Производные различных порядков — справочник студента

  • Задача 1.
  • Найти вторую производную от функции
  • Указание
  • Найдите вначале первую производную данной функции, а затем воспользуйтесь тем, что

Производные различных порядков - Справочник студента

Решение

Производные различных порядков - Справочник студента

  1. Ответ:
  2. Задача 2.
  3. Найти вторую производную от функции

Производные различных порядков - Справочник студента

  • При Х = 1.
  • Указание
  • Найдите вторую производную по формуле

Производные различных порядков - Справочник студента

А затем вычислите ее значение при Х = 1.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Вычисление криволинейного интеграла - справочник студента

Оценим за полчаса!

Решение

Производные различных порядков - Справочник студента Производные различных порядков - Справочник студента

  1. Ответ:
  2. Задача 3.
  3. Найти производную 4-го порядка от функции

Производные различных порядков - Справочник студента

Указание

Воспользуйтесь тем, что

Производные различных порядков - Справочник студента

Решение

Производные различных порядков - Справочник студента

  • Ответ: Производные различных порядков - Справочник студента
  • Задача 4.
  • Найдите общее выражение для производной порядка П от функции
  • Указание
  • Воспользуйтесь тем, что
  • Решение
  • Вычислим подряд производные 1-го, 2-го, … порядка от данной функции и попробуем определить вид зависимости выражения для П-й производной от ее порядка.
  • Ответ:
  • Задача 5.
  • Найдите общее выражение для производной порядка П от функции
  • Указание
  • Для упрощения воспользуйтесь формулами приведения:
  • Решение
  • Ответ:
  • Задача 6.
  • Найти вторую производную для функции, заданной параметрически:
  • Указание
  • Воспользуйтесь формулой
  • Решение
  • Ответ:
  • Задача 7.
  • Найти D3Y для функции У = Х5.
  • Указание
  • Воспользуйтесь формулой
  • Решение
  • Ответ:
  • Задача 8.
  • Вычислите производную:
  • Указание
  • Воспользуйтесь формулой Лейбница:
  • Решение
  • Пусть
  • Тогда
  • Применяя формулу Лейбница, получим:
  • Ответ:
  • Задача 9.
  • Рассматриваются функции
  • Для какой из них выполнены все условия теоремы Ролля?
  • Указание
  • По условию теоремы Ролля функция Y = F(X)
  • 4) непрерывна на отрезке [Ab];
  • 5) дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка;
  • 6) принимает равные значения на концах этого отрезка, то есть F(A) = F(B).
  • Решение
  • Проверим выполнение условий теоремы Ролля для каждой из функций:
  • Не выполнено 3-е условие теоремы Ролля;
  • Эта функция не дифференцируема при Х = 1, то есть не выполнено 2-е условие теоремы Ролля;
  • 3) Х = 0 – точка разрыва данной функции, то есть не выполнено 1-е условие теоремы Ролля;
  • Функция Y = ln cos X определена и непрерывна на заданном отрезке;
  • Существует на всем отрезке;
  • Таким образом, все условия теоремы Ролля выполнены.
  • Функция не является непрерывной в точке Х = 1, не выполнено 1-е условие теоремы Ролля.
  • Ответ: 4.

Источник: http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/differentcialnoe-ischislenie/2-3-6-primery-resheniia-zadach-po-teme-proizvodnye-vysshikh-poriadkov

Производные высших порядков. Правила и примеры

Под производной высших порядков понимают дифференцирования функции более одного раза. Если производнуюповторно дифференцировать, то получим производную второго порядка, или вторую производную функции , и она обозначается

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Гендерные различия в творческом мышлении - справочник студента

Оценим за полчаса!

Производные различных порядков - Справочник студента

Производная третьего порядка будет иметь вид

Производные различных порядков - Справочник студента

Аналогично получают формулы для нахождения производных высших порядков. При нахождении производной порядке необходимо иметь производную порядка. Исключение составляют функции для которых можно заметить тенденцию изменения производных. Это степенные, некоторые тригонометрические и экспоненциальные функции:

Производные различных порядков - Справочник студента

В других случаях, для нахождения производных высших порядков от заданной функции нужно последовательно находить все ее производные низших порядков. Для практического усвоения материала рассмотрим примеры.

  • Пример 1.
  • Вычислить производные второго порядка
  • 1) Производные различных порядков - Справочник студента
  • 2)Производные различных порядков - Справочник студента
  • 3)Производные различных порядков - Справочник студента
  • 4)
  • Решение.
  • 1) По правилам дифференцирования параметрических функций имеем

Производные различных порядков - Справочник студента

Применим к заданной функции. Найдем производную

Производные различных порядков - Справочник студентаПроизводные различных порядков - Справочник студента

Дифференцируем второй раз. По правилу дифференцирования получим

Производные различных порядков - Справочник студента

  1. По формуле вычисляем
  2. 2)Определяем первую производную для функции
  3. Вычисляем вторую производную
  4. 3)Вычислим первую производную
  5. а потом вторую
  6. При нахождении производной второго и высших порядков для данного примера и ему подобных можно пользоваться следующим правилам:
  7. 1) если степень функции меньше порядка производной , то она вклада не дает
  8. 2) все старшие степени дают вклад
  9. По такой схеме вторую производную можно было найти так:
  10. Для практики второй способ эффективнее, особенно если нужно найти производные гораздо более высоких порядков чем второй.
  11. 4) Производную функции первого порядка будет иметь вид
  12. второго порядка
  13. По аналогии можно вывести формулу для производной экспоненциальной функции порядка
  14. Решая примеры для синус и косинус функций можно заметить сходство при исчислении старших производных и вывести следующие зависимости
  15. Пользуйтесь и пусть не возникают проблемы с производными высших порядков.

Источник: https://yukhym.com/ru/proizvodnaya-funktsii/proizvodnye-vysshikh-poryadkov-pravila-i-primery.html

Правила вычисления производных. Таблица производных часто встречающихся функций. Таблица производных сложных функций

Справочник по математике Элементы математического анализа Производная функции

Производные различных порядков - Справочник студента

  •      Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательств, поскольку доказательства выходят за рамки школьного курса математики.
  •       Правило 1 (производная от произведения числа на функцию). Справедливо равенство
  • (c f (x))' = c f ' (x) ,
  • где  c – любое число.
  •       Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.
  •       Правило 2 (производная суммы функций). Производная суммы функций вычисляется по формуле
  • (f (x) + g (x))' = f ' (x) + g' (x),
  • то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.
  •       Правило 3 (производная разности функций). Производная разности функций вычисляется по формуле
  • (f (x) – g (x))' = f ' (x) – g' (x),
  • то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.
  •       Правило 4 (производная произведения двух функций). Производная произведения двух функций вычисляется по формуле
  • (f (x) g (x))' == f ' (x) g (x) + f (x) g' (x),
  •       Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.
  •       Правило 5 (производная частного двух функций). Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле

Производные различных порядков - Справочник студентаПроизводные различных порядков - Справочник студента

      Определение. Рассмотрим функции   f (x)   и   g (x) .  Сложной функцией или «функцией от функции» называют функцию вида

  1. f (g (x))
  2. При этом функцию   f (x)   называют внешней функцией, а функцию   g (x)  – внутренней функцией.
  3.       Правило 6 (производная сложной функции). Производная сложной функции вычисляется по формуле
  4. [ f (g (x))]' = f ' (g (x)) g' (x)
  5.       Другими словами, для того, чтобы найти производную от сложной функции   f (g (x))   в точке   x   нужно умножить производную внешней функции, вычисленную в точке   g (x) ,   на производную внутренней функции, вычисленную в точке   x .

Таблица производных часто встречающихся функций

      В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.

Функция Формула для производной Название формулы
y = c ,где  c – любое число y' = 0 Производная от постоянной функции
y = x c ,где  c – любое число y' = c xc – 1 Производная степенной функции
y = e x y' = e x Производная от экспоненты (показательной функции с основанием   e)
y = a xгде  a – любое положительное число, не равное 1 y' = a x ln a Производная от показательной функции с основанием   a
y = ln x ,   x > 0 ,   x > 0 Производная от натурального логарифма
y = log a x ,   x > 0где  a – любое положительное число, не равное 1 ,   x > 0 Производная от логарифма по основанию   a
y = sin x y' = cos x Производная синуса
y = cos x y' = – sin x Производная косинуса
y = tg x ,Производные различных порядков - Справочник студента , Производные различных порядков - Справочник студента Производная тангенса
y = ctg x ,Производные различных порядков - Справочник студента Производные различных порядков - Справочник студента , Производные различных порядков - Справочник студента Производная котангенса
y = arcsin x , Производная арксинуса
y = arccos x , Производная арккосинуса
y = arctg x Производная арктангенса
y = arcctg x Производная арккотангенса
Производная от постоянной функции
  • Функция:
  • y = c ,
  • где  c – любое число
  • Формула для производной:
  • y' = 0
Производная степенной функции
  1. Функция:
  2. y = x c ,
  3. где  c – любое число
  4. Формула для производной:
  5. y' = c xc – 1
Производная от экспоненты (показательной функции с основанием   e)
  • Функция:
  • y = e x
  • Формула для производной:
  • y' = e x
Производная от показательной функции с основанием   a
  1. Функция:
  2. y = a x
  3. где  a – любое положительное число, не равное 1
  4. Формула для производной:
  5. y' = a x ln a
Производная от натурального логарифма
  • Функция:
  • y = ln x ,   x > 0
  • Формула для производной:

,   x > 0

Производная от логарифма по основанию   a
  1. Функция:
  2. y = log a x ,   x > 0
  3. где  a – любое положительное число, не равное 1
  4. Формула для производной:

,   x > 0

Производная синуса
  • Функция:
  • y = sin x
  • Формула для производной:
  • y' = cos x
Производная косинуса
  1. Функция:
  2. y = cos x
  3. Формула для производной:
  4. y' = – sin x
Производная тангенса
  • Функция:
  • y = tg x ,
  • где

Формула для производной: ,

Производная котангенса
  1. Функция:
  2. y = ctg x ,
  3. где
  4. Формула для производной:

,

Производная арксинуса
  • Функция:
  • y = arcsin x ,
  • Формула для производной:
Производная арккосинуса
  1. Функция:
  2. y = arccos x ,
  3. Формула для производной:
Производная арктангенса
  • Функция:
  • y = arctg x
  • Формула для производной:
Производная арккотангенса
  1. Функция:
  2. y = arcctg x
  3. Формула для производной:

Таблица производных сложных функций

      В следующей таблице приведены формулы для производных сложных функций.

      В отдельных строках (с желтым фоном) приведены формулы для производных сложных функций в случае, когда внутренняя функция является линейной функцией и имеет вид   f (x) = kx + b , где  k  и  b  – любые числа, .

Функция Формула для производной
y = (kx + b) c ,где  c – любое число. y' = kc (kx + b) c – 1 ,
y = ( f (x)) c ,где  c – любое число.
y = ekx + b y = kekx + b
y = e f (x)
y = akx + bгде  a – любое положительное число, не равное 1
y = a f (x)где  a – любое положительное число, не равное 1
y = ln (kx + b) ,   kx + b > 0 ,kx + b > 0
y = ln ( f (x)) ,   f (x) > 0 ,f (x) > 0
y = log a (kx + b) ,   kx + b > 0где  a – любое положительное число, не равное 1 ,   kx + b > 0
y = log a ( f (x)) ,   f (x) > 0где  a – любое положительное число, не равное 1 ,   f (x) > 0
y = sin (kx + b) y' = k cos (kx + b)
y = sin ( f (x))
y = cos (kx + b) y' = – k sin (kx + b)
y = cos ( f (x))
y = tg (kx + b),где ,
y = tg ( f (x)),где ,
y = ctg (kx + b),где ,
y = ctg ( f (x)),где ,
y = arcsin (kx + b),
y = arcsin ( f (x)),
y = arccos (kx + b),
y = arccos ( f (x)),
y = arctg (kx + b)
y = arctg ( f (x))
y = arcctg (kx + b)
y = arcctg ( f (x))
  • Функция:
  • y = (kx + b) c ,
  • где  c – любое число.
  • Формула для производной:
  • y' = kc (kx + b) c – 1 ,
  1. Функция:
  2. y = ( f (x)) c ,
  3. где  c – любое число.
  4. Формула для производной:
  • Функция:
  • y = ekx + b
  • Формула для производной:
  • y = kekx + b
  1. Функция:
  2. y = e f (x)
  3. Формула для производной:
  • Функция:
  • y = akx + b
  • где  a – любое положительное число, не равное 1
  • Формула для производной:
  1. Функция:
  2. y = a f (x)
  3. где  a – любое положительное число, не равное 1
  4. Формула для производной:
  • Функция:
  • y = ln (kx + b) ,   kx + b > 0
  • Формула для производной:
  • ,   kx + b > 0
  1. Функция:
  2. y = ln ( f (x)) ,   f (x) > 0
  3. Формула для производной:
  4. ,   f (x) > 0
  • Функция:
  • y = log a (kx + b) ,   kx + b > 0
  • где  a – любое положительное число, не равное 1
  • Формула для производной:

,   kx + b > 0

  1. Функция:
  2. y = log a ( f (x)) ,   f (x) > 0
  3. где  a – любое положительное число, не равное 1
  4. Формула для производной:

,   f (x) > 0

  • Функция:
  • y = sin (kx + b)
  • Формула для производной:
  • y' = k cos (kx + b)
  1. Функция:
  2. y = sin ( f (x))
  3. Формула для производной:
  • Функция:
  • y = cos (kx + b)
  • Формула для производной:
  • y' = – k sin (kx + b)
  1. Функция:
  2. y = cos ( f (x))
  3. Формула для производной:
  • Функция:
  • y = tg (kx + b),
  • где
  • Формула для производной:

,

  1. Функция:
  2. y = tg ( f (x)),
  3. где
  4. Формула для производной:

,

  • Функция:
  • y = ctg (kx + b),
  • где
  • Формула для производной:

,

  1. Функция:
  2. y = ctg ( f (x)),
  3. где
  4. Формула для производной:

,

  • Функция:
  • y = arcsin (kx + b),
  • Формула для производной:
  1. Функция:
  2. y = arcsin ( f (x)),
  3. Формула для производной:
  • Функция:
  • y = arccos (kx + b),
  • Формула для производной:
  1. Функция:
  2. y = arccos ( f (x)),
  3. Формула для производной:
  • Функция:
  • y = arctg (kx + b)
  • Формула для производной:
  1. Функция:
  2. y = arctg ( f (x))
  3. Формула для производной:
  • Функция:
  • y = arcctg (kx + b)
  • Формула для производной:
  1. Функция:
  2. y = arcctg ( f (x))
  3. Формула для производной:

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/matan/derivative_rule.htm

Практическая работа "Производная сложной функции" — алгебра, разное

Просмотрсодержимого документа

  • Практическая работа №1
  • Вычисление производной сложных функций
  • Цель работы: отработать навыки дифференцирования суммы, произведения, частного, степенной функции простых и сложных функций.
  • Выполняю данную работу, студент должен
  • знать:
  • таблицу производных;
  • основные правила дифференцирования;
  • правила дифференцирования сложных функций;

уметь:

  • вычислять производные простых и сложных функций.
  1. Последовательность выполнения: задания выполнять желательно в указанном порядке.
  2. Методические указания
  3. ЗАДАНИЕ 1. Найдите производные функций
  4. При дифференцировании функций в основу решений используйте основные правила дифференцирования функций и таблицу производных.
  5. Теоретический материал

Производные различных порядков - Справочник студента

  • Критерии оценивания:
  • На оценку «5» — выполнить все задания;
  • На оценку «4» — выполнить задания №1(в – ж, любых два из последних трех);
  • На оценку «3» — выполнить задания №1(а – е, любое из последних трех);
ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2
Задание 1. Найдите производные функций:
Производные различных порядков - Справочник студента Производные различных порядков - Справочник студента
  1. Практическая работа №1
  2. Вычисление производной сложных функций
  3. Цель работы: отработать навыки дифференцирования суммы, произведения, частного, степенной функции простых и сложных функций.
  4. Выполняю данную работу, студент должен
  5. знать:
  • таблицу производных;
  • основные правила дифференцирования;
  • правила дифференцирования сложных функций;

уметь:

  • вычислять производные простых и сложных функций.
  • Последовательность выполнения: задания выполнять желательно в указанном порядке.
  • Методические указания
  • ЗАДАНИЕ 1. Найдите производные функций
  • При дифференцировании функций в основу решений используйте основные правила дифференцирования функций и таблицу производных.
  • Теоретический материал

Производные различных порядков - Справочник студента

  1. Критерии оценивания:
  2. На оценку «5» — выполнить все задания;
  3. На оценку «4» — выполнить задания №1(в – ж, любых два из последних трех);
  4. На оценку «3» — выполнить задания №1(а – е, любое из последних трех);
ВАРИАНТ 3 ВАРИАНТ 4
Задание 1. Найдите производные функций:
Производные различных порядков - Справочник студента Производные различных порядков - Справочник студента

Источник: https://mega-talant.com/biblioteka/prakticheskaya-rabota-proizvodnaya-slozhnoy-funkcii-89354.html

Примеры вычисления производных высших порядков явных функций

Производные различных порядков - Справочник студента

Рассмотрены примеры вычисления производных высших порядков явных функций. Даны полезные формулы для вычисления производных n-го порядка.

Здесь мы рассматриваем случай, когда переменная y зависит от переменной x явным образом: . Дифференцируя функцию    по переменной x, получаем производную первого порядка, или просто производную: .

В результате получаем новую функцию  , которая является производной функции  . Дифференцируя эту новую функцию    по переменной x, получаем производную второго порядка: . Дифференцируя функцию  , получаем производную третьего порядка: . И так далее.

Дифференцируя исходную функцию    n раз, получаем производную n-го порядка или n-ю производную: .

Производные могут обозначаться штрихами, римскими цифрами, арабскими цифрами в скобках или дробью из дифференциалов. Например, производные третьего и четвертого порядков могут обозначаться так: ; .

Ниже приведены формулы, которые могут быть полезными при вычислении производных высших порядков.

Полезные формулы производных n-го порядка

  • Производные некоторых элементарных функций: ; ; ; ; .
  • Производная суммы функций: , где    – постоянные.
  • Формула Лейбница производной произведения двух функций: , где
  • – биномиальные коэффициенты.

Пример 1

Найти производные первого и второго порядка следующей функции: .

Решение

Находим производную первого порядка. Выносим постоянную за знак производной и применяем формулу    из таблицы производных: . Применяем правило дифференцирования сложной функции: . Здесь  . Применяем правило дифференцирования сложной функции и используем найденные производные:

.

Здесь  .

  1. Итак, мы нашли производную первого порядка: . Чтобы найти производную второго порядка, нам нужно найти производную от производной первого порядка, то есть от функции:
  2. .

Чтобы не путаться с обозначениями, обозначим эту функцию буквой  : (П1.1)   . Тогда производная второго порядка от исходной функции    является производной от функции  : .

Находим производную от функции  . Это проще сделать с помощью логарифмической производной. Логарифмируем (П1.1): . Теперь дифференцируем:

(П1.2)   .

Но   – это постоянная. Ее производная равна нулю. Производную от    мы уже нашли. Находим остальнве производные по правилу дифференцирования сложной функции. ; ; . Подставляем в (П1.2): . Отсюда

  • .
  • Ответ
  • ; .

Пример 2

Найти производную третьего порядка: .

Решение

Находим производную первого порядка. Для этого выносим постоянную    за знак производной, используем таблицу производных и применяем правило нахождения производной сложной функции. . Здесь  . Итак, мы нашли производную первого порядка:

.

Находим производную второго порядка. Для этого находим производную от  . Применяем формулу производной дроби. . Производная второго порядка:

.

Теперь находим искомую производную третьего порядка. Для этого дифференцируем  . ; ; .

Ответ

Производная третьего порядка равна .

Пример 3

Найти производную шестого порядка следующей функции: .

Решение

Если раскрыть скобки, то будет ясно, что исходная функция является многочленом степени  . Запишем ее в виде многочлена: , где    – постоянные коэффициенты.

Далее применим формулу n-й производной степенной функции: . Для производной шестого порядка (n = 6) имеем: . Отсюда видно, что    при  . При   имеем: .

Используем формулу производной суммы функций: . Таким образом, чтобы найти производную шестого порядка исходной функции, нам надо найти только коэффициент многочлена при старшей степени  . Находим его, перемножая старшие степени в произведениях сумм исходной функции: . Отсюда  . Тогда .

Ответ

.

Пример 4

Найти n-ю производную функции .

Решение > > >

Пример 5

Найти n-ю производную следующей функции: , где и – постоянные.

Решение

В этом примере вычисления удобно выполнять с использованием комплексных чисел. Пусть мы имеем некоторую комплексную функцию (П5.1)   , где    и    – функции от действительной переменной x; – мнимая единица,  . Дифференцируя (П.1) n раз, имеем:

(П5.2)   .

Иногда проще найти n-ю производную от функции . Тогда n-е производные функций    и    определяются как действительная и мнимая части от n-й производной : ; .

Применим этот прием для решения нашего примера. Рассмотрим функцию . Здесь мы применили формулу Эйлера

  1. ,
  2. .
  3. .
  4. Найдем n-ю производную функции . Для этого применим формулу:
  5. .
  6. .
  7. .

и ввели обозначение Тогда n-я производная исходной функции определяется по формуле: В нашем случае Тогда

Итак, мы нашли n-ю производную комплексной функции  : , где  . Найдем действительную часть функции  . Для этого представим комплексное число   в показательной форме: , где  ; ;   . Тогда

;

.

Решение примера .

Пусть , . Тогда ; . При , , , . И мы получаем формулу n-й производной косинуса:

  • .
  • Ответ
  • , где
  • ;   .

Источник: https://1cov-edu.ru/mat_analiz/proizvodnaya/nayti/vysshih-poryadkov/

Ссылка на основную публикацию