Кривизна и её вычисление — справочник студента

• Пусть кривая задана параметрически: x=j(t), y=y(t). Тогда
• 
• Подставляя полученные выражения в формулу 3, получаем

Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах.

Пусть кривая задана уравнением вида r = f(q). Запишем формулы перехода от полярных координат к декартовым: x = r cos q, y = r sin q .

1. Если в эти формулы подставить вместо r его выражение через q, то есть f(q), то получим
2. x = f(q) cos q, y = f(q) sin q
3. Последние уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой, причём параметром является q.
4. Тогда ,
5. ,
6. Подставляя последние выражения в формулу, получаем формулу для вычисления кривизны кривой, заданной в полярных координатах:

Радиус и круг кривизны

Определение 7. Величина R, обратная кривизне К линии в данной точке М, называется радиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке: R = 1/K, или

Построим в точке М нормаль к кривой (рис. 8 ), направленную в сторону вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок МС, равный радиусу R кривизны кривой в точке М.

Точка С называется центром кривизны данной кривой с центром в точке С (проходящий через точку М) называется кругом кривизны данной кривой в точке М.

Из определения круга кривизны следует, что в данной точке кривизна кривой и кривизна круга кривизны равны между собой. Выведем формулы, определяющие координаты центра кривизны.

Пусть кривая задана уравнением y=f(x). Зафиксируем на кривой точку M(x, y) и определим координаты a и b центра кривизны, соответствующего этой точке (рис. 9).Для этого напишем уравнение нормали к кривой в точке М:

• Так как точка C(a, b) лежит на нормали, то её координаты должны удовлетворять уравнению .
• Далее, точка C(a, b) находится от точки М на расстоянии, равном радиусу кривизны R:
• Решив совместно уравнения * определим a, b:
• и так как , то

Чтобы решить вопрос о том, верхние или нижние знаки сле6дует брать в последних формулах, нужно рассмотреть случай y!!>0 и y!!0 , то в этой точке кривая вогнута и, следовательно, b>y (рис. 9) и поэтому следует брать нижние знаки. Учитывая, что в этом случае ½y!!½= y!!, формулы координат центра запишем в следующем виде:

(1)

Аналогично можно показать, что формулы будут справедливы и в случае y!!

Источник: https://megalektsii.ru/s21193t2.html

Функция Кривизна—Справка | ArcGIS Desktop

Функция Кривизна отображает форму или кривизну склона. Поверхность может быть вогнутой или выпуклой, вы можете узнать это, глядя на величину кривизны. Кривизна рассчитывается путем вычисления второй производной поверхности.

Выходные значения функции кривизны могут быть использованы для описания физических характеристик водосборного бассейна, которые могут помочь в понимании процессов эрозии и поверхностного стока.

Плановая кривизна (кривизна в плоскости) влияет на конвергенцию и дивергенцию потока.

ЦМР-представление поверхности.Поверхность функции кривизны.

Три параметра функции кривизны:

• Входной растр – растр ЦМР, где в каждом пикселе хранится значение высоты.
• Тип кривизны – Описывает различные аспекты склона. Есть три варианта типа кривизны: Профиль, Вид в плане и Стандартный.
• Z-коэффициент – Подгоняет единицы измерения Z, Если они отличаются от единиц измерения x.y входной поверхности. Если единицы измерения x.y и z одинаковы, то коэффициент z должен быть равен 1. Z-значения входной поверхности умножаются на этот коэффициент при вычислении выходной поверхности. Например, если единицы измерения для z-значений – футы, а координаты x,y приведены в метрах, для преобразования z-значений из футов в метры вы должны использовать коэффициент z, равный 0,3048 (1 фут = 0,3048 метра).

Единицы измерения кривизны выходного растра – это сотые доли (1/100) величины z. Корректные предполагаемые значения кривизны растра для холмистого рельефа, как правило, находятся в диапазоне от -0.5 до 0.5; в то время, как для территорий с крутыми, скалистыми горами значения могут варьироваться от -4 до 4.

Тип кривизны определяет различия в форме склона. Выберите тип кривизны, который лучше всего подходит для описания склона.

Кривизна профиля – это параллель к уклону, она описывает угол максимального уклона. Она влияет на ускорение и замедление потоков на поверхности.

Отрицательное значение (А) означает, что поверхности в большинстве своем выпуклая в данной точке, и поток будет замедляться.

Положительное значение (В) говорит о том, что поверхность в этой ячейке вогнутая, и поток будет ускоряться. Значение 0 указывает на то, что поверхность линейная (С).

Кривизна Профиля

Плановая кривизна – это перпендикуляр к направлению максимального уклона. Плановая кривизна связана с конвергенцией и дивергенцией потока на поверхности.

Положительное значение кривизны (А) указывает на то, что поверхность в этой ячейке горизонтально-выпуклая. Отрицательное значение (В) указывает на то, что поверхность в этой ячейке горизонтально-вогнутая.

Значение 0 указывает на то, что поверхность линейная (С).

Плановая кривизна

Стандартная кривизна комбинирует плановую и профильную кривизну. Профильная кривизна влияет на ускорение или замедление потока, и, следовательно, влияет на эрозию и депонирование осадков. Плановая кривизна влияет на конвергенцию и дивергенцию потока. Учет обоих типов кривизны позволяет лучше понять поведение потоков на поверхности.

На рисунке ниже в столбцах перечислены типы плановой кривизны, а в строках – профильной. Слева направо значение столбцов плановой кривизны сначала положительное, потом отрицательное, потом 0. Значения профильной кривизны: отрицательное, положительное, 0 (если идти сверху вниз).

Стандартная кривизна комбинирует плановую и профильную кривизну.

Источник: https://desktop.arcgis.com/ru/arcmap/10.4/manage-data/raster-and-images/curvature-function.htm

Вычисление главных кривизн

• Найдем отношение первой и второй квадратичных форм
• II/I=(Ldu2+2Mdudv+Ndv2)/( Edu2+ 2Fdudv+ Gdv2)=k0
• Полученную величину k0 назовем нормальной кривизной поверхности в данном направлении (du:dv)

Направление (du:dv) на поверхности будем называть главным, если нормальная кривизна поверхности в этом направлении достигает экстремального значения Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. — М., изд. «Наука», 1969, С. 126,132. .

Пусть на поверхности в данной точке уже вычислены коэффициенты первой и второй основных квадратичных форм. Требуется найти главные кривизны. Мы их можем найти из (необходимого и достаточного) условия теоремы Родрига:

1. В случае бесконечно малого смещения в главном направлении (первом или втором) dm и dr коллинеарны и имеют место формулы dm=-k1dr или dm=-k2dr (первая или вторая).
2. Обратно, если для какого-нибудь бесконечно малого смещения из данной точки М по поверхности dm и dr коллинеарны, так что можно записать формулу dm=-kdr, где k — некоторый численный коэффициент, то направление смещения — главное, а k равно соответствующей главной кривизне k1 или k2.
3. Воспользуемся формулой dm=-kdr из этой теоремы и напишем вместо dr, dm их развернутые выражения
4. mudu+mvdv = -k(rudu + rvdv).
5. Это одно векторное равенство можно заменить двумя скалярными, а именно, умножая скалярно обе части равенства на ru и rv по очереди:
6. murudu+mvrudv=-k(rurudu+rvrudv),
7. murvdu+mvrvdv=-k(rurvdu+rvrvdv).

Двух скалярных равенств достаточно потому, что векторы dm и -kdr заведомо лежат в касательной плоскости, и для их равенства не только необходимо, но и достаточно, чтобы они давали одинаковые скалярные произведения с двумя неколлинеарными векторами в этой плоскости. В качестве таких векторов мы взяли ru, rv.

Полученные уравнения можно переписать, умножив их почленно на -1 и заменив скалярные произведения коэффициентами первой и второй квадратичных форм. Получим

• Из этих двух уравнений мы должны определить главную кривизну k.
• Перенесем в этих уравнениях все члены влево, и перепишем следующим образом:
• (L-kE)du+(M-kF)dv=0,
• (M-kF)du+(N-kG)dv=0.
• Так как для главной кривизны k эта система двух однородных уравнений относительно du, dv, совместна, то определитель этой системы должен быть равен нулю:
• L-kE M-kF
• M-kF N-kG =0
• Мы получаем квадратное уравнение относительно k, которому должны удовлетворять главные кривизны k1 и k2 и из которого их можно определить. Напишем это уравнение в развернутом виде:
• (EG-F2)k2+(2MF-EN-LG)k+(LN-M2)=0.

Нетрудно было бы написать явные выражения для каждой из главных кривизн k1,k2, как для корней этого квадратного уравнения. Но эти выражения были бы довольно громоздки, и вычисление их не дало бы какого-либо преимущества.

Зато из уравнения (EG-F2)k2+(2MF-EN-LG)k+(LN-M2)=0 можно сравнительно просто получить сумму и произведение главных кривизн. Действительно, после того как левая часть уравнения будет поделена на коэффициент при k2, т.e.

на EG-F2, произведение корней будет равно свободному члену, а сумма корней — коэффициенту при k с обратным знаком. Итак,

Полусумма главных кривизн в данной точке поверхности называется средней кривизной поверхности. Ее мы будем обозначать через H.

Эти кривизны могут быть вычислены через коэффициенты квадратичных форм поверхности. Окончательно предшествующие формулы перепишутся в виде:

Источник: https://studbooks.net/2193629/matematika_himiya_fizika/vychislenie_glavnyh_krivizn

Методы расчётов профиля

Рисунок 1

Рисунок 2

Определение терминов

• “О” – опорная точка скважины.
• “О” – начало координат скважины. От нее отходят три оси ; Север, Восток, и “z” вертикально вниз.
• “S” – опорная точка, определяющая расположение скважины на поверхности.
• “а” – Азимут (град.) вертикальной плоскости проекции участка скважины. Он измеряется в горизонтальной плоскости от географического направления “Север” от 0 до 360 град. в направлении по часовой стрелки.
• “TVD” – проекция SB (измеренная глубина MD вдоль скважины) на вертикальную ось “z”. Расстояние равно SB3.
• “HD” – горизонтальное перемещение, измеренное в горизонтальной плоскости и проходящее через точку замера. Его величина равна ВВ3 (между точкой замера и осью “z”).
• “VS” – вертикальный участок ; он равен длине проекции горизонтального перемещения на вертикальную плоскость, определяемую азимутом. Его длина равна В3В2.

Независимо от того как и какими средствами выполняются замеры, при их успешном завершении необходимо знать три величины :* Глубина по стволу* Зенитный угол

* Азимут ствола

Для того, чтобы установить местонахождение забоя, необходимо выполнить вычисление координат, которое включает три “входных” параметра, перечисленных выше.

Только после этого можно будет нанести координаты на график зависимости TVD от VS и N/S от E/W.

В задачах направленного бурения применяют целый ряд различных методов, но только четыре из них получили широкое распространение :* Тангенциальный

* метод Среднего угла

* метод Радиуса кривизны

* метод Минимальной кривизны

Тангенциальный метод является наиболее старым, менее сложным и самым неточным из них. Его не следует никогда применять на практике. В настоящее время в основном применяются методы Среднего угла и Радиуса кривизны.

Метод среднего угла настолько прост, что позволяет делать вычисления при помощи карманного калькулятора. Метод Радиуса кривизны более широко используется, однако, в официальных документах нельзя применять результаты, полученные этими методами, если только того не пожелает заказчик работ.

Во всех официальных документах и отчетах необходимо применять метод Минимальной кривизны. Везде на буровых, где это возможно, он тоже должен быть использован.

Источник: https://OilMan.by/metody-raschyotov-profilya-2.html

Вычисление кривизны и кручения в произвольной параметризации. Винтовая линия

1. Пусть линия у задана уравнением

• где t — произвольный параметр, меняющийся в промежутке I.
• Возникает вопрос: как найти канонический репер RM, кривизну и кручение линии у в произвольной точке Ml Введем на линии у естественную параметризацию 5 и допустим, что функция s = h (t) определяет замену параметра.
• Если г = R (s) — уравнение линии у в естественной параметризации, то г = R (h(t)) — то же уравнение, что и уравнение (1), поэтому

Мы замечаем, что вектор г параллелен соприкасающейся плоскости (по-прежнему предполагается, что к ф 0 в любой точке М е у). Имеем:

Таким образом, мы пришли к формулам

Осталось получить формулу для вычисления кручения as. С этой

целью найдем разложение вектора г по координатным векторам репера RM, используя формулу (3) и формулы Френе. Нас будет интересовать коэффициент при векторе (3:

Учитывая формулу (4), находим:

и потому (г, г, r)=[r, г,] г=?ег, г][1]. Здесь мы учли, что вектор [г, г,] ортогонален векторам т и v. Таким образом, мы получили формулу вычисления кручения as линии у класса Ск (к > 3), заданной уравнением (1):

Рис. 191

но вращается в плоскости Оху вокруг точки О. Будем считать, что в начале движения точка М совпадает с точкой А (а, 0, 0) оси Ох (а > 0).

Так как вращение точки Р (как и точки М) равномерное, то угол АОР поворота этой точки пропорционален времени t движения.

Для простоты мы будем считать коэффициент пропорциональности равным единице, и, значит, Z АОР = t. Тогда легко находим:

Так как точка М равномерно перемещается вдоль оси Oz, то ее смещение z вдоль этой оси пропорционально времени движения:

Итак, точка М движется по следующему закону:

Уравнения (8) определяют в Е3 элементарную линию. Она называется обыкновенной винтовой линией. Как показывают уравнения (8), винтовая линия — гладкая линия класса Сх.

Из первых двух уравнений (8) находим:

Следовательно, винтовая линия лежит на прямом круговом цилиндре с осью Oz.

3. Уравнения (8) можно записать в виде одного векторного уравнения

Используя далее первую из формул (5), находим:

Через точку М винтовой линии проходит прямолинейная образующая МР цилиндра (9), имеющая направляющий вектор к. Обозначим через ср угол между векторами т и к. Так как эти векторы единичные, то cos ф = х-к,и учитывая формулу (11), находим:

Если две гладкие линии пересекаются в точке М0, то углом между этими линиями называется угол между их касательными в точке М0. Из полученной формулы следует, что винтовая линия пересекает все образующие цилиндра под постоянным углом.

В случае винтовой линии, используя формулу (7) § 51, получаем:

1. Теперь вектор v найти нетрудно. Имеем: d х — —
2. Но по формуле Френе — = kv, где v — единичный вектор и к > 0. ds
3. Поэтому из формулы (12) следует:

Так как OP = i a cos t + j a sin t, где P — проекция точки М на плоскость Оху, то OP = -av. Отсюда мы заключаем, что главной нормалью винтовой линии в точке М служит перпендикуляр к оси цилиндра, проведенный через точку М. Вектор v направлен противоположно вектору ОР .

Пользуясь формулой (7), находим:

Таким образом, кривизна и кручение обыкновенной винтовой линии постоянны. При этом знак кручения совпадает со знаком числа Ь.

Замечание. Винтовая линия является частным случаем достаточно широкого класса линий, называемых кривыми Бертранах. Гладкая линия у называется кривой Бертрана, если для нее существует другая гладкая линия yt и такое отображение/: у —» уь что в каждой паре соответствующих точек линии у и yi имеют общую главную нормаль.

Если г = r(s) — уравнение линии у, то уравнение линии yi можно записать в виде: rx =r + av. Дифференцируя это тождество по длине 5 линии у и используя формулы Френе, получаем:

1 Ж.Л.Ф. Бертран (1822—1900) — французский математик. Почетный член Петербургской АН.

13 dr — dr

Векторы —- и v перпендикулярны, и поэтому вектор —- компла- ds ds

нарен с векторами тир. Следовательно, — = 0 и а = const, т.е. рас-

ds

стояние между соответствующими точками пары кривых Бертрана постоянно. Нетрудно доказать, что угол а между касательными векторами т и хх в соответствующих точках этих линий также постоянен.

• Так как векторы — и хх коллинеарны и xl = cos а т + sin а (3, то ds
• l-ak ах cos а _
• -= —-или ak + bx = 1, где b = а-. Таким образом, кривиз-
• cos a sin а sin а

на и кручение кривой Бертрана находятся в линейной зависимости. Имеет место также и обратное утверждение.

Для винтовой линии (к = const, х = const) существует бесконечное множество чисел а и Ь, удовлетворяющих равенству ak + bx= 1, поэтому винтовая линия является кривой Бертрана, причем для данной винтовой линии существует бесчисленное множество винтовых линий, образующих вместе с данной пару кривых Бертрана.

Источник: https://bstudy.net/731868/pedagogika/vychislenie_krivizny_krucheniya_proizvolnoy_parametrizatsii_vintovaya_liniya

§2.Кривизна плоской кривой. Ее вычисление

Рассмотрим
произвольную непрерывную кривую АВ.,
которая не имеет точек самопересечения. Если в каждой ее точке М провести
касательную, то она при перемещении т.М
от А к В будет поворачиваться.

Этим
кривая отличается от прямой, где
касательная всегда направлена одинаково,
а именно: сливается с прямой.

Чем
быстрее поворачивается касательная,
тем больше искривлена кривая линия, тем
больше ее «кривизна».

Средняя кривизна показывает
величину угла поворота касательной при
перемещении точки М на единицу длины
по кривой. На разных участках кривой
средняя кривизна меняется.

Лишь для
одной кривой — окружности средняя
кривизна постоянна: кср=/S=/(R)=1/R,
те для окружности кривизна есть величина
обратная радиусу.

Для точной
характеристики искривленности кривой
вводят понятие кривизны в точке,
обозначают К.

Определение:

Кривизной
кривой в т.М назыв предел (если он сещ-ет),
к которому стремится сред кривизна дуги
ММ1, когда т.М1 по кривой стремится к М.

К=limS/s, (1). Для
окружности К=1/R.

Предел
(1) есть не что иное как производная угла
наклона касательной по длине дуги, а
потому последний предел есть предел
отношения приращения функции к приращ
аргумента, т.е. производная: К=d/dS,
(2).

Таким
образом, кривизна кривой в точке есть
производная угла наклона касательной
по длине дуги кривой. Кривизна есть
число неотрицательное, поэтому на самом
деле К=| d/dS|,
(2').

Предполагаем
дополнительно, что функции (t)
,(t)
имеют непрерывные производные 1и 2
порядков и xt'='(t) при t
соответствующем т.М.

• tg=ух'=уt'/хt', отсюда =arctg
  уt'/хt',
• d=, подставляя dS, d
  в (2') получим К=||, (3).
• Если
  кривая задана явным уравнением у=f(х)
  считаем параметр t=х,
  тогда и К=||, (4).
• Если
  кривая задана полярным уравнением
  ,
  то считая t=
  получим подставляя в (3) получим К=||,
  (5)

Пример.
Определить кривизну кривой у=sinх
в т.х=П/2 -САМОСТОЯТЕЛЬНО.

Ответ:
K=1.

§3.Радиус, круг и центр кривизны. Понятие эволюты и эвольвенты

Определение:
величина R,
обратная кривизне кривой К в точке,
назыв радиусом кривизны кривой в
этой точке: R=1/К.
Для прямой радиус кривизны равен
бескон-ти, те прямая -это окружность
бесконечного радиуса.

Построим
в т.М кривой нормаль к ней и отложим в
сторону вогнутости отрезок МС=R.

Точка
С назыв центром кривизны в данной т.М,
круг (окружность) с центром С и радиусом
R
назыв кругом (окружностью) кривизны
линии в т.М. В т.М кривая и окружность
кривизны им одинаковую кривизну К,
поэтому дугу кривой вблизи М с малой
ошибкой можно заменять дугой окружности
кривизны в этой точке.

Каждой
точке М кривой (L)
соответствует своя точка С- центр
кривизны в т.М.

Геометрическое
место центров кривизны кривой (L)
называется ее эволютой (L').
(L')-есть
тоже некоторая кривая. По отношению к
(L')
исходная кривая (L)
называется эвольвентой или разверткой.
Существуют формулы , позволяющие по
данному уравнению кривой (L)
написать уравнение эволюты. И наоборот.

Практически
эволюту по данной кривой можно построить
так. Можно доказать, что каждая нормаль
к кривой (L) явл. касательной к эволюте. Поэтому
построив достаточное кол-во нормалей
проводим к ним кривую, которая касается
всех этих нормалей- огибающую семейства
нормалей.

Эвольвенту по
эволюте можно построить механическим
способом.

Пусть
гибкая линейка согнута по виду эволюты
С0С.
Прикрепим к концу С0
нить и туго натянем на линейку.

1. C
2. эволюта
3. C0
4. эвольвента

Если
теперь эту нить развертывать, натягивая
ее все время за свободный конец, то он
опишет кривую, которая будет эвольвентой
кривой С0С.
Т.к. нити могут иметь разную длину, то
эвольвент у одной эволюты может быть
сколько угодно.

Источник: https://studfile.net/preview/1449298/page:7/