Разложение рациональной дроби на простейшие — справочник студента

Начнём с некоторых определений. Многочленом n-й степени (или n-го порядка) будем именовать выражение вида $P_n(x)=sumlimits_{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+ldots+a_{n-1}x+a_n$. Например, выражение $4x^{14}+87x^2+4x-11$ есть многочлен, степень которого равна $14$. Его можно обозначить так: $P_{14}(x)=4x^{14}+87x^2+4x-11$.

Отношение двух многочленов $frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ называется рациональной функцией или рациональной дробью. Если более точно, то это рациональная функция одной переменной (т.е. переменной $x$).

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Рациональная дробь называется правильной, если $n < m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется неправильной.

Пример №1

Указать, какие из приведённых ниже дробей являются рациональными. Если дробь является рациональной, то выяснить, правильная она или нет.

  1. $frac{3x^2+5sin x-4}{2x+5}$;
  2. $frac{5x^2+3x-8}{11x^9+25x^2-4}$;
  3. $frac{(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)}{(5x+4)(3x^2+9)^{15}(15x^{10}+9x-1)}$;
  4. $frac{3}{(5x^6+4x+19)^4}$.

Решение

1) Данная дробь не является рациональной, поскольку содержит $sin x$. Рациональная дробь этого не допускает.

2) Мы имеем отношение двух многочленов: $5x^2+3x-8$ и $11x^9+25x^2-4$. Следовательно, согласно определению, выражение $frac{5x^2+3x-8}{11x^9+25x^2-4}$ есть рациональная дробь. Так как степень многочлена в числителе равна $2$, а степень многочлена в знаменателе равна $9$, то данная дробь является правильной (ибо $2 < 9$).

3) И в числителе, и в знаменателе данной дроби расположены многочлены (разложенные на множители).

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Развитие психики в филогенезе - справочник студента

Оценим за полчаса!

Нам совершенно неважно, в какой форме представлены многочлены числителя и знаменателя: разложены они на множители или нет.

Так как мы имеем отношение двух многочленов, то согласно определению выражение $frac{(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)}{(5x+4)(3x^2+9)^{15}(15x^{10}+9x-1)}$ есть рациональная дробь.

Дабы ответить на вопрос о том, является ли данная дробь правильной, следует определить степени многочленов в числителе и знаменателе. Начнём с числителя, т.е. с выражения $(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)$. Для определения степени этого многочлена можно, конечно, раскрыть скобки.

Однако разумно поступить гораздо проще, ибо нас интересует лишь наибольшая степень переменной $x$. Выберем из каждой скобки переменную $x$ в наибольшей степени. Из скобки $(2x^3+8x+4)$ возьмём $x^3$, из скобки $(8x^4+5x^3+x+9)^9$ возьмём $(x^4)^9=x^{4cdot9}=x^{36}$, а из скобки $(5x^7+x^6+9x^5+3)$ выберем $x^7$.

Тогда после раскрытия скобок наибольшая степень переменной $x$ будет такой:

$$ x^3cdot x^{36}cdot x^7=x^{3+36+7}=x^{46}. $$

Степень многочлена, расположенного в числителе, равна $46$. Теперь обратимся к знаменателю, т.е. к выражению $(5x+4)(3x^2+9)^{15}(15x^{10}+9x-1)$. Степень этого многочлена определяется так же, как и для числителя, т.е.

$$ xcdot (x^2)^{15}cdot x^{10}=x^{1+30+10}=x^{41}. $$

В знаменателе расположен многочлен 41-й степени. Так как степень многочлена в числителе (т.е. 46) не меньше степени многочлена в знаменателе (т.е. 41), то рациональная дробь $frac{(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)}{(5x+4)(3x^2+9)^{15}(15x^{10}+9x-1)}$ является неправильной.

4) В числителе дроби $frac{3}{(5x^6+4x+19)^4}$ стоит число $3$, т.е. многочлен нулевой степени. Формально числитель можно записать так: $3x^0=3cdot1=3$. В знаменателе имеем многочлен, степень которого равна $6cdot 4=24$. Отношение двух многочленов есть рациональная дробь. Так как $0 < 24$, то данная дробь является правильной.

Ответ: 1) дробь не является рациональной; 2) рациональная дробь (правильная); 3) рациональная дробь (неправильная); 4) рациональная дробь (правильная).

Теперь перейдём к понятию элементарных дробей (их ещё именуют простейшими рациональными дробями). Существуют четыре типа элементарных рациональных дробей:

  1. $frac{A}{x-a}$;
  2. $frac{A}{(x-a)^n}$ ($n=2,3,4,ldots$);
  3. $frac{Mx+N}{x^2+px+q}$ ($p^2-4q < 0$);
  4. $frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}$ ($p^2-4q < 0$; $n=2,3,4,ldots$).

Примечание (желательное для более полного понимания текста): показатьскрыть

Зачем нужно условие $p^2-4q < 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Например, для выражения $x^2+5x+10$ получим: $p^2-4q=5^2-4cdot 10=-15$. Так как $p^2-4q=-15 < 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Кстати сказать, для этой проверки вовсе не обязательно, чтобы коэффициент перед $x^2$ равнялся 1. Например, для $5x^2+7x-3=0$ получим: $D=7^2-4cdot 5 cdot (-3)=109$. Так как $D > 0$, то выражение $5x^2+7x-3$ разложимо на множители.

Читайте также:  Восприятие - справочник студента

Задача состоит в следующем: заданную правильную рациональную дробь представить в виде суммы элементарных рациональных дробей. Решению этой задачи и посвящён материал, изложенный на данной странице.

Для начала нужно убедиться, что выполнено следующее условие: многочлен в знаменателе правильной рациональной дроби разложен на множители таким образом, что оное разложение содержит лишь скобки вида $(x-a)^n$ или $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q < 0$).

Грубо говоря, это требование означает необходимость максимального разложения многочлена в знаменателе, т.е. чтобы дальнейшее разложение было невозможно. Только если это условие выполнено, то можно применять такую схему:

  1. Каждой скобке вида $(x-a)$, расположенной в знаменателе, соответствует дробь $frac{A}{x-a}$.
  2. Каждой скобке вида $(x-a)^n$ ($n=2,3,4,ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $frac{A_1}{x-a}+frac{A_2}{(x-a)^2}+frac{A_3}{(x-a)^3}+ldots+frac{A_n}{(x-a)^n}$.
  3. Каждой скобке вида $(x^2+px+q)$ ($p^2-4q < 0$), расположенной в знаменателе, соответствует дробь $frac{Cx+D}{x^2+px+q}$.
  4. Каждой скобке вида $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q < 0$; $n=2,3,4,ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $frac{C_1x+D_1}{x^2+px+q}+frac{C_2x+D_2}{(x^2+px+q)^2}+frac{C_3x+D_3}{(x^2+px+q)^3}+ldots+frac{C_nx+D_n}{(x^2+px+q)^n}$.

Если же дробь неправильная, то перед применением вышеизложенной схемы следует разбить её на сумму целой части (многочлен) и правильной рациональной дроби. Как именно это делается, разберём далее (см. пример №2 пункт 3). Пару слов насчёт буквенных обозначений в числителях (т.е.

$A$, $A_1$, $C_2$ и тому подобные). Буквы можно использовать любые – на свой вкус. Важно лишь, чтобы эти буквы были различными во всех элементарных дробях. Чтобы найти значения этих параметров применяют метод неопределённых коэффициентов или метод подстановки частных значений (см.

примеры №3, №4 и №5).

Пример №2

Разложить заданные рациональные дроби на элементарные (без нахождения параметров):

  1. $frac{5x^4-10x^3+x^2-9}{(x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5}$;
  2. $frac{x^2+10}{(x-2)^3(x^3-8)(3x+5)(3x^2-x-10)}$;
  3. $frac{3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22}{x^3-2x^2+4x-8}$.

Решение

1) Имеем рациональную дробь. В числителе этой дроби расположен многочлен 4-й степени, а в знаменателе многочлен, степень которого равна $17$ (как определить эту степень детально пояснено в пункте №3 примера №1).

Так как степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то данная дробь является правильной. Обратимся к наменателю этой дроби. Начнём со скобок $(x-5)$ и $(x+2)^4$, которые полностью подпадают под вид $(x-a)^n$. Кроме того, имеются ещё и скобки $(x^2+3x+10)$ и $(x^2+11)^5$.

Выражение $(x^2+3x+10)$ имеет вид $(x^2+px+q)^n$, где $p=3$; $q=10$, $n=1$. Так как $p^2-4q=9-40=-31 < 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Обратимся ко второй скобке, т.е. $(x^2+11)^5$. Это тоже скобка вида $(x^2+px+q)^n$, но на сей раз $p=0$, $q=11$, $n=5$.

Так как $p^2-4q=0-121=-121 < 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Итак, мы имеем следующий вывод: многочлен в знаменателе разложен на множители таким образом, что оное разложение содержит лишь скобки вида $(x-a)^n$ или $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q < 0$).

Теперь можно переходить и к элементарным дробям. Мы будем применять правила (1)-(4), изложенные выше. Согласно правилу (1) скобке $(x-5)$ будет соответствовать дробь $frac{A}{x-5}$. Это можно записать так:

$$ frac{5x^4-10x^3+x^2-9}{(x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5}=frac{A}{x-5}+ldots $$

  • Согласно правилу (2) скобке $(x+2)^4$ будет соответствовать сумма четырёх дробей $frac{A_1}{x+2}+frac{A_2}{(x+2)^2}+frac{A_3}{(x+2)^3}+frac{A_4}{(x+2)^4}$. Допишем эту сумму к уже имеющемуся разложению:
  • Согласно правилу (3) скобке $(x^2+3x+10)$ будет соответствовать дробь $frac{Cx+D}{x^2+3x+10}$. Допишем эту дробь к разложению:
  • И, наконец, согласно правилу (4) скобке $(x^2+11)^5$ будет соответствовать сумма пяти дробей $frac{C_1x+D_1}{x^2+11}+frac{C_2x+D_2}{(x^2+11)^2}+frac{C_3x+D_3}{(x^2+11)^3}+frac{C_4x+D_4}{(x^2+11)^4}+frac{C_5x+D_5}{(x^2+11)^5}$. Допишем эту сумму к уже имеющемуся разложению и задача будет решена, ибо все скобки знаменателя исчерпаны:

$$ frac{5x^4-10x^3+x^2-9}{(x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5}=frac{A}{x-5}+frac{A_1}{x+2}+frac{A_2}{(x+2)^2}+frac{A_3}{(x+2)^3}+frac{A_4}{(x+2)^4}+ldots $$ $$ frac{5x^4-10x^3+x^2-9}{(x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5}=frac{A}{x-5}+frac{A_1}{x+2}+frac{A_2}{(x+2)^2}+frac{A_3}{(x+2)^3}+frac{A_4}{(x+2)^4}+\ +frac{Cx+D}{x^2+3x+10}+ldots $$ $$ frac{5x^4-10x^3+x^2-9}{(x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5}=frac{A}{x-5}+frac{A_1}{x+2}+frac{A_2}{(x+2)^2}+frac{A_3}{(x+2)^3}+frac{A_4}{(x+2)^4}+\ +frac{Cx+D}{x^2+3x+10}+frac{C_1x+D_1}{x^2+11}+frac{C_2x+D_2}{(x^2+11)^2}+frac{C_3x+D_3}{(x^2+11)^3}+frac{C_4x+D_4}{(x^2+11)^4}+frac{C_5x+D_5}{(x^2+11)^5}. $$

2) Имеем рациональную дробь. Степень многочлена в числителе (т.е. 2) меньше степени многочлена в знаменателе (т.е. 9), поэтому данная дробь – правильная. Обратимся к знаменателю.

Скобка $(x-2)^3$ подпадает под вид $(x-a)^n$, посему пойдём далее. Скобка $(x^3-8)$ не подпадает ни под вид $(x-a)^n$ ни под вид $(x^2+px+q)^n$. Это говорит о том, что скобку $(x^3-8)$ необходимо разложить на множители.

Сие легко сделать, если вспомнить формулу разности кубов:

$$ x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4). $$

Скобка $(x-2)$ подпадает под вид $(x-a)^n$. Скобка $(x^2+2x+4)$ имеет вид $(x^2+px+q)^n$, где $p=2$, $q=4$, $n=1$. При этом $p^2-4q=4-16=-12 < 0$, посему дальнейшее разложение невозможно. Итак, $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$, поэтому знаменатель станет таким:

$$ (x-2)^3(x^3-8)(3x+5)(3x^2-x-10)=\ =(x-2)^3(x-2)(x^2+2x+4)(3x+5)(3x^2-x-10)=(x-2)^4(x^2+2x+4)(3x+5)(3x^2-x-10) $$

Пойдём далее. Следующая скобка на очереди – это $(3x+5)$. Эта скобка подпадала бы под форму $(x-a)^n$, если бы не коэффициент $3$ перед $x$. Вынесем эту тройку за скобку: $(3x+5)=3cdotleft(x+frac{5}{3}
ight)$. Знаменатель теперь преобразится таким образом:

$$ (x-2)^4(x^2+2x+4)(3x+5)(3x^2-x-10)=3cdot (x-2)^4(x^2+2x+4)left(x+frac{5}{3}
ight)(3x^2-x-10) $$

Теперь настало время для скобки $(3x^2-x-10)$. Она подпадала бы под форму $(x^2+px+q)^n$, если бы не «лишний» коэффициент $3$ перед $x^2$. Кроме того, скобка $(3x^2-x-10)$ разложима на множители, в чём несложно убедиться, решив соответствующее квадратное уравнение:

$$ 3x^2-x-10=0;\ D=(-1)^2-4cdot3cdot(-10)=1+120=121;\ x_1=frac{-(-1)-sqrt{121}}{2cdot3}=frac{1-11}{6}=-frac{10}{6}=-frac{5}{3};\ x_2=frac{-(-1)+sqrt{121}}{2cdot3}=frac{1+11}{6}=2.\ 3x^2-x-10=3cdot left(x-left(-frac{5}{3}
ight)
ight)(x-2)=3cdot left(x+frac{5}{3}
ight)(x-2). $$

  1. Так как $3x^2-x-10=3cdot left(x+frac{5}{3}
    ight)(x-2)$, то знаменатель станет таким:
  2. И сама исходная дробь ныне станет такой:
  3. Теперь можно перейти непосредственно к элементарным дробям. Действуя точно так же, как и в пункте №1 этого примера, будем иметь:

$$ 3cdot (x-2)^4(x^2+2x+4)left(x+frac{5}{3}
ight)(3x^2-x-10)=\ =9cdot (x-2)^4(x^2+2x+4)left(x+frac{5}{3}
ight)left(x+frac{5}{3}
ight)(x-2)= 9cdot (x-2)^5(x^2+2x+4)left(x+frac{5}{3}
ight)^2 $$ $$ frac{x^2+10}{(x-2)^3(x^3-8)(3x+5)(3x^2-x-10)} =frac{x^2+10}{9cdot (x-2)^5(x^2+2x+4)left(x+frac{5}{3}
ight)^2}=\ =frac{frac{1}{9}x^2+frac{10}{9}}{(x-2)^5(x^2+2x+4)left(x+frac{5}{3}
ight)^2} $$ $$ frac{frac{1}{9}x^2+frac{10}{9}}{(x-2)^5(x^2+2x+4)left(x+frac{5}{3}
ight)^2}=\ =frac{A_1}{x-2}+frac{A_2}{(x-2)^2}+frac{A_3}{(x-2)^3}+frac{A_4}{(x-2)^4}+frac{A_5}{(x-2)^5}+ frac{Cx+D}{x^2+2x+4}+frac{B_1}{x+frac{5}{3}}+frac{B_2}{left(x+frac{5}{3}
ight)^2} $$

3) Имеем рациональную дробь. Степень могочлена в числителе (т.е. 5) не меньше степени многочлена в знменателе (т.е. 3), посему данная дробь является неправильной.

Следовательно, перед тем, как раскладывать данную рациональную дробь на элементарные, придётся выделить целую часть (многочлен).

Для этого разделим многочлен, расположенный в числителе, на многочлен в знаменателе. Используем способ деления «уголком»:

Разложение рациональной дроби на простейшие - Справочник студента

Полученный результат можно записать так:

$$ 3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22=(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22. $$

Тогда дробь $frac{3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22}{x^3-2x^2+4x-8}$ представима в иной форме:

$$ frac{3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22}{x^3-2x^2+4x-8}=frac{(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22}{x^3-2x^2+4x-8}=\ =frac{(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)}{x^3-2x^2+4x-8}+frac{4x^2+x+22}{x^3-2x^2+4x-8}=\ =3x^2+x+frac{4x^2+x+22}{x^3-2x^2+4x-8}. $$

Дробь $frac{4x^2+x+22}{x^3-2x^2+4x-8}$ является правильной рациональной дробью, ибо степень многочлена в числителе (т.е. 2) меньше степени многочлена в знаменателе (т.е. 3). Теперь обратимся к знаменателю данной дроби.

В знаменателе расположен многочлен, который нужно разложить на множители.

Иногда для разложения на множители полезна схема Горнера, но в нашем случае проще обойтись стандартным «школьным» методом группировки слагаемых:

$$ x^3-2x^2+4x-8=x^2cdot(x-2)+4cdot(x-2)=(x-2)cdot(x^2+4);\ 3x^2+x+frac{4x^2+x+22}{x^3-2x^2+4x-8}=3x^2+x+frac{4x^2+x+22}{(x-2)cdot(x^2+4)} $$

  • Применяя те же методы, что и в предыдущих пунктах, получим:
  • Итак, окончательно имеем:
  • Продолжение этой темы будет рассмотрено во второй части.

$$ frac{4x^2+x+22}{(x-2)cdot(x^2+4)}=frac{A}{x-2}+frac{Cx+D}{x^2+4} $$ $$ frac{3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22}{x^3-2x^2+4x-8}=3x^2+x+frac{A}{x-2}+frac{Cx+D}{x^2+4} $$ Разложение рациональной дроби на простейшие - Справочник студента Разложение рациональной дроби на простейшие - Справочник студента Разложение рациональной дроби на простейшие - Справочник студента Разложение рациональной дроби на простейшие - Справочник студента Онлайн-занятия по высшей математике

Источник: https://math1.ru/education/raznoe/rfrac.html

Научный форум dxdy

Ms-dos4 в сообщении #1380931 писал(а):

AlexeyMПодставлять то в равенство многочленов вы можете любые значения, но я не очень понял, чем этот метод будет лучше обычных неопределенных коэффициентов. Возьмем например дробьРазложение рациональной дроби на простейшие - Справочник студентаМетодом вычеркивания можно определить только коэффициент при (равный ), к остальными обычно применяют неопр. коэф. Что в этом случае дадут предельные переходы?P.S. Вообще даже в этом случае, используя комплексные числа, можно получить аналог метода вычеркивания для пары комплексно сопряженных корней, но с кратными все равно будут проблемы).Ок, давайте для вашего примера. Я, кстати, не говорю, что предельный переход чем-то лучше неопределённых коэффициентов, неопределённые коэффициенты вообще вопросов не вызывают. Просто хочется какой-то строгости, что ли.

(Оффтоп)

Просто вчера знакомый помочь попросил с таким интегралом, и я, на автопилоте подставляя удобные значения, внезапно задумался — а на каком основании я их вообще подставляю, если изначальное равенство дробей в этих значениях вообще-то не определено? Ну думаю, сейчас я сам себе быстро это обосную — это же мелочи 🙂 Вроде, подумалось мне, легко обосновать через предельный переход ввиду непрерывности обеих частей равенства. Для сверки полез в книги — только у Никольского в его «Курсе математического анализа» (2001 год) при доказательстве леммы №1 на стр.289 нашёл реверанс о том, что вообще-то знаменатель не равен нулю, но ввиду непрерывности многочленов в левой и правой частях равенства мы можем подставить это самое «удобное» при доказательстве теоремы значение.

$$
frac{x}{(x - 1)^2(x^2 + x + 4)}=frac{A}{x-1}+frac{B}{(x-1)^2}+frac{Cx+D}{x^2+x+4}
=frac{A(x-1)left(x^2+x+4
ight)+Bleft(x^2+x+4
ight)+(x-1)^2(Cx+D)}{(x - 1)^2(x^2 + x + 4)}
$$$$
-frac{1}{6}x^2+frac{5x}{6}-frac{2}{3}=A(x-1)left(x^2+x+4
ight)+(x-1)^2(Cx+D)
$$

Далее, один корень (единицу) многочлена в левой части мы знаем, поэтому разложить его на множители легко. Кроме того, так как $x-1
eq{0}$ мы имеем полное право сократить на скобку :

$$
-frac{x}{6}+frac{2}{3}=Aleft(x^2+x+4
ight)+(x-1)(Cx+D)
$$

  • Вновь раскладывая на множители левую часть равенства и со спокойной душой сокращая на , получим:

Отсюда, разумеется, сразу имеем два оставшиеся значения исходя из определения равенства многочленов. Т.е. вычеркивание работает для первого равенства, а далее это правило уже неприменимо. Подставить просто ? Формально права не имеем, исходное равенство для этого значения не определено. А вот перейти к пределу — отчего бы и нет 🙂

— Вс мар 10, 2019 19:00:37 —

SomePupil в сообщении #1380935 писал(а):

В равные многочлены можно подставлять любые числа и получать равенства как в стартовом посте. Это законно, потому что на ненулевые многочлены сокращать можно.

Эти многочлены равны, но не на . Исходное равенство дробей верно на подмножестве , поэтому и о равенстве многочленов, которое следует из равенства дробей, мы говорим лишь на множестве . Т.е., по сути, это не равенство многочленов, это равенство функций, которые совпадают с многочленами на всём множестве , за исключением конечного числа точек.

Источник: https://dxdy.ru/post1381024.html

Дробно-рациональная функция. Разложение на простейшие

В этой статье будет рассматриваться и вычисляться разложение  дробно-рациональной функции на сумму простейших дробей.

Дробно-рациональная функция имеет следующий вид

Например такой

Если степень при неизвестном в числителя  меньше, чем степень при неизвестном  в знаменателе ( как это показано в примере) то такая функция называется правильной дробно-рациональной.

Каждую правильную дробно-рациональную функцию можно разложить на  сумму простейших дробей.

Например  или 

Практически в каждом подобном интернет-ресурсе, в котором рассказывается о разложении дробей, в качестве метода решения используется метод неопределенных коэффициентов. Останавливатся мы на этом методе не будем, так как  не хочу плодить еще одну копию  с немного другим текстом. Напомним лишь, что там необходимо решать систему линейных уравнений.

Мы с Вами будем использовать другую методику, да и онлайн калькулятор тоже возьмет эту методику на вооружение.

Исходная  дробь

Итак, если мы знаем все корни знаменателя в нашей функции  то можно преобразовать 

То есть нам надо разложить функцию в следующий вид

  • и определить все неизвестные коэффициенты
  • Воспользуемся  методом(иногда его называют метод частных значений), практика применения такова:
  • Пусть x=1 тогда подставляя это значение в числитель мы получим значение 4, подставив в знаменатель без (x-1) мы получим (1+3)(1-7)(1+2)(1-2)=72

Теперь пусть x=-3 Тогда числитель равен (-3)^2+(-3)+2=8, а знаменатель (-3-1)(-3-7)(-3+2)(-3-2)=200

  1. Пробегая, по всем x, равными 1, -3, 7, -2, 2  мы вычисляем коэффициенты 
  2. Наш ответ такой

На мой взгляд это решение проще. Но эта методика может использоватся тогда, когда в знаменателе нет кратных корней.

«Как? Такой легкий способ и неприменим, в случае кратных корней?» — огорченно воскликнет читатель.

Читайте также:  Выбор производственной технологии - справочник студента

Не все так плохо на самом деле. Просто в случае кратных корней например   расчет более сложный. Алгоритм сейчас объясню. 

  • Но для этого Вы должны уметь вычислять производную многочлена, надеюсь Вы это умеете.
  • Первым делом преобразуем знаменатель в многочлен. Что бы не умножать вручную воспользуемся Создание полинома (многочлена) одной переменной онлайн
  • Введем корни знаменателя с учетом их кратности 1 1 1 -3 7 7
  • Получаем 
  • Нам надо исходную дробь преобразовать  в такой вид
  • На основании вышеразобранного примера мы сразу можем узнать чему равны коэффициенты D, C и F
  • Попробуем узнать коэффициент B

Возьмем первую производную от числителя. Она равна .

  1. Подставим туда единицу, разделим на один факториал  1!=1  и и запомним значение = 3
  2. Теперь знаменатель. Узнаем значения производных знаменателя ( при x=1) через онлайн сервис Значение производной многочлена по методу Горнера
  3. Введя коэффициенты  полинома 
  4. получаем таблицу
Заданная функция
Производная Значение производной при X=1
0 0
1 0
2 0
3 864
4 -288
5 -960
6 720
  • Первая и вторая производная равны нулю, но это и логично, так как корень 1 имеет кратность 3. 
  • Значение третьей производной равно 864
  • Составляем уравнение

3(это числитель, который я просил запомнить)=B*864/3!(три факториал)+C*(-288)/4!

  1. Пока для большинства вообще неочевидно, что и откуда но не волнуйтесь — знания придут.
  2. C нам известно и получаем уравнение с одной неизвестной
  3. 3=B*864/6-288/36/24
  4. Давайте узнаем чему же равен кэффициент A.
  5. У нас почти все есть
  6. Берем вторую производную от числителя. Она равна постоянному числу =2
  7. Разделим на два факториал  2!=2  и и запомним значение = 1
  8. Теперь составляем уравнение

1=A*864/3!+B*(-288)/4!+C(-960)/5!

  • B и C нам известны.
  • То есть 
  • Значение коэффициента E я Вам оставляю на домашнее задание, если методика заинтересовала. Если же нет то  вот ответ
  • Онлайн калькулятор который будет все это делать за Вас в автоматическом режиме, работает в том числе и в поле комплексных чисел.
  • Теперь разложить любую правильную дробно-рациональную функцию на простейшие не составит ни малейшего труда.
  • Рассмотрим несколько примеров:

Источник: https://abakbot.ru/online-16/479-drf

Иванков П.Л. — Конспект лекций

кафедра «Математическое моделирование»проф. П. Л. ИванковИнтегралы и дифференциальные уравненияконспект лекцийдля студентов 1-го курса 2-го семестраспециальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2Лекция 3Рациональные дроби.

Разложение правильной рациональной дробина сумму простейших (без доказательства). Интегрирование простейших дробей. Интегрирование правильных и неправильных рациональных дробей.

Отношение двух многочленовbm xm + bm−1 xm−1 + …

+ b0P (x)=,Q(x)an xn + an−1 xn−1 + … + a0где Q(x) 6≡ 0 , называется рациональной дробью. Мы будем предполагать, что коэффициенты многочленов P (x) и Q(x) вещественны.Если степень числителя меньше степени знаменателя, то дробь называется правильной; впротивном случае — неправильной.

Если дробь является неправильной, то, разделив числитель на знаменатель, мы представим такую дробь в виде суммы многочлена и правильнойрациональной дроби. Поскольку интегрирование многочлена не представляет трудностей,мы ограничимся рассмотрением вопроса об интегрировании правильных дробей.Рациональные дроби видаA(x − α)mи(x2Bx + C,+ px + q)nm, n = 1, 2, …,называются простейшими.

При этом предполагается, что A 6= 0, B 2 + C 2 > 0, иквадратный трехчлен x2 + px + q не имеет вещественных корней.

Займемся сначалаинтегрированием простейших дробей. ИмеемZAdx = A · ln |x − α| + C;x−αZAAdx=−+ C, m = 2, 3, ….(x − α)m(m − 1)(x − α)m−1Интегралы от дробейBx + Cx2 + px + qмы уже рассматривали.

Действуя в том же духе, получаемZZ BZ(2x + p) + C − BpBx + CBd(x2 + px + q)22dx=dx=+(x2 + px + q)n(x2 + px + q)n2(x2 + px + q)n12C − Bp+2Zdx1B= − ·+n2+ px + q)2 (n − 1)(x + px + q)n−1Zdx2C − Bp+22(x + px + q)nи дело сводится к вычислению интегралаZdxIn =.(x2 + px + q)n(x2Выделим в знаменателе полный квадрат:Zdxn .

In =pp2(x + ) + q −24Т.к. по предположению квадратный трехчлен x2 + px + q не имеет вещественных корней,p2pто мы можем обозначить a2 = q −> 0 .

После замены t = x +мы получим такой42интеграл:Zdt.In =2(t + a2 )nПри n = 1 имеем табличный интеграл:Z1tdt=arctg+ C.I1 =t2 + a2aaДалее, применяя формулу интегрирования по частям, получаемZZ1tt2 dt0In =(t)dt=+2n=(t2 + a2 )n(t2 + a2 )n(t2 + a2 )n+1Z 2tt + a2 − a2t= 2+2ndt = 2+ 2nJn − 2na2 Jn+1 .

2n22n+1(t + a )(t + a )(t + a2 )nОтсюда такое рекуррентное соотношение:In+1 =t2n − 11· 2+In ,22n2na (t + a )2na2которое позволяет, зная I1 , в принципе найти In при любом натуральном n . Например,I2 =tt1arctg + 2 2+ C.32aa 2a (t + a2 )Т.о., мы можем проинтегрировать любую простейшую дробь.

Напомним некоторые сведения из алгебры многочленов.

Всякий многочленQ(x) = an xn + an−1 xn−1 + … + a0 ,an 6= 0,степени n с вещественными коэффициентами мбыть представлен в видеQ(x) = an (x − α1 )k1 …(x − αr )kr · (x2 + p1 x + q1 )l1 …(x2 + ps x + qs )ls ,(∗)где α1 , …, αr , p1 , …, ps , q1 , …, qs − вещественные числа; квадратные трехчлены не имеютвещественных корней, и k1 + … + kr + 2(l1 + …

+ ls ) = n.2При этом если многочлен Q(x) не имеет вещественных корней, то в написанном разложении отсутствуют линейные множители, а если все корни этого многочлена вещественны,то отсутствуют квадратные трехчлены. Отметим еще, что разложение (*) единственно(с точностью до порядка сомножителей).

B курсе высшей алгебры доказывается, что всякая правильная рациональная дробьP (x)/Q(x), знаменатель которой записывается в виде (*), следующим образом представляется в виде суммы простейших дробей:A11A1k1ArkrAr 1P (x)=+ … ++…+++…+Q(x)x − α1(x − α1 )k1x − αr(x − αr )kr+B11 x + C11B1l1 x + C1l1Bs1 x + Cs1Bsls x + Csls+…++…++…

+x 2 + p 1 x + q1(x2 + p1 x + q1 )l1x 2 + p s x + qs(x2 + ps x + qs )ls(∗∗)Такое представление единствнно (с точностью до порядка слагаемых). Мы видим,таким образом, что для того, чтобы проинтегрировать правильную рациональную дробь,следует найти для знаменателя разложение (*), а затем представить эту дробь в виде (**).

После этого задача сведется к интегрированию простейших дробей.

Чтобы фактическинайти разложение (**), рекомендуется записать правую часть с неопределенными коэффициентами, затем выполнить сложение написанных дробей и приравнять коэффициентыпри одинаковых степенях в числителях левой и правой частей получившегося равенства.

Для нахождения неопределенных коэффициентов образуется система линейных уравнений;эта система всегда совместна (и более того, можно доказать, что она имеет единственноерешение).

При решении этой системы можно использовать и дополнительные равенства,получающиеся из(**) подстановкой вместо x каких-либо конкретных значений.Пример.

Требуется проинтегрировать рациональную дробь2×5 − x4 + 2×3 − x2 − x + 5P (x)=Q(x)x4 − x3 − x + 1В данном случае степень числителя больше степени знаменателя; разделим числитель назнаменатель, пользуясь известным алгоритмом:2×5 − x4 + 2x32x5 − 2x4x4 + 2x3x4 − x33x3Следовательно,− x2 + x− 2×2 + 2x+ x2 − 3x−x+ x2 − 2x+ 5 x4 − x3 − x + 12x + 1+5+1+ 4.P (x)3×3 + x2 − 2x + 4= 2x + 1 + 4.Q(x)x − x3 − x + 1Далее, разложим на линейные и квадратичные множители знаменатель, заметив, что x =1 — его корень. Имеемx4 − x3 − x + 1 = x3 (x − 1) − (x − 1) = (x − 1)(x3 − 1) = (x − 1)2 (x2 + x + 1);т.к.

квадратный трехчлен x2 + x + 1 не имеет вещественных корней, то требуемоеразложение получено. Запишем теперь разложение выделенной ранее правильной дробина простейшие с неопределенными коэффициентами:3×3 + x2 − 2x + 4ABCx + D=++.

x4 − x3 − x + 1x − 1 (x − 1)2 x2 + x + 13Выполнив сложение дробей в правой части и приравняв числители слева и справа, получим3×3 + x2 − 2x + 4 = A(x3 − 1) + B(x2 + x + 1) + (Cx + D)(x2 − 2x + 1).Отсюдаx3x2x13=A+C1 = B + D − 2C−2 = B + C − 2D4 = −A + B + D.

Сложив все уравнения, получим, что 3B = 6 , т.е. B = 2 .

Подставим это значение Bво второе и третье уравнения системы:D − 2C = −1C − 2D = −4.Отсюда C = 2, D = 3; из первого уравнения системы находим A = 1 . Окончательнополучаем такое равенство3×3 + x2 − 2x + 4122x + 3=++ 2.432x −x −x+1x − 1 (x − 1)x +x+1Для исходной рациональной дроби P (x)/Q(x) имеем2×5 − x4 + 2×3 − x2 − x + 5122x + 3P (x)== 2x + 1 +++ 2.

432Q(x)x −x −x+1x − 1 (x − 1)x +x+1Здесь заслуживает внимания лишь интегралZZZ2x + 32x + 1dxdx =dx + 222x +x+1x +x+1(x + 21 )2 +34=42x + 1= ln(x2 + x + 1) + √ arctg √+ C.33Для интеграла от рациональной функции P (x)/Q(x) имеем следовательно, такое выражениеZ2x5 − x4 + 2×3 − x2 − x + 5dx = x2 + x + ln |x − 1|−x4 − x3 − x + 1242x + 1−+ ln(x2 + x + 1) + √ arctg √+ C.

x−1334.

Источник: https://studizba.com/files/show/pdf/17839-1-3—racional-nye-drobi-razlozhenie.html

Читать реферат по математике: "Разложение рациональной дроби на простейшие"

(Назад) (Cкачать работу)

Функция «чтения» служит для ознакомления с работой.

Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

  • Федеральное агентство по образованию
  • Государственное общеобразовательное учреждение
  • высшего профессионального образования
  • Башкирский Государственный Университет
  • Нефтекамский филиал
  • Кафедра МиПОВМ
  • Курсовая работа
  • Тема: Разложение рациональной дроби на простейшие.
  • Выполнил студент
  • группы М-31

Остапов А. Б.

Принял:

Вильданов А. Н.

Нефтекамск 2006

Содержание.

    Введение.Часть 1. “Теоретическая часть к курсовой работе”.Часть 2. “Практическая часть к курсовой работе”.

      § “Реализация метода простых коэффициентов в Maple”.§ “Реализация метода простых коэффициентов на Delphi”.

    Заключение.Список литературы.

Введение.

Этот вопрос уже много раз изучен и рассмотрен. Казалось бы, что может быть проще для современного математика, чем разложить рациональную дробь на простейшие, разве что элементарные алгебраические операции. Однако, применение этого метода существенно облегчает жизнь – не будь метода – некоторые задачи было бы очень проблематично решить, а некоторые вообще не решались.

Основные операции, в которых я применял этот метод, были:

а) Разложение рациональной дроби на простейшие с целью дальнейшего интегрирования получившихся элементарных дробей (Матем. анализ);

б) Разложение рациональной дроби на простейшие для использования в процессе преобразования Лапласа, что иногда серьезно ускоряет нахождение решения различных уравнений и систем уравнений в частных производных (Курс уравнений мат. физики).

Разложение – это необходимость. Без нее нельзя обходиться, тем более на современном этапе развития математической мысли. Об этом и пойдет речь в моей курсовой работе.

Часть 1.

Теоретическая часть к курсовой работе”.

Рациональной дробью назовем отношение двух алгебраических многочленов с вещественными коэффициентами:

Дробь называется правильной, если степень P(x) меньше степени Q(x), и неправильной в противном случае. Простейшей называется правильная дробь, знаменатель которой представляет собой неприводимый (значит не имеющий корней) над некоторым полем (в нашем случае — поле действительных чисел) многочлен.

  1. Для простых (правильных) дробей с действительными коэффициентами справедлива следующая теорема о разложении на сумму простейших:
  2. Пусть (1) — правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами, знаменатель которой имеет вид:
  3. тогда для этой дроби справедливо следующее разложение на сумму простейших дробей:
  4. где индексированные переменные B, M, N — некоторые вещественные постоянные (может быть, равные нулю).

Для определения конкретных значений сих коэффициентов следует привести равенство к общему знаменателю и сравнить коэффициенты при одинаковых степенях x в числителе. Т.е. по сути дела решить систему линейных уравнений.

Используется эта конструкция по большей части при вычислении интегралов, т.к. таким образом интеграл произвольной рациональной функции сводится, по сути дела, к сумме табличных интегралов.

Рациональной дробью R(x) называется дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены, т. Е.

Источник: https://referat.co/referat/722915-matematika-razlozhenie-ratsionalnoy-drobi-na-prosteyshie/read

Ссылка на основную публикацию