Одночлены: понятие, действия с одночленами — справочник студента

Предварительные навыки

• Буквенные выражения
• Степень с натуральным показателем

Одночлен — это произведение чисел, переменных и степеней. Например, выражения 5a, 3ab2 и −62aa2b3 являются одночленами.

Приведём ещё примеры одночленов:

Одночленом также является любое отдельное число, любая переменная или любая степень. Например, число 9 является одночленом, переменная x является одночленом, степень 52 является одночленом.

Приведение одночлена к стандартному виду

Рассмотрим следующий одночлен:

Этот одночлен выглядит не очень аккуратно. Чтобы сделать его проще, нужно привести его к так называемому стандартному виду.

Приведение одночлена к стандартному виду заключается в перемножении однотипных сомножителей, входящих в этот одночлен. То есть числа нужно перемножать с числами, переменные с переменными, степени со степенями. В результате этих действий получается упрощённый одночлен, который тождественно равен предыдущему.

Ещё один нюанс заключается в том, что в одночлене степени можно перемножать только в том случае, если они имеют одинаковые основания.

15

Далее в одночлене 3a25a3b2 содержатся степени a2 и a3, которые имеют одинаковое основание a. Из тождественных преобразований со степенями известно, что при перемножении степеней с одинаковыми основаниями, основание оставляют без изменений, а показатели складывают. Тогда перемножение степеней a2 и a3 даст в результате a5. Записываем a5 рядом с числом 15

15a5

Далее в одночлене 3a25a3b2 содержится степень b2. Её не с чем перемножать, поэтому она остаётся без изменений. Записываем её как есть к новому одночлену:

• 15a5b2
• Мы привели одночлен 3a25a3b2 к стандартному виду. В результате получили одночлен 15a5b2
• 3a25a3b2 = 15a5b2

Числовой сомножитель 15 называют коэффициентом одночлена. Приводя одночлен к стандартному виду, коэффициент нужно записывать в первую очередь, и только потом переменные и степени.

1. Если коэффициент в одночлене отсутствует, то говорят, что коэффициент равен единице. Так, коэффициентом одночлена abc является 1, поскольку abc это произведение единицы и abc
2. abc = 1 × abc
3. А коэффициентом одночлена −abc будет −1, поскольку −abc это произведение минус единицы и abc
4. −abc = −1 × abc
5. Степенью одночлена называют сумму показателей всех переменных входящих в этот одночлен.

Например, степенью одночлена 15a5b2 является 7. Это потому что переменная a имеет показатель 5, а переменная b имеет показатель 2. Отсюда 5 + 2 = 7. Показатель числового сомножителя 15 считать не нужно, поскольку нас интересуют только показатели переменных.

Ещё пример. Степенью одночлена 7ab2 является 3. Здесь переменная a имеет показатель 1, а переменная b имеет показатель 2. Отсюда 1 + 2 = 3.

Если одночлен не содержит переменных или степеней, а состоит из числа, то говорят, что степень такого одночлена равна нулю. Например, степень одночлена 11 равна нулю.

Не следует путать степень одночлена и степень числа. Степень числа это произведение из нескольких одинаковых множителей, тогда как степень одночлена это сумма показателей всех переменных входящих в этот одночлен. В одночлене 11 нет переменных, поэтому его степень равна нулю.

• Пример 1. Привести одночлен 5xx3ya2 к стандартному виду
• Перемножим числа 5 и 3, получим 15. Это будет коэффициент одночлена:
• 15

Далее в одночлене 5xx3ya2 содержатся переменные x и x. Перемножим их, получим x2.

1. 15×2
2. Далее в одночлене 5xx3ya2 содержится переменная y, которую не с чем перемножать. Записываем её без изменений:
3. 15x2y
4. Далее в одночлене 5xx3ya2 содержится степень a2, которую тоже не с чем перемножать. Её также оставляем без изменений:
5. 15x2ya2

Получили одночлен 15x2ya2, который приведён к стандартному виду. Буквенные сомножители принято записывать в алфавитном порядке. Тогда одночлен 15x2ya2 примет вид 15a2x2y.

• Поэтому, 5xx3ya2 = 15a2x2y.
• Пример 2. Привести одночлен 2m3n × 0,4mn к стандартному виду
• Перемножим числа, переменные и степени по отдельности.
• 2m3n × 0,4mn = 2 × 0,4 × m3 × m × n × n = 0,8m4n2

Числа, переменные и степени при перемножении разрешается заключать в скобки. Делается это для удобства. Так, в данном примере перемножение чисел 2 и 0,4 можно заключить в скобки. Также в скобки можно заключить перемножение m3 × m и n × n

1. 2m3n × 0,4mn = (2 × 0,4) × (m3 × m) × (n × n) = 0,8m4n2
2. Но желательно выполнять все элементарные действия в уме. Так, решение можно записать значительно короче:
3. 2m3n × 0,4mn = 0,8m4n2
4. Но чтобы в уме приводить одночлен к стандартному виду, тема умножения целых чисел и умножения степеней должна быть изучена на хорошем уровне.

Сложение и вычитание одночленов

Одночлены можно складывать и вычитать. Чтобы это было возможно, они должны иметь одинаковую буквенную часть. Коэффициенты могут быть любыми. Сложение и вычитание одночленов это по сути приведение подобных слагаемых, которое мы рассматривали при изучении буквенных выражений.

• Чтобы сложить (вычесть) одночлены, нужно сложить (вычесть) их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.
• Пример 1. Сложить одночлены 6a2b и 2a2b
• 6a2b + 2a2b
• Сложим коэффициенты 6 и 2, а буквенную часть 6a2b оставим без изменений
• 6a2b + 2a2b = 8a2b
• Пример 2. Вычесть из одночлена 5a2b3 одночлен 2a2b3
• 5a2b3 − 2a2b3
• Можно заменить вычитание сложением, и сложить коэффициенты одночленов, оставив буквенную часть без изменения:
• 5a2b3 − 2a2b3 = 5a2b3 + (−2a2b3) = 3a2b3
• Либо сразу из коэффициента первого одночлена вычесть коэффициент второго одночлена, а буквенную часть оставить без изменения:
• 5a2b3 − 2a2b3 = 3a2b3

Умножение одночленов

Одночлены можно перемножать. Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их числовые и буквенные части.

1. Пример 1. Перемножить одночлены 5x и 8y
2. Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. Для удобства перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:
3. 5x × 8y = (5 × 8) × (x × y) = 40xy
4. Пример 2. Перемножить одночлены 5x2y3 и 7x3y2c

Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. В процессе умножения будем применять правило перемножения степеней с одинаковыми основаниями. Перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:

• 5x2y3 × 7x3y2c = (5 × 7) × (x2x3) × (y3y2) × c = 35x5y5c
• Пример 3. Перемножить одночлены −5a2bc и 2a2b4
• −5a2bc × 2a2b4 = (−5 × 2) × (a2a2) × (bb4) × c = −10a4b5c
• Пример 4. Перемножить одночлены x2y5 и (−6xy2)
• x2y5 × (−6xy2) = −6 × (x2x) × (y5y2) = −6x3y7
• Пример 5. Найти значение выражения 

Деление одночленов

Одночлен можно разделить на другой одночлен. Для этого нужно коэффициент первого одночлена разделить на коэффициент второго одночлена, а буквенную часть первого одночлена разделить на буквенную часть второго одночлена. При этом используется правило деления степеней.

Например, разделим одночлен 8a2b2 на одночлен 4ab. Запишем это деление в виде дроби:

Разделим коэффициент делимого на коэффициент делителя, получим 8 : 4 = 2. В исходном выражении ставим знак равенства и записываем этот коэффициент частного:

Теперь делим буквенную часть. В делимом содержится a2, в делителе — просто a. Делим a2 на a, получаем a, поскольку a2 : a = a2 − 1 = a. Записываем в частном a после 2

Далее в делимом содержится b2, в делителе — просто b. Делим b2 на b, получаем b, поскольку b2 : b = b2 − 1 = b. Записываем в частном b после a

Значит, при делении одночлена 8a2b2 на одночлен 4ab получается одночлен 2ab.

Сразу можно выполнить проверку. При умножении частного на делитель должно получаться делимое. В нашем случае, если 2ab умножить на 4ab, должно получиться 8a2b2

2ab × 4ab = (2 × 4) × (aa) × (bb) = 8a2b2

Не всегда можно первый одночлен разделить на второй одночлен. Например, если в делителе окажется переменная, которой нет в делимом, то говорят, что деление невозможно.

К примеру, одночлен 6xy2 нельзя разделить на одночлен 3xyz. В делителе 3xyz содержится переменная z, которая не содержится в делимом 6xy2.

Проще говоря, мы не сможем найти частное, которое при умножении на делитель 3xyz дало бы делимое 6xy2, поскольку такое умножение обязательно будет содержать переменную z, которой нет в 6xy2.

Но если в делимом содержится переменная, которая не содержится в делителе, то деление будет возможным. В этом случае переменная, которая отсутствовала в делителе, будет перенесена в частное без изменений.

Например, при делении одночлена 4x2y2z на 2xy, получается 2xyz. Сначала разделили 4 на 2 получили 2, затем x2 разделили на x, получили x, затем y2 разделили на y, получили y. Затем приступили к делению переменной z на такую же переменную в делителе, но обнаружили, что такой переменной в делителе нет. Поэтому перенесли переменную z в частное без изменений:

Для проверки умножим частное 2xyz на делитель 2xy. В результате должен получиться одночлен 4x2y2z

2xyz × 2xy = (2 × 2) × (xx) × (yy) × z = 4x2y2z

Но в некоторых дробях, если невозможно выполнить деление, бывает возможным выполнить сокращение. Делается это с целью упростить выражение.

Так, в предыдущем примере нельзя было разделить одночлен 6xy2 на одночлен 3xyz. Но можно сократить эту дробь на одночлен 3xy. Напомним, что сокращение дроби это деление числителя и знаменателя на одно и то же число (в нашем случае на одночлен 3xy). В результате сокращения дробь становится проще, но её значение не меняется:

В числителе и знаменателе мы пришли к делению одночленов, которое можно выполнить:

Процесс деления обычно выполняется в уме, записывая над числителем и знаменателем получившийся результат:

Пример 2. Разделить одночлен 12a2b3c3 на одночлен 4a2bc

1. Пример 3. Разделить одночлен x2y3z на одночлен xy2
2. Дополнительно упомянем, что деление одночлена на одночлен также невозможно, если одна из степеней, входящая в делимое, имеет показатель меньший, чем показатель той же степени из делителя.

Например, разделить одночлен 2x на одночлен x2 нельзя, поскольку степень x, входящая в делимое, имеет показатель 1, тогда как степень x2, входящая в делитель, имеет показатель 2. Мы не сможем найти частное, которое при перемножении с делителем x2 даст в результате делимое 2x.

• Конечно, мы можем выполнить деление x на x2, воспользовавшись свойством степени с целым показателем:
• и такое частное при перемножении с делителем x2 будет давать в результате делимое 2x

Но нас пока интересуют только те частные, которые являются так называемыми целыми выражениями. Целые выражения это те выражения, которые не являются дробями, в знаменателе которых содержится буквенное выражение. А частное целым выражением не является. Это дробное выражение, в знаменателе которого содержится буквенное выражение.

Возведение одночлена в степень

Одночлен можно возвести в степень. Для этого используют правило возведения степени в степень.

Пример 1. Возвести одночлен xy во вторую степень.

Чтобы возвести одночлен xy во вторую степень, нужно возвести во вторую степень каждый сомножитель этого одночлена

(xy)2 = x2y2

Пример 2. Возвести одночлен −5a3b во вторую степень.

(−5a3b)2 = (−5)2 × (a3)2 × b2 = 25a6b2

Пример 3. Возвести одночлен −a2bc3 в пятую степень.

В данном примере коэффициентом одночлена является −1. Этот коэффициент тоже нужно возвести в пятую степень:

(−a2bc3)5 = (−1)5 × (a2)5 × b5 × (c3)5 = −1a10b5c15 = −a10b5c15

Когда коэффициент равен −1, то саму единицу не записывают. Записывают только минус и потом остальные сомножители одночлена. В приведенном примере сначала получился одночлен −1a10b5c15, затем он был заменён на тождественно равный ему одночлен −a10b5c15.

Пример 4. Представить одночлен 4×2 в виде одночлена, возведённого в квадрат.

В данном примере нужно найти произведение, которое во второй степени будет равно выражению 4×2. Очевидно, что это произведение 2x. Если это произведение возвести во вторую степень (в квадрат), то получится 4×2

(2x)2 = 22×2 = 4×2

Значит, 4×2 = (2x)2. Выражение (2x)2 это и есть одночлен, возведённый в квадрат.

Пример 5. Представить одночлен 121a6 в виде одночлена, возведённого в квадрат.

Попробуем найти произведение, которое во второй степени будет равно выражению 121a6.

Прежде всего заметим, что число 121 получается, если число 11 возвести в квадрат. То есть первый сомножитель будущего произведения мы нашли. А степень a6 получается в том случае, если возвести в квадрат степень a3. Значит вторым сомножителем будущего произведения будет a3.

(11a3)2 = 112 × (a3)2 = 121a6

Значит, 121a6 = (11a3)2. Выражение (11a3)2 это и есть одночлен, возведённый в квадрат.

Разложение одночлена на множители

1. Поскольку одночлен является произведением чисел, переменных и степеней, то он может быть разложен на множители, из которых состоит.
2. Пример 1.

   Разложить одночлен 3a3b2 на множители

3. Данный одночлен можно разложить на множители 3, a, a, a, b, b
4. 3a3b2 = 3aaabb
5. Либо степень b2 можно не раскладывать на множители b и b
6. 3a3b2 = 3aaab2
7. Либо степень b2 разложить на множители b и b, а степень a3 оставить без изменений
8. 3a3b2 = 3a3bb

В каком виде представлять одночлен зависит от решаемой задачи. Главное, чтобы разложение было тождественно равно исходному одночлену.

Пример 2. Разложить одночлен 10a2b3c4 на множители.

Разложим коэффициент 10 на множители 2 и 5, степень a2 разложим на множители aa, степень b3 — на множители bbb, степень c4 — на множители cccc

10a2b3c4  = 2 × 5 × aabbbcccc

Задания для самостоятельного решения

Источник: http://spacemath.xyz/odnochleny/

Одночлен — объяснение понятия и примеры преобразования выражений

Время на чтение: 13 минут

Важность понятия

Пик развития математики пришёлся на XVI век, когда учёные разных стран начали обобщать известные сведения и формулировать различные теоремы и доказательства.

Но перед этим появились такие понятия, как одночлен и многочлен. Запись уравнения или любой другой формулы, в которой не использовалось сложение или вычитание, получило название одночлен.

А суммирование нескольких таких выражений или их разность назвали многочленом.

Карл Фридрих Гаусс, считающийся королём математиков, утверждал, что коэффициенты многочлена могут быть не только вещественными, но и комплексными. Свои доказательства этому он привёл в основной теореме алгебры. Из-за этого роль неизвестных в выражениях начала меняться. Буквенные обозначения стали не только символами, подменяющими числовые значения, но и начали заменять функции.

Таким образом, было принято, что любое математическое выражение состоит из совокупности одночленов. Ими могут быть:

• единственные числа;
• буквы;
• буквенно-числовые произведения.

Изучение уравнений и равенств, состоящих из нескольких одночленов, стало главным объектом в развитии классической алгебры. С их преобразованием связаны такие разделы, как теория групп, анализ функций, изучение комплексных чисел, алгебраическая геометрия.

Над одночленами можно выполнять различные действия. Их можно возводить в корень с разным основанием, перемножать или делить между собой, возводить в степень. Это позволяет выполнять упрощения и приведения выражений к стандартной форме, что впоследствии облегчает вычисление многочленов.

Впервые с понятием «одночлен» знакомят учеников в среднеобразовательной школе в седьмом классе на уроке алгебры. Изучение видов одночленов и правил действий над ними является стартовой площадкой для понимания сущности многочлена, то есть фактически основ алгебры.

С помощью одночлена можно описать простые события, при которых происходит умножение. Это могут быть как количественно известные параметры, так и переменные или неизвестные.

Для того чтобы понять важность введения в математике термина «одночлен», лучше всего провести аналогию с фруктами. Яблоко и груши — это отдельный вид деревьев, но их всех объединяет одинаковое свойство, поэтому их называют «фруктами».

Так и с формулами: они хотя и разные, но обладают общими свойствами. Поэтому и придумали название — одночлен.

Общие сведения

Алгебраическое выражение, в состав которого входит переменная и постоянная часть, объединённая произведением, принято называть одночленом. Фактически эта запись представляет умножение чисел и степеней неизвестных с натуральным показателем. Каждое неопределённое или известное число занимает одну позицию. Количество таких позиций неограниченно.

Если перед буквенным значением стоит цифра, то её называют коэффициентом одночлена. Он может быть как положительным, так и отрицательным. Когда коэффициент не указан, в зависимости от знака он принимается равным единице или минус единице. При этом понятие коэффициент зачастую применительно и к числу. Например, считают, что у числа девять он равен девяти.

Наиболее типичные записи рассматриваемого вида выражений имеют следующий вид:

• 23 — это обыкновенный одночлен, в составе которого нет переменных;
• 12 * f — выражение, состоящее из буквенного и цифрового числа;
• -5 * d2 — запись, содержащая степень;
• 12 * 3 5/6 * x2 * y4 — пример сложного порядка;
• x * y — формула, в которой все коэффициенты равны единице.

Это всё стандартные виды одночлена, то есть выражения записаны в таком состоянии, что их упростить уже невозможно. Например, формула a3 * 1*3 * b * 3 * а * b3 хоть и является одночленом, но не считается записью стандартного вида. Всё дело в том, что её можно упростить.

Кроме этого, её нужно переписать таким образом, чтобы числовой множитель стоял на первом месте, затем неизвестные и основания со степенными показателями. После преобразования получится выражение: 9 * a4 * b4. Этот вид записи уже является стандартным.

В нём одночленами считаются числа, переменные и степени.

В алгебре часто используется понятие «степень одночлена». Под ним понимают сумму показателей переменных значений, входящих в состав выражения. Примечательно что нуль, входящий в состав одночлена, степени не имеет, при этом если степень не указана, то она принимается нулевой. Когда выражения похожи друг на друга, они считаются подробными. Например, 5 * d2* k10 и 1/8 * d2 * k10 — подобны.

Действия над выражениями

После умножения одночленов получается также одночлен, указываемый в стандартной записи. Для того чтобы выполнить операцию произведения, используют свойства умножения, а также правила действия со степенями. Умножить одно выражение на другое, значит, определить сумму слагаемых множителя, каждое из которых равно умножаемому.

Существует три закона умножения:

1. Сочетательный. Если нужно умножить два одночлена на третий, то можно сначала посчитать произведение первого на третий, а после результат умножить на второй член.
2. Переместительный. От перестановки множителей итог не изменится.
3. Распределительный. Для того чтобы умножить одночлен на сумму, нужно его отдельно перемножить с каждым суммирующимся членом, а после сложить результат. То есть одночлен превратится в многочлен. При этом этот закон справедлив и для разницы.

При умножении сложных выражений типовой операцией является упрощение записи. Но преобразовать возможно не все выражения. Например, пусть необходимо выполнить умножение одночленов: 2 * c * p3 * s5 (-7 * c3 * p2) = -14 * с2 * p5 * s5.

Деление происходит аналогичным образом.

При этом действует правило, согласно которому частное одночленов можно упростить, но лишь в том случае, если делимое и делитель содержат одинаковые буквенные или числовые коэффициенты.

В этом случае из показателя делителя отнимается значение степени делимого, коэффициент которого делят на количественный показатель делителя. Например, 12 * p3 * d4 * r6: 4 * p * d2 * r3 = 3 * p2 * d2 * r3.

Например, (3*с)3 = (3*с) * (3*с) *(3*с). Используя правило умножения, выражение можно представить как (3 * 3 * 3) * (с * с * с).

Последнюю запись же можно упростить до вида: (3 * 3 * 3) * (с * с * с) = 33 * c3 = 9 * c * p3.

Таким образом, для того чтобы возвести выражение в степень, необходимо каждый множитель отдельно возвести в степень, а затем результаты перемножить. Это правило действует и для любых степеней, показатель которых натуральный. Закон применим и для дробного отношения, только после возведения числитель делят на знаменатель.

Принцип преобразования

Пусть имеется сложный одночлен, состоящий из ненулевых степеней, квадратов, дробных чисел и букв следующего вида: 5 * 7 * a * m * c7 * 3 *2/9 * 2 (1/7) * am * bn * c * x5 * 120.

Тут следует обратить внимание, что дроби в выражении могут быть любого типа, кроме случая, когда в знаменателе будет стоять буква. Такая запись неудобна для восприятия и дальнейшего использования из-за хаотично расставленных подобных членов.

Поэтому нужно преобразовать её к стандартному виду.

В основе способа упрощения одночлена лежат следующие принципы:

1. Если в записи встречается число, то оно обязательно пишется впереди и должно быть единственным в выражении.
2. Каждая буква, встречающаяся в формуле, должна повторяться только один раз, записанная в своей степени.
3. Буквы в одночлене записывают в алфавитном порядке.

При этом математиками было решено не писать знак умножения между числовым и буквенным множителем, а также между буквенными множителями, перемножающимися между собой.

Решения одночленов

• Примеры для самостоятельной работы по преобразованию многочленов помогут понять, как правильно выполняются простые арифметические действия, что важно для решения последующих задач, связанных с многочленами.
• Можно выделить следующие виды типовых заданий:

1. Пусть дан многочлен: 14 a7b13mt. Нужно определить степень одночлена, то есть сумму степеней входящих в выражение. Для рассматриваемого примера она будет равна: 7 + 13 + 1 + 6 = 20.
2. Необходимо записать результат перемножения двух выражений: 12a7c5d * 3b9c6d7k. Решение задания будет следующим: 12a7c5d * 3b9c6d7k = 36a7b9c11d8k.

3. Нужно найти ответ, получающийся после деления 16 a7b5k14m на 8 a5bk3. Итак, при делении получится следующее: 16 a7b5k14m / 8 a5bk3 = 2a2b4k11m.

4. Сложение и вычитание одночленов допускается только в том случае, если буквенная часть у них одинаковая, включая степени. Например, 2 a7b5ck + 7a7b5ck = 9 a7b5ck или 9 p5 — 3p5 = 6p5. То есть действие выполняется только над коэффициентами.

5. Дан многочлен вида: 2a7b5kz3. Нужно возвести его в пятую степень. Согласно правилу, каждый член выражения возводится в степень отдельно. При этом следует помнить правило, что при возведении степени в степень показатели перемножаются. Ответ будет выглядеть следующим образом: (2a7b5kz3)5 = 32a35 b25k5z15.

При выполнении различных действий с одночленом нужно знать всего лишь несколько правил и быть предельно аккуратным при вычислении. Особенно это важно для длинных выражений, состоящих из различного вида членов.

Упрощение на онлайн-калькуляторе

Привести одночлены к удобному виду, значит, упростить их до стандартной записи. Однако зачастую приходится иметь дело с выражениями большого порядка. При этом они могут включать в себя одновременно различные арифметические операции. Выполнять тождественные преобразования самостоятельно бывает довольно трудно, причём возникает вероятность допущения ошибки.

Поэтому использовать специализированные сайты, которые умеют быстро и безошибочно упрощать одночлены любого вида, не зазорно.

Порталы предлагают свои услуги бесплатно и для решения примеров не требуют даже регистрации.

Что интересно, кроме быстрого расчёта, пользователь, зашедший на такой ресурс, сможет увидеть всю цепочку упрощения, а при желании на страницах онлайн-калькулятора ознакомиться с теорией и основными определениями.

Из всего множества сайтов можно выделить следующие три:

1. Kontrolnaya-rabota. Сервис хоть и ориентирован на учащихся старших классов, но по своим возможностям довольно функционален. Так, с его помощью можно преобразовать даже комплексные выражения. Всё, что требуется от пользователя, это правильно ввести выражение и нажать кнопку «Упростить».
2. Umath. Программа даёт возможность упростить любое алгебраическое выражение. На сайте можно найти всю необходимую теорию. Ограничений в размере формулы нет.
3. Mathforyou. Используя этот онлайн-калькулятор, пользователь сможет выполнить различные действия над выражением, содержащим числовое и символьное обозначение. Для правильного вычисления нужно предварительно ознакомиться с правилами ввода математической формулы, указанными тут же на сайте.

Рекомендованные сайты имеют российский домен, а программы написаны русскими программистами. Поэтому проблем с пониманием, как пользоваться приложениями, возникнуть не должно. Интерфейс онлайн-калькуляторов не содержит нагромождения ненужной информации и интуитивно понятен. Ответ вычисляется буквально за несколько секунд, а используемые алгоритмы исключают возникновение ошибки.

Источник: https://nauka.club/matematika/algebra/odnochlen.html

Одночлены: понятие, действия с одночленами

Определение 1

Одночленом могут называться числа, переменные, их степени и произведения: $3xy^3$.

Стандартный вид одночлена — запись одночлена в виде произведения числа и натуральных степеней переменных, входящих в одночлен.

Коэффициент одночлена — число, записанное слева в стандартной записи одночлена: $-xzy^2$. Отметим, что здесь хоть и не написано числа, но подразумевается, что числовой коэффициент равен $-1$.

Чаще всего в стандартной записи одночлена переменные располагают в алфавитном порядке.

Определение 2

Степень одночлена — сумма всех степеней переменных, входящих в одночлен.

Заметим, что если в одночлен не входят переменные, (то есть одночлен — число, отличное от нуля), то говорят, что степень одночлена равна нулю.

Если одночлен представляет собой само число 0, то тогда говорят, что степень одночлена не определена.

Действие над одночленами и приведение одночлена к стандартному виду

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Одночлены можно складывать друг с другом и вычитать друг из друга. Поясним на примерах.

Пример 1

• Сложим одночлены ${3ab}^5, {6b}^6,{13ab}^5$
• Запишем вначале сумму:
• ${(3ab}^5)+left( {6b}^6
  ight)+({13ab}^5) $
• Раскроем скобки:
• ${3ab}^5+ {6b}^6+{13ab}^5$
• Приведем подобные слагаемые, в результате получим:
• ${16ab}^5+ {6b}^6$

Пример 2

1. Вычтем из одночлена ${6b}^6$ одночлен ${-12b}^6$
2. Запишем вначале разность:
3. $left( {6b}^6
   ight)-({-12b}^6) $
4. Раскроем скобки:
5. ${6b}^6+{12b}^6$
6. Приведем подобные слагаемые, в результате получим:
7. ${18b}^6$

Как мы видим, результатом сложения и вычитания может быть как одночлен, так и многочлен.

Умножение. Результатом перемножения одночленов всегда получается одночлен. Одночлены перемножаются по следующей схеме:

• составляется произведение.
• раскрываются скобки.
• группируются числа с числами, одинаковые переменные друг с другом.
• перемножаются числа и складываются степени соответствующих одинаковых переменных.

Пример 3

• Умножим $3xzy^2$ и $5xz^3$
• Составим произведение:
• $left(3xzy^2
  ight)cdot (5xz^3)$
• Раскроем скобки и сгруппируем числа и переменные:
• $3cdot 5xxz^3zy^2$
• Перемножим, получим:
• $15x^2y^2z^4$

Еще одна операция — возведение в степень. Так как по определению, чтобы возвести число в натуральную степень, необходимо умножить это число столько раз само на себя, какой показатель степени и множитель имеется. По такому же принципу перемножаются и одночлены.

Пример 4

Возвести одночлен ${3ab}^5$ в третью степень.

${left({3ab}^5
ight)}^3={3ab}^5cdot {3ab}^5cdot {3ab}^5=3cdot 3cdot {3a{a{ab}^5b}^5b}^5=27{a^3b}^{15}$

Последняя операция — деление одночлена на одночлен. Результатом такого деления часто выступает рациональная дробь и только иногда получается одночлен. Для выполнения деления одночленов записывается дробь и, при возможности, проводится сокращение.

Пример 5

1. Разделим одночлен $27{a^3b}^{15}$ на одночлен $9{ab}^{13}$
2. Запишем дробь:
3. $frac{27{a^3b}^{15}}{9{ab}^{13}}$
4. Сократим, получим:
5. $frac{27{a^3b}^{15}}{9{ab}^{13}}=3a^2b^2$

Пример задачи на действия над одночленами

Пример 6

Задача.

Даны два одночлена $15x^2y^2z^4$ и $3xy^2z^2$.

1. Найти степени обоих одночленов
2. Сложите эти одночлены.
3. Вычтите из первого одночлена второй.
4. Возведите второй одночлен в квадрат.
5. Перемножить одночлены.
6. Разделите первый одночлен на второй.

• Решение:
• Степень первого одночлена: $2+2+4=8$
• Степень второго одночлена: $1+2+2=5$
• $left(15x^2y^2z^4
  ight)+left(3xy^2z^2
  ight)=15x^2y^2z^4+3xy^2z^2$
• $left(15x^2y^2z^4
  ight)-left(3xy^2z^2
  ight)=15x^2y^2z^4-3xy^2z^2$
• ${left(3xy^2z^2
  ight)}^2=9x^2y^4z^4$
• $left(15x^2y^2z^4
  ight)left(3xy^2z^2
  ight)=45x^3y^4z^6$
• $frac{15x^2y^2z^4}{3xy^2z^2}=5xz^2$

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/stepen_s_naturalnym_pokazatelem/odnochleny_ponyatie_deystviya_s_odnochlenami/

Одночлены

Часто при решении задач мы используем буквенные множители и числа вместе.

Выражение 5a2b — это произведение трёх множителей: 5a2b = 5 · a2 · b. Подобные произведения буквенных и числовых множителей называют одночленами.

Запомните!

Произведение числовых и буквенных множителей называют одночленом. Примеры одночленов: ac,   2xy2,   −7xy,   0,5a3b.

Из чего состоит одночлен

Числовой множитель, который есть в одночлене, принято называть коэффициентом одночлена. Буквенные множители иногда называют переменными.

Если в одночлене явно нет числового коэффициента, значит числовой коэффициент одночлена равен 1.

Например, для одночлена ab — числовой коэффициент равен 1. Это связано с тем, что при умножении на 1 одночлен остаётся прежним, поэтому коэфффицент 1 не записывают перед одночленом. 1 · a · b = ab

Также не записывают явно коэффициент «−1». Вместо этого ставят знак «−» перед одночленом. При такой записи все понимают, что коэффициент одночлена равен «−1». Например, у одночлена «−xyz» коэффициент равен «−1».

Примеры одночленов и их коэффициентов

Одночлен Коэффициент одночлена

−8a2	−8
xy2z	1
ab2
−tz2	−1
144×2	144

Запомните!

Одночлен, у которого единственный числовой множитель стоит на первом месте и буквенные множители в различных степенях не повторяются, называется одночленом стандартного вида. Буквенные множители следует располагать в алфавитном порядке.

Примеры одночленов стандартного вида: 2at,   16y3,   −17pxy,   3d4

Примеры одночленов нестандартного вида: 2acа,   4xy2 · 3,   x4y · (−7).

Не забывайте, что одночлен — это произведение числовых и буквенных множителей, поэтому внутри одночлена действуют все законы умножения, в том числе переместительный закон умножения.

Чтобы привести одночлен к стандартному виду нужно сделать следующее.

Важно!

1. Перемножить все числовые коэффициенты и поставить результат их умножения слева самым первым множителем.
2. По свойствам степени перемножить буквы и поставить их в алфавитном порядке.

Пример. Привести к стандартному виду одночлен 3ada · 8.

1. Перемножаем все числовые коэффициенты 3 · a · d · a · 8 = 3 · 8 · a · d · a = 24 · a · d · a
2. Теперь, используя свойства степени, перемножаем все буквенные множители. 24 · a · d · a = 24 · a · a · d = 24a2d

Что такое степень одночлена

Запомните!

Степень одночлена — это сумма всех степеней буквенных множителей.

Например, степень одночлена 9a2b равна 3, т.к. у a2 (вторая степень), у b (первая степень): 2 + 1 = 3.

Примеры степеней одночленов

Одночлен Степень одночлена

−2a2b2	4
xy2	3
−xyz	3

Число «0» (ноль) называется нулевым одночленом. Степень нулевого одночлена не определена.

Но не путайте с одночленом нулевой степени! Одночлен нулевой степени — это любое число (например, 123; 0,5; −324).

Любое число можно записать как произведение числа на буквенный множитель в нулевой степени. Т.е. 123 = 123 · a0 = 123 · 1 = 123 (одночлен нулевой степени).

Одночлен нулевой степени получил свое название, потому что любой буквенный множитель можно представить как 1 через нулевую степень.

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages/monomials/monomial_standard_form.php

Определение одночлена: сопутствующие понятия, примеры

Одночлены являются одним из основных видов выражений, изучаемых в рамках школьного курса алгебры. В этом материале мы расскажем, что это за выражения, определим их стандартный вид и покажем примеры, а также разберемся с сопутствующими понятиями, такими как степень одночлена и его коэффициент.

Что такое одночлен

В школьных учебниках обычно дается следующее определение этого понятия:

Определение 1

К одночленам относятся числа, переменные, а также их степени с натуральным показателем и разные виды произведений, составленные из них.

Исходя из этого определения, мы можем привести примеры таких выражений. Так, все числа 2, 8, 3004, 0, -4, -6, 0,78, 14, -437 будут относиться к одночленам. Все переменные, например, x ,a, b, p, q, t, y, z тоже будут по определению одночленами.

Сюда же можно отнести степени переменных и чисел, например, 63, (−7,41)7, x2 и t15, а также выражения вида 65·x, 9·(−7)·x·y3·6, x·x·y3·x·y2·z  и т.д.

Такие виды чисел, как целые, рациональные, натуральные тоже относятся к одночленам. Также сюда можно включить действительные и комплексные числа. Так, выражения вида 2+3·i·x·z4, 2·x, 2·π·x3  тоже будут одночленами.

Что такое стандартный вид одночлена и как привести выражение к нему

Для удобства работы все одночлены сначала приводят к особому виду, называемому стандартным. Сформулируем конкретно, что же это значит.

Определение 2

Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в которой он представляет из себя произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных. Числовой множитель, также называемый коэффициентом одночлена, обычно записывают первым с левой стороны.

Для наглядности подберем несколько одночленов стандартного вида: 6 (это одночлен без переменных), 4·a, −9·x2·y3  , 235·x7. Сюда же можно отнести выражение x·y (здесь коэффициент будет равен 1), −x3 (тут коэффициент равен -1).

Теперь приведем примеры одночленов, которые нужно привести к стандартному виду: 4·a·a2·a3  (здесь нужно объединить одинаковые переменные), 5·x·(−1)·3·y2 (тут нужно объединить слева числовые множители).

Обычно в случае, когда одночлен имеет несколько переменных, записанных буквами, буквенные множители записывают в алфавитном порядке. Например, предпочтительнее запись 6·a·b4·c·z2, чем b4·6·a·z2·c.  Однако порядок может быть и другим, если этого требует цель вычисления.

Привести к стандартному виду можно любой одночлен. Для этого нужно выполнить все необходимые тождественные преобразования.

Понятие степени одночлена

Очень важным является сопутствующее понятие степени одночлена. Запишем определение данного понятия.

Определение 3

Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, является сумма показателей степеней всех переменных, которые входят в его запись. Если ни одной переменной в нем нет, а сам одночлен отличен от 0, то его степень будет нулевой.

Сам нуль принято считать одночленом с неопределенной степенью.

Приведем примеры степеней одночлена.

Пример 1

Так, одночлен a имеет степень, равную 1, поскольку a= a1 . Если у нас есть одночлен 7,то он будет иметь нулевую степень, поскольку в нем нет переменных и он отличен от 0. А вот запись 7·a2·x·y3·a2  будет одночленом 8-й степени, ведь сумма показателей всех степеней переменных, включенных в него, будет равна 8: 2+1+3+2=8.

Пример 2

Покажем, как подсчитать степень одночлена 3·x2·y3·x·(−2)·x5·y. В стандартном виде его можно записать как −6·x8·y4 . Вычисляем степень: 8+4=12. Значит, степень исходного многочлена также равна 12.

Понятие коэффициента одночлена

Если у нас есть одночлен, приведенный к стандартному виду, который включает в себя хотя бы одну переменную, то мы говорим о нем как о произведении с одним числовым множителем. Этот множитель называют числовым коэффициентом, или коэффициентом одночлена. Запишем определение.

Определение 4

Коэффициентом одночлена называют числовой множитель одночлена, приведенного к стандартному виду.

Возьмем для примера коэффициенты различных одночленов.

Пример 3

Так, в выражении 8·a3 коэффициентом будет число 8, а в (−2,3)·x·y·z им будет −2,3.

Особое внимание надо уделить коэффициентам, равным единице и минус единице. Как правило, в явном виде их не указывают. Считается, что в одночлене стандартного вида, в котором нет числового множителя, коэффициент равен 1, например, в выражениях a, x·z3, a·t·x, поскольку их можно рассматривать как как 1·a, x·z3 – как 1·x·z3 и т.д.

Точно так же в одночленах, в которых нет числового множителя и которые начинаются со знака минус, мы можем считать коэффициентом -1.

Пример 4

Например, такой коэффициент будет у выражений −x, −x3·y·z3 , поскольку они могут быть представлены как −x=(−1)·x, −x3·y·z3=(−1)·x3·y·z3  и т.д.

Если у одночлена вообще нет ни одного буквенного множителя, то говорить о коэффициенте можно и в этом случае. Коэффициентами таких одночленов-чисел будут сами эти числа. Так, например, коэффициент одночлена 9 будет равен 9.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/opredelenie-odnochlena/

Алгебра 7-9 классы. 4. Одночлены. Действия с одночленами — Всё для чайников

Подробности Категория: Алгебра 7-9 классы

 ОДНОЧЛЕНЫ

Одночлен и его стандартный вид

Выражения являются произведениями чисел, переменных и их степеней. Такие выражения, а также числа, переменные и их степени, называют одночленами.

Рассмотрим одночлен . Переставим множители и заменим произведение чисел 2 и —3 числом —6, а произведение степеней b3 и b степенью b4. Тогда получим:

Любой одночлен можно привести к стандартному виду, группируя множители и используя основное свойство степени.

Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. Например, коэффициент одночлена  равен —6. Коэффициенты одночленов а2 и —аb считают равными соответственно 1 и — 1, так как и .

В одночлене сумма показателей степеней всех переменных равна 6. Эту сумму называют степенью одночлена . Степень одночлена равна 7, степень одночлена равна 5.

Вообще, степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Если одночлен не содержит переменных (т. е. является числом), то его степень считают равной нулю.

 

УМНОЖЕНИЕ ОДНОЧЛЕНОВ. ВОЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА В СТЕПЕНЬ

• Составим произведение одночленов и и упростим его. Для этого, воспользовавшись переместительным и сочетательным свойствами умножения, сгруппируем числовые множители и степени с одинаковыми основаниями:
• Перемножим числовое множители и степени c одинаковыми основаниями:
• Мы преобразовали произведение одночленов и  в одночлен стандартного вида:
• Аналогично можно преобразовать в одночлен стандартного вида произведение трех и более одночленов. Например,
• Таким образом, при умножении одночленов стандартного вида перемножают их коэффициенты, а показатели степеней одинаковых переменных складывают.
• Рассмотрим вопрос о возведении в степень одночлена. Выражение представляет собой третью степень одночлена Упростим это выражение» воспользовавшись правилами возведения в степень произведения и степени:
• Мы преобразовали степень одночлена в одночлен стандартного вида:
• Приведем еще один пример возведения в степень одночлена:
• При возведении в степень одночлена стандартного вида возводят в эту степень его коэффициент, а показатель степени каждой переменной умножают на показатель степени, в которую нужно возвести одночлен.

Источник: https://forkettle.ru/vidioteka/estestvoznanie/matematika/181-algebra/algebra-7-9-klassy/1888-algebra-7-9-klassy-4-odnochleny-dejstviya-s-odnochlenami

Урок 17. стандартный вид одночлена. подобные одночлены — Алгебра — 7 класс — Российская электронная школа

• Алгебра
• 7 класс
• Урок № 17
• Стандартный вид одночлена. Подобные одночлены
• Перечень рассматриваемых вопросов:

• Алгебраические выражения.
• Одночлен; стандартный вид одночлена.
• Подобные одночлены.
• Коэффициент и степень одночленов.
• Сумма (разность) подобных одночленов.

1. Тезаурус:
2. Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в котором он представляет собой произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных (букв).

3. Подобные одночлены – это одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, в одинаковых степенях, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).
4. Стандартный вид нулевого одночлена – это число 0.

5. Правило приведения одночлена к стандартному виду:

• перемножить все числовые множители;
• поставить полученный коэффициент на первое место;
• получить буквенную часть.

Правило сложения (вычитания) подобных одночленов:

• составить сумму (разность), записав все одночлены один за другим
• привести все одночлены к стандартному виду
• сложить (вычесть) их численные множители
• после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений

• Коэффициент одночлена, приведенного к стандартному виду – числовой множитель одночлена.
• Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, называют сумму показателей степеней всех букв, которые входят в его запись.
• Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

1. Теоретический материал для самостоятельного изучения.
2. Известное изречение гласит: «Теория без практики – мертва, практика без теории – слепа».
3. И сегодня мы найдём ту «золотую середину», между теорией и практикой, при дальнейшем изучении одночленов.
4. Начнём с того, что введём новое понятие – стандартный вид одночлена.

Все представленные одночлены имеют стандартный вид, т. к. в начале одночлена стоит числовой множитель, а затем буквенные множители в алфавитном порядке.

Стоит отметить, что числовой множитель в одночленах, записанных в стандартном виде, имеет своё название – коэффициент одночлена. (Коэффициент одночлена, приведенного к стандартному виду – числовой множитель одночлена).

• записаны не в стандартном виде, так как числовые множители стоят не только в начале, и буквенные множители повторяются.
• Стоит отметить, что стандартный вид нулевого одночлена есть число ноль.
• Введём ещё одно понятие, характерное для одночленов – степень одночлена.

1. Если ни одной буквы в одночлене нет, а сам одночлен отличен от ноля, то его степень будет нулевой.
2. Например:
3. 15
4. 2

• это одночлены 0 степени.
• У самого же числа 0 степень не определена, это единственный такой одночлен.
• Рассмотрим правило приведения одночлена к стандартному виду.
• Для этого нужно:
• • перемножить все числовые множители;
• • поставить полученный коэффициент на первое место;
• • получить буквенную часть, используя свойства степеней, так, чтобы буквы не повторялись, и были записаны в алфавитном порядке.

Здесь есть два числа и буквы повторяются. Найдём произведение чисел, оно равно минус двенадцати, по свойству степеней найдём степень буквы а, как сумму степеней один и два, и степень буквы с – она равна двум.

Введём ещё одно понятие – подобные одночлены.

Подобные одночлены – одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, в одинаковых степенях, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).

1. Для подобных одночленов можно найти сумму и разность.
2. Рассмотрим правило сложения (вычитания) подобных одночленов.
3. Чтобы сложить (вычесть) одночлены, надо:
4. 1. составить сумму (разность), записав все одночлены один за другим;
5. 2. привести все одночлены к стандартному виду;
6. 3. сложить (вычесть) их коэффициенты;

4. после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений.

Если сумма (разность) коэффициентов рана нулю, то сумма (разность) одночленов равна нулю.

Например, найдём сумму (разность) подобных одночленов, используя правило.

Т. к. одночлены приведены к стандартному виду, то остаётся только найти сумму или разность их коэффициентов, а затем приписать буквенные множители.

Итак, сегодня мы получили представление о стандартном виде одночлена и научились находить сумму и разность подобных одночленов.

Для этого мы должны воспользоваться свойствами степеней и свойствами одночленов, рассмотренными ранее. Кроме того, нужно привести одночлены к стандартному виду, т.е. в каждом одночлене сначала записать числовой множитель, а затем буквенные в алфавитном порядке.

Возьмём первый одночлен и приведём его к стандартному виду. Произведение чисел будет равно 448. Буква а имеет 3 и 5 степень, найдём сумму этих степеней, она равна 8. Далее рассмотрим букву b, её степень находится как произведение степени 1 и 3, т.е. степень буквы b равна 3. Далее рассмотрим букву с, её степень находится как произведение степени 2 и 3, т. е. степень буквы с равна 6.

• А теперь найдём сумму и разность данных подобных одночленов.
• Таким образом, мы привели подобные одночлены.
• Разбор заданий тренировочного модуля.
• № 1. Найдите одночлен, равный сумме одночленов 5ах + 2ах
• Варианты ответа:
• 10ах;
• 7ах;
• 7аахх.
• Решение:

Для выполнения задания нужно воспользоваться правилом сложения подобных одночленов. Для этого найдём сумму коэффициентов, а множители из букв перепишем. Получается 5ах + 2ах = (5 + 2)ах = 7ах. Это и есть правильный ответ.

1. Ответ: 7ах.
2. № 2.
3. Решение:

Для выполнения задания, нужно вспомнить свойства степеней (при возведении в степень показатели степеней перемножаются) и правило приведения одночлена к стандартному виду (коэффициент стоит в начале одночлена, а буквы записаны в алфавитном порядке). Поэтому возведём в степень число и буквы и выстроим буквы в алфавитном порядке.

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/7257/conspect/