Формула полной вероятности — справочник студента

Составитель преподаватель кафедры высшей математики Ищанов Т.Р. Занятие №4. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формулы Байеса.

Теоретический материал
Формула полной вероятности
Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий $B_1, B_2,cdots, B_n$ , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
$[P(A)=P(B_1)P_{B_1}(A)+P(B_2)P_{B_2}(A)+cdots+P(B_n)P_{B_n}(A).]$
Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

Доказательство. По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий $B_1,B_2,cdots, B_n$ .

Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий $B_1A, B_2A, ..., B_nA$ . Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим
Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем
$[P(B_1A)=P(B1)cdot P_{B_1}(A);]$
$[P(B_2A)=P(B_2)cdot P_{B_2}(A);ldots; P(B_nA)=P(B_n)P_{B_n}(A).]$
Подставив правые части этих равенств в соотношение (*), получим формулу полной вероятности
$[P(A)=P(B_1)P_{B_1}(A)+P(B_2)P_{B_2}(A)+cdots+P(B_n)P_{B_n}(A).]$

Пример 1. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго—0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) — стандартная.
Решение. Обозначим через А событие «извлеченная деталь стандартна».

Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событие B1), либо из второго (событие B2).
Вероятность того, что деталь вынута из первого набора, $P(B_1)=1/2$ .
Вероятность того, что деталь вынута из второго набора, $P(B_2)=1/2$ .
Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, .
Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь .
Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь — стандартная, по формуле полной вероятности равна

Пример 2. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке—10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.
Решение.

Обозначим через А событие «из первой коробки извлечена стандартная лампа».
Из второй коробки могла быть извлечена либо стандартная лампа (событие B1), либо нестандартная (событие B2).

Вероятность того, что из второй коробки извлечена стандартная лампа,
Вероятность того, что из второй коробки извлечена нестандартная лампа,
Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена стандартная лампа, равна
Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена нестандартная лампа, равна
Искомая вероятность того, что из первой коробки будет извлечена стандартная лампа, по формуле полной вероятности равна

Вероятность гипотез. Формулы Байеса

Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события A определяется по формуле полной вероятности:

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности

Найдем сначала условную вероятность . ПО теореме умножения имеем
Отсюда
Заменив здесь Р (А) по формуле (*), получим
.

Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т. е. условная вероятность любой гипотезы может быть вычислена по формуле

Полученные формулы называют формулами Байеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.). Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму — 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым—0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной.

Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.
Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что годная деталь признана стандартной. Можно сделать два предположения:
1)деталь проверил первый контролер (гипотеза );
2)деталь проверил второй контролер (гипотеза ).

Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контролер, найдем по формуле Байеса:

По условию задачи имеем:
(вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру);
(вероятность того, что деталь попадет ко второму контролеру);
(вероятность того, что годная деталь будет признана первым контролером стандартной);
(вероятность того, что годная деталь будет признана вторым контролером стандартной).
Искомая вероятность

Как видно, до испытания вероятность гипотезы равнялась 0,6, после того, как стал известен результат испытания, вероятность этой гипотезы (точнее, условная вероятность) изменилась и стала равной 0,59. Таким образом, использование формулы Байеса позволило переоценить вероятность рассматриваемой гипотезы.

Практический материал.
1. (4) Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных заводом № 1, и 2 коробки деталей, изготовленных заводом № 2. Вероятность того, что деталь завода № 1 стандартна, равна 0,8, а завода № 2 — 0,9, Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.
Отв. 0,84.

2. (5) В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором—30 деталей, из них 24 стандартных; в третьем — 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика—стандартная.
Отв. 43/60.
3. (6) В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа.

Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы.
Отв. 0,875.
4. (3) В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника—0,9, для велосипедиста—0,8.

и для бегуна—0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.
Отв. 0,86.
5. © В белом ящике 12 красных и 6 синих шаров. В черном – 15 красных и 10 синих шаров. Бросают игральный кубик. Если выпадет количество очков, кратное 3, то наугад берут шар из белого ящика.

Если выпадет любое другое количество очков, то наугад берут шар из черного ящика. Какова вероятность появления красного шара?

Решение:
Возможны две гипотезы:
– при бросании кубика выпадет количество очков, кратное 3, т.е. или 3 или 6;
– при бросании кубика выпадет другое количество очков, т.е. 1, 2, 4 или 5.
По классическому определению вероятности гипотез равны:

Поскольку гипотезы составляют полную группу событий, то должно выполняться равенство
Пусть событие А состоит в появлении красного шара. Условные вероятности этого события зависят от того, какая именно гипотеза реализовалась, и составляют соответственно:
Тогда по формуле полной вероятности вероятность события А будет равна:

Источник: https://ischanow.com/teoriya-veroyatnostey/formula-polnoy-veroyatnosti-formula-b.html

Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события Авычисляется по формуле

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых . Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез .

По теореме умножения вероятностей

откуда

Аналогично, для остальных гипотез

Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как — априорными вероятностями.

Пример. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий.

Процентный состав этой продукции следующий: 20% — продукция первого предприятия, 30% — продукция второго предприятия, 50% — продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии — 5% и на третьем — 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта.

Решение. Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям.

Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:

Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность:

Источник: http://studentmtuci.blogspot.com/2016/01/blog-post_14.html

Кейс «решение задач теории вероятностейс применением формул полной вероятности, байеса, условной вероятности»

Кейс «решение задач теории вероятностейс применением формул полной вероятности, байеса, условной вероятности»
1.Тема:«Практическое применение теории вероятности в различных сферах жизни людей»
2. Цели занятия:
Уметь: устанавливать события вероятности и применять вероятностные законы к прогнозированию событий.
Перед началом выполнения кейса необходимо знать: определение события, относительной частоты события,вероятности невозможного события,вероятности достоверного события, предела нахождения вероятности, равновероятностных событий,формул условной вероятности, Байеса, полной вероятности.

3. Режим работы.

№	Этапы работы	Время на этап
1. 2. 3. 4. 5. 6.	Представление кейса. Решение заданий тестового типа.. Индивидуальное изучение кейса каждым учеником. Разработка вариантов групповых решений. Релаксация. Защита вариантов индивидуальных решений в каждой группе. Подведение итогов.	2 мин 5 мин 5 мин. 15 мин 1 мин 15 мин 2 мин

Информационная карта кейса

1. В данном кейсе нельзя писать решения!

За консультацией можно обращаться только к преподавателю или к эксперту-консультанту.
Внимательно рассмотрите решение задачи, представленной в справке.
Изучите, предложенную Вам, исследовательскую работу.
Следите за временем, отведенным на каждый этап работы.
4.Выполните поиск решения задачи,опираясь на сведения справочного материала, оформите свой мини-проект по следующей схеме:
Схема оформления мини-проекта в презентации
Слайд.
Тема_________________
Проблема_____________
Объект исследования________________
Слайд.
Цель, задачи________________
Слайд.
Рабочая гипотеза__________________
Слайды.
Результаты исследований_______________________
Слайды.
Сделайте вывод следующего содержания:
— что нового удалось узнать из сегодняшнего урока;
— что сделано за сегодняшний урок;
— что из этого является результатом, о котором можно написать в тексте своего отчета;
— что не понятно, какие проблемы возникли;

— какие есть идеи их решения, включая возможность изменения постановки всей задачи или её частей;
Слайд.
план работ на следующий период (например, две недели).
Вариант
Тема исследовательской работы «Спортивные ставки и теория вероятностей»
Ход работы
Справка
Формула полной вероятности
Формула Байеса
Формула условной вероятности
1.4 Разбор решения практической задачи по теме варианта
Выполнение теста
Самостоятельная работа
Справка
1.1 Формула полной вероятности
Допустим, что проводится опыт, об условиях которого можно заранее сделать взаимоисключающие друг друга предположения (гипотезы):

Мы предполагаем, что имеет место либо гипотеза , либо … либо . Вероятности этих гипотез известны и равны:

Тогда имеет место формула полной вероятности:

Вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятности наступления А при каждой гипотезе на вероятность этой гипотезы.

1.2 Формула Байеса

Она позволяет пересчитывать вероятность гипотез в свете новой информации, которую дал результат А. Формула Байеса в известном смысле является обратной к формуле полной вероятности.

1.3 Условная вероятность

Условной вероятностью (два обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

В частности, отсюда получаем:

1.4 Рассмотрим следующую практическую задачу

Возьмем любой матч из любого европейского чемпионата из футбола. Например, матч Ньюкасла против ЛестеравПремьер Лиге. Для этого введем ряд понятий и обозначений:

А – состоялся матч (событие);
Н1 – гипотеза, что победит домашняя (первая — 1) команда;
Н2 – гипотеза, что победит гостевая (вторая — 2) команда;
Н3 – гипотеза, что будет ничья между данными командами;
Р(Н1)=Р(Н2)=Р(Н3)=1/3, то есть это одинаковая вероятность событий (победа 1, победа 2, ничья);
РН1(А) – так называемая статистическая вероятность, то есть это отношения количества выигранных дома матчей первой команды к общему количеству матчей;

РН2(А) — отношение количества выигранных на выезде матчей второй команды к общему количеству матчей;
РН3(А) – суммарная статистическая вероятность,
то есть (ничьи 1 + ничьи 2) / общее количество матчей одной из команд.
Р(А) – полная вероятность наступления события (см. выше в формуле — множитель);
Наша цель – определить или оценить (для игроков спрогнозировать), например, победу первой команды (Ньюкасл) или найти Ра(Н1). Для этого, воспользовавшись статистической информацией (в данном примере — за предшествующий сезон; желательно — наибольшее число сезонов), найдем РН1(А), РН2(А), РН3(А):
РН1(А) =11 побед (дома) / 21 (общее количество матчей, проведенных дома);
РН2(А) =5 побед (на выезде) / 21 (общее количество матчей, проведенных на выезде);
РН3(А) =5 ничей (Ньюкасл) + 2 ничьи (Лестер) / 21.
Соответственно:
РН1(А)=0,52381;
РН2(А)=0,238095;
РН3(А)=0,(3).
Потом найдем Р(А):
Р(А) =Р(Н1)*РН1(А)+ Р(Н2)*РН2(А)+ Р(Н3)*РН3(А)
Р(А) =0,365079
Теперь можем найти Ра(Н1):
Ра(Н1) =Р(Н1)*РН1(А) / Р(А)
Ра(Н1) =0,478261 ( или приблизительно 48%)
Аналогично найдем Ра(Н2) и Ра(Н3): Ра(Н2) =22% и Ра(Н3)=30%
Итак, 48% того, что Ньюкасл победит Лестер
22% — Лестер победит Ньюкасл
30% — будет ничья

Следует сказать, что точность такого прогнозирования составляет приблизительно 65%-70%. То есть, шансы оцениваются как 7 до 10, что есть довольно неплохо.

Стопроцентного прогноза данный способ не может дать (как и любой другой), но, сопоставив свой собственный опыт, здравый смысл и данный метод, можно получить незаурядные результаты в игре.

Не забывайте, что сама рассчитанная вероятность ничего не даст, если не сравнивать ее с коэффициентами конторы.

Выполнение теста.
Самостоятельная работа
Задача № 4.

Задание. Попробуйте спрогнозировать результат матча Спартак-ЦСКА, который состоится 21 ноября 2013 года.

Турнирная таблица 1 (дома, на выезде)

#	Спартак М	И	В	Н	П	ГЗ	ГП	Очки	Форма
4	Общий	12	7	3	2	22	13	24
Дома	5	3	2	0	8	3	11
В гостях	7	4	1	2	14	10	13

Турнирная таблица 2 (дома, на выезде)

#	ЦСКА	И	В	Н	П	ГЗ	ГП	Очки	Форма
5	Общий	13	6	3	4	12	15	21
Дома	6	4	1	1	6	4	13
В гостях	7	2	2	3	6	11	8

Описание таблиц:
Таблица отображает в первой строке турнирное положение команды в чемпионате:
— содержит информацию о результатах матчей команды в чемпионате (И — количество проведенных матчей, В — выигранных матчей, Н — матчей завершившихся в ничью, П — количество поражений, ГЗ — количество забитых голов, ГП — количество пропущенных голов, Очки — очков набранных командой:«Спартак М»);
— вторая строка отображает таблицу выступлений команды «Спартак М» в домашних матчах; — содержит такие же столбцы, как и таблица турнирного положения в первой строке;
— третья строка отображает выступление команды «Спартак М» в гостевых матчах.
Вариант
Ход работы
Справка
Формула полной вероятности
Формула Байеса
Выполнение теста
Самостоятельная работа
1. Справка
1.1 Формула полной вероятности
Допустим, что проводится опыт, об условиях которого можно заранее сделать взаимоисключающие друг друга предположения (гипотезы):
Мы предполагаем, что имеет место либо гипотеза , либо … либо . Вероятности этих гипотез известны и равны:
Тогда имеет место формула полной вероятности:
Вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятности наступления А при каждой гипотезе на вероятность этой гипотезы.
1.2 Формула Байеса

Условная вероятность
Условной вероятностью (два обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

В частности, отсюда получаем:
Выполнение теста.
Самостоятельная работа.
Задача 4.

Рассмотрим посадку самолета в аэропорту. При посадке погодные условия могут быть такими: низкой облачности нет ( ), низкая облачность есть ( ). В первом случае вероятность благополучной посадки равна P1. Во втором случае – Р2. Ясно, что P1>P2.

Приборы, обеспечивающие слепую посадку, имеют вероятность безотказной работы Р. Если есть низкая облачность и приборы слепой посадки отказали, вероятность удачного приземления равна Р3, причем Р3

Источник: https://infopedia.su/20x43be.html

Формула полной вероятности

Пусть совокупность событий H1,H2,…,Hn — образуют полную группу событий, а также их объединение даёт достоверное событие и они попарно несовместные. В случае наступления каждого из событий Hi, событие А может настать с некоторой условной вероятностью PHi·(A)
События Hi называют гипотезами.
Запишем формулу полной вероятности:
P(A)=P(H1)·PH1(A)+P(H2)·PH2(A)+…+P(Hn)
или эту формулу можно представить в следующем виде:

Формула полной вероятности - Справочник студента

Пример 1

В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

Решение
А — «мишень поражена»
H1 : «выстрел из винтовки с оптическим прицелом»
H2 : «выстрел из винтовки без оптического прицела»
Находим вероятности

Р(H1)=3/5=0.6, Р(H2) =2/5=0.4

РH1(А)=0.95, РH2(А)=0.7

Итак, по формуле полной вероятности находим вероятность
Р(А)=P(H1)·PH1(A)+P(H2)·PH2(A)=0,57·0,92+0,43·0,8=0,524+0,344=0,868
Пример 2

В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.

Решение
А — «до конца расчета машина не выйдет из строя»
H1 — «клавишный автомат не выйдет из строя»
H2 — «полуавтомат не выйдет из строя»
Из условия задачи получаем
Р(H1)=6/10=0,6 Р(H2)=4/10=0,4
Условные вероятности равны

РH1(А)=0.95, РH2(А)=0.8

Воспользуемся формулу полной вероятности, имеем:
Р(А)=P(H1)·PH1(A)+P(H2)·PH2(A)=
=0,6·0,95+0,4·0,8=0,89
Пример 3

Экзамен сдают студенты трех групп. В первой группе 7, во второй 6 и в третьей 8 студентов. Студент из первой группы сдаст экзамен с вероятностью 0.9, из второй группы с вероятностью 0.8 и из третьей группы с вероятностью 0.7. С какой вероятностью сдаст экзамен случайно вызванный студент?

Решение
Cобитые А — «случайно вызванный студент сдаст экзамен»
Н1: студент из 1-ой группы
Р(H1)=7/21; Р(A|H1)=0.9
Н2: студент из 2-ой группы
Р(H2)=6/21; Р(A|H2)=0.8
Н3: студент из 3-ей группы
Р(H3)=8/21; Р(A|H3)=0.7
По формуле полной вероятности получаем:
Р(А)=P(H1)·Р(A|H1)+P(H2)·Р(A|H2)+P(H3)·P(A|H3)=

=7/21·0.9+6/21·0.8+8/21·0.7=0.795

Пример 4

В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

Решение
A— «наудачу извлечённый из двух выбранных шаров — белый шар»
H1: «шар извлечен из первой урны»
H2: «шар извлечен из второй урны»
По условию задачи, следует, что из каждой урны извлекается одинаковое количество шаров, тогда получаем вероятности
Р(H1)=Р(H2)=1/2
Найдем условные вероятности того, что из первой урны
РH1(A)=8/10=3/10
и второй урны извлечен белый шар
РH2(A)=4/20=1/5
Применяя формулу полной вероятности, найдем вероятность того, что взят белый шар
Р(А)=P(H1)·PH1(A)+P(H2)·PH2(A)=
=1/2·4/5+1/2·1/5=1/2

Источник: https://www.matematicus.ru/teoriya-veroyatnosti/formula-polnoj-veroyatnosti