Иррациональные выражения, уравнения и неравенства — справочник студента

Иррациональные уравнения и неравенства

Колегаева Елена Михайловна, доцент кафедры математических методов и информационных технологий ДВАГС

I. Преобразование иррациональных выражений.

Иррациональным называется выражение, содержащее корни n-ой степени.

1) Одно из типичных преобразований иррациональных выражений – избавление от иррациональности в знаменателе.

а) Если в знаменателе стоит выражение вида , то необходимо числитель и знаменатель умножить на сопряженное к нему выражение . В этом случае применяется формула .

б) Если в знаменателе стоит выражение (или ), то числитель и знаменатель умножается, соответственно, на (или ). В этом случае применяются формулы

Пример 1. Избавиться от иррациональности в знаменателе:

• Решение:
• а) ;
• б) ;
• в) ;
• г) ;
• д) ;
• е)
• .
• Отметим еще одно свойство:
• которое часто применяется в преобразованиях.
• Пример 2. Упростить выражение:
• а) ; б) ; в) .
• Решение:

а) , т.к. .

б) , т.к. .

1. в)
2. .
3. В ыясним, при каких n выражения под знаком модуля меняют знак: n1, n1, n0.
4. 1) Если n
5. 2) Если -1n
6. 3) Если 00
7. Н айдем пересечение решений трех неравенств:
8. Ответ: -18×0 и так как x2+1>0, возводим обе части в квадрат. Имеем:
9. x>1.
10. Объединяем два решения, получим х – любое.
11. Ответ: х – любое.
12. в)
13. Ответ: х1.
14. г)
15. или
16. х3
17. Ответ: .
18. Задачи для самостоятельного решения
19. Уважаемые ребята, ниже приводятся задания для самостоятельного решения, которые следует выполнить, оформить отдельно от заданий по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.

Наш адрес: 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ ( ХКЗФМШ).

М11.9.1. Упростить:

1) 2) 3)

4) , если , m>0, 0

Источник: https://studizba.com/files/show/doc/190556-1-84942.html

Иррациональные неравенства

• Так называются неравенства, содержащие знак корня.
• В решении иррациональных неравенств главное – логика и внимательность.
• И конечно, надо повторить следующие темы:
• 1) Арифметический квадратный корень.

2) Решение неравенств. Основные ошибки и полезные лайфхаки.

Напоминаем, что решение лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов.

1.Решите неравенство 

1. Поскольку  левая часть положительна: 
2. Выражение под корнем должно быть неотрицательным. Неравенство равносильно системе:
3. 
4. 
5. Ответ: (5;+∞)

2.Решите неравенство .

Как вы думаете – это неравенство такое же, как предыдущее, или отличается от него? Ведь здесь правая часть может быть и положительной, и отрицательной, и равной нулю. И надо рассмотреть все эти случаи.

Получим:

Разложим выражение на множители. Корни уравнения – это и .

• Получаем систему:

2) Пусть теперь правая часть неравенства отрицательна. Если  то неравенство выполняется. В самом деле, по определению. Значит,

1. Нам нужно только, чтобы подкоренное выражение было неотрицательно: .
2. Получим:
3. Объединим полученные интервалы и запишем ответ.
4. Ответ: .
5. 3.Решите неравенство 
6. Ответ:
7. 4.Решите неравенство 
8. Ответ:  
9. 5.Решите неравенство
10. Сделаем замену , тогда
11. Ответ:
12. 6. Решите неравенство
13. Ответ:

Источник: https://ege-study.ru/irracionalnye-neravenstva/

Иррациональные неравенства

Елена Репина 2013-10-21 2019-08-13

Давайте учиться решать иррациональные неравенства. Будем решать методом равносильных переходов в иррациональных неравенствах. Хотя зачастую, возможно, будет легче решить отдельное неравенство   обобщенным методом интервалов или методом рационализации.

Задание 1. 

• Решить неравенство:
• Решение: + показать
• Какая информация заложена в самом неравенстве?

и , верно? Ведь подкоренное  выражение не может быть отрицательным (имеется ввиду корень четной кратности).

Мы сохраним эту информацию.

Неравенство равносильно системе:

1. Каждое неравенство системы решаем методом интервалов:
2. Итак,
3. .
4. Ответ:  

Задание 2

• Решить неравенство:
• Решение: + показать
• Обе части неравенства – неотрицательны. Возведем в квадрат обе части, перейдем к системе, равносильной исходному неравенству:
• Из первых двух неравенств системы остается одно – первое (его решение является пересечение множеств решений указанных двух неравенств).
• Ответ:  

Задание 3

Решить неравенство:

Решение: + показать

Правая часть неравенства может быть как отрицательной, так и неотрицательной. Мы не можем просто так взять и возвести обе части неравенства в квадрат.

1. Будем рассматривать два случая:
2. 1)
3. Тогда мы можем возвести обе части в квадрат и перейти к системе:
4. 2)
5. Тогда мы видим следующее:

Правая часть неравенства (всегда неотрицательная величина) больше отрицательной величины. Это верно.

• То есть мы получаем верное неравенство на области его определения ().
• Значит, перед нами система:
• Проще говоря, будем решать совокупность двух систем:
• Первая система решений не имеет:
• А решение второй системы графически выглядит так:
• Поэтому
• Ответ:  

Задание 4

1. Решить неравенство:
2. Решение: + показать
3. Перепишем неравенство вот так:

Мы должны четко понимать, что нельзя обе части неравенства поделить на ! Мы же не знаем знак этой суммы.

• Выход такой – вынесение за скобку общего множителя:
• Тогда неравенство равносильно совокупности двух систем:
• Второе неравенство первой системы равносильно совокупности:
• То есть решение данного неравенства –
• Второе неравенство второй системы указанной выше совокупности равносильно  системе:
• Откуда
• То есть система не имеет решений.
• Возвращаемся в совокупность, которая равносильна исходному неравенству:
• Откуда
• .
• Ответ: . 

Источник: https://egemaximum.ru/irr-ner/

Теоретический материал: Основные понятия

Алгебра

Глава 9. Неравенства

9.1. Основные понятия

• Учитель
• Если разность положительна, тогда .
• Ученик
• Значит если , то разность положительна?
• Учитель

Совершенно верно! То же самое можно заметить и в случае, когда разность отрицательна. Тогда . И обратно: если , то разность отрицательна. Под буквами в неравенствах понимают действительные числа или некоторые выражения, принимающие действительные числовые значения.

1. Ученик
2. Значит неравенство, содержащее буквы (переменные), можно рассматривать как две функции, соединенные знаком или ?
3. Учитель
4. Да, именно так!
5. Определение

Неравенства, содержащие один и тот же знак или , называются неравенствами одинакового смысла. Два неравенства называются неравенствами противоположного смысла, если в одном из них знак , а в другом знак .

• Учитель
• Докажем теоремы, выражающие основные свойства неравенств.
• Теорема (основные свойства неравенств)
• 1) Если , то , и наоборот: если , то .
• Доказательство.

По условию , значит положительно (по определению). Тогда отрицательно и поэтому .

2) Если и , то .

Доказательство.

Так как , то , из получаем . Сумма положительных чисел есть число положительное, поэтому , откуда и .

3) Если , то .

Доказательство.

В тождестве левая часть положительна, так как по условию , значит, разность в правой части положительна: , поэтому по определению . Так как — любое действительное число, то по доказанному из следует или , т.е.

Это свойство дает возможность переносить слагаемые из одной части неравенства в другую, изменив их знак на противоположный.

4) Пусть . Если , то ; если , то .

Доказательство.

Из следует . Но и . Тогда и произведение их положительно: или , поэтому (по определению). При и имеем: , но , поэтому или и . Так как не равно нулю, то по доказанному можно умножить на число , которое будет больше или меньше нуля. Но это значит, что доказана и возможность деления частей неравенства на

Источник: https://dl.bsu.by/mod/book/view.php?id=10171&chapterid=1234&lang=de

Методические рекомендации по решению иррациональных уравнений и неравенств

• МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МУРМАНСКОЙ ОБЛАСТИ
• ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ МУРМАНСКОЙ ОБЛАСТИ
• «КАНДАЛАКШСКИЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ»
• (ГАПОУ МО «КИК»)
• Методические рекомендации к практическим работам по теме «Решение иррациональных уравнений и неравенств»
• Разработала преподаватель математики

1категории Гашимова А.Н.

1. 2017
2. Пояснительная записка.
3. Практические занятия — один из видов практического обучения, имеющий целью закрепление теоретических знаний и формирование практических умений и навыков.

Практическая работа по математике заключается в выполнении студентами под руководством преподавателя комплекса учебных заданий, направленных на усвоение основ учебной дисциплины «Математика», приобретение практических навыков решения примеров и задач. Выполнение практическойработы студенты производят в письменном виде, оформляя отчеты в тетради. Отчет предоставляется преподавателю для проверки.

Практические занятия способствуют более глубокому пониманию теоретического материала учебного курса, а также развитию, формированию и становлению различных уровней составляющих профессиональной компетентности студентов, пониманию межпредметных связей. Основой практикума выступают типовые задачи, которые должен уметь решать студент, изучающий дисциплину «Математика».

• Для лучшего усвоения студентами изучаемого материала и получения уверенных навыков решения примеров и задач при проведении практических занятий целесообразно использовать различные методы и приемы:
• — рассмотрение решения типовых примеров;
• — исследовательская работа при решении примеров и практических задач;
• — работа в группах;
• м практических занятий являются
• — Выполнение вычислений, расчетов;
• — Работа со справочниками, таблицами.
• Необходимые структурные элементы практического занятия:
• — Инструктаж, проводимый преподавателем;
• — Самостоятельная деятельность студентов;
• — Анализ и оценка выполненных работ и степени овладения студентами запланированных умений.
• Перед выполнением практического занятия проводится проверка знаний студентов на предмет их готовности к выполнению задания.
• Оценки за выполнение являются показателями текущей успеваемости студентов по дисциплине «Математика».
• Критерии оценки практических заданий.
• Отметка «5» ставится, если:

• работа выполнена полностью;
• в логических  рассуждениях и обосновании решения нет пробе­лов и ошибок; 
• в решении нет математических ошибок (возможна одна неточ­ность, описка, не являющаяся следствием незнания или непо­нимания учебного материала).

 Отметка «4»ставится, если:

работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

• допущена одна существенная ошибка или два-три несущественных ошибки.

1.  Отметка «3» ставится, если:
2. допущены более одной существенной ошибки или более двух-трех
3. несущественных ошибок, но студент владеет обязательными
4. умениями по проверяемой теме; при этом правильно выполнено не
5. менее половины работы. 
6. Отметка «2» ставится, если:
7.       допущены существенные ошибки, показавшие, что студент не владеет
8.       обязательными умениями по данной теме в полной мере. 
9. Отметка «1» ставится, если:
10. работа показала полное отсутствие у студента обязательных знаний и
11. умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена
12. не самостоятельно.
13. К категории существенных ошибок следует отнести ошибки, связанные с незнанием, непониманием студентом основных положений теории и с неправильным применением методов, способов, приемов решения практических заданий, предусмотренных программой.
14. К категории несущественных ошибок следует отнести погрешности, связанные с небрежным выполнением записей, рисунков, графиков, чертежей, а также погрешности и недочеты, которые не приводят к искажению смысла задания и его выполнения.
15. При наличии существенной ошибки задание считается невыполненным.
16. Цель практических занятий: познакомить студентов с решением некоторых типов иррациональных уравнений; способствовать развитию навыка решения иррациональных уравнений и неравенств.
17. Теоретические сведения.
18. Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня.

Основная идея решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. При решении иррациональных уравнений применяют метод возведения в степень обоих частей уравнения и метод введения новой переменной (замены переменной).

Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень и освободиться от радикалов, то получится уравнение, равносильное исходному.

При возведении уравнения в четную степень получается уравнение, являющееся следствием исходного. В связи с этим возможно появление посторонних решений уравнения, но не возможна потеря корней. В этом случае обязательна проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение.

Мощным средством решения иррациональных уравнений является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины.

Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную.

В ряде случаев удачно введенные новые неизвестные иногда позволяют получить решение быстрее и проще; иногда же без замены решить задачу вообще невозможно.

• Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, определив область допустимых значений и используя равносильные переходы.
• Рассмотрим применение данных методов решения иррациональных уравнений.
• Пример 1. Решите уравнение = х

Решение. Возведем обе части этого уравнения в квадрат и получим: 7х-6= х2 . Решаем квадратное уравнение: х2- 7х+ 6 =0

Д=25, х1=6, х2=1.

Проверяем полученные результаты, подставляя в начальное условие:

1. Ответ: 6 и 1
2. Пример 2. Решить уравнение =
3. Решение. Возведем обе части в квадрат: 2= 2
4. 2х-3=х-2
5. 2х-х= 3-2
6. х=1

Проверка: = не сеществует, следовательно х=1 посторонний корень. Данное уравнение не имеет решений.

• Ответ: решений нет
• Пример 3. Решить уравнение =
• Решение: 3=3
• 2х+7=3х-3
• 2х-3х=-3-7
• х=10
• В даннам случае проверка необязательна, так как использовался метод возведения обеих частей в нечётную степень, при которой посторонние корни не появляются.
• Ответ: х=10
• Пример 4. Решить уравнение = х+3
• Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат 2= 2;
• (х+6) · (13-3х) = (х+3)2;
• 13х- 3х 2+78 -18х = х2 + 6х +9;
• 4х2 +11х -69 =0;
• х1= 3; х2=- .
• Проверка: х1= 3: · =3+3; 6 = 6
• х2=- : ; посторонний корень.
• Ответ: х=3
• Пример 5. Решить уравнение + =12

Решение. Введем новую переменную. Пусть =, тогда =у2.

1. Получаем новое уравнение: у2 +у -12=0; у1=3; у2=- 4.
2. 1) =3 ;
3. 2х +1= 34;
4. х=40.
5. 2) = — 4. Уравнение не имеет корней, так как ≥ 0, а число -4
6. Ответ: х=40.

Пример 6. Решить уравнение + — 2= 0.

Решение. Пусть = у, = у2.

Получим у2 + у — 2 =0; у1=- 2; у2=1.

1) = 1, х =1

2) = -2, не имеет корней, т.к. ≥0.

Ответ: х=1.

Пример 7. Решить уравнение + =6.

Решение. Область допустимых значений неизвестного (ОДЗ) определяется системой неравенств которая решений не имеет. Уравнение не определено в множестве действительных чисел.

• Ответ: нет решений.
• Задания для индивидуальной и групповой работы.
• 1. =
• 2. = х-1
• 3. –х – 5=
• 4. — =1
• 5. + =20
• 6. + =3
• 7. – – = 0
• 8. — =1
• 9. — 2= х
• 10. = 12 —
• 11. =4

12. = 2x+ 6.

1. 13 = 5 + 2x.
2. 14. 7 – =2
3. 15. · =х
4. 16. · =2
5. 17.18- = 12
6. 18. 5 + =3
7. 19. -3 =х
8. 20. 6 + =2
9. 21. = -2
10. 22. ·=0
11. Решения иррациональных неравенств
12. Под иррациональным неравенством понимают неравенство, в котором неизвестные величины находятся под знаком корня.
13. Способ решения таких неравенств состоит в преобразовании их к рациональным неравенствам путем возведения обеих частей неравенства в степень.
14. Решение иррациональных неравенств осложняется тем обстоятельством, что здесь исключена возможность проверки, в связи с этим необходимо стараться делать все преобразования равносильными.
15. При решении иррациональных неравенств нужно запомнить правило:
16. при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство, равносильное данному неравенству;
17. если обе части неравенства возводят в чётную степень, то получится неравенство, равносильное исходному только в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.
18. Но если при решении уравнений в результате возведения четную степень мы могли получить посторонние корни (которые, как правило легко проверить) и не могли потерять корни, то корни неравенства при бездумном возведении в четную степень могут одновременно и теряться, и приобретаться.
19. Иррациональное неравенство g(х) или ≤ g(х) равносильно системе неравенств:
20. или
21. Иррациональное неравенство g(х) или ≥ g(х) равносильно совокупности двух систем неравенств: или
22. В связи с этим основным методом решения иррациональных неравенств является сведение исходного неравенства к равносильной системе или совокупности систем рациональных неравенств.

Пример 1. Решить неравенство 4.

Решение. Заметим, что правая часто этого неравенства отрицательна, в то время как левая часть неотрицательна при всех значениях x, при котоҏыҳ она определена. В связи с этим неравенство решений не имеет.

Ответ. Решений нет.

Пример 2. Решить неравенство 4.

Решение. Область определения данного неравенства 5х-9≥0, х≥9/5.

• Обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат: 5х-9
• Найдем пересечение полученного множества решений с областью определения неравенства, получим 9/5≤х
• Ответ : 9/5≤х

Пример 3. Решить неравенство ≥ 7.

Решение. Область определения данного неравенства 3-х ≥0, х≤3.

Обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат: 3-х≥ 49, -х ≥ 46, х ≤ -46.

Найдем пересечение полученного множества решений с областью определения неравенства, т.е. решение системы: . Имеем два неравенства с одинаковым знаком, вспомним: «меньше меньшего», итак.

1. Ответ: .
2. Пример 4. Решить неравенство
3. Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств:
4. Найдем решения каждого из неравенств:
5. 1) 6х + 3 ≥0, х≥-0,5.
6. 2) 3х ≥ 0, х≥0.

3) 6х+32, -9х2+6х+32-2х-10, решаем квадратное уравнение, находим х1=1, х2=-1/3. Применим метод интервалов: х1.

• Запишем решения системы: Получаем х1.
• Ответ: х1.
• Задание для групповой и самостоятельной работы.
• Решить неравенства.

1. х-1,

2. 3,

3. ≤ 5,

4. ≤ 4,

5. ≤ -6,

6. х-1,

7. 5 + ≤ 3,

8. — 2≥ х

9. ≥6.

Контрольные вопросы.

1. Что такое арифметический корень п-й степени?

2. Свойство корней?

3. Какие уравнения называются иррациональными?

4. Какие существуют способы решения иррациональных уравнений?

5. Почему при возведении в четную степень необходимо делать проверку?

6. Когда иррациональное уравнение не имеет решений?

7. Какие неравенства называются иррациональными?

8. Как решаются иррациональные неравенства?

Литература.

1. Колмогоров А.Н. Алгебра. Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. — М.: Просвещение, 2005.

2. Соболь Б.В., Виноградова И.Ю., Рашидова Е.В. Пособие для подготовки к единому государственному экзамену по математике. Ростов-на-Дону «Феникс», 2009.

3. Мордкович А.Г., Смирнова И.М., Математика 11 класс, М. Мнемозина, 2011.

Источник: https://kopilkaurokov.ru/matematika/prochee/mietodichieskiie_riekomiendatsii_po_rieshieniiu_irratsional_nykh_uravnienii_i_ni