Иррациональные выражения, уравнения и неравенства — справочник студента

Иррациональные уравнения и неравенства

Колегаева Елена Михайловна, доцент кафедры математических методов и информационных технологий ДВАГС

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Разделение труда и специализация - справочник студента

Оценим за полчаса!

I. Преобразование иррациональных выражений.

Иррациональным называется выражение, содержащее корни n-ой степени.

1) Одно из типичных преобразований иррациональных выражений – избавление от иррациональности в знаменателе.

а) Если в знаменателе стоит выражение вида , то необходимо числитель и знаменатель умножить на сопряженное к нему выражение . В этом случае применяется формула Иррациональные выражения, уравнения и неравенства - Справочник студента .

б) Если в знаменателе стоит выражение (или ), то числитель и знаменатель умножается, соответственно, на Иррациональные выражения, уравнения и неравенства - Справочник студента (или Иррациональные выражения, уравнения и неравенства - Справочник студента ). В этом случае применяются формулы

Иррациональные выражения, уравнения и неравенства - Справочник студентаИррациональные выражения, уравнения и неравенства - Справочник студента

Пример 1. Избавиться от иррациональности в знаменателе:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Понятие конфликта, его сущности - справочник студента

Оценим за полчаса!
  • Решение:
  • а) ;
  • б) ;
  • в) ;
  • г) ;
  • д) ;
  • е)
  • .
  • Отметим еще одно свойство:
  • которое часто применяется в преобразованиях.
  • Пример 2. Упростить выражение:
  • а) ; б) ; в) .
  • Решение:

а) , т.к. .

б) , т.к. .

  1. в)
  2. .
  3. В ыясним, при каких n выражения под знаком модуля меняют знак: n1, n1, n0.
  4. 1) Если n
  5. 2) Если -1n
  6. 3) Если 00
  7. Н айдем пересечение решений трех неравенств:
  8. Ответ: -18×0 и так как x2+1>0, возводим обе части в квадрат. Имеем:
  9. x>1.
  10. Объединяем два решения, получим х – любое.
  11. Ответ: х – любое.
  12. в)
  13. Ответ: х1.
  14. г)
  15. или
  16. х3
  17. Ответ: .
  18. Задачи для самостоятельного решения
  19. Уважаемые ребята, ниже приводятся задания для самостоятельного решения, которые следует выполнить, оформить отдельно от заданий по другим предметам и выслать в адрес Хабаровской краевой заочной физико-математической школы.

Наш адрес: 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ ( ХКЗФМШ).

М11.9.1. Упростить:

1) 2) 3)

4) , если , m>0, 0

Источник: https://studizba.com/files/show/doc/190556-1-84942.html

Иррациональные неравенства

  • Так называются неравенства, содержащие знак корня.
  • В решении иррациональных неравенств главное – логика и внимательность.
  • И конечно, надо повторить следующие темы:
  • 1) Арифметический квадратный корень.

2) Решение неравенств. Основные ошибки и полезные лайфхаки.

Напоминаем, что решение лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов.

1.Решите неравенство Иррациональные выражения, уравнения и неравенства - Справочник студента

  1. Поскольку Иррациональные выражения, уравнения и неравенства - Справочник студента левая часть положительна: 
  2. Выражение под корнем должно быть неотрицательным. Неравенство равносильно системе:
  3. Иррациональные выражения, уравнения и неравенства - Справочник студента
  4. Иррациональные выражения, уравнения и неравенства - Справочник студента
  5. Ответ: (5;+∞)

2.Решите неравенство .

Как вы думаете – это неравенство такое же, как предыдущее, или отличается от него? Ведь здесь правая часть может быть и положительной, и отрицательной, и равной нулю. И надо рассмотреть все эти случаи.

Получим:

Разложим выражение на множители. Корни уравнения – это и .

  • Получаем систему:

2) Пусть теперь правая часть неравенства отрицательна. Если  то неравенство выполняется. В самом деле, по определению. Значит,

  1. Нам нужно только, чтобы подкоренное выражение было неотрицательно: .
  2. Получим:
  3. Объединим полученные интервалы и запишем ответ.
  4. Ответ: .
  5. 3.Решите неравенство 
  6. Ответ:
  7. 4.Решите неравенство 
  8. Ответ:  
  9. 5.Решите неравенство
  10. Сделаем замену , тогда
  11. Ответ:
  12. 6. Решите неравенство
  13. Ответ:

Источник: https://ege-study.ru/irracionalnye-neravenstva/

Иррациональные неравенства

Иррациональные выражения, уравнения и неравенства - Справочник студента

Иррациональные выражения, уравнения и неравенства - Справочник студента Иррациональные выражения, уравнения и неравенства - Справочник студента Иррациональные выражения, уравнения и неравенства - Справочник студента Елена Репина 2013-10-21 2019-08-13

Давайте учиться решать иррациональные неравенства. Будем решать методом равносильных переходов в иррациональных неравенствах. Хотя зачастую, возможно, будет легче решить отдельное неравенство   обобщенным методом интервалов или методом рационализации.

Задание 1. 

  • Решить неравенство:
  • Решение: + показать
  • Какая информация заложена в самом неравенстве?

и , верно? Ведь подкоренное  выражение не может быть отрицательным (имеется ввиду корень четной кратности).

Мы сохраним эту информацию.

Неравенство равносильно системе:

  1. Каждое неравенство системы решаем методом интервалов:
  2. Итак,
  3. .
  4. Ответ:  

Задание 2

  • Решить неравенство:
  • Решение: + показать
  • Обе части неравенства – неотрицательны. Возведем в квадрат обе части, перейдем к системе, равносильной исходному неравенству:
  • Из первых двух неравенств системы остается одно – первое (его решение является пересечение множеств решений указанных двух неравенств).
  • Ответ:  

Задание 3

Решить неравенство:

Решение: + показать

Правая часть неравенства может быть как отрицательной, так и неотрицательной. Мы не можем просто так взять и возвести обе части неравенства в квадрат.

  1. Будем рассматривать два случая:
  2. 1)
  3. Тогда мы можем возвести обе части в квадрат и перейти к системе:
  4. 2)
  5. Тогда мы видим следующее:

Правая часть неравенства (всегда неотрицательная величина) больше отрицательной величины. Это верно.

  • То есть мы получаем верное неравенство на области его определения ().
  • Значит, перед нами система:
  • Проще говоря, будем решать совокупность двух систем:
  • Первая система решений не имеет:
  • А решение второй системы графически выглядит так:
  • Поэтому
  • Ответ:  

Задание 4

  1. Решить неравенство:
  2. Решение: + показать
  3. Перепишем неравенство вот так:

Мы должны четко понимать, что нельзя обе части неравенства поделить на ! Мы же не знаем знак этой суммы.

  • Выход такой – вынесение за скобку общего множителя:
  • Тогда неравенство равносильно совокупности двух систем:
  • Второе неравенство первой системы равносильно совокупности:
  • То есть решение данного неравенства –
  • Второе неравенство второй системы указанной выше совокупности равносильно  системе:
  • Откуда
  • То есть система не имеет решений.
  • Возвращаемся в совокупность, которая равносильна исходному неравенству:
  • Откуда
  • .
  • Ответ: . 

Источник: https://egemaximum.ru/irr-ner/

Теоретический материал: Основные понятия

Алгебра

Глава 9. Неравенства

9.1. Основные понятия

  • Учитель
  • Если разность положительна, тогда .
  • Ученик
  • Значит если , то разность положительна?
  • Учитель

Совершенно верно! То же самое можно заметить и в случае, когда разность отрицательна. Тогда . И обратно: если , то разность отрицательна. Под буквами в неравенствах понимают действительные числа или некоторые выражения, принимающие действительные числовые значения.

  1. Ученик
  2. Значит неравенство, содержащее буквы (переменные), можно рассматривать как две функции, соединенные знаком или ?
  3. Учитель
  4. Да, именно так!
  5. Определение

Неравенства, содержащие один и тот же знак или , называются неравенствами одинакового смысла. Два неравенства называются неравенствами противоположного смысла, если в одном из них знак , а в другом знак .

  • Учитель
  • Докажем теоремы, выражающие основные свойства неравенств.
  • Теорема (основные свойства неравенств)
  • 1) Если , то , и наоборот: если , то .
  • Доказательство.

По условию , значит положительно (по определению). Тогда отрицательно и поэтому .

2) Если и , то .

Доказательство.

Так как , то , из получаем . Сумма положительных чисел есть число положительное, поэтому , откуда и .

3) Если , то .

Доказательство.

В тождестве левая часть положительна, так как по условию , значит, разность в правой части положительна: , поэтому по определению . Так как — любое действительное число, то по доказанному из следует или , т.е.

неравенство не нарушится, если к обеим частям прибавить или из обеих частей вычесть одно и то же число.

Это свойство дает возможность переносить слагаемые из одной части неравенства в другую, изменив их знак на противоположный.

4) Пусть . Если , то ; если , то .

Доказательство.

Из следует . Но и . Тогда и произведение их положительно: или , поэтому (по определению). При и имеем: , но , поэтому или и . Так как не равно нулю, то по доказанному можно умножить на число , которое будет больше или меньше нуля. Но это значит, что доказана и возможность деления частей неравенства на

Источник: https://dl.bsu.by/mod/book/view.php?id=10171&chapterid=1234&lang=de

Методические рекомендации по решению иррациональных уравнений и неравенств

  • МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МУРМАНСКОЙ ОБЛАСТИ
  • ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ МУРМАНСКОЙ ОБЛАСТИ
  • «КАНДАЛАКШСКИЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ»
  • (ГАПОУ МО «КИК»)
  • Методические рекомендации к практическим работам по теме «Решение иррациональных уравнений и неравенств»
  • Разработала преподаватель математики

1категории Гашимова А.Н.

  1. 2017
  2. Пояснительная записка.
  3. Практические занятия — один из видов практического обучения, имеющий целью закрепление теоретических знаний и формирование практических умений и навыков.

Практическая работа по математике заключается в выполнении студентами под руководством преподавателя комплекса учебных заданий, направленных на усвоение основ учебной дисциплины «Математика», приобретение практических навыков решения примеров и задач. Выполнение практическойработы студенты производят в письменном виде, оформляя отчеты в тетради. Отчет предоставляется преподавателю для проверки.

Практические занятия способствуют более глубокому пониманию теоретического материала учебного курса, а также развитию, формированию и становлению различных уровней составляющих профессиональной компетентности студентов, пониманию межпредметных связей. Основой практикума выступают типовые задачи, которые должен уметь решать студент, изучающий дисциплину «Математика».

  • Для лучшего усвоения студентами изучаемого материала и получения уверенных навыков решения примеров и задач при проведении практических занятий целесообразно использовать различные методы и приемы:
  • — рассмотрение решения типовых примеров;
  • — исследовательская работа при решении примеров и практических задач;
  • — работа в группах;
  • м практических занятий являются
  • — Выполнение вычислений, расчетов;
  • — Работа со справочниками, таблицами.
  • Необходимые структурные элементы практического занятия:
  • — Инструктаж, проводимый преподавателем;
  • — Самостоятельная деятельность студентов;
  • — Анализ и оценка выполненных работ и степени овладения студентами запланированных умений.
  • Перед выполнением практического занятия проводится проверка знаний студентов на предмет их готовности к выполнению задания.
  • Оценки за выполнение являются показателями текущей успеваемости студентов по дисциплине «Математика».
  • Критерии оценки практических заданий.
  • Отметка «5» ставится, если:
  • работа выполнена полностью;
  • в логических  рассуждениях и обосновании решения нет пробе­лов и ошибок; 
  • в решении нет математических ошибок (возможна одна неточ­ность, описка, не являющаяся следствием незнания или непо­нимания учебного материала).
Читайте также:  Формы работы школы с семьёй - справочник студента

 Отметка «4»ставится, если:

работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

  • допущена одна существенная ошибка или два-три несущественных ошибки.
  1.  Отметка «3» ставится, если:
  2. допущены более одной существенной ошибки или более двух-трех
  3. несущественных ошибок, но студент владеет обязательными
  4. умениями по проверяемой теме; при этом правильно выполнено не
  5. менее половины работы. 
  6. Отметка «2» ставится, если:
  7.       допущены существенные ошибки, показавшие, что студент не владеет
  8.       обязательными умениями по данной теме в полной мере. 
  9. Отметка «1» ставится, если:
  10. работа показала полное отсутствие у студента обязательных знаний и
  11. умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена
  12. не самостоятельно.
  13. К категории существенных ошибок следует отнести ошибки, связанные с незнанием, непониманием студентом основных положений теории и с неправильным применением методов, способов, приемов решения практических заданий, предусмотренных программой.
  14. К категории несущественных ошибок следует отнести погрешности, связанные с небрежным выполнением записей, рисунков, графиков, чертежей, а также погрешности и недочеты, которые не приводят к искажению смысла задания и его выполнения.
  15. При наличии существенной ошибки задание считается невыполненным.
  16. Цель практических занятий: познакомить студентов с решением некоторых типов иррациональных уравнений; способствовать развитию навыка решения иррациональных уравнений и неравенств.
  17. Теоретические сведения.
  18. Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня.

Основная идея решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. При решении иррациональных уравнений применяют метод возведения в степень обоих частей уравнения и метод введения новой переменной (замены переменной).

Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень и освободиться от радикалов, то получится уравнение, равносильное исходному.

При возведении уравнения в четную степень получается уравнение, являющееся следствием исходного. В связи с этим возможно появление посторонних решений уравнения, но не возможна потеря корней. В этом случае обязательна проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение.

Мощным средством решения иррациональных уравнений является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины.

Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную.

В ряде случаев удачно введенные новые неизвестные иногда позволяют получить решение быстрее и проще; иногда же без замены решить задачу вообще невозможно.

  • Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, определив область допустимых значений и используя равносильные переходы.
  • Рассмотрим применение данных методов решения иррациональных уравнений.
  • Пример 1. Решите уравнение = х

Решение. Возведем обе части этого уравнения в квадрат и получим: 7х-6= х2 . Решаем квадратное уравнение: х2- 7х+ 6 =0

Д=25, х1=6, х2=1.

Проверяем полученные результаты, подставляя в начальное условие:

  1. Ответ: 6 и 1
  2. Пример 2. Решить уравнение =
  3. Решение. Возведем обе части в квадрат: 2= 2
  4. 2х-3=х-2
  5. 2х-х= 3-2
  6. х=1

Проверка: = не сеществует, следовательно х=1 посторонний корень. Данное уравнение не имеет решений.

  • Ответ: решений нет
  • Пример 3. Решить уравнение =
  • Решение: 3=3
  • 2х+7=3х-3
  • 2х-3х=-3-7
  • х=10
  • В даннам случае проверка необязательна, так как использовался метод возведения обеих частей в нечётную степень, при которой посторонние корни не появляются.
  • Ответ: х=10
  • Пример 4. Решить уравнение = х+3
  • Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат 2= 2;
  • (х+6) · (13-3х) = (х+3)2;
  • 13х- 3х 2+78 -18х = х2 + 6х +9;
  • 4х2 +11х -69 =0;
  • х1= 3; х2=- .
  • Проверка: х1= 3: · =3+3; 6 = 6
  • х2=- : ; посторонний корень.
  • Ответ: х=3
  • Пример 5. Решить уравнение + =12

Решение. Введем новую переменную. Пусть =, тогда =у2.

  1. Получаем новое уравнение: у2 +у -12=0; у1=3; у2=- 4.
  2. 1) =3 ;
  3. 2х +1= 34;
  4. х=40.
  5. 2) = — 4. Уравнение не имеет корней, так как ≥ 0, а число -4
  6. Ответ: х=40.

Пример 6. Решить уравнение + — 2= 0.

Решение. Пусть = у, = у2.

Получим у2 + у — 2 =0; у1=- 2; у2=1.

1) = 1, х =1

2) = -2, не имеет корней, т.к. ≥0.

Ответ: х=1.

Пример 7. Решить уравнение + =6.

Решение. Область допустимых значений неизвестного (ОДЗ) определяется системой неравенств которая решений не имеет. Уравнение не определено в множестве действительных чисел.

  • Ответ: нет решений.
  • Задания для индивидуальной и групповой работы.
  • 1. =
  • 2. = х-1
  • 3. –х – 5=
  • 4. — =1
  • 5. + =20
  • 6. + =3
  • 7. – – = 0
  • 8. — =1
  • 9. — 2= х
  • 10. = 12 —
  • 11. =4

12. = 2x+ 6.

  1. 13 = 5 + 2x.
  2. 14. 7 – =2
  3. 15. · =х
  4. 16. · =2
  5. 17.18- = 12
  6. 18. 5 + =3
  7. 19. -3 =х
  8. 20. 6 + =2
  9. 21. = -2
  10. 22. ·=0
  11. Решения иррациональных неравенств
  12. Под иррациональным неравенством понимают неравенство, в котором неизвестные величины находятся под знаком корня.
  13. Способ решения таких неравенств состоит в преобразовании их к рациональным неравенствам путем возведения обеих частей неравенства в степень.
  14. Решение иррациональных неравенств осложняется тем обстоятельством, что здесь исключена возможность проверки, в связи с этим необходимо стараться делать все преобразования равносильными.
  15. При решении иррациональных неравенств нужно запомнить правило:
  16. при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство, равносильное данному неравенству;
  17. если обе части неравенства возводят в чётную степень, то получится неравенство, равносильное исходному только в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.
  18. Но если при решении уравнений в результате возведения четную степень мы могли получить посторонние корни (которые, как правило легко проверить) и не могли потерять корни, то корни неравенства при бездумном возведении в четную степень могут одновременно и теряться, и приобретаться.
  19. Иррациональное неравенство g(х) или ≤ g(х) равносильно системе неравенств:
  20. или
  21. Иррациональное неравенство g(х) или ≥ g(х) равносильно совокупности двух систем неравенств: или
  22. В связи с этим основным методом решения иррациональных неравенств является сведение исходного неравенства к равносильной системе или совокупности систем рациональных неравенств.

Пример 1. Решить неравенство 4.

Решение. Заметим, что правая часто этого неравенства отрицательна, в то время как левая часть неотрицательна при всех значениях x, при котоҏыҳ она определена. В связи с этим неравенство решений не имеет.

Ответ. Решений нет.

Пример 2. Решить неравенство 4.

Решение. Область определения данного неравенства 5х-9≥0, х≥9/5.

  • Обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат: 5х-9
  • Найдем пересечение полученного множества решений с областью определения неравенства, получим 9/5≤х
  • Ответ : 9/5≤х

Пример 3. Решить неравенство ≥ 7.

Решение. Область определения данного неравенства 3-х ≥0, х≤3.

Обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат: 3-х≥ 49, -х ≥ 46, х ≤ -46.

Найдем пересечение полученного множества решений с областью определения неравенства, т.е. решение системы: . Имеем два неравенства с одинаковым знаком, вспомним: «меньше меньшего», итак.

  1. Ответ: .
  2. Пример 4. Решить неравенство
  3. Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств:
  4. Найдем решения каждого из неравенств:
  5. 1) 6х + 3 ≥0, х≥-0,5.
  6. 2) 3х ≥ 0, х≥0.

3) 6х+32, -9х2+6х+32-2х-10, решаем квадратное уравнение, находим х1=1, х2=-1/3. Применим метод интервалов: х1.

  • Запишем решения системы: Получаем х1.
  • Ответ: х1.
  • Задание для групповой и самостоятельной работы.
  • Решить неравенства.
  1. х-1,

  2. 3,

  3. ≤ 5,

  4. ≤ 4,

  5. ≤ -6,

  6. х-1,

  7. 5 + ≤ 3,

  8. — 2≥ х

  9. ≥6.

Контрольные вопросы.

  1. Что такое арифметический корень п-й степени?

  2. Свойство корней?

  3. Какие уравнения называются иррациональными?

  4. Какие существуют способы решения иррациональных уравнений?

  5. Почему при возведении в четную степень необходимо делать проверку?

  6. Когда иррациональное уравнение не имеет решений?

  7. Какие неравенства называются иррациональными?

  8. Как решаются иррациональные неравенства?

Литература.

  1. Колмогоров А.Н. Алгебра. Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. — М.: Просвещение, 2005.

  2. Соболь Б.В., Виноградова И.Ю., Рашидова Е.В. Пособие для подготовки к единому государственному экзамену по математике. Ростов-на-Дону «Феникс», 2009.

  3. Мордкович А.Г., Смирнова И.М., Математика 11 класс, М. Мнемозина, 2011.

Источник: https://kopilkaurokov.ru/matematika/prochee/mietodichieskiie_riekomiendatsii_po_rieshieniiu_irratsional_nykh_uravnienii_i_ni

Ссылка на основную публикацию