Дисперсионное расплывание волновых пакетов — справочник студента

Таким образом, фазовая скорость получилась больше скорости света, а групповая скорость — меньше c, в полном соответствии с её смыслом как скорости передачи сигнала.

6.7. Расплывание волнового пакета

Поскольку волновой пакет состоит из волн с различающимися фазовыми скоростями, то эти волны с течением времени должны расходиться, а волновой пакет — расплываться. Время расплывания пакета можно оценить, удержав в разложении (3.2) слагаемое со второй производной d2 /dk2:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!
  • Дисперсионное расплывание волновых пакетов - Справочник студента
  • Теперь показатель экспоненты в формуле (3.1) равен
  • Дисперсионное расплывание волновых пакетов - Справочник студента
  • где
  • Дисперсионное расплывание волновых пакетов - Справочник студента

Дисперсионное расплывание волновых пакетов - Справочник студента

Дисперсионное расплывание волновых пакетов - Справочник студента

Здесь мы воспользовались соотношением (4.1), которое связывает протяжённость волнового пакета с разбросом волновых чисел. Квадратичное слагаемое равно нулю при линейной зависимости частоты от волнового вектора. В этом случае эффект расплывания волнового пакета не имеет места, как, например у фотона в вакууме.

  1. Рассмотрим теперь нерелятивистску частицу с массой M. Вторую производную частоты по волновому вектору оценим следующим образом:
  2. Дисперсионное расплывание волновых пакетов - Справочник студента
  3. Следовательно, время расплывания волнового пакета по порядку величины составляет
  4. Дисперсионное расплывание волновых пакетов - Справочник студента
  5. В классическом пределе ( → 0) эффект расплывания отсутствует.

Примеры

Пусть макроскопическое тело имеет массу M = 1г и размер x ~ 1 м (дробинка). Тогда из (7.1) получаем  ~ 1018 лет. Это значительно превышает возраст Вселенной. Таким образом, объекты макромира не успевают расплыться за время своего существования.

Перейдём к объектам микромира. Формула (7.1) упрощается в случае электрона. Если M=me, то

e ~ ( x)2

при условии, что расстояние измеряется в сантиметрах, а время — в секундах. Проверим, может ли электрон удержаться внутри области, размер которой равен его классическому радиусу re. В этом случае

Читайте также:  Учет налога на игорный бизнес - справочник студента

e ~ re2 ~  ~ 10–26 с.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Электрон практически мгновенно «уплывет» в другое место. Классический радиус электрона численно близок к размерам ядра. Следовательно, мы показали также, что электрона в ядре быть не может.

Атомный электрон локализован внутри области x ~ a0 ~ 10–8 см, откуда время расплывания 10‍–‍16 с оказывается сравнимым с периодом обращения электрона на орбите вокруг ядра.

Мы рассмотрели два примера поведения микрочастицы на микроскопических расстояниях. Теперь обсудим движение электрона в масштабах домашнего телевизора и околоземной орбиты.

Электрон в кинескопе телевизора, пройдя разность потенциалов ~ 20 кэВ, разгоняется до скорости ~ 1010 см/с. Пусть чёткость изображения удовлетворительна при его локализации на экране с точностью до x ~ 0.1 мм.

Если размер пакета принять равным этой величине, то время расплывания получается равным 10–4 с. За это время электрон пролетит 10 км — расстояние, значительно превышающее размер телевизора.

Итак, в трубке кинескопа не происходит расплывания электрона как волнового пакета.

Космофизичекий эксперимент. В советско–французском эксперименте под кодовым названием «Аракс» с острова Кергелен в Южном полушарии вблизи северного магнитного полюса запускалась в атмосферу ракета с электронной пушкой, которая инжектировала в атмосферу пучок электронов с энергией примерно 10 кэВ.

Электроны летели вдоль силовых линий магнитного поля Земли и были зарегистрированы в районе Архангельска. Длина пути была около 109 см. При скорости 1010 см/с такое расстояние электрон проходит примерно за десятую долю секунды. Отсюда следует величина расплывания пакета порядка нескольких миллиметров — в 109 раз меньше длины пути электрона.

Таким образом, в случае микроскопической частицы, двигающейся в макроскопических масштабах, расплывания волнового пакета не происходит.

Читайте также:  Теория ожиданий врума - справочник студента

Итак, расплывание волнового пакета может оказаться существенным только при движении микроскопической частицы в микроскопических масштабах, то есть там, где законы классической механики уже неприменимы.

Источник: https://studizba.com/files/show/doc/221487-2-glava-06-volnovoy-paket.html

Волновой пакет

Итак, мы убедились, что излучение в некоторых условиях проявляет корпускулярные свойства. С другой стороны, дифракционная картина, наблюдаемая при рассеянии на кристаллах различных частиц — электронов, нейтронов и целых атомов — свидетельствует в пользу их волновой природы.

Как совместить волновые и корпускулярные свойства объектов микромира? Ведь частица локализована в пространстве, а волна представляет собой протяжённое образование. Например, монохроматическая волна заполняет собой всё пространство и вопрос о её местонахождении лишён смысла.

Тем не менее, волновой процесс можно локализовать. Для этого надо создать волновой пакет — сумму многих колебаний с разными частотами и длинами волн.

Запишем уравнение монохроматической волны, распространяющейся в положительном направлении оси x:

  • (x,t) = A cos(kx– t),
  • где  — любая физическая величина, описывающая волновое движение. Аргумент гармонической функции (в данном случае — косинуса) называется фазой:
  •  = kx –  t.
  • Выразим координату через фазу и время:

Если мы зафиксируем фазу, то координата становится линейной функцией времени. Такая зависимость называется характеристикой. На рисунке 6.1.1 показаны три характеристики,

отвечающие различным значениям фазы. Множитель перед t называется фазовой скоростью волны: Физический смысл фазовой скорости заключается в следующем. Для наблюдателя, который движется со скоростью Vф в направлении распространения волны, величина  становится постоянной и волна как бы застывает. Однако, во многих случаях оказывается, что фазовая скорость волны больше скорости света. Здесь нет никаких противоречий, так как темп переноса энергии описывается совсем другой характеристикой волнового пакета.
Понятие групповой скорости связано с интерференцией колебаний, имеющих разные частоты и длины волн. Рассмотрим две волны с одинаковыми амплитудами и различающимися, но близкими частотами и длинами волн: причём

Сложим эти колебания:

В аргументе первого косинуса правой части мы пренебрегли слагаемыми Δω и k по сравнению с 2 и 2k. На рис.6.2.1 приведён график функции (x) в некоторый момент времени. Результирующее
колебание представляет собой волну практически с прежними значениями частоты и волнового числа, но с модулированной амплитудой. Мы можем добиться того, чтобы для нас стала неподвижной картина модуляции амплитуды. Для этого надо двигаться со скоростью

(2.1)

До сих пор мы рассматривали одномерный случай. На рис.6.2.2 представлена имитация сложения волн, распространяющихся в разных направлениях на плоскости. Из равноотстоящих точек под разными углами проведено по пять линий. Хорошо видно, как они образуют периодические

сгущения и разрежения по обоим направлениям.

Если сложить большое число волн, то получится более сложная картина биений с большей степенью локализации колебаний, но элементы периодической структуру будут многократно повторяться. Этот результат пока ещё отличается от наших представлений о частице, находящейся в определённой области пространства. Локализацию волнового пакета можно получить только при непрерывном распределении частот и волновых чисел. Тогда частоту можно представить как непрерывную функцию волнового вектора:

(2.2)  =  (k).

Зависимость (2.2) называется дисперсионным уравнением. Именно для такой функции вводится понятие групповой скорости как предела (2.1):

Групповая скорость есть скорость передачи любого сигнала, а также скорость переноса энергии, массы и аналогичных величин. Она никогда не превосходит скорости света в вакууме.

6.3 Сложение колебаний с непрерывной зависимостью (k)

При непрерывной зависимости (2.1) волновой пакет должен быть представлен не в виде суммы, а как интеграл от непрерывного распределения монохроматических колебаний:
причём

kk0.

Здесь для удобства дальнейших вычислений мы перешли к экспоненциальному представлению колебаний и добавили «нормировочный» множитель 1/(2 k). Амплитуда A, вообще говоря, может зависеть от волнового числа k, но мы для простоты будем полагать её постоянной и вынесем за знак интеграла.

Рассмотрим модуляцию колебаний в пакете волн с непрерывным распределением частот, ограничиваясь линейным разложением по малому параметру k = kk0:

Подставив (3.2–3) в (3.1) и выполняя интегрирование, получим:

  1. Мы снова пришли к уравнению для плоской волны с частотой 0 и волновым числом k0, но с модулированной амплитудой. На этот раз модуляция осуществляется функцией

график которой приведён на рис.6.3.1. Нам важны следующие её свойства. Во–первых, функция f()

принимает наибольшее значение в центре волнового пакета:

  • f(0) = 1.
  • f() = 0 при  =   n n = 1, 2,
  •  = /2   n n = 1, 2,…

Далее, вместе с sin она имеет бесконечное число корней:
Наконец, в промежутках между нулями, в точках
модуль функции имеет локальные максимумы, высота которых падает обратно пропорционально . Модулированный пакет (3.4) изображён на рис.6.3.2: он практически полностью локализован в первом максимуме. Чёрная кривая изображает колебания на основной частоте 0. Им соответствует фазовая скорость

Vф  0/k0 .

(Напомним, что мы полагаем |k| и || малыми по сравнению с k и , соответственно). Красным цветом обозначена огибающая волнового пакета. Она перемещается в пространстве с групповой скоростью Vг0, определяемой формулой (3.3).

6.4 Локализация пакета и его длительность

Фиксируем момент времени t = 0. Тогда аргумент функции амплитудной модуляции равен
 = x k.
График функции на рис. 6.3.

2 в данном случае представляет мгновенную фотографию волнового пакета. Повторим центральную часть рис. 6.3.1 с новыми обозначениями.

Размер пакета определяется шириной центрального максимума, где фаза  меняется на 2:

(4.1) kx  2.

Знак неравенства напоминает, что часть пакета, хотя и небольшая, всё же выходит за пределы центрального максимума.

Теперь оценим, сколько времени волновой пакет тратит на прохождение через заданную точку, например, через начало координат.

В этом случае

 = – Vг0 tk= – t.

Однозначную зависимость функции f() от времени отражает рис. 6.4.2. Длительность волнового пакета, как и пространственная протяжённость, определяется изменением фазы на 2:

(4.2) t 2.

Неравенства (4.1) и (4.2) хорошо известны в теории колебаний и в радиотехнике. Например, так называемая почти монохроматическая волна (волновой пакет с очень узким интервалом волновых чисел) имеет большую протяжённость в пространстве.

С другой стороны, для регистрации коротких (t → 0) импульсов необходим широкополосный приёмник.

Рассматриваемые неравенства отражают операции, необходимые для измерения длины волны  и частоты. Для определения λ необходимо фиксировать положения как минимум двух соседних «горбов».

При этом точность определения  будет тем больше ( → 0 и k → 0), чем большее число максимумов будет зафиксировано (). Аналогично, для определения частоты колебаний маятника  измерение нужно проводить, по крайней мере, в течение одного периода колебаний.

Точность измерения частоты будет возрастать ( → 0) с увеличением числа измеренных периодов (t → ).

Итак, мы можем представить материальную частицу как волновой пакет. Вычислим фазовую и групповую скорости такого пакета, для определённости задавшись параметрами электрона. Припишем частице частоту, соответствующую дебройлевской длине волны. В результате фазовая скорость получается равной
Воспользуемся формулами (1.2) четвёртой главы, выражающими импульс и энергию через скорость V, и продолжим цепочку равенств:

Последнее неравенство еще раз убеждает нас, что фазовая скорость не имеет прямого отношения к скорости частицы. Теперь определим групповую скорость частицы как волнового пакета:
Вычисление производной dE/dp можно выполнить следующим образом. Из формул (1.2) четвёртой главы вытекает полезное тождество, объединяющее скорость, импульс и энергию частицы:
(5.3) E = pc2/V.
Воспользуемся (5.3) и продолжим цепочку равенств (5.2):

Скорость перемещения огибающей волнового пакета есть скорость движения частицы.

6.6 Линейная и нелинейная дисперсионные зависимости

В случае линейной связи между частотой и волновым числом фазовая скорость равна групповой. Например, электромагнитные волны в вакууме, как известно, описываются линейным уравнением

w = kc.

Их него следует

Vф = Vг = с.

Но при распространении в той или иной среде связь между частотой и волновым числом может оказаться нелинейной. Принято говорить, что такая среда обладает дисперсией. При нелинейной функции (k) групповая и фазовая скорости различаются.

Например, распространение электромагнитной волны в плазме описывается дисперсионным уравнением где 0 — плазменная частота. Она определена формулой (1.2.1) в разделе 1.1.2 (Ленгмюровская частота) первой главы (Анализ размерностей). Дифференцируя (6.

1) по волновому числу k, получаем:

Из последнего равенства вытекает связь между фазовой и групповой скоростями электромагнитной волны в плазме:

Vф  Vг = с2.

Сами скорости в единицах скорости света равны
Таким образом, фазовая скорость получилась больше скорости света, а групповая скорость — меньше c, в полном соответствии с её смыслом как скорости передачи сигнала.

Поскольку волновой пакет состоит из волн с различающимися фазовыми скоростями, то эти волны с течением времени должны расходиться, а волновой пакет — расплываться. Время расплывания пакета можно оценить, удержав в разложении (3.2) слагаемое со второй производной d2 /dk2:

Теперь показатель экспоненты в формуле (3.

1) равен

  1. Рассмотрим теперь нерелятивистску частицу с массой M. Вторую производную частоты по волновому вектору оценим следующим образом:

где
Квадратичная добавка даёт дополнительный набег фазы. Сказанное иллюстрирует рис. 6.7.1.

Будем полагать, что произошло заметное расплывание, если за промежуток времени  приращение фазы  стало порядка . Отсюда следует оценка масштаба времени расплывания:

Здесь мы воспользовались соотношением (4.1), которое связывает протяжённость волнового пакета с разбросом волновых чисел.

Квадратичное слагаемое равно нулю при линейной зависимости частоты от волнового вектора. В этом случае эффект расплывания волнового пакета не имеет места, как, например у фотона в вакууме.
Следовательно, время расплывания волнового пакета по порядку величины составляет
В классическом пределе ( → 0) эффект расплывания отсутствует.

Пусть макроскопическое тело имеет массу M = 1г и размер x ~ 1 м (дробинка). Тогда из (7.1) получаем  ~ 1018 лет. Это значительно превышает возраст Вселенной. Таким образом, объекты макромира не успевают расплыться за время своего существования.

Перейдём к объектам микромира. Формула (7.1) упрощается в случае электрона. Если M=me, то

e ~ ( x)2
при условии, что расстояние измеряется в сантиметрах, а время — в секундах. Проверим, может ли электрон удержаться внутри области, размер которой равен его классическому радиусу re. В этом случае
e ~ re2 ~  ~ 10–26 с.
Электрон практически мгновенно «уплывет» в другое место. Классический радиус электрона численно близок к размерам ядра. Следовательно, мы показали также, что электрона в ядре быть не может.

Читайте также:  Развитие идей правового государства в россии - справочник студента

Атомный электрон локализован внутри области x ~ a0 ~ 10–8 см, откуда время расплывания 10‍–‍16 с оказывается сравнимым с периодом обращения электрона на орбите вокруг ядра.

Мы рассмотрели два примера поведения микрочастицы на микроскопических расстояниях. Теперь обсудим движение электрона в масштабах домашнего телевизора и околоземной орбиты.

Электрон в кинескопе телевизора, пройдя разность потенциалов ~ 20 кэВ, разгоняется до скорости ~ 1010 см/с. Пусть чёткость изображения удовлетворительна при его локализации на экране с точностью до x ~ 0.1 мм.

Если размер пакета принять равным этой величине, то время расплывания получается равным 10–4 с. За это время электрон пролетит 10 км — расстояние, значительно превышающее размер телевизора.

Итак, в трубке кинескопа не происходит расплывания электрона как волнового пакета.

Космофизичекий эксперимент. В советско–французском эксперименте под кодовым названием «Аракс» с острова Кергелен в Южном полушарии вблизи северного магнитного полюса запускалась в атмосферу ракета с электронной пушкой, которая инжектировала в атмосферу пучок электронов с энергией примерно 10 кэВ.

Электроны летели вдоль силовых линий магнитного поля Земли и были зарегистрированы в районе Архангельска. Длина пути была около 109 см. При скорости 1010 см/с такое расстояние электрон проходит примерно за десятую долю секунды. Отсюда следует величина расплывания пакета порядка нескольких миллиметров — в 109 раз меньше длины пути электрона.

Таким образом, в случае микроскопической частицы, двигающейся в макроскопических масштабах, расплывания волнового пакета не происходит.

Итак, расплывание волнового пакета может оказаться существенным только при движении микроскопической частицы в микроскопических масштабах, то есть там, где законы классической механики уже неприменимы.

Источник: http://mognovse.ru/xqi-volnovoj-paket.html

Дисперсионное расплывание волновых пакетов

Совокупность волн, которые различаются друг с другом, частотой в пределах малого интервала riangle omega называют волновым пакетом (группой волн). Аналитически волновой пакет можно представить как:

Групповая скорость пакета волн, который задан уравнением (1) может быть определена как:

В том случае, если дисперсия групповой скорости имеет существенное значение, значит, параметры импульса переменны при распространении пакета волнСтоит отметить, основные черты изменения импульса света описывают низшими приближениями дисперсионнои̌ теории. Чаще всœᴇᴦο ограничиваются вторым или третьим приближением. Дисперсионные свойства среды характеризуются с использованием волнового вектора ( overrightarrow{k} ), модуль которого разложим в ряд и ограничимся вторым приближением:

где k_2 >0 означает, что дисперсия групповой скорости нормальная, k_2

Допустим, что мы имеем дело с гауссовскими импульсами света (спектрально — ограниченными). При ϶том комплексная амплитуда в диспергирующей среде может быть представлена как:

где V^2_0left(z
ight)=1+{left(frac{z}{L_D}
ight)}^2 , L_D=frac{{ au }^2_0}{left|k_2
ight|} , varphi left(t,z
ight)=frac{{left(frac{z}{L_D}
ight)}^2}{2V^2_0left(z
ight)k_2z}t^2-frac{1}{2}arctgfrac{k_2z}{{ au }^2_0} . Величину L_D называют длинои̌ дисперсионного расплывания пакета волны (дисперсионнои̌ длинои̌), t — время в бегущей системе координат.

{
ho }_0(t) — действительная огибающая, {varphi }_0(t) — фаза. Комплексная амплитуда E_0(t) связана с огибающей и фазой как:

При ϶том длительность гауссовского импульса в среде с дисперсией увеличивается при увеличении расстояния в соответствии с формулой:

Надо отметить, что в линейнои̌ среде ширина спектра пакета волны не изменяется. При ϶том уменьшение роли в спектре модуляции огибающей, компенсирует возникновение частотнои̌ (фазовой) модуляции.

Дифракция и дисперсия

Формула (4) аналогична выражению, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ описывает дифракцию плоской волны на щели. Следует сделать вывод о том, что поведение гауссовского импульса в веществе с дисперсией эквивалентно дифракции двумерного пучка света. При ϶том параметр L_D аналогичен дифракционнои̌ длине пучка света ( L_{dif}=k_0a^2_0 ), здесь a_0 — радиус пучка.

Существуют и отличия в поведении пучков волн и пакетов. Так, параметр дисперсии k_2 (ᴇᴦο аналог frac{1}{k_0} ) может быть меньше нуля. По϶тому импульсы света могут иметь как отрицательную так и положительную скорость изменения частоты при распространении, что отличает их от пучков света подвергшихся дифракции и имеющих положительную кривизну фронта волны.

Рассматривая дисперсионное расплывание волнового пакета аналогично дифракции, выделяют ближнюю зону (при zll L_D) и дальнюю зону (зону Фраунгофера) при ( zgg L_D) импульса света. В ближней зоне имеем:

В дальней зоне получим:

Пример 1

Объясните, почему предметы макромира не расплываются за время своᴇᴦο существования?

Решение:

[ au =frac{pi }{delta varphi }=frac{pi }{{left( riangle k
ight)}^2left(frac{d^2omega }{dk^2}
ight)}=frac{{left( riangle x
ight)}^2}{left(frac{d^2omega }{dk^2}
ight)}left(1.1
ight).]

Проведем оценку величины left(frac{d^2omega }{dk^2}
ight) как:

[frac{d^2omega }{dk^2}=hbar left(frac{d^2(hbar omega )}{d{(hbar k)}^2}
ight)=hbar frac{d^2}{dp^2}=frac{hbar }{m}left(1.2
ight),]

где hbar = 1,05cdot {10}^{-34}Джcdot с.

Подставляем результат, полученный в (1.2) в выражение (1.1) тогда время расплывания пакета равно:

[ au approx frac{{left( riangle x
ight)}^2m}{hbar }left(1.3
ight).]

Пусть масса тела составляет m={10}^{-3}кг , размер ᴇᴦο riangle x=1 м, проведем оценку времени расплывания:

[ au approx frac{{left(1
ight)}^2{cdot 10}^{-3}}{1,05cdot {10}^{-34}}approx {10}^{31}(с)]

Что превышает возраст Вселеннои̌. Получается, что объекты макромира не успевают расплыться, пока существуют.

Пример 2

Каково время расплывания электрона, если рассматривать область равную ᴇᴦο классическому радиусу ( r_e )? Может ли электрон находится в ядре?

Решение:

[{ au }_eapprox {left( riangle x
ight)}^2={left(r_e
ight)}^2left(2.1
ight),]

где расстояние измерено в сантиметрах, время в секундах. В таком случае вычислим { au }_e , получим:

[{ au }_e={10}^{-26}left(с
ight).]

Ответ: { au }_e={10}^{-26}с. Не может.

Источник: http://referatwork.ru/info-lections-55/tech/view/1568_dispersionnoe_rasplyvanie_volnovyh_paketov

4. Расплывание волновых пакетов

П

png» width=»203″>редположим,
что мы создали такое состояние частицы,
когда она локализована в ограниченной
области пространства, то есть соорудили
в начальный момент времени волновой
пакет, длина которого Δx0(мы знаем, что частица где-то здесь в
окрестности какого-то значенияx).

Фазовая скорость волн, из которых
построен пакет равна,
и, поскольку имеет место такое соотношение

png» width=»77″>,
мы видим, что фазовая скорость зависит
отk, то есть каждая
синусоида, составляющая пакет, движется
со своей скоростью. К чему это приведёт?
Каждая синусоида начинает сдвигаться
относительно другой, между ними меняются
фазовые соотношения и этот пакет начинает
растягиваться.1)
Можно оценить это расплывание.

Разброс в импульсе ,
этому разбросу в импульсе соответствует
разброс в скоростях

png» width=»116″>,
гдеm– масса частицы,
а этому разбросу скоростей будет
соответствовать увеличение расстояния

png» width=»131″>,
то есть, если в начальный момент времени
волновой пакет имел длину Δx0,
то к моменту времениtон будет иметь такую длину.2)

Там, где существенны
волновые свойства, там рушится понятие
траектории. Мне был приведён контрпример
– наблюдаются траектории в камере
Вильсона. Действительно, в камере
Вильсона электроны оставляют следы,
как это со всем сообразуется? Сообразуется
следующим образом.

Во-первых, как
получается след в камере Вильсона? В
чистом небе высоко где-то летит самолёт,
которого почти не видно, и за ним тянется
ровный белый след – рисуется его
траектория. Тот же механизм и в камере
Вильсона.

Там на этих высотах чистая
атмосфера и водяной пар, переохлаждённый
водяной пар (на высоте 10000мтемпература
порядка –40оС). Водяной пар при
таких температурах должен был бы
конденсироваться, но для конденсации
нужны конденсаты.

1)
Летит самолёт, выбрасываются частицы
(сгорает топливо в двигателе), они
становятся центрами конденсации и на
них высаживаются капли воды, и мы получаем
такую белую полосу. Камера Вильсона
действует таким же образом. Под поршнем,
скажем, пар, и внезапно поршень выдвигают,
начинается адиабатическое охлаждение.

Пар переводится в состояние охлаждённого
пара, в этот момент залетает частица,
она производит ионизацию атомов в
воздухе, эти ионизированные атомы
делаются конденсатами, на них высаживаются
капли воды, мы получаем видимый след. А
теперь, как это связано с теорией?

Вот
у вас летит электрон это волновой пакет.
Я рисую гребни волн. В точке1произошла
ионизация, и мы получили здесь каплю
воды.

Волновая функция скукожилась
сразу в окрестности этой точки, но этот
пакет обладает импульсом, он продолжает
двигаться в том же направлении, эта
волновая функция снова расплывается.
Следующая конденсация произошла в точке2, и так далее. На самом деле, толщина
этого следа по атомным масштабам очень
велика.

Действительно, каждая капля,
которая образуется (это измерение
координаты электрона), ложится хаотично
в пространстве, но все капли укладываются
в след, толщина которого много больше
длины волны. Они хаотически обнаруживаются
в разных точках в пределах волнового
пакета, ну а для нас это выглядит как
такая траектория.

Если бы мы были сами
атомных масштабов и сидели там внутри,
то мы видели бы, что он тут вспыхнул,
потом он там вспыхнул, и никакой траектории
мы тогда б не увидели. Таким образом вся
эта картина увязывается со следами в
камере Вильсона.

Источник: https://studfile.net/preview/926787/page:11/

Расплывание волнового пакета

Состояние свобод­ной частицы, задаваемое волновым пакетом, более или менее соответствует представлению о частице в классической ме­ханике. Есть, однако, обстоятельство, которое несколько пор­тит картину: волновой пакет расплывается. Фазовая ско­рость волны, определяющей состояние с импульсом p, равна

v = ω / k = ђk / 2m.

и, как видим, зависит от k (т. е. от длины волны).

Столкновение частицы с атомом, приводящее к его ионизации, можно рассматривать как изме­рение координат частицы. После столкновения вол­новая функция частицы (пакет) локализована в окрестности ионизован­ного атома. Однако до следующего столкнове­ния этот пакет не успева­ет заметно расплыться и движется в направлении первоначального импуль­са частицы, если он был достаточно велик.

Синусоидальные волны со специально подобранными амп­литудами и фазами в начальный момент формируют волно­вой пакет определенного профиля.

Но далее, с течением времени, за счет того что волны с разными длинами дви­жутся с разными скоростями, волновой пакет начинает де­формироваться.

Он расплывается, подобно тому как груп­па бегунов на длинную дистанцию, стартуя компактной массой, растягивается постепенно в длинную цепочку.

Расплывание пакета приводит к увеличению неопределен­ности координат, что не означает, однако, уменьшения неоп­ределенности импульса. Соотношения неопределенностей задают минимальные значения неопределенностей, кото­рые реализуются при специальной организации пакета. Скорость расплывания пакета можно оценить следующим образом. Разность скоростей самой быстрой и самой мед­ленной волны порядка

Δv ≈ Δp / m ≈ ђ / mΔx0,

где Δx0 — на­чальная ширина пакета. К моменту времени t ширина паке­та будет порядка

Δx ≈ Δv × t ≈ (ђ / mΔx0) × t. Материал с сайта http://worldofschool.ru

Для макроскопических частиц это расплывание пакета не приводит к наблюдаемым последствиям, но в атомных мас­штабах оно может быть существенным. (Легко сосчитать, что если в начальный момент пуля массой 10 г описывается пакетом шириной 10-6 м, то он расплывется до ширины 1 мм за время 1023 с, что на несколько порядков превосходит воз­раст Вселенной.)

Следует иметь в виду, что ширина трека много боль­ше размеров атома и межатомных расстояний, а также характерной дли­ны волны частицы.

На этой странице материал по темам:

Источник: http://WorldOfSchool.ru/fizika/volnovaya/yavleniya/rasplyvanie-volnovogo-paketa

Ссылка на основную публикацию