Поступательное и вращательное движение — справочник студента

Поступательное и вращательное движения твердого тела.

Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной своему первоначальному положению во все время движения.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Теорема.

При поступательном движении твердого тела все его точки движутся по одинаковым и параллельным траекториям и имеют в каждый данный момент времени равные по модулю и направлению скорости и ускорения.

При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной. Например, в системе отсчёта, связанной с Землёй, ось вращения ротора генератора на электростанции неподвижна.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором все его точки, лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения, все время остаются неподвижными.

Мгновенная ось вращения.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Теория лидерских качеств - справочник студента

Оценим за полчаса!

Прямая проходящая через точки тела, скорости которых в рассматриваемый момент времени равны нулю называется мгновенной осью вращения.

Поступательное и вращательное движение - Справочник студента

Поступательное и вращательное движение - Справочник студента

Поступательное и вращательное движение - Справочник студента

Поступательное и вращательное движение - Справочник студента

Качение без проскальзывания. 

Поступательное и вращательное движение - Справочник студента
Скорость нижней точки колеса, относительно поверхности Vа = 0

Связь линейных и угловых кинематических величин при вращении твердого тела.

Поступательное и вращательное движение - Справочник студента

Источник: http://fizmatinf.blogspot.com/2012/12/6_23.html

Поступательное и вращательное движение

Ещё в самом начале курса мы упомянули, что полное описание движения тела является достаточно сложной задачей, если не пользоваться идеализированными моделями такого движения. Одна из таких моделей —поступательное движение — это такое движение, при котором каждая точка тела двигается одинаково.

В этом случае, тело должно быть абсолютно твердым. Например, движение камня или ядра можно назвать поступательным. Движение мяча же, нельзя назвать поступательным, поскольку он немного деформируется в процессе движения.

Очевидно, что движение различных точек этого тела описывается совершенно по-разному. Кроме того, само тело состоит не из однородного материала, поэтому, его ни в коем случае нельзя считать абсолютно твердым. Более подробно деформации и действия сил мы рассмотрим в разделе «динамика».

Поступательное движение тела является самым простым, поскольку, чтобы описать движение тела, достаточно описать движение одной из его точек. Как правило, описывают движение центра тяжести тела.

Строго говоря, если движение тела не является поступательным, то нельзя говорить о скорости или об ускорении тела, поскольку каждая из точек этого тела имеет разную скорость и разное ускорение. Однако, во многих случаях, эти скорости и ускорения настолько мало отличаются друг от друга, что этим можно пренебречь.

Например, поступательным движением можно считать движение поезда на прямых участках, движение колеса обозрения или движение различных поршней.

Поступательное и вращательное движение - Справочник студента

Примеры поступательного движения

Другой тип движения — это вращательное движение, с которым мы частично познакомились, на прошлом уроке.

Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела двигаются по окружности. При этом, центры этих окружностей лежат на одной прямой, которая называется осью вращения.

Пожалуй, один из самых очевидных примеров такого движения — это вращение Земли вокруг своей оси. Точки Земли двигаются по окружности, причем, вокруг определенной оси.

Вместе с этим, движение Земли, строго говоря, нельзя назвать поступательным, поскольку очевидно, что магма внутри Земли двигается совсем не так, как земная кора, например.

Но, опять же, в космических масштабах, этим обстоятельством можно пренебречь.

Поступательное и вращательное движение - Справочник студента

С характеристиками вращательного движения мы уже познакомились: это угловая скорость, период и частота.

Любое движение абсолютно твердого тела можно представить, как сумму поступательного и вращательного движения. Например, если мы примем стальной шар за абсолютно твердое тело и покатим его, то его движение любой его точки можно представить, как сумму поступательного и вращательного движения. Таким образом, точки шара будут двигаться по спирали.

Читайте также:  Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности - справочник студента

В качестве ещё одного примера можно снова привести движение Земли. Как вы знаете, Земля вращается вокруг Солнца. Но само Солнце двигается по направлению к звезде Вега.

Поступательное и вращательное движение - Справочник студента

В итоге, Земля совершает витки по спирали. Таким образом, движение земли в космическом пространстве можно представить, как сумму движения Земли вокруг Солнца и движения Солнца к Веге.

Необходимо отметить, что в данном примере, мы упростили движение Солнца, поскольку в действительности оно, конечно, двигается не по прямой, а по определенной орбите.

Примеры решения задач.

Задача 1. Находясь на колесе обозрения, вы заметили, что совершили пол-оборота за 3 минуты. Другой человек, находящийся на этом же колесе обозрения, заметил, что он прошёл расстояние, равное 90 м. Найдите радиус, угловую и линейную скорость колеса обозрения.

В первую очередь, обратим внимание на то, что мы можем считать поступательным движение колеса. А, значит, то, что заметили вы, применимо и к другому человеку, находящемся на этом колесе. И наоборот: его наблюдения тоже могут быть использованы вами. Ведь каждая точка колеса проходит одинаковое расстояние.

Поступательное и вращательное движение - Справочник студента

Задача 2. Металлический шест начинает двигаться по прямой с постоянным ускорением , при этом вращаясь вокруг своего центра. Длина шеста составляет 4 м, а скорость вращения равна 2 рад/с. Найдите модуль линейной скорости крайней точки после поворота на .

Поступательное и вращательное движение - Справочник студента

Источник: https://videouroki.net/video/12-postupatiel-noie-i-vrashchatiel-noie-dvizhieniie.html

1.1.9 Твердое тело. Поступательное и вращательное движение твердого тела

Видеоурок: Поступательное и вращательное движения 

Лекция: Твердое тело. Поступательное и вращательное движение твердого тела.

Твердое тело

Твердым телом называется физический объект, формы которого неизменны при любых воздействиях на него. Если взять произвольные две точки такого тела, то расстояние между ними всегда будет постоянным.

Основными задачами кинематики в данном разделе являются:

  • определить характеристики и описать движение твердого тела в целом;
  • определить характеристики и описать движение отдельных точек твердого тела.

Твердое дело может двигаться:

  • поступательно;
  • вращаться вокруг оси;
  • плоско;
  • вращаться вокруг точки;
  • произвольно.

В курсе школьной физики рассматриваются только первые два вида движения.

Поступательное движение

Движение тела можно назвать поступательным, если на данном теле можно провести прямую через две точки, которая будет двигаться параллельно своему предыдущему положению.

  • Любое тело в природе, которое двигается по прямой линии, двигается поступательно, а каждая точка на данном теле описывает траекторию прямой линии или окружности.
  • Примеры поступательного движения:
  • Поступательное и вращательное движение - Справочник студента
  • Во время поступательного движения каждая точка заданного тела описывает одинаковые траектории, имеет одинаковую величину скорости, а также ускорения.
  • Изучение данного вида движения для твердого тела можно свести к его изучению для точки, находящейся на теле, которое двигается поступательно.
  • Вращательное движение вокруг оси
  • Данный вид движения характеризуется двумя точками и прямой, которую можно провести через них — если прямая в теле остается неподвижной, а все остальные точки тела вращаются вокруг нее, то такое движение можно считать вращательным вокруг оси.

Прямая, вокруг которой тело вращается, называется осью вращения.

Поступательное и вращательное движение - Справочник студента

Для данного вида движения справедливы все формулы, которые используются для точки, двигающейся по окружности. Кроме этого, можно ввести новую физическую величину — угловое ускорение, основной единицей которого является 1с-2:

Поступательное и вращательное движение - Справочник студентагдеПоступательное и вращательное движение - Справочник студента

Предыдущий урок Следующий урок

Источник: https://cknow.ru/knowbase/73-tema-119-tverdoe-telo-postupatelnoe-i-vraschatelnoe-dvizhenie-tverdogo-tela.html

Возвратно-поступательный механизм: виды, устройство, применение

Усилие от источника к исполнительному органу может передаваться самым различным образом. Довольно большое распространение получили варианты исполнения, предназначение которых заключается в преобразовании вращательно движения в возвратно-поступательное. Подобный механизм сегодня устанавливается крайне часто. Рассмотрим разновидности, область применения и многие другие моменты подробнее.

Поступательное и вращательное движение - Справочник студента

Механизм возвратно-поступательного движения

Передача усилия от источника к конечному устройству может проводится самым различным образом. Возвратно поступательный механизм обладает следующими особенностями:

  1. В большинстве случаев он устанавливается при создании обрабатывающего оборудования, к примеру станка, у которого инструмент может одновременно получать вращение и перемещаться в нескольких плоскостях.
  2. Создаваемая конструкция должна быть рассчитана на достаточно длительный эксплуатационный срок. Для этого используется износостойкий материал, который может выдержать длительное воздействие.
  3. Уделяется внимание длительности эксплуатации. Привод может служить определенное количество циклов или времени.
  4. Немаловажным параметром назовем компактность. Слишком большие механизмы возвратно-поступательного движения увеличивают вес конструкции, делают ее более громоздкой.
  5. Ремонтопригодность считается важным параметром, который должен учитываться. При длительной эксплуатации приходится проводить замену износившихся элементов.

Основные эксплуатационные характеристики во многом зависят от принципа действия механизма возвратно-поступательного перемещения. Именно поэтому следует каждый рассматривать подробно.

Типы передач для поступательного движения

Встречается довольно большое количество различных устройств, которые могут применяться для преобразования передаваемого усилия. Большое распространение получили следующие варианты:

  1. Кривошипно-шатунные может применяться для преобразования вращения в возвратно-поступательное движение и наоборот. В качестве основных элементов применяется кривошипный вал, ползун, шатун и специальный элемент кривошипа. Для расчета момента и других параметров могут использоваться различные формулы. В качестве основного элемента также могут использовать коленчатый вал, который имеет одну или несколько ступеней. Они получили весьма широкое распространение, к примеру, двигатели или насосы, сельскохозяйственная техника. При изготовлении основных деталей, как правило, применяется сталь с высокой коррозионной стойкостью.
  2. Кулисные конструкции получили весьма широкое распространение, так как усилие передается без шатуна. В подобном случае ползун напоминает кулису, в которой делается специальное отверстие. На момент вращения кривошипного вала кулиса двигается вправо и налево. В некоторых случаях вместе кулисы применяется стержень с насаженной втулкой. Для обеспечения контакта применяется прижимная пружина. Существенно повысить качество работы устройства можно за счет установки ролика на конце устройства.
  3. Кулачковые варианты исполнения применяются для преобразования вращательного перемещения в возвратно-поступательное. Основным элементом конструкции можно назвать кулачки, а также стержень, криволинейный диск. Для направления положения стержня устанавливается втулка, которая характеризуется весьма высокой точностью позиционирования. Снизить степень трения поверхности можно за счет ролика. В некоторых случаях вместо стержня устанавливается касающийся рычаг. Основные параметры могут быть рассчитаны самостоятельно. Механизм возвратно-поступательного движения рассматриваемого типа применяется в самых различных случаях, к примеру, в механизированном оборудовании.
  4. Шарнирно-рычажные устройства устанавливаются в том случае, если нужно сменить направление движение в какой-либо части устройства. Примером можно назвать ситуация, когда вертикальное перемещение следует перенаправлять в горизонтальное. Кроме этого, в некоторых случаях нужно провести увеличение или уменьшение хода.

Поступательное и вращательное движение - Справочник студента

Приведенная выше информация указывает на то, что встречается просто огромное количество различных вариантов исполнения механизмов. Выбор проводится по самым различным критериям, которые должны учитываться.

Устройство для преобразования возвратно-поступательного движения в прямолинейное

Также механизмы возвратно поступательного движения могут применяться для создания условий прямолинейного перемещения исполнительного органа. Ключевыми моментами подобного варианта исполнения назовем:

  1. Существенно повышается надежность.
  2. При изготовлении применяются материалы, характеризующие повышенной износостойкостью.
  3. Подобные механизмы несколько схожи с теми, которые проводят преобразование вращения в возвратно-поступательное перемещение.

Многие конструкции работают на основе применения прямолинейного перемещения. Именно поэтому они получили весьма широкое распространение.

Возвратно-поступательный механизм своими руками

Существенно сэкономить можно путем создания возвратно-поступательного механизма своими руками. В некоторых случаях его делают из дрели, в других для передачи вращающего крутящего момента используется электрический двигатель.

Поступательное и вращательное движение - Справочник студента

Особенностями назовем нижеприведенные моменты:

  1. Большинство конструкций самостоятельно изготовить не получается, так как требуемые детали характеризуются высокой сложностью. Примером можно назвать сочетание кривошипного вала и шестерни.
  2. Во всех случаях должны проводится расчеты, так как в противном случае обеспечить требуемые параметры не получается.
  3. Изготовить конструкцию рассматриваемого типа можно только при наличии специального оборудования. Если устройство сделано своими силами, то его реальные параметры от расчетных могут существенно отличаться.

В целом можно сказать, что рассматриваемая задача довольно сложна в исполнении. Именно поэтому работу должны проводить исключительно профессионалы, которые могут провести сложные расчеты, а также изготовить требуемые детали.

Область применения

Привод рассматриваемого типа встречаются в самых различных областях. При этом:

  1. Чаще всего привод устанавливается в станке, предназначенный для обработки металла и дерева.
  2. Некоторые инструмента также основаны на преобразовании вращательного движения в возвратно-поступательное. Примером можно назвать ударную дрель или перфораторы, которые сегодня распространены.
  3. В промышленности можно встретить транспортеры, конструкции для подъема и опускания различного продукта.

Единственным, но существенным недостатком можно назвать довольно большие размеры устройства. Кроме этого, нужно обеспечивать качественную смазку, так как трение становится причиной нагрева и износа.

Источник: https://stankiexpert.ru/tehnologicheskaya-osnastka/zapchasti/vozvratno-postupatelnyj-mekhanizm.html

Кинематика абсолютно твёрдого тела. Поступателное и вращателное движение — Класс!ная физика

«Физика — 10 класс»

При любом ли движении тела можно использовать такую его модель, как материальная точка? Какие модели тела ещё существуют?

Поступательное движение твёрдого тела.

Описание движения тела считается полным лишь тогда, когда известно, как движется каждая его точка.

Мы много внимания уделили описанию движения точки. Именно для точки вводятся понятия координат, скорости, ускорения, траектории. В общем случае задача описания движения тел является сложной. Особенно она сложна, если тела заметно деформируются в процессе движения. Проще описать движение тела, взаимное расположение частей которого не изменяется.

Тело, расстояние между любыми двумя точками которого остаётся постоянным при его движении, называется абсолютно твёрдым.

Абсолютно твёрдое тело — это одна из механических моделей, используемых при описании движения и взаимодействия тел.

На самом деле абсолютно твёрдых тел нет. Но в тех случаях, когда реальные тела при движении мало деформируются, их можно рассматривать как абсолютно твёрдые. Однако и движение абсолютно твёрдого тела в общем случае оказывается весьма сложным. Самое простое движение абсолютно твёрдых тел — поступательное.

Поступательным называется такое движение абсолютно твёрдого тела, при котором любой отрезок, соединяющий любые две точки тела, остаётся параллельным самому себе.

При поступательном движении все точки тела совершают одинаковые перемещения, описывают одинаковые траектории, проходят одинаковые пути, имеют в каждый момент времени равные скорости и ускорения. Покажем это.

Поступательное и вращательное движение - Справочник студента

Пусть тело движется поступательно (рис. 1.58). Соединим две его произвольные точки В и А отрезком. Расстояние |АВ| не изменяется, так как тело абсолютно твёрдое.

При поступательном движении остаются постоянными модуль и направление вектора . Вследствие этого траектории точек В и А одинаковы, так как они могут быть полностью совмещены параллельным переносом на вектор .

Согласно рисунку 1.58 перемещения точек А и В одинаковы и совершаются за одно и то же время. Очевидно, что любая точка твёрдого тела, например С, движется так же, как точки А и В.

Следовательно, точки А и В имеют одинаковые скорости и ускорения.

Совершенно очевидно, что для описания поступательного движения абсолютно твёрдого тела достаточно описать движение какой-либо одной его точки.

Поступательное и вращательное движение - Справочник студента

>Лишь при поступательном движении можно говорить о скорости и ускорении тела.

Примерно поступательно движутся ящик письменного стола, поршни двигателя автомобиля относительно цилиндров, вагоны на прямолинейном участке железной дороги, резец токарного станка относительно станины. Движение педали велосипеда или кабины колеса обозрения в парках (рис. 1.59, 1.60) — также примеры поступательного движения.

  • Для описания поступательного движения абсолютно твёрдого тела достаточно написать уравнение движения одной из его точек.
  • Вращательное движение абсолютно твёрдого тела.
  • Вращательное движение вокруг неподвижной оси — ещё один частный случай движения твёрдого тела.
  • В технике такой вид движения встречается очень часто: например, вращение валов двигателей и генераторов, турбин и пропеллеров самолётов.
Читайте также:  Гетероядерные двухатомные молекулы - справочник студента

Поступательное и вращательное движение - Справочник студента

Вращательным движением абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой, называемой осью вращения, при этом плоскости, которым принадлежат эти окружности, перпендикулярны оси вращения.

Источник: «Физика — 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский

Назад в раздел «Физика — 10 класс, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский»

Кинематика — Физика, учебник для 10 класса — Класс!ная физика

Физика и познание мира — Что такое механика — Механическое движение. Система отсчёта — Способы описания движения — Траектория. Путь. Перемещение — Равномерное прямолинейное движение. Скорость.

Уравнение движения — Примеры решения задач по теме «Равномерное прямолинейное движение» — Сложение скоростей — Примеры решения задач по теме «Сложение скоростей» — Мгновенная и средняя скорости — Ускорение — Движение с постоянным ускорением — Определение кинематических характеристик движения с помощью графиков — Примеры решения задач по теме «Движение с постоянным ускорением» — Движение с постоянным ускорением свободного падения — Примеры решения задач по теме «Движение с постоянным ускорением свободного падения» — Равномерное движение точки по окружности — Кинематика абсолютно твёрдого тела. Поступательное и вращательное движение — Кинематика абсолютно твёрдого тела. Угловая скорость. Связь между линейной и угловой скоростями — Примеры решения задач по теме «Кинематика твёрдого тела»

Источник: http://class-fizika.ru/10_a17.html

Техническая механика



Различают два вида простейшего движения твердого тела: поступательное движение и вращение вокруг неподвижной оси.

Движение тела, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной своему первоначальному положению, называется поступательным. Так, например, поршень двигателя относительно других деталей и узлов (гильзы, блока, головки цилиндров и т. п.) совершает поступательное движение.

Закономерности перемещения всех точек тела при поступательном движении можно описать движением любой из его точек. Этот вывод опирается на утверждения теоремы о поступательном движении твердого тела.

Теорема: при поступательном движении все точки твердого тела имеют одинаковые траектории, скорости и ускорения.

Пусть за время Δt тело, двигаясь поступательно, переместилось из положения АВ в положение А1В1, причем произвольная точка А прошла путь ΔsА, а другая произвольная точка В прошла путь ΔsВ по некоторым траекториям (дугам) АА1 и ВВ1 (см. рис. 1).

Поступательное и вращательное движение - Справочник студента Требуется доказать, что траектории, скорости и ускорения точек А и В при поступательном перемещении были одинаковы.

Соединим точки А и А1, В и В1 хордами. Так как АВ = А1В1 (поскольку тело является твердым, и расстояние между его частями и точками неизменно), а АВ || А1В1 (по определению поступательного движения, любая прямая внутри тела перемещается параллельно своему первоначальному положению), то фигура АВВ1А1 – параллелограмм. Следовательно, хорда АА1 равна и параллельна хорде ВВ1.

Возьмем промежуточное положение прямой А2В2 и соединим концы этого отрезка с точками А и А1, В и В1, как показано на рисунке. Аналогично предыдущему можно доказать, что вписанные ломаные линии АА2А1 и ВВ2В1 имеют попарно равные и параллельные стороны.

Если бесконечное число раз удваивать число сторон этих ломаных линий, то в пределе они дадут дуги ΔsА и ΔsВ. Но так как эти ломаные линии всегда одинаковы, то они одинаковы и в пределе, следовательно, траектории произвольных точек А и В будут одинаковы.

Поскольку точки А и В выбраны произвольно, то, следовательно, траектории всех точек тела будут одинаковы.

  • Докажем теперь, что скорости и ускорения произвольных точек А и В, а, следовательно, и всех других точек тела в каждый данный момент времени будут равны.
  • Так как векторы перемещений точек А и В равны между собой (АА1 = ВВ1), то, разделив обе части этого векторного равенства на Δt и перейдя к пределу при Δt стремящемся к нулю, получим:
  • lim АА1/Δt = lim ВВ1/Δt при Δt→0.
  • Поскольку эти пределы являются векторами скоростей точек, следовательно vА = vВ.

Перенесем векторы скоростей vА1 и vВ1 в точки А и В и найдем векторы приращения скоростей ΔvА и ΔvВ. Рассмотрим треугольники АМN и ВМ1N1. Эти треугольники конгруэнтны (равны), и их равные стороны попарно параллельны, следовательно, ΔvА = ΔvВ.

  1. Разделим обе части этого векторного равенства на Δt и перейдя к пределу при Δt стремящемся к нулю, получим:
  2. lim ΔvА /Δt = lim ΔvВ /Δt    при    Δt→0    или    аА = аВ.
  3. Теорема доказана.
  4. Таким образом, поступательное движение твердого тела вполне определяется движением одной из его точек и, следовательно, все формулы кинематики точки применимы для тела, движущегося поступательно.
  5. ***

Вращение вокруг неподвижной оси

Движение, при котором по крайней мере две точки твердого тела или неизменяемой системы остаются неподвижными, называется вращательным; прямая линия, соединяющая эти две точки, называется осью вращения. В определении вращательного движения говорится о неизменяемой системе, потому что ось вращения может лежать и вне тела.

Вращательное движение в технике встречается очень часто. Во многих машинах имеются звенья, совершающие вращательное движение, например, валы, шкивы, зубчатые колеса, ступицы и т. п. Следует отметить, что понятие вращательного движения может относиться лишь к телу, но не к отдельной точке, и, например, движение точки по окружности является не вращательным, а криволинейным движением.

Рассмотрим диск, вращающийся вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа (см. рис. 2). Точка О – след этой оси. Поступательное и вращательное движение - Справочник студента Очевидно, что траектории точек вращающегося тела есть окружности различных радиусов, расположенные в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, с центрами, лежащими на этой оси.

Пусть за время Δt диск повернулся на угол φ. При этом точка А прошла путь sА, а точка В – путь sВ.

Так как точки, находящиеся на различном расстоянии от оси вращения, за один и тот же промежуток времени проходят разные пути, то, следовательно, они имеют разные скорости и ускорения.

Отсюда следует, что линейное перемещение (путь), линейные скорость и ускорение точек не могут характеризовать вращательное движение тела в целом.

Вращательное движение тела можно характеризовать углом φ, на который повернулось тело за данный промежуток времени. Этот угол называется угловым перемещением тела.

  • Угловое перемещение тела выражается в радианах (рад) или оборотах (об); в последнем случае угловое перемещение обозначают N. Для установлении зависимости между этими величинами составим пропорцию:
  • 1 об = 2π рад,     N об = φ рад,   откуда   φ = 2πN рад, где N – число оборотов тела.
  • Угловое перемещение есть функция времени, следовательно, закон вращательного движения в общем виде можно записать так: φ = f(t).
  • Из рис. 2 видно, что путь любой точки вращающегося тела может быть определен из уравнения:
  • s = rφ,     где r – расстояние от точки до оси вращения.
  • Скорость любой точки тела определяется так:
  • v = ds/dt = d(rφ)/dt = r(dφ/dt)
  • (r вынесли за знак производной, так как для данной точки твердого тела эта величина постоянна).

Выражение dφ/dt называется угловой скоростью и обозначается ω. Угловая скорость есть кинематическая мера движения вращающегося тела, характеризующая быстроту его углового перемещения: ω = dφ/dt.

Угловая скорость равна первой производной углового перемещения по времени. Единица угловой скорости – радиан в секунду (рад/с).

Формула для определения скорости любой точки вращающегося тела имеет следующий вид:

v = ωr.

Скорость точки в каждый момент времени прямо пропорциональна ее расстоянию от оси вращения, следовательно, график скоростей точек, например, диаметра В1В2, будет представлять собой два треугольника.

Очевидно, что вектор скорости точки вращающегося тела направлен перпендикулярно радиусу, соединяющему эту точку с осью вращения.

Если точка лежит на поверхности вращающегося тела, то ее скорость называют окружной.

  1. В технике часто скорость вращения выражают в оборотах в минуту, обозначают буквой n и называют частотой вращения. Зависимость между угловой скоростью и частотой вращения выглядит так:
  2. ω = πn/30 рад/с, где n = частота вращения тела (об/мин).
  3. ***
  4. Если тело вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью, то движение называется равномерным. При этом:
  5. ω = const;    φ = ωt.
  6. Касательное, нормальное и полное ускорения любой точки равномерно вращающегося тела определяют так:
  7. аτ = 0;    ап = ω2r;    а = ап = ω2r.
  8. ***



Неравномерное вращательное движение

  • Если угловая скорость вращающегося тела с течением времени меняется, то движение называется неравномерным. В самом общем виде формулы неравномерного вращательного движения выглядят так:
  • φ = f(t);     ω= Δφ/Δt.
  • Касательное движение любой точки неравномерно вращающегося тела определяют следующим образом:
  • aτ = dv/dt = d(ωr)/dt = r(dω/dt).
  • Выражение dω/dt обозначают α (альфа) и называют угловым ускорением. Угловое ускорение есть кинематическая мера изменения угловой скорости вращающегося тела:
  • α = dω/t = d2φ/dt2.

Поступательное и вращательное движение - Справочник студента

Угловое ускорение равно первой производной угловой скорости или второй производной углового перемещения по времени. Единица углового ускорения – радиан на секунду в квадрате (рад/с2).

  1. Формулу для определения касательного ускорения любой точки неравномерно вращающегося тела можно записать в таком виде: аτ = αr.
  2. Нормальное ускорение определяется по такой же формуле, как и в случае равномерного вращения:
  3. ап = ω2r.
  4. Полное ускорение:
  5. а = √[(аτ2) + (ап2)] = √[(αr)2 + (ω2r)2],    откуда    а = r √(α2 + ω4).
  6. Направляющий тангенс полного ускорения можно определить так:
  7. tg(а, ап) = аτ/ап = αr/(ω2r),   откуда   tg(a,aп) = α/ω2.
  8. Если направление углового ускорения совпадает с направлением вращения, то вращательное движение является ускоренным, и наоборот.
  9. ***

Равнопеременное вращательное движение

Если тело вращается вокруг неподвижной оси с постоянным угловым ускорением, то движение называют равнопеременным. Формулы для этого вида вращательного движения могут быть выведены при помощи интегрального исчисления.

  • Итак, если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси равнопеременно, то:
  • α = dω/dt = const,   откуда   dω = αdt.
  • Интегрируя это равенство по t, получим:
  • ∫dω = ∫αdt,    где ω изменяется от 0 (начальная угловая скорость) до ω,   t изменяется от 0 до t.
  • Получим окончательную формулу угловой скорости в следующем виде:
  • ω = ω0 + αt.
  • Далее выведем формулу углового перемещения. Так как при любом вращательном движении
  • dφ/dt = ω,    то    dφ = dω/dt,
  • то, интегрируя это равенство по t, получим:
  • ∫dφ = ∫dω/dt = ∫( ω0 + αt)dt = ∫ω0dt + ∫αtdt;     φ – φ0 = ω0t + αt2/2,
  • где φ0 – начальное угловое перемещение.
  • Очевидно, что в случае φ0 = 0, формула примет вид: φ = ω0t + αt2/2.
  • Итак, формулы для равнопеременного вращательного движения твердого тела записываются следующим образом:
  • α = const;      ω = ω0 + αt;      φ = ω0t + αt2/2.
  • Из этих формул можно получить формулы углового перемещения в другом виде:
  • φ = (ω2 – ω02)/(2α)    или    φ = (ω0 + ω)t/2.
  • ***
  • Сложное движение точки и твердого тела



Главная страница

Специальности

Учебные дисциплины

Олимпиады и тесты

Источник: http://k-a-t.ru/tex_mex/12-kinematika_prost_dvigen/index.shtml

Ссылка на основную публикацию