Геометрический смысл производной. Решение задач из ЕГЭ.
- Автор презентации: Белякова Ольга Владимировна,
- учитель математики МОУ «ЛСОШ №2»
- г. Лихославль Тверской области
№ 1
В
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке х 0 .
- А
- С
- Решение:
- Рассмотрим треугольник АВС.
- f `(x 0 )=tg(
- Ответ: 1,5
- Показать решение
№ 2
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке х 0 .
- В
- А
- С
- Решение:
- Рассмотрим треугольник АВС.
- f `(x 0 )=tg(
- Ответ: 0,25
- Показать решение
№ 3
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке х 0 .
- В
- С
- А
- Решение:
- Рассмотрим треугольник АВС.
- f `(x 0 )=-tg(
- Ответ: -1
- Показать решение
№ 4
На рисунке изображен график функции y=f `(x) – производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
Решение:
Касательная к графику y=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней в точке с абсциссой, которая удовлетворяет условию f `(x 0 )=0. Значит следует искать точку пересечения данного графика производной с осью абсцисс. По рисунку х 0 =4.
Ответ: 4
Показать решение
№ 5
На рисунке изображен график функции y=f (x), определенной на интервале (-6;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у=-8.
Решение:
Прямая у=-8 параллельна оси абсцисс. Касательная к графику функции y=f (x) будет параллельна оси абсцисс в точках минимума и максимума функции. Таких точек на рисунке – 6.
Ответ: 6.
Показать решение
№ 6
На рисунке изображен график y=f `(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (-1;12). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у=2х-15 или совпадает с ней.
Решение:
Касательная к графику функции f(x) должна быть параллельна прямой у=2х-15, то есть угловой коэффициент касательной должен быть равен 2. (k=2) k=f `(x 0 ). Следовательно, f `(x 0 )=2. Находим на графике производной точки, в которых значение функции (производной) равно 2. Таких точек на рисунке 3.
Ответ: 3.
Показать решение
№ 7
На рисунке изображен график y=f `(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (-9;8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у=2х+5 или совпадает с ней.
Решение:
Касательная к графику функции f(x) должна быть параллельна прямой у=2х+5, то есть угловой коэффициент касательной должен быть равен 2. (k=2) k=f `(x 0 ). Следовательно, f `(x 0 )=2. Находим на графике производной точки, в которых значение функции (производной) равно 2. Таких точек на рисунке 4.
Ответ: 4.
Показать решение
№ 8
На рисунке изображен график y=f `(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (-8;5). В какой точке отрезка [-3;2] f(x) принимает наибольшее значение?
Решение:
На отрезке [-3;2] производная принимает только отрицательные значения. Значит, на этом отрезке функция f(x) – убывает. Следовательно, на левом конце отрезка (в точке -3) значение функции – наибольшее, а на правом конце отрезка (в точке 2) значение функции – наименьшее.
Ответ: -3.
Показать решение
№ 9
На рисунке изображен график y=f `(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (-2;9). В какой точке отрезка [1;5] f(x) принимает наименьшее значение?
Решение:
На отрезке [1;5] производная принимает только положительные значения. Значит, на этом отрезке функция f(x) – возрастает. Следовательно, на левом конце отрезка (в точке 1) значение функции – наименьшее, а на правом конце отрезка (в точке 5) значение функции – наибольшее.
Ответ: 1.
Показать решение
- № 10
- На рисунке изображен график
- y=f `(x) – производной функции f(x), определенной на интервале
(-2;18). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [0;15].
Решение:
В точках экстремума функции (минимума и максимума) производная равна нулю. Следовательно, нужно найти точки пересечения графика производной с осью абсцисс. Таких точек (попадающих на отрезок [0;15]) на рисунке – 3. В точке минимума производная меняет знак с «-» на «+». На рисунке это выполняется для двух точек.
Ответ: 2.
Показать решение
- № 11
- На рисунке изображен график
- y=f `(x) – производной функции f(x), определенной на интервале
(-3;11). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Решение:
На промежутке убывания функции f(x), ее производная отрицательна. На рисунке есть два промежутка, на которых производная функции принимает отрицательные значения. Это отрезки [-2;2] и [6;10] . Длина первого отрезка=2-(-2)=4. Длина второго отрезка=10-6=4. Длины обоих отрезков одинаковы.
Ответ: 4.
Показать решение
- № 12
- На рисунке изображен график
- y=f `(x) – производной функции f(x), определенной на интервале
(-2;11). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [0;5].
Решение:
В точках экстремума функции (минимума и максимума) производная равна нулю. Следовательно, нужно найти точки пересечения графика производной с осью абсцисс. Такая точка (при этом принадлежащая отрезку [0;5]) на рисунке только одна. Это точка х= 3.
Ответ: 3.
Показать решение
Источник: https://kopilkaurokov.ru/matematika/presentacii/gieomietrichieskii_smysl_proizvodnoi_rieshieniie_zadach_iz_iege
Обучающие карточки «Геометрический смысл производной»
Обучающие карточки по алгебре.
Геометрический смысл производной.
| На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке . | |
| 1 | 4 |
| 2 | 5 |
| 3 | 6 |
| На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке . | |
| 7 | 10 |
| 8 | 11 |
| 9 | 12 |
| На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке . | |
| 13 | 17 |
| 14 | 18 |
| 15 | 19 |
| 16 | 20 |
| На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке . | |
| 21 | 25 |
| 22 | 26 |
| 23 | 27 |
| 24 | 28 |
| 1 | На рисунке изображен график функции, определенной на интервале Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой |
| 2 | На рисунке изображен график функции ,определенной на интервале Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой |
| 3 | На рисунке изображен график функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой |
| 4 | На рисунке изображен график функции, определенной на интервале Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой |
| 5 | На рисунке изображен график функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой |
| 6 | На рисунке изображен график функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой |
| 7 | На рисунке изображен график функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой |
| 8 | На рисунке изображен график функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой |
| 1 | На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. |
| 2 | На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. |
| 3 | На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. |
| 4 | На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. |
| 5 | На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. |
| 6 | На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. |
| 7 | На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. |
| 8 | На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. |
| На рисунке изображён график функции, к которому проведены касательные в четырёх точках. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной в ней. | |||||
| 1 |
|
||||
| 2 |
|
||||
| 3 |
|
||||
| 4 |
|
| Каждому из четырёх графиков функций в первом перечне соответствует одно из значений производной функции в точке во втором перечне. Установите соответствие между графиками и значениями производной. | ||
| 1 | ГРАФИКИ |
|
| 2 | ГРАФИКИ |
|
| 3 | ГРАФИКИ |
|
Самостоятельная работа. Геометрический смысл производной
Вариант 1.
| На рисунке изображён график функции, к которому проведены касательные в четырёх точках. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной в ней. | |||||
| 1 |
|
||||
| На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке . | |||||
| 2 | А) | Б) | |||
| 3 | На рисунке изображен график функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой | ||||
| 4 | На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. |
Самостоятельная работа. Геометрический смысл производной
Вариант 2.
| На рисунке изображён график функции, к которому проведены касательные в четырёх точках. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной в ней. | ||||||
| 1 |
|
|||||
| На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке . | ||||||
| 2 | А) | Б) | ||||
| 3 | На рисунке изображен график функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой | |||||
| 4 | На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. |
| 5 | На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 10. Найдите f '(10). | |
| Каждому из четырёх графиков функций в первом перечне соответствует одно из значений производной функции в точке во втором перечне. Установите соответствие между графиками и значениями производной. | ||
| 6 | ГРАФИКИ |
|
| 5 | На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите f '(8). | |
| Каждому из четырёх графиков функций в первом перечне соответствует одно из значений производной функции в точке во втором перечне. Установите соответствие между графиками и значениями производной. | ||
| 6 | ГРАФИКИ |
|
Источник: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/obuchayushie_kartochki_po_algebre_geometricheskij_smis_213444.html
Геометрический смысл производной
Параллельно с Ньютоном, который исследовал физические процессы и пришёл к пониманию о производной своим путём, Лейбниц ввёл определение производной через геометрию.
Для того чтобы разобраться в чём заключается геометрический смысл производной, обратимся к вышеприведённому схематическому рисунку. На нём изображён график функции y=f(x).
Обозначим через P точку, которой соответствует значение функции в точке x0.
Проведём некоторую секущую через точки P и P1. Угол наклона между положительным направлением оси X и этой секущей обозначим через β.
В результате получился прямоугольный треугольник с катетами Δx и Δy. Здесь Δx — это приращение аргумента функции, а Δy — приращение самой функции.
Отношение приращения функции к приращению аргумента есть тангенс угла между секущей и положительным направлением оси абсцисс.
Если устремить Δx→0, то точка P1 на графике будет приближаться к точке P, а секущая — менять своё положение относительно графика.
Предельным положением секущей при стремящемся к нулю приращению будет прямая, в которой точки P и P1 совпадут друг с другом. Такая прямая называется касательной к графику в точке P.
● Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке численно равно тангенсу угла наклона касательной к функции в этой точке.
Известно, что уравнение любой прямой имеет такой общий вид: y=k*x+b. Так вот в уравнении касательной к функции в точке P коэффициент k как раз равен значению производной в точке x0
На практике часто встречаются задачи на применение геометрического смысла производной. Например, одна из таких задач — это исследование графика функции по заданному графику производной от этой функции.
Прикладные задачи на производную зачастую связаны с физическим понятием производной
Источник: https://math24.biz/article?id=geometricheskiy_smysl_proizvodnoy
Геометрический смысл производной
Прямая (y = kx + b) касается графика функции (y = f(x)) в точке ((x_0; f(x_0))), если она проходит через эту точку и (f'(x_0) = k).
Угловой коэффициент прямой (y = kx + b) – это число (k).
Угол наклона прямой (y = kx + b) – это угол между этой прямой и положительным направлением оси (Ox), отсчитываемый в направлении против часовой стрелки. Таким образом, угол наклона прямой лежит в полуинтервале ([0^circ; 180^circ)).
Пример
- Утверждение
- Угловой коэффициент прямой (y=kx+b) равен тангенсу угла её наклона: [k=mathrm{tg},alpha]
- Таким образом, угловой коэффициент касательной (y_k) к графику функции (y = f(x)) в точке ((x_0; f(x_0))) равен тангенсу угла наклона этой касательной.
- Утверждение
- Угловой коэффициент касательной (y_k=kx+b) к графику функции (y = f(x)) в точке ((x_0; f(x_0))) равен значению производной этой функции (f'(x)), взятому в точке (x_0): [k=f'(x_0)]
Если вы планируете сдавать профильную математику и рассчитываете на конкурентные баллы, вам обязательно нужно уметь находить геометрический смысл производной в ЕГЭ.
Подобные задания включены в аттестационное испытание, поскольку позволяют оценить, насколько будущий выпускник умеет работать с научным текстом, анализировать и систематизировать информацию.
Задачи на нахождение геометрического смысла производной в ЕГЭ также выявляют уровень развития логического мышления учащегося.
Как подготовиться к экзамену?
Для того чтобы задания в ЕГЭ на тему «Геометрический смысл производной» не доставляли вам неудобств, воспользуйтесь при подготовке к выпускному испытанию образовательным ресурсом «Школково». С нами вы сможете повторить теоретический материал по темам, которые вызывают у вас трудности. Теоремы и формулы, которые раньше казались вам сложными, изложены доступно и понятно.
Каждое упражнение содержит правильный ответ и подробный ход решения. Вы можете выполнять задания различного уровня сложности. Школьник, проживающий в Москве и любом другом населенном пункте, который готовится к сдаче ЕГЭ, сможет решить задачи на нахождение геометрического смысла производной, сохранить их в «Избранном», а потом обсудить со своим учителем или репетитором.
Источник: https://shkolkovo.net/theory/90
Самая удобная и увлекательная подготовка к ЕГЭ
- Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:
- $f'(x_0)={lim}↙{△x→0}{△f(x_0)}/{△x}$
- Дифференцированием называют операцию нахождения производной.
Таблица производных некоторых элементарных функций
| Функция | Производная |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ |
| ${1}/{x}$ | $-{1}/{x^2}$ |
| $√x$ | ${1}/{2√x}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $lnx$ | ${1}/{x}$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | ${1}/{cos^2x}$ |
| $ctgx$ | $-{1}/{sin^2x}$ |
Основные правила дифференцирования
1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных
$(f(x) ± g(x))'= f'(x)±g'(x)$
- Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+{1}/{x}$
- Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.
- $f'(x) = (3x^5 )'-(cos x)' + ({1}/{x})' = 15x^4 + sinx — {1}/{x^2}$
2. Производная произведения
$(f(x) · g(x))'= f'(x) · g(x)+ f(x) · g(x)'$
Найти производную $f(x)=4x·cosx$
$f'(x)=(4x)'·cosx+4x·(cosx)'=4·cosx-4x·sinx$
3. Производная частного
$({f(x)}/{g(x)})'={f'(x)·g(x)-f(x)·g(x)'}/{g^2(x)}$
Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$
$f'(x)={(5x^5)'·e^x-5x^5·(e^x)'}/{(e^x)^2}={25x^4·e^x-5x^5·e^x}/{(e^x)^2}$
4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции
$f(g(x))'=f'(g(x))·g'(x)$
$f(x)= cos(5x)$
$f'(x)=cos'(5x)·(5x)'=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$
Физический смысл производной
Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.
$v(t) = x'(t)$
Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?
- Решение:
- 1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции
- $v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$
- 2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:
- $3t-3 = 12$
- $3t = 15$
- $t = 5$
- Ответ: $5$
Геометрический смысл производной
Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.
- $k = tgα$
- Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:
- $f'(x_0) = k$
- Следовательно, можем составить общее равенство:
- $f'(x_0) = k = tgα$
На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f'(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f '(x_0) = 0$, называется экстремумом.
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
Решение:
Касательная к графику возрастает, следовательно, $f'(x_0) = tg α > 0$
Для того, чтобы найти $f'(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.
Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)
- $tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$
- $f'(x_0) = tg ВАС = 0,25$
- Ответ: $0,25$
- Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:
- Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.
- Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.
В ответ запишите количество данных точек.
Решение:
Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция $f (x)$ убывает. Поэтому, выделим на рисунке интервалы, на которых функция убывает.
В выделенных интервалах находятся точки $х_2, х_4$. В ответ напишем их количество $2$.
Ответ: $2$
Источник: https://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/issledovanie_funkcii
Геометрический смысл производной в заданиях КИМ ЕГЭ. — презентация
- 1 Геометрический смысл производной в заданиях КИМ ЕГЭ
- 2 х y 0 k – угловой коэффициент прямой (касательной) Касательная Геометрический смысл производной Производная от функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
- 3 х 2 х 3 х 4 х у В точке х 2 угол наклона касательной – острый, значит, В точке х 4 угол наклона касательной – тупой, значит, В точке х 3 угол наклона касательной – равен 0°, значит,
- 4 0 у х 1 1 Показать (2) — 3 х 1 0 х В Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y = f (x) имеет наименьший угловой коэффициент
- 5 Ищу наименьше значение производной Показать (2) 3 х 1 0 х В 5 —
6 0 У Х 1 1 Показать (2) Так как k = f ´(x o ) = 2, то считаю точки, в которых производная принимает значения 2 Ответ: 2 К графику функции y = f (x) провели все касательные, параллельные прямой у = 2 х + 5 (или совпадающие с ней). Укажите количество точек касания.
7 — 3 х 1 0 х В У Х 1 1
8 0 у х Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции y = f (x). Найдите производную функции в точке х = 5. y = f (x)
9 Производная функции в точке х = 5 – это производная в точке касания х о, а она равна угловому коэффициенту касательной. Рассуждение (3) — 3 х 1 0 х В 5 0, 6 3 Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции y = f (x). Найдите производную функции в точке х = 5. х у y = f (x)
10 0 У Х 1 1 Рассуждение (2) Ответ (2) — 3 х 1 0 х В К графику функции y = f (x) (на рисунке его нет) провели касательные под углом 135° к положительному направлению оси Ох. На рисунке изображён график производной функции. Укажите количество точек касания
- 11 3 х 1 0 х В 5 0, 5 5 Найдите значение производной функции в точке касания
- 12 ОТВЕТ 3 х 1 0 х В 5 0, Найдите значение производной функции в точке касания
- 13 0 у х 1 1 Показать (2) — 3 х 1 0 х В По графику производной функции определите величину угла (в градусах) между положительным направлением оси Ох и касательной к графику функции y = f(x) в точке х 0 = — 3.
- 14 0 у х х 1 0 х В 5 2 f ´ (x) = 0 8 По графику производной функции определите наименьшую абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y = f(x) параллельна оси абсцисс
- 15 0 у х х 1 0 х В По графику производной функции определите тангенс угла наклона касательной к графику функции y = f(x) в точке х 0 = 3.
- 16 0 у х 1 1 Рассуждение (2) Ответ — 3 х 1 0 х В По графику производной функции укажите количество касательных к графику функции y = f(x), расположенных под углом в 60° к оси абсцисс.
- 17 0 у х х 1 0 х В 5 — Ищу наибольшее значение производной на интервале 11 Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y = f(x) имеет наибольший угловой коэффициент
Источник: http://www.myshared.ru/slide/1191996/
Загрузка...
