Криволинейное движение — справочник студента

Часть 1 МЕХАНИКА

Раздел 1 КИНЕМАТИКА

1.4. Движение точки по окружности

Движение материальной точки по окружности является
частным случаем криволинейного движения. Рассматривая такие величины, как скорость , ускорение , радиус-вектор , вопрос о выборе их
направления не возникало, поскольку оно вытекало из их природы. Подобные векторы
называют полярными.

Векторы типа dφ, направление которых связано с направлением
вращения, называют аксиальными. В этом случае угол можно рассматривать как вектор.

Для очень малых углов поворота Δφ, поскольку путь, который проходит
материальная точка при таком малом повороте, можно рассматривать как
прямолинейный.

Величину

где
Δt — время, за которое осуществляется поворот
на угол Δφ, называют угловой скоростью точки.
Вектор направленный
вдоль оси, вокруг которой вращается тело. Направление вращения определяется по правилу
правого винта.

Угловая скорость — аксиальный вектор. Модуль вектора угловой
скорости равен Вращения с постоянной угловой
скоростью называют равномерным, при этом ω
= φ/t.

Следовательно, при равномерном вращении ω показывает, на какой угол поворачивается
тело за единицу времени.

Равномерное движение можно
характеризовать периодом Т. Это время, в течение которого тело делает один оборот,
т. е. поворачивается на угол 2π. Поскольку промежутку времени Δt = Т соответствует угол то

• 
• Частота периодического процесса
• 
• Тогда
• 

Вектор может изменяться как вследствие изменения
скорости вращения тела вокруг оси (в этом случае он изменяется по длине),
так и за счет поворота оси вращения в пространстве (в этом случае меняется по
направлению). Пусть за время Δt вектор и получил прирост Δ. Изменение вектора угловой скорости с
порой характеризуют угловым ускорением

Вектор , как и , является аксиальным. Если направление оси
вращения в пространстве остается постоянным, то угловая скорость изменяется только по
числовым значением и |Δ| = Δ.
В этом случае из формулы (1.17) получим

1. 
2. Выражение (1.18) запишем в векторной
   форме
3. 
4. где
   β — алгебраическая величина, которая
   положительная, если ω со временем увеличивается (в этом случае
   векторы (
   и имеют
   одинаковое направление), и отрицательна, если и уменьшается (в этом случае направления и противоположны).

Линейная скорость υ определяется угловой скоростью
вращения тела ω и расстоянием r материальной точки от оси
вращения. Пусть за малый промежуток времени Δt тело поворачивается на угол Δφ. Точка, которая размещается на
расстоянии dana»,»sans-serif»'>r от оси проходит при этом путь

• 
• Линейная скорость точки
• 

В векторной форме = [,]. Следовательно, чем дальше размещается точка от
оси вращения, тем с большей линейной скоростью она движется.

Найдем связь модулей линейного
и углового ускорения, полагая, что r = const. Тогда, исходя из (1.18), запишем

1. 
2. итак,

При равномерном движении точки по окружности
модуль скорости остается постоянным, но направление ее непрерывно меняется.
Рассмотрим два вектора скорости тела через небольшой промежуток времени Δt. Вычитая первое значение скорости 1 от следующего 2, получим
прирост Δ (рис. 1.3).

По общему правилу действия
над векторами можно перенести начало векторов скорости в одну точку (параллельное
перенос). Направление этих векторов совпадает с направлением касательной к окружности в той
точке, где лежит точка в определенный момент. Вектор Δ не будет перпендикулярным ни к 1, ни к 2.

Однако при Δt —> 0 и Δ —> 0 направление вектора Δ становится перпендикулярным к вектору скорости
.

Рис. 1.3.

где
’ — единичный вектор, направление которого
совпадает с направлением вектора Δ. Подставляя в (1.23) Δφ из (1.20), получим

• Разделив на Δt правую и левую части (1.24) и сделав соответствующие
  преобразования, получим
• В этом выражении υ и r — постоянные, отношение в предельном случае дает модуль
  скорости υ; единичный вектор ’ в предельном случае совпадает с единичным вектором , который перпендикулярен
  к окружности в точке А и направленный к центру. Итак,
• Найденное ускорение напрямлене
  вдоль нормали к траектории, то есть оно является нормальным.
• Если материальная точка движется по
  окружности неравномерно, то кроме нормального (его в случае движения по окружности называют еще
  центростремительным) она будет иметь тангенциальное ускорение

которое
характеризует изменение скорости по численному значению. Учитывая выражение (1.21),
для тангенциального ускорения получим

Следовательно, тангенциальное ускорение
растет линейно с увеличением расстояния от оси вращения. Окончательно для
вектора ускорения (рис. 1.4) запишем

Рис. 1.4

Источник: http://schooled.ru/physics/cholpan/10.html

Криволинейное движение. Кинематика — 10 класс — Класс!ная физика

Кинематика — это просто!

Описание движения тела считается полным тогда, когда известно, как движется каждая его точка. В общем случае любое сложное движение твердого (недеформированного) тела можно представить как сумму двух движений: поступательного и вращательного.

Поступательное движение — если любая прямая, проведенная внутри тела, движется параллельно самой себе. При поступательном движении твердого тела все его точки имеют одинаковые скорости, ускорения, перемещения и траектории. Поступательное движение может быть и криволинейным. Для описания поступательного движения тела достаточно составить уравнение движения одной из его точек, тогда расчеты упрощаются. При криволинейном движении тело движется по криволинейной траектории.

В общем случае криволинейная траектория — это совокупность участков дуг окружностей разного диаметра.

При криволинейном движении векторы скорости и ускорения не направлены вдоль одной прямой.

Частным случаем криволинейного движения является равномерное движение по окружности.

Равномерное движение точки по окружности

• Движение по окружности является простейшим видом криволинейного движения.
• При равномерном движении точки по окружности: Скорость движения V по окружности называется линейной скоростью, Движущаяся точка за равные промежутки времени проходит равные по длине дуги окружности.
• Вектор скорости в любой точке траектории направлен по касательной к ней.

В каждой точке траектории вектор ускорения направлен по радиусу к центру окружности. Такое ускорение называется центростремительным ускорением.

Модуль центростремительного ускорения равен:

1. где ац — центростремительное ускорение, [м/с2]; υ — линейная скорость, [м/с];
2. R — радиус окружности, [м].
3. Путь, пройденный точкой, равномерно движущейся по окружности, за какой-либо отрезок времени t равен:

За один полный оборот по окружности, т.е. за время, равное периоду Т, точка проходит путь, равный длине окружности При этом линейная скорость точки равна:

Вектор скорости и вектор центростремительного ускорения всегда взаимно перпендикулярны. Скорость и ускорение остаются постоянными по модулю, но меняют свое направление.

Равномерное движение точки по окружности является движением с переменным ускорением, так как ускорение непрерывно изменяется по направлению.

Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси

При вращательном движении вокруг неподвижной оси все точки тела описывают окружности с центром на оси вращения тела.

Каждая точка имеет свою скорость, ускорение и перемещение.

Характеистики вращательного движения

1. Угловая скорость — это отношение угла поворота ко времени, за который он совершается. Буквенное обозначение угловой скорости — омега.

где единицы измерения

Если тело движется равномерно, то любая точка этого тела за один и тот же отрезок времени поворачивается на один и тот же угол.

2. Частота вращения — это число оборотов в единицу времени.

где

3. Период вращения — это время одного полного оборота.

4. При вращении полный оборот составляет тогда

5. Линейная скорость — это скорость точки, движущейся по окружности. Каждая точка вращающегося тела имеет свою линейную скорость.

Связь между угловой и линейной скоростью

6. Ускорение — направлено по радиусу к центру окружности, меняется по направлению.

Чем дальше находится точка от оси вращения, тем больше ее линейная скорость и ускорение.

Назад в раздел «10-11 класс»

Кинематика — Класс!ная физика

Прямолинейное равномерное движение и решение задач — Закон сложения скоростей и решение задач — Движение с постоянным ускорением и решение задач — Свободное падение — Движение тела, брошенного под углом к горизонту — Решение задач. Тело, брошенное под углом к горизонту — Криволинейное движение

Источник: http://class-fizika.ru/10_34.html

Криволинейное движение

Вам хорошо известно, что в зависимости от формы траектории, движение делится на прямолинейное и криволинейное. С прямолинейным движением мы более или менее научились работать на предыдущих уроках, а именно, решать главную задачу механики для такого вида движения.

Однако ясно, что в реальном мире мы чаще всего имеем дело с криволинейным движением, когда траектория представляет собой кривую линию. Примерами такого движения является траектория тела, брошенного под углом к горизонту, движение Земли вокруг Солнца, и даже траектория движения ваших глаз, следящих сейчас за этим конспектом.

Вопросу о том, как решается главная задача механики в случае криволинейного движения, и будет посвящен этот урок.

Для начала определимся, какие принципиальные отличия есть у криволинейного движения (Рис. 1) относительно прямолинейного, и к чему эти отличия приводят.

Рис. 1. Траектория криволинейного движения

Поговорим о том, как удобно описывать движение тела при криволинейном движении.

Можно разбить движение на отдельные участки, на каждом из которых движение можно считать прямолинейным (Рис. 2).

Рис. 2. Разбиение криволинейного движения на поступательные движения

А дальше на каждом из этих участков мы можем пользоваться законами прямолинейного движения, которые мы уже знаем. В принципе, такой подход возможен.

Однако более удобным является следующий подход. Мы представим это движение как совокупность нескольких движений по дугам окружностей (см. Рис. 3.). Обратите внимание, что таких разбиений меньше, чем в предыдущем случае, кроме того, движение по окружности является криволинейным. Кроме того, примеров движения по окружности в природе встречается очень часто. Из этого можно сделать вывод:

Для того чтобы описывать криволинейное движение, нужно научиться описывать движение по окружности, а потом произвольное движение представлять в виде совокупностей движений по дугам окружностей.

Рис. 3. Разбиение криволинейного движения на движения по дугам окружностей

Итак, начнем изучение криволинейного движения с изучения равномерного движения по окружности. Давайте разберемся, каковы принципиальные отличия  криволинейного движения от прямолинейного.

Для начала вспомним, что в девятом классе мы изучили тот факт, что скорость тела при движении по окружности направлена по касательной к траектории.

Кстати, этот факт вы можете пронаблюдать на опыте, если посмотрите, как движутся искры при использовании точильного камня.

Рассмотрим движение тела по окружности (Рис. 4).

Рис. 4. Скорость тела при движении по окружности

Обратите внимание, что в данном случае модуль скорости тела в точке А равен модулю скорости тела в точке B.

Однако, вектор  не равен вектору . Итак, у нас появляется вектор разности скоростей (см. Рис. 5).

Рис. 5. Разность скоростей в точках A и B.

Причем изменение скорости произошло через некоторое время . Таким образом, мы получаем знакомую комбинацию:

это не что иное, как изменение скорости за промежуток времени, или ускорение тела. Можно сделать очень важный вывод:

Движение по криволинейной траектории является ускоренным. Природа этого ускорения – непрерывное изменение направление вектора скорости.

Еще раз отметим, что даже если говорится, что тело равномерно движется по окружности, имеется в виду, что модуль скорости тела не изменяется, однако такое движение всегда является ускоренным, поскольку изменяется направление скорости.

В девятом классе вы изучали, чему равно такое ускорение и как оно направлено (см. Рис. 6). Центростремительное ускорение  всегда направлено к центру окружности, по которой движется тело.

Рис. 6.Центростремительное ускорение

Модуль центростремительного ускорения может быть рассчитан по формуле

.

Переходим к описанию равномерного движения тела по окружности. Договоримся, что скорость , которой вы пользовались по время описания поступательного движения, теперь будет называться линейной скоростью. И под линейной скоростью мы будем понимать мгновенную скорость в точке траектории вращающегося тела.

Рис. 7. Движение точек диска

Рассмотрим диск, который для определенности вращается по часовой стрелке. На его радиусе отметим две точки A и B. И рассмотрим их движение.

За некоторое время  эти точки переместятся по дугам окружности и станут точками A’ и B’. Очевидно, что точка А совершила большее перемещение, чем точка B.

Из этого можно сделать вывод, что чем дальше от оси вращения находится точка, тем с большей линейной скоростью она движется.

Однако, если внимательно посмотреть на точки А и В, можно сказать, что неизменным остался угол , на который они повернулись относительно оси вращения О.

Именно угловые характеристики мы и будем использовать для описания движения по окружности. Отметим, что для описания движения по окружности, можно использовать угловые характеристики.

Прежде всего, напомним понятие о радианной мере углов.

Угол в 1 радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

Рис. 8. Радианная мера угла (Источник)

Таким образом, легко заметить, что например угол в равен радиан. И, соответственно, можно перевести любой угол, заданный в градусах, в радианы, умножив его на  и поделив на . Угол поворота при вращательном движении аналогичен перемещению при поступательном движении. Заметим, что радиан – это безразмерная величина:

,

поэтому обозначение «рад» часто опускают.

Начнем рассмотрение движения по окружности с самого простого случая – равномерного движения по окружности. Напомним, что равномерным поступательным движением называется движение, при котором за любые равные промежутки времени тело совершает одинаковые перемещения. Аналогично,

• Равномерным движением по окружности называется движение, при котором за любые равные промежутки времени тело поворачивается на одинаковые углы.
• Аналогично понятию линейной скорости вводится понятие угловой скорости.
• Угловой скоростью называется физическая величина, равная отношению угла, на который повернулось тело ко времени, за которое произошел этот поворот.
• Измеряется угловая скорость в радианах в секунду, или просто в обратных секундах.
• Найдем связь между угловой скоростью вращения точки и линейной скоростью этой точки.

Рис. 9. Связь между угловой и линейной скоростью

1. Точка А проходит при вращении дугу длиной S, поворачиваясь при этом на угол φ. Из определения радианной меры угла можно записать, что
2. .
3. Разделим левую и правую части равенства на промежуток времени , за который было совершено перемещение, затем воспользуемся определением угловой и линейной скоростей
4. .

Обратим внимание, что чем дальше точка находится от оси вращения, тем выше ее угловая и линейная скорость. А точки, расположенные на самой оси вращения, неподвижны. Примером этого может служить карусель: чем ближе вы находитесь к центру карусели, тем легче вам на ней удержаться.

• Вспомним, что ранее мы вводили понятия периода и частоты вращения.
• Период вращения – время одного полного оборота. Период вращения обозначается буквой  и измеряется в секундах в системе СИ:
• .
• Частота вращения – число оборотов в единицу времени. Частота обозначается буквой  и измеряется в обратных секундах:
• .
• Они связаны соотношением:
• .
• Существует связь между угловой скоростью и частотой вращения тела. Если вспомнить, что полный оборот равен , легко увидеть, что угловая скорость:
• .
• Кроме того, если вспомнить, каким образом мы определили понятие радиана, станет ясно, как связать линейную скорость тела с угловой:
• .
• Запишем также связь между центростремительным ускорением и этими величинами:
• .
• Таким образом, мы знаем связь между всеми характеристиками равномерного движения по окружности.

Подытожим. На этом уроке мы начали описывать криволинейное движение. Мы поняли, каким образом можно связать криволинейное движение с движением по окружности.

Движение по окружности всегда является ускоренным, а наличие ускорения обуславливает тот факт, что скорость всегда меняет свое направление. Такое ускорение называется центростремительным.

Наконец, мы вспомнили некоторые характеристики движения по окружности (линейную скорость, угловую скорость, период и частоту вращения), и нашли соотношения между ними.

Список литературы:

1. Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев, Н. Н. Сотский. Физика 10. – М.: Просвещение, 2008.
2. А. П. Рымкевич. Физика. Задачник 10-11. – М.: Дрофа, 2006.
3. О. Я. Савченко. Задачи по физике. – М.: Наука, 1988.
4. А. В. Пёрышкин, В. В. Крауклис. Курс физики. Т. 1. – М.: Гос. уч.-пед. изд. мин. просвещения РСФСР, 1957.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет:

1. Энциклопедия (Источник).
2. Аyp.ru (Источник).
3. Википедия (Источник).

Домашнее задание:

Решив задачи к данному уроку, вы сможете подготовиться к вопросам 1 ГИА и вопросам А1, А2 ЕГЭ.

1. Задачи 92, 94, 98, 106, 110 сб. задач А. П. Рымкевич изд. 10 (Источник)
2. Вычислите угловую скорость движения минутной, секундной и часовой стрелок часов. Вычислите центростремительное ускорение, действующее на кончики этих стрелок, если радиус каждой из них равен одному метру.
3. Рассмотрите следующие вопросы и ответы на них:

• Вопрос: Почему движение по окружности всегда является ускоренным? Ответ: Как уже было показано в этом уроке, ускоренным это движение является из-за того, что при таком виде движения постоянно изменяется направление скорости.
• Вопрос: Как можно представить произвольное криволинейное движение? Ответ: Как комбинацию прямолинейного движения и движения по окружности. Величина, обратная радиусу окружности, по которой движется тело, называется кривизной.
• Вопрос: Почему прибор с более длинной стрелкой будет чувствительнее? Ответ: Потому что при изменении угла на небольшую величину, кончик стрелки пройдет значительное расстояние, равное произведению этого угла на длину стрелки.
• Вопрос: Есть ли на поверхности Земли точки, в которых угловая скорость, связанная с суточным вращением Земли, равна нулю? Ответ: Есть. Такими точками являются географические полюсы Земли. Скорость в этих точках равна нулю, потому что в этих точках вы будете находиться на оси вращения.

Источник: http://msk.edu.ua/ivk/Fizika/Konspekt/krivolineinoe_dvigenie_okr.php

Криволинейное движение

Криволинейное движение – это движение, траектория которого представляет собой кривую линию (например, окружность, эллипс, гиперболу, параболу). Примером криволинейного движения является движение планет, конца стрелки часов по циферблату и т.д. В общем случае скорость при криволинейном движении изменяется по величине и по направлению.

Криволинейное движение материальной точки считается равномерным движением, если модуль скорости постоянен (например, равномерное движение по окружности), и равноускоренным, если модуль и направление скорости изменяется (например, движение тела, брошенного под углом к горизонту).

Рис. 1.19. Траектория и вектор перемещения при криволинейном движении.

При движении по криволинейной траектории вектор перемещения направлен по хорде (рис. 1.19), а l – длина траектории. Мгновенная скорость движения тела (то есть скорость тела в данной точке траектории) направлена по касательной в той точке траектории, где в данный момент находится движущееся тело (рис. 1.20).

Рис. 1.20. Мгновенная скорость при криволинейном движении.

Криволинейное движение – это всегда ускоренное движение. То есть ускорение при криволинейном движении присутствует всегда, даже если модуль скорости не изменяется, а изменяется только направление скорости. Изменение величины скорости за единицу времени – это тангенциальное ускорение:

или

• Где vτ, v0 – величины скоростей в момент времени t0 + Δt и t0соответственно.
• Тангенциальное ускорение в данной точке траектории по направлению совпадает с направлением скорости движения тела или противоположно ему.
• Нормальное ускорение — это изменение скорости по направлению за единицу времени:

Нормальное ускорение направлено по радиусу кривизны траектории (к оси вращения). Нормальное ускорение перпендикулярно направлению скорости.

Центростремительное ускорение – это нормальное ускорение при равномерном движении по окружности.

Полное ускорение при равнопеременном криволинейном движении тела равно:

Движение тела по криволинейной траектории можно приближённо представить как движение по дугам некоторых окружностей (рис. 1.21).

Рис. 1.21. Движение тела при криволинейном движении.

Источник: http://av-mag.ru/physics/index.php/mechanics/kinematika/curvilinear-movement/

Плис В. О динамике криволинейного движения // Квант

• По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»
• Из школьного курса физики известно, что равномерное движение по окружности — так называют движение материальной точки по окружности с постоянной по величине скоростью — есть движение с ускорением.
• Это ускорение обусловлено равномерным изменением с течением времени направления скорости точки. В любой момент времени вектор ускорения направлен к центру окружности, а его величина постоянна и равна

где υ — линейная скорость точки, R — радиус окружности, ω — угловая скорость радиуса-вектора точки, T — период обращения. В этом случае ускорение называют центростремительным, или нормальным, или радиальным.

Очевидно, что возможно криволинейное движение не только по окружности и не обязательно равномерное. Поговорим немного о кинематике произвольного криволинейного движения. Тем более что в прошлом году в программу вступительных экзаменов по физике, например в МГУ им. М.В.Ломоносова, включили вопрос об ускорении материальной точки при произвольном движении по криволинейной траектории.

Рассмотрим сначала неравномерное движение материальной точки по окружности. При таком движении изменяется со временем не только направление вектора скорости , но и его величина. В этом случае приращение  вектора скорости за малое время от t до t + Δt удобно представить в виде суммы:  (рис. 1). Здесь  — касательная тангенциальная составляющая приращения скорости, сонаправленная с вектором скорости и обусловленная приращением величины вектора скорости на , а  — нормальная составляющая, обусловленная (как и в случае равномерного движения по окружности) вращением вектора скорости. Тогда естественно и ускорение представить в виде суммы касательной (тангенциальной) и нормальной составляющих:

1. 
2. Рис. 1
3. Для проекций вектора ускорения на касательное и нормальное направления справедливы соотношения

Отметим, что касательная составляющая aτ ускорения характеризует быстроту изменения величины скорости, а нормальная составляющая аnхарактеризует быстроту изменения направления скорости. По теореме Пифагора,

В случае движения по произвольной криволинейной траектории все указанные соотношения также справедливы, при этом в формуле для нормального ускорения аn под величиной R надо понимать радиус такой окружности, с элементарной дужкой которой совпадает участок криволинейной траектории в малой окрестности того места, где находится движущаяся материальная точка. Величину R называют радиусом кривизны траектории в данной точке.

Теперь рассмотрим несколько конкретных задач на криволинейное движение, предлагавшихся в последние годы на вступительных экзаменах и олимпиадах по физике в ведущих вузах страны.

Задача 1. Камень брошен со скоростью υ0 под углом α к горизонту. Найдите радиус R кривизны траектории в окрестности точки старта. Ускорение свободного падения g известно.

Для ответа на вопрос задачи воспользуемся соотношением для нормального ускорения:

В малой окрестности точки старта υ = υ0(рис. 2). Нормальное ускорение аn есть проекция ускорения свободного падения g на нормаль к траектории: аn= g·cos α. Это дает

Рис. 2

Задача 2. Определите вес P тела массой m на географической широте φ. Ускорение, сообщаемое силой тяжести, равно g. Землю считайте однородным шаром радиусом R.

Рис. 3

В инерциальной системе отсчета, центр которой находится в центре Земли, тело равномерно движется по окружности радиусом r = R·cos φ с периодом одни сутки, т.е. T= 86400 с, и циклической частотой

•  = 7,3·10–5 с–1.
• Ускорение тела по величине равно
• аn = ω2·r = ω2·R·cos φ

и направлено к оси вращения Земли. Из этого следует, что равнодействующая сил тяжести и реакции опоры тоже должна быть направлена к оси вращения Земли. Тогда при 0 < φ< π/2 сила реакции образует с перпендикуляром к оси вращения некоторый угол α ≠  φ. По второму закону Ньютона,

1. Перейдем к проекциям сил и ускорения на радиальное направление:
2. и на направление, перпендикулярное плоскости, в которой происходит движение:
3. Исключая α из двух последних соотношений, находим вес тела, покоящегося на вращающейся Земле:

Задача 3. Расстояние от Земли до двойной звезды в созвездии Центавра равно L = 2,62·105 а.е. Наблюдаемое угловое расстояние между звездами периодически изменяется с периодом T = 80 лет и достигает наибольшего значения φ = 0,85·10–5 рад. Определите суммарную массу М звезд. Постоянная всемирного тяготения G = 6,67·10–11 (Н·м2/кг2), 1 а.е = 1,5·1011 м. Орбиты звезд считайте круговыми.

Под действием гравитационных сил

звезды движутся равномерно с периодом Tпо окружностям радиусов r1и r2 вокруг центра масс системы со скоростями υ1 и υ2соответственно (рис. 4).

• Рис. 4
• По второму закону Ньютона,
• Сложив эти равенства (после сокращения на m1 и m2 соответственно), получим
• Отсюда с учетом соотношений
• приходим к ответу
• = 3,5 1027 кг.

Задача 4. На горизонтальной платформе стоит сосуд с водой (рис. 5). В сосуде закреплен тонкий стержень АВ, наклоненный к горизонту под углом α. Однородный шарик радиусом R может скользить без трения вдоль стержня, проходящего через его центр. Плотность материала шарика ρ0, плотность воды ρ, ρ0 < ρ.

При вращении системы с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через нижний конец А стержня, центр шарика устанавливается на расстоянии L от этого конца.

С какой по величине силой F шарик действует на стержень? Какова угловая скорость ω вращения платформы? При какой минимальной угловой скорости ωmin шарик «утонет», т.е. окажется у дна сосуда?

Рис. 5

Обозначим объем шарика V. На шарик будут действовать три силы: сила тяжести ρ0·V·g, сила нормальной реакции N со стороны стержня (шарик действует на стержень с такой же по величине и противоположной по направлению силой) и сила Архимеда FA. Найдем архимедову силу.

Рассмотрим движение жидкости в отсутствие шарика. Любой элементарный объем воды равномерно движется по окружности радиусом r в горизонтальной плоскости.

Следовательно, вертикальная составляющая суммы сил давления (силы Архимеда) уравновешивает силу тяжести, действующую на жидкость в рассматриваемом объеме, а горизонтальная составляющая сообщает этой жидкости центростремительное ускорение аn = ω2·r.

При замещении жидкости шариком эти составляющие не изменяются, а сила, действующая на водяной шарик со стороны тонкого стержня, равна нулю. Тогда вертикальная составляющая силы Архимеда по величине равна силе тяжести водяного шара:

1. FAz = ρ·V·g,
2. а направленная к оси вращения составляющая силы Архимеда сообщает водяному шару центростремительное ускорение аn = ω2·L·cos α и по величине равна
3. FAn = ρ·V·ω2·L·cos α.

Под действием приложенных сил шарик движется равномерно по окружности радиусом L·cos α в горизонтальной плоскости (рис. 6).

• Рис. 6
• По второму закону Ньютона,
• Переходя к проекциям сил и ускорений на вертикальную ось, находим
• ρ·V·g – ρ0·V·g – N·cos α = 0.
• Проектируя силы и ускорения в горизонтальной плоскости на радиальное направление, получаем
• ρ0·V·ω2·L·cos α = ρ·V·ω2·L·cos α – N·sin α.
• Из двух последних соотношений определяем величину силы нормальной реакции стержня, а значит, и силу давления шарика на стержень:
• и угловую скорость:
• Как видим, с ростом угловой скорости ω расстояние L уменьшается. В момент, когда шар приблизится ко дну, , при этом

Задача 5. Однородную цепочку длиной L поместили на гладкую сферическую поверхность радиусом R так, что один ее конец закреплен на вершине сферы. Верхний конец цепочки освобождают. С каким по величине ускорением at будет двигаться сразу после освобождения каждый элемент цепочки? Масса единицы длины цепочки ρ. Ускорение свободного падения g.

Рассмотрим элементарный участок цепочки длиной ΔL = R·Δφ (рис. 7). Его масса равна Δm = ρ·ΔL. Силы, действующие на выделенный участок, показаны на рисунке. По второму закону Ньютона,

1. Рис. 7
2. Переходя к проекциям сил и ускорений на касательное направление, получаем
3. Перепишем полученное соотношение в виде
4. Просуммируем приращения силы натяжения по всей длине цепочки:

Теперь учтем, что на свободных концах цепочки силы натяжения обращаются в ноль, т.е. , что ускорение aτ одинаково у всех элементарных фрагментов, , и получим

Задача 6. Ведущие колеса паровоза соединены реечной передачей, одно звено которой представляет собой плоскую горизонтальную штангу, шарнирно прикрепленную к спицам соседних колес на расстоянии R/2 от оси, где R — радиус колеса.

При осмотре паровоза механик поставил на эту штангу ящик и по рассеянности забыл его там. Паровоз трогается с места и очень медленно набирает скорость. Оцените скорость υ1 паровоза, при которой ящик начнет проскальзывать относительно штанги.

Перейдем в систему отсчета, связанную с паровозом (рис. 8). Поскольку разгон происходит очень медленно, эту систему можно считать инерциальной.

• Рис. 8
• До начала проскальзывания ящик движется по окружности радиусом r = R/2. По второму закону Ньютона,

Вектор ускорения ящика направлен к центру окружности и по величине равен а = ω2·r,где ω — угловая скорость вращения колес паровоза. Обозначим угол, который вектор ускорения образует в данный момент времени с горизонтом, буквой β. Переходя к проекциям сил и ускорения на горизонтальную и вертикальную оси, с учетом того, что Fтр ≤ μ·N, получаем

1. Исключив отсюда силу реакции опоры, приходим к неравенству
2. Наибольшее значение выражения
3. где угол α таков, что  и ,достигается при β = α и равно . Движение груза будет происходить без проскальзывания до тех пор, пока угловая скорость вращения колес паровоза будет удовлетворять неравенству
4. Отсюда для искомой скорости паровоза υ1получаем
5.  = 2,4 м/с.

Задача 7. Гладкий желоб состоит из горизонтальной части АВ и дуги окружности BD радиусом R = 5 м (рис. 9). Шайба скользит по горизонтальной части со скоростью υ0 = 10 м/с . Определите величину ускорения шайбы в точке С и угол β, который вектор  ускорения шайбы в этот момент составляет с нитью. Радиус ОС образует с вертикалью угол α = 60°. Ускорение свободного падения g =10 м/с2.

• Рис. 9
• Для нахождения ускорения шайбы в точке С найдем тангенциальную aτи нормальную an величины составляющих ускорения в этой точке.
• На тело, движущееся в вертикальной плоскости по дуге BD,в любой точке действуют силы тяжести m·g и реакции опоры N. По второму закону Ньютона,
• Перейдем к проекциям сил и ускорения на тангенциальное направление:
• m·aτ= –m·g·sin α, откуда aτ= –g·sin α ≈ –8,7 м/с2.

Для определения нормальной составляющей ускорения найдем величину υскорости шайбы в точке С (поскольку ). Обратимся к энергетическим соображениям. Потенциальную энергию шайбы на горизонтальной части желоба будем считать равной нулю. Тогда, по закону сохранения полной механической энергии,

1. откуда
2.  = 10 м/с2.
3. Величину ускорения шайбы в точке С найдем по теореме Пифагора:
4.  ≈ 13,2 м/с2.
5. В точке С вектор ускорения  образует с нитью угол β такой, что
6.  ≈ 0,87, откуда β ≈ 41°.

Задача 8. По гладкой проволочной винтовой линии радиусом R с шагом h, ось которой вертикальна, скользит с нулевой начальной скоростью бусинка массой m. За какое время T бусинка опустится по вертикали на Н? С какой по величине F силой бусинка действует на проволоку в этот момент? Ускорение свободного падения g.

• На бусинку действуют силы тяжести  и нормальной реакции , где  направлена горизонтально (перпендикулярно плоскости рисунка 10), а  лежит в одной плоскости с векторами  и .
• Рис. 10
• Для ответа на вопросы задачи найдем касательную и нормальную составляющие ускорения. По второму закону Ньютона,
• Переходя к проекциям сил и ускорения на касательное направление, находим aτ= g·sin α. Здесь α — угол наклона вектора скорости к горизонту такой, что
• По закону сохранения энергии,
• и
• Касательная составляющая ускорения постоянна, начальная скорость равна нулю, следовательно, модуль вектора скорости растет со временем по линейному закону. Отсюда для искомого времени получаем

Для определения нормальной составляющей ускорения перейдем в подвижную систему отсчета, поступательно движущуюся относительно лаборатории по вертикали вниз со скоростью υ·sin α.

В этой системе бусинка ускоренно движется по окружности радиусом R со скоростью υ·cos α, при этом нормальная составляющая ускорения бусинки по величине равна .

Так как ускорение подвижной системы сонаправлено с , нормальная составляющая ускорения бусинки при переходе в лабораторную систему отсчета не изменится (это следует из правила сложения ускорений).

1. Из второго закона Ньютона находим составляющие силы, с которой проволока действует на бусинку:
2. где .
3. По третьему закону Ньютона бусинка действует на проволоку силой, величина (модуль) которой равна
4. Упражнения

1. Сферический воздушный шар радиусом R = 5 м удерживается вертикальной веревкой, его центр находится на высоте H = 6 м над горизонтальной поверхностью. С этой поверхности бросают камень так, что он перелетает шар, почти касаясь его в верхней точке. С какой минимальной скоростью υ0следует бросать камень и на каком расстоянии s от центра шара будет находиться в этом случае точка бросания?

Указание: ускорение свободного падения у поверхности Земли в этой и последующих задачах равно g = 10 м/с2.

2. Известно, что спутник, находящийся на орбите, высота которой h = 3,6104 км, обращается вокруг Земли за одни сутки и может «висеть» над одной и той же точкой экватора.

Допустим, что обсуждается вопрос о запуске на такую же высоту спутника, который будет «висеть» над Санкт-Петербургом.

Какую по величине и направлению силу тяги F должен развивать двигатель спутника, чтобы удерживать его на заданной орбите? Масса спутника m = 103 кг, Санкт-Петербург находится на широте φ = 60°, радиус Земли R = 6,4 103 км.

3. По гладкому столу движутся два тела с массами m1и m2,соединенные легкой нерастяжимой нитью длиной L.В некоторый момент первое тело останавливается, а скорость второго равна υи перпендикулярна нити. Найдите силу Tнатяжения нити.

4. Однородную цепочку массой m и длиной L поместили на гладкую сферическую поверхность радиусом R = 4L так, что один ее конец закреплен на вершине сферы. Верхний конец цепочки освобождают. Найдите наибольшую величину Tmах силы натяжения цепочки сразу после ее освобождения. Указание: для рассматриваемых в задаче углов считайте sin α ≈ α, cos α ≈ 1 – α2/2.

6. Для экономии места въезд на один из высочайших в Японии мостов устроен в виде винтовой линии, обвивающей цилиндр радиусом R.

При движении по такой дороге вектор скорости автомобиля составляет угол α с горизонтальной плоскостью.

Найдите направление и величину суммы сил, действующих на автомобиль массой m, движущийся по такой дороге с постоянной по величине скоростью υ. Ось винтовой линии вертикальна.

Ответы

1.

2. Сила тяги равна  и перпендикулярна плоскости движения спутника.

• 3.
• 4.
• 5.

6. Сумма сил равна  и направлена по горизонтали к оси винтовой линии.

Источник: https://alsak.ru/item/225-8.html

Криволинейное движение материальной точки Движение по окружности

Если траектория — кривая линия, то движение называется криволинейным. В каждой точке траектории скорость v направлена по касательной к ней. Скорость в общем случае — функция времени и изменяется как по величине, так и по направлению (рис. 8).

В общем случае ускорение а направлено под углом к скорости и также изменяется как по величине, так и по направлению. По правилам действия над векторами представим ускорение в виде двух составляющих.

Составляющая ускорения, направленная вдоль скорости, называется тангенциальным ускорением ат.

Эта составляющая характеризует изменение скорости dv по величине и определяется отношением малого изменения скорости dv по модулю к малому промежутку времени, за которое произошло это изменение:

Составляющая ускорения, направленная к центру кривизны траектории, т.е. перпендикулярно скорости, называется нормальным ускорением ап. Эта составляющая характеризует изменение скорости по направлению

где R — радиус кривизны траектории в данной точке. Модуль полного ускорения определяется по формуле

Рис. 8

Пусть материальная точка движется по окружности радиусом R. Одной из характеристик движения является угол поворота точки от некоторого начального положения. Угол поворота Дф = ф — ф0.

Физическая величина, определяемая отношением малого угла поворота материальной точки к малому промежутку времени, за которое произошло это изменение, называется угловой скоростью со:

Рис. 9

или

где cb—модуль элементарного перемещения точки.

Используя выражение (3) п. 1.3, получаем связь между линейной и угловой скоростью движения по окружности:

Если угловая скорость со = const (и линейная тоже), то движение называется равномерным движением по окружности. В этом случае в любой момент времени угловая скорость

где At — промежуток времени, Дф — угол поворота материальной точки за этот промежуток времени. Таким образом, угловая скорость определяется углом поворота за единицу времени.

Единица угловой скорости в СИ — радиан в секунду (рад/с). 1 рад/с равен угловой скорости равномерно вращающегося тела, все точки которого за время 1 с поворачиваются относительно оси на угол 1 рад.

Угловой скорости приписывается направление вдоль оси вращения, определяемое правилом буравчика. Если вращать буравчик в сторону линейной скорости, то его поступательное движение задает направление угловой скорости. На рис. 9 вектор угловой скорости направлен на нас, что изображается точкой в центре кружка.

Для нормальной составляющей ускорения при движении по окружности, учитывая выражение (3), получим

Равномерное движение по окружности можно характеризовать периодом вращения Т — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2к.

Так как промежуток времени At = Т соответствует Дер = 2 к, 2к

то со=—, откуда со

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности в единицу времени, называется частотой вращения:

откуда

Единица частоты в СИ — секунда в минус первой степени (с-1). 1 с-1 равна частоте, при которой тело, равномерно вращаясь, за время 1 с совершает 1 оборот.

Если за промежуток времени At = t-t0 угловая скорость изменилась на величину Дсо=о)-со0, то материальная точка будет обладать угловым ускорением

характеризующим быстроту изменения угловой скорости. Таким образом, угловое ускорение определяет изменение угловой скорости за единицу времени. В пособии рассматривается движение с постоянным угловым ускорением, поэтому среднее и мгновенное угловые ускорения совпадают.

Рис.10

Единица углового ускорения в СИ — радиан на секунду в квадрате (1 рад/с2). 1 рад/с2 равен угловому ускорению равноускоренно вращающегося тела, при котором оно за время 1 с изменяет скорость на 1 рад/с.

• „ (Дй) 'i
• Если угловая скорость возрастает — >0 , то вектор уг-
• (М )

лового ускорения ё сонаправлен вектору & (рис. 10, а). Если , (Дй

угловая скорость убывает —

[At

рения ё противонаправлен вектору й) (рис. 10, б).

Нормальная составляющая ускорения согласно формуле (4),

Источник: https://bstudy.net/748041/spravochnik/krivolineynoe_dvizhenie_materialnoy_tochki_dvizhenie_okruzhnosti

Криволинейное движение

При криволинейном движении у вектора скорости изменяется направление. При этом может меняться и его модуль, т. е. длина. В этом случае вектор ускорения раскладывается на две составляющие: касательную к траектории и перпендикулярную к траектории (рис. 10). Составляющая называется тангенциальным (касательным) ускорением, составляющая –нормальным(центростремительным) ускорением.

Рис. 10.

• Ускорение при криволинейном движении
• Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения линейной скорости, а нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления движения.
• Полное ускорение равно векторной сумме тангенциального и нормального ускорений:

Модуль полного ускорения равен:

Рассмотрим равномерное движение точки по окружности. При этом и . Пусть в рассматриваемый момент времени t точка находится в положении 1 (рис. 11). Спустя время Δt точка окажется в положении 2, пройдя путь Δs, равный дуге 1—2. При этом скорость точки v получает приращение Δv, в результате чего вектор скорости, оставаясь неизменным по величине, повернется на угол Δφ, совпадающий по величине с центральным углом, опирающимся на дугу длиной Δs:

где R—радиус окружности, по которой движется точка. Найдем приращение вектора скорости Для этого перенесем вектор так, чтобы его начало совпадало с началом вектора . Тогда вектор изобразится отрезком, проведенным из конца вектора в конец вектора . Этот отрезок служит основанием равнобедренного треугольника со сторонами и и углом Δφ при вершине. Если угол Δφ невелик (что выполняется для малых Δt), для сторон этого треугольника можно приближенно написать:

Разделив обе части уравнения на Δt и сделав предельный переход, получим величину центростремительного ускорения:

Рис. 11.

Радиус кривизны

Радиус окружности R называется радиусом кривизны траектории. Величина, обратная R, называется кривизной траектории:

где R — радиус рассматриваемой окружности. Если α есть центральный угол, соответствующий дуге окружности s, то, как известно, между R, α и s имеет место соотношение:

s = Rα. (18)

Понятие радиуса кривизны применимо не только к окружности, но и любой кривой линии. Радиус кривизны (или обратная ему величина – кривизна) характеризует степень изогнутости линии. Чем меньше радиус кривизны (соответственно, чем больше кривизна), тем сильнее изогнута линия. Рассмотрим это понятие подробнее.

Кругом кривизны плоской линии в некоторой точке A называется предельное положение окружности, проходящей через точку А и две другие точки В1 и В2 при их бесконечном приближении к точке А (на рис.

12 кривая проведена сплошной линией, а круг кривизны — пунктирной).

Радиус круга кривизны дает радиус кривизны рассматриваемой кривой в точке A, а центр этого круга — центр кривизны кривой для той же точки А.

Проведем в точках B1 и В2 касательные B1D и В2Е к окружности, проходящей через точки В1, А и B2. Нормали к этим касательным B1С и В2С представят собой радиусы R окружности и пересекутся в ее центре С. Введем угол Δα между нормалями В1С и В2С; очевидно, он равен углу между касательными В1D и В2E. Обозначим участок кривой между точками B1 и В2 как Δs. Тогда по формуле (18):

Рис. 12.

Круг кривизны плоской кривой линии

Рис. 13.

Определение кривизны плоской кривой в разных точках

На рис. 13 изображены круги кривизны плоской линии в разных точках. В точке A1, где кривая является более пологой, радиус кривизны больше, чем в точке A2, соответственно, кривизна линии в точке A1 будет меньше, чем в точке A2.

Поэтому величине кривизны в этой точке приписывают знак, противоположный знаку кривизны в точках A1 и A2: если кривизну в точках A1 и A2 будем считать положительной, то кривизна в точке A3 будет отрицательной.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/5_66367_krivolineynoe-dvizhenie.html