Разветвленные цепи. правила кирхгофа — справочник студента

На практике часто встречаются задачи по расчётам параметров токов и напряжений в различных разветвлённых цепях.

В качестве инструмента для расчётов используют правила Кирхгофа (в некоторой литературе их называют еще законами, хотя это не совсем корректно) – одни из фундаментальных правил, которые совместно с законами Ома позволяет определять параметры независимых контуров в самых сложных цепях.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Учёный Густав Киргхоф сформулировал два правила [1], для понимания которых введено понятие узла, ветви, контура. В нашей ситуации ветвью будем называть участок, по которому протекает один и тот же ток. Точки соединения ветвей образуют узлы. Ветви вместе с узлами образуют контуры – замкнутые пути, по которым течёт ток.

Первое правило Кирхгофа

Первое правило Густава Кирхгофа сформулировано исходя из закона сохранения заряда. Физик понимал, что заряд не может задерживаться в узле, а распределяется по ветвям контура, образующим это соединение.

Кирхгоф предположил, а впоследствии обосновал на основании экспериментов, что количество зарядов зашедших в узел такое же, как и количество тока вытекающего из него.

На рисунке 1 изображена простая схема, состоящая из контуров. Точками A, B, C, D обозначены узлы контура в центре схемы.

Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа - Справочник студентаРис. 1. Схема контура

Ток I1 входит в узел A, образованный ветвями контура. На схеме электрический  заряд распределяется в двух направлениях – по ветвям AB и AD. Согласно правилу Кирхгофа, входящий ток равен сумме выходящих: I1 = I2 + I3.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Обязанности и права работодателей - справочник студента

Оценим за полчаса!

На рисунке 2 представлен абстрактный узел, по ветвям которого течёт ток в разных направлениях. Если сложить векторы i1, i2, i3, i4 то, согласно первому правилу Кирхгофа, векторная сумма будет равняться 0: i1 + i2 + i3 + i4 = 0. Ветвей может быть сколько угодно много, но равенство всегда будет справедливым, с учётом направления векторов.

Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа - Справочник студентаРис. 2. Абстрактный узел

Запишем наши выводы в алгебраической форме, для общего случая:

Для использования этой формулы, требуется учитывать знаки. Для этого необходимо выбрать направление одного из векторов тока (не важно, какого) и обозначить его знаком «плюс». При этом знаки всех других величин определить, исходя от их направления, по отношению к выбранному вектору.

Чтобы избежать путаницы, ток, направленный в точку узла, принято считать положительным, а векторы, направленные от узла – отрицательными.

Изложим первое правило Кирхгофа, выраженное приведённой выше формулой: «Алгебраическая сумма сходящихся в определённом узле токов, равна нулю, если считать входящие токи положительными, а отходящими – отрицательными».

Первое правило дополняет второе правило, сформулированное Кирхгофом. Перейдём к его рассмотрению.

Второе правило Киргхофа

Из третьего уравнения Максвелла вытекает правило Кирхгофа для напряжений. Его ещё называют вторым законом.

Это правило гласит, что в замкнутом контуре, на резистивных элементах, алгебраическая сумма напряжений (включая внутренние), равна сумме ЭДС, присутствующих в этом же замкнутом контуре.

При этом токи и ЭДС, векторы которых совпадают с направлением (выбирается произвольно) обхода контура, считаются положительными, а встречные к обходу токи – отрицательными.

Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа - Справочник студентаРис. 4. Иллюстрация второго правила Кирхгофа

Формулы, которые изображены на рисунке применяются в частных случаях для вычисления параметров простых схем.

Формулировки уравнений общего характера:

Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа - Справочник студента

, где где Lk и Ck – это индуктивности и ёмкости, соответственно.

Линейные уравнения справедливы как для линейных, так и для нелинейных линеаризованных цепей. Они применяются при любом характере временных изменений токов и напряжений, для разных источников ЭДС. При этом законы Кирхгофа справедливы и для магнитных цепей. Это позволяет выполнять вычисления для поиска соответствующие параметров.

Закон Кирхгофа для магнитной цепи

Применение независимых уравнений возможно и при расчётах магнитных цепей. Сформулированные выше правила Кирхгофа справедливы и для вычисления параметров магнитных потоков и намагничивающих сил.

Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа - Справочник студентаРис. 4. Магнитные контуры цепей

В частности: ∑Ф=0.

То есть, для магнитных потоков первое правило Кирхгофа можно выразить словами: «Алгебраическая сумма всевозможных магнитных потоков относительно узла магнитной цепи равняется нулю.

Сформулируем второе правило для намагничивающих сил F: «В замкнутом магнитном контуре алгебраическая сумма намагничивающих сил приравнивается к сумме магнитных напряжений».

Данное утверждение выражается формулой: ∑F=∑U или ∑Iω = ∑НL, где ω – количество витков, H – напряжённость магнитного поля, символ L обозначает длину средней линии магнитопровода.

( Условно принимается, что каждая точка этой линии совпадает с линиями магнитной индукции).

Второе правило, применяемое для вычисления магнитных цепей, есть не что иное, как альтернативная форма представления закона полного тока.

Примечание: Составляя уравнения с использованием формул, вытекающих из правил Кирхгофа, надо прежде определиться с положительным направлением потоков, функционирующих в ветвях, сопоставив их с направлением обходов существующих контуров.

При совпадении векторов магнитного потока с направлениями обхода (на некоторых участках), падение напряжения на этих ветвях берём со знаком « + », а встречные ему – со знаком « – ».

Примеры расчета цепей

Рассмотрим ещё раз рисунок 3. На нём изображено 4 разнонаправленных вектора: i1, i2, i3, i4. Из них –  два входящие ( i2, i3) и два исходящие из узла (i1, i4). Положительными будем считать те векторы, которые направлены в точку соединения ветвей, а остальные – отрицательными.

Тогда, по формуле Кирхгофа, составим уравнение и запишем его в следующем виде: – i1 + i2 + i3 – i4 = 0.

На практике такие узлы являются частью контуров, обходя которые можно составить ещё несколько линейных уравнений с этими же неизвестными. Количество уравнений всегда достаточно для решения задачи.

Рассмотрим алгоритм решения на примере рис. 5.

Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа - Справочник студентаРис. 5. Пример для расчёта

Схема содержит 3 ветви и два узла, которые образуют три пары по два независимых контура:

Запишем независимое уравнение, выполняющееся, например, в точке а. Из первого правила Кирхгофа вытекает: I1 +  I2 –  I3 = 0.

Воспользуемся вторым правилом Кирхгофа. Для составления уравнений можно выбрать любой из контуров, но нам необходимы контуры с узлом а, так как для него мы уже составили уравнение. Это будут контуры 1 и 2.

Пишем уравнения:

  • I1R1 +  I3 R3 = E1;
  • I2R2 +  I3R3 = E2.

Решаем систему уравнений:

Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа - Справочник студента

Так как значения R и E известны (см. рисунок 5), мы придём к системе уравнений:

Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа - Справочник студента

Решая эту систему, получим:

  1. I1 = 1,36 (значения в миллиамперах).
  2. I2 = 2,19 мА.;
  3. I3 = 3,55 мА.
  • Потенциал узла а равен: Ua = I3*R3 = 3,55 × 3 = 10,65 В. Чтобы убедиться в верности наших расчётов, проверим выполнение второго правила по отношению к контуру 3:
  • E1 – E2 + I1R1+ I2R2 = 12 – 15 + 1,36 – 4,38 = – 0,02 ≈ 0 (с учётом погрешностей, связанных с округлениями чисел при вычислениях).
  • Если проверка выполнения второго правила успешно завершена, то расчёты сделаны правильно, а полученные данные являются достоверными.
  • Применяя правила (законы) Кирхгофа можно вычислять параметры электрической энергии для магнитных цепей.

Источник: https://www.asutpp.ru/pravila-zakony-kirhgofa-prostymi-slovami.html

Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа

Законы Кирхгофа для разветвленной цепи (разветвленная цепь – электрическая цепь, содержащая узлы – места, где сходятся не менее трех проводников):

а) По первому закону Кирхгофаалгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю . Токи, приходящие к узлу, считаются положительными, а токи, отходящие от узла, отрицательными.

б)Второй закон Кирхгофа: в замкнутом контуре алгебраическая сумма произведений токов в участках на сопротивление этих участков равна алгебраической сумме электродвижущих сил, включенных в данный контур

Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа - Справочник студента

где – алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле; – алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления замкнутых участков; – алгебраическая сумма ЭДС источников тока на замкнутом участке цепи.

При расчете сложных цепей постоянного тока с применением правил Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи.

3. Составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу неизвестных электрических величин; каждый рассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не содержавшийся в предыдущих контурах.

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

Например, для рис. 148 первое правило Кирхгофа запишется так:

Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа - Справочник студента

Первое правило Кирхгофа вытекает из закона сохранения электрического заряда. Действительно, в случае установившегося постоянного тока ни в одной точке проводника и ни на одном его участке не должны накапливаться электрические заряды. В противном случае токи не могли бы оставаться постоянными.

Второе правило Кирхгофа получается из обобщенного закона Ома для разветвлен­ных цепей. Рассмотрим контур, состоящий из трех участков (рис. 149). Направление обхода по часовой стрелке примем за положительное, отметив, что выбор этого направления совершенно произволен.

Все токи, совпадающие по направлению с напра­влением обхода контура, считаются положительными, не совпадающие с направлением обхода — отрицательными. Источники тока считаются положительными, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура. Применяя к участкам закон Ома (100.

Читайте также:  Краткая история развития форм обучения - справочник студента

3), можно записать:

Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа - Справочник студента Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа - Справочник студента

Складывая почленно эти уравнения, получим

(101.1)

Уравнение (101.1) выражает второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов Ii на сопротивления Ri соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме э.д.с. , встречающихся в этом контуре:

(101.2)

При расчете сложных цепей постоянного тока с применением правил Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи; действительное направление токов определяется при решении задачи: если искомый ток получится положительным, то его направление было выбрано правильно, отрицательным — его истинное направление противоположно выбранному.

2. Выбрать направление обхода контура и строго его придерживаться; произведе­ние IR положительно, если ток на данном участке совпадает с направлением обхода, и, наоборот, э.д.с., действующие по выбранному направлению обхода, считаются поло­жительными, против — отрицательными.

3. Составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу искомых величин (в систему уравнений должны входить все сопротивления и э.д.с. рассматриваемой цепи); каждый рассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не содержащийся в предыдущих контурах, иначе получатся уравнения, являющиеся простой комбинацией уже составленных.

В качестве примера использования правил Кирхгофа рассмотрим схему (рис. 150) измеритель­ногомоста Уитстона.* Сопротивления R1, R2, R R4 образуют его «плечи».

Между точками А и В моста включена батарея с э.д.с. и сопротивлением r, между точками С и D включен гальванометр с сопротивлением RG.

Для узлов А, В и С, применяя первое правило Кирхгофа, получим

  • (10 1.3)
  • Для контуров АСВA, ACDA и CBDC, согласно второму правилу Кирхгофа, можно записать:
  • (101.4)

* Ч. Уитстон (1802—1875) — английский физик.

Если известны все сопротивления и э.д.с., то, решая полученные шесть уравнений, можно найти неизвестные токи. Изменяя известные сопротивления R2, R3 иR4, можно добиться того, чтобы ток через гальванометр был равен нулю (IG = 0). Тогда из (101.3) найдем

  1. (101.5)
  2. а из (101.4) получим
  3. (101.6)

Из (101.5) и (101.6) вытекает, что

(101.7)

Таким образом, в случае равновесного моста (IG = 0) при определении искомого сопротивления R1 э.д.с. батареи, сопротивления батареи и гальванометра роли не играют.

На практике обычно используетсяреохордный мост Уитстона (рис. 151), где сопротивле­ния RR4 представляют собой длинную однородную проволоку (реохорд) с большим удельным сопротивлением, так что отношение R3/R4 можно заменить отношением l3/l4. Тогда, используя выражение (101.7), можно записать

(101. 8)

Длины l3 и l4 легко измеряются по шкале, a R2 всегда известно. Поэтому уравнение (101.8) позволяет определить неизвестное сопротивление R1.

РАЗВЕТВЛЕННЫЕ ЦЕПИ

Параллельное соединение приемников. Вначале рассмотрим графоаналитический метод расчета цепи с параллельным соединением потребителей (рис. 2.16, а). Для такой цепи характерно то, что напряжения на каждой ветви одинаковы, общий ток равен сумме токов ветвей.

Ток в каждой ветви определяется по закону Ома:

I1 = U ; I2 = U ; I3 = U (xL3 > xC3).
r12 + xL12 r22 + xC22 r32 + (xL3 — xC3)2

Угол сдвига φ между током каждой ветви и напряжением определяют с помощью cos φ:

cos φ1 = r1 ; cos φ2 = r2 ; cos φ3 = r3 .
r12 + xL12 r22 + xC22 r32 + (xL3 — xC3)2
Рис. 2.16. Цепь с параллельным соединением потребителей (а) и ее векторная диаграмма (б)

Общий ток в цепи, как следует из первого закона Кирхгофа, равен геометрической сумме токов всех ветвей:

Ī = Ī1 + Ī2 + Ī3.

Значение общего тока определяют графически по векторной диаграмме рис. 2.16, б.

  • Активная мощность цепи равна арифметической сумме активных мощностей всех ветвей:
  • Р = Р1 + P2 + P3.
  • Реактивная мощность цепи равна алгебраической сумме реактивных мощностей всех ветвей:

причем реактивную мощность ветви с индуктивностью берут со знаком плюс, ветви с емкостью — со знаком минус. Для цепи рис. 2.16 реактивная мощность равна

  1. Q = QL1 — QC2 + QL3 — QC3.
  2. Полная мощность цепи
  3. S = √P2 + Q2.
  4. Угол сдвига φ между общим током и напряжением определяют из векторной диаграммы или из выражения:
  5. cos φ = P/S.
  6. Графоаналитический метод не удобен для расчета разветвленных цепей: он отличается громоздкостью и невысокой степенью точности.
  7. Для анализа и расчета разветвленных цепей переменного тока используют проводимости, с помощью которых разветвленную цепь можно преобразовать в простейшую цепь и аналитически рассчитать токи и напряжения всех ее участков.
  8. В цепях постоянного тока проводимостью называется величина, обратная сопротивлению участка цепи:
  9. g = 1/r
  10. и ток в цепи выражается как произведение напряжения на проводимость:
  11. I = Ug.
Рис. 2.17. Электрическая цепь (а), ее векторная диаграмма (б) и эквивалентная схема (в); векторная диаграмма цепи при резонансе
  • В цепях переменного тока существуют три проводимости — полная,
  • активная и реактивная, причем только полная проводимость является величиной, обратной полному сопротивлению последовательного участка цепи.
  • Выражения проводимостей в цепях переменного тока можно получить следующим образом.
  • Ток в каждом неразветвленном участке цепи раскладывают на две составляющие, одна из которых есть проекция на вектор напряжения (активная составляющая тока Ia ), а другая — на линию, перпендикулярную вектору напряжения (реактивная составляющая тока Iр ).
  • Активная составляющая тока определяет активную мощность
  • P = UI cos φ = UIa ;
  • реактивная составляющая тока — реактивную мощность
  • Q = UI sin φ = UIр.

Из векторной диаграммы цепи рис. 2.17, а, изображенной на рис. 2.17, б, следует, что активная составляющая тока I1 равна

I1a = I1 cos φ1 = U r = Ur1/z12 = Ug1.
z1 z1
  1. Величина
  2. g1 = r1/z12
  3. называется активной проводимостью ветви. Реактивная составляющая тока I1 равна
Ilp = I1 sin φ1 = U xL = UxL/z12 = Ub1.
z1 z1
  • Величина
  • b1 = xL/z12 = bL1
  • называется реактивной проводимостью ветви цепи с индуктивностью и в общем случае обозначается bL.
  • Аналогично определяют активную g2 и реактивную b2 проводимости второй ветви цепи:
  • I2а = I2cos φ2 = U/z2 • r2/z2 = Ug2 ; g2 =r2 /z22 ;
  • I2p = I2 sin φ2 = U/z2• xC /z2 = Ub2; b2 = bC2 = xC2 /z22.
  • Реактивная проводимость ветви с емкостью в общем случае обозначается bC.
  • Вектор тока первой ветви равен геометрической сумме векторов активной и реактивной составляющих тока
  • Ī1 = Ī1а + Ī1р,
  • а значение тока
  • I1 = √I1а2 + I1р2.
  • Выразив составляющие тока через напряжение и проводимости, получим
  • I1 = √(Ug1)2 + (UbL1)2 = U g12 + bL12 = 1 = U/z1,
  • где у1 = 1/z1 = g12 + bL12 — полная проводимость ветви.
  • Аналогично определяют и полную проводимость второй ветви:
  • у2 = 1/z2 = g22 + 2.
  • Эквивалентные активную, реактивную и полную проводимости цепи получают следующим образом.
  • Вектор общего тока цепи равен геометрической сумме векторов токов Ī1 и Ī2:
  • Ī = Ī1 + Ī2
  • и может быть выражен через активную и реактивную составляющие тока и эквивалентные проводимости всей цепи:
  • Ī = Īа + Īр = Ūgэ + Ūbэ = э = U/zэ .

Активная составляющая общего тока (см. рис. 2.17, б) равна арифметической сумме активных составляющих токов ветвей:

  1. (2.24)
  2. Iа = I1а + I2а = Ug1 + Ug2 = U(g1 + g2) = Ugэ .
  3. а реактивная составляющая — арифметической разности реактивных составляющих этих токов:
  4. (2.25)
  5. Iр = I1р + I2р = UbL1 — UbC2 = U (bL1— bC2)= Ubэ .
Рис. 2.18. К расчету разветвлен- ной цепи с использова- нием проводимостей

Из выражений (2.24) и (2.25) следует, что эквивалентная активная проводимость цепи равна арифметической сумме активных проводимостей параллельно включенных ветвей:

(2.26)

gэ = g1 + g2 + … + gn ,

а эквивалентная реактивная проводимость — алгебраической сумме реактивных проводимостей параллельно включенных ветвей:

(2.27)

bэ = bL1 + 2 + … + bLn + bСп .

  • При этом проводимости ветвей с индуктивным характером нагрузки берут со знаком плюс, ветвей с емкостным характером нагрузки — со знаком минус. Полная эквивалентам проводимость цепи
  • (2.28)
  • уэ = 1/zэ = √gэ2 + bэ2.

По эквивалентным активной, реактивной и полной проводимостям можно определить параметры эквивалентной схемы (рис. 2.17, в) цепи.

  1. Эквивалентные активное, реактивное и полное сопротивления цепи определяют с помощью выражений
  2. zэ = 1/уэ , rэ = gэzэ2, хэ = bэzэ2.
  3. Необходимо отметить, что если ΣbL > ΣbC, то эквивалентное сопротивление хэ будет индуктивным, если ΣbC > ΣbL —емкостным.

Смешанное соединение потребителей.Расчет цепи при смешанном соединении потребителей (рис. 2.18, а) может быть произведен путем замены ее простейшей эквивалентной цепью. Для этого вначале определяют активные, реактивные и полные проводимости параллельно включенных ветвей: g1, g2, b1, b2, у1, у2.

  • Затем находят эквивалентные активную, реактивную и полную проводимости параллельного участка цепи:
  • gэ = g1+ g2; bэ = b1 + b2; уэ = gэ2 + bэ2.
  • Далее определяют эквивалентные активное, реактивное и полное сопротивления параллельного участка цепи:
  • rэ = gэzэ2; xэ = bэzэ2; zэ = 1/уэ.

В результате расчетов цепь может быть заменена эквивалентной цепью (рис. 2.18, б), где все сопротивления включены последовательно. Общие активное, реактивное и полное сопротивления цепи равны

rоб = rэ + r. xоб = x ± xэ, zоб = √rоб2 + xоб2.

Цепь приобретает простейший вид, изображенный на рис. 2.18, в. Общий ток цепи определяют по закону Ома:

  1. I = U/zоб
  2. Напряжение между точками а и b
  3. Uab = Izэ = I/уэ .
  4. Токи в параллельных ветвях равны
  5. I1 = Uab у1, I2 = Uab у2.



Источник: https://infopedia.su/8×11995.html

План конспект на тему «Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа» 10 класс

  • 10-й класс
  • Тема урока:« Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа»
  • ФИО: Беккожин Марат Нурланович.
  • Предмет: физика
  • Класс: 10 «А»
  • Цели урока:
  • Образовательная цель – разъяснитьзакон Ома для участка цепи и для полной цепи постоянного тока, виды соединений источников электрической энергии в батареи и сформировать умения применять формулы в решении задач.
  • Развивающая цель – развивать у обучающихся умения наблюдать, анализировать, обобщать, сравнивать познавательные объекты, осуществлять самооценку и самокоррекцию учебной деятельности;
  • Воспитательная цель – развивать у обучающихся ответственность, трудолюбие, помочь им осознать ценность совместной деятельности. Тип урока: урок изучения нового материала. Форма проведения: фронтальная, индивидуальная. Оборудование: ТСО – компьютер, проектор, экран.

Презентация – «Решение задач на закон Ома и соединение проводников».

Ход урока:

1. Организационный момент.(2 мин.)

Проверка готовности к уроку. Подготовка учащихся к работе на занятии.

2. Актуализация знаний.(2 мин.)

  1. Какие тела называются проводниками? Приведите примеры проводников. (Это тела, через которые электрические заряды могут переходить от заряженных тел к незаряженным, Металлы, почва, водные растворы солей.)

  2. Что такое диэлектрики?  Приведите примеры диэлектриков. ((Это тела, через которые электрические заряды не могут переходить от заряженных тел к незаряженным. Резина, воздух, пластмасса и т.д.)

  3. Что такое электрический ток?(упорядоченное движение заряженных частиц под действием сил электрического поля или сторонних сил)

  4. Постоянный электрический ток? (Электрический ток называют постоянным, если сила тока и его направление не меняются с течением времени)

  5. Что такое сила тока?(скалярная физическая величина, равная отношению заряда, прошедшего через проводник, ко времени, за которое этот заряд прошел.)

  6. Что такое плотность тока?(векторная физическая величина, равная отношению силы тока к площади поперечного сечения проводника.)

  7. Что такое электрическое сопротивление (физическая величина, характеризующая  электрические свойства участка цепи )

  8. Закон Ома для однородного участка цепи. (сила тока для однородного проводника на участке цепи прямо пропорциональна напряжению на этом участке и обратно пропорциональна сопротивлению проводника.)

  9. Закон Ома для полной цепи.(Сила тока в полной цепи равна отношению электродвижущей силы источника к сумме сопротивлений внешнего и внутреннего участка цепи )

  10. Формула короткого замыкания.

3.Изучение нового материала.

Расчет разветвлённых цепей, например нахождение токов в отдельных ветвях, значительно упрощается, при пользовании правилами Кирхгофа.

Узлом разветвлённой цепи называется точка, в которой сходятся три или более проводника. Ток текущий к узлу считается имеющим знак (+I), из узла – знак (–I).

  1. Ветвью электрической цепи – называется участок цепи вдоль которого проходит один и тот же ток.
  2. Первое правило Кирхгофа относится к узлам разветвлённых цепей.
  3. .
  4. (23.1)
  5. Алгебраическая сумма токов сходящихся в узле равна 0.

Первое правило Кирхгофа вытекает из уравнения непрерывности, т.е. в конечном счёте, из закона сохранения заряда.

  • Первое правило Кирхгофа можно написать для каждого из N узлов цепи, но независимыми являются только (N – 1) уравнения, N-е будет следствием из них.
  • Второе правило Кирхгофа относится к любому, выделенному в разветвленной цепи замкнутому контуру.
  • Контур – любой замкнутый путь, который можно обойти, перемещаясь по любым ветвям цепи.
  • Алгебраическая сумма произведений сил токов в отдельных участках произвольного замкнутого контура на их сопротивления равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре.
  • .
  • (23.2)
  • Таким образом, второе правило Кирхгофа является следствием закона Ома для неоднородного участка цепи.
  • Составление системы уравнений
  • Правила Кирхгофа в каждом конкретном случае позволяют написать полную систему уравнений, из которых могут быть найдены, например, все неизвестные токи.
  • По 1 и 2 правилам Кирхгофа уравнений нужно составлять столько, сколько неизвестных величин, но надо следить, чтобы одни уравнения не являлись следствием других.

По 1 правилу Кирхгофа следует для цепи из N узлов записать (N – 1) независимых уравнений. По второму правилу Кирхгофа составлять уравнения только для независимых контуров.

Независимыми контурами являются те, которые нельзя составить наложением уже рассмотренных контуров.

Число независимых уравнений по второму правилу Кирхгофа оказывается равным числу наименьших разрывов, которые нужно сделать, чтобы нарушить все контуры. Для такого контура (рис. 23.

Читайте также:  Способы общения - справочник студента

2) число независимых уравнений, составленных по 2-ому правилу Кирхгофа – 3.При составлении уравнений по правилам Кирхгофа необходимо поступать так:

  1. Произвольным образом выбрать направление токов на всех участках цепи; действительное направление токов определяется при решении задачи. Если при расчётах искомый ток получается отрицательным, то его истинное направление противоположно выбранному.

  2. Выбрать направление обхода контура.

    Произведение Ii×Riсчитается положительным, если направление обхода и направление тока на данном участке совпадает, и считается отрицательным (–Ii×Ri), если направление обхода и направление тока на данном участке не совпадают.ЭДС берётся со знаком (+) если она действует в направлении обхода, или со знаком (–) если против.

  3. Составить столько уравнений по 1 и 2 правилам Кирхгофа, сколько неизвестных, и решить систему уравнений.

Пример №1Определить силу токов, текущих в ветвях, если ε1 = 1 В, ε 2 = 2 В, ε 3 = 3 В, r1 = 1 Ом, r2 = 0,5 Ом, r3 =  Ом, R4 = 1 Ом, R5 =  Ом.

Решение:

I1 — ?; I2 — ?; I3 — ?

Физическая система – электрическая цепь, в которой имеется несколько различных источников тока. Найти результирующую ЭДС невозможно и, следовательно, нельзя применить закон Ома для замкнутой цепи. В этом случае электрическая цепь может быть рассчитана с помощью правил Кирхгофа.

Сначала необходимо выбрать (произвольно) направления тока в ветвях (см. рис.). Если направление выбрано неверно, то в окончательном решении величина этого тока получиться отрицательной, а если верно – то положительной.

Применим первое правило Кирхгофа. Оно справедливо для узлов электрической цепи. В данной схеме узлов два: т. А и т. С.

Для узла А:

Для узла С первое правило Кирхгофа ничего нового не дает. Применим второе правило Кирхгофа, оно справедливо только для замкнутых контуров. В данной схеме их три: АВСА, ACDA,ABCDA.

Рассмотрим контур ABCA: e1 и e2; r1, r2, R4; I1 и I2.

Для применения второго правила Кирхгофа необходимо выбрать (произвольно) условно-положительное направление обхода контура. Оно необходимо для определения знаков ЭДС и токов.

Если направление ЭДС или тока совпадают с направлением обхода контура, то их считают положительными. В противном случае ЭДС или ток считают отрицательными.

Следовательно: (если выбрать направление обхода против часовой стрелки)

Для контура ACDA: (направление обхода против часовой стрелки): Система уравнений (1 – 3) являются замкнутой, решая эту систему находим:

; ; .

Токи I1 и I2 получились отрицательными, это значит, что направления их случайно были выбраны ошибочно. Ток I3 положителен, следовательно, его направление выбрано правильно.

Ответ:; ; .

4. Решение задач.

Задача 1.

Определить общее сопротивление цепи.

Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа - Справочник студента

  1. Задача 2.
  2. Чему равна длина железного провода, имеющего площадь поперечного сечения 0,8мм2, если при прохождении по нему тока 1 А напряжение на его концах равно 12 В?
  3. Задача 3.
  4. Определите силу тока, проходящего через реостат, изготовленный из никелиновой проволоки длиной 25 м и площадью поперечного сечения 0,5 мм2, если напряжение на зажимах реостата равно 45 В.

Задача №4.В схеме представленной на рисунке e1 = 2,1 В, e2 = 1,9 В, R1 = 45 Ом, R2 = 10 Ом, R3 = 10 Ом. Найти силу тока во всех участках цепи. Внутренним сопротивлением элементов пренебречь.

Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа - Справочник студента

Задача №5.Три источника тока с ЭДС e1 = 11 В, e2 = 4 В и e3 = 6 В и три реостата с сопротивлениями R1 = 5 Ом, R2 = 10 Ом, R3 = 20 Ом соединены как показано на схеме. Определить силы токов I в реостатах. Внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало.

Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа - Справочник студента

5. Подведение итогов

Что нового вы узнали на уроке? Что вызвало затруднение?

Подведение итогов. Выставление оценок за работу на уроке.6. Домашнее задание.§9.6, Упр.19 №4,5

Источник: https://infourok.ru/plan-konspekt-na-temu-razvetvlennie-cepi-pravila-kirhgofa-klass-1397453.html

Правила Кирхгофа, теория и примеры задач

Очень часто электрическая цепь включает несколько источников тока и сопротивлений, которые соединены разными способами. Такую цепь называют сложной разветвленной электрической цепью.

Значимыми для составления систем уравнений, позволяющих провести расчеты в сети постоянного тока, являются ее узлы и замкнутые контуры. Расчеты любой сети можно проводить, используя закон Ома и закон сохранения заряда.

Но использование специальных правил, которые называют правилами Кирхгофа (иногда законами Кирхгофа) позволяют упростить процедуру составления уравнений для вычислений. Всего выделяют два правила Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа

Довольно часто в электрической цепи в одной точке сходятся более двух проводников, по которым текут токи. Такие точки в цепи называют узлами или разветвлениями. В любом узле, если ток в цепи постоянен, полное изменение заряда за некоторый промежуток времени равно:

    Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа - Справочник студента

где суммирование проводят с учетом знаков силы тока. Если мы имеем дело с постоянным током в цепи, то потенциалы всех ее точек остаются неизменными. Значит, в узлах не может накапливаться заряд. Поэтому рассматривая силу тока, как алгебраическую величину запишем:

    Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа - Справочник студента

где N – число токов, которые сходятся в узле. Выражение (2) носит название первого правила Кирхгофа (правило узлов): сумма токов, текущих через сопротивления в цепи постоянного тока, с учетом их знака, сходящихся в узле, равна нулю.

Знак у тока (плюс или минус) выбирают произвольно, но при этом следует считать, что все входящие в узел токи имеют одинаковые знаки, а все исходящие из узла токи имеют противоположные входящим, знаки. Допустим, все входящие токи мы примем за положительные, тогда все исходящие их этого узла токи будут отрицательными.

Первое правило Кирхгофа дает возможность составить независимое уравнение, если в цепи k узлов.

Второе правило Кирхгофа

Во втором правиле Кирхгофа рассматривают замкнутые контуры, поэтому оно называется правилом контуров.

Формулируется это правило Кирхгофа следующим образом: Суммы произведений алгебраических величин сил тока на внешние и внутренние сопротивления всех участков замкнутого контура равны алгебраической сумме величин сторонних ЭДС (), которые входят в рассматриваемый контур. В математическом виде второй закон Кирхгофа записывают как:

    Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа - Справочник студента

Величины называют падениями напряжения. Прежде, чем применять второй закон Кирхгофа определяются с направлением положительного обхода контура. Выбирается направление произвольно, либо по часовой стрелке, либо против нее.

Если направление обхода совпадает с направлением течения тока в рассматриваемом элементе контура, то падение напряжения в формулу второго закона для данного контура входит с положительным знаком. ЭДС считают положительной, если при движении по контуру (в избранном направлении) первым встречается отрицательный полюс источника.

Более правильно было бы сказать, сто ЭДС считают положительной, если работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда на рассматриваемом участке цепи в заданном направлении обхода контура является положительной величиной.

Второе правило Кирхгофа является следствием закона Ома.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Источник: http://ru.solverbook.com/spravochnik/fizika/pravila-kirxgofa/

§ 101. Правила Кирхгофа для разветвленных цепей

Обобщенный
закон Ома (см. (100.3)) по­зволяет рассчитать
практически любую сложную цепь.

Однако
непосредственный расчет разветвленных
цепей, содержащих несколько замкнутых
контуров (контуры могут иметь общие
участки, каждый из контуров может иметь
несколько источни­ков э.д.с. и т. д.

),
довольно сложен. Эта задача решается
более просто с помощью двух
правил
Кирхгофа.

Любая
точка разветвления цепи, в ко­торой
сходится не менее трех проводников с
током, называется узлом.
При
этом ток, входящий в узел, считается
положитель­ным, а ток, выходящий из
узла,— отрица­тельным.

Первое
правило Кирхгофа:
алгебраи­ческая
сумма токов, сходящихся в узле, равна
нулю:

Например, для рис.
148 первое правило Кирхгофа запишется
так:

I1-I2+I3-I4-I5=0.

Первое правило
Кирхгофа вытекает из закона сохранения
электрического заряда. Действительно,
в случае установившегося постоянного
тока ни в одной точке про­водника и
ни на одном его участке не должны
накапливаться электрические за­ряды.
В противном случае токи не могли бы
оставаться постоянными.

Второе правило
Кирхгофа получается из обобщенного
закона Ома для разветвлен­ных цепей.
Рассмотрим контур, состоящий

из трех участков
(рис. 149). Направление обхода по часовой
стрелке примем за по­ложительное,
отметив, что выбор этого на­правления
совершенно произволен.

Все токи,
совпадающие по направлению с на­правлением
обхода контура, считаются по­ложительными,
не совпадающие с на­правлением обхода
— отрицательными. Источники э.д.с.

считаются положительны­ми, если они
создают ток, направленный в сторону
обхода контура. Применяя к участкам
закон Ома (100.3), можно записать:

Складывая почленно
эти уравнения, по­лучим

I1R1-I2R2+I3R3=
ξ
1
ξ
2+
ξ
3.(101.1)

Уравнение
(101.1) выражает второе
правило Кирхгофа:
в
любом замкнутом контуре, произвольно
выбранном в развет­вленной электрической
цепи, алгебраиче­ская сумма произведений
сил токов Ii,
на сопротивления Ri
соответствующих участков этого контура
равна алгебраиче­ской сумме э.д.с. ξ
k,
встречающихся
в этом контуре:

При расчете сложных
цепей постоян­ного тока с применением
правил Кирхгофа необходимо:

1.
Выбрать произвольное
направление
токов на всех участках цепи; действитель­ное
направление токов определяется при
решении задачи: если искомый ток
полу­чится положительным, то его
направление было выбрано правильно,
отрицатель­ным — его истинное
направление противо­положно выбранному.

161

2.
Выбрать направление обхода кон­тура
и строго его придерживаться; про­изведение
IR
положительно,
если ток на данном участке совпадает с
направлением обхода, и наоборот, э.д.с.,
действующие по выбранному направлению
обхода, счита­ются положительными,
против — отрица­тельными.

3. Составить столько
уравнений, что­бы их число было равно
числу искомых величин (в систему уравнений
должны входить все сопротивления и
э.д.с. рас­сматриваемой цепи); каждый
рассматри­ваемый контур должен
содержать хотя бы один элемент, не
содержащийся в преды­дущих контурах,
иначе получатся уравне­ния, являющиеся
простой комбинацией уже составленных.

В
качестве примера использования правил
Кирхгофа рассмотрим схему (рис. 150)
измери­тельного моста
Уитстона.
Сопротивления
R1,
R
2,
R
R4
образуют его плечи.

Между точками А
и В
моста
включена батарея с э.д.с. ξ
и со­противлением r,
между точками С
и
D
включен
гальванометр с сопротивлением RG.

Для
узлов А,
В
и
С,
применяя
первое правило Кирхгофа, получим

Для
контуров АСВξА,
ACDA
и
CBDC,
соглас­но
второму правилу Кирхгофа, можно запи­сать:

Если
известны все сопротивления и э.д.с., то,
решая полученные шесть уравнений, можно
найти неизвестные токи. Изменяя известные
сопротивления R2,
R

R4,
можно добиться того, чтобы ток через
гальванометр был равен нулю (IG=0).
Тогда из (101.3) найдем

I1=I2, I3
= I4,
(101.5)

а из (101.4) получим

I1R1=I4R4, I2R2=I3R3. (101.6)
Из (101.5) и (101.6) вытекает, что

R1/R4=R2/R3, или R1=R2R4/R3
(101.7)

Таким
образом, в случае равновесного моста
(IG=0)
при
определении искомого сопротивле­ния
R1э.д.с.
батареи, сопротивления батареи и
гальванометра роли не играют.

На
практике обычно используется реохордный
мост Уитстона
(рис.
151), где сопротивле­ния R3
и R4представляют
собой длинную одно­родную проволоку
(реохорд) с большим удель­ным
сопротивлением, так что отношение R3/R4
можно
заменить отношением l3/l4.
Тогда, ис­пользуя выражение (101.7), можно
записать

R1=R2l4/l3.
(101.8)

Длины
l3
и l4
легко измеряются по шкале, a
R2всегда
известно. Поэтому уравнение (101.8) позволяет
определить неизвестное со­противление
R1.

162

Контрольные
вопросы

• Что называется
силой тока? плотностью тока? Каковы их
единицы? (Дать определения.)

• Назовите
условия возникновения и существования
электрического тока.

• Что такое
сторонние силы? Какова их природа?

• В чем заключается
физический смысл электродвижущей силы,
действующей в цепи? напряжения? разности
потенциалов?

• Почему
напряжение является обобщенным понятием
разности потенциалов?

• Какова связь
между сопротивлением и проводимостью,
удельным сопротивлением и удельной
проводимостью? Каковы их единицы? (Дать
определения.)

• В чем заключается
явление сверхпроводимости? Каковы его
перспективы?

  • • На чем основано
    действие термометров сопротивления?
  • • Выведите
    законы Ома и Джоуля — Ленца в
    дифференциальной форме.
  • • В чем заключается
    физический смысл удельной тепловой
    мощности тока?

• Проанализируйте
обобщенный закон Ома. Какие частные
законы можно из него получить?

• Как формулируются
правила Кирхгофа? На чем они основаны?

• Как составляются
уравнения, выражающие правила Кирхгофа?
Как избежать лишних уравне­ний?

Задачи

12.1. По
медному проводнику сечением 1 мм2
течет ток; сила тока 1 А. Определить
среднюю скорость упорядоченного движения
электронов вдоль проводника, предполагая,
что на каждый атом меди приходится один
свободный электрон. Плотность меди 8,9
г/см3.
[74 мкм/с]

12.2. Определить,
во сколько раз возрастет сила тока,
проходящего через платиновую печь, если
при постоянном напряжении на зажимах
ее температура повышается от t1=20°C
до
t2=1200°С.
Температурный коэффициент сопротивления
платины принять равным 3,65•К)-3
К-1.
[В 5 раз]

12.3. По
медному проводу сечением 0,3 мм2
течет ток 0,3 А. Определить силу, действующую
на отдельные свободные электроны со
стороны электрического поля. Удельное
сопротивление меди 17 нОм•м.
[2,72-10-21
Н]

12.4. Сила
тока в проводнике сопротивлением 10 Ом
равномерно убывает от I0=3
А до I=0
за 30 с. Определить выделившееся за это
время в проводнике количество теплоты.
[900 Дж]

12.5. Плотность
электрического тока в алюминиевом
проводе равна 5 А/см2.
Определить удельную тепловую мощность
тока, если удельное сопротивление
алюминия 26 нОм•м.
[65 Дж/(м3•с)]

12.6. Определить
внутреннее сопротивление rисточника
тока, если во внешней цепи при силе тока
I1=5
А выделяется мощность Р1=10
Вт, а при силе тока /2 = 8 А—мощность P2=12
Вт. [0,17 Ом]

12.7. Три
источника тока с э.д.с. ξ1
= l,8 В,
ξ2=1,4
В и ξ3=1,1
В
соединены накоротко однои­менными
полюсами. Внутреннее сопротивление
первого источника r1=0,4
Ом, второго — r2
= 0,6 Ом. Определить внутреннее сопротивление
третьего источника, если через первый
источник идет ток I1=l,13
A. [0,2
Ом]

*Ч.
Уитстон (1802
—1875)
английский физик.

*
Э.
X. Ленц (1804—1865) —русскийфизик.

* Г. Кирхгоф (1824—1887) — немецкий физик.

Источник: https://studfile.net/preview/5965714/page:4/

Ссылка на основную публикацию