Иррациональные уравнения и неравенства
Колегаева Елена Михайловна, доцент кафедры математических методов и информационных технологий ДВАГС
Узнай стоимость своей работы
I. Преобразование иррациональных выражений.
Иррациональным называется выражение, содержащее корни n-ой степени.
1) Одно из типичных преобразований иррациональных выражений – избавление от иррациональности в знаменателе.
а) Если в знаменателе стоит выражение вида , то необходимо числитель и знаменатель умножить на сопряженное к нему выражение . В этом случае применяется формула .
б) Если в знаменателе стоит выражение (или ), то числитель и знаменатель умножается, соответственно, на (или
). В этом случае применяются формулы
Пример 1. Избавиться от иррациональности в знаменателе:
Узнай стоимость своей работы
- Решение:
- а) ;
- б) ;
- в) ;
- г) ;
- д) ;
- е)
- .
- Отметим еще одно свойство:
- которое часто применяется в преобразованиях.
- Пример 2. Упростить выражение:
- а) ; б) ; в) .
- Решение:
а) , т.к. .
б) , т.к. .
- в)
- .
- В ыясним, при каких n выражения под знаком модуля меняют знак: n1, n1, n0.
- 1) Если n
- 2) Если -1n
- 3) Если 00
- Н айдем пересечение решений трех неравенств:
- Ответ: -18×0 и так как x2+1>0, возводим обе части в квадрат. Имеем:
- x>1.
- Объединяем два решения, получим х – любое.
- Ответ: х – любое.
- в)
- Ответ: х1.
- г)
- или
- х3
- Ответ: .
- Задачи для самостоятельного решения
- Уважаемые ребята, ниже приводятся задания для самостоятельного решения, которые следует выполнить, оформить отдельно от заданий по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.
Наш адрес: 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ ( ХКЗФМШ).
М11.9.1. Упростить:
1) 2) 3)
4) , если , m>0, 0
Источник: https://studizba.com/files/show/doc/190556-1-84942.html
Иррациональные неравенства
- Так называются неравенства, содержащие знак корня.
- В решении иррациональных неравенств главное – логика и внимательность.
- И конечно, надо повторить следующие темы:
- 1) Арифметический квадратный корень.
2) Решение неравенств. Основные ошибки и полезные лайфхаки.
Напоминаем, что решение лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов.
1.Решите неравенство
- Поскольку
левая часть положительна:
- Выражение под корнем должно быть неотрицательным. Неравенство равносильно системе:
- Ответ: (5;+∞)
2.Решите неравенство .
Как вы думаете – это неравенство такое же, как предыдущее, или отличается от него? Ведь здесь правая часть может быть и положительной, и отрицательной, и равной нулю. И надо рассмотреть все эти случаи.
Получим:
Разложим выражение на множители. Корни уравнения – это и .
- Получаем систему:
2) Пусть теперь правая часть неравенства отрицательна. Если то неравенство выполняется. В самом деле, по определению. Значит,
- Нам нужно только, чтобы подкоренное выражение было неотрицательно: .
- Получим:
- Объединим полученные интервалы и запишем ответ.
- Ответ: .
- 3.Решите неравенство
- Ответ:
- 4.Решите неравенство
- Ответ:
- 5.Решите неравенство
- Сделаем замену , тогда
- Ответ:
- 6. Решите неравенство
- Ответ:
Источник: https://ege-study.ru/irracionalnye-neravenstva/
Иррациональные неравенства
Елена Репина 2013-10-21 2019-08-13
Давайте учиться решать иррациональные неравенства. Будем решать методом равносильных переходов в иррациональных неравенствах. Хотя зачастую, возможно, будет легче решить отдельное неравенство обобщенным методом интервалов или методом рационализации.
Задание 1.
- Решить неравенство:
- Решение: + показать
- Какая информация заложена в самом неравенстве?
и , верно? Ведь подкоренное выражение не может быть отрицательным (имеется ввиду корень четной кратности).
Мы сохраним эту информацию.
Неравенство равносильно системе:
- Каждое неравенство системы решаем методом интервалов:
- Итак,
- .
- Ответ:
Задание 2
- Решить неравенство:
- Решение: + показать
- Обе части неравенства – неотрицательны. Возведем в квадрат обе части, перейдем к системе, равносильной исходному неравенству:
- Из первых двух неравенств системы остается одно – первое (его решение является пересечение множеств решений указанных двух неравенств).
- Ответ:
Задание 3
Решить неравенство:
Решение: + показать
Правая часть неравенства может быть как отрицательной, так и неотрицательной. Мы не можем просто так взять и возвести обе части неравенства в квадрат.
- Будем рассматривать два случая:
- 1)
- Тогда мы можем возвести обе части в квадрат и перейти к системе:
- 2)
- Тогда мы видим следующее:
Правая часть неравенства (всегда неотрицательная величина) больше отрицательной величины. Это верно.
- То есть мы получаем верное неравенство на области его определения ().
- Значит, перед нами система:
- Проще говоря, будем решать совокупность двух систем:
- Первая система решений не имеет:
- А решение второй системы графически выглядит так:
- Поэтому
- Ответ:
Задание 4
- Решить неравенство:
- Решение: + показать
- Перепишем неравенство вот так:
Мы должны четко понимать, что нельзя обе части неравенства поделить на ! Мы же не знаем знак этой суммы.
- Выход такой – вынесение за скобку общего множителя:
- Тогда неравенство равносильно совокупности двух систем:
- Второе неравенство первой системы равносильно совокупности:
- То есть решение данного неравенства –
- Второе неравенство второй системы указанной выше совокупности равносильно системе:
- Откуда
- То есть система не имеет решений.
- Возвращаемся в совокупность, которая равносильна исходному неравенству:
- Откуда
- .
- Ответ: .
Источник: https://egemaximum.ru/irr-ner/
Теоретический материал: Основные понятия
Алгебра
Глава 9. Неравенства
9.1. Основные понятия
- Учитель
- Если разность положительна, тогда .
- Ученик
- Значит если , то разность положительна?
- Учитель
Совершенно верно! То же самое можно заметить и в случае, когда разность отрицательна. Тогда . И обратно: если , то разность отрицательна. Под буквами в неравенствах понимают действительные числа или некоторые выражения, принимающие действительные числовые значения.
- Ученик
- Значит неравенство, содержащее буквы (переменные), можно рассматривать как две функции, соединенные знаком или ?
- Учитель
- Да, именно так!
- Определение
Неравенства, содержащие один и тот же знак или , называются неравенствами одинакового смысла. Два неравенства называются неравенствами противоположного смысла, если в одном из них знак , а в другом знак .
- Учитель
- Докажем теоремы, выражающие основные свойства неравенств.
- Теорема (основные свойства неравенств)
- 1) Если , то , и наоборот: если , то .
- Доказательство.
По условию , значит положительно (по определению). Тогда отрицательно и поэтому .
2) Если и , то .
Доказательство.
Так как , то , из получаем . Сумма положительных чисел есть число положительное, поэтому , откуда и .
3) Если , то .
Доказательство.
В тождестве левая часть положительна, так как по условию , значит, разность в правой части положительна: , поэтому по определению . Так как — любое действительное число, то по доказанному из следует или , т.е.
неравенство не нарушится, если к обеим частям прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же число.
Это свойство дает возможность переносить слагаемые из одной части неравенства в другую, изменив их знак на противоположный.
4) Пусть . Если , то ; если , то .
Доказательство.
Из следует . Но и . Тогда и произведение их положительно: или , поэтому (по определению). При и имеем: , но , поэтому или и . Так как не равно нулю, то по доказанному можно умножить на число , которое будет больше или меньше нуля. Но это значит, что доказана и возможность деления частей неравенства на
Источник: https://dl.bsu.by/mod/book/view.php?id=10171&chapterid=1234&lang=de
Методические рекомендации по решению иррациональных уравнений и неравенств
- МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МУРМАНСКОЙ ОБЛАСТИ
- ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ МУРМАНСКОЙ ОБЛАСТИ
- «КАНДАЛАКШСКИЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ»
- (ГАПОУ МО «КИК»)
- Методические рекомендации к практическим работам по теме «Решение иррациональных уравнений и неравенств»
- Разработала преподаватель математики
1категории Гашимова А.Н.
- 2017
- Пояснительная записка.
- Практические занятия — один из видов практического обучения, имеющий целью закрепление теоретических знаний и формирование практических умений и навыков.
Практическая работа по математике заключается в выполнении студентами под руководством преподавателя комплекса учебных заданий, направленных на усвоение основ учебной дисциплины «Математика», приобретение практических навыков решения примеров и задач. Выполнение практическойработы студенты производят в письменном виде, оформляя отчеты в тетради. Отчет предоставляется преподавателю для проверки.
Практические занятия способствуют более глубокому пониманию теоретического материала учебного курса, а также развитию, формированию и становлению различных уровней составляющих профессиональной компетентности студентов, пониманию межпредметных связей. Основой практикума выступают типовые задачи, которые должен уметь решать студент, изучающий дисциплину «Математика».
- Для лучшего усвоения студентами изучаемого материала и получения уверенных навыков решения примеров и задач при проведении практических занятий целесообразно использовать различные методы и приемы:
- — рассмотрение решения типовых примеров;
- — исследовательская работа при решении примеров и практических задач;
- — работа в группах;
- м практических занятий являются
- — Выполнение вычислений, расчетов;
- — Работа со справочниками, таблицами.
- Необходимые структурные элементы практического занятия:
- — Инструктаж, проводимый преподавателем;
- — Самостоятельная деятельность студентов;
- — Анализ и оценка выполненных работ и степени овладения студентами запланированных умений.
- Перед выполнением практического занятия проводится проверка знаний студентов на предмет их готовности к выполнению задания.
- Оценки за выполнение являются показателями текущей успеваемости студентов по дисциплине «Математика».
- Критерии оценки практических заданий.
- Отметка «5» ставится, если:
- работа выполнена полностью;
- в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
- в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).
Отметка «4»ставится, если:
работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
- допущена одна существенная ошибка или два-три несущественных ошибки.
- Отметка «3» ставится, если:
- допущены более одной существенной ошибки или более двух-трех
- несущественных ошибок, но студент владеет обязательными
- умениями по проверяемой теме; при этом правильно выполнено не
- менее половины работы.
- Отметка «2» ставится, если:
- допущены существенные ошибки, показавшие, что студент не владеет
- обязательными умениями по данной теме в полной мере.
- Отметка «1» ставится, если:
- работа показала полное отсутствие у студента обязательных знаний и
- умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена
- не самостоятельно.
- К категории существенных ошибок следует отнести ошибки, связанные с незнанием, непониманием студентом основных положений теории и с неправильным применением методов, способов, приемов решения практических заданий, предусмотренных программой.
- К категории несущественных ошибок следует отнести погрешности, связанные с небрежным выполнением записей, рисунков, графиков, чертежей, а также погрешности и недочеты, которые не приводят к искажению смысла задания и его выполнения.
- При наличии существенной ошибки задание считается невыполненным.
- Цель практических занятий: познакомить студентов с решением некоторых типов иррациональных уравнений; способствовать развитию навыка решения иррациональных уравнений и неравенств.
- Теоретические сведения.
- Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня.
Основная идея решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. При решении иррациональных уравнений применяют метод возведения в степень обоих частей уравнения и метод введения новой переменной (замены переменной).
Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень и освободиться от радикалов, то получится уравнение, равносильное исходному.
При возведении уравнения в четную степень получается уравнение, являющееся следствием исходного. В связи с этим возможно появление посторонних решений уравнения, но не возможна потеря корней. В этом случае обязательна проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение.
Мощным средством решения иррациональных уравнений является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины.
Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную.
В ряде случаев удачно введенные новые неизвестные иногда позволяют получить решение быстрее и проще; иногда же без замены решить задачу вообще невозможно.
- Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, определив область допустимых значений и используя равносильные переходы.
- Рассмотрим применение данных методов решения иррациональных уравнений.
- Пример 1. Решите уравнение = х
Решение. Возведем обе части этого уравнения в квадрат и получим: 7х-6= х2 . Решаем квадратное уравнение: х2- 7х+ 6 =0
Д=25, х1=6, х2=1.
Проверяем полученные результаты, подставляя в начальное условие:
- Ответ: 6 и 1
- Пример 2. Решить уравнение =
- Решение. Возведем обе части в квадрат: 2= 2
- 2х-3=х-2
- 2х-х= 3-2
- х=1
Проверка: = не сеществует, следовательно х=1 посторонний корень. Данное уравнение не имеет решений.
- Ответ: решений нет
- Пример 3. Решить уравнение =
- Решение: 3=3
- 2х+7=3х-3
- 2х-3х=-3-7
- х=10
- В даннам случае проверка необязательна, так как использовался метод возведения обеих частей в нечётную степень, при которой посторонние корни не появляются.
- Ответ: х=10
- Пример 4. Решить уравнение = х+3
- Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат 2= 2;
- (х+6) · (13-3х) = (х+3)2;
- 13х- 3х 2+78 -18х = х2 + 6х +9;
- 4х2 +11х -69 =0;
- х1= 3; х2=- .
- Проверка: х1= 3: · =3+3; 6 = 6
- х2=- : ; посторонний корень.
- Ответ: х=3
- Пример 5. Решить уравнение + =12
Решение. Введем новую переменную. Пусть =, тогда =у2.
- Получаем новое уравнение: у2 +у -12=0; у1=3; у2=- 4.
- 1) =3 ;
- 2х +1= 34;
- х=40.
- 2) = — 4. Уравнение не имеет корней, так как ≥ 0, а число -4
- Ответ: х=40.
Пример 6. Решить уравнение + — 2= 0.
Решение. Пусть = у, = у2.
Получим у2 + у — 2 =0; у1=- 2; у2=1.
1) = 1, х =1
2) = -2, не имеет корней, т.к. ≥0.
Ответ: х=1.
Пример 7. Решить уравнение + =6.
Решение. Область допустимых значений неизвестного (ОДЗ) определяется системой неравенств которая решений не имеет. Уравнение не определено в множестве действительных чисел.
- Ответ: нет решений.
- Задания для индивидуальной и групповой работы.
- 1. =
- 2. = х-1
- 3. –х – 5=
- 4. — =1
- 5. + =20
- 6. + =3
- 7. – – = 0
- 8. — =1
- 9. — 2= х
- 10. = 12 —
- 11. =4
12. = 2x+ 6.
- 13 = 5 + 2x.
- 14. 7 – =2
- 15. · =х
- 16. · =2
- 17.18- = 12
- 18. 5 + =3
- 19. -3 =х
- 20. 6 + =2
- 21. = -2
- 22. ·=0
- Решения иррациональных неравенств
- Под иррациональным неравенством понимают неравенство, в котором неизвестные величины находятся под знаком корня.
- Способ решения таких неравенств состоит в преобразовании их к рациональным неравенствам путем возведения обеих частей неравенства в степень.
- Решение иррациональных неравенств осложняется тем обстоятельством, что здесь исключена возможность проверки, в связи с этим необходимо стараться делать все преобразования равносильными.
- При решении иррациональных неравенств нужно запомнить правило:
- при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство, равносильное данному неравенству;
- если обе части неравенства возводят в чётную степень, то получится неравенство, равносильное исходному только в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.
- Но если при решении уравнений в результате возведения четную степень мы могли получить посторонние корни (которые, как правило легко проверить) и не могли потерять корни, то корни неравенства при бездумном возведении в четную степень могут одновременно и теряться, и приобретаться.
- Иррациональное неравенство g(х) или ≤ g(х) равносильно системе неравенств:
- или
- Иррациональное неравенство g(х) или ≥ g(х) равносильно совокупности двух систем неравенств: или
- В связи с этим основным методом решения иррациональных неравенств является сведение исходного неравенства к равносильной системе или совокупности систем рациональных неравенств.
Пример 1. Решить неравенство 4.
Решение. Заметим, что правая часто этого неравенства отрицательна, в то время как левая часть неотрицательна при всех значениях x, при котоҏыҳ она определена. В связи с этим неравенство решений не имеет.
Ответ. Решений нет.
Пример 2. Решить неравенство 4.
Решение. Область определения данного неравенства 5х-9≥0, х≥9/5.
- Обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат: 5х-9
- Найдем пересечение полученного множества решений с областью определения неравенства, получим 9/5≤х
- Ответ : 9/5≤х
Пример 3. Решить неравенство ≥ 7.
Решение. Область определения данного неравенства 3-х ≥0, х≤3.
Обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат: 3-х≥ 49, -х ≥ 46, х ≤ -46.
Найдем пересечение полученного множества решений с областью определения неравенства, т.е. решение системы: . Имеем два неравенства с одинаковым знаком, вспомним: «меньше меньшего», итак.
- Ответ: .
- Пример 4. Решить неравенство
- Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств:
- Найдем решения каждого из неравенств:
- 1) 6х + 3 ≥0, х≥-0,5.
- 2) 3х ≥ 0, х≥0.
3) 6х+32, -9х2+6х+32-2х-10, решаем квадратное уравнение, находим х1=1, х2=-1/3. Применим метод интервалов: х1.
- Запишем решения системы: Получаем х1.
- Ответ: х1.
- Задание для групповой и самостоятельной работы.
- Решить неравенства.
-
х-1,
-
3,
-
≤ 5,
-
≤ 4,
-
≤ -6,
-
х-1,
-
5 + ≤ 3,
-
— 2≥ х
-
≥6.
Контрольные вопросы.
-
Что такое арифметический корень п-й степени?
-
Свойство корней?
-
Какие уравнения называются иррациональными?
-
Какие существуют способы решения иррациональных уравнений?
-
Почему при возведении в четную степень необходимо делать проверку?
-
Когда иррациональное уравнение не имеет решений?
-
Какие неравенства называются иррациональными?
-
Как решаются иррациональные неравенства?
Литература.
-
Колмогоров А.Н. Алгебра. Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. — М.: Просвещение, 2005.
-
Соболь Б.В., Виноградова И.Ю., Рашидова Е.В. Пособие для подготовки к единому государственному экзамену по математике. Ростов-на-Дону «Феникс», 2009.
-
Мордкович А.Г., Смирнова И.М., Математика 11 класс, М. Мнемозина, 2011.
Источник: https://kopilkaurokov.ru/matematika/prochee/mietodichieskiie_riekomiendatsii_po_rieshieniiu_irratsional_nykh_uravnienii_i_ni