Вычисление работы с помощью интеграла — справочник студента

Определение. Если функция  определена на кусочно-гладкой кривой L и точки Вычисление работы с помощью интеграла - Справочник студента  этой кривой раз­бивают ее на n элементарных дуг, в каждой из которых выбрана точка  то Вычисление работы с помощью интеграла - Справочник студента, называется интегралом от f(z) по кривой L и обозначается  или, в случае замкнутого контура L   .

Если функция   непрерывна на L, то интеграл существует (его часто называют контурным):

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Вычисление работы с помощью интеграла - Справочник студента

  • где
  • Вычисление работы с помощью интеграла - Справочник студента     и     Вычисление работы с помощью интеграла - Справочник студента
  • являются криволинейными интегралами от функций двух действительных переменных.
  • Если кривая L задана параметрическими уравнениями:
  • и каждая из этих функций гладкая, то

Вычисление работы с помощью интеграла - Справочник студента

Известно, что вместо двух вещественных параметриче­ских уравнений линии L можно ввести одно эквивалентное им комплексно-параметрическое уравнение

Вычисление работы с помощью интеграла - Справочник студента

тогда уравнение (2.35) можно переписать так:

Вычисление работы с помощью интеграла - Справочник студента

Формула (2.36) удобна для вычисления контурных интегра­лов.

  1. Теорема 1 (основная теорема Коши).Если функция f(z) аналитична в односвязной области, то для любого кусочно-гладкого замкнутого контура L, лежащего в этой области,
  2. .
  3. Следствие.Если функция f(z) аналитична в односвязной замкнутой области, ограниченной кривой L, то
  4. .

Заметим, что из теоремы Коши следует: если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то для любой незамк­нутой кривой L, принадлежащей D, интеграл от f(x) по L за­висит только от начальной точки z0 и конечной точки z, т.е. от формы кривой (пути) L не зависит. При этом:

Вычисление работы с помощью интеграла - Справочник студента

где F(z) – одна из первообразных функций для f(z), т.е. F’(z) = f(z). Формула (2.37) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Теорема 2. Если функция f(z) аналитична в замкнутой области  (односвязной или многосвязной) и L – граница D, то для любой точки z0, лежащей внутри этой области, справедливы следую­щие формулы:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Методы проведения организационных изменений - справочник студента

Оценим за полчаса!

Вычисление работы с помощью интеграла - Справочник студента

                              (2.39)

Интеграл в правой части формулы (2.39) называется интегралом Коши для функции f(z), а сама эта формула носит название инте­гральной формулы Коши.

Формулу (2.39) часто называют интегральной формулой Коши для n-й производной функции f(z), и она выражает тот факт, что аналитическая функция, заданная в замкнутой области , дифференцируема сколько угодно раз в каждой точке z области D (следовательно, производные f’(z), f’’(z),,… аналитичны в точке z).

Отметим, что формула (2.39) получается из интегральной формулы Коши (2.38) в результате последовательного дифференцирования n раз по z0 под знаком интеграла.

  • Пример 1
  • Вычислить контурный интеграл  где L – прямолинейный отрезок, соединяю­щий точку z = 0 с точкой z = 3+7i.
  • Решение

1) Сделаем схематический рисунок пути (контура) ин­тегрирования (рис. 2.3).

  1. 2) Составим параметрические уравнения или комплекс­но-параметрическое уравнение пути (контура) интегрирования. Если путь интегрирования состоит из прямолиней­ных участков, то целесообразно использовать формулу для пря­мой, проходящей через две заданные точки:
  2. Из условия z = 0, следует, что
  3. ;
  4. из условия z = 3+7i, следует, что
  5. .
  6. Получаем:
  7. ,
  8. отсюда
  9. 3) Установим, как изменяется параметр t при движении от точки z = 0 до точки z = 3 + 7i.
  10. При  z = 0 у нас х = 0 и у = 0, а значит, из параметрических уравнений t = 0; при z = 3 + 7i имеем x = 3 и у = 7, тогда из тех же уравнений находим t = 1.

Таким образом, . Используем формулу (2.36):

Ответ:

Замечание. Если путь интегрирования состоит из двух отрезков, то составляются параметрические уравнения для каждого участка отдельно и находятся два интеграла.

  • Пример 2
  • Построить область, заданную на комплексной плоскости
  • .
  • Решение
  • Запишем область в другом виде с учетом, что  получим:
  • Это область, ограниченная окружностью с центром в точке (1, 1) и радиусом 1.
  • Ограничение  запишем в виде:
  • .
  • Ограничение  имеет вид:
  • .
  • Получили область, ограниченную графиками:
  • ;
  • .

Изобразим область на графике (рис. 2.4). Заданная область заштрихована.

  1. Пример 4
  2. Найти интеграл от функции комплексного переменного, используя основную теорему Коши:
  3. .
  4. Решение
  5. 1) Построим область интегрирования:
  6. получим
  7. ;
  8. , .

Получили уравнение окружности с центром в точке О и радиусом  (рис. 2.5).

2) Найдем точки  и изобразим их на рисунке 2.5.

  • Из формулы (2.38) следует, что
  • .
  • Получаем, что  . Точка не попадает в область интегрирования, следовательно,
  • .
  • 1) Определяем интеграл, используя формулу (2.38):
  • .
  • Получаем:
  • ;
  •  .
  • Ответ:
  • Пример 5
  • Найти интеграл от функции комплексного переменного используя основную теорему Коши:  .
  • Решение
  • 1) Построим область интегрирования:
  • .
  • Получим:
  • ;
  • ;

Получили уравнение окружности с центром в точке О и радиусом   (рис. 2.6).

2) Найдем точки  и изобразим их на рисунке 2.6.

  1. Из формулы (2.38) следует, что
  2.  .
  3. Обе точки лежат в области интегрирования, следовательно,  разбиваем область интегрирования на две замкнутые области D1 и D2. Интеграл разбиваем на два:
  4. .
  5. 3) Определяем интегралы, используя формулу (2.38), найдем интеграл по области D1, где :
  6. .
  7. Получаем:
  8. ;             .
  9. Найдем интеграл по области D2, где :
  10.  .
  11. Получаем:
  12. ;               .
  13. Складываем полученные интегралы и получаем:
  14. Ответ: 2

Источник: http://libraryno.ru/2-5-1-vychislenie-konturnyh-integralov-vychislenie-integralov-s-pomosch-yu-osnovnoy-teoremy-koshi-2013_matem_dop/

Примеры решения задач с интегралами

Интеграл функции является основным понятием интегрального исчисления. Интеграл широко используется при решении целого ряда задач по математике, физике и в других науках. Именно поэтому мы собрали на сайте более 100 примеров решения интегралов и постоянно добавляем новые! Список тем находится в правом меню.

Перед изучением примеров вычисления интегралов советуем вам прочитать теоретический материал по теме:
определения, свойства и таблицу интегралов, методы их вычисления и другой материал по интегралам.

Таблица интегралов

Основные ссылки — таблица интегралов и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Вычислить неопределенный интеграл

Решение. Для решения данного интеграла не нужно использовать свойства неопределенных интегралов, достаточно формулы интеграла степенной функции:

Вычисление работы с помощью интеграла - Справочник студента Вычисление работы с помощью интеграла - Справочник студента

Ответ. Вычисление работы с помощью интеграла - Справочник студента

Больше примеров решений →

Метод непосредственного интегрирования

Основные ссылки — метод непосредственного интегрирования и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Вычислить неопределенный интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение. Для этого вынесем из знаменателя за знак интеграла

Вычисление работы с помощью интеграла - Справочник студента

далее, используя таблицу интегралов (Формула №11), получим

Вычисление работы с помощью интеграла - Справочник студента Вычисление работы с помощью интеграла - Справочник студента

Ответ.

Больше примеров решений →

Внесение под знак дифференциала

Основные ссылки — внесение под знак дифференциала и примеры решений (10 шт).

Пример

  • Задание. Вычислить неопределенный интеграл
  • Решение. Распишем подынтегральную сумму, используя тригонометрические функции (определение котангенса)
  • Внесем под знак дифференциала:
  • Полученный интеграл можно вычислить, используя табличный интеграл
  • В результате получим
  • Ответ.

Больше примеров решений →

Интегрирование заменой переменной

Основные ссылки — интегрирование заменой переменной и примеры решений (10 шт).

Пример

  1. Задание. Найти неопределенный интеграл
  2. Решение. Введем замену и полученный интеграл находим как интеграл от степенной функции:
  3. Сделаем обратную замену
  4. Ответ.

Больше примеров решений →

Интегрирование по частям

Основные ссылки — интегрирование по частям и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти неопределенный интеграл

Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Для этого положим

  • Подставим это в формулу для интегрирования по частям, затем воспользуемся формулой интеграла косинуса из таблицы интегралов
  • Ответ.

Больше примеров решений →

Метод неопределенных коэффициентов

Основные ссылки — метод неопределенных коэффициентов и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Разложить рациональную дробь на простые дроби.

  1. Решение. Так как корнями знаменателя являются значения , , то его можно разложить на множители следующим образом:
  2. А тогда
  3. Искомое разложение имеет вид:
  4. Приводим к общему знаменателю в правой части равенства и приравниваем числители:
  5. Приравнивая коэффициенты, при соответствующих степенях, получаем:
  6. Отсюда, искомое разложение:
  7. Ответ.  

Больше примеров решений →

Интегрирование тригонометрических функций

Основные ссылки — универсальная тригонометрическая подстановка и примеры решений (10 шт).

Пример

  • Задание. Найти неопределенный интеграл
  • Решение. Для вычисления исходного интеграла введем тригонометрическую замену , тогда
  • Подставляя это в искомый интеграл, получим
  • Сделаем обратную замену
  • Ответ.

Больше примеров решений →

Вы поняли, как решать? Нет?

Источник: https://www.webmath.ru/primeri_reshenii/integral.php

Вычисление интеграла на Си

В этой статье мы рассмотрим вычисление интеграла на языке Си. Будет приведён теоретический материал и его реализация в виде программы.

  • Для того, чтобы найти значение интеграла, нам понадобится формула парабол (Симпсона) – это один из самых точных численных методов для нахождения определенного интеграла. Вот эта формула:
  • Вычисление работы с помощью интеграла - Справочник студента
  • где h = (b-a)/2n, 2n – количество отрезков (четное число), на которое мы делим интервал интегрирования (чем больше, тем точнее вычисления).
  • Вычисление работы с помощью интеграла - Справочник студента
  • В скобках формулы вычисления интеграла мы видим, как сгруппированы значения функции: первое и последнее просто суммируются, значения с нечетными индексами умножаются на 4, а с четными на 2.
  • Напишем программу, которая вычисляет такой определенный интеграл:
  • Вычисление работы с помощью интеграла - Справочник студента
  • Подключим необходимые библиотеки и определим константу N – число отрезков (четное), на которое мы будет делить отрезок интегрирования [a, b]:
Читайте также:  Основные компоненты целостного педагогического процесса - справочник студента

#include
#include
#include

#define N 10000

Нам понадобится функция F(double x), вычисляющая значение sin(x) + cos(x), она будет возвращать значение типа double – вещественный тип повышенной точности:

double F (double x)
{
double f;
f = sin(x) + cos(x);
return f;
}

Переходим к функции main(). Определим необходимые переменные, константу Пи и вычислим значение h:

double S = 0, x, a, b, h;
const double Pi = 3.14159;
a = 0;
b = Pi;
//отрезок [a, b] разобьем на N частей
h = (b — a)/N;

double S = 0, x, a, b, h;const double Pi = 3.14159;//отрезок [a, b] разобьем на N частей

Вычисляем значение x1 и в цикле начинаем вычислять часть формулы .. + 4(…) + 2(…):

x = a + h;
while (x < b) { S = S + 4*F(x); x = x + h; //проверяем не вышло ли значение x за пределы полуинтервала [a, b) if (x >= b) break;
S = S + 2*F(x);
x = x + h;
}

    //проверяем не вышло ли значение x за пределы полуинтервала [a, b)

Добавляем к S первое и последнее значение функции S + f(a) + f(b) и умножаем результат на (h/3). Выводим результат в консоль:

S = (h/3)*(S + F(a) + F(b));
printf («%f», S);
_getch ();
return 0;

S = (h/3)*(S + F(a) + F(b));

В итоге получается такая программа (исходник, как обычно, можно скачать внизу страницы):

#include
#include
#include

#define N 10000

double F (double x)
{
double f;
f = sin(x) + cos(x);
return f;
}

int main ()
{
double S = 0, x, a, b, h;
const double Pi = 3.14159;
a = 0;
b = Pi;
//отрезок [a, b] разобьем на N частей
h = (b — a)/N;
x = a + h;
while (x < b) { S = S + 4*F(x); x = x + h; //проверяем не вышло ли значение x за пределы полуинтервала [a, b) if (x >= b) break;
S = S + 2*F(x);
x = x + h;
}
S = (h/3)*(S + F(a) + F(b));
printf («%f», S);
_getch ();
return 0;
}

    double S = 0, x, a, b, h;    const double Pi = 3.14159;    //отрезок [a, b] разобьем на N частей        //проверяем не вышло ли значение x за пределы полуинтервала [a, b)    S = (h/3)*(S + F(a) + F(b));
  1. Демонстрация работы программы:
  2. Вычисление работы с помощью интеграла - Справочник студента
  3. Значение интеграла равно двум!

Скачать исходник

  • Найти N-ный член ряда Фибоначчи на C#
  • Определение палиндрома на C#

Источник: https://vscode.ru/prog-lessons/vyichislenie-integrala-na-si.html

Вычисление определённых интегралов: базовые алгоритмы

Вычисление работы с помощью интеграла - Справочник студента В этой публикации описаны простейшие методы вычисления интегралов функций от одной переменной на отрезке, также называемые квадратурными формулами. Обычно эти методы реализованы в стандартных математических библиотеках, таких как GNU Scientific Library для C, SciPy для Python и других. Публикация имеет целью продемонстрировать, как эти методы работают «под капотом», и обратить внимание на некоторые вопросы точности и производительности алгоритмов. Также хотелось бы отметить связь квадратурных формул и методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, о которых хочу написать ещё одну публикацию.

Определение интеграла

  • Интегралом (по Риману) от функции на отрезке называется следующий предел:
  • где — мелкость разбиения, , , — произвольное число на отрезке .

Если интеграл от функции существует, то значение предела одно и то же вне зависимости от разбиения, лишь бы оно было достаточно мелким. Вычисление работы с помощью интеграла - Справочник студента Более наглядно геометрическое определение — интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью 0x, графиком функции и прямыми x = a и x = b (закрашенная область на рисунке).

Квадратурные формулы

  1. Определение интеграла (1) можно переписать в виде
  2. где — весовые коэффициенты, сумма которых должна быть равна 1, а сами коэффициенты — стремиться к нулю при увеличении числа точек, в которых вычисляется функция.

Выражение (2) — основа всех квадратурных формул (т.е. формул для приближенного вычисления интеграла).

Задача состоит в том, чтобы выбрать точки и веса таким образом, чтобы сумма в правой части приближала требуемый интеграл как можно точнее.

Вычислительная задача

Задана функция , для которой есть алгоритм вычисления значений в любой точке отрезка (имеются в виду точки, представимые числом с плавающей точкой — никаких там функций Дирихле!).

Требуется найти приближённое значение интеграла . Решения будут реализованы на языке Python 3.6.

Для проверки методов используется интеграл .

Кусочно-постоянная аппроксимация

Идейно простейшие квадратурные формулы возникают из применения выражения (1) «в лоб»:

Т.к. от метода разбиения отрезка точками и выбора точек значение предела не зависит, то выберем их так, чтобы они удобно вычислялись — например, разбиение возьмём равномерным, а для точек вычисления функции рассмотрим варианты: 1) ; 2) ; 3) .

Получаем методы левых прямоугольников, правых прямоугольников и прямоугольников со средней точкой, соответственно.

Реализацияdef _rectangle_rule(func, a, b, nseg, frac):
«»»Обобщённое правило прямоугольников.»»»
dx = 1.0 * (b — a) / nseg
sum = 0.0
xstart = a + frac * dx # 0 abs(rtol * ans)):
old_ans = ans
ans = Quadrature.__double_nseg(func, x0, x1)
err_est = abs(old_ans — ans)

print(«Total function calls: » + str(Quadrature.__ncalls))
return ans

def simpson(func, x0, x1, rtol = 1.0e-10, nseg0 = 1):
«»»Интегрирование методом парабол с заданной точностью.
rtol — относительная точность,
nseg0 — число отрезков начального разбиения»»»
old_trapez_sum = Quadrature.__restart(func, x0, x1, nseg0)
new_trapez_sum = Quadrature.__double_nseg(func, x0, x1)
ans = (4 * new_trapez_sum — old_trapez_sum) / 3
old_ans = 0.0
err_est = max(1, abs(ans))
while (err_est > abs(rtol * ans)):
old_ans = ans
old_trapez_sum = new_trapez_sum
new_trapez_sum = Quadrature.__double_nseg(func, x0, x1)
ans = (4 * new_trapez_sum — old_trapez_sum) / 3
err_est = abs(old_ans — ans)

print(«Total function calls: » + str(Quadrature.__ncalls))
return ans

Сравним эффективность метода трапеций и парабол:

>>> import math
>>> Quadrature.trapezoid(lambda x: 2 * x + 1 / math.sqrt(x + 1 / 16), 0, 1.5, rtol=1e-9)
Total function calls: 65537
4.250000001385811
>>> Quadrature.simpson(lambda x: 2 * x + 1 / math.sqrt(x + 1 / 16), 0, 1.5, rtol=1e-9)
Total function calls: 2049
4.2500000000490985

Как видим, обоими методами ответ можно получть с достаточно высокой точностью, но количество вызовов подынтегральной функции разительно отличается — метод более высокого порядка эффективнее в 32 раза!

Построив график погрешности интегрирования от числа шагов, можно убедиться, что порядок аппроксимации формулы Симпсона равен четырём, т.е. ошибка численного интегрирования (а интегралы от кубических многочленов с помощью этой формулы вычисляются с точностью до ошибок округления при любом чётном n>0!). Отсюда и возникает такой рост эффективности по сравнению с простой формулой трапеций.

Что дальше?

Дальнейшая логика повышения точности квадратурных формул, в целом, понятна — если функцию продолжать приближать многочленами всё более высокой степени, то и интеграл от этих многочленов будет всё точнее приближать интеграл от исходной функции.

Этот подход называется построением квадратурных формул Ньютона-Котеса. Известны формулы вплоть до 8 порядка аппроксимации, но выше среди весовых коэффициентов wi в (2) появляются знакопеременные члены, и формулы при вычислениях теряют устойчивость.

Попробуем пойти другим путём. Ошибка квадратурной формулы представляется в виде ряда по степеням шага интегрирования h. Замечательное свойство метода трапеций (и прямоугольников со средней точкой!) в том, что для неё этот ряд состоит только из чётных степеней:

На нахождении последовательных приближений к этому разложению основана экстраполяция Ричардсона: вместо того, чтобы приближать подынтегральную функцию многочленом, по рассчитанным приближениям интеграла строится полиномиальная аппроксимация, которая при h=0 должна давать наилучшее приближение к истинному значению интеграла.

Разложение ошибки интегрирования по чётным степеням шага разбиения резко ускоряет сходимость экстраполяции, т.к. для аппроксимации порядка 2n нужно всего n значений интеграла методом трапеций.

Если считать, что каждое последующее слагаемое меньше предыдущего, то можно последовательно исключать степени h, имея приближения интеграла, рассчитанные с разными шагами. Поскольку приведённая реализация легко позволяет дробить разбиение вдвое, удобно рассматривать формулы для шагов h и h/2.

  1. Легко показать, что исключение старшего члена погрешности формулы трапеций в точности даст формулу Симпсона:
  2. Повторяя аналогичную процедуру для формулы Симпсона, получаем:
  3. Если продолжить, вырисовывается такая таблица:
2 порядок 4 порядок 6 порядок …
I0,0
I1,0 I1,1
I2,0 I2,1 I2,2

В первом столбце стоят интегралы, вычисленные методом трапеций. При переходе от верхней строки вниз разбиение отрезка становится вдвое мельче, а при переходе от левого столбца вправо повышается порядок аппроксимации интеграла (т.е. во втором столбце находятся интегралы по методу Симпсона и т.д.).

Элементы таблицы, как можно вывести из разложения (5), связаны рекуррентным соотношением:

Погрешность приближения интеграла можно оценить по разности формул разных порядков в одной строке, т.е.

Применение экстраполяции Ричардсона вместе с интегрированием методом трапеций называется методом Ромберга. Если метод Симпсона учитывает два предыдущих значения по методу трапеций, то метод Ромберга использует все ранее вычисленные методом трапеций значения для получения более точной оценки интеграла.

Реализация

Дополнительный метод добавляется в класс Quadrature

class Quadrature:
«»»Базовые определения для квадратурных формул»»»
__sum = 0.0
__nseg = 1 # число отрезков разбиения
__ncalls = 0 # считает число вызовов интегрируемой функции

def __restart(func, x0, x1, nseg0, reset_calls = True):
«»»Обнуление всех счётчиков и аккумуляторов.
Возвращает интеграл методом трапеций на начальном разбиении»»»
if reset_calls:
Quadrature.__ncalls = 0
Quadrature.__nseg = nseg0
# вычисление суммы для метода трапеций с начальным разбиением на nseg0 отрезков
Quadrature.__sum = 0.5 * (func(x0) + func(x1))
dx = 1.0 * (x1 — x0) / nseg0
for i in range(1, nseg0):
Quadrature.__sum += func(x0 + i * dx)

Quadrature.__ncalls += 1 + nseg0
return Quadrature.__sum * dx

def __double_nseg(func, x0, x1):
«»»Вдвое измельчает разбиение.
Возвращает интеграл методом трапеций на новом разбиении»»»
nseg = Quadrature.__nseg
dx = (x1 — x0) / nseg
x = x0 + 0.5 * dx
i = 0
AddedSum = 0.0
for i in range(nseg):
AddedSum += func(x + i * dx)

Quadrature.__sum += AddedSum
Quadrature.__nseg *= 2
Quadrature.__ncalls += nseg
return Quadrature.__sum * 0.5 * dx

def romberg(func, x0, x1, rtol = 1e-10, nseg0 = 1, maxcol = 5, reset_calls = True):
«»»Интегрирование методом Ромберга
nseg0 — начальное число отрезков разбиения
maxcol — максимальный столбец таблицы»»»
# инициализация таблицы
Itable = [[Quadrature.__restart(func, x0, x1, nseg0, reset_calls)]]
i = 0
maxcol = max(0, maxcol)
ans = Itable[i][i]
error_est = max(1, abs(ans))
while (error_est > abs(rtol * ans)):
old_ans = ans
i += 1
d = 4.0
ans_col = min(i, maxcol)
Itable.append([Quadrature.__double_nseg(func, x0, x1)] * (ans_col + 1))
for j in range(0, ans_col):
diff = Itable[i][j] — Itable[i — 1][j]
Itable[i][j + 1] = Itable[i][j] + diff / (d — 1.0)
d *= 4.0

ans = Itable[i][ans_col]
if (maxcol maxcol):
error_est = abs(ans — Itable[i][min(i — maxcol — 1, maxcol — 1)])
else:
error_est = abs(ans — Itable[i — 1][i — 1])

print(«Total function calls: » + str(Quadrature.__ncalls))
return ans

Проверим, как работает аппроксимация высокого порядка:

>>> Quadrature.romberg(lambda x: 2 * x + 1 / math.sqrt(x + 1/16), 0, 1.5, rtol=1e-9, maxcol = 0) # трапеции
Total function calls: 65537
4.250000001385811
>>> Quadrature.romberg(lambda x: 2 * x + 1 / math.sqrt(x + 1/16), 0, 1.5, rtol=1e-9, maxcol = 1) # параболы
Total function calls: 2049
4.2500000000490985
>>> Quadrature.romberg(lambda x: 2 * x + 1 / math.sqrt(x + 1/16), 0, 1.5, rtol=1e-9, maxcol = 4)
Total function calls: 257
4.250000001644076

Убеждаемся, что, по сравнению с методом парабол, число вызовов подынтегральной функции снизилось ещё в 8 раз. При дальнейшем увеличении требуемой точности преимущества метода Ромберга проявляются ещё заметнее:

Некоторые замечания

Замечание 1. Количество вызовов функции в этих задачах характеризует число суммирований при вычислении интеграла.

Уменьшение числа вычислений подынтегрального выражения не только экономит вычислительные ресурсы (хотя при более оптимизированной реализации и это тоже), но и уменьшает влияние погрешностей округления на результат.

Так, при попытке вычислить интеграл тестовой функции метод трапеций зависает при попытке достигнуть относительной точности 5×10-15, метод парабол — при желаемой точности 2×10-16(что является пределом для чисел в двойной точности), а метод Ромберга справляется с вычислением тестового интеграла вплоть до машинной точности (с ошибкой в младшем бите). То есть, повышается не только точность интегрирования при заданном числе вызовов функции, но и предельно достижимая точность вычисления интеграла.

Замечание 2. Если метод сходится при задании некоторой точности, это не означает, что вычисленное значение интеграла имеет ту же самую точность. В первую очередь, это относится к случаям, когда задаваемая погрешность близка к машинной точности.

Замечание 3. Хотя метод Ромберга для ряда функций работает почти магическим образом, он предполагает наличие у подынтегральной функции ограниченных производных высоких порядков. Это значит, что для функций с изломами или разрывами он может оказаться хуже простых методов. Например, проинтегрируем f(x)=|x|:

>>> Quadrature.trapezoid(abs, -1, 3, rtol=1e-5)
Total function calls: 9
5.0
>>> Quadrature.simpson(abs, -1, 3, rtol=1e-5)
Total function calls: 17
5.0
>>> Quadrature.romberg(abs, -1, 3, rtol=1e-5, maxcol = 2)
Total function calls: 17
5.0
>>> Quadrature.romberg(abs, -1, 3, rtol=1e-5, maxcol = 3)
Total function calls: 33
5.0
>>> Quadrature.romberg(abs, -1, 3, rtol=1e-5, maxcol = 4)
Total function calls: 33
5.000001383269357

Замечание 4. Может показаться, что чем выше порядок аппроксимации, тем лучше. На самом деле, лучше ограничить число столбцов таблицы Ромберга на уровне 4-6. Чтобы понять это, посмотрим на формулу (6). Второе слагаемое представляет собой разность двух последовательных элементов j-1-го столбца, поделенную на примерно 4j. Т.к.

в j-1-м столбце находятся аппроксимации интеграла порядка 2j, то сама разность имеет порядок (1/ni)2j ~ 4-ij. C учётом деления получается ~4-(i+1)j ~ 4-j2. Т.е.

при j~7 второе слагаемое в (6) теряет точность после приведения порядков при сложении чисел с плавающей точкой, и повышение порядка аппроксимации может вести к накоплению ошибки округления.

Замечание 5. Желающие могут ради интереса применить описанные методы для нахождения интеграла и эквивалентного ему . Как говорится, почувствуйте разницу.

Читайте также:  Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций - справочник студента

Заключение

Представлено описание и реализация базовых методов численного интегрирования функций на равномерной сетке.

Продемонстрировано, как с помощью несложной модификации получить на базе метода трапеций класс квадратурных формул по методу Ромберга, что значительно ускоряет сходимость численного интегрирования.

Метод хорошо работает для интегрирования «обычных» функций, т.е. слабо меняющихся на отрезке интегрирования, не имеющих особенностей на краях отрезка (см. Замечание 5), быстрых осцилляций и т.д.

Продвинутые методы численного интегрирования для более сложных случаев можно найти в книгах из списка литературы (в [3] — с примерами реализации на C++).

Литература

  1. А.А. Самарский, А.В. Гулин. Численные методы. М.: Наука. 1989.
  2. J. Stoer, R. Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis: Second Edition. Springer-Verlag New York. 1993.
  3. W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery. Numerical Recipes: Third Edition. Cambridge University Press. 2007.

Источник: https://habr.com/post/420867/

Определенный интеграл. Теория и практика вычислений. Садовничая И.В., Хорошилова Е.В

Вычисление работы с помощью интеграла - Справочник студента Вычисление работы с помощью интеграла - Справочник студента

М.: ВМиК МГУ, МАКС Пресс, 2008. — 528 с. 

Издание посвящено теоретическим и практическим аспектам вычисления определенных интегралов, а также методам их оценок, свойствам и приложениям к решению различных геометрических и физических задач.

Книга содержит разделы, посвященные методам вычисления собственных интегралов, свойствам несобственных интегралов, геометрическим и физическим приложениям определённого интеграла, а также некоторым обобщениям интеграла Римана — интегралам Лебега и Стилтьеса.

Изложение теоретического материала подкреплено большим количеством (более 220) разобранных примеров вычисления, оценок и исследования свойств определённых интегралов; в конце каждого параграфа приводятся задачи для самостоятельного решения (более 640, подавляющее большинство — с решениями).

Цель пособия — помочь студенту во время прохождения темы «Определенный интеграл» на лекциях и практических занятиях. К нему может обратиться студент для получения справочной информации по возникшему вопросу.

Книга также может быть полезна преподавателям и всем желающим изучить данную тему достаточно подробно и широко.

  • Для студентов университетов, в том числе математических специальностей, изучающих интегральное исчисление в рамках курса математического анализа.  
  • Формат: pdf
  • Размер:  4,4 Мб
  • Скачать:    yandex.disk

СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 8 § 1. Определённый интеграл Римана 1.1. Историческая справка 11 1.2. Определение интеграла Римана 14 1.2.1. Интегральные суммы и интеграл Римана 14 1.2.2. Вычисление определённых интегралов по определению, т.е. переходом к пределу интегральных сумм 16 1.2.3.

Геометрический смысл определённого интеграла 17 1.2.4. Суммы и интегралы Дарбу 18 1.2.5. Необходимое и достаточное условие интегрируемости 23 1.3. Основные классы интегрируемых функций 24 1.3.1. Функции, непрерывные на сегменте 24 1.3.2. Ограниченные на сегменте функции, множество точек разрыва которых имеет меру нуль поЖордану 25 1.3.3.

Ограниченные на сегменте функции, множество точек разрыва которых имеет меру нуль по Лебегу 27 1.3.4. Функции, монотонные на сегменте 27 1.3.5. Интегрирование сложных функций 28 1.4. Свойства определённого интеграла, выражаемые равенствами 31 1.5. Интегралы с переменным верхним (нижним) пределом.

Формула Ньютона-Лейбница 35 Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 41

§ 2. Оценки определённых интегралов: теоремы о среднем, интегральные неравенства 2.1.Свойства определённого интеграла, связанные с неравенствами. … 53

2.2. Интегральные теоремы о среднем. 2.2.1. Первая теорема о среднем. Среднее значение функции 57 2.2.2. Вторая теорема о среднем 62 2.3. Некоторые известные интегральные неравенства. 2.3.1. Неравенство Коши-Буняковского 65 2.3.2. Неравенство Коши 67 2.3.3. Неравенство Гёлъдера 68 23.4. Неравенство Минковского 68 2.3.5. Неравенства для выпуклых функций 70 Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 73

§ 3. Основные методы вычисления определённых интегралов 3.1. Интегрирование путём сведения к табличным (или известным) интегралам с помощью различных преобразований 81

3.2. Интегрирование путём замены переменной 89 3.3. Интегрирование по частям 99 3.4. Другие способы вычисления определённых интегралов 105 3.5. Интегрирование специальных классов функций 107 3.5.1. Интегрирование периодических функций 108 3.5.2. Интегрирование функций, график которых имеет ось (центр) симметрии в середине промежутка интегрирования 110 3.5.3. Интегрирование взаимно обратных функций 111 Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 112

§ 4. Несобственные интегралы 4.1. Понятия несобственных интегралов 1-го и 2-го рода и связь между ними. Сходимость (расходимость) интеграла.

4.1.1. Несобственный интеграл 1-города 123 4.1.2. Несобственный интеграл 2-города 126 4.2. Понятие среднего значения функции на неограниченном промежутке. Сходимость интеграла в смысле главного значения (по Коши). 4.2.1. Среднее значение функции, интегрируемой на неограниченном промежутке 129 4.2.2. Сходимость в смысле главного значения (по Коши) 130 4.2.3. Среднее значение несобственного интеграла 135 4.3. Критерий Коши сходимости (расходимости) несобственного интеграла 136 4.4. Свойства несобственного интеграла 138 4.5. Теоремы о среднем 146 4.6. Вычисление несобственных интегралов. 4.6.1. Формула Ньютона-Лейбница 147 4.6.2. Формула замены переменной 149 4.6.3. Формула интегрирование по частям 150 4.7. Исследование сходимости несобственных интегралов 153 4.7.1. Необходимые и достаточные условия сходимости интегралов от неотрицательных функций. Теорема сравнения 154 4.7.2. 1-й признак сравнения (признак абсолютной сходимости) 157 4.7.3. 2-й признак сравнения 157 4.7.4. 3-й признак сравнения (признак сравнения со степенью) 162 4.7.5. Признак Дирихле 165 4.7.6. Признак Абеля 168 4.7.7. Признак Коши 169 4.7.8. Использование формулы Тейлора при исследовании сходимости интеграла 171 4.7.9. Абсолютная (условная) сходимость несобственного интеграла . . . 174 4.8. Другие виды задач, связанных с несобственными интегралами. . . .181 4.9. Некоторые известные несобственные интегралы. 1. Интегральные синус и косинус 183 2. Интеграл Эйлера-Пуассона 183 3. Интегралы Френеля 184 4. Интегралы Эйлера 184 5. Интеграл Дирихле 184 6. Интегралы Лапласа 184 7. Гамма- и бета-функции 184 8. Интегралы Фруллани 184 Контрольные задания и задачи для самостоятельного решения 185

§ 5. Вычисление площади плоской фигуры 5.1. Плоская фигура и связанные с ней понятия 190

5.2. Квадрируемая фигура и её площадь 191 5.3. Необходимые и достаточные условия квадрируемости. Классы квадрируемых фигур 193 5.4. Площадь в декартовых координатах. 5.4.1. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана явно 198 5.4.2. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана параметрически. 207 5.4.3. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана неявно уравнением F(x,y) = 0 212 5.5. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах. 5.5.1. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана явно 217 5.5.2. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана параметрически. 224 5.5.3. Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, задана неявно уравнением F{r,

Источник: https://alleng1.org/d/math/math764.htm

Калькулятор Интегралов

Наверху страницы введите функцию, которую Вы хотите проинтегрировать. Переменная интегрирования, пределы интегрирования и другие параметры могут быть изменены в разделе «Настройки». Нажмите «=» чтобы запустить интегрирование/нахождение первообразной функции. Результат будет показан ниже на этой странице.

Для тех кому интересны технические подробности, в этой части рассказывается как устроен и работает Калькулятор Интегралов.

Сначала синтаксический анализатор (па́рсер) анализирует исходное математическое выражение. Он преобразует его в форму более удобную для компьютера, а именно в форму дерева (см. картинку ниже).

В процессе такого преобразования, Интегральный Калькулятор должен соблюдать порядок операций с учетом их приоритета. Так же, как и то, что в математических выражениях знак умножения часто опускается, например, мы обычно пишем «5x» вместо «5*x».

Калькулятор Интегралов должен уметь понимать такие случаи и сам добавлять знак умножения.

Па́рсер написан на JavaScript, и основывается на алгоритме сортировочной станции, поэтому может исполняться прямо в браузере. Это дает возможность генерировать удобочитаемое выражение на ходу, преобразуя получающееся дерево в код для LaTeX (Ла́тех). С помощью MathJax происходит генерация картинки и ее отображение в браузере.

По нажатию кнопки «=», Калькулятор Интегралов отправляет математическое выражение вместе с параметрами (переменной интегрирования и пределами интегрирования) на сервер, где оно анализируется еще раз. В этот раз выражение преобразуется в форму которая будет понятна системе компьютерной алгебры Maxima (Ма́ксима).

Вычисление работы с помощью интеграла - Справочник студента

Ма́ксима вычисляет интеграл математической функции. Результат Ма́ксимы снова преобразуется в Ла́тех а затем показывается пользователю. Первообразная вычисляется с помощью алгоритма Ри́ша, который достаточно замысловат для понимания человеком. Именно поэтому задача показывать промежуточные шаги решения интегралов является такой сложной.

Для того чтобы всё-таки показать пошаговое решение, Калькулятор Интегралов использует такие же методы, которыми бы воспользовался человек. Алгоритм, который это осуществляет, разрабатывался в течении нескольких лет и был написан на собственном языке программирования Ма́ксимы.

Программа содержит более чем 17000 строк кода.

Если интегрируемое выражение совпадает по форме с уже известным, алгоритм применяет заранее определённые правила для решения интеграла (например, метод неопределённых коэффициентов для рациональных функций, тригонометрическую подстановку в интегралах с квадратным корнем из квадратичной функции или интегрирование по частям для продуктов определенных функций). Если же оно не совпадает с уже известным, тогда алгоритм пробует разные подстановки и преобразования пока интеграл не будет решен или пока не закончится отведённое для этого время или же пока не кончатся все возможные варианты. С одной стороны, у Калькулятора нет математической интуиции, которая бы очень помогла в поисках первообразной, но зато, с другой стороны, Калькулятор в состоянии перепробовать большое количество разных вариантов за очень короткое время. Такое пошаговое вычисление первообразной по правилам, зачастую, более компактно и элегантно чем вычисленное Ма́ксимой.

Еще один режим работы «Проверка  решения» должен решить сложную задачу по определению являются ли два математических выражения равными друг другу. Разница между выражениями вычисляется и упрощается с помощью Ма́ксимы настолько, насколько это возможно.

К примеру, это может быть переписывание тригонометрических/гиперболических функций в их экспоненциальные формы. Если удается упростить разницу до нуля — задача выполнена. В противном случае, применяется вероятностный алгоритм, который вычисляет и сравнивает оба выражения в случайно выбранных местах.

В случае с первообразной, вся процедура повторяется для каждой производной, т.к. первообразная может отличаться константой.

Интерактивные графики функций вычисляются в браузере и отрисовываются на Сanvas («Холст») из HTML5.

Для каждой математической функции, которая должна быть отрисована, Калькулятор создает функцию JavaScript, которая затем вычисляется с шагом, необходимым для правильного отображения графика.

Все сингулярности (например  полюса) функции обнаруживаются в процессе отрисовки и обрабатываются отдельно. Управление жестами для мобильных устройств сделано на основе hammer.js.

Если у Вас есть вопросы или пожелания, а так же идеи как улучшить Калькулятор Интегралов, пожалуйста пишите мне на e-mail.

Источник: https://www.integral-calculator.ru/

Неопределенный интеграл. Онлайн калькулятор с примерами

Неопределенный интеграл онлайн

В школе говорят, интеграл – это значок ∫, а вычисление интеграла, то есть процесс интегрирования, – это операция обратная дифференцированию. Согласитесь скучно!

  • Разумеется, у школьников возникает резонный вопрос: а нафиг он нам нужен?
  • Но если бы учитель уделил несколько минут на вводную про интегралы, такой вопрос всё равно бы возник, но уже не у всех!
  • Вводная к интегралам

В далеком 17 веке были на тот момент нерешенные насущные проблемы, а именно изучались закономерности движения тел. Много трудов было проделано Ньютоном, чтобы понять, как вычисляется скорость тела в любой момент времени. Но чем дальше, тем оказалось интереснее.

Допустим, мы знаем закон изменения скорости тела – это некая функция. Тогда площадь фигуры, ограниченная этой кривой и осью координат, будет равна пройденному пути. Вычисляя неопределенный интеграл от функции, мы как раз находим общий закон движения.

В этом заключается один из физических смыслов интеграла.

Как вы уже поняли, геометрический смысл интеграла – это площадь криволинейной трапеции. Соответственно с помощью кратного интеграла вычисляется объем тела.

Решение интегралов

Лейбниц и Ньютон заложили основы дифференциального и интегрального исчисления. В последующие десятилетия было много великих открытий, связанных с вычислением интегралов.

Поскольку подынтегральная функция может принимать различные виды, естественно это привело к разделению интегралов на свои типы, а главное были отрыты многочисленные методы решения интегралов.

Но не все так безоблачно. На практике часто происходит так, что в аналитическом виде вычислить интегралы невозможно, то есть используя какой-либо известный метод.

Конечно, получить аналитическое решение это здорово, но, с другой стороны, главное ведь вычислить точное значение интеграла. В этом случае интегралы решаются численными методами.

Благодаря компьютерным мощностям, такие задачи не представляют особых сложностей для современного человека.

Калькулятор решения интегралов

Теперь самое интересное. Еще каких-то 15 лет назад школьник и помыслить не мог, что под рукой будут такие калькуляторы интегралов, как, например, наш. Это безусловно облегчает процесс обучения. Можно проверять свои решения, находить допущенные ошибки и лучше усваивать образовательный курс.

И тут в который раз повторяем, калькулятор решения интегралов – это только ваш безотказный помощник, к которому можете обратиться в любое время. Но никак не подмена вашей головы. Старайтесь самостоятельно решать задачи, только так можно развивать мышление, а компьютер будет в помощь.

Источник: https://math24.biz/integral

Ссылка на основную публикацию