Преобразование целых выражений — справочник студента

Октябрь 10, 2019| Админ|

Материалы для подготовки к ЕГЭ. Справочник по математике. Раздел 2 «Выражения» (параграфы 5 — 10). Целые рациональные, дробные рациональные, иррациональные выражения. Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений

ВСЕ РАЗДЕЛЫ СПРАВОЧНИКА

Раздел II. Выражения

ВСЕ РАЗДЕЛЫ СПРАВОЧНИКА

§ 5. Основные понятия

51. Виды алгебраических выражений

52. Допустимые значения переменных. Область определения алгебраического выражения

53. Понятие тождественного преобразования выражения. Тождество

ВСЕ РАЗДЕЛЫ СПРАВОЧНИКА

§ 6. Целые рациональные выражения

54. Одночлены и операции над ними

55. Многочлены. Приведение многочленов к стандартному виду

56. Формулы сокращенного умножения

57. Разложение многочленов на множители

58. Многочлены от одной переменной

59. Деление многочленов. Схема Горнера. Теорема Безу

60. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

61. Разложение на множители двучлена хn — аn

62. Возведение двучлена в натуральную степень (формула бинома Ньютона)

ВСЕ РАЗДЕЛЫ СПРАВОЧНИКА

§ 7. Дробные рациональные выражения

63. Рациональная дробь и ее основное свойство

64. Сокращение рациональных дробей

65. Приведение рациональных дробей к общему знаменателю

66. Сложение и вычитание рациональных дробей

67. Умножение и деление рациональных дробей

68. Возведение рациональной дроби в целую степень

69. Преобразование рациональных выражений

ВСЕ РАЗДЕЛЫ СПРАВОЧНИКА

§ 8. Иррациональные выражения

70. Простейшие преобразования арифметических корней (радикалов)

71. Тождество √а2 = |а|

72. Преобразование иррациональных выражений

ВСЕ РАЗДЕЛЫ СПРАВОЧНИКА

§ 9. Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма

73. Понятие трансцендентного выражения

74. Определение логарифма положительного числа по данному основанию

75. Свойства логарифмов

76. Логарифмирование и потенцирование

77. Десятичный логарифм. Характеристика и мантисса десятичного логарифма

ВСЕ РАЗДЕЛЫ СПРАВОЧНИКА

§10. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений

78. Тригонометрические выражения

79. Формулы сложения и вычитания аргументов

80. Формулы приведения

81. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

82. Формулы двойного угла

83. Формулы понижения степени

84. Выражение sin t, cos t и tg t через tg t/2

85. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

86. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

87. Преобразование выражения a cos t + b sin t к виду A sin (t + α)

88. Преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции

ВСЕ РАЗДЕЛЫ СПРАВОЧНИКА

Материалы для подготовки к ЕГЭ. Справочник по математике. Раздел 2 «Выражения». Целые рациональные, дробные рациональные, иррациональные выражения. Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений.

Источник: http://egevip.ru/razdel-2-vyrazhenija-spravochnik/

Преобразование целых выражений

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЦЕЛЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

Начинается урок, Он пойдёт ребятам впрок. Постарайтесь всё понять, И внимательно считать.

ГЕОГРАФИЯ

• КОЛЛИЧЕСТВО ЖИТЕЛЕЙ
• МОСКВА (х+12)(х-7)-x2=-31,5
• БЕЛГОРОД (х-125)(х+125)=350475
• ОМСК (х-0.3)2 – х2=0,81
• ВЛАДИВОСТОК (х-15)(х+4)- х2=-6907,5

• 1,2 млн П
• 10,5 млн О
• 622,5 тыс. Л
• 366100 О

1. ПЛОТНОСТЬ НАСЕЛЕНИЯ В ЕВРОПЕ
2. (х-8)(х-5) –(х-12)(х-4)=188,2
3. 65.4

Измерение высоты гор. г. Эльбрус

х(х+2)(х-2)-х(х-8)=22568

5642м

ФИЗКУЛЬТМИНУТКА

Каждое упражнение выполнять 6 – 8 раз. 

• Скольжение подбородком по грудине вниз.  • «Черепаха»: наклоны головы вперёд-назад.  • Наклоны головы вправо-влево.  • «Собачка»: вращение головы вокруг воображаемой оси, проходящей через нос и затылок.  • «Сова»: поворот головы вправо-влево.  • «Тыква»: круговые движения головой в одну и другую сторону. 

• Вычисление плотности населения государств, городов
• г. Санкт-Петербург
• Найти значение выражения при х=363
• X(X-3)(X-3)-(X-1)(X2+X+1)
• 3268 чел на 1кв м

1. Вычисление процента водной поверхности
2. Решив уравнение, вы узнаете, сколько процентов водной поверхности на Украине (7%)
3. (6у+2)(5-у)=132-(2у-3)(3у-1)
4. 7%

Какие основные моменты надо помнить, когда работаешь с ФСУ?

• Уметь читать формулы
• Знать правила
• Сворачивать и разворачивать формулы.

• На следующих уроках мне бы хотелось…
• Научиться …
• Прочитать подробнее…

СПАСИБО ЗА УРОК!

Источник: https://videouroki.net/razrabotki/preobrazovanie-tselykh-vyrazheniy.html

Преобразование целых выражений Преобразование целого выражения в многочлен — скачать презентацию

Вы можете ознакомиться и скачать Преобразование целых выражений Преобразование целого выражения в многочлен. Презентация содержит 8 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Описание слайда:

Преобразование целых выражений Преобразование целого выражения в многочлен

Слайд 2Описание слайда:

Цели урока: Ввести понятие целого выражения. Закрепить знания и умения при умножении многочлена на многочлен и применение формул сокращённого умножения. Упражнять учащихся в приведении подобных слагаемых. Развивать вычислительные навыки учащихся.

Слайд 3Описание слайда:

Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, называют целыми выражениями. К целым относят и выражения, в которых, кроме действий сложения, вычитания и умножения, используется деление на число, отличное от нуля.

Слайд 4Описание слайда:

Многочлены и, в частности, одночлены являются целыми выражениями. Например, 3.5x²y-4xy²+10x-0,5y и 2/3a³bc² — целые выражения.

Слайд 5Описание слайда:

Примерами целых выражений служат такие выражения: 10y³+(3x+y)(x²-10y²), 2b(b²-10c²)-(b³+2c²), 3a²-(a(a+2c))/5+2,5ac.

Слайд 6Описание слайда:

Выражение x+7/(1-x)-5(x-1) не является целым, так как в нём используется деление на выражение с переменной.

Слайд 7Описание слайда:

Любое целое выражение можно представить в виде многочлена.

Слайд 8Описание слайда:

Какие из выражений являются целыми: 2x²y; 4a²-b(a-3b); a²/(a-3); (x²-1)/8; 9x-1/2.

Источник: https://mypresentation.ru/presentation/preobrazovanie_celyx_vyrazhenij_preobrazovanie_celogo_vyrazheniya_v_mnogochlen

Тождественные преобразования рациональных выражений /qualihelpy

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Тождеством называют равенство, верное при всех значениях переменных, принадлежащих области его определения. 

Например, равенства ,  являются тождествами, так как они справедливы на множестве всех действительных чисел.

Рациональным выражением называют выражение, в котором, относительно входящих в него переменных и чисел, не выполняется никаких других операций кроме операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень. 

Например, выражения , и  являются рациональными. 

Целые рациональные выражения не содержат переменную в знаменателе дроби. 

Дробные рациональные выражения содержат переменную в знаменателе дроби. 

Например, выражения  и  – целые, а выражение  – дробное. 

• Все значения переменных, при которых выражение имеет смысл, образуют область определения (или область допустимых значений) переменных выражения.
• В процессе преобразований рациональных выражений используют формулы сокращенного умножения, действия с алгебраическими дробями, способы разложения многочленов на множители.
• Формулы сокращенного умножения:

 (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) (3.7)

1. Арифметические действия с алгебраическими дробями
2. 1. Сложение (вычитание) алгебраических дробей выполняют: 
3. а) согласно правилу:

, (3.9)

если многочлены B и D не имеют общих множителей;

б) согласно правилу:

, (3.10)где , , если многочлены B и D имеют общие множители. 

Умножение алгебраических дробей выполняют согласно правилу:

. (3.11)

Деление алгебраических дробей выполняют согласно правилу:

. (3.12)Формула разложения квадратного трехчлена   на линейные множители: ,, (3.13)где  и  – корни квадратного трехчлена.Корни квадратного уравнения находят по формулам:, (3.14)где . (3.14.1) Пример 1. Упростите выражение .Решение. Выполним действия 3.9 и 3.12 с алгебраическими дробями:1)    ;2) ;3) ;4) .

Ответ: 4.

Пример 2. Упростите выражение .Решение. Согласно правилу разложения квадратного трехчлена на линейные множители 3.13, запишем: , , .Корни квадратных уравнений мы нашли по формулам 3.14 и 3.14.1.Тогда исходное выражение примет вид: : . Приводя дроби к общему знаменателю по правилу 3.10 и применяя формулы сокращенного умножения 3.2 и 3.1, получим:  .

Ответ: 0,5.

Пример 3. Сократите дробь .Решение. Рассмотрим относительно  квадратный трехчлен . Зная, что  и  (см. теорему Виета во вкладке Обратите внимание!), получим , . Аналогично найдем корни квадратного трехчлена : , . По формуле 3.13 разложим трехчлены на линейные множители и выполним сокращение дроби: .Ответ: .Пример 4. Упростите выражение  . .

Решение. Выполним последовательно действия с многочленами:

1) разложение на множители:

;2) вычитание многочленов по формуле 3.10 ;3) преобразование по формуле 3.1 и сокращение дроби ;4) деление многочленов по формуле 3.12;

5) разложение многочлена на множители

;6) умножение многочленов по формуле 3.11.Ответ: .

Целые рациональные выражения имеют смысл при любых значениях переменных. Дробные рациональные выражения не имеют смысла при тех значениях переменных, которые обращают в нуль знаменатель дроби. 

В результате некоторых преобразований может измениться область определения рационального выражения, например, в результате сокращения дроби на выражение, содержащее переменную. 

Теорема Виета. Сумма корней квадратного уравнения  равна , а произведение его корней равно  (при условии, что ).Если , то учитываем, что  – двукратный корень уравнения.Приведенным квадратным уравнением называют уравнение вида: . Согласно теореме Виета, сумма корней этого уравнения равна , а произведение его корней равно . Теорема, обратная теореме Виета.

Источник: http://helpy.quali.me/theme/school/17

"Преобразование целых выражений" 7 класс

• План урока по алгебре «Преобразование целого выражения в многочлен 7 класс.
• Тема: «Преобразование целого выражения в многочлен»
• Цели:
• Образовательные: — систематизировать знания формул сокращённого умножения, умножения многочлена на многочлен, правила раскрытия скобок, умножения одночлена на многочлен, их применение при решении задач.
• — создать условия для формирования умения видеть, сравнивать, обобщать и делать выводы;
• — закрепить и усовершенствовать навыки применения формул сокращённого умножения, умножения многочлена на многочлен, правила раскрытия скобок, умножения одночлена на многочлен, их применение при решении задач.
• при выполнении преобразований целых выражений.
• Развивающие:
• — развивать  вычислительные навыки  путём привлечения занимательного материала, создания проблемных ситуаций;
• — развивать логическое мышление, воображение, восприятие, речь.
• Воспитательные:
• — воспитывать ответственность, коллективизм, взаимопомощь, аккуратность, самостоятельность, дисциплину, наблюдательность.
• — воспитывать желание учиться и делать открытия;
• -воспитывать умение слушать других.
• Структура урока комплексного применения знаний и умений (урок закрепления)
• Организационный этап.
• Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний учащихся.
• Актуализация знаний.

Постановка цели и задач урока.

Мотивация учебной деятельности учащихся.

1. Первичное закрепление:
2. а)в знакомой ситуации (типовые)
3. б)в изменённой ситуации (конструктивные)
4. Применение и закрепление знаний и умений
5. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.
6. Рефлексия (подведение итогов занятия).

Организация класса.Приветствие. Проверка готовности рабочего места.

• • Постановка целей и задач урока. Цель урока систематизировать обобщить знания для преобразования целых выражений в многочлен.
  • Каждый из вас поставит цель на урок.
  • Для преобразования целого выражения в многочлен

• 1)Повторить формулы сокращённого умножения, их применять при решении задач в знакомой ситуации.
• 2)Учиться применять формулы, умножать многочлен на многочлен, раскрыватьскобки.
• 3)Использовать свои знания при решении уравнений, задач.
• Мотивация учебной деятельности учащихся.
• Устная работа.
• Каждый из вас поставил перед собой цель, которую он будет достигать.

Для достижения любой цели необходимо сосредоточиться. Чтобы приступить к письменной работе, проверим свои знания в устной работе.У каждого из вас на парте лист самооценки.

• Устная работа
  • Учитель задаёт вопросы.
  • 1)По какой теме будем сегодня работать?
  • 2) Какие выражения называют целыми?
  • 3) Какие из выражений являются целыми?
  • а) 2х+6+3х
  • б) (а+с)(с-8)
  • в) (а+9)2
  • г) (а4-а5)*а2
  • д)а/(а-8)
  • е)с/2
  • ж) (р-3)5

Оцените свою устную работу

Контрольные вопросы:

• Напишите формулу суммы кубов двух выражений. Чему равна сумма кубов двух выражений?
• Напишите формулу квадрата суммы двух выражений. Чему равен квадрат суммы двух выражений?
• Напишите формулу квадрата разности двух выражений. Чему равен квадрат разности двух выражений?
• Напишите формулу куба суммы двух выражений. Чему равен куб суммы двух выражений?
• Напишите формулу куба разности двух выражений. Чему равен куб разности двухвыражений?

• Напишите формулу разности кубов двух выражений. Чему равна разность кубов двух выражений?
• Чему равна разность квадратов двух выражений? Напишите соответствующую формулу.
• Чему равно произведение разности двух выражений и их суммы? Напишите соответствующую формулу.

• Следите за своей осанкой, сядьте правильно.
• Открываем тетради , записываем число, классная работа, тему урока.

1. Графический диктант.
2. Графический диктант выполняем в тетради.
3. Задание №1
4. Верно ли утверждение?
5. Выполнение графического диктанта — да, — нет

• 1. Выражение 2х²у³ — одночлен в стандартном виде.
• 2. Выражение, представляющее собой сумму одночленов – многочлен.
• 3.Одночлены с разной буквенной частью – подобные одночлены.
• 4.В выражении (5х) ³ число “3” – показатель степени.
• 5.Квадрат двучлена (а+2в) равен а²+2ав+4в²
• 6.Выражение (х²-у²) представляет собой разность квадратов.
• 7. (х³+у³+1)2- квадрат суммы трёх выражений
• 8. Уравнение х² +х=0 имеет два корня 0 и -1
• 9.Выражение 64х4у6 -это квадрат одночлена -8х²у³

Самопроверка. Учащиеся сравнивают полученную кривую с кривой, изображенной на доске, и оценивают свою работу.

• Применение знаний и умений в новой ситуации.
• Работа в тетрадях.
• Работа в парах. Каждой паре предлагается выполнить задание №2
• Учащиеся работают в парах, находят ошибки, в пустые клетки вписывают ошибку и правильный ответ.

• Сравните задания по уровням, выберете для себя свой уровень и приступите к выполнению в тетради. После самопроверки поставьте в лист самооценки себе баллы.
• Работая в парах вы могли друг другу помочь, в следующем задании вы сможете применить свои знания самостоятельно и выполните самооценку.
• Работа с учебником № 920а, № 921а, № 925а, № 926а.

• У каждого из вас на парте тест №13. Для тех, кто поставил цель №2,выполняет: №1,№2а, кто поставил цель №2, выполняет:№6, №7, кто поставил цель №3, выполняет №8.
  • Вариант 1:
  • №1
  • Преобразуйте выражение в многочлен:
  • а) (2m+3n)2=
  • б)( 0,6-y)2=
  • в) (a2/5-15b)=
  • г) (-2-n)2=
  • №2а
  • Упростите выражение и найдите его значение:
  • (y-2)2+y(y+4), приy= — 0,5
  • №6

• Упростите выражение:

• (b-2a)2-(2b+a)(2b – a)=

• №7

• Вставьте на месте пропусков такие одночлены, чтобы равенство стало верным:

• а) (3a + ….)2= 9a2 + 24ab + ….
• б) (…..- 8p)2= ….. – 8pq + 64 p2
• № Я задумал некоторое натуральное число. Затем я умножил предшествующее ему число на следующее за задуманным и получил 168. Какое число я задумал?
• Пусть х – задуманное натуральное число, тогда соседние с ним числа равны………….
• Ответ:

• Вариант 2
  • №1
  • Преобразуйте выражение в многочлен:

• (5a + 7b)2=
• (0,4 – x)2=
• (4p – p2/2)2=
• ( — 3 – x)2=
  • №2а
  • Упростите выражение и найдите его значение:

• • ( a – 7)2 + a(a + 14) при a= 0,5

• ( 4m – 10n)(4m + 10n) – ( 4m – n)2
• №7
• Вставьте на месте пропусков такие одночлены, чтобы равенство стало верным:

• ( 4x + ….)2= 16×2+ 24 xy + ….
• ( ….- 2n)2=…..- 2mn + 4n2
• № 8
• Даны прямоугольник и квадрат. Известно, что длина прямоугольника на 3 см больше стороны квадрата, а его ширина на 3см меньше стороны квадрата. Площадь прямоугольника равна 112см2. Чему равна сторона квадрата?
• Ответ:
• Работа с учебником № 920а, № 921а, № 925а,№ 926а

Решение заданий из учебника, отвечающий комментирует решение на доске.

• (а+b)n=an+nan-1b+…..+nabn-1+bn
  • Если n=3 ,если n=4, если n=5
  • Используя правило умножение многочлена на многочлен и формулы сокращённого умножения,докажите формулу (а+b)4,(а+b)5, (а+b)6.

Информация о домашнем задании.

Домашнее задание: № 920в, № 921б, № 925б,№ 926б

(а+b)n=an+nan-1b+…..+nabn-1+bn

1. Если n=3 ,если n=4, если n=5
2. Используя правило умножение многочлена на многочлен и формулы сокращённого умножения докажите формулу (а+b)4, (а+b)5, (а+b)6.
3. Рефлексия (подведение итогов занятия).

В начале урока мы поставили себе цель применять знания по теме «Преобразование целого выражения в многочлен». Справились ли мы с намеченным? Чему научились? Какие умения закрепили? Что нового узнали?

На этом урок закончен. Всего доброго.

• Контрольные вопросы:
• 1)Напишите формулу суммы кубов двух выражений.
• 2)Чему равна сумма кубов двух выражений?
• 3)Напишите формулу квадрата суммы двух выражений.
• 4)Чему равен квадрат суммы двух выражений?
• 5)Напишите формулу квадрата разности двух выражений.
• 6)Чему равен квадрат разности двух выражений?
• 7)Напишите формулу куба суммы двух выражений.
• 8)Чему равен куб суммы двух выражений?
• 9)Напишите формулу куба разности двух выражений.
• 10)Чему равен куб разности двух выражений?
• 11)Напишите формулу разности кубов двух выражений.
• 12)Чему равна разность кубов двух выражений?
• 13)Чему равна разность квадратов двух выражений?

14)Чему равно произведение разности двух выражений и их суммы? Напишите формулу.

15)Напишите формулу разности квадратов двух выражений.

Задание №2

(4у-3х)(3х+4у)=

1. =4у2-9х2
2. 2
3. 100m4-4n6=
4. =
5. (10m2-2n3)(10m2+2n2)
6. 3
7. (3x+a)2=9×2+3ах+a2
8. 4
9. (6a2-9c)2=
10. =6a4-108a2c+81c2
11. 5
12. х³+23=(х+2)(х²-2х+2)
13. 6
14. -3(х2 – у)= -3 х2- 3у
15. Количество баллов:
16. Задание №1
17. Выполнение графического диктанта — да, — нет
18. 1.Степень одночлена 2х²у³ равна 5

2. Многочлен- это выражение, представляющее собой сумму одночленов.

3.В выражении в2- 14в+*, * -это 49.

4.Выражение -(-5х³) 3 равно 125х6.

5.Квадрат двучлена (9а6-2в³) равен 81а12-36а6в³+4в6.

6.Выражение (х-у)2 представляет собой разность квадратов двух выражений.

7.Уравнение в2 -81 = 0 имеет два корня9 и -9.

8.Выражение (х+5) ² всегда меньше или равно 0 .

9.Выражение 16х4у12 -это четвертая степень одночлена -2ху³.

• Лист самооценки
• Фамилия, имя
• Критерии выставлении оценки:«2» 0-6 баллов
• «3» 7-11 баллов
• «4» 12-15баллов
• «5» 16 и более баллов
• Оценка :
• Цели на урок для учащихся:
• 1)Повторить формулы сокращённого умножения, их применять при решении задач в знакомой ситуации.
• 2)Учиться применять формулы, умножать многочлен на многочлен, раскрывать скобки.
• 3)Использовать свои знания при решении уравнений, задач.

Источник: https://infourok.ru/preobrazovanie-celih-virazheniy-klass-3197640.html