны разбить на отрезки (ka, kb, kc, kd) соответственно, где (k) – некоторое число, тот самый коэффициент пропорциональности отрезков.

Проведем через точку (A_1) прямую (pparallel OD) ((ABB_2A_1) — параллелограмм, следовательно, (AB=A_1B_2)). Тогда ( riangle OAA_1
sim riangle A_1B_1B_2) по двум углам. Следовательно, (dfrac{OA}{A_1B_2}=dfrac{OA_1}{A_1B_1} Rightarrow A_1B_1=kb).

Аналогично проведем через (B_1) прямую (qparallel OD Rightarrow
riangle OBB_1sim riangle B_1C_1C_2 Rightarrow B_1C_1=kc) и т.д.

[{Large{ ext{Средняя линия треугольника}}}]
Определение
Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины любых двух сторон треугольника.
Теорема
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Доказательство
1) Параллельность средней линию основанию следует из доказанной выше леммы.
2) Докажем, что (MN=dfrac12 AC).

Через точку (N) проведем прямую параллельно (AB). Пусть эта прямая пересекла сторону (AC) в точке (K). Тогда (AMNK) — параллелограмм ((AMparallel NK, MNparallel AK) по предыдущему пункту). Значит, (MN=AK).

Т.к. (NKparallel AB) и (N) – середина (BC), то по теореме Фалеса (K) – середина (AC). Следовательно, (MN=AK=KC=dfrac12 AC).

Следствие

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, подобный данному с коэффициентом (frac12).

Источник: https://shkolkovo.net/theory/55

Формулы, теоремы и свойства элементов треугольника. Справочник репетитора по математике

Теоретичесикие шпаргалки по элементарной геометрии для занятий с репетитором по математике. Базовый школьный уровень. Свойства элементов треугольника. В помощь для решению задач по всему курсу планиметрии. Для тренировки решения задач С4 на ЕГЭ по математике.

1) Определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике и теорема Пифагора
Средняя линия треугольника - Справочник студента
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть

2) Формулы площади треугольника
Средняя линия треугольника - Справочник студента

3) Подобие треугольников
Определение: два треугольника называются подобными, если у них соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны, то есть
и
Обозначение:
4) Признаки подобия двух треугольников
1-й признак: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Коротко: если , то
2-й признак:если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами равны, то треугольники подобны
Коротко: если и , то
3-й признак:если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то треугольники подобны, то есть
Коротко: если , то
5) Свойства подобных треугольников
если , то
, где
и — любые соответствующие медианы (проведенные к соответствующим сторонам)
и — любые соответствующие биссектрисы (проведенные к соответствующим сторонам)
и — любые соответствующие высоты (проведенные к соответствующим сторонам)
6) Подобие прямоугольных треугольников. Высота, проведенная из вершины прямого угла
Теорема: высота в прямоугольном треугольнике, поведенная из вершины прямого угла образует два треугольника, подобных исходному. Для катетов и высоты исходного треугольника верны следующие формулы:
7) Свойство медиан в треугольнике.
Теорема 1: Все медианы треугольника пересекаются в одной точке (центр тяжести треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершин. То есть
Теорема 2: Каждая медиана, проведенная в треугольнике делит этот треугольник на две равновеликие части (на два треугольника с равными площадями),
То есть
Теорема 3: все три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников, то есть
8) Свойство биссектрис в треугольнике
Теорема 1: Каждая биссектриса угла в треугольнике делит его противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные к двум другим сторонам треугольника.
То есть

Теорема 2: Все биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной с треугольник окружности. В любой треугольник можно вписать окружность и только одну.

9) Свойство точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника:

Теорема: все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной около треугольника окружности. Вокруг любого треугольника можно описать окружность и только одну.

10) Теорема о разделительном отрезке в треугольнике
Теорема: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной делит ее на отрезки, пропорциональные площадям образованных треугольников.
То есть
11) Средняя линия треугольника
Теорема: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон параллельна третьей стороне и равна ее половине.
То есть и
12) Теорема синусов и теорема косинусов
Теорема синусов: Cтороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов и каждое отношение стороны к синусу равно диаметру описанной около треугольника окружности.
То есть
Теорема косинусов: Квадрат стороны треугольника равне сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на синус угла между ними, то есть
13) Теорема Менелая
Теорема: Произведение отношений отрезков, на которые произвольная прямая делит стороны треугольника (или их продолжения) равно единице
То есть

Комментарий репетитора по математике: несправедливо выброшенная теорема из школьного курса геометрии. Рекомендую репетиторам включить ее в подготовку, по крайней мере к вузовским олимпиадам и вступительным экзаменам по математике в МГУ. В программу ЕГЭ теорема Менелая не входит, но несколько типов задач без нее решаются очень сложно.

14) Теорема Чевы
Теорема:если через вершины треугольника и произвольную внутреннюю точку провести отрезки к противоположным сторонам (чевианы), то их точки пересечения разделят стороны на отрезки, произведение отношений которых равно единице.
То есть

Колпаков А.Н. Репетитор по математике.

Источник: https://ankolpakov.ru/2010/09/30/formuly-teoremy-i-svojstva-elementov-treugolnika-spravochnik-repetitora-po-matematike/

Длина средней линии треугольника

Средняя линия треугольника интересный характеризующий отрезок, так как обладает несколькими свойствами, позволяющими найти простое решение для казалось бы сложной задачи. Поэтому рассмотрим основные свойства средней линии и поговорим о том, как найти длину этого отрезка в треугольнике.

Средняя линия треугольника - Справочник студента

Треугольник это фигура, состоящая из трех сторон и трех углов. В зависимости от углов треугольники делятся на:

Остроугольные
Тупоугольные
Прямоугольные

Рис. 1. Виды треугольников

Основными характеризующими отрезками треугольника являются:

Медиана – отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.
Биссектриса – отрезок, делящий угол пополам
Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

Средняя линия треугольника - Справочник студента

Рис. 2. Высота, медиана и биссектриса в треугольнике

Для каждого из характеризующих отрезков существует своя точка пересечения. При соединении трех точек пересечения медиан, биссектрис и высот получается золотое сечение треугольника.

Однако существует и ряд дополнительных характеризующих отрезков:

Серединный перпендикуляр – высота восстановленная из середины высоты. Как правило серединный перпендикуляр продолжается до пересечения с другой стороной.
Средняя линия – отрезок, соединяющий середины смежных сторон.
Радиус вписанной окружности. Вписанная окружность – окружность, которая касается каждой из сторон треугольника.
Радиус описанной окружности. Описанная окружность – окружность, содержащая в себе все стороны треугольника.

Смежными сторонами треугольников называют стороны, которые имеют общую вершину. В геометрии существует понятие противоположных сторон, т.е. сторон, которые лежат друг напротив друга и не имеют общих вершин. Но это понятие для треугольников не применимо – любая пара сторон в треугольнике является смежной.

Свойств средней линии не так много, но все они имеют значение при решении задач. Дело в том, что задач на нахождение длины средней линии мало, а потому некоторые из них способны построить ученика в ступор при всей своей простоте.

Поэтому приведем и обсудим все свойства средней линии треугольника:

Средняя линия равна половине основания. Вообще правильнее сказать не половине основания, а половине противолежащей стороны. Так как сторон в треугольнике 3, а основание всего одно. Но в общем случае, основанием можно считать любую из сторон треугольника, так что подобная формулировка считается допустимой. К тому же ее проще выучить. В общем случае по этому свойству и определяется длина средней линии треугольника.
Средняя линия параллельна основанию. С понятием основания здесь та же ситуация, что и в прошлом свойстве.
Средняя линия отсекает от треугольника малый подобный треугольник с коэффициентом подобия, равным 0,5
Три средние линии делят треугольник на 4 равных треугольника, подобных большому треугольнику с коэффициентом подобия 0,5

Средняя линия треугольника - Справочник студента

Рис. 3. Средние линии в треугольнике

Собственно формула длины средней линии вытекает из второго свойства:

$m=1over{2}*a$- где m – средняя линия, а- сторона противоположная средней линии.

Мы поговорили о второстепенных характеризующих отрезках, выделив среднюю линию. Привели свойства средних линий и поговорили о особенностях формулировки этих свойств. Рассказали, как выводится формула длины средней линии треугольника и как средняя линия разбивает треугольник. Все эти свойства используются при решении треугольников.

Средняя оценка: 4.3. Всего получено оценок: 182.

Источник: https://obrazovaka.ru/geometriya/dlina-sredney-linii-treugolnika-formula.html

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух его сторон.

В каждом треугольнике можно провести три средних линии, при пересечении которых получается четыре равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом подобия . На рисунке 1 изображен треугольник АВС, отрезки МЕ, МК и КЕ являются средними линиями данного треугольника, ВМЕ =АМК =СЕК =МЕК.

Теорема

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Доказательство

Дано: АВС, МЕ — средняя линия.
Доказать: МЕАС, МЕ = АС.
Доказательство:

Средняя линия треугольника - Справочник студента

В треугольниках МВЕ и АВС:

В — общий;
ВА = 2ВМ, т.к. МЕ — средняя линия, значит, М — середина АВ, тогда , аналогично, , т.е. .

Следовательно, треугольники МВЕ и АВС подобны (по 2 признаку подобия треугольников), поэтому 1 =2 и .

Прямые МЕ и АС пересечены секущей АВ, углы 1 и 2 — соответственные, при этом 1 =2, следовательно, МЕАС (по признаку параллельности двух прямых).

Из равенства следует, что МЕ = АС. Теорема доказана.

Задача:

Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Дано: АВС, АА1 и ВВ1, СС1 — медианы, АА1ВВ1 = О.
Доказать: АА1ВВ1СС1 = О, АО : ОА1 = ВО : ОВ1 = СО : ОС1 = 2 : 1.
Доказательство:

Проведем среднюю линию В1А1 треугольника АВС (В1А1 — средняя линия, т.к. по условию АА1 и ВВ1 — медианы, значит точки А1 и В1 — середины сторон АС и СВ).

А1В1АВ (по теореме, доказанной выше), АА1 и ВВ1 — секущие, 1 и 2, 3 и 4 — накрест лежащие, значит, 1 =2, 3 =4 (по теореме о накрест лежащих углах). Следовательно, треугольники АОВ и А1ОВ1 подобны (по 1 признаку подобия), тогда сходственные стороны данных треугольников пропорциональны:
. (1)
Так как А1В1 — средняя линия, А1В1 = АВ, откуда АВ = 2А1В1, поэтому АО = 2А1О и ВО = 2В1О. Подставляя три последних равенства в (1), получим:
.
Следовательно, точка О, в которой пересекаются медианы АА1 и ВВ1 делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан ВВ1 и СС1 делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины, и, значит, совпадает с точкой О.