Полярная система координат — справочник студента

Полярная система координат — это система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя параметрами — полярный угол и полярный радиус.

Полярная система координат - Справочник студента

Прямоугольная (или декартова в честь Декарта) система координат — это система координат, в которой две взаимно перпендикулярные оси ОX (осью абсцисс) и ОY (ось ординат), имеющие одинаковую масштабную единицу и общее начало О.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Роль «я-концепции» в жизни личности - справочник студента

Оценим за полчаса!

М(x;y) — произвольная точка

Полярная система координат - Справочник студента

Пусть M – произвольная точка плоскости, x, y – её прямоугольные координаты,

а ρ (полярное расстояние), φ (полярный угол) – полярные координаты (рисунок ниже).

Полярная система координат - Справочник студента

x = ρcosφ 

y = ρsinφ

Полярная система координат - Справочник студента

Таким образом получаем следующие уравнения

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Когерентность волн - справочник студента

Оценим за полчаса!

Полярная система координат - Справочник студента

Пример 1
Прямоугольные координаты точки равны x=4, y=-4. Найти её полярные координаты.

Решение
Полярная система координат - Справочник студента
Значит

Полярная система координат - Справочник студента
так как точка лежит в четвёртой четверти, то первое значение правильно.

Главное значение φ есть -π/4.

Полярная система координат - Справочник студента

Источник: https://www.matematicus.ru/vysshaya-matematika/analiticheskaya-geometriya-na-ploskosti/svyaz-mezhdu-polyarnymi-koordinatami-i-pryamougolnymi

Полярная система координат

Полярная система координат на плоскости вводится при помощи полярной оси (начало координат называется полюсом) и угла поворота этой оси (положительным считается направление против часовой стрелки) (рис. 1)

Полярная система координат - Справочник студента

Рис. 1

Координаты точки в такой системе выглядят . Если не ограничивать значения и , тогда точки совпадают, то есть, между множеством точек плоскости и множеством пар числе нет взаимно однозначного соответствия. Для того, чтобы такое соответствие существовало, нужно рассмотреть так званые главные значения полярных координат, то есть, , . Дальше рассматриваются только такие значения.

Связь между полярными и прямоугольными (декартовыми) координатами легко понять из рис. 2, а именно,

  • (1)
  • и наоборот, полярные координаты выражаются через прямоугольные
  •  =
  • (2}

Полярная система координат - Справочник студента

  1. Рис. 2 
  2. Чтобы найти во (2), учитываем совпадение знаков и , а также и .
  3. Наведём графики некоторых линий в полярных координатах.

Луч

Пусть луч выходит с полюса под углом к полярной оси. Тогда уравнение луча (рис. 3).

Полярная система координат - Справочник студента

Рис. 3

Круг

Общее уравнение круга с центром в и радиусом имеет вид:

  •  Это уравнение может быть упрощено для отдельных случаев, например,
  • Или по-другому: радиуса ,  центр которого в полюсе имеет уравнение:
  • .

Спираль Архимеда

Имеет такой вид: , где – заданное действительное число.

Полярная система координат - Справочник студента

Рис. 4

Кардиоида

Полярная система координат - Справочник студента

Рис. 5

Розы

  1. Розами называются линии, которые задаются уравнением:
  2. или ,
  3. где и – дополнительные числа.

Так как , , тогда из уравнений получается, что , а это означает, что вся линия расположена в середине круга радиуса .

Функция – периодическая и её график складывается из одинаковых лепестков, каждая из которых симметрична относительно наибольшего значения полярного радиуса . Количество лепестков зависит от числа :

при – целом и непарном роза складывается из лепестков (см. рис. 6);

при – целом и парном роза складывается из лепестков (см. рис. 7):

  • Рис. 6
  • Рис. 7

Задача и её решение

Пример

Задача

Построить в полярных координатах график функции , записав таблицу значений в градусах с шагом в . Перейти в уравнение к декартовым координатам.

Решение

Заполним таблицу значений аргумента и функции .

  1. За данными таблицы строим точки в полярной системе координат и соединяем их плавной линией.
  2. Перейдём в уравнение  от полярных координат к декартовым при помощи формулы перехода (1) и (2)
  3. – это круг.
  4. Чтобы найти центр и радиус круга, выделим главный квадрат:
  5. .

Центр круга в точке , радиус (см. рис. 8)

  • Рис. 8
  • Для построения графика провели лучи под соответствующими углами: . На каждом из лучей откладывается соответствующее значение , которое бралось из таблицы:
  • .

Источник: https://NauchnieStati.ru/spravka/poljarnaja-sistema-koordinat/

Системы координат на плоскости: прямоугольная декартова и полярная, связь между координатами. Двухмерные системы координат

Полярная система координат - Справочник студента
Проект Карла III Ребане и хорошей компании


Раздел недели: Тепловые величины: теплоемкость, теплопроводность, температуры кипения, плавления, пламени…
Полярная система координат - Справочник студента
Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Системы координат. Прямоугольная декартова, полярная, цилиндрическая и сферическая. Двухмерные и трехмерные.  / / Системы координат на плоскости: прямоугольная декартова и полярная, связь между координатами. Двухмерные системы координат.

Название системы и способ задания Связь между полярными и декартовыми координатами на плоскости
Декартова (прямоугольная) система координат (ДСК) O — начало координат; OX — ось абсцисс; OY — ось ординат  Полярная система координат - Справочник студента (x, y) — декартовы координаты точки M; х — абсцисса, y — ордината Полярная система координат - Справочник студента

  • В частности, tgφ = y/x, где x≠0
  • φ = arctg(y/x) + πn,  n≡Z.
  • При определении значения полярного угла φ нужно установить (по знакам x и y) четверть, в которой лежит искомый угол
Полярная система координат (ПСК) O — полюс; Op — полярная ось Полярная система координат - Справочник студента

  1. (r,φ) — полярные координаты точки M;
  2. р — полярный угол, — π < φ ≤ π (или 0 ≤ φ < 2π);
  3. r = |OM| — полярный радиус; 0 ≤ r

Источник: https://dpva.ru/Guide/GuideMathematics/Coordinates/CoordinatesFalt/

1.2.2. Полярная и сферическая системы координат

 Лучшие школы, лагеря, ВУЗы за рубежом

Для определения координат в декартовой системе координат используются координатные оси. Однако в ряде случаев удобно в качестве координат использовать не метрические величины, а величины других размерностей, например, углы.

Полярная система координат - Справочник студента
Модель 1.6. Воздушная атака

Полярная система координат ставит в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел (ρ; φ). Основными понятиями этой системы являются точка отсчета – полюс – и луч, начинающийся в этой точке, – полярная ось.

Координата ρ – расстояние от точки до полюса, координата φ – угол между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс и рассматриваемую точку, который берется со знаком «+», если угол от оси до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком «–» в противоположном случае.

Важно понимать, что число φ в полярной системе определено не однозначно: парам чисел (ρ; φ + 2πn) соответствует одна и та же точка при любых натуральных n. Для полюса ρ = 0, а угол φ не определен.

Полярная система координат - Справочник студента1
Рисунок 1.2.2.1.Полярная система координат

Полярные координаты легко преобразовать в декартовы. Пусть (x; y) – координаты точки в декартовой системе координат, (ρ; φ) – в полярной. Тогда очевидно, что

Формулы обратного перехода:

Полярная система координат - Справочник студента

Полярную систему можно обобщить на трехмерный случай: для этого придется ввести третью координату – угол θ.

Углы φ и θ примерно соответствуют земным долготе и широте (угол θ также отсчитывается от «экватора»), а координата ρ определяет расстояние от исследуемой точки до полюса.

Подобная система координат носит название сферической. Сферическими координатами точки в трехмерном пространстве являются:

  • ρ – расстояние от точки до полюса,
  • φ – угол между полярной осью и проекцией радиус-вектора точки на выбранную экваториальную плоскость (содержащую полярную ось),
  • θ – угол между радиус-вектором точки и его проекцией на экваториальную плоскость.

Система координат, состоящая из полюса, экваториальной плоскости и полярной оси, лежащей в ней, называется сферической.

Полярная система координат - Справочник студента2
Рисунок 1.2.2.2.Сферическая система координат



Источник: https://multiring.ru/course/function/content/chapter1/section2/paragraph2/theory.html

Декартова и полярная системы координат

Декартова система координат

Декартова прямоугольная система координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке.

Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси — координатными осями. Первая из координатных осей называется осью абсцисс, вторая — осью ординат.

  • Начало координат обозначается буквой О, ось абсцисс — символом Ох, ось ординат — символом Оу.
  • Координатами произвольной точки М в заданной системе называют числа

( см. рис. 1), где  и  суть проекции точки М на оси Ох и Оу,  обозначает величину отрезка  оси абсцисс,  — величину отрезка  оси ординат. Число х называется абсциссой точки М, число у — ординатой этой же точки. Символ М(х; у) обозначает, что точка М имеет абсциссой число х, а ординатой число у.

Полярная система координат - Справочник студента

Ось Оу разделяет всю плоскость на две полуплоскости; та из них, которая расположена в положительном направлении оси Ох, называется правой, другая — левой. Точно так же ось Оу разделяет плоскость на две полуплоскости; та из них, которая расположена в положительном направлении оси Оу, называется верхней, другая нижней.

Обе координатные оси вместе разделяют плоскость на четыре четверти, которые нумеруют по следующему правилу: первой координатной четвертью называется та, которая лежит одновременно в правой и в верхней полуплоскости, второй — лежащая в левой и в верхней полуплоскости, третьей — лежащая в левой и в нижней полуплоскости, четвертой — лежащая в правой и в нижней полуплоскости.

Полярна система координат

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча ОА, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки).

Полярными координатами произвольной точки М (относительно заданной системы) называются числа  и  (см. рис.). Угол  при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число  называется первой координатой, или полярным углом точки М ( называются также амплитудой).

Полярная система координат - Справочник студента

Символ М(; ) обозначает, что точка М имеет полярные координаты  и .

Полярный угол  имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину вида , где n — целое положительное число). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам , называется главным.

В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1). Пользоваться одним и тем же масштабом, 

2).

При определении полярных углов считать положительным повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную ось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совместить ее с положительной осью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, то есть ось Ох направлена вправо, а ось Оу — вверх, то и отсчет полярных углов должен быть обычным, то есть положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки).

  1. При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки х к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам
  2. , .
  3. В этом же случае формулы
  4. являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.
  5. При одновременно рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб для обеих систем одинаковыми.

Источник: http://studentmtuci.blogspot.com/2015/01/blog-post.html

Полярная система координат

Комплексные числа

Определение Комплексным числом называется выражение , где и – действительные числа, – мнимая единица. При этом называется действительной частью числа ( ), а — мнимой частью числа ( ).

  • Если , то число будет чисто мнимым, если , то число будет действительным.
  • Определение Числа и называются комплексно-сопряженными.
  • Определение Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части: .
  • Определение Комплексное число равно нулю, если равны нулю его действительная и мнимая части:

Понятие комплексного числа имеет геометрическую интерпретацию. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел.

Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа.

При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная — мнимой осью. Таким образом, на оси располагаются действительные числа, а на оси – чисто мнимые.

Полярная система координат

Полярная система координат на плоскости задается точкой , которая называется полюсом, и лучом, который называется полярной осью.Координатами точки в полярной системе координат являются расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус-вектором этой точки. Этот угол называется полярным углом.

Полярная система координат - Справочник студента

Из геометрических соображений видно, что координаты точки в декартовой и полярной системах координат связываются соотношениями: ; ; ; . Тогда комплексное число можно переписать в виде: Полярная система координат - Справочник студента .

Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.При этом величина называется модулемкомплексного числа, а угол наклона —аргументомкомплексного числа.

Очевидно, что комплексно-сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/19_50057_polyarnaya-sistema-koordinat.html

Сборник задач по алгебре

Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве

§ 14. Полярная система координат.

Познакомимся еще с одним способом определения положения точки на плоскости при помощи чисел — полярной системой координат.

Рассмотрим на плоскости ось l с единичным вектором е и началом отсчета О (рис. 42).

Полярная система координат - Справочник студента

Пусть М произвольная точка плоскости, не совпадающая с точкой О. Тогда OM> — радиус-вектор точки М относительно точки О.

Пусть r — длина вектора OM>, т. е. | OM> | = r, а  φ — угол между осью l и радиус-вектором   OM>. Угол φ =    будем отсчитывать от оси l в положительном направлении, т. е. в направлении, противоположном движению часовой стрелки.

  • Числа r и φ называются полярными координатами точки М:  rполярный радиус,     φполярный угол.
  • Ось l называется полярной осью, а точка О — полюсом.
  • Полярный радиус точки О принимается равным нулю, полярный угол точки О не определяется.

Если точка М имеет полярные координаты r и φ, то пишут М ( r ; φ). Например, точка К (рис. 43) имеет координаты  r = 2, φ = 45°, т. е. K (2; 45°).

Полярная система координат - Справочник студента

  1. Очевидно, что положение точки на плоскости полностью определяется заданием ее полярных координат.
  2. Если r  > 0, а φ — произвольное число, то существует (и притом только одна) точка М такая, что
  3. | OM> | = r   и    = φ.
  4. Если r = 0, то точка совпадает с полюсом.

Отметим, что полярный угол точки, не совпадающей с полюсом, определяется неоднозначно. Например, полярным углом для точки K (см. рис. 43) является не только угол φ = 45°, но и угол φ  = 405° и, вообще, любой угол φ = 45° + 360°k, где  k = 0, ±1, ±2 … .

Полярный угол точки определяется с точностью до слагаемого, кратного 360°. Если r  > 0, то пары чисел (r ; φ) и (r ; φ + 360°k), где k = 0, ±1, ±2 …

, определяют одну и ту же точку плоскости.

Чтобы соответствие между точками плоскости (за исключением полюса) и их полярными координатами было взаимно однозначным на полярный угол φ накладывают ограничение 0

Источник: http://oldskola1.narod.ru/Jakovlev/Jakovlev014.htm

Полярные и биполярные координаты

Положение любой точки (рис. 6.13), например отдельно стоящего дерева А, легко определить, если известен угол между полярной осью и направлением на предмет и расстояние до него. Эти две величины называются полярными координатами. Прямую Оx в полярной системе координат принято называть полярной осью, а точку О – полюсом.

В качестве полярной оси могут приниматься направления вертикальных линий координатной сетки, а также направление истинного или магнитного меридиана. В зависимости от этого различают следующие виды углов положения: дирекционный угол, истинный азимут и магнитный азимут.

Система полярных координат широко используется для определения и нанесения на карту целей, при составлении различных графических документов, а также целеуказании на местности.

При работе с картой за полярную ось удобно принимать направление вертикальных линий координатной сетки.

Полярные координаты применяются для целеуказания по карте. Эта система находит широкое использование при организации взаимодействия формирований различных органов для проведения спасательной операции.

Биполярными координатами называются величины, определяющие положение точки на плоскости по двум углам или двум расстояниям до искомой точки, измеренным от концов так называемого базиса.

Например, если известно положение двух точек А и Б и величина базиса АБ (рис. 6.14), любая третья точка В может быть определена по углам α1 и α2 между направлениями на точку В и концами базиса АБ. Допустим, угол α1 равен 45°, а угол α2 равен 338°.

Соединив прямой линией точки А и Б и отложив от этой прямой указанные углы, проводим от концов базиса линии, пересечение которых и даст положение точки В. Положение точки В можно также определить по двум расстояниям – между концами базиса и точкой.

Биполярная система координат чаще всего применяется при топографических съемках как способ засечки,

Рис. 6.14. Биполярные координаты

при определении местоположения целей, ориентиров, элементов боевого порядка, когда положение искомых точек требуется получить на карте (планшете) более точно.

Дирекционный угол и сближение меридианов. Угол, измеренный по ходу часовой стрелки от северного направления вертикальной линии координатной сетки до заданного направления (а), называется дирекционньш (Ду). Дирекционный угол так же, как и азимут, может иметь значение от 0° до 360°.

Для измерения дирекционного угла на карте надо наложить на нее транспортир так, чтобы его диаметральная линия совместилась с вертикальной линией координатной сетки, а центр транспортира совпал с точкой пересечения этой линии с линией заданного направления. Отсчет по шкале транспортира даст величину искомого дирекционного угла.

Следует заметить, что вертикальные линии координатной сетки образуют некоторый угол с меридианами, т.е. с боковыми сторонами рамки карты. Причина этого заключается в том, что все меридианы сходятся у полюсов, тогда как вертикальные линии координатной сетки в пределах каждой зоны остаются параллельными осевому меридиану зоны.

Угол, образованный истинным меридианом данной точки и вертикальной линией координатной сетки, называется сближением меридианов (Сб., или γ). Сближение меридианов бывает восточным, когда координатная сетка имеет наклон вправо относительно рамки карты, и западным, когда координатная сетка имеет наклон влево.

Эти два положения координатной сетки сокращенно обозначаются: знаком «плюс» (+) – восточное и знаком «минус» (-) – западное сближение меридианов. Сведения о величине сближения меридианов даются под южной стороной рамки карты. Если угол сближения меридианов достигает 1° и больше, его необходимо учитывать при переходе от дирекционного угла к магнитному азимуту.

Величина сближения меридианов бывает не более 3°.

Переход от дирекционного угла к магнитному азимуту осуществляется по формуле

где – магнитный азимут; – дирекционный угол; ΔΜ – магнитное склонение; – сближение меридианов.

Разность сближения меридианов и склонения магнитной стрелки (выражение в скобках) называется поправкой направления. Таким образом, магнитный азимут равен алгебраической сумме дирекционного угла и поправки направления.

Вычисления при переходе от дирекционного угла к магнитному азимуту показаны на следующих примерах (рис. 6.15).

Рис. 6.15. Азимуты, дирекционные углы, склонение магнитной стрелки и сближение меридианов

Пример 6.8. Дирекциоииый угол равен 58°, магнитное склонение – +9° (восточное), сближение меридианов 2° (западное). Магнитный азимут определяется по формуле

Пример 6.9. Дирекционный угол равен 45°, магнитное склонение – -8°, сближение меридианов 3°. Магнитный азимут определяется по формуле

Пример 6.10. Дирекционный угол равен 353°; магнитное склонение – -7°; сближение меридианов – +3°. Магнитный азимут определяется по формуле

Для предупреждения ошибок при вычислениях необходимо отчетливо представлять себе все углы положения.

Чтобы избежать вычислений при переходе от дирекционных углов к магнитным азимутам, рекомендуется при работе с картой провести на схеме магнитных склонений, помещенной под южной рамкой, направление на произвольно взятую точку и отметить Ду и Ам, соответствующие этому направлению. Это позволит выявить поправку направления и наглядно покажет зависимость между дирекционными углами и магнитными азимутами для данного листа карты.

Источник: https://studme.org/71731/bzhd/polyarnye_bipolyarnye_koordinaty

Ссылка на основную публикацию