Кривизна кривой — справочник студента

III. ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ.

(лекции 6‑7)

Контрольные вопросы:

1. Способы задания плоских кривых.

2. Уравнения касательной и нормали.

3. Формулы для нахождения единичного вектора нормали и кривизны.

4. Уравнение эволюты.

3.1 СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ.

Кривая, у которой кручение в каждой точке равно нулю, располагается в плоскости и поэтому называется плоской. В качестве такой плоскости выбирают плоскость хОу.

Геометрию плоских кривых можно получить как частный случай геометрии кривых в пространстве, но при таком подходе могут ускользнуть многие своеобразные их особенности. В связи с этим теория плоских кривых строится независимо от теории кривых в пространстве.

• Кривую на плоскости можно задать уравнениями различных видов, наиболее распространенными из которых являются:
• а) векторное уравнение , (3.1)
• б) векторно-параметрическое уравнение (3.2)
• в) координатно-параметрические уравнения
• x=x(t), y=y(t), (3.3)
• г) уравнение в несимметричной форме
• y=f(x)(3.4)
• или(3.5)

Заметим, что присоединив к уравнению (3.4) тождество х=х, получим параметрические уравнения х=х, y=f(x). Они отличаются от уравнений (3.3) тем, что за параметр принята абсцисса точка кривой.

д) уравнение в симметричной форме F(x,y)=0(3.6)

В частности, если какая-либо точка кривой не является особой (т.е. отлична от нуля по крайней мере одна из производных в этой точке), то в ее окрестности уравнение (3.6) можно разрешить или относительно у (при ), и тогда получим уравнение (3.4), или относительно х (при ), тогда получим уравнение (3.5).

3.2 ДЛИНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ.

Длиной кривой называется верхняя грань всех возможных ломаных, вписанных в данную кривую. В частности, если кривая задана векторно-параметрическим уравнением  и функция  непрерывна вместе со своей производной  на , то она спрямляема.

1. а) Длина кривой в прямоугольных координатах.
2. Если плоская кривая задана уравнением , где функция  непрерывна вместе со своей производной на [a,b], то она спрямляема и ее длина выражается формулой
3. (3.7)
4. Если кривая задана параметрическими уравнениями и функции  непрерывно дифференцируемы на [T1, T2], то ее длина выражается формулой:
5. (3.8)
6. б) Длина кривой в полярных координатах.
7. Если кривая задана в полярных координатах уравнением  и функция  непрерывна вместе со своей производной  на , то ее длина выражается формулой
8. (3.9)

Пример 3.1 Найти длину полукубической параболы ay2=x3, aх=0 до х=5а.

Решение: Из уравнений кривой следует, что полукубическая парабола симметрична относительно оси абсцисс (замена у= ‑у не изменяет уравнения) и расположена в правой полуплоскости координатной полуплоскости хОу (х не может быть отрицательным). Вычислим длину одной ветви кривой ОА.

• Из уравнения кривой находим .
• По формуле (3.7) получим:
• .
• Длина кривой  равна S=670а/27.

Пример 3.2 Вычислить длину кардиоиды .

Решение: Однозначная ветвь функции r соответствует изменению параметра  в промежутке , при этом кривая симметрична относительно полярной оси. При изменении  от 0 до  полярный радиус r опишет половину кривой. Половину длины кардиоиды найдем, используя формулу (3.9):

Длина всей кардиоиды S=8a.

3.3 КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ К КРИВОЙ.

Единичный вектор направленной касательной, как мы показали выше (1.7), находится как орт производной радиус-вектора:.

На практике иногда удобнее в качестве направляющего вектора касательной брать вектор  (или любой ему коллинеарный вектор) и уравнение касательной в точке записать в виде:

(3.10)

или . (3.11)

(3.12)

или . (3.13)

1. Если кривая задана уравнением в несимметричной форме (3.4), то касательная и нормаль соответственно имеют уравнения
2. (3.14)
3. (3.15)
4. г) Если кривая задана уравнением в симметричной форме (3.6), то касательная и нормаль соответственно имеют уравнения
5. (3.16)
6. (3.17)

Пример 3.3 Составить уравнение касательной и нормали к кривой y=x3-2 в точке А(2,3).

Решение: Используем уравнение касательной (3.14) и нормали для кривой, заданной в несимметричной форме. Запишем уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку А(2,3): y-3=k(x-2),

• где k – угловой коэффициент прямой (в данном случае произвольный параметр). Для определения k, соответствующего касательной и нормали к кривой, найдем производную  при х=2: 
• Следовательно, для касательной k=12, для нормали k= ‑ 1/12. Подставляя эти значения в уравнение пучка прямых, получим уравнение касательной
• y-3=12(x-2) или y=12x-21, уравнение нормали
• .

Пример 3.4 Составить уравнение касательной и нормали к декартовому листу х3+у3-3аху=0, а>0 (рис.9) в точке А (3а/2;3а/2).

Решение. Используем уравнения касательной (3.16) и нормали (3.17) для кривой заданной в симметричной форме. Записав исходное уравнение в виде F(x,y)=0, найдем:

1. Подставляя значения производных  в уравнение касательной 
2. и нормали: ,
3. получим уравнение касательной у=3а-х, и уравнение нормали у=х.

3.4 КРИВИЗНА КРИВОЙ. ЭВОЛЮТА И ЭВОЛЬВЕНТА КРИВОЙ.

• Если кривая задана уравнением у=у(х), то ее кривизна определяется по формуле:
• (3.18)
• В случае векторно-параметрического задания кривой 
• (3.19)
• Радиус кривизны в данной точке:
• (3.20)

Всякая прямая, проходящая через точку кривой и перпендикулярная касательной в этой точке, называется нормалью к кривой в данной точке.

Вектор нормали к кривой, направленный в сторону центра кривизны и указывающий направление, в котором кривая в окрестности рассматриваемой точки отклоняется от своей касательной, называется вектором главной нормали. Множество центров кривизны кривой образуют ее эволюту.

В случае векторно-параметрического задания кривой уравнение эволюты имеет вид (2.17): , и координаты центра кривизны  определяются формулами:

1. , (3.21)
2. Если кривая задана уравнением y=f(x), то
3. , (3.22)
4. Исходная кривая по отношению к своей эволюте называется эвольвентой.

Пример 3.5 Найти кривизну и радиус кривизны параболы у=х2 в произвольной точке х.

Решение: Кривизну параболы найдем, подставляя  в (3.18):

Эта величина принимает наибольшее значение при х=0, для которого k=2. Радиус кривизны связан с кривизной соотношением (3.20), поэтому

Наименьший радиус кривизны  в точке (0,0).

Пример 3.6 Найти радиус кривизны и эволюту эллипса .

Решение: Представим уравнение эллипса в параметрическом виде:

Подставляя  в формулы (3.19) и (3.20), получим

• .
• Уравнение эволюты найдем по формуле (3.21):
• Таким образом, эволютой эллипса является астроида.

Источник: https://greleon.ru/vishmath/lekcii/184-lekciya-ploskie-krivye-sposoby-zadaniya-ploskoy-krivoydlina-ploskoy-krivoy-kasatelnaya-i-normal-k-krivoy-krivizna-krivoy-evolyuta-i-evolventa.html

Civil 3D

В проектировании объектов гражданского строительства для построения постепенных криволинейных переходов и виражей между прямыми участками и круговыми кривыми, а также между двумя круговыми кривыми различной кривизны, используются различные переходные кривые.

• По отношению к другим прямым участкам и кривым каждая переходная кривая может быть входящей или исходящей.
• При проектировании и разметке переходных кривых часто используются такие параметры как L (длина переходной кривой) и R (радиус круговой кривой).
• На следующей иллюстрации показаны различные параметры переходной кривой:

Параметр переходной кривой	Описание
i1	Центральный угол переходной кривой L1, т.е. собственно угол переходной кривой.
i2	Центральный угол переходной кривой L2, т.е. собственно угол переходной кривой.
T1	Общая длина касательной от ТП до TS.
T2	Общая длина касательной от ТП до ST.
X1	Длина касательной от TS, измеренная в SC.
X2	Длина касательной от ST, измеренная в CS.
Y1	Расстояние смещения касательной от TS, измеренное в SC.
Y2	Расстояние смещения касательной от CS, измеренное в ST.
P1	Смещение исходной касательной в точке PC сместившейся кривой.
P2	Смещение исходной касательной в точке PT сместившейся кривой.
K1	Абсцисса PC, сдвинутой относительно TS.
K2	Абсцисса PT, сдвинутой относительно ST.
LT1	Длинная касательная входящей переходной кривой.
LT2	Длинная касательная исходящей переходной кривой.
ST1	Короткая касательная входящей переходной кривой.
ST2	Короткая касательная исходящей переходной кривой.
Другие параметры переходных кривых
A1	Значение А равно квадратному корню из длины переходной кривой, умноженной на радиус. Это мера пологости кривой.
A2	Значение А равно квадратному корню из длины переходной кривой, умноженной на радиус. Это мера пологости кривой.

Формула

Составные переходные кривые служат для создания перехода между двумя круговыми кривыми различного радиуса. Как и простые переходные кривые, они обеспечивают непрерывность функции кривизны и являются методом создания плавного перехода в вираже.

В Autodesk Civil 3D поддерживается использование нескольких типов переходных кривых, однако наиболее часто используются переходные кривые типа «клотоида». Переходная кривая типа «клотоида» используется в проектировании автомобильных и железных дорог инженерами во всем мире.

Функция кривизны клотоиды, впервые исследованная швейцарским математиком Леонардом Эйлером, представляет собой линейную функцию, выбранную таким образом, что в месте соединения переходной кривой с прямолинейным участком кривизна как функция длины равна нулю. Далее кривизна возрастает линейно до тех пор, пока не достигнет кривизны прилегающей кривой в точке соединения переходной кривой и кривой.

Такая трасса обеспечивает непрерывность функции положения и ее первой производной (местного азимута), подобно тому как это происходит в случае прямого участка и кривой в точке начала кривой (PC). Однако в отличие от простой кривой здесь обеспечивается также непрерывность второй производной (местной кривизны), приобретающей значение при высоких скоростях.

1. Формула
2. Переходные кривые типа «клотоида» могут быть выражены как:
3. Пологость переходной кривой:
4. Общий угол, стягиваемый переходной кривой:
5. Длина касательной, выходящей из точки соединения прямого участка и переходной кривой, измеренная в точке соединения переходной кривой и кривой.

Расстояние смещения касательной, выходящей из точки соединения прямого участка и переходной кривой, измеренная в точке соединения переходной кривой и кривой.

Вместо клотоиды на переходе можно использовать переходную кривую Блосса с параболой пятой степени. Преимущество этой переходной кривой в сравнении с клотоидой заключается в том, что сдвиг P здесь меньше, поэтому переход получается более длинным, как и выступ переходной кривой (K). Этот фактор имеет важное значение при проектировании рельсовых путей.

Формула

Переходные кривые Блосса можно выразить как:

Другие распространенные выражения

Длина касательной, выходящей из точки соединения прямого участка и переходной кривой, измеренная в точке соединения переходной кривой и кривой.

Расстояние смещения касательной, выходящей из точки соединения прямого участка и переходной кривой, измеренная в точке соединения переходной кривой и кривой:

Эти кривые характеризуются согласованным дирекционным углом кривизны; они применяются для перехода между прямыми участками с отклонением 0 и 90 градусов. Однако синусоидальные кривые не имеют широкого применения, так как они более пологи, чем истинная спираль, из-за чего их труднее представлять в табличной форме и размечать.

Формула

Синусоидальные кривые могут быть представлены в виде следующего выражения:

где R — радиус кривизны в любой заданной точке.

Уравнение такой формы часто используется в проектировании железных дорог в Японии. Применение этой кривой целесообразно в ситуациях, при которых требуется эффективно изменить кривизну при малых (с точки зрения динамических характеристик транспортного средства) углах отклонения.

Формула

Кривые типа «убывающая половина синусоиды с прямым участком» можно выразить как:

• где и X — это расстояние от начальной точки до любой точки кривой, измеряемое вдоль (удлиненного) начального прямого участка; X — общее значение Х в конце кривой перехода.
• Другие распространенные выражения
• Длина касательной, выходящей из точки соединения прямого участка и переходной кривой, измеренная в точке соединения переходной кривой и кривой.

Расстояние смещения касательной, выходящей из точки соединения прямого участка и переходной кривой, измеренная в точке соединения переходной кривой и кривой:

Кубические параболы сходятся не так быстро, как кубические переходные кривые, что делает их весьма востребованными при проектировании железных дорог и автострад.

Формула

Минимальный радиус кубической параболы

Радиус в любой точке кубической параболы:

Кубическая парабола достигает минимального значения r при:

Поэтому

Радиус кубической параболы убывает от бесконечности до значения при 24 градусах, 5 минутах 41 секунде, а затем начинает возрастать снова. Это делает кубические параболы бесполезными при отклонениях, превышающих 24 градуса.

Этот переход был разработан в соответствии с требованиями, действующими в Японии. Для ситуаций, в которых требуется применить малый угол отклонения или большой радиус, разработано несколько аппроксимаций клотоиды. Одной из таких аппроксимаций, используемой при проектировании в Японии, является кубическая кривая (JP).

Формула

Кубические кривые могут быть выражены как:

где Х = длина касательной, выходящей из точки соединения прямого участка и переходной кривой, измеренная в точке соединения переходной кривой и кривой

Эту формулу можно также выразить следующим образом:

1. где обозначает центральный угол переходной кривой (показанный как i1 и i2 на иллюстрации)
2. Другие распространенные выражения:
3. Длина касательной, выходящей из точки соединения прямого участка и переходной кривой, измеренная в точке соединения переходной кривой и кривой.

Расстояние смещения касательной, выходящей из точки соединения прямого участка и переходной кривой, измеренная в точке соединения переходной кривой и кривой:

• Это тип кубической параболы, измененной в соответствии с требованиями штата Новый Южный Уэльс.
• Формула
• Кубическую параболу NSW можно выразить в следующем виде:
• где:
• Φ = угол между конечной радиальной линией в R и линией, перпендикулярной исходному прямому участку
• R = радиус кривой
• Xc = общее значение X для заданной переходной кривой

Для би-квадратичных переходных кривых (Шрамма) характерны низкие значения вертикального ускорения. Они состоят из двух парабол второй степени, радиусы которых изменяются как функция длины кривой.

1. Формула простой кривой
2. Кривизна первой параболы:
3. при
4. Кривизна второй параболы:
5. при
6. Данная кривая определяется пользовательской длиной (L) переходной кривой.
7. Формулы составной кривой
8. Кривизна первой параболы:
9. при
10. Кривизна второй параболы:
11. при

Источник: https://knowledge.autodesk.com/ru/support/civil-3d/learn-explore/caas/CloudHelp/cloudhelp/2019/RUS/Civil3D-UserGuide/files/GUID-DD7C0EA1-8465-45BA-9A39-FC05106FD822-htm.html

Вяткина С.Г. Графическая теория кривизны плоской кривой

Библиографическая ссылка на статью:
Вяткина С.Г. Графическая теория кривизны плоской кривой // Современные научные исследования и инновации. 2017. № 3 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2017/03/78765 (дата обращения: 03.02.2020).

В настоящее время основным способом получения точного количественного результата в той или иной науке являются математические вычисления. Не оспаривая справедливость такого подхода, предлагаем дополнительный метод решения инженерных задач – графические вычисления. Основные положения опубликованы в [2] .

Дифференциальное исчисление дает два определения кривизны кривой. Средняя кривизна дуги есть отношение угла смежности к длине дуги. Кривизной линии в данной точке называют предел средней кривизны дуги, когда она стремится к нулю. Далее, основываясь на этих постулатах, логически строго получают формулы, характеризующие параметры (радиус, координаты центра и др.) кривизны.

Не повторяя строгие математические выкладки, дающие итоговые зависимости, отметим, что в процессе их вывода сделано следующее допущения (правда, в завуалированной форме и по умолчанию): в пределе синус угла равен самому углу (sina =a). [1, с.174 4-я строка снизу]. Зависимость выполняется лишь при a=0, но на нуль делить нельзя.

Так, в [1, с.506] утверждается «У циклоиды радиус кривизны в точке О равен нулю…». Более того, в [1, с.183] это свойство доказывается путем математических преобразований.

Нулевая кривизна с математической точки зрения существует и в начальной точке эвольвенты круга: «В частности, в начальной точке радиус кривизны эвольвенты равен нулю: …» [1, с.782].

Это же свойство приписывается и кардиоиде [1, с.769].

Особенность математического способа определения параметров кривизны состоит в том, он применим лишь для кривых, имеющих математическое описание, а также, кроме того, первую и вторую производную.

Это значительно сужает область применения этой теории.

Поэтому, по крайней мене, в справочной литературе, приводится ограниченное число эволют кривых: эллипс, парабола, циклоида, эвольвента круга, некоторые другие и отдельные точки эволюты кардиоиды.

Именно, с помощью второй производной в математике доказывается, что в точке перегиба кривизна нулевая: «Если вторая производная равна нулю, то кривизна равна нулю, радиус кривизны бесконечен и центра кривизны нет» [1, с.501].

Прежде чем перейти к опровержению этих утверждений, докажем теорему.

Любая точка любой плоской кривой имеет конечный радиус, каждая ее точка может быть и начальной, и точкой перегиба.

Но вначале дадим термины и определения, а также способ определения параметров кривизны: радиус и центр кривизны. При этом будем исходить из того, что точка, как геометрический объект не имеющий измерения, параметров кривизны не имеет, даже находясь в составе какой-либо кривой.

Исходя из этой позиции, радиуса кривизны как абсолютной величины в любой точке не существует.

Можно говорить лишь о предельном значении, величину которого можно определить экстраполяцией измеренных значений в исследуемую точку.

Строго говоря, и при этом подходе можно иметь три различных значения предельного радиуса. Одно значение можно получить, приближаясь к исследуемой точке с одной стороны кривой, другое − с противоположной, и, наконец, третье, если исследовать интервал кривой, ограниченный двумя точками, расположенными на равном расстоянии от исследуемой по разные стороны от нее.

В качестве истины можно принимать либо третий вариант, либо среднее значение из первых двух.

Определение понятий касательная и нормаль заимствуем из математики. Графически касательную представляют, как прямую имеющую единственную общую точку с кривой в данной ее части.

Дабы расширить способ определения параметров кривизны на произвольную плоскую линию введем следующий способ их определения. При этом в качестве параметров будем рассматривать только радиус и координаты центра кривизны, то есть «привязывая» их к определенной локальный системе отсчета, если в этом есть необходимость.

На заданной кривой выбираем две близко расположенные точки, с помощью графического редактора или вручную карандашом на бумаге, проводим в них две касательные, а к ним две нормали. Точку пересечения нормалей будем считать центром, а расстояние от него до одной из точек радиусом кривизны.

Кстати, описанный метод можно считать алгоритмом компьютерного вычисления. Тогда можно увеличить и точность вычислений и задавать большее число точек на исследуемой кривой. Это будет еще один вид стандартной кривой (наряду с эквидистантой, кривой Безье и др.) однозначно характеризующее, в данном случае кривизну произвольной заданной кривой.

Для доказательства вышеизложенной теоремы выберем произвольную замкнутую или непрерывную (можно периодически повторяющуюся) плоскую кривую (рис.1), образованную кинематическим путем, как и большинство замечательных математических кривых. В частности, это может быть траектория одной из точек многозвенного механизма.

Все точки этой кривой естественно имеют конечный (не нулевой) радиус кривизны. С другой стороны, по способу создания кривой, все точки «равноправны», поэтому любую из них можно считать начальной.

Сопоставляя оба суждения, приходим к выводу, что начальная точка не может иметь нулевой радиус кривизны. К этому же выводу можно прийти и логическими рассуждениями.

Невозможно мысленно представить кривую нулевого радиуса кривизны даже в одной ее точке.

Для доказательства сформулированной выше теоремы возьмем произвольный фрагмент произвольной кривой, выберем на нем произвольную точку (А) с известным предельным радиусом кривизны (R) и построим в ней касательную (k) к кривой. Поделим кривую в точке А на две отдельные части. Заменим одну из частей кривой ее симметричным отображением относительно касательной.

Рис.1 Радиусы кривизны кривой в точке перегиба.

В результате получим новую кривую с точкой перегиба (в точке А). Она непрерывна, не имеет излома, обе составные части имеют общую касательную. Но точка А имеет по построению два равных конечных разнонаправленных радиуса кривизны, что и требовалось доказать.

Кстати это свойство точки перегиба широко используется в инженерной графике или черчении (здесь она называется точкой сопряжения), для построения сопряжения кривых линий или прямой с кривой.

При этом радиусы кривизны кривой по обе стороны от точки перегиба может иметь разные значения.

Для графического исследования кривизны кривой в начальной точке выбрана Циссоида Диокла. В ее описании [1] также отмечается, радиус кривизны в нулевой точке, она же точка возврата, равен нулю (R0=0).

Рис.2. Графическое изображение (´100) начального участка Циссоиды Диокла

По уравнениям (в прямоугольной и полярной системах), приводимых в [1], на графике рис.2 строим 6 точек вблизи от начальной. Например, первая из них имеет координаты: x=0.12182; y=0.00425.

Визуальная оценка формы кривой при 100 кратном увеличении показывает, что она ближе к прямой, чем к непонятно как изображаемой кривой нулевого радиуса.

Построения дали количественные параметры радиуса кривизны в области нулевой точки. С этой целью построены две нормали к одной ветви в нулевой (n0) и первой точке, координаты которой указаны выше (n1). Они пересеклись в точке A – центре средней кривизны начального участка Циссоиды Диокла. Измерение по чертежу показали, что численное значение радиуса кривизны равно@2,62 мм.

Более точно численное значение координат центра и радиуса кривизны можно получить аналитическим путем. Для этого достаточно составить с использованием первой производной, если кривая дифференцируема, или по чертежу два уравнения нормалей в двух точках (в данном случае нулевой и первой) и совместно решить их.

Но это предмет специальных исследований, выходящий за рамки поставленной автором задачи. Приводимые на рис.2 данные убедительно показывают, что кривизна в начальной точке имеет конечное, далеко не нулевое значение.

Конечное значение радиуса кривизны в точке перегиба рассмотрим на кривой, описываемой параметрическими уравнениями:

При положительных значениях переменного параметра t – это параметрические уравнения циклоиды, при отрицательных – кривая одновременно симметричная относительно осей абсцисс и ординат.

Рассмотрим часть этой кривой в пределах изменения аргумента от t= – 0,15° до t=+0,15° (Рис. 3).

Рис.3. Начальный участок кривой и его параметры.

На рис.3 показан участок кривой (кривая b), построенный по точкам при следующих значениях аргумента: t=±0,4; ±0,6; ±0,48; ±0,10; ±0,12 и ±0,15, величина параметра a=100 мм. Здесь же нанесена эволюта (с) верхней части кривой (циклоиды), построенной также по точкам уравнения эволюты циклоиды, найденной методами дифференциального исчисления.

Кроме того, графически по двум нормалям (в нулевой точке и ближайшей к ней) определены параметры кривизны: центр кривизны имеет координаты x=7,52 и y= -0,06 мм, радиус кривизны 7,53 мм.

Выполним сравнение и анализ полученных разными методами: графическим и дифференциального исчисления.

Итак, с точки зрения дифференциального исчисления точка О, как нулевая точка циклоиды должна иметь нулевой радиус кривизны. Это означает, что центр кривизны (точка А) должна совпадать с точкой О. Визуально видно, что и кривая b целиком, и ее верхняя часть ближе к прямой, чем к непонятно как выглядящей кривой нулевой кривизны.

С другой стороны, у кривой b точка O является точкой перегиба. Но она, согласно теории дифференциального исчисления, должна иметь бесконечный радиус кривизны (что судя по рис.3 ближе к истине). Налицо явное противоречие.

Ближе к истине, по-видимому, третий вариант, полученный графически. Радиус кривизны в нулевой точке, она же точка перегиба, конечен и примерно равен указанной выше величине. Не абсолютное, но более точное его значение можно найти аналитически, хотя существенно оно отличаться не будет.

В качестве объекта построения эволюты выберем «замечательную» (по терминологии [1, с.769] кривую – улитку Паскаля, а точнее ее частный случай кардиоиду. Это сделано потому, что в ней известны две точки (хотя одна с ошибкой присущей используемому методу) эволюты (для сравнения полученных результатов), но не известна приблизительно даже ее форма.

К слову исследованием различных свойств (форма, параметры кривизны, точки перегиба, кинематические свойства, площади, объемы) замечательных кривых занимались многие известные геометры, в основном прошлого времени. Компьютерное исследование этих кривых позволяет уточнить некоторые полученные ранее параметр и зависимости.

Но об этом будет сказано в последующих публикациях.

Итак, используя уравнение кардиоиды в полярной форме с интервалом 5-10 градусов по точкам построена кривая, диаметр производящего круга которой принят 20 мм.

В исследуемой точке и точке, отстоящей от нее на расстояние 0,02 мм, по хорде, проводились касательные (k), а к ним нормали (n). Точки пересечения нормалей считались центрами кривизны.

Их геометрическое место также кардиоида, но с основной окружностью примерно в 3 раза меньшего размера (рис.4). Радиусы кривизны в исследуемых точках также графически показаны на рис.4.

Рис.4. Графическое построение эволюты кардиоиды.

Построение эволюты (рис.4а) выполнено по описанному выше методу. Диаметр основной окружности a=20 мм. Параметр l для кардиоиды всегда равен a, а полюс в точке с нулевыми координатами.

Кардиоида построена по точкам: вспомогательные прямые, проходящие через полюс, проводились через 10 градусов (0, 10, 20 …). Точки эволюты находили для участка кривой с хордой длиной 0,2 мм.

При этом плавности кривой (эволюты) добивались увеличением числа исследуемых участков.

В результате установлено: в точке А радиус кривизны равен 4/3a, что совпадает с параметром, указанном в справочнике. Остальные точки эволюты кардиоиды образуют также кардиоиду, но размерами меньшими примерно в три раза.

Эта зависимость установлена, по-видимому, впервые. Термин примерно означает, что фактически кардиоида больше своей эволюты в 2,97.

И это число нельзя считать окончательным, необходимо установить последующие знаки, если это окажется возможным.

Измеренное расстояние до начальной точки – радиус кривизны – 1,31 мм (рис.4в). Таким образом, графически доказано, что радиус кривизны в начальной точке кардиоиды не равен нулю, как это утверждает дифференциальное исчисление.

Разрыв в эволюте составляет примерно 2,62 мм, ее отдельное изображение показано на рис.4б.

Радиус кривизны в полюсе кардиоиды естественно не равен нулю, его графическое определение дает значение R=1,31 мм. На величину удвоенного радиуса кривизны в начальной точке эволюта имеет разрыв.

В заключение отметим, что графическое и аналитическое (методами дифференциального исчисления) определение параметров кривизны (эволюты) эллипса ввиду отсутствия нулевых точек и точек перегиба расхождений не дает. Построение эволют произвольных кривых имеет лишь прикладной характер, поэтому здесь не приводится.

Библиографический список

1. Выгодский М.В. Справочник по высшей математике. М.: Джангар. 1998. – 863с.
2. Савельев Ю.А. Графическое построение эволют кривых и исследование их формы. //Совершенствование подготовки студентов в области графики. Сб. научн. трудов: Саратов: СГТУ, 2008 – С. 100 – 105.

Количество просмотров публикации: Please wait

Источник: http://web.snauka.ru/issues/2017/03/78765

Кривизна плоской кривой

Рассмотрим плоскую линию, определяемую уравнением   y = ƒ(x). Проведём касательную к этой линии в точке   M₀(x₀, y₀); обозначим через   α   угол, образованный касательной с осью   Ox.
Пусть касательная в точке   M   образует с осью   Ox   угол   α + Δα.

Угол   Δα   между касательными в указанных точках называют углом смежности. Можно сказать, что при переходе из точки   M₀   в точку   M   данной линии касательная к ней повернулась на угол   Δα, которому будем приписывать соответствующий знак в зависимости от направления поворота.

Средней кривизной     дуги данной линии называется абсолютное значение отношения угла смежности Δα   к длине   Δℓ   дуги :   = |Δα/Δℓ|.

Кривизной линии в данной точке   M₀   называется предел средней кривизны дуги при M → M₀:
.
Отметим, что для прямой   k = 0, а для окружности радиуса   R   кривизна   k = 1/R.
Кривизна линии, заданной уравнением   y = ƒ(x), в точке   M(x, y) вычисляется по формуле:
k = |y″|/√(1 + y′²)³
Если линия задана параметрическими уравнениями   x = x(t),   y = y(t), то формула принимает вид:
k = |x′·y″ − x″·y′|/√(x′² + y′²)³
Кривизна линии, заданной уравнением   ϱ = ϱ(φ)   в полярных координатах, вычисляется по формуле:

• k = |ϱ² + 2·ϱ′² − ϱ·ϱ″|/√(ϱ′² + ϱ²)³
• Пример 1
  Найти кривизну косинусоиды   y = cos x   в точке   M(0, 1).
• Поскольку   y′ = −sin x,   y″ = −cos x, кривизна косинусоиды в её произвольной точке определяется формулой
  k = |cos x|/√(1 + sin²x)³
• При   x = 0   получаем   k = 1/√1³ = 1.
• Пример 2
  Найти кривизну линии, заданной в полярных координатах
• ϱ = a·(1 + cos φ) = 2·a·cos²(½ φ)

Данное уравнение определяет кардиоиду.
Кардиоида — линия, описываемая точкой   M   окружности радиуса   r, катящейся по окружности с таким же радиусом.

1. На рисунке — кардиоида, определяемая уравнением   ϱ = a·(1 − cos φ) = 2·a·sin²(½ φ)
2. Поскольку   ϱ′ = −a·sin φ = −2·a·sin(½ φ)·cos(½ φ),
   ϱ″ = −a·cos φ = a·(sin²(½ φ) − cos²(½ φ)), получим:
   ϱ′² + ϱ² = 4·a²·cos²(½ φ)·(sin²(½ φ) + cos²(½ φ)) = 4·a²·cos²(½ φ),
   ϱ² + 2·ϱ′² − ϱ·ϱ″ = ϱ′² + ϱ² + ϱ′² − ϱ·ϱ″ = 4·a²·cos²(½ φ) +
3. + 2·a²·cos²(½ φ)·(2·sin²(½ φ) + cos²(½ φ) − sin²(½ φ)) = 6·a²·cos²(½ φ)
4. Тогда кривизна кардиоиды в произвольной точке
   k = 6·a²·cos²(½ φ)/(8·a³·|cos³(½ φ)|) = 3/(4·a·|cos(½ φ)|)
5. Кривизна кардиоиды стремится к бесконечности, а радиус кривизны   R = 1/k — соответственно к нулю при
   cos(½ φ) = 0 ⇒ ½ φ = ½ π + π·n = ½ (2·n + 1)·π ⇒ φ = (2·n + 1)·π   (n ∈ ℤ),

т. е., в точках касания внешней и внутренней окружностей.

©   https://znatok.wordpress.com/

Источник: https://znatok.wordpress.com/2010/12/25/curvatura/

Линия

Линии занимают особое положение в начертательной геометрии. Используя линии, можно создать наглядные модели многих процессов и проследить их течение во времени.

Линии позволяют установить и исследовать функциональную зависимость между различными величинами.

Линии широко используются при конструировании поверхностей различных технических форм. Умело подбирая линии, дизайнер имеёт возможность придать изящные эстетические формы конструируемым изделиям.

Понятая и определения

В § 8 отмечалось, что при определении геометрических фигур в геометрии принято исходить из основных (неопределяемых) понятий — точка, прямая, плоскость и расстояние, а в современном представлении также понятия множество.

Базируясь на этих элементарных понятиях, линию целесообразно трактовать как траекторию перемещения точки (рис. 90). Такое представление линии позволяет получить определение линии, используя такие основные понятия геометрии, как точка и множество. В этом случае линию можно рассматривать как непрерывное множество всех принадлежащих ей точек.

Если учесть, что положение точки при ее движении по заданной траектории будет зависеть от непрерывно меняющейся величины d (расстояние до точки от начала координат*), то можно утверждать, что положение точки, принадлежащей линии, определяется непрерывно меняющейся величиной d. Тогда, окончательно приняв d за параметр, приходим к следующему определению — линия есть непрерывное однопараметрическое множество точек.

В этом определении словом непрерывное подчеркивается, что двум бесконечно близким значениям параметра соответствуют две также бесконечно близкие точки.

Следует иметь в виду, что данное определение линии является условным. В действительности положение точки будет зависеть не только от вектора d (определяющего величину расстояния) , но и от углов его наклона к плоскостям проекций.

Мы останавливаемся на нем лишь потому, что в дальнейшем, при изложении гл. IV «Поверхность», оно позволяет получить определение поверхности, основание также на понятиях точка и множество и, что более важно, подойти к этому определению с точки зрения кинематического способа получения поверхности.

* В случае окружности начало координат не должно совпадать с ее центром.

• Рассматривая поверхность как след, который оставляет геометрическая фигура при своем перемещении в пространстве, можно ввести понятие определитель, которое играет весьма важную роль в теории поверхностей.
• Линии подразделяются на алгебраические*, если в декартовой системе координат они определяются алгебраическими уравнениями, и трансцендентные**, если они описываются трансцендентными уравнениями.
• Линии могут быть пространственными и плоскими.
• Пространственными или линиями двоякой кривизны называют линии, все точки которых не принадлежат одной плоскости.
• Линии, у которых все точки принадлежат одной плоскости, называют плоскими.

Если алге6раическое уравнение, описывающее линию, n-й степени, то алгебраическая кривая считается n-го порядка. Порядок алгебраической кривой определяется также числом точек ее пересечения с плоскостью (для пространственной линии) или прямой (для плоской линии). При этом следует иметь в виду, что в число точек пересечения включаются точки с действительными и мнимыми координатами.

Простейшей линией является прямая. Так как свойства прямой и задание ее на эпюре Монжа уже известны читателю (см. гл. I, § 8), в настоящей главе речь будет идти о характеристиках и свойствах кривых линий (пространственных и плоских) и построении их ортогональных проекций.

I. Пространственные кривые линии

Было отмечено, что пространственными кривыми называются линии, все точки которых не принадлежат одной плоскости. Рис. 91 дает наглядное представление о произвольной пространственной кривой линии.

• На рис. 92 показана пространственная кривая l. Возьмем на ней произвольную точку М и проведем через нее секущие [МА) и [МВ).Подробнее
• Графический способ построения касательной и нормали к плоской кривой базируется на использовании «кривой ошибок».Подробнее
• Величина угла α° между полукасательными в двух бесконечно близких точках, отнесенная к длине дуги s, заключенной между этими точками, характеризует степень искривленности кривой линии.Подробнее
• Из рис. 100 видно, что окружность кривизны в точке соприкасания имеет общую с кривой l касательную tA и нормаль nA. Этим свойством можно воспользоваться для графического определения центра кривизны кривой в данной точке.Подробнее
• Определение эволюты и эвольвенты неразрывно связано с понятием кривизны кривой линии. Если определить положение центров кривизны O1, O2, … , Оn ряда, принадлежащих данной кривой l (рис. 102), точек А1, А2, … , Аn и соединить их плавной кривой, то получим кривую m, называемую эволютой кривой l. Итак, эволюта есть множество точек, являющихся центрами кривизны линии.Подробнее
• Вид кривой l вблизи некоторой точки М с единственной касательной t зависит от характера движения точки вдоль касательной и направления: поворота касательной. Поясним это утверждение на примерах.Подробнее
• Для построения ортогональных проекций кривой (пространственной или плоской) необходимо построить проекции ряда точек, принадлежащих этой кривой, и соединить между собой одноименные проекции в той же последовательности, в какой они располагались на оригинале.Подробнее
• На рис. 114 даны две проекции пространственной кривой l. Чтобы определить длину кривой, необходимо осуществить ее спрямление. Спрямление пространственной кривой, заданной ортогональными проекциями, осуществляется следующим путем:Подробнее

Источник: http://nachert.ru/course/?lesson=8&id=50

Кривизна кривой — это… Что такое Кривизна кривой?

В дифференциальной геометрии, кривизна́ — собирательное название ряда количественных характеристик (скалярных, векторных, тензорных), описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» (кривой, поверхности, риманова пространства и т. д.) от соответствующих «плоских» объектов (прямая, плоскость, евклидово пространство и т. д.).

Обычно кривизна определяется для каждой точки на «объекте» и выражается как значение некоторого дифференциального выражения 2-го порядка.

Иногда кривизна определяется в интегральном смысле, например, как мера, такие определения используют для «объектов» пониженной гладкости.

В этой статье приводятся только несколько простейших примеров определений понятия кривизны.

Кривизна кривой

Пусть γ(t) — регулярная кривая в d-мерном евклидовом пространстве, параметризованная длиной. Тогда

называется кривизной кривой γ в точке p = γ(t), здесь обозначает вторую производную по t. Вектор

называется вектором кривизны γ в точке p = γ(t0).

Для кривой, заданной параметрически в общем случае (параметр не обязательно является длиной), кривизна отображается формулой

,

где и соответственно обозначают первую и вторую производную радиус-вектора γ в требуемой точке.

Для того чтобы кривая γ совпадала с некоторым отрезком прямой или со всей прямой, необходимо и достаточно, чтобы кривизна (или вектор кривизны) тождественно равнялась нулю.

Величина, обратная кривизне кривой, называется радиусом кривизны; он совпадает с радиусом соприкасающейся окружности в данной точке кривой. Центр этой окружности называется центром кривизны.

Кривизна поверхности

Пусть Φ есть регулярная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве.

Пусть p — точка Φ, Tp — касательная плоскость к Φ в точке p, n — единичная нормаль к Φ в точке p, а — πe плоскость, проходящая через n и некоторый единичный вектор e в Tp.

Кривая γe , получающаяся как пересечение плоскости πe с поверхностью Φ, называется нормальным сечением поверхности Φ в точке p в направлении e. Величина

где обозначает скалярное произведение, а k — вектор кривизны γe в точке p, называется нормальной кривизной поверхности Φ в направлении e. С точностью до знака нормальная кривизна равна кривизне кривой γe.

κe = κ1cos2α + κ2sin2α

где α — угол между e1 и e2, a величины κ1 и κ2 нормальные кривизны в направлениях e1 и e2, они называются главными кривизнами, а направления e1 и e2 — главными направлениями поверхности в точке p. Главные кривизны являются экстремальными значениями нормальных кривизн. Структуру нормальных кривизн в данной точке поверхности удобно графически изображать с помощью индикатрисы Дюпена.

Величина

H = κ1 + κ2, (иногда )

называется средней кривизной поверхности. Величина

K = κ1κ2

называется гауссовой кривизной поверхности.

Гауссова кривизна является объектом внутренней геометрии поверхностей, в частности не изменяется при изометрических изгибаниях.

См. также

Литература

Wikimedia Foundation. 2010.

Источник: https://xzsad.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/988280

Кривизна пространственной кривой, которая задана как пересечение двух поверхностей

vipetroff

Пусть задана пространственная кривая как пересечение поверхностей F(x, y, z)=0, G(x, y, z)=0, требуется найти её кривизну в точке M=(x*, y*, z*).Для заданной параметрически кривой r(t) формула кривизны выглядит так:

k(t)=|r'(t) x r»(t)|/|r'(t)|3 (1)

Но в данном случае кривая задана двумя уравнениями поверхностей в неявной форме и выразить её через параметр t может не получиться.

Известно, что для плоских кривых заданных неявным уравнением F(x, y)=0 с непрерывными частными производными ∂F∂x и ∂F∂y в некоторой окрестности точки (y*, x*), y*=y(x*), производную явного уравнения y=y(x) найти можно по формуле y'(x*)=-∂F∂x/∂F∂y, при условии ∂F∂y≠0.

Рассмотрим частный случай нашей задачи, а именно, что пересечение поверхностей задано уравнениями F(x, y)=0 и G(x, z)=0. Тогда, с учётом всего вышесказанного, можно найти первую производную

r'(x)=(x', y', z')=(1,  -∂F∂x/∂F∂y, -∂G∂x/∂G∂z)

Также в предположении существования и непрерывности частных производных второго порядка можно найти и вторую производную

y»(x*)=-[∂2F∂x2(∂F∂y)2 — 2∂2F∂x∂y ∂F∂x ∂F∂y + ∂2F∂y2(∂F∂x)2]/(∂F∂y)3=D(∂2F, ∂x, ∂y) и

r»(x)=(x», y», z»)=(0, y»(x), z»(x))=(0, D(∂2F, ∂x, ∂y), D(∂2G, ∂x, ∂z))

Теперь подставим выражения r(x*), r'(x*) и r»(x*) в формулу (1) и найдём кривизну кривой k в точке M=(x*, y*, z*).Рассмотрим общий случай, здесь мы не будем требовать чтобы t=x.

Касательный вектор r'(t) должен лежать одновременно в двух соприкасающихся плоскостях к поверхностям, то есть вектор скорости перпендикулярен одновременно двум нормалям к этим плоскостям, градиенты коллинеарны к нормалям, поэтому если взять их векторное произведение, то результирующий вектор будет удовлетворять требованиям к касательному вектору какой-то определённой параметризации r(т). Поэтому за первую производную можно взять

r'(т)=grad F x grad G  (2)

r»(т)==[grad (grad F x grad G), grad F, grad G],

квадратные скобки обозначают смешанное произведение.

R(x, y, z)=(R1, R2, R3)=(∂F∂y ∂G∂z — ∂F∂z ∂G∂y, ∂F∂z ∂G∂x — ∂F∂x ∂G∂z, ∂F∂x ∂G∂y — ∂F∂y ∂G∂x)

Ri(x(t), y(t), z(t))'=(x(t), y(t), z(t))

• например R1'=
• Пример.

Зная первую и вторую производную r(т) по формуле (1) можем найти кривизну кривой общего случая.Кривая задана в R3 (x, y, z) в неявном виде уравнениями x+sh(x)=sin(y)+y и z+exp(z)=x+ln(1+x)+1. Найти её кривизну в точке (0, 0, 0).

1. В этом решении в качестве параметра t подразумевается переменная x, вектор производных r'(0)=(1, 1, 1), r»(0)=(0, 0, -1), k=√2/(√3)3.
2. Если вектор перовой производной искать как r'(т)=grad G x grad F, то r'(0)=(4, 4, 4), r»(0)=(8, 8, -8), сравните вектора перовой и второй производной с векторами из первого решения, и кривизна, так как (4,4,4)x(8,8,-8)=(-64,64,0), равна k=(64√2)/(4√3)3=√2/(√3)3.
3. http://vk.com/note19851409_11992547

Источник: https://vipetroff.livejournal.com/727.html

Геодезическая кривизна кривой. геодезические линии

— ее естественная параметризация. Подставляя (10.2) в (10.1), получим векторное уравнение этой кривой

— вектор скорости в некоторой точке ре 7, а

— вектор ускорения (кривизны) кривой 7 в точке р, п — орт вектора кривизны. Имеем

где к — кривизна кривой 7 в точке р. Вектор р% — ортогональная проекция вектора кривизны на нормаль,

где кт = т ? — нормальная кривизна кривой 7 в точке

р. Спроектировав вектор кривизны на касательную плоскость, получим вектор геодезической кривизны кривой 7 в точке р

Так как ±v, то по теореме трех перпендикулярах проекция вектора вектор pLLv. Векторное произведение вектор g =

= [v,m] коллинеарен вектору pi

Коэффициент кд в (10.9) называется геодезической кривизной кривой 7 в точке р. Имеем

Кривая 7 называется геодезической, если в каждой ее точке геодезическая кривизна равна нулю.

Из определения следует, что геодезическая линия характеризуется тем, что ее вектор кривизны в каждой точке лежит на нормали к поверхности в этой точке.

Найдем дифференциальные уравнения геодезических. В (10.5) подставим вместо г^ его разложение в соответствии с деривационными формулами. В результате получим

или

Отсюда следует, что кривая у является геодезической тогда и только тогда, когда

13) существует и является единственным при заданных начальных условиях.

Это означает, что если задать пару чисел и‘0 = (м^^о) из области определения функции г(их,«[2]) и ненулевую пару чисел vo = (wo>vo)' т0 существуют so,e > 0 и функции и[1](я),и[2](в), определенные в интервале ад — е < s < ад + е, являющиеся решением системы (10.13) такие, что

• а) иг{so) = иг0,
• б) ^-Ч = vгде Л ф 0 некоторая постоянная.
• 8 I 3—Sq

Геометрически это означает, что через каждую точку поверхности в заданном направлении проходит единственная геодезическая.

Замечание. Теорема существования обеспечивает существование решения в некотором интервале, если решение существует для всех s числовой прямой К, то говорят, что геодезическую можно продолжить. Если любую геодезическую на поверхности можно продолжить, то поверхность называется полной.

Источник: https://ozlib.com/881537/matematika_/geodezicheskaya_krivizna_krivoy_geodezicheskie_linii