Формулы сложения, формулы двойного угла — справочник студента

Способы преобразования

Чтобы понять, как выражаются тригонометрические функции двойных углов, необходимо воспользоваться их записью в виде nα, где n принадлежит натуральному числу. Значение основного выражения отображается математически без скобок. Используя это свойство, можно составить следующее уравнение: sin nα = sin (nα).

Для приведения произведения sin nα х sin nα, используется аналогичное свойство. Выражение можно упростить до 2 (n sin α). Основой тождества является n sin α. В математике используются и другие равенства:

1. Косинус двойного угла: косинус 2α = косинус2α — синус2α.
2. Разность косинуса и тангенса двойного угла.
3. Тангенс минус двойной тангенс.
4. Котангенс минус тангенс.

В геометрии и алгебре чаще применяются следующие известные формулы: синус2α = cos2α — sin2α, cos2α = 1 − 2·sin2α. Можно разложить производные sin и cos, если угол имеет любой градус.

Решение тангенса потребуется, если в основе задачи находится tg2α, при этом значение угла отлично от суммы π4 и π2. Частный случай, когда в задании есть целое число z, а α ≠ π4 + π2·z.

Если рассматривать для котангенса ФДУ при любом альфа, ctg2α не определён на промежутке π2. Для косинуса двойного угла характерна тройная запись.

Доказательства равенств

Чтобы подтвердить уравнения на сложение, вычитание и умножение, понадобится подойти к доказательству комплексным способом. Используя формулы синуса с плюсом для углов (α+β) и косинуса ​ для β и α, получится синусα·косинусβ+косинусα·синусβ. Пример для вычитания: соsα ·cosβ-синусα·синусβ.

При вычислении разницы следует придерживаться аналогичного принципа. Результат будет следующим: косинус (α+α) равен двойному значению косинуса минус двойное значение синуса. Формула двойного угла косинуса и синуса доказана. При решении задач из дидактических материалов используются и другие уравнения при положительном и отрицательном значении альфа, при нуле либо половинном π.

Для их доказательства необходимо находить корень из числа z, возводить целое значение в квадрат либо иную степень. Чтобы определиться с ходом решения, необходимо следить за графиком функции:

• возрастанием;
• понижением.

Сложные действия вычисляются с помощью калькулятора. Если задача состоит из нескольких частей, для нахождения результата потребуется преобразовать первичное уравнение в более простое. Используются следующие равенства:

• косинус2α=1−2⋅синус2α;
• косинус 2α=2·косинус2α — 1.

Их можно привести к косинус2α — синус2α. Если заменить единицу суммой квадратов, тогда sin2α + cos2α = 1. Получается, что синус2α + косинус2α = 1. Подставив данные, выходит: 1 − 2·sin2α.

Чтобы доказать ФДУ котангенса, применяется равенство ctg2α = cos2αsin2α. Преобразовав данные, получится для tg2α равенство 2·sinα·cosαcos2α — sin2α. Разделив выражение на cos2α, отличное от нуля, получится, что tgα определен. Другое выражение поделится на sin2α. Значение sin2α ≠ 0 будет иметь смысл при любом α, если ctg2α имеет смысл.

Решение задач

Для убеждения в справедливости 2α для α=30° применяется значение тригонометрических функций для углов. Если α=30°, тогда 2α будет соответствовать 60°. Необходимо проверить значение sin 60° = 2·sin 30°·cos 30°, cos 60° = cos2 30° — sin2 30°. Если подставить данные, получится подробная функция: tg 60°= 2·tg 30°1 — tg2 30° и ctg 60° = ctg230° — 12·ctg 30°.

Так как sin 30° = 12, cos 30° = 32, tg 30° = 33, ctg 30° = 3 и sin 60° = 32, cos 60° = 12, tg 60° = 3, ctg 60° = 33, тогда выводится следующее: 2·sin 30°·cos 30° = 2·12·32 = 32, cos230° — sin230° = (32)2-(12)2 = 12,2·tg 30°1-tg230° = 2·321 — (33) = 3 и ctg230° — 12·ctg 30° = (3)2 − 12·3 = 33.

Задача 1: дан угол, отличный от 2α, например 3π5. Нужно найти его значение. Решение: угол 3π5 необходимо преобразовать. Получается α = 3π5:2 = 3π10. Из результата следует, что ФДУ для косинуса принимает следующий вид: cos3π5 = cos23π10 — sin23π10.

Задача 2: необходимо представить sin2α3 через функции, когда α = 6. Решение: заменить 2α3 = 4·α6. Если подставить данные, получится sin2α3. Выражая через функцию, принимая формулу двойного угла, записывается выражением: sin2α3 = 2·sinα3·cosα3. Используя cosα3, применяя sin2α2, получится результат sin2α3 = 4·sinα6·cos3α6 − 4·sin3α6·cosα6.

Тождества при других значениях

На практике студенты высших учебных заведений математических факультетов встречаются с задачами, для решения которых применяются формулы тройного, четверного и другого угла. В их основе находятся тригонометрические функции. Чтобы их вывести, используются формулы сложения двойного угла: sin3α = sin (2α+α) = 3·sinα·cos2α — sin3α.

При замене cos2α на 1-sin2α формула примет новый вид: sin3α = 3·sinα-4·sin3α. По аналогичной схеме приводится формула косинуса тройного угла: косинус3α = косинус (2α+α) = косинус3α — 3·синус2α·косинусα.

При замене sin2α на 1-cos2α, получится формула вида cos3α = -3·cosα+4·cos3α. С помощью полученных равенств преобразовывается формула тройного угла для тангенса и котангенса: tg3α = sin3αcos3α = ctg3α — 3·ctgα3·ctg2α — 1.

По такой же методике выводятся формулы четвёртой степени. Значение 4α нужно представить в виде 2·2α. Равенство выводится с помощью ФДУ дважды. Для получения равенства пятой степени представляется значение угла 5α в виде 3α+2α.

Такая сумма позволяет использовать формулы двойного и тройного углов с целью преобразования в конечный результат. По аналогичной схеме преобразовываются разные степени тригонометрических функций, но их применяют в тригонометрии редко.

Область применения

Чтобы определить значение тригонометрической функции (ТФ), рассматривается окружность с радиусом в единицу и диаметрами, взаимно перпендикулярными. Для вычислений потребуется отложить от точки, принадлежащей окружности, дуги любых длин. Они будут положительными, если их отложить против часовой стрелки.

Отрицательное значение принимают те, которые размещены по часовой стрелке. Если конец дуги имеет длину f, тогда проекция радиуса на любом диаметре примет значение косинуса дуги. Под аргументом понимается число, которое рассматривается геометрически как f либо радианная мера угла. Если аргумент ТФ взят за угол, тогда его значение выражается и в градусах.

Доказано, что значение острых углов больше нуля, но меньше p/2. Для таких величин ТФ рассматривается как отношение катетов к гипотенузе. Эти элементы принадлежат прямоугольному треугольнику.

Название связано с наличием угла в 90 градусов.

Для решения задач с тригонометрическими функциями используется и теорема Пифагора, в основе которой находится свойство прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дуга делит окружность на несколько частей. Углы, размещенные в первой четверти, больше нуля, во второй косинус меньше, но синус больше, в третьей ТФ меньше 0, а в четвёртой получаются значения, противоположные второй. Для построения окружности потребуется циркуль, а для измерения углов транспортир.

Для получения точного чертежа рекомендуется наносить данные на миллиметровую бумагу либо тетрадь в клетку.

Источник: https://nauka.club/matematika/formuly-dvoynogo-ugla.html

ФизМат

Основное тригонометрическое тождество.
Для любого угла  α справедливо равенство  sin^2 α + cos^2 α = 1, называемое основным тригонометрическим тождеством.

Доказательство.

Формулы сложения.

Для любых углов α и β справедливы равенства:

cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β Чтобы получить эту формулу рассмотрим единичный тригонометрическую окружность с двумя радиус векторами OA и OB, соответствующими углам α и β.По определению тригонометрических функций координаты векторов: ОА (cos α, sin α) и ОВ (cos β, sin β). Вычислим скалярное произведение этих векторов: ОА × ОВ = |ОА| × |ОВ| × cos (α+β) = cos (α+β)Вычислим скалярное прозведение векторов через координаты: ОА × ОВ = cos α cos β – sin α sin β. Так получается искомая формула: cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β

cos(α – β) = cos α cos β + sin α sin β Чтобы получить эту формулу нужно в предыдущей формуле заменить β на –β.

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β Эта формула получается через использование формул приведения в предыдущей формуле.

sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β Эта формула получается через замену β на –β в предыдущей формуле.

Для любых углов α и β таких, что α ≠ π/2 + πk, β ≠ π/2 + πn, α + β ≠ π/2 + πm (k, n, m принадлежат множеству Z), справедливо:

tg(α + β) = (tg α + tg β)/(1 – tg α tg β) Эта формула получается через вычисления частного sin(α + β) и cos(α + β)

Для любых углов α и β таких, что α ≠ π/2 + πk, β ≠ π/2 + πn, α – β ≠ π/2 + πm (k, n, m принадлежат множеству Z), справедливо:

tg(α – β) = (tg α – tg β)/(1 + tg α tg β) Эта формула получается через вычисления частного sin(α – β) и cos(α – β)

Для любых углов α и β таких, что α ≠  πk, β ≠  πn, α + β ≠ πm (k, n, m принадлежат множеству Z), справедливо:

ctg(α + β) = (ctg α ctg β – 1)/(ctg β + ctg α) Эта формула получается через вычисления частного cos(α + β) и sin(α + β)

Для любых углов α и β таких, что α ≠  πk, β ≠  πn, α – β ≠ πm (k, n, m принадлежат множеству Z), справедливо:

ctg(α – β) = (ctg α ctg β + 1)/(ctg β – ctg α) Эта формула получается через вычисления частного cos(α – β) и sin(α – β)

Формулы приведения.

• Если мы откладываем угол от вертикальной оси, лошадь говорит «да» (киваем головой вдоль оси OY)  и приводимая функция меняет свое название: синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс.
• Если мы откладываем угол от горизонтальной оси, лошадь говорит «нет» (киваем головой вдоль оси OХ)  и приводимая функция  не меняет свое название.
• Знак правой части равенства совпадает со знаком приводимой функции, стоящей в левой части равенства.
• 1 четверть: sin:+ cos:+ tg, ctg:+
  2 четверть: sin:+ cos:- tg, ctg:-
  3 четверть: sin:- cos:- tg, ctg:+
  4 четверть: sin:- cos:+ tg, ctg:-

Тригонометрические формулы двойного угла, понижения степени и половинного аргумента.

• cos 2α = cos² α — sin² α
• cos 2α = 2cos² α — 1
• cos 2α = 1 — 2sin² α
• sin 2α = 2sin α · cos α
• tg 2α = (2tg α) ÷ (1 — tg² α)
• ctg 2α = (ctg² α — 1) ÷ (2ctg α)

1. Понижение степени
2. cos2t=21+cos2t; sin2t=21−cos2t
3. Формулы половинного аргумента

4. 

Универсальная тригонометрическая подстановка.

Определение. Универсальной тригонометрической подстановкой называются выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.

Эти формулы позволяют выразить любую тригонометрическую функцию через тангенс половинного угла. Это дает возможность свести любое тригонометрическое уравнение к алгебраическому относительно этого тангенса. Пусть t = , тогда

,  ,  ,  .

При использовании этих формул следует иметь в виду, что они имеют смысл только тогда, когда определен тангенс половинного угла, т.е. при ; в формуле для tg α требуется, кроме того, чтобы t не равнялось 1, а в формуле для ctg α – чтобы t не равнялось 0.

Источник: http://fizmatinf.blogspot.com/2012/12/19.html

Методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме: "Формулы двойного угла" | Социальная сеть работников образования

• Бюджетное образовательное учреждение Чувашской Республики
• среднего профессионального образования
•  «Чебоксарский электромеханический колледж»
•           Министерства образования и молодежной политики Чувашской Республики
• Методическая разработка урока математики

Раздел. Алгебра и начала анализа.

Тема  «Формулы двойного угла»

Иеронова Светлана Феофановна, преподаватель математики

1. Чебоксары 2014
2. Пояснительная записка
3. Характеристика учебной группы.
4. Открытый урок по предмету “Математика” проводится в группе по профессии “Сварщик”.

Это вновь сформированная группа обучающихся 1 курса. Основная часть студентов имеет низкий уровень подготовки, т.е. не обладает прочными базовыми знаниями за курс основной школы. У учащихся слабо развито логическое мышление и навыки самостоятельной работы.

Характеристика темы.

В рабочей программе тема “Формулы двойного угла” входит в раздел 1 “Алгебра и начала анализа” предмета “Математика”. В этой теме изучаются, систематизируются знания студентов об основных формулах тригонометрии.

• Все учебные элементы данной темы используются при изучении всего раздела 1.
• Образовательными целями урока являются:
• —  вывод формул двойного угла;
• —  совершенствование умений применения формул сложения при выполнении упражнений.
• Объектами развития в данной теме являются:
• – развитие культуры математической речи, абстрактного и логического мышления, долговременной оперативной памяти и устойчивого внимания.
• Основной воспитательной задачей темы является воспитание культуры поведения при индивидуальной и фронтальной работе,  развитие навыков самостоятельной работы, формирование положительной мотивации.
• Рекомендации по изучению учебного материала.

С помощью создания проблемной ситуации преподаватель побуждает студентов к активному восприятию материала, к более глубокому осмыслению полученных знаний и их систематизации. На уроке выводятся новые формулы применяя известный материал и учатся их применять при решении упражнений.

Преподаватель использует различные методы обучения: словесные, наглядные (объяснение и беседа); репродуктивный (алгоритм решения типовых задач); частично-поисковый (вывод формулы, самостоятельная работа).

При решении поставленных задач учащиеся развивают логическое и абстрактное мышление, тренируют память и внимание. На уроке используется фронтальный, групповой, индивидуальный и дифференцируемый режим работы.

 

Рекомендации по контролю знаний учащихся.

Проверка знаний, умений и навыков учащихся является важным компонентом каждого урока и данного в том числе. На уроке рекомендуется использовать устный фронтальный опрос; самопроверку обучающей самостоятельной работы по эталону. Оценка знаний учащихся на данном уроке не предусмотрена.

1. Продолжительность урока – 45 мин.
2. Структура урока.
3. Формулы двойного угла.

1. Организационный момент (1 мин.).
2. Актуализация опорных знаний (6 мин.).
3. Постановка цели урока (1 мин.).
4. Усвоение новых знаний и способы их усвоения (13 мин.).
5. Информация о домашнем задании  (1 мин.).
6. Первичное закрепление (10 мин.).
7. Динамическая пауза(1 мин.).  
8. Организация первичного контроля (10 мин.).
9. Итог урока (1 мин.).  
10. Рефлексия (1 мин.).

Технологическая карта урока

Цели (задачи) урока   образовательные:  вывести формулы двойного угла; совершенствовать умение применения формул сложения при выполнении упражнений; способствовать развитию культуры математической речи,  абстрактного и логического мышления, долговременной оперативной памяти и устойчивого внимания.   воспитательные: воспитывать культуру поведения при индивидуальной и фронтальной работе,  развивать навыки самостоятельной работы, формировать положительную мотивацию; способствовать к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.   развивающие: — Регулятивные УУД: умение определять и формулировать цель и тему урока с помощью преподавателя; проговаривать последовательность действий на уроке; работать по плану; оценивать правильность выполнения действий на уровне адекватной ретроспективной оценки; планировать свое действие в соответствии поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учета характера сделанных ошибок; высказывать свое предложение. — Коммуникативные УУД: умение выражать свои мысли в устной форме, слушать и понимать других, уважительно к ним относиться. — Познавательные: умение ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью преподавателя; добывать новые знания: находить ответы на поставленные вопросы с помощью учебной литературы, используя свой жизненный опыт и знания, полученные на занятиях.	Результаты урока Предметные Уметь применять формулы двойного угла при выполнении упражнений. Метапредметные Уметь определять и формулировать цель и тему урока с помощью преподавателя;  проговаривать последовательность действий на уроке; работать по плану; оценивать правильность выполнения действий на уровне адекватной ретроспективной оценки; планировать свое действие в соответствии поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учета характера сделанных ошибок; высказывать свое предложение (Регулятивные УУД). Уметь выражать свои мысли в устной форме, слушать и понимать других, уважительно к ним относиться (Коммуникативные УУД). Личностные Уметь проводить самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности.
Тип урока, педагогическая технология Изучение нового материала; По источникам знаний: словесные, наглядные; По степени взаимодействия преподаватель-студент: эвристическая беседа; Относительно дидактических задач: подготовка к восприятию; Относительно характера познавательной деятельности: репродуктивный, частично-поисковый.	Оборудование урокаДоска, компьютер, презентация «Формулы двойного угла», карточки- задания, рабочие листы, динамическая пауза, карточка для рефлексии, карточка с домашним заданием.
Опорные понятия, терминыФормулы тригонометрии, угол, синус, косинус, тангенс угла (двойного угла), радианная и градусная мера углов.	Новые понятия и связи между нимиформулы сложения и формулы двойного угла, угол и двойной угол
Контроль, самоконтроль на урокеФронтальная, индивидуальная и самостоятельная работа, самопроверка, взаимопроверка, работа в парах.	Домашнее задание  Вывести формулы  только через cos и только через sin (использовать основное тригонометрическое тождество), выполнить следующие упражнения:     1. Упростите выражение: cos 2α + sin²α =            2.  Вычислите значение выражения: 2 sin 22º30′ cos22º30′ =            3. Сократите дробь:              На «5»: задания 1 – 3            На «4»: задания 1, 2            На «3»: задание 1

Ход урока

Этап урока	Деятельность и действия преподавателя	Деятельность и действия студента (ов)	Используемые методы, приемы, формы	Формируемые УУД	Резeльтат взаимодействия
1. Организационный момент.	Преподаватель приветствует студентов. Создает положительный настрой на продуктивную работу. Раздает карты банка Бонусов, дает рекомендации по ее заполнению.	Визуальный контроль готовности кабинета и рабочего места к занятию.Включаются во взаимодействие с преподавателем и между собой.	Приветствие, контроль присутствующих, проверка готовности кабинета и студентов к занятию.	Личностные: самоопределение. Регулятивные: целеполагание. Коммуникативные: планироване  учебного сотрудничества с преподавателем и сверстниками.	Готовность студентов к обучению.
2.  Актуализация опорных знаний.	(Два студента у доски, остальные работают с формулами):1. Вычислите .2. Зная, что sin α = 0,8 и 0

Источник: https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2014/02/25/formuly-dvoynogo-ugla

Методическая разработка урока математики на тему «Формулы двойного угла»

• Государственное областное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
• «Липецкий техникум городского хозяйства и отраслевых технологий»
• Методическая разработка урока математики
• Тема «Формулы двойного угла»

Андреева Ольга Ивановна, преподаватель математики

1. Пояснительная записка
2. Характеристика учебной группы.
3. Открытый урок по предмету “Математика” проводится в группе по профессии “Контролёр банка”.

Это вновь сформированная группа обучающихся 1 курса. Основная часть студентов имеет низкий уровень подготовки, т.е. не обладает прочными базовыми знаниями за курс основной школы. У студентов слабо развито логическое мышление и навыки самостоятельной работы.

Характеристика темы.

В рабочей программе тема “Формулы двойного угла” входит в раздел 1 “Алгебра и начала анализа” предмета “Математика”. В этой теме изучаются, систематизируются знания студентов об основных формулах тригонометрии.

• Все учебные элементы данной темы используются при изучении всего раздела 1.
• Образовательными целями урока являются:
• — вывод формул двойного угла;
• — совершенствование умений применения формул сложения при выполнении упражнений.
• Объектами развития в данной теме являются:
• – развитие культуры математической речи, абстрактного и логического мышления, долговременной оперативной памяти и устойчивого внимания.
• Основной воспитательной задачей темы являетсявоспитание культуры поведения при индивидуальной и фронтальной работе, развитие навыков самостоятельной работы, формирование положительной мотивации.
• Рекомендации по изучению учебного материала.

С помощью создания проблемной ситуации преподаватель побуждает студентов к активному восприятию материала, к более глубокому осмыслению полученных знаний и их систематизации. На уроке выводятся новые формулы применяя известный материал и учатся их применять при решении упражнений.

Преподаватель использует различные методы обучения: словесные, наглядные (объяснение и беседа); репродуктивный (алгоритм решения типовых задач); частично-поисковый (вывод формулы, самостоятельная работа).

При решении поставленных задач учащиеся развивают логическое и абстрактное мышление, тренируют память и внимание. На уроке используется фронтальный, групповой, индивидуальный и дифференцируемый режим работы.

Техническое средство обучения (компьютер, мультимедиапроектор) обеспечивает наглядность и способствует лучшему усвоению знаний.

Рекомендации по контролю знаний учащихся.

Проверка знаний, умений и навыков учащихся является важным компонентом каждого урока и данного в том числе. На уроке рекомендуется использовать устный фронтальный опрос; самопроверку обучающей самостоятельной работы по эталону. Оценка знаний учащихся на данном уроке не предусмотрена.

1. Продолжительность урока – 45 мин.
2. Структура урока.
3. Формулы двойного угла.

1. Организационный момент (1 мин.).

2. Актуализация опорных знаний (6 мин.).

3. Постановка цели урока (1 мин.).

4. Усвоение новых знаний и способы их усвоения (13 мин.).

5. Информация о домашнем задании (1 мин.).

6. Первичное закрепление (10 мин.).

7. Динамическая пауза(1 мин.).

8. Организация первичного контроля (10 мин.).

9. Итог урока (1 мин.).

10. Рефлексия (1 мин.).

• Технологическая карта урока
• Цели (задачи) урока
• образовательные:
• вывести формулы двойного угла;
• совершенствовать умение применения формул сложения при выполнении упражнений;
• способствовать развитию культуры математической речи, абстрактного и логического мышления, долговременной оперативной памяти и устойчивого внимания.
• воспитательные:
• воспитывать культуру поведения при индивидуальной и фронтальной работе, развивать навыки самостоятельной работы, формировать положительную мотивацию;
• способствовать к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.
• развивающие:
• — Регулятивные УУД: умение определять и формулировать цель и тему урока с помощью преподавателя;
• проговаривать последовательность действий на уроке;
• работать по плану;
• оценивать правильность выполнения действий на уровне адекватной ретроспективной оценки;
• планировать свое действие в соответствии поставленной задачей;
• вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учета характера сделанных ошибок;
• высказывать свое предложение.
• — Коммуникативные УУД: умение выражать свои мысли в устной форме, слушать и понимать других, уважительно к ним относиться.
• — Познавательные: умение ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью преподавателя;
• добывать новые знания: находить ответы на поставленные вопросы с помощью учебной литературы, используя свой жизненный опыт и знания, полученные на занятиях.
• Результаты урока
• Предметные
• Уметь применять формулы двойного угла при выполнении упражнений.
• Метапредметные
• Уметь определять и формулировать цель и тему урока с помощью преподавателя;
• проговаривать последовательность действий на уроке;
• работать по плану;
• оценивать правильность выполнения действий на уровне адекватной ретроспективной оценки;
• планировать свое действие в соответствии поставленной задачей;
• вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учета характера сделанных ошибок;
• высказывать свое предложение (Регулятивные УУД).
• Уметь выражать свои мысли в устной форме, слушать и понимать других, уважительно к ним относиться (Коммуникативные УУД).
• Личностные
• Уметь проводить самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности.
• Тип урока, педагогическая технология
• Изучение нового материала;
• По источникам знаний: словесные, наглядные;
• По степени взаимодействия преподаватель-студент: эвристическая беседа;
• Относительно дидактических задач: подготовка к восприятию;
• Относительно характера познавательной деятельности: репродуктивный, частично-поисковый.
• Оборудование урока
• Доска, компьютер, презентация «Формулы двойного угла», карточки- задания, рабочие листы, карточка для рефлексии, карточка с домашним заданием.
• Опорные понятия, термины
• Формулы тригонометрии, угол, синус, косинус, тангенс угла (двойного угла), радианная и градусная мера углов.
• Новые понятия и связи между ними
• формулы сложения и формулы двойного угла, угол и двойной угол
• Контроль, самоконтроль на уроке
• Фронтальная, индивидуальная и самостоятельная работа, самопроверка, взаимопроверка, работа в парах.
• Домашнее задание Вывести формулы только через cos и только через sin (использовать основное тригонометрическое тождество), выполнить следующие упражнения:
• 1. Упростите выражение: cos 2α + sin²α =
• 2. Вычислите значение выражения: 2 sin 22º30′ cos22º30′ =
• 3. Сократите дробь:
• На «5»: задания 1 – 3
• На «4»: задания 1, 2
• На «3»: задание 1
• Ход урока
• Этап урока
• Деятельностьи действия преподавателя
• Деятельность и действия студента (ов)
• Используемые методы, приемы, формы
• Формируемые УУД
• Резeльтат взаимодействия

1. Организационный момент.

Преподаватель приветствует студентов. Создает положительный настрой на продуктивную работу. Раздает карты банка Бонусов, дает рекомендации по ее заполнению.

1. Визуальный контроль готовности кабинета и рабочего места к занятию.
2. Включаются во взаимодействие с преподавателем и между собой.
3. Приветствие, контроль присутствующих, проверка готовности кабинета и студентов к занятию.
4. Личностные:
5. самоопределение.
6. Регулятивные:
7. целеполагание.
8. Коммуникативные:
9. планироване учебного сотрудничества с преподавателем и сверстниками.
10. Готовность студентов к обучению.

2. Актуализация опорных знаний.

(Два студента у доски, остальные работают с формулами):

1. Вычислите .

2. Зная, что sin α = 0,8 и

Источник: https://infourok.ru/metodicheskaya_razrabotka_uroka_matematiki_na_temu__formuly_dvoynogo_ugla-155824.htm